20102018江苏高考解析几何汇编(文)

（全国1卷4）答案：（全国1卷15）答案：（全国1卷20）答案：（全国2卷6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 答案：A（全国2卷11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-答案：D（全国2卷20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．（全国3卷8）答案：A（全国3卷10）答案：D（全国3卷20）答案：（北京卷10）已知直线l过点（1,0）且垂直于ε，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案：（1,0）（北京卷12）答案：4（北京卷20）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点C，直线PB与椭圆M的另一个交点D.若C,D和点共线，求k.（天津卷7）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y 答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y（天津卷12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为答案：2220x x y -+= 解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-=?=22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=（天津卷19）(19)（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率|AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:l y kx = (k ∆0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P,M 均在第四象限，若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值。

2011年-2015年高考全国课标卷解析几何试题（文科）1.【2017全国1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（ ） A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( ) A.5 B.22 C. 23 D. 335.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．(0,3][4,)+∞6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．63B ．33C ．23D ．1311.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.16.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由； （2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.1、（2016年全国I 卷高考）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （ ） （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）346、（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ） （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）27、（2016年全国III 卷高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）344、（2016年全国I 卷高考）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若错误！未找到引用源。

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1．如图,在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r(）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A． B． C． D．3．双曲线的焦点坐标是A．（−，0)，（，0） B． (−2，0)，（2，0）C．（0,−)，(0，) D． (0，−2），（0，2)4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．5．直线分别与轴,轴交于,两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．6．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．7．双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A． B． C． D．8．已知,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．9．已知抛物线C:的焦点是F,准线是l，（Ⅰ）写出F的坐标和l的方程;（Ⅱ）已知点P(9,6），若过F的直线交抛物线C于不同两点A，B(均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M,N.求证:MF⊥NF.10．设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1)用表示点到点距离；(2)设，,线段的中点在直线，求的面积；（3)设,是否存在以、为邻边的矩形,使得点在上？若存在，求点的坐标;若不存在,说明理由．11．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴;（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x〈0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．12．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1)求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于,两点，与直线交于点M,且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．13．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M有两个不同的交点A ,B 。

2010-2018全国卷分类汇编(解析几何)1卷索引版2010-2018新课标全国卷分类汇编新课标全国（1）（解析几何）（目录索引：可按ctrl ＋题号直接找到该题）1. (2010课标全国，理12) 已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，双曲线方程为22221x y a b-=，∵AB 过F ，N ，∴斜率1AB k =∵2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，∴两式差有1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-+-=，∴2245b a =，又∵229a b +=，∴224,5a b ==，故选B2. (2010课标全国，理15) 过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为22(3)2x y -+=解析： 设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032b OB b -∴=-=-与切线垂直，即22C (3)2r OB x y ==∴-+=圆的方程为3.(2010课标全国，理20) 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程 解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()()222222220a b x a cx a c b +++-= 则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b--+==++ 因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3ab a a b =+故222a b = 所以E的离心率c e a===（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=。

第一讲立体几何一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是．（填序号）2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是（填写所有真命题的序号）．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是．（填序号）4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．10．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：侧棱B（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．第一讲立体几何参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是③⑥⑦．（填序号）【解答】解：在①中，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线不相交时，则直线l与α相交、平行或l⊂α，故①错误：在②中，若直线a在平面α外．则a与α平行或相交，故②错误；在③中，若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α，正确；在④中，若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，不正确；在⑤中，若直线a∥b，b∥a，则a∥α或a⊂α，故⑤错误；在⑥中，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可，正确；在⑦中，因为过平面外一点可作一个平面与这个平面平行，只是在这个平面内的直线都与这个平面平行，正确；在⑧中，如果一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故错误．故答案为③⑥⑦2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是③④（填写所有真命题的序号）．【解答】解：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α、β相交，是假命题；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，是假命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，是真命题；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，是真命题，故答案为：③④．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是②④．（填序号）【解答】解：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；②若α∥β，l⊂α，则，利用平面与平面平行的性质，可得l∥β，正确；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m，n不一定相交，则α∥β不正确；④由题意l⊥α，当l∥β时，必存在β内的直线l′，使l∥l′，可得l′⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确．故答案为：②④．4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：410．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．【解答】证明：（1）∵CB=CD，E为BD的中点，∴CE⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CE⊥平面ABD，∵CE⊂平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；（2）∵点E、F分别为BD，AB的中点，∴EF∥AD．∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，∴MN∥EF，∴MN∥AD，而MN⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴MN∥平面ACD，∵平面BMN∩平面ACD=GH，∴MN∥GH．。

2010~2018高考三角函数汇编1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及应用B2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合.通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。

一、三角公式★7．（5分）（2011•江苏）已知，则的值为．★★11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．★8．（5分）★5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．★★★15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．★★★15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．★★★16．（14分）（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．二、三角函数图像与性质★★★10．（5分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．★★9．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．★1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．★5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．★★★9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．★★7．（5分）（2018•江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．★★★16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．三、解三角形★★★13．（5分）（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．★★★★14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．★★★★14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．★★★13．（5分）（2018•江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．★★★15．（14分）（2011•江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．★★★15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．★★★15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．★★★15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．★★★17．（14分）（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？★★★18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？★★★17．（14分）（2018•江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。

2018 年-2008 年江苏高考立体几何解答题（共 11 题）说明：三角向量解答题考在 15题或 16 题，是解答题的前两题之一，要求学生必须做对，而且书写规范，条理清楚1．在平行六面体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 AB , AB 1 B 1C 1．求证：（ 1） AB ∥平面A 1B 1C ； （2）平面ABB 1 A 1 平面A 1 BC ．2) BC 1 AB 1 .5．如图在三棱锥 P-ABC 中， D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点，已知 PA AC,PA 6,BC 8,DF 5，2.如图 ,在三棱锥 A-BCD 中,AB ⊥AD, BC ⊥BD, 平面 ABD ⊥平面 且 EF ⊥ AD. BCD, 点E,F （E 与A,D 不重合 ）分别在棱 AD,BD 上,求证：（1） EF ∥平面 ABC ； 2)AD ⊥AC.3. 如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 AB ，BC 的中点，点 F 在侧棱 B 1B 上，且 B 1D A 1F， A 1C 1 A 1B 1.求证：（ 1）直线 DE ∥平面 A 1C 1F ；2)平面 B 1DE ⊥平面 A 1C 1F.4.如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ，BC CC 1，设 AB 1的中点为D ， B 1C BC 1E .求证：1) DE // 平面 AA 1C 1C ；求证（ 1）直线 PA 平面 DEF ； 2）平面 BDE 平面 ABC 。

6．如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ， AB BC ，AS AB ，过A 作AF SB ，垂足为 F ， 点 E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面 EFG //平面 ABC ；（2） BC SA ．7. 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中， A 1B 1 A 1C 1 ，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点 C ），且AD DE ，F 为B 1C 1 的中点．求证：（ 1）直线 EF ‖平面 PCD ；（2）平面 BEF ⊥平面 PAD 9、如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

《2018年高考文科数学分类汇编》第九篇：解析几何一、选择题1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12 C．2 D．32.【2018全国二卷6】双曲线，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ． 3.【2018全国二11】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A ．B ．CD4.【2018全国三卷8】直线分别与轴，轴交于A ，B 两点，点P 在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．5.【2018全国三卷10】已知双曲线，则点到的渐近线的距离为 AB．C ．D ．6.【2018天津卷7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -=B221124x y -= C22139x y -=D 22193x y -= 22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =2y x =±y =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12120x y ++=x y ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C 227.【2018浙江卷2】双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.2√2B.2√3C.2√5D.4√2 二、填空题1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是 ． 6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．7.【2018浙江卷17】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．8.【2018上海卷2】2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 . 9.【2018上海卷12】已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________三、解答题1.【2018全国一卷20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．4.【2018北京卷20】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅰ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅰ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22143x y C +=：A B AB (1,)(0)M m m >12k <-F C P C FP FA FB ++=02||||||FP FA FB =+交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .5.【2018天津卷19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB = （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．6.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．7.【2018浙江卷21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.【2018上海卷20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：²8y x =00x t y （≦≦，≧），l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设t =3，2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 一、选择题1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C 二、填空题1. 222.)0,1(3.44.0222=-+x y x 5.2 6.3 7.58.x y 21±= 9.32+三、解答题1.解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．2.解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由得． ，故． 所以．2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+=212224k x x k ++=212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=由题设知，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 ，即．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得或 因此所求圆的方程为或．3.解：（1）设，，则，．两式相减，并由得． 由题设知，，于是． 由题设得，故． （2）由题意得F （1，0）．设，则 ．由（1）及题设得，． 又点P 在C 上，所以，从而23=． 于是．同理． 所以．故．22448k k +=2(3)y x -=--5y x =-+00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，0032x y =⎧⎨=⎩，00116.x y =⎧⎨=-⎩，22(3)(2)16x y -+-=22(11)(6)144x y -++=11()A x y ，22()B x y ，2211143x y +=2222143x y +=1212=y y k x x --1212043x x y y k +++⋅=1212x x +=122y y m +=34k m=-302m <<12k <-33()P x y ，331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，3123()1x x x =-+=312()20y y y m =-+=-<34m =3(1)2P -，11||(22xFA x ==-2||=22x FB -1214()32FA FB x x +=-+=2||=||+||FP FA FB4.解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-==易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，学科*网 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．5. 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-．6.解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267， 所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+7.解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是． 8.解：（1）由抛物线的性质可知，抛物线x y 82=的准线为2-=x ，抛物线上的点B 到焦点)0,2(F 的距离等于点B 到准线2-=x 的距离，由题意知，点B 的横坐标为t ，则2+=t BF 。

解析几何【2010年新课标卷，12】已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（ ）（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 【2010年新课标卷，15】过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C的方程为 .【2011年新课标Ⅰ卷，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．【2012年新课标Ⅰ卷，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【2013年新课标Ⅰ卷，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 【2013年新课标Ⅰ卷，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【2013年新课标Ⅱ卷，11】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ） A.24y x =或28y x = B.22y x =或28y x = C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x =【2013年新课标Ⅱ卷，12】已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2C.1(1]3D.11[,)32【2014年新课标Ⅰ卷，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m【2014年新课标Ⅰ卷，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A .72 B .52C .3D .2 【2014年新课标Ⅱ卷，6】设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.【2014年新课标Ⅱ卷，10】设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94【2015年新课标Ⅰ卷，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．(33-B ．(,)66-C ．(33-D ．()33- 【2015年新课标Ⅰ卷，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【2015年新课标Ⅱ卷，7】过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10【2016年新课标Ⅰ卷，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【2016年新课标Ⅰ卷，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） 【2016年新课标Ⅱ卷，4】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2【2018年新课标Ⅰ卷，11】已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．D ．4【2018年新课标Ⅱ卷，5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>为（ ）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = 【2017年新课标Ⅱ卷，16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【2017年新课标Ⅲ卷，5】已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【2018年新课标Ⅰ卷，8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【2016年新课标Ⅲ卷，16】已知直线l ：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =则||CD =____________.【2017年新课标Ⅰ卷，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【2011年新课标Ⅰ卷，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【2012年新课标Ⅰ卷，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2015年新课标Ⅱ卷，11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD 【2016年新课标Ⅱ卷，11】已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．25．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【2017年新课标Ⅰ卷，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2017年新课标Ⅱ卷，9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【2017年新课标Ⅲ卷，10】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．BCD ．13【2018年新课标Ⅱ卷，12】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.23 B ．12 C ．13D ．14 【2018年新课标Ⅲ卷，6】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【2018年新课标Ⅲ卷，11】设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D【2018年新课标Ⅲ卷，16】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．二、解答题.【2010年新课标卷，20】设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【2011年新课标卷，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值． 【2012年新课标卷，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点． （1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2013年新课标Ⅰ卷，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.【2013年新课标Ⅱ卷,20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.【2014年新课标Ⅰ卷，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2014年新课标Ⅱ卷，20】设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .【2015年新课标Ⅰ卷，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a=+（0a >）交于,M N 两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【2015年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【2016年新课标Ⅰ卷，20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【2016年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . （Ⅰ）当t =4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.【2016年新课标Ⅲ卷，20】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【2017年新课标Ⅰ卷，20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2 ），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2017年新课标Ⅱ卷，20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【2017年新课标Ⅲ卷，20】已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．【2018年新课标Ⅰ卷，19】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【2018年新课标Ⅱ卷，19】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【2018年新课标Ⅲ卷，20】知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．2010-2018年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编09、解析几何（解析版）一、选择题与填空题.【2010年新课标卷，12】已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（ ）（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 【答案】B【解析】设双曲线方程为22222222221,x y b x a y a b a b-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y由2222222222221122,b x a y a b b x a y a b -=-=得2212121212()()()0()y y b x x a y y x x -+-+=- AB PN N 又中点（-12，-15），k =k ，2222-12+1504=5b a b a ∴=即，22+9b a =所以224,=5a b =，选B【2010年新课标卷，15】过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .【答案】223)2x y -+=（ 【解析】设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032b OB b -∴=-=-与切线垂直，即22C (2)2r OB x y ==∴--=圆的方程为【2011年新课标Ⅰ卷，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3 【答案】B【解析】通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B 【2011年新课标Ⅰ卷，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．【答案】221168x y +=【解析】由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 【2012年新课标Ⅰ卷，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．【2012年新课标Ⅰ卷，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ） AB．C ．4D ．8【答案】C【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =， 所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2013年新课标Ⅰ卷，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【答案】C【解析】选C，∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，12b a =，∴渐近线方程为12b y x x a =±=±.【2013年新课标Ⅰ卷，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】选D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2013年新课标Ⅱ卷，11】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p.又点F 的坐标为(,0)2p ，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2pp =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.【2013年新课标Ⅱ卷，12】已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2C.1(1]3D.11[,)32【答案】B【解析】由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =-. 【2014年新课标Ⅰ卷，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =A.【2014年新课标Ⅰ卷，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A .72 B .52C .3D .2 【答案】C【解析】选C ，过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==【2014年新课标Ⅱ卷，6】设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM=∠∠，sin OMONM =∠，即OM ONM =∠， ∵0ONM π≤∠≤，∴OM ≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||sin 45OA OM =o=||12OM ≤，解得||OM ≤，因为点M (x 0, 1)，所以||OM =≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.【2014年新课标Ⅱ卷，10】设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） ABC ．6332D ．94【答案】D【解析】∵3(,0)4F ，∴设直线AB的方程为3)34y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB ==，由点到直线的距离公式得：O到直线AB的距离|00|38d -==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=. 【另解】直线AB的方程3)4y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯=. 【2015年新课标Ⅰ卷，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A．( B．( C．( D．( 【答案】A【解析】从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||3y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y∈(33-，故选A ． 【2015年新课标Ⅰ卷，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】22325()24x y -+=【解析】由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-； （方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. 【2015年新课标Ⅱ卷，7】过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10【答案】C【解析】由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C. 【2015年新课标Ⅱ卷，11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a ，||MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2 = b 2 = c 2 -a 2，即c 2 = 2a 2，所以e = D.【2016年新课标Ⅰ卷，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【答案】A【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．【2016年新课标Ⅰ卷，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px=上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ． 【2016年新课标Ⅱ卷，4】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34- CD ．2 【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．【2016年新课标Ⅱ卷，11】已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---故选A ．【2016年新课标Ⅲ卷，11】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12（C ）23 （D ）34【答案】A【2016年新课标Ⅲ卷，16】已知直线l：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =则||CD =____________.【答案】4【2017年新课标Ⅰ卷，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A【解析】【法一】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知 11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴， 同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-， 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知：2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ；【2017年新课标Ⅰ卷，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【解析】【法一】如图，OA a =，AN AM b ==， ∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，∴tan AP OP θ==，又∵tan b a θ=b a =，解得223a b =，∴e =；【法二】如上图可知(,0)A a 到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===， 1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN ANb c e∠==∠=∴=====又，e∴=【法三】如图在等边三角形AMN ∆中,,AP FH b == 由OAP OFH ∆∆知2a a e c b c =⇒==；【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，132223ab c c b e a =⇒==；【法五】因为,AM b OA a ==且渐进线bxy a=可得三角形OAN 为双曲线三角线（即三边分别为,,ab c ），有几何意义易得30MAP MOA ∠=∠=t a n,33b MOA e a ∴∠====； 【2017年新课标Ⅱ卷，9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．3【答案】A【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即=，解得2e =.解法二：设渐进线的方程为y kx =，∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.【2017年新课标Ⅱ卷，16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ． 【答案】6【解析】∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==．【2017年新课标Ⅲ卷，5】已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B. 【2017年新课标Ⅲ卷，10】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A． BCD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a ==A 【2018年新课标Ⅰ卷，8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】过点)0,2(-且斜率为32的直线为)2(32+=x y ，① 将直线①代入抛物线方程得862-=y y ，解得⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==44y x ，则()2,1M ，)4,4(N .因为F 为抛物线焦点，则)0,1(F . 所以)2,0(=FM ，)4,3(=FN . 所以84230=⨯+⨯=⋅FM ，故选D.【2018年新课标Ⅰ卷，11】已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【解析】由题意，，则，的渐近线方程为y 31±=由于30=∠=∠MOF NOF ，则9060≠=∠NOM ， 由双曲线对称性，设90=∠OMN ，则，而2,90,30==∠=∠OF OMF FOM，故. 故选B.【2018年新课标Ⅱ卷，5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>为（ ）A．y = B．y = C．y = D．y =【答案】A【解析】c e a ==Q 2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴=因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ．【2018年新课标Ⅱ卷，12】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.23 B ．12 C ．13D ．14 【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==， 由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ． 【2018年新课标Ⅲ卷，6】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48， C． D．⎡⎣【答案】A【解答】由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB ==22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++==点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d -≤≤d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.【2018年新课标Ⅲ卷，11】设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ） AB ．2CD【答案】C【解答】∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1|||PF OP =，所以1||6PF a =；在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，222222224644633bb c a b c a c a c=⇒+-=⇒-=- 223c a ⇒=e ⇒=.【2018年新课标Ⅲ卷，16】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．【答案】2【解答】依题意得，抛物线C 的焦点为(1,0)F ，故可设直线:(1)AB y k x =-，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =，∴12124()2y y k x x k k+=+-=，2121212[()1]4y y k x x x x =-++=-.又11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，∴1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+++--12121212()1()1x x x x y y y y =++++-++2224411410k k k+=++--+=，∴2k =.二、解答题.【2010年新课标卷，20】设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.解：（Ⅰ)由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=则212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b =-+因为直线AB 斜率为1，所以12AB x -==得222443ab a a b =+ ∴222a b =∴E的离心率2c e a a ===（Ⅱ）设AB 中点为00(,)N x y ，由（I ）知 212022223x x a c x c a b +-===-+，003c y x c =+=由PA PB =得1k =- 0011y x +=- 得3c =∴a =，3b =∴轨迹E 的方程为221189x y += 【2011年新课标卷，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -. 所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-.再由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2124y x =-. （II ）设()00,P x y 为曲线21:24C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x . 因此直线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=. 则O点到l 的距离d =. 又200124y x =-，所以2014122x d +⎫=≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2.【2012年新课标卷，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点． （1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程； （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，且|BD|=2p ，圆F的半径||r FA ==，又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离||d FA ==．因为△ABD 的面积为24，所以1||2BD d ⋅⋅=122p ⋅= 所以24p =，由0>p ，解得2p =． 从而抛物线C 的方程为24x y =，圆F 的圆心F （0，1），半径||r FA == 因此圆F 的方程为22(1)8x y +-=． （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得1||||||2AD FA AB ==，所以30ABD ∠=︒，从而直线m当直线m的斜率为3时，直线m的方程为32py x =+，原点O 到直线m的距离1pd =．依题意设直线n 的方程为3y x b =+，联立232y x b x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得220x px pb -=，因为直线n 与C 只有一个公共点，所以24803p pb ∆=+=，从而6pb =-． 所以直线n的方程为36py x =-，原点O 到直线n的距离2pd =因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236p dpd ==．当直线m的斜率为m ，n 距离的比值也为3．【2013年新课标Ⅰ卷，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝. 当k时，将y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 【2013年新课标Ⅱ卷,20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.解：（Ⅰ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b+，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22=163x y +.（Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解析得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝3.由题意可设直线CD的方程为(3y x n n =+-<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |43|x x -由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅当n ＝0时，S.所以四边形ACBD. 【2014年新课标Ⅰ卷，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.解：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =c =又c a =， 所以，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. …….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =从而212143k PQ x -=-=，又点O 到直线PQ的距离d =，所以∆OPQ 的面积21214OPQS d PQ k ∆==+ ，设t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，2k =±等号成立，且满足0∆>， 所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：22y x =- 或22y x =--. 【2014年新课标Ⅱ卷，20】设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .解：（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34，∴2324b ac =，又222a b c =+，解得12c e a ==或2-（舍），故直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意知，点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac =⨯-+， 得24b a =…①，∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a=--， ∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a --，又∵23(,)24c b N a--在椭圆C 上， ∴4222291641b c a a b+=……②，联立①、②解得：7a =，b =【2015年新课标Ⅰ卷，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a=+（0a >）交于,M N 两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =处的导数值为，切线方程为y a x -=-0y a --=；同理，x =-值为，切线方程为y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k . 直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.【2015年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠,将y kx b =+代。

1．如图，在同一平面内，A ，B 为两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径都为r ，射线AB 交圆A 于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当r （r ≥12|rr |）变化时，l 与圆B 的公共点的轨迹是A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线2．设r 是椭圆r 25+r 23=1上的动点，则r 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ． 2√2B ． 2√3C ． 2√5D ． 4√23．双曲线r 23−r 2=1的焦点坐标是 A ． (−√2，0)，(√2，0) B ． (−2，0)，(2，0)C ． (0，−√2)，(0，√2)D ． (0，−2)，(0，2)4．已知椭圆r ：r 2r 2+r 24=1的一个焦点为(2 ， 0)，则r 的离心率为 A ． 13 B ． 12 C ． √22 D ． 2√235．直线r +r +2=0分别与r 轴，r 轴交于r ，r 两点，点r 在圆(r −2)2+r 2=2上，则△rrr 面积的取值范围是A ． [2,6]B ． [4,8]C ． [√2,3√2]D ． [2√2,3√2]6．已知双曲线r： r 2r 2−r 2r 2=1(r >0 ， r >0)的离心率为√2，则点(4,0)到r 的渐近线的距离为A ． √2B ． 2C ．3√22 D ． 2√2 7．双曲线r 2r 2−r 2r 2=1 (r >0, r >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A ． r =±√2rB ． r =±√3rC ． r =±√22rD ． r =±√32r8．已知r 1，r 2是椭圆r 的两个焦点，r 是r 上的一点，若rr 1⊥rr 2，且∠rr 2r 1=60°，则r 的离心率为A ． 1−√32 B ． 2−√3 C ． √3−12 D ． √3−19．已知抛物线C ：r 2=4r 的焦点是F ，准线是l ，（Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点P （9，6），若过F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N.求证：MF⊥NF.10．设常数r>2．在平面直角坐标系rrr中，已知点r(2 ， 0)，直线r：r=r，曲线r：r2= 8r(0≤r≤r ， r≥0)．r与r轴交于点r、与r交于点r．r、r分别是曲线r与线段rr上的动点．（1）用r表示点r到点r距离；（2）设r=3，|rr|=2，线段rr的中点在直线rr，求△rrr的面积；（3）设r=8，是否存在以rr、rr为邻边的矩形rrrr，使得点r在r上？若存在，求点r的坐标；若不存在，说明理由．11．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+r 24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．12．设椭圆r 2r 2+r 2r 2=1(r >r >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|rr |=√13． （1）求椭圆的方程；（2）设直线r :r =rr (r <0)与椭圆交于r ，r 两点，r 与直线rr 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△rrr 的面积是△rrr 面积的2倍，求r 的值．13．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 共线，求k .14．如图，在平面直角坐标系rrr 中，椭圆C 过点(√3,12)，焦点r 1(−√3,0),r 2(√3,0)，圆O 的直径为r 1r 2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于r ,r 两点．若△rrr 的面积为2√67，求直线l 的方程． 15．设抛物线22C y x =：，点()20A ，， ()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ， N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明： ABM ABN ∠=∠．16．已知斜率为r 的直线r 与椭圆r： r 24+r 23=1交于r ，r 两点．线段rr 的中点为r (1,r )(r >0)．（1）证明：r <−12；（2）设r 为r 的右焦点，r 为r 上一点，且rr ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +rr ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +rr ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：2|rr ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|rr⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+|rr ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |． 17．设抛物线r： r 2=4r 的焦点为r ，过r 且斜率为r (r >0)的直线r 与r 交于r ，r 两点，|rr | =8．（1）求r 的方程；（2）求过点r ，r 且与r 的准线相切的圆的方程．18．双曲线r 24−r 2=1的渐近线方程________．19．若双曲线r 2r 2−r 24=1(r >0)的离心率为√52，则a =_________.20．直线r =r +1与圆r 2+r 2+2r −3=0交于r ， r 两点，则|rr |=________．参考答案1．D【解析】【分析】利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线．【详解】设切线r与圆r的公共点r，过r作直线rr的垂线r，过r作rr⊥r，垂足为r，连rr，则rr=r，rr=rr=r，所以rr=rr，即动点r到定点r的距离等于动点r到定直线r的距离，且定点r不在定直线r上，根据抛物线定义知，动点r的轨迹是以r为焦点，r为准线的抛物线．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的定义，熟练掌握抛物线的定义是解决此题的关键.2．C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆r 25+r23=1的焦点坐标在x轴，a=√5，P是椭圆r 25+r23=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2√5．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．3．B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据r2=r2+r2求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为r 23−r2=1，所以焦点坐标可设为(±r,0)，因为r2=r2+r2=3+1=4,r=2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.点睛：由双曲线方程r 2r2−r2r2=1(r>0,r>0)可得焦点坐标为(±r,0)(r=√r2+r2)，顶点坐标为(±r,0)，渐近线方程为r=±rrr.4．C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为(2 ， 0)，从而求得r=2，再根据题中所给的方程中系数，可以得到r2=4，利用椭圆中对应r,r,r的关系，求得r=2√2，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知r=2，因为r2=4，所以r2=r2+r2=8，即r=2√2，所以椭圆r的离心率为r=22=√22，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中r,r,r的关系求得结果.5．A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到|AB|，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点∴A(−2,0),B(0,−2),则|AB|=2√2∵点P在圆（x−2）2+r2=2上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离r1=√2=2√2故点P到直线x+y+2=0的距离r2的范围为[√2,3√2]则r△rrr=12|rr|r2=√2r2∈[2,6]故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。