解析几何(文科)

高考文科解析几何专题解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

【重要知识点】1.两条相交直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1k2k1900,tan和l2所成的角，它的取值范围是，当，则有。

21kk12l1:A1某B1yC10的交点的直线系方程A1某B1yC1(A2某B2yC2)0(l:A某ByC022222.过两直线为参数，A2某B2yC20不包括在内）。

3.设点P(某0,y0)，直线l:A某ByC0,P到l的距离为d，则有dA某0By0CAB22.4.两点P1(某1,y1)、P2(某2,y2)的距离公式：|P1P2|(某2某1)2(y2y1)25.两直线l1:y1k1某1b1,l2:y2k2某2b2的位置关系：①l1l2k1k21②l1//l2k1k且2b1b6.若点P(某,y)分有向线段PP12所成的比为即PP1PP2,其中P1(某1,y1),P2(某2,y2).则：某某1某2yy2,y1117.过两点Pk1(某1,y1),P2(某2,y2)的直线的斜率公式：y2y1。

，ktan（0°≤＜180°）某2某18.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:A某ByC10,l2:A某ByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.2229.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(某a)(yb)r.222特例：（1）圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：某yr.（2）圆的参数方程：某arco（为参数）.ybrin10.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）抛物线与定点和直线的距离相等的点的轨迹.e=1▲y某o某方程标准方程参数方程范围中心顶点某2y221(ab>0)2ab某2y221(a>0,b>0)2aby2=2p某某acoybin(参数为离心角）─a某a，─byb原点O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)某轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bF1(c,0),F2(─c,0)某aecybtan(参数为离心角）|某|a，yR原点O（0，0）(a,0),(─a,0)某轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.F1(c,0),F2(─c,0)某2pt2y2pt(t为参数)某0(0,0)某轴对称轴焦点焦距离心率pF(,0)2e=12c（c=ab）222c（c=ab）22ce(0e1)ace(e1)a（1）弦长公式：若直线yk某b与圆锥曲线相交于两点A、B，且某1,某2分别为A、B的横坐标，则AB＝1k某1某2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1若弦AB所在直线方程设为某kyb，则AB＝1ky1y2。

解析几何讲义姚欲东高中解析几何所涉及到的图像一共有5个：直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线直线一般来说，我们都是在以下两种情况下来确定一条直线的方程的：1. 知道了直线的斜率k 和直线所经过的一点00(,)x y ，此时，直线的方程是00()y y k x x -=-；2. 知道了直线所经过的两点11(,)x y 和22(,)x y ，此时先计算出直线的斜率1212y y k x x -=-，再按照(1)中的方法计算；（对于垂直于y 轴的、形如x c =（c 是常数）的直线，斜率不存在，自然具体问题具体处理，后面类似的情况就不重复强调了） 直线的方程，常用的有以下两种形式： 1. y kx b=+其,k b R ∈，没有其他限制条件了，把直线方程化成这种形式一般是有以下两个目的：(1) 得到两个结论：该直线的斜率为k ，过点(0,)b(2) 求两直线11y k x b =+和22y k x b =+夹角θ的正切值，公式为1212tan 1k k k k θ-=+2. 0Ax By C ++= 其中,,A B C R ∈且220A B +>，把直线方程化成这种形式的目的一般是为了解决以下两个问题：(1) 求点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离d，公式为d =(2) 求两条平行直线10Ax By C ++=，20Ax By C ++=之间的距离d ，公式为d =还有两个结论必须要记住1. 若两直线平行，则两直线斜率相等；若两直线斜率相等，则两直线平行；2. 设两直线斜率分别为12,k k ，若两直线相互垂直，则有211k k =-圆1. 圆的定义：到平面内一定点的距离相等的点的集合；2. 圆的方程：222()()x a y b r -+-=，由方程可得，该圆圆心的坐标是(,)a b ，半径是r ；3. 关于圆有一个常用结论需要记住：给定圆的方程222()()x a y b r -+-=和圆上一点00(,)x y ，则过该点且与圆相切的直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=椭圆椭圆有两个定义，以后在做题时，如果碰到了求曲线轨迹的问题，若对轨迹的描述符合这两个定义，则直接判断该轨迹就是椭圆；1. 椭圆的第一定义：平面上有两个定点12,F F ，122(0)F F c c =>，平面上到12,F F的距离的和为定值2()a a c >的点的集合叫做椭圆；2. 椭圆的第二定义：平面内有一个定点和一条定直线（点不在直线上），设动点P 到该定点的距离为p d ，P 到定直线的距离为p l ，若p pd e l =，其中e 是定值且01e <<，则满足条件的动点的集合叫做椭圆；图中椭圆的方程为22221()x y a b a b+=>，这个方程的名字叫“椭圆的标准方程”；关于该椭圆，有以下几个结论必须记住：1. 线段12A A 的名字叫“椭圆的长轴”；线段12B B 的名字叫“椭圆的短轴”；点12,F F 的名字叫“椭圆的焦点”；线段12F F 的名字叫椭圆的焦距；直线12,l l 的名字叫“椭圆的准线”； 2. 图中正数,,a b c 满足关系式：222a c b =+； 3. 12PF PF ce PNPMa===，其中e 的名字叫“椭圆的离心率”；这里注意：圆的离心率0e =； 4.1020,PF a ex PF a ex =+=-；5. 过点P 且与椭圆相切的直线的方程为00221x x y ya b+= 有两个问题需要注意：1. 如果给出的椭圆方程为22221()y x a b a b+=>，则表示焦点在y 轴上的椭圆，相当于把上面的图逆时针旋转90 ，没有其他变化；当然我们还是熟悉焦点在x 轴上的椭圆，所以一旦遇到焦点在y 轴上的椭圆，一般先使问题等价于焦点在x 轴上的椭圆，然后再做。

已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222xy +=的位置关系，并证明你的结论.13高考已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.12高考已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ． 求证：,,A G N 三点共线．11高考已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.西城2设分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2． ⑴ 若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：丰台2已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．昌平1已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点(2,0)F ，点(2,1)D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.朝阳1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为63．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．东城1在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ． 证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点14高考⑴椭圆的标准方程为：22142x y +=，2a =，2b =,则2c =，离心率22c e a ==; ⑵直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下： 法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得2t =±,故直线AB 的方程为2x =±.圆心O 到直线AB 的距离2d =. 此时直线AB 与圆222x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--， 即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离()()00220022x ty d y x t -=-+-.又220024x y +=，02y t x =-，故 22000024222000002202422481642y x x x x d yx x x y xx++===+++++.此时直线AB 与圆222x y +=相切.法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥， ①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB 的距离为2，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A 的坐标22221212k k k ⎛⎫, ⎪++⎝⎭或22221212kk k ⎛⎫-,- ⎪++⎝⎭；联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点A 22221212k kk ⎛⎫, ⎪++⎝⎭进行计算， 于是直线AB 的方程为：()()22222212122222112212kk k ky x k x k k kkk--++-=+=+++++，即()()22212112220k k x k k y k -+-++++=，原点到直线AB 的距离()()2222222212112k d k k kk +==-++++,此时直线AB 与圆222x y +=相切。

北京一摸解析几何文科1本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()0,1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.2.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.3．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB 求直线AB 的方程．4.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心 的圆上，求k 的值．5（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，离心率为2，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.6.（本小题共14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.7（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求△ABM 的面积．8．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率35=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为12.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点M 、N 在椭圆上，点)1,1(E 为MN 的中点，求出直线MN 所在的方程； （Ⅲ）设直线)0(>=t t y 与椭圆交于不同的两点A 、B ，求OAB ∆的面积的最大值.9. （本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A ，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若223||=MN ，求直线MN 的方程． 10．（本小题满分14分）已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．答案1（共13分）（Ⅰ）解：由题意可知，1b =，c a = 解得2a =. …………4分所以椭圆的方程为2214x y +=. …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =，则002)2y y x =+.即002)2y DE x =+. …………7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即002)2y DF x =-. …………9分所以2200220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+--- ，………11分 又00(,)P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=,即220044y x =-，代入上式，得202414x DE DF x -⋅==-,所以||||DE DF ⋅为定值1. …………13分 2（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =………………………3分则椭圆的方程为2213x y +=. ………………………4分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==. 设(1,)3A，(1,3B -，则122233222k k +=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分 122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分 综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 3．（本小题满分14分）解：解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x ------------4分 （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------6分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ -----------8分所以221)23k AB k+=+ ， ------------11分由22AB k k =⇒=⇒= ------------13分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=． ---------14分 4.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c = ………………1分由3c e a ==， 得a = 从而2224b ac =-=． ………………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分 所以k = ………………14分 5（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又c a =，所以c = 所以 222431b a c =-=-=.所以 椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以||AP ==即 2||41AP k =+.类似可求||DE =所以2||||DE AP==………………………………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t +=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2. ………………………………………13分6．（本小题共14分）解：（I ）由已知可知22=a …………………………………1分设椭圆方程为18222=+b y x ，将点)1,2(P 代入解得22=b …………………………3分 ∴椭圆方程为12822=+y x………………………4分 （II ）∵直线l 平行于OP ，且在y 轴上的截距为m ,又21=op k m x y l +=∴21的方程为： （0≠m ） …………………………………6分 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ① ………………………………7分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，222)4(24)0m m ∴∆=-->（解得 22m -<<，且m ≠0.所以m 的取值范围是()()2,00,2 -. …………………………………9分 （III ）1k +02=k设()()2211,,,y x B y x A ，由①得42,222121-=-=+m x x m x x .…………………10分∵12121211,22y y k k x x --==--∴12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x= 22122424440(2)(2)m m m m x x --+-+=--120k k ∴+= ……………………………………………14分7．解：（Ⅰ）依题意2a =，2c a =，所以c = ……………………2分 因为222a b c =+，所以b = ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）因为直线l 的斜率为1，可设l ：y x m =+， ……………………6分则2224x y y x m⎧+=⎨=+⎩， 消y 得 2234240x mx m ++-=， ……………………7分 0∆>，得26m <． 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 1243mx x +=-，212243m x x -=． ……………………8分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+．…………………9分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分 所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x x m x x m -++-+=，1212122()4()80x x m x x x x m ++-+-=，224442()4()80333m m m m m -⋅+----=，所以8803m--=， 所以1(m =-∈． ……………………12分 所以 1243x x +=，1223x x =-．设△ABM 的面积为S ，直线l 与x 轴交点记为N ，所以1212133||||||222S MN y y x x =⋅⋅-=⋅-==14分 所以 △ABM8．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）解：由35==a c e ，得2295c a =. 再由222b ac -=，解得b a 32=.……………………………………… 2分 由题意可知122221=⨯⨯b a ，即6=ab . ∴92=a ，42=b ．∴所求椭圆的方程为14922=+y x ． ……………………………………… 4分 （Ⅱ）依题意，设MN 所在直线方程为)1(1-=-x k y ，即)1(--=k kx y联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=149)1(22y x k kx y ， …………………………………………5分 消去y 整理得036)1(9)1(18)49(22=--+--+k x k k x k .……………6分设),(11y x M ，),(22y x N ，则49)1(18221+-=+k k k x x . ………………7分∵)1,1(E 为MN 的中点，∴149)1(92=+-k k k .解得94-=k . ………………8分 ∴ 直线MN 的方程为 01394=-+y x . ………………………………9分（Ⅲ）依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+=14922y x t y ，得2423t x -±=．…………………………10分 ∴ 243||t AB -=． ……………………………………………………11分 ∴OAB ∆的面积222)4(234321t t t t S -=⨯-⨯= 32)4(2322=+-⨯≤t t ． ………………………………13分 当且仅当224t t -=，即2=t 时，等号成立.∴OAB ∆的面积的最大值为3． ………………………………14分 9解：（Ⅰ）由题意有11422=+b a ，22==a c e ，222c b a =-， 解得6=a ，3=b 3=c ， 所以椭圆方程为13622=+y x ……6分 （Ⅱ）由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为)3(-=x k y ，代入椭圆方程整理得061812)12(2222=-+-+k x k x k ……8分2=24240k ∆->，得21k <设M （x 1,y 1），N （x 2,y 2），则12122221+=+k k x x ，126182221+-=k k x x 2212221221))(1()()(||x x k y y x x MN -+=-+-=223]4))[(1(212212=-++=x x x x k 解得22±=k ，所求直线方程为)3(22-±=x y ……14分 19．（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a =，c =1b ==．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．………………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分 由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．…………………………………………………11分 则1221614k x x k +=+，1221214x x k⋅=+， 代入①，得()222121612401414k k k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．………………………………………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．………………………………14分。

高三数学文科解析几何讲义双曲线的方程及性质双曲线标准方程 x2y2??1〔a?0,b?0〕 a2b2y2x2??1〔a?0,b?0〕 a2b2 y P y F2 O 简图 F1 OF 2 x x P F1 焦点坐标顶点范围 F1??c,0?，F2?c,0? A1??a,0?，A2?a,0? x≥a，y?R F1?0,?c?，F2?0,c? A1?0,?a?，A2?0,a? y≥a，x?R 实轴: 线段A1A2=2a 虚轴: 线段B1B2=2b 准线渐近线方程焦半径 a2x?? c by??xaPF1???ex0?a?， a2y?? c ay??xb PF1???ey0?a?，几何P?x0,y0??C 性质对称性离心率 PF2???ex0?a? PF2???ey0?a? P在左支上用“?〞，， P在下支上用“?〞P在右支上用“?〞 P在上支上用“?〞关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； ce???1,??? ac?a2?b2 2a,b,c的关系焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2?b?cot?2〔?F1PF2??，b为虚半轴长〕 a2两准线间距离： cb2焦准距： c2b2通径〔过焦点与长轴垂直的弦〕： a一．双曲线定义：⑴第一定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a?F1F2的动点P的轨迹叫双曲线,其中两个定点F1,F2叫双曲线的焦点.第 1 页共 3 页双曲线的方程及性质当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为双曲线 ; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹不存在;当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1,F2为端点的两条射线⑵双曲线的第二定义:平面内到定点F与定直线L (定点F不在定直线L上)的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹为双曲线 2222【例】⑴一动圆与圆(x+3)+y＝1外切又与圆(x-3)+y＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.⑵设动点P到定点F1(-5，0)的距离与它到定点F2(5，0)的距离的差等于6，那么P点轨迹方程是( )x2y2y2x2x2y2y2x2A.-=1 B.-=1 C.-=1(x≥3) D.-=1(x≤-3)⑶如果双曲线-y=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜9等于( ) A.5+10 B.5+210 C.8 D.11二．双曲线方程及性质：见上表x2y2【例1】⑴假设方程+=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是( )2?mm?3A.-3＜m＜2或m＞3 B.m＜-3或m＞3 C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3x2y2 ⑵求双曲线方程：①与双曲线??1有共同的渐近线，且过点?3,23916x2y2②与双曲线??1有公共焦点，且过点32,2164x2y2??1的长轴端点为焦点，且过点P42,3 ③以椭圆259?15?④经过点?,3?，且一条渐近线方程为4x?3y?0?4???????⑤双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点4,?10 ??x22【例2】⑴设F1和F2为曲线-y=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF24的面积.⑵l1、l2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y-x=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.22①求l1的斜率k1的取值范围. ②假设｜A1B1｜=5｜A2B2｜；求l1、l2的方程.⑶假设双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的连线互相垂直，求P点的坐标x22⑷F1、F2为双曲线－y＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，那么△F1PF24的面积是( ) A．2 B．4 C．8 D．16xyx2y2⑸椭圆＝1有相同焦点，那么a的值是______ ?2＝1与双曲线2?4a2ax2y2⑹F1、F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值?169第 2 页共 3 页22双曲线的方程及性质是______．22⑺曲线C：x－y＝1及直线l：y＝kx－1．①假设l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；②假设l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值x2y2y2x2三．共轭双曲线〔与2?2?1共渐近线的双曲线〕方程2－2??〔??0〕． baba四．最值问题y2【例】设P是双曲线x??1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，A?3,1?， 31①求PA?PF的最小值；②求PA?PF的最小值.22第 3 页共 3 页。

第六讲 解析几何(文)第一节 曲线与方程曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在0.45~0.65之间.考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程. 题型一 曲线与方程例1 设集合{(,)|(,)0,,}x y F x y x y R =∈非空.如果命题“坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上”不正确,给出以下四个命题：①曲线C 上的点的坐标都满足方程(,)0F x y =；②坐标满足方程(,)0F x y =的点有些在C 上,有些不在C 上；③坐标满足方程(,)0F x y =的点都不在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点,并且其坐标满足方程(,)0F x y =.那么正确命题的个数是( ).A.1B.2C.3D.4 点拨：直接用定义进行判断.解：“坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上”不正确,意味着“坐标满足方程(,)0F x y =的点不都在曲线C 上”是正确的,即一定有不在曲线C 上的点,并且其坐标满足方程(,)0F x y =,∴④正确；曲线C 上的点的坐标可以有不满足方程(,)0F x y =的,∴①错；若满足方程(,)0F x y =的(,)x y 只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A.易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申1.方程22x +2.已知定点00(,)P x y 不在直线l ：(,)0f x y =上,则方程00(,)(,)0f x y f x y -=表示一条( ). A.过点P 且平行于l 的直线 B.过点P 且垂直于l 的直线 C.不过点P 但平行于l 的直线 D.不过点P 但垂直于l 的直线 题型二 代入法(相关点法)求曲线方程例2 已知点(1,0)F ,点A 、B 分别在x 轴、y 轴上,且2AP AB = ,AB FB ⊥,当点B 在y 轴上运动时,求点P 的轨迹方程.点拨：由AB FB ⊥ 确定A 与B 的坐标关系,由2AP AB =建立动点P 与A 、B 的坐标关系,用代入法求轨迹方程.解：设(,)P x y ,(,0)A a ,(0,)B b ,又(1,0)F ,则(,)AP x a y =- ,(,)AB a b =- ,(1,)FB b =-.由AB FB ⊥ ,得2(,)(1,)0AB FB a b b a b ⋅=-⋅-=+= ①.由2AP AB = ,得(,)2(,)x a y a b -=-,∴2x a a -=-,2y b =,即a x =-,2y b =,代入①得,22()0yx -+=,即24y x =,当0x =时,三点A 、B 、P 重合,不满足条件图611--AB FB ⊥,∴0x ≠,故点P 的轨迹方程为24(0)y x x =≠.易错点：忽视轨迹方程中的0x ≠. 变式与引申3.已知O 为坐标原点,点M 、P 分别在x 轴、y 轴上运动,且||7MP =,动点N 满足25MN NP =,求动点N 的轨迹方程.题型三 待定系数法、直接法求曲线方程例3 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.⑴求椭圆C 的方程；⑵若P 为椭圆C 的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,||||OP OM e =(e 为椭圆C 的离心率),求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆C 的方程；问题⑵将点P 、M 的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点M 的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量x 的取值范围. 解：⑴设椭圆C 的标准方程为221(0)x yab a b +=>>,半焦距为c ,则17a c a c -=⎧⎨+=⎩,解得4a =,3c =,∴27b =.故椭圆C 的标准方程为221671xy+=.⑵设(,)M x y ,1(,)P x y ,其中[4,4]x ∈-.由已知得221222x y x ye ++=,而34e =,∴2222116()9()x y x y +=+.由点P 在椭圆C 上,得221112716xy -=,代入上式并化简得29112y =,故点M 的轨迹方程为344)y x =±-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段.易错点： 第⑵小问中未注意到点M 与P 的坐标关系,会造成求点M 轨迹方程的思路受阻；忽视变量x 的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断. 变式与引申4.已知椭圆C ：221(0)x y aba b +=>>的离心率为3,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切.⑴求椭圆C 的方程；⑵设该椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ,直线1l 过2F 且与x 轴垂直,动直线2l 与y 轴垂直,2l 交1l 与点P ,求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题例4 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A 、B 两点的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域. ⑴求考察区域边界曲线的方程；⑵如图所示,设线段12P P 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km ,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间,点A 恰好在冰川边界线上？点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察 区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列 求和公式等知识能使第⑵小问获解.解：⑴设考察区域边界曲线上点P 的坐标为(,)x y .则由||||108PA PB +=>知,点P 在以A 、B 为焦点,长轴长为210a =的椭圆上,此时短半轴长3b =,故考察区域边界曲线的方程为222591xy+=.⑵易知过点1P 、2P 的直线方程为43470x y -+=,∴点A 到直线12P P的距离|1647|315d -+==.设经过n 年,点A 恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得0.2(21)31215n--=,解得5n =.故经过n 年,点A 恰好在冰川边界线上.易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误. 变式与引申5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为22100251xy+=,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、647(0,)M 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为(8,0)D .观测点(3,0)A 、(5,0)B⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；⑵试问：当航天器在x 轴上方时,观测点A 、B 测得离航天器的距离 分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？ 本节主要考查：⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程；⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题；⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单； ②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程.⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力. 点评：⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有：①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立x ,y 之间的关系(,)0f x y =(如例3第2问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)；图613--图614--②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例3第1问)；③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例4)；④代入法(相关点法)：有些问题中,动点(,)P x y 是随着另一动点00(,)Q x y (称之为相关点)而运动的,并且点00(,)Q x y 在某已知的曲线上,这时可先用x 、y 的代数式来表示0x 、0y ,再将0x 、0y 的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例2及变式).⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答.⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.习题6-11.方程2x xy x +=的曲线是( ).A.一个点B.一条直线C.一个点和一条直线D.两条直线2.已知双曲线22221(0,0)x y aba b -=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同.则双曲线的方程为__________.3.已知椭圆221(0)x y aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,离心率2e =,右准线方程为2x =.⑴求椭圆的标准方程；⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M 、N 两点,且223||F M F N += ,求直线l 的方程.4．（2011高考江西卷·文）已知过抛物线()y px p =2>0的焦点，斜率为(,)A x y 11 和(,)()B x y x x 2212<两点，且AB =9. （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+u u u r u u r u u u r，求λ的值．第二节 圆锥曲线圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在0.3~0.7之间.考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用 例1 ⑴已知点F 为椭圆22951xy+=的左焦点,M 是此椭圆上的动点,(1,1)A 是一定点,则||||MA MF +的最大值和最小值分别为________.⑵已知双曲线的虚轴长为6,离心率为2,1F 、2F 分别是它的左、右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项,则||AB =________.点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a 的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求||AB 的值. 解：⑴设椭圆右焦点为1F ,则1||||6MF MF +=,∴1||||||||6MA MF MA MF +=-+.又111||||||||AF MA MF AF -≤-≤(当M 、A 、1F 共线时等号成立).又1||AF =,∴||||6MA MF +≤||||6MA MF +≥故||||MA MF +的最大值为6+,最小值为6.⑵依题意有222226ca b c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得a =∵A 、B 在双曲线的左支上,∴21||||2AF AF a -=,21||||2BF BF a -=,∴2211||||(||||)4AF BF AF BF a +-+=.又22||||2||AF BF AB +=,11||||||AF BF AB +=.∴2||||4AB AB a -=,即||4AB a =.∴||4AB =⨯=.易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M 、A 、1F 三点共线求出||||MA MF +的最值也是值得注意的问题.变式与引申1.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定的点(2,4)A ,||PA d +的最小值为( ).A.B.112.设1F 、2F 分别是椭圆E ：2241xy +=的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项,则||AB =________. 题型二 圆锥曲线的标准方程例2 已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：22221(0)x y aba b +=>>⑴求椭圆2C 的离心率；⑵设(3,)Q b ,又M ,N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点,若QMN ∆的 重心在抛物线1C 上,求1C 和2C 的方程.点拨：问题⑴：将2C 的焦点坐标代入1C 的方程,得出,b c 的关系式,进而求出2C 的离心率；问题⑵：利用图621--问题⑴的答案,联立1C 、2C 的方程先得出M 、N 坐标,再利用QMN ∆的重心在抛物线1C 上,求1C 、2C 的方程.解：⑴∵抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点1(,0)F c -,2(,0)F c ,∴220c b b +⨯=,即22c b =, ∴22222a b c c =+=,∴椭圆2C的离心率2c a e ==.⑵由⑴可知222a b =,椭圆2C 的方程为2221xy bb+=,联立抛物线1C 的方程22x by b +=,得2220y by b --=,解得2by =-或y b =(舍去),∴2x =,即22(,)b M -,22(,)bN -,∴QMN ∆的重心坐标为(1,0).∵重心在1C 上,∴2210b b +⨯=,得1b =.∴22a =. ∴抛物线1C 的方程为21x y +=,椭圆2C 的方程为2221xy +=.易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立1C 、2C 的方程后,计算错M 、N 坐标. 变式与引申3.求经过两点2)A -和(B -的椭圆的标准方程.4.已知椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=相交于A 、B 两点,C 是AB 的中点,若AB =OC的斜率为2,求椭圆的方程.题型三 圆锥曲线的几何性质 例3 如图62-,已知F 为椭圆221(0)x yab a b +=>>的左焦点,过点Fb椭圆于点A 、B 两点.⑴若直线AB 的倾斜角为θ,求证：cos e θ=(e 为椭圆的离心率)；⑵若BF FA λ= ,且1223(,)λ∈,求椭圆的离心率e 的取值范围.点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件, 运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证；对于⑵则运用平几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率e 的不等式,进而求出e 的取值范围. ⑴解法1：∵tan bc θ=,∴222222sin 1cos cos cos b cθθθθ-==,即2222222cos b accce θ+===,又tan 0bcθ=>,∴cos 0θ>,故cos e θ=.解法2：依题意直线AB 的分别为()b b ccy x c x b =+=+,∴点A 的坐标为(0,)b ,故cos c ae θ==.⑵解：∵BF FA λ= ,∴||||||||BFF x x BF FA x λ-==.将直线b cy x b =+代入椭圆22221x y ab+=,整理得2222(1)0aa ccx x ++=,∴0A x =,22B c a a cx +=-.∵BF FA λ= ,∴2222||||||||||B FF x x BF FA x a c c a ccλ--++===图622--222221121231(,)aa c e a ca ce-+++-=-==∈,解不等式2112213e e+-<<,得21153e <<,∴53e <<,故椭圆的离心率e 的取值范围为53(.易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致cos θ的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻.变式与引申5.给定抛物线C ：24y x =,过点(1,0)A -斜率为k 的直线与C 交于M ,N 两点. (Ⅰ)设线段MN 的中点在直线3x =上,求k 的值；(Ⅱ)设AM AN λ=,23[k ∈,求λ的取值范围.题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题例4 已知椭圆C ：221(0)xy aba b +=>>的离心率为3,过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.当l的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为2.⑴求a 、b 的值；⑵C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+uu u r uu r uu u r成立？若存在,求出所有的点P 的坐标与l 的方程.若不存在,说明理由.点拨：问题⑴可先写出l 的方程,再利用点O 到l 的距离和椭圆的离心率求出a 、b 的值；问题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的l 是否存在.但需考虑l 转动时斜率不存在情形.解：⑴设(,0)F c ,当l 的斜率为1时,其方程为0x y c --=,点O 到l2==,∴1c =.由3ca e ==,得a =b = ⑵C 上存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+uu u r uu r uu u r成立.由⑴知C 的方程为 22236x y +=.设11(,)A x y ,22(,)B x y .①当l 不垂直x 轴时,设l 的方程为(1)y k x =-.C 上的点P 使OP OA OB =+uu u r uu r uu u r成立的充要条件是P 的坐标为1212(,)x x y y ++,且2212122()3()6x x y y +++=,即222211221223234x y x y x x ++++ 1266y y +=.又A 、B 在C 上,∴2211236x y +=,2222236x y +=,∴12122330x x y y ++= ①将(1)y k x =-代入22236x y += ,整理得2222(23)6360k x k x k +-+-=, 于是 212623kkx x ++=,2126323k kx x -+=,221212423(1)(1)kky y k x x -+=--=.代入①解得,22k =,此时1232x x +=,于是12122(2)ky y k x x +=+-=-,即322(,)kP -.因此,当k =,322(,)P ,0y +；当k =,322(,P ,l 0y -.②当l 垂直于x 轴时,由(2,0)OA OB +=u u r u u u r知,C 上不存在点P ,使OP OA OB =+uu u r uu r uu u r 成立.综上,C 上存在点322(,P 使OP OA OB =+uu u r uu r uu u r 成立,此时l 0y ±=.易错点：本题涉及字母较多,思路不清晰,运算能力不强易导致错解发生；直线l 垂直于x 轴情形易遗漏,需值得注意. 变式与引申6.如图,过点(0,1)N 和(,1)(0)M m m -≠的动直线l 与抛物线C ：22x py =交于P 、Q 两点(点P 在M 、N 之间),O 为坐标原点.⑴若2p =,2m =,求OPQ ∆的面积S ；⑵对于任意的动直线l ,是否存在常数p ，总有MOP PON ∠=∠？若存在,求出p 的值；若不存在,请说明理由.本节主要考查：⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形, 焦半径等)以及这些知识的综合应用；⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力. 点评：⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例1)与性质(如例3)、求圆锥曲线方程(如例2)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例4)等.⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算.⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量a 、b 、c 的关系式,并求其值；④定式——据a 、b 、c 的值写出圆锥曲线方程. ⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量a 、b 、c 的一个方程(求大小)或找到关于基本量a 、b 、c 间的不等关系(求范围)即可.⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式0∆>或0∆<；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中a x a -≤≤等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题.⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.习题6-21.已知椭圆中心在原点,左、右焦点1F 、2F 在x 轴上,A 、B 是椭圆的长、短轴端点,P 是椭圆上一点,且1PF x ⊥轴,2//PF AB ,则此椭圆的离心率是( ).A.12B.5C.13D.22.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，交其准线于C 点，若3CB BF =，则直线l 的斜率为___________．3.已知定点(1,0)A -,(2,0)F ,定直线l ：12x =,不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . ⑴求E 的方程；⑵试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ,并说明理由.图623--4.如图,已知直线l ：2y kx =-与抛物线C ：22(0)x py p =->交于A 、B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--. ⑴求直线l 和抛物线C 的方程；⑵若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时,求ABP ∆面积的最大值.第三节 直线与圆锥曲线的位置关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.3～0.5左右.考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法.（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.题型一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 在平面直角坐标系y x 0中,经过点()2,0且斜率k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围.（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ,使的向量Q O P O +与B A共线？如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.点拨:(1)设出L 的方程2+=kx y 与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出k 的范围. (2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出k ,再根据k 的取值范围确定k 是否存在.解： (1)由已知条件,直线l 的方程为2+=kx y 代入椭圆方程得1)2(222=++kx x ① 整理得(0122)21(22=+++kx x k 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于△=024)21(48222>-=+-k k k 解得.2222>-<k k 或 即k 的的取值范围为).,22()22,(+∞⋃--∞ (2)设P(),(),,2211y x Q y x , 则Q O P O +=),(2121y y x x ++ 由方程①得,2124221kkx x +=+ 图624--又22)(2121++=+x x k y y 而A ),1,2(),1,0(),0,2(-=B A B 所以Q O P O+与B A 共线等价于)(22121y y x x +-=+ 解得,22=k 由(1)知.2222>-<k k 或矛盾,故没有符合题意的常数k . 易错点: 忽视k 的取值范围导致错误. 变式与引申1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F,若过点F 且只有一个交点,则此双曲线离心率是( )A ．(1,2]B ．)2,1(C ．[2，+∞)D ．),2(+∞ 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题例2如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S . （1）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （2）当||2,1AB S ==时，求直线AB 的方程.点拨:(1)联立方程组解出A 、B 两点的坐标,求出ABO ∆的面积,再利用均值不等式求解.(2)根据已知列方程组,求出k,b.解（1）：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得12x =±，2121x x b S -==212b b -2211b b +-=≤．当且仅当b =时，S 取到最大值1． （2）：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x b kx y 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 2241k b ∆=-+，11||||AB x x =-224k ==+ …………②设O 到AB 的距离为d ，则 21||S d AB ==，又因为d =，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是y x =+或y x =或y =，或y =易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错. 变式与引申2.设椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A ﹑B 两点，点C 是AB 的中点，若,22=AB OC的斜率为,22求椭圆的方程. 题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题例3 已知双曲线的方程为.1322=-y x （1）求以A （2，1）为中点的弦所在直线的方程；（2）以点B （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由. 点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设 点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.解：（1）设),(),,(222211y x P y x P 是弦的两个端点，则有.13,1322222121=-=-y x y x 两式相减得 .03))(())((21212121=-+--+y y y y x x x x ①∵A （2，1）为弦21P P 的中点，∴2,42121=+=+y y x x ， 代入①得 .3)(2)(42121y y x x -=- ∴621=p p k .故直线21P P 的方程为0116),2(61=---=-y x x y 即 （2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求.023=--y x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0231322y x y x 得.071262=+-x x∵△=,0764122<⨯⨯-∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视.变式与引申3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F )0,7(，直线1-=x y 与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x题型四 有关对称问题 例4椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点21,F F ,点P 在椭圆C 上，且.314,34,2121==⊥PF PF PF PF (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A,B 关于点M 对称，求直线l 的方程.点拨：（1）抓住定义，点P 到两焦点的距离之和为2a ，可求a ，利用勾股定理可求c .（2）利用“设而不求”法求解.解：（1）因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a 即3=a在5221222121=-=∆PF PF F F F PF Rt 中，，故椭圆的半焦距c =5，从而4222=-=c a b 所以椭圆C 的方程为14922=+y x . （2）法一：已知圆的方程为()()51222=-++y x 所以圆心()1,2-M ，设()().,,,2211y x B y x A 8由题意得21x x ≠ 1492121=+y x 且 1492222=+yx得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ○1因为A,B 关于点M 对称，所以2,42121=+-=+y y x x 代人○1得982121=--x x y y 即直线L 的斜率为98，所以直线L 的方程为()即,2981+=-x y 02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意） 法二：设()().,,,2211y x B y x A 已知圆的方程为()()51222=-++y x 所以圆心()1,2-M .从而可设直线L 的方程为()12++=x k y 代入椭圆C 方程得()()02736361836942222=-+++++k k x k k x k 因为A,B 关于点M 对称，所以98,29491822221=-=++-=+k k k k x x 解得，所以直线L 的方程为02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意）易错点：单独求解A,B 两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便. 变式与引申4. 在平面直角坐标系xOy 中，过定点()p C ,0作直线与抛物线()022>=p py x(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.本节主要考查：1.()0,0==++y x f C C By Ax L ：与圆锥曲线：直线的位置关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍.习题6-31. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45 B. 5 C. 25 D.5 2. 已知P (1,1)为椭圆12422=+y x 内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P （1，1）点被平分，此弦所在的直线方程.3．直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.4. 直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A 、B 两点 （1）当k 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上；。

高中文科数学解析几何部分整理考点：平面直角坐标系，直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式 一、 知识点 1.直线的方程1）倾斜角：范围0≤α＜180，0l x l x α=︒ 若轴或与轴重合时，。

90l x α⊥=︒若轴时，。

2）tan k α=斜率： ()()2111122221,,,y y P x y P x y k x x -=⇒=-已知平面上两点1290,x x k α==︒当时，不存在，0;0k k αα><为锐角时，为钝角时， 3）直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b 不含y 轴和平行于y 轴的直线点斜式：()11y y k x x -=- 不含y 轴和平行于y 轴的直线两点式：121121x x x x y y y y --=--不含坐标轴，平行于坐标轴的直线截距式：1=+by ax 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式：Ax+By+C=0 A 、B 不同时为0几种特殊位置的直线：①x 轴：y=0②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b ④平行于y 轴：x=a 原点：y=kx 或x=04）直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k 为参数y-y0=k （x-x0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） 注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。

（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 Bx-Ay+入=0表示与Ax+By+C 垂直的直线系2.两直线的位置关系L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0 L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行⇔k1=k2且b1≠b2212121C C B B A A ≠=无解重合⇔k1=k2且b1=b2212121C C B B A A == 有无数多解相交⇔k1≠k22121B B A A ≠有唯一解垂直⇔ k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0有唯一解3.几个距离公式：1）点到直线距离：2200B A cBy Ax d +++=（已知点（p0(x0,y0)，L ：Ax+By+C=0）注：若直线为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=2）点(),a b 到直线的距离为0021ka b y kx d k -+-=+（这是斜率法经常用到的）3）两行平线间距离：L1=Ax+By+C1=0 L2：Ax+By+C2=0⇒2221B A c c d +-=4)点间的距离公式()()22121212PP x x y y =-+-4.圆 1)圆的方程一般式：22x y a y 0x b c ++++=配方得：22224(x+)(y+)224aba b c+-+=圆心为：（2a，2b），半径为2242a b c+- 标准式：22200(x-x )(y )y r +-=， 圆心为（x ，y ），r 为该圆半径。

2023年高考文科数学解析分类汇编解析
几何(逐题详解)
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1. 知识点梳理：对解析几何的相关知识点进行梳理和总结，确保学生对所需知识有全面的了解。

2. 题目分类：将解析几何的高考题目进行分类，包括直线与圆的性质、三角形与四边形的性质等，便于学生有针对性地进行研究和练。

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专题05 解析几何一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点.若22F N M N F F →→→⋅=-，则sin 2θ=（ ）AB ．13CD【答案】D 【解析】如图所示，过点M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，直线l 与准线交于点E ，由题意可得||2||FM FN →→=， 设||FN x =，则||2FM x =，由抛物线的定义可知，||CN x =，||2MD x =， ||||1||||2CN EN MD EM ==， 所以||3EN x =,在ENC △中，||1cos cos ||3CN ENC EN θ∠===，所以sin θ=则sin 22sin cos θθθ== 故选：D.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．1【答案】D【解析】根据题意，得tan2α=，所以21tan221tantan2aαα-==.故选：D.3.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，离心率为e，则1be c+的最大值是（）ABCD．2【答案】B 【解析】因为c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，所以c则1b a be c c++===当且仅当a b=时，等号成立.故选：B.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆2222:1x yCa b+=(0a>，0b>)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且2QA QP QB+=，若||PF的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（）A．22198x yB．2212516x y+=C．2213632x y+=D．2214936x y+=【答案】C【解析】如图，连接OB，AQ，则OB 是PAQ △的中位线， ||||1||||2OB OF AQ FA ∴==，即12c a c =-， 3a c ∴=，又||PF 的最小值为a c -，4a c -=，6a ∴=，2c =，22232b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为2213632x y +=.故选：C.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:0l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）A ．||||PM PN +的最小值为B ．PM PN ⋅为定值C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B 【解析】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为2)N '，所以||||PM PN +的最小值为MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确故选：B6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．1CD 【答案】D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，则点2(,0)F c 到渐近线b y x a=±的距离2PF b =，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a S S ab b ======，所以ab =，离心率c e a =故选：D7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>来说，我们定义圆222x y a +=为它的“伴随圆”.过双曲线22241(0)9x y a a -=>的左焦点1F 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T ，且这条切线与双曲线的右支相交于点P .若M 为1PF 的中点，M 在T 右侧，且||||MO MT -为定值12，则该双曲线的离心率为_______.【解析】如图，设2F 为双曲线的右焦点，在1Rt OFT 中，1,||OF c OT a ==，所以1||TF b =，()()21121121111112222MO MT PF MF TF PF PF TF PF PF TF ⎛⎫-=--=--=-+ ⎪⎝⎭3122b a a =-=-=，解得1a =，所以c e a ==2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】1) 【解析】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =.由题意知，2222(20)401a a b+-=，解得30,a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O以下1)cm . 故答案为：1) 三、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆22:(32M x y +=，点Q 是圆M上的一个动点，点(N .若线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T . （1）求动点T 的轨迹曲线C 的方程；（2）设O 是坐标原点，点(2,1)P ，点R （异于原点）是曲线C 内部且位于y 轴上的一个动点，点S 与点R 关于原点对称，直线,PR PS 分别与曲线C 交于A ，B （异于点P ）两点.判断直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.【答案】（1）22182x y +=；（2）过定点，(0,2)-. 【解析】（1）由题意可知，||||||||TM TN TM TQ r MN +=+==>=∣， 所以动点T 的轨迹为以M ，N 两点为焦点的椭圆.设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c，则2,a a c ==由222a b c =+，得b =所以曲线C 的方程为22182x y +=.（2）设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx t A x y B x y =+，由221,82,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()222148480k x ktx t +++-=， 则()()()22222(8)4144816820kt k t k t ∆=-+-=-+>，2121222848,4141kt t x x x x k k -+=-=++. 又直线PA 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 即1111(2)2kx t y x x +--=--，令0x =，得11(12)22k x ty x --=-.因此点R 的坐标为11(12)20,2k x t x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得，22(12)20,2k x t S x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 由OS RO =，得1212(12)2(12)2022k x t k x tx x ----+=--，化简得()1212(24)(242)80k x x k t x x t ---+++=，即222488(24)(242)804141t kt k k t t k k -⎛⎫-⨯--+-+= ⎪++⎝⎭， 整理得22420kt k t t +++-=， 即(2)(21)0t k t ++-=.因为(2,1)P 不在直线y kx t =+上，故210k t +-≠，所以20,2t t +==-，此时，由0∆>，得214k >. 因此直线AB 过定点(0,2)-.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点． （Ⅰ）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （Ⅰ）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（Ⅰ）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（Ⅰ）13λ=． 【解析】解：（Ⅰ）焦点到准线l 的距离为p ，又ⅠBF FD =，60BFD ∠=︒，ⅠBFD △为正三角形．ⅠBF =2p B ⎛- ⎝，Ⅰ21sin 602BFDS BF =︒=△2p ∴=， Ⅰ圆F 为：()221613x y -+=． （Ⅰ）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=Ⅰ12AD AF AB ==，6DBA π∴∠=Ⅰ直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+=-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩， Ⅰ()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=．3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k -成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k +++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k-⨯， 所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 【答案】（1（2）1y x =±. 【解析】解：（1）由椭圆E 的方程可得(,0),(,0)A a B a -． 设()00,M x y ，则()00,N x y -， 所以200022000.MA NBy y y k k x a x a x a -⋅=⋅=-+--． 又点()00,M x y 在椭圆E 上，所以2200221x y a b+=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以220222014MA NBy b k k x a a ⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e ． （2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．设直线l 的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立221,4,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2258440x mx m ++-=，则()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得25m <，所以21212844,55m m x x x x -+=-=， 所以124,255S S S x x m mx y x m +==-=+=， 所以4,55m m S ⎛⎫-⎪⎝⎭． 由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥， 所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m ==++，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．。

重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（ ）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（ ）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（ ）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（ ）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（ ）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。