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第2章 逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家George Boole 在十九世纪提出,因此也称布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。

也叫开关代数，是研究只用0和1构成的数字系统的数学。

2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。

复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。

2.1.1 基本逻辑运算1.“与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。

②运算电路：开关A 、B 都闭合，灯F 才亮。

③表示逻辑功能的方法：表达式：F =A•B 逻辑符号：功能说明：有0出0，全1出1。

在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：A B 国家标准A B以前的符号A B欧美符号 开关A 、B 的状态代表输入：“0”表示断开； “1”表示闭合。

灯F 的状态代表输出：“0”表示亮； “1”表示灭。

通过“•”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。

推广：当有n 个变量时：F =A 1A 2 A 3∙∙∙A n “与”运算的几个等式： 0•0=0，0•1=0，1•1=1A •0=0（0-1律），A •1=A （自等律），A •A =A （同一律），A •A •A =A （同一律）。

2.“或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。

②运算电路：开关A 、B 只要闭合一个，灯F 就亮。

③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能：有1出1，全0出0。

真值表：（略） 表达式：F =A +B 逻辑符号：推广：当有n 个变量时：F =A 1+A 2+ A 3+∙∙∙+A n“或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1，1+1=1A +0=A （自等律）A +1=1（0-1律），A +A =A （同一律）。

上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。

3．“非”运算①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。

6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。

由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。

由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。

通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。

在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。

通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。

⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。

同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。

所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。

每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。

逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。

吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。

3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。

在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。

缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。

逻辑函数的代数法化简一、逻辑函数的最简形式在开展逻辑运算时同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。

例如：逻辑式越是简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个函数。

因此常常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。

表达式“繁——简”区分标准：u 积之和式：和项越少越好，每个积项中变量个数越少越好u 和之积式：积项越少越好，每个和项中变量个数越少越好由于逻辑代数的基本公式和常用公式多以与——或形式给出，用于化简与——或逻辑函数比较方便，所以一般主要讨论与——或逻辑函数的化简。

有了最简与——或逻辑函数后，再通过公式变换就可以得到其他类型的函数式了。

终究应该将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能类型而定。

但必须注意，将最简与——或式直接变换为其他形式逻辑式时，得到的结果不一定也是最简的。

二、常用的化简方法代数（公式）化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式得最简形式。

公式化简法没有固定的步骤。

现将经常使用的方法归纳如下。

1. 并项法利用公式可以将两项合并为一项，并消去这一对因子。

而且，根据代入定理可知, 都可以是任何复杂的逻辑式。

例：2. 吸收法利用公式可将项消去。

和同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。

例：3. 消项法利用公式及将或消去。

其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。

例：4. 消因子法利用公式可将中的消去。

均可以是任何复杂的逻辑式。

例：5. 配项法u 根据基本公式中的可以在逻辑函数式中重复写入某一项，有可能获得更加简单的化简结果。

例：。

解：若在式中重复写入，则可得到u 根据基本公式中的可以在逻辑函数式中的某一项上乘以，然后拆成两项分别于其他项合并，有时能得到更加简单的化简结果。

例：。

解：利用配项法可将Y写成u 在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地综合运用上述方法，才能得到最后的化简结果。