2010~2018江苏高考解析几何汇编(文)

（全国1卷4）答案：（全国1卷15）答案：（全国1卷20）答案：（全国2卷6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 答案：A（全国2卷11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-答案：D（全国2卷20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．（全国3卷8）答案：A（全国3卷10）答案：D（全国3卷20）答案：（北京卷10）已知直线l过点（1,0）且垂直于ε，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案：（1,0）（北京卷12）答案：4（北京卷20）已知椭圆的离心率为，焦距2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线PA与椭圆M的另一个交点C，直线PB与椭圆M的另一个交点D.若C,D和点共线，求k.（天津卷7）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12和d d 且12+=6d d ，则双曲线方程为（A ）22139-=x y （B ）22193-=x y （C ）221412-=x y （D ）221124-=x y 答案：A解析：2==ce a，2=c a ， 在梯形ABCD 中，+2=AC BD FE ,FE 为渐焦距=b ，1226∴+==d d b 3∴=b222+=a b c 2229,12=3,∴==a b c∴22139-=x y（天津卷12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为答案：2220x x y -+= 解析：因为圆过（0,0）（2,0）所以圆心在x=1上，设其坐标为（1，b ） 又因为（1,1）在圆上所以10,1r b br =-=?=22(1)1,x y -+=即2220x x y -+=（天津卷19）(19)（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率|AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:l y kx = (k ∆0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P,M 均在第四象限，若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值。

2010-2018新课标全国卷分类汇编新课标全国（1）（解析几何）（目录索引：可按ctrl ＋题号直接找到该题）1. (2010课标全国，理12) 已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B)22145x y -=(C)22163x y -= (D)22154x y -= 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，双曲线方程为22221x y a b-=，∵AB 过F ，N ，∴斜率1AB k =∵2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，∴两式差有1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-+-=，∴2245b a =，又∵229a b +=，∴224,5a b ==，应选B2. (2010课标全国，理15) 过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为22(3)2x y -+=解析： 设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032b OB b -∴=-=-与切线垂直，即22C (3)2r OB x y ==-+=圆的方程为3.(2010课标全国，理20) 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程 解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()()222222220a b x a cx a c b +++-= 则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b --+==++因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3ab a a b =+故222a b = 所以E的离心率2c e aa === （II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=。

1.双曲线定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P ＝{M ||MF 1－MF 2|＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <F 1F 2时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >F 1F 2时，P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________. 答案5解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是____________.答案 (－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析 由题意知(2＋m )(m ＋1)>0， 解得m >－1或m <－2.3.(2016·无锡一模)已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，那么双曲线的离心率为________. 答案103解析 根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝13，所以ca ＝1＋(b a )2＝103，即双曲线的离心率为103. 4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________.答案 210解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5.双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________.答案255解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)， 一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ， 因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22， ∴PF 1＝2PF 2＝42，则cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，所以PF 1·PF 2＝8，所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2 3.2.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22， 由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝16，所以PF 1·PF 2＝4， 所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP ＋AF 2的最小值为__________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________.答案 (1)37－25 (2)x 24－y 2＝1解析 (1)由题意知，AP ＋AF 2＝AP ＋AF 1－2a ，要求AP ＋AF 2的最小值，只需求AP ＋AF 1的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则AP ＋AF 1＝PF 1＝[3－(－3)]2＋(1－0)2＝37， ∴AP ＋AF 2的最小值为AP ＋AF 1－2a ＝37－2 5.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·盐城三模)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为______. (2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________. 答案 (1)2 (2)32解析 (1)若四边形OAFB 为菱形，且点A 在圆x 2＋y 2＝r 2上，则点A 坐标为(c 2，32c )，此时r＝c .又点A 在渐近线上，所以32c ＝b a ·c 2，即ba＝3， 所以e ＝1＋(ba)2＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝ba x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b ax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， 即2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________.答案2解析 离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2016·苏州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2有两个不同的交点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1). 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24－y 23＝1.设过点M (0,1)的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点.若AM →＝2MB →，则直线l 的斜率为________. 答案 ±12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 213＝1，x 224－y 223＝1. 又AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1).所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2，代入双曲线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，所以A (4,3)，B (－2,0)或A (－4,3)，B (2,0)，故k ＝3－04＋2＝12或k ＝3－0－4－2＝－12，即直线l 的斜率为±12.10.直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0).①∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1.(2015·福建改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝________. 答案 9解析 由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴PF 2－PF 1＝6， ∴PF 2＝9.2.(2016·全国乙卷改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________. 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.3.(2016·盐城模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若AB ＝5，则△ABF 1的周长为________. 答案 26解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ＝8， ∴AF 1＋BF 1＝AF 2＋BF 2＋16＝21，∴△ABF 1的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝21＋5＝26.4.(2016·常州模拟)已知双曲线x 29－y 2m＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为____________.答案 y ＝±43x 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0， 解得x ＝5或x ＝－1.又a ＝3，故c ＝5，所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x . 5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________.答案 (1,2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， ∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0， 整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2).6.(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________.答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8.7.(2016·南京三模)设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________.答案 5解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，设F (－c,0)，线段PF 的中点为(0，b )，则P (c,2b ).由点P 在双曲线上，得c 2a 2－4＝1，所以e ＝ 5. 8.设双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为____________.答案 (655，2) 解析 由双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1F 2＝6，设P (x ，y ) (x >0，y >0)，因为△PF 1F 2的面积为6，所以12F 1F 2·y ＝12×6×y ＝6，解得y ＝2，将y ＝2代入x 24－y 25＝1得x ＝655.所以P (655，2). 9.(2016·扬州一模)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为______.答案 2解析 由题意知渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－b a (x －c )交于点M ，解得M (c 2，bc 2a).因为点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上，所以c 24＋b 2c 24a 2＝c 2，解得b 2a 2＝3，所以e ＝ 1＋b 2a2＝4＝2. 10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是______________.答案 ⎝⎛⎭⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0).∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53. 12.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.答案 ⎝⎛⎦⎤233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2. 13.(2016·泰州模拟)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程.解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 25a 2＝1. 将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9，得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a . (1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解 (1)由已知，得c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，b ＝3a ，∴4＝a 2＋3a 2，∴a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)由题意，得直线l ：m (x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x 2－y 23＝1， 得(3－m 2)x 2＋4m 2x －4m 2－3＝0.由Δ>0，得4m 4＋(3－m 2)(4m 2＋3)>0，12m 2＋9－3m 2>0，即m 2＋1>0恒成立.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 2m 2－3，x 1x 2＝4m 2＋3m 2－3. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m 2m 2－3>0，4m 2＋3m 2－3>0，∴m 2>3，∴m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞).∵x 1＋x 22＝2m 2m 2－3，y 1＋y 22＝－2m 3m 2－3＋2m ＝－6m m 2－3， ∴AB 的中点M (2m 2m 2－3，－6m m 2－3)， ∵3(2m 2m 2－3－1)2－36m 2(m 2－3)2＝3×(m 2＋3)2(m 2－3)2－36m 2(m 2－3)2＝3×m 4＋6m 2＋9－12m 2(m 2－3)2＝3， ∴M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则OA →·OB →>0，∴x 1x 2＋y 1y 2>0.∵y 1y 2＝(－mx 1＋2m )(－mx 2＋2m )＝m 2x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2，∴(1＋m 2)x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2>0，∴(1＋m 2)(4m 2＋3)－8m 4＋4m 2(m 2－3)>0，即7m 2＋3－12m 2>0，∴m 2<35， 与m 2>3矛盾，∴不存在实数m ，使得∠AOB 为锐角.。

2010-2018全国卷分类汇编(解析几何)1卷索引版2010-2018新课标全国卷分类汇编新课标全国（1）（解析几何）（目录索引：可按ctrl ＋题号直接找到该题）1. (2010课标全国，理12) 已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，双曲线方程为22221x y a b-=，∵AB 过F ，N ，∴斜率1AB k =∵2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，∴两式差有1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-+-=，∴2245b a =，又∵229a b +=，∴224,5a b ==，故选B2. (2010课标全国，理15) 过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为22(3)2x y -+=解析： 设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032b OB b -∴=-=-与切线垂直，即22C (3)2r OB x y ==∴-+=圆的方程为3.(2010课标全国，理20) 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线i 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程 解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()()222222220a b x a cx a c b +++-= 则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b--+==++ 因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=得22244,3ab a a b =+故222a b = 所以E的离心率c e a===（II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=。

2010~2018高考三角函数汇编1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及应用B2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合.通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。

一、三角公式★7．（5分）（2011•江苏）已知，则的值为．★★11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．★8．（5分）★5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．★★★15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．★★★15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．★★★16．（14分）（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．二、三角函数图像与性质★★★10．（5分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．★★9．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．★1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．★5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．★★★9．（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．★★7．（5分）（2018•江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．★★★16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．三、解三角形★★★13．（5分）（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．★★★★14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．★★★★14．（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．★★★13．（5分）（2018•江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．★★★15．（14分）（2011•江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．★★★15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．★★★15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．★★★15．（14分）（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．★★★17．（14分）（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？★★★18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？★★★17．（14分）（2018•江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。

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2010～2018年高考立体几何试题汇编1、考纲要求：柱、锥、台、球及简单组合体A柱、锥、台、球的表面积和体积A平面及其性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B2、高考解读：通常一大一小,填空题主要考查空间几何体的表面积与体积，解答题主要考查空间的平行与垂直关系，其中三年也考查以几何体为背景的应用题。

这些题目难度不大，主要考查学生的基础知识和空间转换能力。

属于中档题。

一、空间几何体的表面积与体积★★7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．★★8．（5分）（2013•江苏)如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= ．★★8．(5分)（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2,体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．★★9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．★★6．（5分)（2017•江苏）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．★★10．（5分）（2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．二、空间点、线、面的位置关系★★★16．(14分）（2010•江苏）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC,∠BCD=90°．（1）求证:PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．★★★16．（14分）（2011•江苏）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点,求证：(1）直线EF∥平面PCD；（2)平面BEF⊥平面PAD．★★★16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE．★★★16．（14分）（2013•江苏)如图,在三棱锥S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB,垂足为F，点E，G分别是棱SA,SC的中点．求证：（1)平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．★★★16．（14分)（2014•江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．（14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC,BC=CC1,★★★16．设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．★★★16．（14分）（2016•江苏）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F．★★★15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证:(1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．★★★15．（14分）（2018•江苏)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证:（1）AB∥平面A1B1C；(2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．三、以空间几何体为背景的应用题★★★17．(14分）（2011•江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1)若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．★★★17．(14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大?★★★★18．（16分)(2017•江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）(1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．。

2010~2018年高考解析几何汇编1、考纲要求：直线的斜率和倾斜角B直线方程C直线的平行与垂直关系B两直线的交点B两点间的距离、点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程C直线与圆、圆与圆的位置关系B椭圆标准方程与性质B双曲线标准方程与性质A 抛物线的标准方程与性质A2、高考解读：通常是两小一大，填空题一方面考查直线与圆的位置关系，另一方面考查圆锥曲线的概念与几何性质，解答题主要是直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，个别考题是基础题，多数考题是中档题，特别是解答题主要考查学生的运算能力和学生的观察、推理以及创造性地综合分析、解决问题的能力，有可能出现难题。

一、直线与圆的位置关系★★9．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．★★★14．（5分）（2011•江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．★★★12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．★★9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．★★10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．★★13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．★★★12．（5分）（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．★★★17．（14分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．★★★18．（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．二、圆锥曲线的定义与几何性质★★6．（5分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是．★★8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为．★★3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．★★★12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．★★12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．★★3．（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．★★★10．（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是．★★8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．★★8．（5分）（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．三、直线与椭圆的综合题★★★18．（16分）（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．★★★★18．（16分）（2011•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．★★★19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）．已知（1，e ）和（e ，）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ． （i ）若AF 1﹣BF 2=，求直线AF 1的斜率；（ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．★★★17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2C．并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1=，求椭圆的方程；（1）若点C的坐标为（，），且BF2（2）若FC⊥AB，求椭圆离心率e的值．1★★★18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．★★★17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．★★★18．（16分）（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．实用标准文案（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．精彩文档。

2010-2018年全国卷文科数学解析几何高考真题直线与圆1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．2．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43 B ．−34C D ．23．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35 B ．321 C ．352 D ．344．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__．5．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 .6．（2016全国III 卷）已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.7．（2018全国Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：ABM ABN =∠∠．8．（2017全国Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．9．（2015全国1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN ．直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)1=，解得43a =-，故选A ．3．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC的中心，又等边ΔABC ，故中心为，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为3=．4．22(1)4x y ++=，所以圆心坐标为(0,1)-，半径为2，则圆心到直线1y x =+的距离d ==||AB ==5．4π【解析】圆C 的方程可化为222()2x y a a +-=+，可得圆心的坐标为(0,)C a ，半径r =所以圆心到直线20x y a -+==，所以222+=，解得22a =，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π．6．4【解析】设112234(,),(,),(,0),(,0)A x y B x x C x D x ，由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得1y =2y =，所以10x =，23x =-，所以直线AC 的方程为y -=，令0y =得32x =，直线BD 的方程为3)y x -=+，令0y =得42x =-， 则34||||4CD x x =-=．7．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2=x ，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-．所以直线BM 的方程为112=+y x 或112y x =--． (2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠=∠ABM ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则10>x ，20>x ．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2240--=ky y k ，可知122+=y y k ，124=-y y ．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)++++=+=++++BM BN y y x y x y y y k k x x x x ．① 将112y x k =+，222yx k=+及12+y y ，12y y 的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0++-++++===y y k y y x y x y y y k k．所以0+=BM BN k k ，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠=∠ABM ABN ． 综上，∠=∠ABM ABN ．8．【解析】（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-．又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况.（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-．联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．9．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．因为l 与C1<．k <<．所以k 的取值范围是⎝⎭． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+． 21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x kx x k +⋅=+=++++=++，由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+． 故圆心在直线l 上，所以||2MN =．椭圆1．(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD 2．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 13．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．134．（2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞ 5．（2016年全国I 卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C ．23 D ．346．（2016年全国III 卷）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．347．（2015新课标1）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．128．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．9．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．10．（2016年全国II 卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =2k <<.11．（2015新课标2）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．椭圆答案部分1．C 【解析】不妨设0a >，因为椭圆C 的一个焦点为(20)，，所以2c =，所以222448a b c =+=+=，所以C 的离心率为2c e a ==．故选C ． 2．D 【解析】由题设知1290F PF ∠=，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，所以2||PF c =，1||PF =．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=2c a +=，所以1)2c a =，故椭圆C 的离心率1c e a ===．故选D ． 3．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，c e a ==，故选A ．4．A 【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥， 得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．5．B 【解析】不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0,)b 和左焦点(,0)c -，0,0b c >>，则直线l 的方程为0bx cy bc -+=124b =⨯，解得223b c =， 又222b ac =-，所以2214c a =，即12e =，故选B ．6．A 【解析】由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为()(0)y k x a k =+>，分别令x c =-与0x =，得||()FM k a c =-，||OE ka =，设OE 的中点为G ，由OBG FBM ∆∆，得||||||||OG OB FM BF =，即2()ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ． 7．B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =- ①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c =，又椭圆的离心率为12，所以4,a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②， 解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB =．8．【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．① 由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=． 由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-．同理2||22x FB =-．所以121||||4()32FA FB x x +=-+=．故2||||||FP FA FB =+ 9．【解析】（1）设(,)P x y ,00(,)M x y ,则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-，0(0.)NM y =．由2NP NM =得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=．因此点P 的轨迹方程为222x y +=． （2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-，(1,)PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-， (,)OP m n =，(3,)PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=， 故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．10．【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得212||43AN k =+.由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=.设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k在2)2k <<.11．【解析】=22421a b+=，解得228,4a b ==． 所以C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）设直线l ：y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y将y kx b =+代入22184x y +=得222(21)4280k x kbx b +++-=． 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by k x b k =⋅+=+． 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．双曲线1．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA．=y B．=y C．2=±y x D．=y x 2．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 AB ．2C．2D．3．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ∆的面积为A ．13 B ．12 C ．23 D ．324．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)5．（2017新课标Ⅲ）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 6．（2015新课标1）已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 ．7．（2015新课标1）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 ．双曲线答案部分1．A 【解析】解法一 由题意知，==c e a ，所以=c ，所以=b ，所以=ba所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a 所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．．2．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=D ． 3．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=， 得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1，故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．4．C 【解析】由题意e a ==1a >，21112a <+<，∴1e <<． 5．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =． 6．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为 22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以2244λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．7．由题意，双曲线C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(2,-，此时，ΔAPF 的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．抛物线1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为A B ． C ． D ．2．（2016全国II ）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ．12 B ．1 C ．32D ．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B两点，||8=AB ．(1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 5．（2016年全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求||||OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 6．（2016年全国III 卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．抛物线答案部分1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆ 为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ．3．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-． (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 4．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x =，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．5．【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x t py =，代入px y 22=整理得0222=-x t px ，解得01=x ，pt x 222=，因此)2,2(2t p t H ．所以N 为OH 的中点，即2||||=ON OH ． （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-，即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.6．【解析】（Ⅰ）由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥.（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得1112222a bb a x -⨯--=，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为12-=x y .。

1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角).(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )1.(2016·四川改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0).2.(2017·苏州模拟)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝______. 答案 1解析 由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案 －34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0， 设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ， 得y 2－2ky －1＝0，y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(y 1y 2)24＋y 1y 2＝14－1＝－34.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为___. 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________.答案 4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4.即PB＋PF的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PB＋PF≥BF＝42＋22＝16＋4＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连结AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝AB p 24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________. (2)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S △OPQ ＝________. 答案 (1)4 (2)322解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0).又PF ＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8， 由图知点P 的纵坐标y ＝22，∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1).方法一 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知Q (12，－2)，∴S △OPQ ＝12·OF ·|y P －y Q |＝12×1×|22＋2|＝322. 方法二 将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x ， 得2x 2－5x ＋2＝0，∴x 1＋x 2＝52，∴PQ ＝x 1＋x 2＋p ＝92，O 到PQ 的距离d ＝223，∴S △OPQ ＝12·PQ ·d ＝12×92×223＝32 2.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去).设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1).思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y1＝1，将它与抛物线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，又交点在第一象限，∴M (2，12)，准线方程为y ＝－1.故易求得N (42，－1).∴由三角形相似性质得FM MN ＝1－1212－(－1)＝13.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m).[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y ，得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12. [7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m).[9分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0，[12分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2017·盐城模拟)若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝________. 答案 14解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1ay ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.(2016·淮安模拟)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为________. 答案 2解析 直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ， 过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2.4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝p ＋2pk 2，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5.(2016·苏州一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若AF ＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为________. 答案 3解析 设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，则y 1＝42， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝42或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－22，则B (1，－22)，∴BF ＝1＋2＝3，BC ＝9，∴λ＝3.6.(2016·镇江模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为________. 答案223解析 抛物线C 的准线为l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由F A ＝2FB ，得AM ＝2BN ，从而点B 为AP 的中点，连结OB ，则OB ＝12AF ，所以OB ＝BF ，从而点B 的横坐标为1，点B 的坐标为(1,22)， 所以k ＝22－01－(－2)＝223.7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22(x －p2)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴N (p 4，－22p )，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________.答案 43解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 20＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝43.10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________. 答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.11.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF ＝12·AF ·AM ·sin ∠MAF 12·OF ·AF ·sin (π－∠MAF )＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22， ∴点A 的坐标是(2，±22).12.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.13. (2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在. 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ， ∴k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，∴y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1).。

2018年高考试题分类汇编（解析几何）考点1 直线与圆的方程1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·15题）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ,B 两点，则AB = .2.（2018·全国卷Ⅲ·理科·6题·文科·8题）直线20x y ++=分别与x 轴y 轴 交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．3.（2018·北京卷·理科·7题）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到 直线20x my --=的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.44．（2018·江苏卷·12题）在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：2y x =上在第 一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0A B C D ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 考点2 双曲线的方程与性质1．（2018·浙江卷·2题）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2.（2018·北京卷·文科·12题）若双曲线22214x y a -=（0a >则a =______.3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·5题文科·6题）双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±4.（2018·全国卷Ⅲ·理科·10题）双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的离(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C ．2D ．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·11题）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N .若OMN ∆为直角 三角形，则MN =A.32B. 3C.D. 4 6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·11题）设12,F F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >) 的左、右焦点，O 为坐标原点,过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ,若1PF =，则C 的离心率AB ．2CD 7.（2018·北京卷·理科·14题）已知椭圆M :22221x y a b +=（0a b >>），双曲线N ：22221x y m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率 为_______．8.（2018·天津卷·理科·7题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 22139x y -= D. 22193x y -=9．（2018·江苏卷·8题）在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2，则其离心率的值是 ． 考点3 抛物线1.（2018·全国卷Ⅰ·理科·8题）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FN ⋅=A.5B.6C.7D. 82.（2018·全国卷Ⅲ·理科·16题）已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=，则k = .3.（2018·北京卷·文科·10题）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛 物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_____.4.（2018·全国卷Ⅰ·文科·20题）设抛物线C ：22y x =，点(2,0)A ，(2,0)B -. 过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （Ⅱ）证明：ABM ABN ∠=∠.5.（2018·全国卷Ⅱ·理科·19题·文科·20题）设抛物线C ：24y x =的焦 点为F ，过F 且斜率为k （0k >）的直线l 与C 交于,A B 两点，8AB =. （Ⅰ）求点l 的方程；（Ⅱ）求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.6.（2018·北京卷·理科·19题）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．考点4 椭圆1.（2018·全国卷Ⅰ·文科·4题）已知椭圆椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为 (2,0),则C 的离心率为A.13B. 12C. 2D. 32.（2018·全国卷Ⅱ·文科·11题）已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，点P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，2160PF F ∠=则C 的离心率为A ．1．21 3.（2018·全国卷Ⅱ·理科·12题）已知12,F F 是椭圆C :12222=+by a x （0a b >>）的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．144.（2018·浙江卷·17题）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m = 时，点B 横坐标的绝对值最大．5.（2018·全国卷Ⅰ·理科·19题）设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 坐标为(2,0). （Ⅰ）当直线l 与x 垂直时，求直线AM 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（2018·全国卷Ⅲ·理科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交 于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）.（Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明：FA ,FP ,FB 成等差数列，并求该数列的公差.7.（2018·全国卷Ⅲ·文科·20题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :22143x y +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >）. （Ⅰ）证明：12k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=，证明： 2FP =FAFB +.8.（2018·北京卷·文科·20题）已知椭圆M :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71(,)42Q -共线，求k .9.（2018·天津卷·理科·19题）设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B . A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx =（0k >）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.10.（2018·天津卷·文科·19题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，||AB （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM ∆的面积是BPQ ∆面积的2倍，求k 的值.11．（2018·天津卷·21题）如图，已知点P 是y(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的 两点,A B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆2214y x += (0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 12．（2018·江苏卷·18题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 过点1)2，焦点1(F ,2F ，圆O 的直径为12F F ． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ． ①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ∆的面积为7，求直线l 的方程．。

圆的定义与方程【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆.( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1.(教材改编)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________. 答案 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13 解析 易得r ＝13.2.方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的范围是________________. 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得(x ＋m 2)2＋(y －1)2＝m 24＋1－3. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.3.(2016·扬州检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为______________. 答案 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0解析 将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0得交点为(－1，2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 4.(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________. 答案 x 2＋y 2－4x －6＝0 解析 设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴CA ＝CB ，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径CA ＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10，即x 2＋y 2－4x －6＝0.5.(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______. 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.答案 (1)x 2＋y 2－4x －5＝0 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9， 即x 2＋y 2－4x －5＝0.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.(2016·苏州一模)圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋(4＋b )2＝r 2，a 2＋(2＋b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，半径r ＝22＋12＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 题型二 与圆有关的最值问题例2 (2016·盐城检测)已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1， 解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1.在例2的条件下，求yx的最大值和最小值.解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. 2.在例2的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值. 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题.(2016·扬州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值.解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆.设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴k max＝3，k min＝－ 3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝(OC′)2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝OB2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3(2016·盐城模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42. 由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况).19.利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程.思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0).故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.1.(2016·南通模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是________. 答案 x 2＋y 2＝2解析 AB 的中点坐标为(0,0)， AB ＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝2.2.已知圆M 的圆心M 在y 轴上，半径为1，直线l ：y ＝2x ＋2被圆M 所截得的弦长为455，且圆心M 在直线l 的下方，则圆M 的标准方程是__________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1 解析 点M 到l 的距离d ＝ 1－(255)2＝55.设M (0，a )，所以|2－a |5＝55，所以a ＝1或a ＝3.又因为a <2×0＋2＝2，所以a ＝1.所以圆M 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.3.(2016·徐州质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是________________. 答案 原点在圆外解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1， 所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0， 即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外.4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的标准方程为_____________. 答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2， 半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2满足条件，所以圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.6.若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________. 答案 (－∞，4)解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ， 可知圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2. ∵圆关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，∴点(1，－3)在直线上，则b ＝－2. ∴a －b ＝2＋a <4.7.(2016·常州模拟)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________________. 答案 x －y ＋3＝0解析 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a <0)，因为圆C 过点(－1,0)，且直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＝r 2，(|a ＋1|2)2＋(2)2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝4，即圆心坐标为(－3,0)，则所求直线为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.8.过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________. 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(a >0，b >0)， 由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2， 解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.(2016·无锡模拟)已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是________________. 答案 2＋52，2－52解析 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1， 又AB ＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 11.已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝(23)2＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意.故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2).由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122， 代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值.解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.所以(MQ )max ＝42＋22＝62，(MQ )min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第63练 直线与圆锥曲线综合练练习 文1．(2016·南通模拟)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是__________________． 2．(2016·石家庄模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则该双曲线的离心率为________．3．(2016·福州质检)直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的交点在x 轴上的投影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为______________．4．已知直线kx －y ＋1＝0与双曲线x 22－y 2＝1相交于两个不同的点A ，B ，若x 轴上的点M (3,0)到A ，B 两点的距离相等，则k 的值为________．5．(2016·云南省统一检测)已知双曲线S 与椭圆x 29＋y 234＝1的焦点相同，如果y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，那么双曲线S 的方程为________． 6．设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且MF 1＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________． 7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足PF 1＋PF 2＝2a ，求a 的取值范围．8．(2016·山东莱芜一中1月自主考试)已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，离心率是63. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆E 相交于A ，B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得M A →·M B →与k 的取值无关，试求点M 的坐标．9．(2016·苏北四市联考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上，下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1)若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2)延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3)求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案精析1．(－153，－1) 2.2 3.5－12解析 设直线y ＝x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1在第一象限的交点为A ，依题意，点A 的坐标为(c ，c )，又点A 在椭圆C 上，故有c 2a 2＋c 2b 2＝1，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＋c 2a 2－c2＝1，所以c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，又因为C 是椭圆，所以0＜e ＜1，所以e ＝5－12. 4.12解析 联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1＝0，x 22－y 2＝1 得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，∵直线与双曲线相交于两个不同的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2k 2≠0，Δ＝16k 2＋－2k 2＝－k 2＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠±22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k1－2k2. 设P 为AB 的中点，则P (x 1＋x 22，k x 1＋x 22＋1)，即P (2k 1－2k 2，11－2k 2)． ∵M (3,0)到A ，B 两点距离相等，∴MP ⊥AB ，∴k MP ·k AB ＝－1，即k ·11－2k 22k1－2k2－3＝－1，得k ＝12或k ＝－1(舍)，∴k ＝12. 5.y 29－x 216＝1 解析 由题意可得双曲线S 的焦点坐标是(0，±5)．又y ＝34x 是双曲线S 的一条渐近线，所以c ＝5，a b ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线S 的标准方程为 y 29－x 216＝1. 6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，由题意知MF 1＝2，F 1F 2＝MF 2＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21.又根据椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ MF 1＋MF 2＝2a 1，MF 1－MF 2＝2a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2⇒a 1－a 2＝2c ，其中2a 1,2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，所以38≤c a 1≤49，所以94c ≤a 1≤83c ，而a 2＝a 1－2c ，所以14c ≤a 2≤23c ，所以32≤c a 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4. 7．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， ∵直线l 与x 轴交于A 点，∴A (2,0)，∴a ＝2，c ＝2，b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由e ＝22，可设椭圆E 的方程为 x 2a 2＋2y 2a 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足PF 1＋PF 2＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2. 8．解 (1)抛物线y 2＝45x 的焦点坐标为(5，0)， 根据条件可知椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝5，因为离心率e ＝63， 所以c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53， 故椭圆E 的标准方程为x 25＋y 253＝1. (2)将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m,0)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1， MA →·M B →＝(x 1－m ，k (x 1＋1))·(x 2－m ，k (x 2＋1)) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2＝(k 2＋1)3k 2－53k 2＋1＋(k 2－m )(－6k 23k 2＋1)＋k 2＋m 2 ＝m 2＋m －k 2－53k 2＋1＝m 2＋2m －13－6m ＋14k 2＋. 要使上式与k 无关，则有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，所以点M 的坐标为(－73，0)． 9．(1)解 因为点P (3，1)，所以k OP ＝13， 又因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1， 所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2，①又点P (3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b2＝1，② 联立①②，解得a 2＝133，b 2＝134. 故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1. (2)解 由题意，直线AF 的方程为 x c ＋y b＝1， 与椭圆C 方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立， 消去y 得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c＝0， 解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2， 所以点Q 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2)，所以直线BQ 的斜率为 k BQ ＝b c 2－a 2a 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c 2＝bc a2， 由题意得c b ＝2bc a2，所以a 2＝2b 2， 所以椭圆的离心率e ＝ca＝ 1－b 2a 2＝22. (3)证明 因为线段OP 垂直于AF ， 则直线OP 的方程为y ＝cb·x ，与直线AF 的方程x c ＋y b＝1联立， 解得两直线交点的坐标为(b 2c a 2，bc 2a 2)． 因为线段OP 被直线AF 平分，所以点P 的坐标为(2b 2c a 2，2bc 2a 2)， 由点P 在椭圆上得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，设c 2a 2＝t (t ∈(0,1))， 代入上式得4[(1－t )2·t ＋t 2]＝1.(*) 令f (t )＝4[(1－t )2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t )－1，则f ′(t )＝4(3t 2－2t ＋1)＞0在(0,1)上恒成立， 所以函数f (t )在(0,1)上单调递增，又f (0)＝－1＜0，f (1)＝3＞0，所以f (t )＝0在(0,1)上有解，即(*)式有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．。

2018年全国高考文科数学分类汇编——解析几何1.（北京）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x=1，代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0，∴y=±2，∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，∴4=4，解得a=1，∴y2=4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）2.（北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2=﹣，x1x2=，∴|AB|==，∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA=，直线PA的方程为：y=（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，x1•x C=﹣，x C=﹣，则y C=（﹣+2）=，则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），由Q（﹣，），则=（，），=（，），由与三点共线，则×=×，整理得：x1﹣x1=y1﹣y1，则直线AB的斜率k==1，∴k的值为1．3.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．4.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．5.（江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∴，又a2+b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．6.（全国1卷）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故选：C．7.（全国1卷）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．8. （全国1卷）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN．【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y=x+1，或：y=﹣x﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y2﹣2ty﹣4=0，即y1+y2=2t，y1y2=﹣4，则有k BN+k BM=+===0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM=∠ABN．9. （全国2卷）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）AA．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．10.（全国2卷）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）DA．1﹣B．2﹣C．D．﹣1【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．11.（全国2卷）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣，；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．12.（全国3卷）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）AA．[2，6]B．[4，8]C．[，3] D．[2，3]【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），∴点P到直线x+y+2=0的距离：d==，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面积的取值范围是：[，]=[2，6]．故选：A．13.（全国3卷）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（）DA．B．2 C．D．2【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得=，即：，解得a=b，双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．故选：D．14.（全国3卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，∴x3=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，15.（上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±16.（上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．17. （上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）CA．2B．2C．2D．4【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．18.（上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．19.（天津）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）AA．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．20.（天津）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x ﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，其圆心为（1，0），半径为1，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=F=0；∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．21. （天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．由＞0．可得k，故k=﹣，22.（浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）BA．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．23.（浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．24.（浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得（）2=4•，（）2=4•，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，可得n=，则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|=（﹣m）•=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•=（n2﹣4m），可令t===，可得m=﹣时，t取得最大值；m=﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，△PAB面积的取值范围为[6，]．。

训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用．训练题型（1）求离心率的值或范围;(2）应用几何性质求参数值或范围；（3)椭圆方程与几何性质综合应用．解题策略(1)利用定义PF1＋PF2＝2a找等量关系；（2)利用a2＝b2＋c2及离心率e＝错误!找等量关系；（3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.1．设椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左,右焦点分别为F1，F2,P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．2．(2016·唐山统考）椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线错误!x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．3．椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的左顶点为A,左，右焦点分别是F1，F2，B是短轴的一个端点，若3错误!＝错误!＋2错误!，则椭圆的离心率为________．4．如图，椭圆错误!＋错误!＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则a 的值为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆错误!＋错误!＝1上，点P满足错误!＝(λ－1）错误!(λ∈R),且错误!·错误!＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．6．(2016·济南3月模拟）在椭圆x216＋错误!＝1内，过点M（1,1）且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．(2016·重庆模拟）设A，P是椭圆错误!＋y2＝1上的两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则错误!·错误!＝________. 8．如图，ABCD为正方形,以A，B为焦点，且过C，D 两点的椭圆的离心率为________．9．（2017·上海六校3月联考）已知点F为椭圆C:x2 2＋y2＝1的左焦点,点P为椭圆C上任意一点,点Q的坐标为（4,3)，则PQ＋PF取最大值时，点P的坐标为________．10．（2016·镇江模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b ＞0)的离心率为错误!，过右焦点F且斜率为k（k＞0)的直线与C相交于A,B两点，若错误!＝3错误!,则k＝________.11．(2016·连云港二模）已知P是以F1，F2为焦点的椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α,∠PF2F1＝β，且cosα＝55，sin（α＋β)＝错误!，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A（2,0)，B（0,1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若错误!＝6错误!，则k的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1(－c,0），F2(c，0),若椭圆上存在点P，使错误!＝错误!，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C：错误!＋错误!＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是－2，－1］，那么直线PA1的斜率的取值范围是________．答案精析1.错误!解析由题意知sin30°＝错误!＝错误!，∴PF1＝2PF2.又∵PF1＋PF2＝2a,∴PF2＝错误!.∴tan30°＝错误!＝错误!＝错误!.∴错误!＝错误!.2.错误!－1解析设A（m，n），则错误!解得A错误!，代入椭圆方程中，有错误!＋错误!＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以（a2－c2）c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2），所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4±2错误!，所以e＝错误!－1。