2020届高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》10-8精品练习

教学资料范本2020高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示随机事件的概率❶了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．❷了解两个互斥事件的概率加法公式．古典概型❶理解古典概型及其概率计算公式．❷会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．随机数与几何概型❶了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．❷了解几何概型的意义．随机抽样❶理解随机抽样的必要性和重要性．❷会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法．用样本估计总体❶了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．❷理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．❸能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．❹会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．❺会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．统计案例❶会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．❷了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．❸通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．❹通过典型案例了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题．一、点在纲上，源在本里考点考题考源样本估计总体的数字特征(20xx·高考全国卷Ⅰ，T2，5分)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A．x1，x2，…，x n的平均数 B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值 D．x1，x2，…，x n的中位数必修3 P79练习T1用样本估计总计(20xx·高考全国卷Ⅰ，T19，12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得x－＝116∑i＝116xi＝9．97，s＝116∑i＝116（xi－x－）2＝116⎝⎛⎭⎪⎫∑i＝116x2i－16x－2≈0．212, ∑i＝116x(xi－x－)(i－8．5)＝－2．78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．必修3 P79练习T2(1)求(x i ，i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0．25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )的相关系数r ＝．0.008≈0．09．变量间的相关关系 (20xx·高考全国卷Ⅲ，T 18，12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－20xx(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i ＝17t i y i ＝40．17，必修3 P 90例题、P 95B 组T 1＝0．55，7≈2．646．参考公式：相关系数r＝，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝，a^＝y－－b^t－．考点考题考源样本估计总体与独立性检验思想(20xx·高考全国卷Ⅱ，T19，12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k)0．0500．0100．001选修1­2P15练习k 3．8416．63510．828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）．二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修3 P64A组T5改编)某校高一、高二、高三学生共有1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )A．84 B．78C．81 D．96解析：选B．因为高一480人，高二比高三多30人，所以设高三有x人，则x＋x＋30＋480＝1 290，解得x＝390，故高二420人，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为×390＝78(人)．2．(选修1­2 P6例2改编)一只红铃虫的产卵y和温度x有关，根据收集的数据散点分布在曲线y＝c1ec2x的周围，若用线性回归模型建立回归关系，则应作下列哪个变换( )A．t＝ln x B．t＝x2C．t＝ln y D．t＝ey解析：选C．由y＝c1ec2x得c2x＝ln＝ln y－ln c1，令t＝ln y，得t＝c2x＋ln c1，故选C．3．(必修3 P70内文改编)如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为( )A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8解析：选C ．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ， 所以x ＝5．又乙组数据的平均数为9＋15＋（10＋y ）＋18＋245＝16．8，所以y ＝8．所以x ，y 的值分别为5，8．4．(必修3 P79练习T3改编)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90～120 km/h ，试估计这2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车有( )A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1 700辆解析：选D ．直方图中速度为90～120 km/h 的频率为0．03×10＋0．035×10＋0．02×10＝0．85．用样本估计总体，可知2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车约有0．85×2 000＝1 700(辆)．故选D ．二、填空题5．(必修3 P95B 组T1改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得如下统计数据．单价x (元) 8 8．2 8．4 8．8 8．6 9 销量y (件)908483758068回归方程为＝x ＋(其中已算出＝－20)；该产品的成本为4．5元/件，为使科研所获利最大，该产品的定价应为________元/件．解析：依题意：x －＝(8＋8．2＋8．4＋8．8＋8．6＋9)＝8．5， y －＝(90＋84＋83＋75＋80＋68)＝80．又＝－20，所以＝－＝80＋20×8．5＝250， 所以回归直线方程为＝－20x ＋250． 设科研所所得利润为W ，定价为x ，所以W ＝(x －4．5)(－20x ＋250)＝－20x2＋340x －1 125， 所以当x ＝＝8．5时，Wmax ＝320．故当该产品定价为8．5元/件时，W 取得最大值． 答案：8．56．(选修1­2 P15练习改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好4020 60 不爱好 20 30 50 总计6050110则有________以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 附：K2＝，P (K 2≥k 0)0．0500．0100．001k 03．8416．63510．828解析：K2＝≈7．8>6．635．可知我们在犯错误的概率不超过0．01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：99%三、解答题7．(必修3 P94A组T3改编)经调查得出，某型号的轿车使用年限x和所支出的维修保养费y(万元)的统计资料如下表(注：第一年该型号的轿车的维修保养费由商家负责，消费者不承担)．x(年)2345 6y(万元)2．23．85．56．57．(1)求y关于x的线性回归方程，并说明该型号轿车维修保养费的变化情况；(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，问该型号轿车最多使用年限为多少年？附：解：(1)列表如下于是＝＝1．23．a^＝－＝5－1．23×4＝0．08．所以线性回归方程为＝x＋＝1．23x＋0．08．由回归直线方程＝1．23x＋0．08知，回归直线的斜率＝1．23>0，所以x与y是正相关，即轿车使用年限越多，维修保养费越多．(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，则该型号轿车最多使用年限x应满足1．23x＋0．08≤10，解得x≤8．07，故该型号轿车最多使用8年就应作报废处理．8．(必修3 P39练习T3、选修1­2 P19B组T2改编)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求直方图中a的值；(2)设生产成本为y，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y＝，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．解：(1)由已知，得(0．002＋0．009＋0．022＋a＋0．024＋0．008＋0．002)×10＝1，解得a＝0．033．(2)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号1234567分组[66，70](70，74](74，78](78，82](82，92](92，100](100，108]频率0．020．090．220．330．240．080．02 根据题意，生产该食品的平均成本为70×0．02＋74×0．09＋78×0．22＋82×0．33＋92×0．24＋100×0．08＋108×0．02＝84．52．11 / 11。

.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级名学生的考试成绩，从中随机抽取了名学生的成绩，就这个问题来说，给出以下命题：①名学生是总体；②每个学生是个体；③名学生的成绩是一个个体；④样本的容量是.以上命题错误的是(填序号).解析名学生的成绩是总体，其容量是，名学生的成绩组成样本，其容量是. 答案①②③.(·柳州、北海、钦州三市联考)某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有个，个，个，个销售点.为了调查产品的质量，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本，记这项调查为①；在丙城市有个特大型销售点，要从中抽取个调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为.解析①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；②丙城市特大销售点数量不多，使用简单随机抽样即可.答案分层抽样、简单随机抽样.某中学有高中生人，初中生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取人，则为.解析样本抽取比例为)＝，该校总人数为＋＝，则)＝，故＝.答案.在一个容量为的总体中抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则，，的大小关系是.解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等.答案＝＝.(·武昌调研)已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：行调查，则：()样本容量为；()抽取的高中生中，近视人数为.解析()由题意知，样本容量为( ＋＋)×＝.()抽取的高中生中，近视人数为××＝.答案() ().(·湖南卷)在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为～号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间[，]上的运动员人数是.解析从人中用系统抽样方法抽取人，则可将这人分成组，每组人，从每一组中抽取人，而成绩在[，]上的有组，所以抽取人.答案.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为∶∶∶，则应从一年级本科生中抽取名学生.解析由题意知应抽取人数为×＝.答案.(·青岛模拟)某班级有名学生，现要采取系统抽样的方法在这名学生中抽出名学生，将这名学生随机编号～号，并分组，第一组～号，第二组～号，…，第十组～号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为的学生.。

.在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：①在这件产品中任意选出件，全部是一级品；②在这件产品中任意选出件，全部是二级品；③在这件产品中任意选出件，不全是二级品.其中是必然事件；是不可能事件；是随机事件(填序号).答案③②①.把红、蓝、黑、白张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是事件(填“对立”、“不可能”、“互斥但不对立”).解析由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.答案互斥但不对立.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是.解析乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，且两种情况互斥，故所求概率为＋＝.答案.设事件，，已知()＝，()＝，(∪)＝，则，之间的关系一定为(填“互斥事件”或“对立事件”).解析因为()＋()＝＋＝＝(∪)，所以，之间的关系一定为互斥事件.答案互斥事件.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字，，，，，)，事件表示“朝上一面的数是奇数”，事件表示“朝上一面的数不超过”，则(＋)＝.解析将事件＋分为：事件“朝上一面的数为，”与事件“朝上一面的数为，”.则，互斥，且()＝，()＝，∴(＋)＝(＋)＝()＋()＝.答案.(·南通调研)从装有个红球、个白球的袋中任取个球，则所取的个球中至少有个白球的概率是.解析记“从中取出个小球全是红球”为事件，则表示“所取的个球中至少有个白球”，从个红球，个白球的袋中任取个小球，共有种不同的试验结果.∴()＝，从而()＝－()＝.答案.从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，给出以下事件：①至少有一个红球与都是红球；②至少有一个红球与都是白球；③至少有一个红球与至少有一个白球；④恰有一个红球与恰有二个红球.那么互斥而不对立的事件是(填序号).解析对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个事件互斥而不对立.答案④.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，若红球有个，则黑球有个.解析摸出黑球的概率为－－＝，口袋内球的个数为÷＝，所以黑球的个数为×＝.答案.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[，)上为一等品，在区间[，)和[，)上为二等品，在区间[，)和[，]上为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取件，则其为二等品的概率是.解析由频率分布直方图可知，一等品的频率为×＝，三等品的频率为×＋×＝，所以二等品的频率为－(＋)＝.用频率估计概率可得其为二等品的概率为. 答案位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为.。

高考数学一轮复习《统计》练习题（含答案）一、单选题1．已知条件p ：11x -<<，q ：x >m ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-2．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ） A ．11B ．15C ．25D ．373．一组数据的方差为()20S S ≥，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（ ）A ．22S B ．SC ．2SD ．2S4．甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是（ ）A ．甲校女生比乙校女生多B ．乙校男生比甲校男生少C ．乙校女生比甲校男生少D ．甲校女生比乙校男生少5．某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本，其中高一抽取40人，高二抽取30人，则该校高三学生人数为（ ） A ．600B ．800C ．900D ．12006．设某高中的男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,，，，，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8580.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该高中某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为63.79kg 7．x 是12100,,,x x x 的平均值，5为4120,,,x x x 的平均值，10为4142100,,,x x x 的平均值，则x =（ ） A ．8B ．9C ．15D ．1528．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.769．某样本点)()(,1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的经验回归方程为ˆ0.50.7yx =+，当8x =时，y 的实际值为4.5，则当8x =时，预测值与实际值的差值为（ ）． A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．若数据9，m ，6，n ，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，21m -，17，21n -的平均数和方差分别为（ ） A ．13，4B ．14，4C ．13，8D ．14，811．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2 A ．（1）（3）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为20，则抽取的样本容量为______.14．已知具有线性相关的变量x 、y ，设其样本点为()(1,2,,,8)i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx b =+，若128(6,2)OA OA OA +++=(O 为原点），则b =_______.15．已知一组数据按顺序排列为：12，16，20，n ，46，51，58，60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第50百分位数相等，则n 的值为___________.16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中20b =-，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为__________件．三、解答题17．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h ）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(]12,16内的人数为92．(1)求n 的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且在(]16,20，(]20,24内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．18．由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息：（1）这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生有多少人？（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到0.1）（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？19．省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实全国、全省教育大会部署，坚持社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进育人方式变革，引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观，切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担，遵循教育教学规律，促进中小学生健康成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．从某市抽取1000名一年级小学生进行调查，统计他们每周做作业的时长（单位：小时），根据结果绘制的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①为了进一步了解，现采用分层抽样的方法从[8,10]和[10,12]组中抽取50名学生，则两组各抽取多少人？②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言，求[8,10]小组中恰有2人发言的概率？20．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．21．道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示： 成绩/分 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100人数/个 44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；(2)假设处于[)20,40的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数； (3)以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在[)80,100间的数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X .22．某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x 的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在[)50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在[)50,60内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.23．某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图及频率折线图．24．某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率，进行了如下试验：一是对该农作物的10000粒种子进行培育，发现有20粒种子未发芽；二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中，各试验田种植的种子数及未发芽数如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程； （2）在上述试验下，若以1nN-表示该农作物种子的培育有效率，其中n 为进行培育的10000粒种子的未发芽数，N 为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数，请估计该农作物种子的培育有效率（结果保留3位有效数字）．参考公式；在回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-参考答案1．D2．A3．D4．D5．C6．D7．A8．D9．B10．C11．A12．D 13．7014．18-##-0.12515．34 16．6017．（1）由已知可得，0.25(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a =-+++=． 则0.1150492n ⨯⨯=，得922000.11504n ==⨯．（2）设中位数为x ，则0.050040.01254(16)0.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=，得13.83x ≈．（3）按照分层抽样的方法从(16，20]内选取的人数为0.050540.05000.0125⨯=+，从(20，24]内选取的人数为0.0125510.05000.0125⨯=+．记二等奖的4人分别为a ，b ，c ，d ，一等奖的1人为A ，事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．从这5人中随机抽取2人的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a A ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b A ，(,)c d ，(,)c A ，(,)d A ，共10种，其中2人均是二等奖的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种， 由古典概型的概率计算公式得()63105P E ==． 18．（1）因为频数=样本容量⨯频率，一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35，所以一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数为400.3514⨯=（人） （2）40位同学的线上学习时间估计值为：0.1569.90.2589.90.35109.90.20129.90.05149.9104.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，设在99.9~119.9靠近左侧长度为x ,则0.15+0.25+0.350.5x =解得0.27x ≈； 所以中位数估计值是99.9+0.27=100.17100.2≈（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理. 19．（1）设抽查学生做作业的平均时长为x ，中位数为y ，0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=，解得203y =即抽查学生做作业的平均时长为6.8，中位数为203． （2）①[8,10]组的人数为10000.15150⨯=人，设抽取的人数为a ，[]10,12组的人数为10000.1100⨯=人， 设抽取的人数为b ，则50150100250a b ==，解得30a =，20b = 所以在[8,10]和[]10,12两组中分别抽取30人和20人，②再抽取5人，其中[8,10]和[]10,12两组中分别抽取3人和2人，将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ，将[]10,12中的标记为1B ，2B ． 设事件C 表示从[8,10]小组中恰好抽取2人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况；其中在[8,10]中恰好抽取2人有3种，则3()10P C =． 20．（1）由题意得，()20.040.080.0651a +++⨯=，解得0.01a =，故所求平均数为17.50.427.50.332.50.0537.50.0524.25⨯0.2+22.5⨯+⨯+⨯++=（元）； （2）由题意得，消费在[)15,20，[)20,25的高中女生分别有3人和6人，故X 的可能取值为0，1，2，3，∴()6033395021C C P X C ===，()21633915128C C P X C ===，()1263393214C C P X C ===，()0363391384C C P X C ===， 故X 的分布列为：∴()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 故答案为：1. 21．(1)估计这次测试的平均分为1043045010702290106250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）；设这次测试的中位数为0x ，显然()060,80x ∈，则060441022200.550x -+++⋅=，解得066x ≈（分）. 即估计这次测试的中位数为66.(2)由于5010%5⨯=，所以表中成绩的10%分位数为2026232+=. (3)X 所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在[)80,100间的概率为101505=. 所以()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21341481C 55125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()122341122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31135125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为故X 的数学期望()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．(1)由频率分布直方图得()0.0050.0350.0300.010101x ++++⨯=，解得0.020x =， 所以图中x 的值是0.020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数： (550.005650.020750.03585x =⨯+⨯+⨯+⨯)0.030950.0101077+⨯⨯=， 所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在[)50,60内的人数为0. 005101005⨯⨯=(人)，其中男生人数为540%2⨯=(人)，则女生人数为3人，记2名男生分别为1A ，2A ，3名女生分别为1B ，2B ，3B ，从数学成绩在[)50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：121112132122A A A B A B A B A B A B ,,,,,,23121323A B B B B B B B ,,,，共10个不同结果，它们等可能， 其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种结果， 所以2人中恰有1名女生的概率为为63105=. 23．（1）解：频率分布表如下：（2） 频率直方图及频率折线图如图所示．24． (1)依题意，3004005006007005005x ++++==，2466755y ++++==， 513002400450066006700713700ii i x y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑， 52222221(34567)100001350000i i x==++++⋅=∑， 于是得512252113700550051200ˆ0.01213500005500100000i ii i i x y nx y b x nx==-⋅-⋅⋅====-⋅-∑∑，ˆˆ50.0125001ay bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.0121yx =-； (2)由(1)知，估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数N 约为：ˆ0.012100001119y =⨯-=，而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽，即20n =， 所以该农作物种子的培育有效率为209910832119119-=≈。

高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》105精品练习一、选择题1．一个口袋中有12个红球，x 个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为1219，则x 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5[答案] B[解析] 由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于1212＋x ，∴1212＋x ＝1219，∴x ＝7.2．(2010·银川模拟)将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12 B.56 C.34D.23[答案] B[解析] 由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为P ＝3036＝56，故选B. 3．(2010·大连一中)分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A.710B.310C.35D.25[答案] A[解析] 建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内，所以所求事件的概率为P ＝S 梯形OABD S 矩形OABC ＝710.4．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A 、B 、C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A 、C 通过的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23[答案] B[解析] 用(A ，B ，C )表示A 第一，B 第二，C 第三的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )共6种，其中B 先于A 、C通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )两种，故所求概率为P ＝26＝13.5．(文)(2010·陕西宝鸡)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π[答案] C[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|PA |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C.(理)(2010·广州市)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6[答案] B[解析] 到点O 的距离小于等于1的点，组成一个以O 为球心，1为半径的半球， ∵V 正方体＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝2π3.故所求概率为P ＝8－2π38＝1－π12.6．(2010·广东广州六中)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则使cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13 B.2πC.12D.23[答案] A[解析] ∵x ∈[－π2，π2]，∴要使0≤cos x ≤12，应有－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，由几何概型知，所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.7．m ∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x 2m ＋y 2n ＝1有意义，则方程x 2m ＋y 2n＝1可表示不同的双曲线的概率为( )A.3625 B ．1 C.925D.1325[答案] D[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ m >0n <0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0，1°⎩⎪⎨⎪⎧m >0n <0时有不同取法3×3＝9种．2°⎩⎪⎨⎪⎧m <0n >0时有不同取法2×2＝4种，∴所求概率P ＝9＋45×5＝1325.8．(文)(2010·山东肥城联考)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间内[0,2]任取的一个数，则关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率是( )A.34 B.23 C.49D.12[答案] B[解析] 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤30,0≤b ≤2}，由Δ＝4a 2－4b 2≥0及a >0，b >0知，构成事件“关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P ＝3×2－12×223×2＝23.(理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12f －2≤4的事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A.14 B.58 C.12D.38[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12f －2≤4得，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－2b ＋c ≤0，画出0≤b ≤4,0≤c ≤4表示的平面区域和事件A 所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P ＝12.9．(2010·广东罗湖区调研)已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13 B.23 C.19D.29[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0x ＋y ＝6得D (4,2)，区域Ω为△OAB ，区域A 为△OCD ，所求概率P ＝S △OCD S△OAB ＝12×4×212×6×6＝29.10．(2009·福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20D ．0.15[答案] B[解析] 该运动员三次投篮恰有两次命中即在每组的三个随机数中，恰有两个数在集合{1,2,3,4}中，题中20组随机数中，满足条件的有5组：191,271,932,812,393，∴概率P ＝520＝14. 二、填空题11．现有三种股票和两种基金，欲购买其中任意两种，有且只有一种基金的概率为________．[答案] 35[解析] 记股票为a 、b 、c ，基金为d ，e ，从中购买两种，所有构买方法为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，其中有且仅有一种基金的购买方法有：(a ，d )，(a ，e )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，∴所求概率为P ＝610＝35.12．(文)(2010·湖北黄冈)在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．[答案] 78[解析] 设x ，y 是[－1,1]上的任意两个实数，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1－1≤y ≤1，则点(x ，y )构成区域为正方形ABCD ，它们的和x ＋y ≤1为图中阴影部分，则由几何概型知，所求概率P ＝78.(理)(2010·辽宁省实验中学等三校)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥－x2x －y －4≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．[答案]3π64[解析] 可行域M 为△ABO ，易求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，B (4,4)，C (2,0)，∴S △ABO ＝12|OC |×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43＝163，区域N 为扇形OMN ， ∵S 扇形OMN ＝14×π×12＝π4，∴所求概率P ＝π4163＝3π64.13．(2010·海南五校联考)设0<a <2,0<b <1，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．[答案] 18[解析] 由e >5得c 2a 2>5，即a 2＋b 2a2>5，∴b >2a ，在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.14．(文)(2010·江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b .将a ，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．[答案]718[分析] 本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析] 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况；当a ＝5时，b ∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况； 当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P ＝1436＝718.(理)(2010·新课标全国文)设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为________．[答案]N 1N[解析] 这是随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系SS 矩形＝N 1N，而矩形的面积为1，所以依据随机模拟方法估计面积S 的近似值为N 1N.三、解答题15．(文)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗救助，其中A 1，A 2，A 3是护理专家，B 1，B 2，B 3是外科专家，C 1，C 2是心理治疗专家．(1)求A 1恰被选中的概率； (2)求B 1和C 1不全被选中的概率．[解析] (1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，((A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)．共18个基本事件．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M 包括(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)．共有6个基本事件．所以P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1和C 1全被选中”这一事件，由于N －包括(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，共有3个基本事件， 所以P (N －)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56.(理)班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)为了选出表演独唱和朗诵节目的同学，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．[解析] (1)用(i，j)表示编号为i、j的两人来跳双人舞，则所有可能结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共十种，其中两人全是男生的有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，故由对立事件概率公式知所有概率P＝1－310＝710.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其它卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.人演出的有5种，∴所求概率P＝525＝15.16．(文)(2010·天津文，18)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．[解析] (1)由题意可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种，②记事件B 为“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”，其所有可能的结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．∴P (B )＝615＝25.(理)(2010·福建文，18)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}． (1)请列出有序数组(m ，n )的所有可能结果；(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率． [解析] (1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )得，a m ·(a m －b n )＝m (m －2)＋1·(1－n )＝m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝216＝18.17．(2010·厦门市质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①设事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解析] (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)将标号为2的小球记作a 1，a 2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a 1)，(0，a 2)，(1,0)，(1，a 1)，(1，a 2)，(a 1,0)，(a 1,1)，(a 1，a 2)，(a 2,0)，(a 2,1)，(a 2，a 1)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．∴P(A)＝412＝1 3.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，∴P(B)＝S BSΩ＝2×2－π2×2＝1－π4.用心爱心专心- 11 -。

第10章 第4节一、选择题1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：A ．0.92B ．0.94C ．0.95D ．0.96[答案] C[解析] 由频率与概率关系知答案为C.2．(文)羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A.310B.67C.35D.45[答案] C[解析] 将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为1、2、3、4、5，从中任取两个的所有可能取法为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P ＝610＝35.(理)(2010·陕西检测)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34[答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P ＝46＝23.3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32[答案] D[解析] 摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.4．(文)(2010·山东潍坊、烟台)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18 B.116C.127D.38[答案] C[解析] 一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C. (理)(2010·安徽文，10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318 B.418 C.518D.618[答案] C[解析] 解法1：设正方形的4个顶点为A 、B 、C 、D ，从中任选两个顶点连成直线，有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 共6种不同选法，故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，共有基本事件6×6＝36个．设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两条直线互相垂直的事件为M ，则M 所包含的基本事件如表：∴P (M )＝1036＝518，故选C.解法2：由条件知所有的基本事件共有C 42·C 42＝36个，设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两直线垂直为事件M ，则M 含有基本事件4×2＋2＝10个，∴P (M )＝1036＝518.5．(文)(2010·北京文，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.15[答案] D[解析] 该试验所有基本事件(a ，b )可在平面直角坐标系中表示出来如下图．易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b >a ”为事件A ，则事件A 所含基本事件有3个． ∴P (A )＝315＝15，故选D.(理)(2010·黄冈检测)设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b ＝c 的概率是( )A.18 B.14 C.12D.34[答案] C[解析] 依题意得，当b ＝2时，c 可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b ≠c ；当b 从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有b ＝c .因此，b ＝c 的概率为77＋7＝12，选C. 6．(文)(09·湖北)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni )(n －mi )为实数的概率为( )A.13 B.14 C.16D.112[答案] C[解析] 投掷两颗骰子，其向上的点数m ，n ，用(m ，n )记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m ，n )|1≤m ≤6,1≤n ≤6，m ，n ∈N }，∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，它为实数的等价条件是m 2＝n 2，又m 、n 均为正整数，∴m ＝n .故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴P ＝636＝16.故选C.(理)(2010·广东省江门市模考)从一个三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45[答案] D[解析] 从6个顶点中选4个，共有C 64＝15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P ＝15－315＝45.7．(文)(2010·浙江金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( )A.110B.310C.25D.14[答案] C[解析] 取两个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字绝对值之差为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为410＝25.(理)(2010·浙江绍兴调研)在一个盒子中有5个球，其中2个球的标号是不同的偶数，3个球的标号是不同的奇数．现从盒子中一次取出3个球，则这3个球的标号之和是偶数的概率为( )A.110B.310C.25D.35[答案] D[解析] 从5个球中任取3个，有不同取法C 53＝10种，其中3个球标号之和为偶数，只能是两奇一偶，有不同取法C 32×C 21＝6种，∴所求概率为P ＝610＝35.8．(2010·广西柳州市模考)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A ．360人B ．240人C ．144人D ．120人[答案] D[解析] 设与会男教师x 人，则女教师为x ＋12人，由条件知，x x ＋ x ＋12 ＝920，∴x＝54，∴2x ＋12＝120，故选D.9．(文)(2010·湖南考试院调研)设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于34的概率为( )A.9π64 B.964 C.9π16D.916[答案] A[解析] 设两直角边长分别为a 、b ，则0<a <1,0<b <1，由条件a 2＋b 2<916，如图可知，所求概率P ＝14π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3421×1＝9π64.(理)(2010·山东滨州模拟)在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2 B.π3 C.π6D.π4[答案] D[解析] 根据题意可画如图所示的图形，所求概率为半圆与三角形面积的比，∴p ＝π×12222×2×12＝π4，故点P 在单位圆内的概率为π4，故选D.10．(文)(2010·广东玉湖中学月考、辽宁锦州模拟)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，恰为红灯的概率是( )A.25 B.58 C.115D.35[答案] A[解析] 因为红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间40秒，故整个区域的时间长度为75秒，∴P ＝3075＝25.(理)(2010·济南市模拟)已知a 、b 、c 为集合A ＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是()A.130 B.15 C.310D.12[答案] C[解析] 由程序框图知，输入a 、b 、c 三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A 中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P ＝C 42C 63＝620＝310.二、填空题11．(2010·江苏盐城调研)某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是________．[答案] 12[解析] 将两份文件编号为1,2，则所有可能存放文件的方式如表共有4种不同情形，其中此人使用同一密码箱存放这两份文件的情况有2种，∴P ＝12.12．(2010·南京市调研)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．[答案] 14[解析] 每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝14.13．(2010·浙江开化模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] e >3，即c a >3，∴a 2＋b 2a2>9，∴b a>22，即m >22，∴m 可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p ＝79.14．高三·一班班委有5名成员，其中有3名男生，要从中选派2人去参加某项活动，事件A ＝“选出的2人不全是男生”，事件B ＝“选出的2人至少有一名男生”，则事件A ∩B 的含义是________．[答案] 选出的2人一男一女[解析] 事件A 包含：一男一女和两女，事件B 包含：一男一女和两男，则事件A ∩B 为：一男一女．三、解答题15．一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球． (1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？[分析] 本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念及随机事件的概率公式和分析判断能力．[解析] (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球．因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.16．(文)(2010·福州市模拟)某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究．他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(1)(2)若研究的一个项目是在这四天中任选2天的种子发芽数来进行，记发芽的种子数分别为m ，n (m <n )，用(m ，n )的形式列出所有的基本事件，并求事件A ：“m 、n 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥30n ≥40”的概率．[解析] (1)这四天浸泡种子的发芽总数为：33＋39＋26＋46＝144， 故这四天的平均发芽率为1444×100×100%＝36%.(2)因为m <n ，故所有的基本事件为：(26,33)，(26,39)，(26,46)，(33,39)，(33,46)，(39,46)，即基本事件总数为6.易知事件A 包含的基本事件为：(33,46)，(39,46)． 所以P (A )＝26＝13.(理)(2010·北京顺义一中月考)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率； (2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率． [解析] 由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种(1)设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足a ≥0，b ≥0，则事件A 包含4个基本事件， ∴P (A )＝416＝14，∴直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)设“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B ，则需满足|b |a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1，∴事件B 包含12个基本事件，∴P (B )＝1216＝34，∴直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.17．(文)(2010·北京延庆县模考)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，然后放回，乙再摸一个球，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“编号的和为6”发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解析] (1)设“两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个．又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25(个)等可能的结果 ∴P (A )＝525＝15答：编号的和为6的概率为15.(2)这种游戏规则不公平．设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲胜的概率P (B )＝1325，从而乙胜的概率P (C )＝1－1325＝1225，由于P (B )≠P (C )，所以这种游戏规则不公平．(理)(2010·陕西宝鸡市质检)我市积极响应《全民健身条例》，大力开展学生体育活动，如图是委托调查机构在分属两类不同性质的A 校和B 校中分别随机抽取的10名高三年级学生周体育锻炼时间的茎叶图(单位：10分钟).(1)根据茎叶图计算哪个学校学生总体活动时间多；(2)如果从A 校这10名学生中随机抽取体育锻炼时间不超过120分钟的2名同学，求至少抽到1名活动时间不足1小时的同学的概率是多少．[解析] (1)计算可得，A 校的学生平均活动时间为110×(21＋11＋12＋13＋15＋17＋17＋18＋35)×10＝132分钟，B 校学生平均活动时间为110×(36＋18＋13＋13＋11＋5＋4＋4＋3＋3)×10＝110分钟，故A 校学生平均活动时间较多．(2)由茎叶图知，A 校中活动时间不超过120分钟的同学共有4名，而不足1小时的有2名，将这4名同学编号为1,2,3,4，其中不足1小时的为1,2，从中任意抽取两名同学的抽法用心 爱心 专心 - 11 - 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中至少含有1,2中的一个的概率为P ＝56. [点评] 注意细节，茎叶图中数据的单位是10分钟．。

小题必刷卷(十四)题组一刷真题角度11. B ［解析］依次执行程序框图可得，s=1+(-1)1x 一=_,k=2；s=-+(-1)2X一= ,k=3,满足k > 3,输岀s二.2. B ［解析］逐次计算结果为:S=-1,a=1 ,K=2;S=1,a=- 1,K=3;S=-2,a=1,K=4;S=2,a=- 1,K=5;S=-3,a=1,K=6;S=3,a=- 1,K=7,此时输岀S.故输岀的S=3.3. D ［解析］程序运行过程如下所示S M t初始状态0 100 1第1次循环结束100 -10 2第2次循环结束90 1 3此时S=90<91,满足条件，程序需在t=3时跳岀循环,即N=2为满足条件的最小值4. D ［解析］判断框“ ”中应填入A< 1000,由于是求最小偶数，故处理框“”中应填入n=n+2.选D.5. B ［解析］逐一写岀循环：a=14,b=18^a=14,b=4^a=10,b=4^a=6,b=4^a=2,b=4^a=2,b=2，结束循环.故选B6. B ［解析］第一次运行-=10是整数,T=1,i= 3;第二次运行-不是整数,i=4;第三次运行-=5是整数,T=2,i=5,符合判断条件i > 5,此时输岀T=2.故选B角度27. C ［解析］女教师的人数是110X 70%+150X 40%=137.8. A ［解析］不妨设该地区建设前经济收入为100万元,则建设后经济收入为200万元.四个选项的情况分析如下：所以选A9. A ［解析］由题图可知，2014年8月至9月的月接待游客量在减少，故A选项错误.10. D ［解析］平均最高气温高于20 C的月份有七、八2个月.11. D ［解析］由频率分布直方图得，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(0. 16+0.08+0. 04) X 2. 5 X 200=140.角度312. C ［解析］易知一=一=22.5,一=——=160.因为=4,所以160=4 X 22.5+,解得=70,所以回归直线方程为=4x+70，当x=24 时，=96+70=166.故选C13. D ［解析］由图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D题组二刷模拟14. C ［解析］•••高三某班有学生56人,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，「•分组间隔为56 - 4=14,又5+14=19, •样本中还有一个学生的编号为19，故选C15. A ［解析］=-X (3+5+7+9)=6, =- X (6+a+3+2)=——,•回归方程为=-0. 7X+8. 2,•——=-0.7X6+8. 2,解得a=5.故选A16. D ［解析］根据茎叶图数据可知一甲= -------------------------------------------- =27,= -------------------------------------------- =30,甲种树苗的样本数据分布比较集中，故选D 乙17. B ［解析］根据列联表中的数据，得口的观测值k= -------------- -- ---- ~5. 059>5. 024,18. C ［解析］由(a+0. 035+0. 030+0. 020+0. 010) X 10=1,得a=0. 005.得分在［40,60)内的频率是0. 40,故得分在［40,60)内的参赛者有100X 0. 40=40(名),A中结论正确得分在［60,80)内的频率为0. 5,故从这100 名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80)内的概率为0.5,B中结论正确；设这100位参赛者得分的中位数为X,则0. 4+(x- 60)X 0. 03=0. 5,可得x=—,C中结论错误；根据频率分布直方图知，最高的小矩形底边中点的横坐标为----- =55,二估计得分的众数为55, D中结论正确.故选C19. B ［解析］模拟程序的运行，可得x=8,y=3,不满足条件|y-x|< 3,继续循环，x=3,y=-，满足条件|y-x|< 3,退岀循环，输岀y的值为-.故选B220. C ［解析］模拟运行该程序：i= 1,S=0,i< 5,i 是奇数,S=-1 ,i=2;i< 5,i 是偶数,S=-1+2 =3,i= 3;i< 5,i 是奇数,S=3- 32=-6,i= 4;i< 5,i 是偶数,S=-6+42=10,i= 5,不满足i< 5,输岀S=10.故选C.21. B ［解析］若x€ ［3,5)，中位数为3,由= ---------- =3,得x=5(舍去);若x € (0,2］，中位数为2,由= -------------- =2,得x=0(舍去)若x € (2,3)冲位数为X,由= ---------------- =x，得x=2. 5.从这5个数中任取2 个有10 种结果:(1,2),(1,2. 5),(1,3),(1,4),(2,2.5),(2,3),(2,4),(2. 5,3),(2. 5,4),(3,4),其中2 个数的积大于 5 的结果有(2,3),(2,4),(2.5,3),(2. 5,4),(3,4),共 5 种,故所求概率为一二.故选B22. 24 ［解析］由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为32X-=24.23. ②④［解析］①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数|r|越接近1,故①不正确；②回归直线一定经过样本点的中心(_,_),故②正确；③若线性回归方程为=0. 2x+10,则当样本数据中x=10时，可以预测y=12,但是会存在误差，故③不正确;④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小，故④正确.综上可得,正确说法的序号为②④.解答必刷卷(六)题组一刷真题1. 解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73. 5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(以上给岀了4种理由，考生答岀其中任意一种或其他合理理由均可得分)⑵由茎叶图知m——=80.列联表如下：(3)由于K2= ----------- -- ---- =10>6. 635,所以有99%勺把握认为两种生产方式的效率有差异.2. 解:(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 : 2 : 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k) -------- (k=0,1,2,3).所以，随机变量X的分布列为(ii股事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”则A=B U C且B与C互斥.由⑴知HB)=RX=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B U C)=P(X=2)+P(X=1)=-.所以，事件A发生的概率为-.3. 解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30. 4+13. 5 X 19=226. 1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17. 5 X 9=256. 5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看岀，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13. 5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17. 5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii )从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226. 1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给岀了2种理由，答岀其中任意一种或其他合理理由均可)题组二刷模拟4. 解:(1)由(0. 004+0. 012+0. 024+0. 040+0. 012+n) X 10=1，得m=0. 008.样本平均数=95X 0. 004 X 10+105X 0. 012 X 10+115 X 0. 024 X 10+125 X 0. 040X 10+135 X 0. 012X 10+145X 0. 008 X 10=121. 8.(2)数学成绩在［130,140)的同学人数为6,数学成绩在［140,150］的同学人数为4飞的所有可能取值为0,1,2,3.P(E =0)=—=-,P(E =1 )=——二，P(E =2)=一=—,P( E =3)=——=—,所以E的分布列为E(E )=0X—+1 X- +2X—+3X _二.5. ------------------------------------------------------------------------------------ 解:(1)由2X 2列联表中的数据，可得Kf的观测值k= ------------------------------------------------------------------------- - ----------- =------------- -- ----- =-------------- 8.477<10. 828,因此,不能在犯错误的概率不超过0. 001的前提下认为对优惠活动满意与对车辆状况满意有关系(2)由题意可知用户骑行一次获得0元券的概率为一,X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)= — =——,P(X=1)= X — X—=—,P(X=2)= X -X一+ -二P(X=3)= X_X_=-,P(X=4)= - =—,•••X的分布列为X 的数学期望E(X)=0X 一+1X—+2X 一+3X—+4 X-=.6. 解:(1)由题意可知二=-6,= ------------------------ =110,2 2 2 2 , 2 ,、2(X i - ) =4 +2 +0 +(- 2) +(-4) =40,(X i- )(y i- )=4 X (-60)+2 X (- 25)+0 X 5+(-2) X 30+(-4)X 50=-550, 所以= ---------------- =-—=-13.75,=-=110+13. 75 X (-6)=27. 5,所以y关于x的回归方程为=-13. 75X+27. 5.当x=-12 时,=-13. 75X (- 12)+27. 5=192. 5~ 193,所以可预测日平均气温为-12 C时,该店的外卖订单数为193.⑵由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)J=—,p(x=1 )=——=一，P(X=2)=——=一,P(X=3)=—=一，所以X的分布列为E(X)=O X —+1 X —+2 X —+3 —=_.7. 解:(1)设下周一和下周二无雨的概率均为P,2 _______________________________________________________________________由题意得p =0. 36,解得p=0. 6.基地收益X的所有可能取值为20,15,10,7. 5,则P(X=20)=0. 36,P(X=15)=0. 24,P(X=10)=0.24,P(X=7. 5)=0. 16,所以基地收益X的分布列为E(X)=20 X 0. 36+15X 0. 24+100. 24+7. 50. 16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y(单位:万元),则E(Y)=20X 0. 6+10 X 0.4=16,E(Y)-E(X)=1. 6,所以当额外聘请工人的成本高于 1.6万元时，不应额外聘请工人；当额外聘请工人的成本低于1.6万元时，应额外聘请工人；当额外聘请工人的成本恰为1.6万元时，是否额外聘请工人均可以.8. 解:(1)样本平均数=170X 0. 02+180X 0. 09+190X 0. 22+200X 0. 33+210X 0. 24+220X 0. 08+230 X 0. 02=200,2 2 2 2 2 2 2s =(- 30) X 0. 02+(- 20) X 0. 09+(- 10) X 0. 22+0 X 0. 33+10 X 0. 24+20 X 0. 08+30 X 0. 02=150. (2)①由(1)知,Z〜^200,150),从而P(187.8<Z W 212 2)=P(200-12. 2<Z< 200+12. 2)=0. 682 6 .②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2］上的概率为0.682 6,可得X~E(100,0.682 6 ),所以E(X)=100X 0. 682 6=68. 26.。

江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y期望．4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。

第10章 第7节一、选择题1．(2020·山东枣庄模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6的二项展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．－15C ．30D ．－30 [答案] A[解析] 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C 6r (x 2)6－r·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C 6rx 12－5r 2，令12－5r2＝2，得r ＝4，∴x 2的系数为(－1)4C 64＝15.2．(x －1)6＋6(x －1)5＋15(x －1)4＋20(x －1)3＋15(x －1)2＋6(x －1)＝( ) A ．x 6B ．x 6＋1C ．x 6－1D ．(x －1)6＋1 [答案] C[解析] 由二项式定理的展开式得，原式＝C 60(x －1)6＋C 61(x －1)5＋C 62(x －1)4＋C 63(x －1)3＋C 64(x －1)2＋C 65(x －1)＋C 66－1＝[(x －1)＋1]6－1＝x 6－1.3．设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，在a 0，a 1，…，a 8构成的集合M 中任取一个数，该数是奇数的概率为( )A.29 B.49 C.15 D.12 [答案] C[解析] a k ＝C 8k，C 80＝C 88＝1，C 81＝C 87＝8，C 82＝C 86＝28，C 83＝C 85＝56，C 84＝70，∴集合M＝{1,8,28,56,70}，故所求概率P ＝15.4．(2020·南昌市模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n (n ∈N *)展开式中常数项是C n 2，则n 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．3或6 [答案] D[解析] 展开式的通项为T r ＋1＝C n r (x 12)n －r (x －1)r ＝C n r x n －3r 2，若要其为常数项，须有n －3r 2＝0，即r ＝13n ，又由题设知C n 2＝C 13n n ，∴2＝13n 或n －2＝13n ，∴n ＝6或n ＝3.5．(2020·湖北黄冈)若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10恒成立，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－10 [答案] D[解析] 由多项式恒等及二项式定理知(右边x 9系数应为0，x 10系数应为1)，⎩⎪⎨⎪⎧a 9＋C 101a 10＝0a 10＝1，∴a 9＝－10.6．已知a >0，在二项式(ax ＋1)4的展开式中，二项式系数最大的项的系数为24，则系数最大的项的二项式系数为( )A ．C 41B ．C 42 C ．C 43D ．C 44 [答案] A[解析] (ax ＋1)4展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第3项，即T 3＝C 42·(ax )2，由条件知C 42a 2＝24，∴a 2＝4，∵a >0，∴a ＝2.(2x ＋1)4展开式的通项为T r ＋1＝C 4r (2x )4－r＝C 4r·24－r ·x4－r，∵C 4r 先增大后减小，24－r递减，∴系数最大的项在前三项中，∵C 4024＝16，C 4123＝32，C 42·22＝24，∴故选A.7．已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4)．若22020≡r (mod 7)，则r 可以为( )A ．2020B ．2020C ．2020D ．2020 [答案] C[分析] 根据定义，要确定22020≡r (mod 7)中的r ，就要确定22020用7除的余数，因此利用二项式定理，将其向7的倍数转化．[解析] 22020＝23×670＝8670＝(7＋1)670＝C 6700·7670·10＋C 6701·7699·11＋…＋C 670670·70·1670.因此22020除以7所得的余数为1，经验证，2020除以7余数也为1，选C.8．(2020·延边州质检)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40 [答案] B[解析] 令x ＝1得，2n ＝32，∴n ＝5，T r ＋1＝C 5r (x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C 5r x 10－3r ， 令10－3r ＝1得，r ＝3，∴x 的系数为C 53＝10.9．在(3x －23x )11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则⎠⎛01x αd x ＝( )A.16B.67C.89D.125[答案] B[解析] 因为展开式一共12项， 其通项公式为T r ＋1＝C 11r ·(3x )11－r·(－23x )r＝C 11r·311－r·(－2)r·x 33－r 6，r ＝0,1， (11)其中只有第4项和第10项是有理项， 故概率α＝212＝16，∴⎠⎛01x 16d x ＝67x 76|01＝67.10．2100除以9的余数是( ) A ．2 B ．－1 C ．8 D ．7 [答案] D[解析] ∵2100＝2×(23)33＝2×(9－1)33＝2×(C 330933－C 331932＋C 332·931＋…＋C 33329－1)， ∴2100除以9的余数为2×(－1)＋9＝7. 二、填空题11．(2020·河北唐山)(1－x )(1＋2x )5的展开式按x 的升幂排列，第3项为________． [答案] 30x 2[解析] 按x 的升幂排列，第三项应是含x 2的项，故为C 51(2x )·(－x )＋C 52(2x )2＝－10x 2＋40x 2＝30x 2.12．(2020·四川文，13)(x －2x)4的展开展式中的常数项为________．(用数字作答)[答案] 24[解析] 设展开式中第r ＋1项是常数项， ∵T r ＋1＝C 4r x4－r(－2x)r ＝C 4r (－2)r x 4－2r，∴4－2r ＝0.∴r ＝2， ∴T r ＋1＝C 42(－2)2＝24.13．(2020·重庆中学)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数为________．[答案] 21[解析] 令x ＝1得各项系数之和为(3－1)n＝128，∴n ＝7，展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C 7r(3x )7－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r＝(－1)r 37－rC 7rx 7－53r ，令7－53r ＝－3，∴r ＝6，∴系数为(－1)6×3×C 76＝21.14．(2020·泰安质检)若(1＋2x )n 展开式中含x 3的项的系数等于含x 的项系数的8倍，则n 等于________．[答案] 5[解析] 由条件知，C n 3·23＝8C n 1×2，∴n ＝5.15．(2020·新乡市模考)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是________．[答案] 20[解析] 由条件知n ＝6，∴T r ＋1＝C 6r (x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C 6r ·x 12－4r ，由12－4r ＝0得r ＝3，∴常数项为C 63＝20.16．(2020·聊城市模拟)将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝________. [答案]20091005[解析] 第r ＋1项T r ＋1＝C n r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r＝(－1)rC n r x－2r，令－2r ＝－4，∴r ＝2，∴a n ＝(－1)2C n 2＝n n －12，∴1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝21×2＋22×3＋…＋22009×2010＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12009－12010＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12010＝20091005. 三、解答题 17．已知(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． [解析] (1)∵C n 4＋C n 6＝2C n 5， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5， ∴T 4的系数＝C 73(12)423＝352，T 5的系数＝C 74(12)324＝70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数＝C 147(12)727＝3432.(2)由C n 0＋C n 1＋C n 2＝79，可得n ＝12，设T k ＋1项的系数最大． ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C 12k 4k≥C 12k －14k －1，C 12k 4k ≥C 12k ＋14k ＋1.∴9.4<k <10.4，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝(12)12C 1210410x 10＝16896x 10.。

第八节二项分布与正态分布知识点一条件概率及其性质1．对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB) P(A).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB)n(A).2．条件概率具有的性质：(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．判断正误(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( × )2．天气预报播报，在国庆假期甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4，两地同时降雨的概率为0.2，则在乙地降雨的前提下，甲地降雨的概率为( C )A ．0.12B ．0.2C ．0.5 D.23解析：由条件概率公式，得P (甲|乙)＝P (甲乙)P (乙)＝0.20.4＝0.5. 知识点二 相互独立事件1．对于事件A ，B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．2．若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )．3．若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．4．若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( C )A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.56解析：设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.4．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( B )A.C 35C 14C 45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14 D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49. 知识点三 二项分布1．独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．2．在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k (k＝0,1,2，…，n )(p 为事件A 发生的概率)，事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为二项分布，记为X ～B (n ，p )．5．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( A ) A.516 B.316 C.58 D.38解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12， 所以P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.6．(2019·福建厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D )A.25B.35C.18125D.54125解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 知识点四 正态分布1．正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．2．正态曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1；(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；(3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6；(2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4；(3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.7．(选修2－3P75B 组第2题改编)若X ～N (5,1)，则P (3<X <4)＝( D )A ．0.954 5B ．0.477 3C ．0.341 4D ．0.135 9解析：依题意得P (3<X <4)＝12P (3<X <7)－12P (4<X <6)＝12×0.954 4－12×0.682 6＝0.135 9.1．条件概率(1)在事件B 发生的条件下A 发生的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)如果B 与C 互斥，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2．运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A ，B 相互独立时，公式才成立．3．注意二项分布与超几何分布的联系与区别．有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.考向一 条件概率【例1】 (1)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12(2)已知一批产品共有10件，其中有3件次品，现不放回地从中依次抽取2件，则在第一次抽到次品的情况下，第二次抽到次品的概率为________．【解析】 (1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C.(2)解法1：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，则P (A )＝310，P (AB )＝A 23A 210＝115，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝115×103＝29. 解法2：(基本事件法)抽取2件，第一次抽取次品的基本事件数为n (A )＝C 13C 19＝27，第一次抽次品，第二次也抽到次品的基本事件数为n (AB )＝C 13C 12＝6，故所求概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝627＝29. 解法3：(缩样法)第一次抽到次品后，还剩9件产品，其中还有2件次品，由古典概型的概率公式得，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝29.【答案】 (1)C (2)29条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). (3)缩样法：即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况(如本例(2)的解法)，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简．(1)(2019·河北唐山二模)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )A.29B.49C.23D.79(2)甲、乙两个狙击手，对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.9,0.95.现已知目标被击中，则它被乙击中的概率是0.955.(精确到小数点后第三位)解析：(1)甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：①乙跑第一棒，共有A33＝6种情况；②乙不跑第一棒，共有A12·A12·A22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.(2)设“目标被击中”为事件A，“被乙击中”为事件B，则P(A)＝0.9×(1－0.95)＋(1－0.9)×0.95＋0.9×0.95＝0.995，P(AB)＝P(B)＝0.95，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.950.995≈0.955.考向二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2019·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列．【解】(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)＝35100＝0.35，P(B)＝45100＝0.45，P(C)＝20100＝0.2，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P＝1－(P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C))＝0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A)P(A)＝0.35×0.35＝0.122 5，P(X＝3)＝P(A)P(B)＋P(B)P(A)＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P(X＝4)＝P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.342 5，P(X＝5)＝P(B)P(C)＋P(C)P(B)＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18，P(X＝6)＝P(C)P(C)＝0.2×0.2＝0.04.∴X的分布列为X 2345 6P 0.122 50.3150.342 50.180.04求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.考向三 独立重复试验与二项分布【例3】 (2019·广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列．【解】 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝C23×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343，∴X的分布列为X 012 3P 0.0270.1890.4410.343利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数； (2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8125361255412527125考向四 正态分布【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)因为曲线的对称轴是直线x ＝2，所以由图知P (ξ≤0)＝1－P (ξ<4)＝0.16.(2)由题意，μ＝0，σ＝3，所以长度误差落在区间(－3,3)内的概率为68.26%，长度误差落在区间(－6,6)内的概率为95.44%，两者作差，可得长度误差落在区间(－6，－3)∪(3,6)内的概率为27.18%，由正态曲线的对称性，知长度误差落在区间(3,6)内的概率为27.18%÷2＝13.59%.【答案】(1)A(2)B解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.(1)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(C)A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )(2)设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)(σ>0)，若P (ξ<0)＋P (ξ≤1)＝1，则μ的值为( D )A ．－1B ．1C ．－12D.12解析：(1)由图可知σ1<σ2，μ1<μ2，所以P (Y ≥μ2)＝12，P (Y ≥μ1)>12；P (X ≤σ1)≤P (X ≤σ2)，则选项A 、B 错误；而结合图形可知，X 的正态曲线与x 轴及x ＝t 围成的面积不小于Y 的正态曲线与x 轴及x ＝t 围成的面积，则P (X ≤t )≥P (Y ≤t )．(2)由P (ξ<0)＋P (ξ≤1)＝1，得P (ξ<0)＋1－P (ξ>1)＝1，即P (ξ<0)＝P (ξ>1)，所以μ＝12.。

(名师选题)全国通用版高中数学第十章概率必考考点训练单选题1、从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③答案：C分析：列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A ．249B ．649C ．17D ．27答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种， 所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、在一次试验中，随机事件A ，B 满足P(A)=P(B)=23，则（ ） A ．事件A ，B 一定互斥B ．事件A ，B 一定不互斥C ．事件A ，B 一定互相独立D ．事件A ，B 一定不互相独立 答案：B分析：根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可若事件A ，B 为互斥事件，则P(A +B)=P(A)+P(B)=43>1，与0≤P(A +B)≤1矛盾，所以P(A +B)≠P(A)+P(B)，所以事件A ，B 一定不互斥，所以B 正确，A 错误，由题意无法判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A ，B 是否互相独立，所以CD 错误， 故选：B4、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A ．35B ．23C ．34D ．415 答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖， 此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券， 则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P =69=23.故选：B.5、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A ．1999B ．11000C ．9991000D ．12答案：D每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D. 6、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ） A ．买100张彩票就一定能中奖 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D7、当P(A)>0时，若P(B|A)+P(B ̅)=1，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．互斥B ．对立C ．相互独立D ．无法判断 答案：C分析：根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.∵P(B|A)+P(B̅)=P(B|A)+1−P(B)=1，∴P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(B)，P(A)∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立.故选：C.8、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.9、已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件答案：C分析：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．10、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C42=6种，相邻的情况共有4种，=0.6，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610故选：C.11、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）A．0.1B．0.2C．0.5D．0.6答案：D分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：=0.6估计这个人体重减轻的概率约为p=6001000故选：D小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.12、若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，则实数a的取值范围是A．(1,2)B．(54,32)C．(54,43)D．(54,43]答案：D分析：由随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)⩽1，由此能求出实数a的取值范围．∵随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且P(A)=2−a，P(B)=4a−5，∴{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)⩽1，即{0<2−a<10<4a−5<13a−3⩽1，解得54<a⩽43，即a∈(54,43]．故选：D．小提示：本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．填空题13、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6，且事件A与B相互独立，则P(A+B)=________.答案：0.8##45分析：先算出P(AB)，再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3，则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是：0.8.14、抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a、b，则实数a是方程2x−b=0的解的概率为_______.答案：112分析：利用列举法计数，然后根据古典概型求得结果.得到数字a,b,组成有序数对(a,b),其中，a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，列举可得对应(a,b)共有36种不同的情况，每种情况都是等可能的，实数a 是方程2x −b =0的解只有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况，共其概率为336=112. 所以答案是：11215、一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 答案：0.9## 910分析：利用概率加法公式直接求解.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P =0.5+0.7−0.3=0.9. 所以答案是：0.9.16、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________. 答案：1415分析：“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率. 由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件， 则至少取得一个红球的概率为P(A)=1−P(B)=1−115=1415. 所以答案是：1415.17、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____． ①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；③这枚骰子质地一定不均匀．答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.解答题18、某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.答案：（1）a=0.015，s12>s22；（2）0.42分析：（1）根据频率之和为1求得a，根据数据的集中程度可比较方差；（2）分别求出未来的某一天，甲、乙种酸奶的销售量不高于20箱的概率即可求出.（1）根据频率分布直方图（甲）可得：(0.02+0.01+0.03+a+0.025)×10=1，解得a=0.015，根据两个频率分布直方图可得，乙种酸奶日销售量数据更集中，所以s12>s22；（2）设事件A：在未来的某一天，甲种酸奶的销售量不高于20箱，事件B：在未来的某一天，乙种酸奶的销售量不高于20箱，事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱，则P(A)=0.2+0.1=0.3，P(B)=0.1+0.2=0.3，所以P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.19、从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．(1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选3人中恰有一名女生的概率；(3)求所选3人中至少有一名女生的概率答案：(1)答案见解析(2)35(3)45分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC，ABD，ABm，ABn，ACD，ACm，ACn，ADm，ADn，Amn，BCD，BCm，BCn，BDm，BDn，Bmn，CDm，CDn，Cmn，Dmn，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种， 所以所求概率为1620=4520、今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率. 答案：(1)P(C)=23,P(B)=38(2)2132分析：（1）根据独立事件的概率公式计算； （2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算． （1）设事件A =“甲学校回答正确这道题”，事件B =“乙学校回答正确这道题”，事件C =“丙学校回答正确这道题” ， 则P(A)=34，P(AC)=12，P(BC)=14， ∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的. ∴事件A ，B ，C 相互独立.∴P(AC)=P(A)⋅P(C)=12,P(BC)=P(B)⋅P(C)=14， ∴P(C)=23,P(B)=38 ； （2）设事件M =“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”M =ABC ∪AB ̅C ∪A BC ∪ABC 且ABC ,AB̅C,ABC,ABC 两两互斥，P(M)=P(ABC∪AB̅C∪A BC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(A BC)+P(ABC)；由于事件A，B，C相互独立.所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34⋅38⋅13=332P(AB̅C)=P(A)P(B̅)P(C)=34⋅58⋅23=516，P(A BC)=P(A)P(B)P(C)=14⋅38⋅23=116，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34⋅38⋅23=316，P(M)=332+516+116+316=2132。

第十章 统计与统计案例第一节 随机抽样一、基础知识1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．二、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围考点一简单随机抽样[典例]下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．[答案] B[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．[题组训练]1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 C ．02D ．01解析：选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.2．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A.14B.13C.514D.1027解析：选C 根据题意，9n －1＝13，解得n ＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.考点二 系统抽样[典例] (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A ．16B ．17C ．18D ．19 (2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．[解析] (1)因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x ＋17×25＝443，所以x ＝18.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.[答案] (1)C (2)2 10[变透练清]1.(变结论)若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________．解析：从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组1 00040＝25个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人．答案：102．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．解析：由题知分组间隔为648＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.答案：45[解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三 分层抽样[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )A ．25,25,25,25B ．48,72,64,16C ．20,40,30,10D ．24,36,32,8[解析] 法一：因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.[答案] D[解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．[题组训练]1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 由已知条件知抽样比为301 200＝140，从而811 000＋1 200＋n ＝140，解得n ＝ 1 040，故选D.2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x ，依题意可得错误!＝20x ＋20，解得x ＝85. 答案：85[课时跟踪检测]1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 019D ．都相等，且为140解析：选C 从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN ，故每名学生入选的概率都相等，且为502 019.2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A.12 C ．06D ．16解析：选C 被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为06. 3．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．23B ．27C ．31D ．33解析：选C 分段间隔为524＝13，故样本中还有一个同学的座号为18＋13＝31.4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A ．63B ．64C ．65D ．66解析：选A 若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间(450,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项，以30为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21.由450＜30n －21≤750，解得15.7＜n ≤25.7.又n 为正整数，所以16≤n ≤25，故做问卷B 的人数为25－16＋1＝10.故选C.8．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件)130由于不小心，表格中A ，C A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．解析：设样本容量为x ，则x 3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．答案：8009．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1 015.答案：50 1 01510．将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是4＋12(k －1)．令302≤4＋12(k －1)≤496，得2556≤k ≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为42－25＝17(人)．答案：1711．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．第二节 用样本估计总体一、基础知识1．频率分布直方图(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距；(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图茎叶图是统计中用来表示数据的一种图， 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁 边生长出来的数．4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(2)众数一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n 个数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．5．样本的数字特征如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么这n 个数的 (1)平均数x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．(2)标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (3)方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．二、常用结论1．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2.考点一 茎叶图[典例] (2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7[解析] 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等， 所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.[答案] A[解题技法] 茎叶图的应用(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小． [题组训练]1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.2.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲得分稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙得分稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲得分稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙得分稳定解析：选A 因为x 甲＝2＋7＋8＋16＋225＝11，x 乙＝8＋12＋18＋21＋255＝16.8，所以x 甲＜x 乙且乙比甲成绩稳定．考点二 频率分布直方图[典例] 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．[解] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x ＝0.007 5. 即直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224. [变透练清]1．某校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，所作的频率分布直方图是( )解析：选A 以5为组距将数据分组为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A 中的图．2.(变结论)在本例条件下，在月平均电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取________户．解析：月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280]的用户有10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15.所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．答案：53．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ， 解得a ＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000＝3.6(万)．考点三样本的数字特征考法(一)样本的数字特征与频率分布直方图交汇[典例](2019·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8[解析]第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B 错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.[答案] C[解题技法]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二)样本的数字特征与茎叶图交汇[典例]将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________.[解析] 由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.[答案] 367[解题技法]样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇[典例] (2018·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．(1)请填写下表(写出计算过程)：平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 乙(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)． [解] 由题图，知甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.填表如下：平均数方差命中9环及9环以上的次数甲7 1.2 1乙7 5.4 3(2)甲乙∴甲成绩比乙稳定．②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．[解题技法]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[题组训练]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是()A．46,45,56B．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析：选A 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s 23.53.62.25.4A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照[80,82)，[82,84)，[84,86)，[86,88)，[88,90)，[90,92)，[92,94)，[94,96]分成8组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，……，第八组．则样本数据的中位数在第________组．解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．答案：四[课时跟踪检测]A 级1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,60)内的数据个数为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选B由题意，样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24，所以估计样本在[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.2．(2019·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确．②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.3．(2018·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18C．20 D．25解析：选A根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4.2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A，B两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率基础知识题库单选题1、如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为p (0<p <1)，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．[1−(1−p )p 2]pB ．[1−p (1−p 2)]pC ．[1−(1−p )(1−p 2)]pD ．[1−(1−p )2p ]p 答案：C分析：要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.记零件或系统X 能正常工作的概率为P(X)，该系统正常工作的概率为:P {[(AB )∪C ]∩D }=P [(AB )∪C ]P (D ) =[1−P(AB)P(C)]P (D )=(1−P(A ∪B)P(C))P (D ) =[1−(1−P (AB ))(1−P (C ))]P (D )=[1−(1−p 2)(1−p )]p , 故选：C.2、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ， 双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能， 田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个， 所以田忌获胜的概率p =16.故选：D3、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 A ．1999B ．11000C ．9991000D ．12 答案：D每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D.4、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ） A ．买100张彩票就一定能中奖 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．购买彩票中奖的可能性为1100 答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100. 所以答案是：D5、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D 选项结论正确. 故选：C6、若随机事件A ，B 互斥，且P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(43,32]B ．(1,32]C ．(43,32)D ．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解. 由题意，知{0<P(A)<10<P(B)<1P(A)+P(B)≤1 ，即{0<2−a <10<3a −4<12a −2≤1 ，解得43<a ≤32，所以实数a 的取值范围为(43,32]. 故选：A.7、用1，2，3，4编号10个小球，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则0.4是指1号球占总体的（ ）A ．频数B ．频数/组距C ．频率/组距D ．频率 答案：D分析：根据频率定义可得答案.因为1号球的频数为4，所以1号球占总体的频率为410=0.4. 故选：D.8、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．14 答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法； 共有18种分法， 则2，3连号的概率为P =618=13.故选：B .小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.9、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．38B ．58C ．316D ．516 答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58． 故选：B10、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（ ）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C42=6种，相邻的情况共有4种，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610=0.6，故选：C.填空题11、有甲､乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是___________.答案：0.26分析：利用互斥事件及独立事件概率公式即得.由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，则所求概率P=0.8×(1−0.9)+(1−0.8)×0.9=0.26.所以答案是：0.26.12、将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为__________.（结果用最简分数表示）答案：19分析：将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为12的情况数，进而求得概率即可由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的概率为436=19所以答案是：1913、某保险公司抽取了1000辆投保车辆，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：若每辆车的投保金额均为2700元，则这1000辆车中赔付金额大于投保金额的概率为______．答案：0.27##27100分析：根据统计表分别求得赔付金额为3000元和 4000元的概率，再利用互斥事件的概率求解. 设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，且事件A，B互斥，则P(A)=1601000=0.16，P(B)=1101000=0.11，由于投保金额为2700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以所求概率为P(A)+P(B)=0.16+0.11=0.27．所以答案是：0.2714、期末考试结束，高二（1）班班主任张老师从班里的40名学生中，随机抽取10名学生的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学生偏科现象．将10名学生编号为1、2、3、…、10，再将他们的两科成绩（单位：分）绘成如图所示的折线图．从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈，则这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率为______．答案：35##0.6分析：依据古典概型去求这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率.设“抽取的这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩”为事件B．因为两科成绩均超过70分的学生编号分别是1、3、4、9、10，其中语文成绩高于数学成绩的学生编号分别是1、4、10.则从这5位学生中随机抽取2人构成的样本空间为Ω={(1,3),(1,4),(1,9),(1,10),(3,4),(3,9),(3,10),(4,9),(4,10),(9,10)}，10个样本点 事件B 包含{(1,3),(1,9),(3,4),(3,10),(4,9),(9,10)}，共6个样本点． 所以这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率P (B )=610=35． 所以答案是：3515、已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______． 答案：19400##0.0475分析：设事件A 表示“甲射击一次命中目标”，事件B 表示“乙射击一次命中目标”，分两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，概率为P(ABA)；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，概率为P(ABAB)，由此可求得答案.解：设事件A 表示“甲射击一次命中目标”，事件B 表示“乙射击一次命中目标”，则A ，B 相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中， 此时的概率为P(ABA)=(1−34)×(1−45)×34=380；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为P(ABAB)=(1−34)×(1−45)×(1−34)×45=1100．故停止射击时，甲射击了两次的概率是380+1100=19400． 所以答案是：19400. 解答题16、从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(1)求表中字母a的值；(2)求至多遇到5个红灯的概率．答案：(1)a=0.2(2)0.97分析：（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出a的值；（2）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.（1）由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.（2）设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D̅，则P(D̅)=1−P(D)=1−0.03=0.97.17、某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果：贫困地区发达地区（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率（结果精确到0.001）；（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率.答案：（1）见解析（2）贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55.解析：（1）根据所给表格,依次计算各组对应的频率值即可.（2）随着测试人数的上升,可知频率值趋近于某个值,即为概率值.（1）根据频率计算公式,可得如下表所示: 贫困地区发达地区（2）随着测试人数的增加,两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55. 故贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55. 小提示：本题考查了具体问题中频率的求法,频率与概率的关系,属于基础题.18、人类的四种血型与基因类型的对应为：O 型的基因类型为ii ，A 型的基因类型为ai 或aa ，B 型的基因类型为bi 或bb ，AB 型的基因类型为ab ．其中a 和b 是显性基因，i 是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，请确定他们的子女的血型是O ，A ，B 或AB 型的概率，并填写下表：答案：见解析分析：根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.解：当父母血型的基因类型组合ai ×bi ，得子女血型的基因类型有ai,ab,bi,ii 共4个，则O 型血的概率为14，A 型血的概率为14，B 型血的概率为14，AB 型血的概率为14，当父母血型的基因类型组合ai ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,bi,bi 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为12，AB 型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合aa ×bi ，得子女血型的基因类型有ab,ai,ab,ai 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为12，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为12， 当父母血型的基因类型组合aa ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,ab,ab 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为1，填入表中，如表所示：所以一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：ai,ab,bi,ii ，ab,ab,bi,bi ，ab,ai,ab,ai ，ab,ab,ab,ab 共16个，则他们的子女的血型是O 型血的概率为116，A 型血的概率为316，B 型血的概率为316，AB 型血的概率为916.19、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案.（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人，用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.。