北京邮电大学附中高三数学一轮复习单元训练：概率 含答案

高考理科数学一轮复习课时卷：第十章概率第二节排列与组合一、选择题1．不等式A n6＜6A n5的解集为()A．[2,8] B．(6,11) C．[6,11) D．{11}答案：C解析：A n6＜6A n5∴n！(n－6)！＜6·n！(n－5)！∴n－5＜6∴n＜11又∵n≥6n≥5∴6≤n＜11，故选C.2．（全国2卷，理9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种答案：B解析：242224⨯⨯=共有：C种3．广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．48种B．36种C．18种D．12种答案：B解析：分A和B都选中和只选中一个两种情况；当A和B都选中时，有A22·A32种选派方案；当A和B只选中一个时，有2A21·A33种选派方案，所以不同的选派方案共有A·2A32＋2A21·A33＝36种．4．(·金华联考)形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A．B．18 C．16 D．11答案：C解析：由题意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，则其他位置任意排1、2、3.则这样的数有A22A33＝12个；若十位和千位排5、3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1、2在其余位置上任意排列，则这样的数有A22A22＝4个，综上，共有16个5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()A．36种B．48种C．60种D．64种答案：B解析：依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C 21A 33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C 32C 21A 33＝36，故不同的种植方案共有48种．6．(·湖南联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A 、B 、C 为必选城市，并且游览过程中必须按照先A 后B 再C 的次序经过A 、B 、C 三个城市(A 、B 、C 三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有( )A ．80种B ．1C ．480种D ．600种答案：B解析：首先从剩余的另外4个城市选出2个，共有C 42＝6种方法，将选出的5个城市全排，则共有A 55种方法，由于要求必须按照先A 后B 再C 的顺序经过A 、B 、C 三个城市，所以需去除三座城市的全排的情况，所以不同的游览线路共有C 42×A 55A 33＝1路，故选B. 二、填空题7．如图所示，在A 、B 之间有四个焊接点，若焊接点脱落则导致电路不通，今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．答案：13解析：四个焊接点脱落导致电路不通有四种可能：一处脱落时有C 21种可能；二处脱落时有C 42种可能；三处脱落时有C 43种可能；四处脱落时有1种情况．故共有可能的情况是C 21＋C 42＋C 43＋1＝2＋6＋4＋1＝13(种)．8．某班要从8名同学中选4人参加校运动会的4×100米接力比赛，其中甲、乙两名同学必须入选，而且甲、乙两人必须跑第一棒或最后一棒，则不同的安排方法共有________种(用数字作答)．答案：60解析：易知满足题意的不同的安排方法共有A 62A 22＝60种．9．(·武汉调研)从4个班级的学生中选出7名学生代表，若每一个班级中至少有一名代表，则选法种数为________种．答案：析：将7个名额视为7个完全一样的球，并将其排成一列，形成了6个空位，从这6个空位中任选三个插入“隔板”，每一种插入方法对应一种选法，因此相应的选法共有C 63＝三、解答题10．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类：(1)不要0和1的有C 43·A 33·23个；(2)要1不要0的有C 42·A 33·22个；(3)要0不要1的有2C 42·22·A 22个．故共可得到不同的三位数有C 43·A 33·23＋C 42·A 33·22＋2C 42·22·A 22＝432(个)．11．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．由分步计数原理，知共有C 42A 43＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法，再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C 42种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C 42种选法，共有C 42C 42种方法．由分类计数原理知共有C 41A 42＋C 42C 42＝84种不同的放法．12．已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好相互平行的情况有多少种？解：∵ y ′＝ax ＋b ，∴y ′|x ＝1＝a ＋b ，若a ＋b ＝5有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．若a ＋b ＝7有三条抛物线，从中取出两条，有C 32种取法．若a ＋b ＝9有四条抛物线，从中取出两条，有C 42种取法．若a ＋b ＝11有三条抛物线，从中取出两条，有C 32种取法．若a ＋b ＝13有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．由分类加法计数原理知任取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好平行的情形共有C 22＋C 32＋C 42＋C 32＋C 22＝14种．。

高考数学一轮复习《概率》专项检测试题有答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量X 的分布列为3,2,1,2)(===i aii X P ，则==)2(X P ( ) A ．91 B ．61 C ． 31 D ．41【答案】C2．若随机变量X 的概率分布密度函数是),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π则(21)E X +的值是( )A ．5B ．9C ．3D ．2 【答案】C3．从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人按系统抽样方法选取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B 均不相等C ．都是2015 D ．都是401 【答案】C4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球 【答案】C5．某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．165 B ．325 C ．61 D ．以上都不对【答案】A6．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )A ．1B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22【答案】C7．下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③20()x x R ≥∈；④方程2350x x -+=有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军。

其中，随机事件的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B8．随机变量X 服从二项分布X ～()p n B ,，且,200,300==DX EX 则p 等于( )A ．32 B ．31 C ． 1 D ． 0【答案】B9．已知随机变量X 服从正态分布N （2，2σ），8.0)4(=≤X P ，则=≤)0(X P ( )A ． 0.4B ．0.2C ．0.6D ．0.8 【答案】B10．从20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( ) A ．521 B ．27 C ．310 D ．37【答案】B11．某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中，从3道文史题和4道理科题中，不放回地抽取2道题，第一次抽到文史题，第二次也抽到文史题的概率是( )A ． 17；B.649；C.314；D. 949；【答案】A12．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( ) A ．14 B ．13C ．274D ．4512【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．随机变量ξ的分布列为则ξ为奇数的概率为 ．【答案】81514．某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． 【答案】出海15．在12个正整数（其中10个偶数，2个奇数）中，随机抽取3个的必然事件是___________________. 【答案】至少有一个是偶数16．设()f x 与g(x)都是定义在R 上的函数，且(1)(1)5()0,()(),.(1)(1)2xf fg x f x a g x g g -≠=+=-在数列(){}(1,2,,10)()f n ng n =中，任取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率为【答案】53 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表(Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 【答案】（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为(II ）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值； (2）从[40,50)岁年龄段的“低碳族．．．”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ． 【答案】（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=． (2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． 随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．为了解今年某校高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.(1）求该校报考清华大学的总人数；(2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华大学的同学中任选三人，设ξ表示体重超过60公斤的学生人数，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）设报考清华大学的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323212312p p p p p p p解得375.0,25.0,125.0321===p p p 又因为np 1225.02==，故48=n (2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p 所以x 服从二项分布,kk k C k x p -==33)83()85()( · 随机变量x 的分布列为：则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex 或: 815853=⨯=Ex20．已知关于x 的一元二次函数 )0(1)(2≠+-=a bx ax x f ,设集合 },3,2,1{=P =Q }4,3,2,1,1{-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到的数对),(b a ．(1）列举出所有的数对(,)a b , 并求函数()y f x =有零点的概率；(2）求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率． 【答案】（1）),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(),1,1(),(--共有b a )4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),1,3(-，15种情况函数04,)(2≥-=∆=a b x f y 有零点， 有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况所以函数52156)(==有零点的概率为x f y (2）函数,2)(a b x x f y ==的对称轴为 ),1[+∞在区间上是增函数则有12≤ab， (1，—1），（1，1），（1，2），（2，—1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， (3，—1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件 所以函数.1513),1[)(上是增函数的概率为在区间+∞=x f y 21．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取1个，求事件A （6.92<d ≤6.94） 事件B （6.90<d ≤6.96）、事件C （d>6.96）、事件D （d ≤6.89）的频率. 【答案】事件A 的频率P （A ）=1002617+=0.43，事件B 的频率 P （B ）=10081526171710+++++=0.93，事件C 的频率P （C ）=10022+=0.04，事件D 的频率P （D ）=1001=0.01.22． 某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖.(Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率； (Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽.用ξ表示获奖的人数.求ξ的分布列及,E D ξξ．【答案】（Ⅰ）设“世博会会徽”卡有n 张，由221013n C C =,得n =6.故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为24210215C C =.(Ⅱ）2(4,)15B ξ， ξ的分布列为 44213()()()1515k k kp k C ξ-==（k=0,1,2,3,4） 或28221044,4(1)15151515225E D ξξ∴=⨯==⨯⨯-=。

课后限时集训(六十五) 随机事件的概率建议用时：40分钟一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ＋B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件B [因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ＋B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B.]2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.13A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.] 3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32 D [从中摸出一球，为红球的概率为45100＝0.45. 故摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A [由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件．]5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]二、填空题6．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为________．65%[因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%.] 7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________，“抽到二等品或三等品”的概率为________．0.35 0.3[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.“抽到二等品或三等品”的概率为P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.”]8．某城市2020年的空气质量状况如下表所示：T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为________．3 5[由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.]三、解答题9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．98× √ × ×(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 10.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝44100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1121212选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45D [设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.23C [20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝14，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为14.] 3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少3人排队等候的概率为________．(1)0.56 (2)0.44 [记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ， 所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ， 所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F ) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.]4．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获得利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天的需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：日需求量n /件8 9 10 11 12 频数91115105(ⅰ) (ⅱ)若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于500元的概率．[解] (1)当日需求量n ≥10时，利润y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200； 当日需求量n ＜10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以日利润y 关于日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200n ≥10，n ∈N *，60n －100n ＜10，n ∈N *.(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，这50天中有9天的日利润为380元，有11天的日利润为440元，有15天的日利润为500元，有10天的日利润为530元，有5天的日利润为560元，所以这50天的日利润的平均数为150×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若当天的利润大于500元，则日需求量大于10件， 则当天的利润大于500元的概率P ＝10＋550＝310.1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．815 1415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160, 220,200,110,160,160,200,140,110,160,220, 140,160.(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y＝2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.。

课后限时集训(五十八)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为( )A ．34 B.23 C ．12D ．13D [x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，故概率为π3π＝13.]2．(2019·遂宁模拟)已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( )A ．13 B ．23 C ．12D ．16C [由f (x 0)≤0可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C ．]3．(2019·惠州模拟)如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A ．14B ．18C ．π4D ．π8A [根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14，选A ．]4．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]， 区间长度为2m ，由2m 4＝12，则m ＝1.]5．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12 C ．π4D ．1－π12A [鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A ．]6．(2019·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x ＜1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A ．1e B ．1－1eC ．e 1＋eD ．11＋eB [当0≤x ＜1时，恒有f (x )＝e x＜e ，不满足题意．当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e.∴所求事件的概率P ＝e －1e ＝1－1e.]7．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．13B ．23C ．34D ．14B [设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.]二、填空题8．(2019·怀化期末)在区间[－3,5]上随机取一个实数a ，则使函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 无零点的概率为________．18[∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 无零点，∴Δ＝42－4a ＜0，即a ＞4.∵在区间[－3,5]上随机取一个实数a ，且区间[－3,5]的长度为8，∴所求事件的概率为18.]9．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．49π[依题意，所求概率为 P ＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝49π.] 10．(2019·青岛期末)已知等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线AM ，则使∠CAM ＜30°的概率为________．23 [如图，在∠CAB 内作射线AM 0，使∠CAM 0＝30°，于是有P (∠CAM ＜30°)＝∠CAM 0的角度∠CAB 的度数＝30°45°＝23.]B 组 能力提升1．(2019·南充月考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A ．3π10B ．3π20C ．1－3π10D ．1－3π20D [由题意可知，直角三角形斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为r ＝8×158＋15＋17＝3，所以落在内切圆内的概率为P ＝π×3212×8×15＝3π20，故落在圆外的概率为1－3π20.故选D.]2．已知线段AB 的长为10，在线段AB 上随机取两个点C 、D ，则CD ＞2的概率为( ) A ．25 B ．45 C ．425D ．1625 D [设CA ＝x ，DA ＝y ，则x ，y ∈[0,10]，CD ＝|CA －DA |＝|x －y |.由题意知点(x ，y )形成的区域是边长为10的正方形及其内部，其面积为S ＝10×10，而满足CD ＞2的区域如图中阴影部分所示，其面积为S 1＝2×12×8×8＝64，则CD ＞2的概率为P＝64100＝1625.]3．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图的概率是14，则此长方体的体积是________．(1) (2)3 [设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4hh ＋h ＋＝14，解得h ＝3(负值已舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.]4．(2019·湖南娄底质检)在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________．23[因为PA ⊥平面ABC ，所以直线PD 与平面ABC 所成二面角的平面角为∠PDA ． 因为D 为BC 上的动点，结合图形(图略)易知∠PDA 在D 点从B 运动到C 的过程中，先增后减．当∠PDA 第1次等于45°时，AD ＝PA ＝1.此时在△ABD 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，AD ＝1，则BD ＝1. 同理在∠PDA 第2次等于45°时，CD ＝1. 又AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，所以BC ＝3. 则θ不大于45°的概率为23.]。

1．(2023·泰州模拟)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球总计男生40女生30总计(1)根据所给数据完成上表，分析是否有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).2．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如图所示．若X(2015年记为x＝1,2016年记为x＝2，依此类推)与发展总指数Y存在线性关系．(1)求X 与发展总指数Y 的线性回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用ξ表示记分之和，求ξ的分布列和数学期望．参考公式和数据：线性回归方程Y ＝b ^X ＋a ^，其中a ^＝y －b ^x ，b ^＝错误!，错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，y ＝119.05.3．(2023·南京模拟)渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3m ．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图(如图)．根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高(cm)(0,50)[50,100)[100,200)[200,300]海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业．(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为12，“中浪”的概率为12；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为13，“中浪”的概率为23.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望．4．(2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型H1N1流感病毒(甲流)和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占23，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．(1)若有99%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)．§10.7概率与统计的综合问题1．解(1)2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球总计男生6040100女生3070100总计90110200由表中数据得χ2＝200×(60×70－40×30)2100×100×90×110≈18.182>6.635，所以有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．(2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)×12＝118，P (ξ＝1)＝C 12×23×13×12＋12×＝518，P (ξ＝2)＝C 12×23×13×12＋×12＝49，P (ξ＝3)×12＝29，∴ξ的分布列为ξ0123P1185184929∴ξ的数学期望Eξ＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116.2．解(1)由已知x ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋88＝4.5，所以错误!(x i －x )2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，又错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，所以b ^＝错误!＝5.45，因为y ＝119.05，所以a ^＝y －b ^x ＝94.525，所以Y ＝5.45X ＋94.525.(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个，ξ的所有可能取值为3,4,5，所以P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝5)＝C 13C 22C 35＝310，所以ξ的分布列为ξ345P11035310Eξ＝3×110＋4×35＋5×310＝215.3．解(1)记这天浪级是“微浪”为事件A 1，浪级是“小浪”为事件A 2，浪级是“中浪”为事件A 3，浪级是“大浪”为事件A 4.该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知，P (A 1)＝50×0.004＝0.2，P (A 2)＝50×0.006＝0.3，P (A 3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，P (A 4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，∴P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝P (B |A 1)P (A 1)＋P (B |A 2)P (A 2)＋P (B |A 3)P (A 3)＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝13×12×23＋23×13×12＋23×23×13＝1027，P (X ＝2)＝13×12×12＋13×12×13＋23×13×12＝14，P (X ＝3)＝13×12×12＝112，则X的分布列为X0123P 827102714112数学期望EX＝0×827＋1×1027＋2×14＋3×112＝121108.4．解(1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为23 x，由题意必有χ2≥6.635，4 3x·53x·x·2x6.635，所以x≥22.11，又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有23人．(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p<1，故0<p<1 2，设抗病毒口服液试验总花费为X，X的所有可能取值为4m,5m,6m，P(X＝4m)＝p4，P(X＝5m)＝2(p2－p4)，P(X＝6m)＝(1－p2)2，故EX＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp2＋6m，设奥司他韦试验总花费为Y，Y的所有可能取值为3m,6m，P(Y＝3m)＝C23(2p)2(1－2p)＋(2p)3＝12p2－16p3，P(Y＝6m)＝1＋16p3－12p2，所以EY＝48mp3－36mp2＋6m，由0<p<1 2，所以EY－EX＝2mp2(24p－17)<0，所以EY<EX，所以奥司他韦试验的平均花费较低．。

素质能力检测（十一）一、选择题（每小题5分，共60分）1.从含有10个元素的集合的全部子集中任取一个，所取的子集是含有3个元素的集合的概率是A.103 B.121 C.6445 D.12815 解析：含有3个元素的集合个数为C 310，所有子集的个数为210， 所求概率P =103102C =12815. 答案：D2.把红、白、黑三张卡片随机地分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.互斥非对立事件B.对立事件C.互相独立事件D.以上都不对 解析：由定义可得，选A. 答案：A3.甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7，二人同时射击互不影响，结果都命中的概率是A.0.56B.0.06C.0.14D.0.24 解析：P =0.8×0.7=0.56，选A. 答案：A4.一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P 1，第二次取得合格品的概率是P 2，则A.P 1>P 2B.P 1=P 2C.P 1<P 2D.P 1=2P 2 解析：P 1=108=54，P 2=2101819A C C =54，所以P 1=P 2.答案：B5.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是98的是 A.颜色全同 B.颜色全不同 C.颜色无红色D.颜色不全同解析：先计算颜色全相同的概率为P =3333⨯⨯=91，所以98是颜色不全同的概率.答案：D6.（2004年江苏模拟题）一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为A.11716B.11732C.398 D.3916 解析：由22711216C C C =398.故选C. 答案：C7.从1，2，…，6这六个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.95 B.94 C.61 D.65 解析：3个数的和为偶数可能都是偶数或2个奇数1个偶数，其取法为C 33+C 23C 13.∴P =36132333C C C C ⋅+=61.故选C. 答案：C8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌齐全的概率是 A.51 B.52 C.53 D.54解析：品牌齐全的取法有C 13C 12，故所求概率P =251213C C C =53. 答案：C9.（2004年武汉模拟题）设两个独立事件A 和B 均不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （A ）是A.92 B.181C.31 D.32解析：设A 、B 发生的概率分别为p 1、p 2， 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--).1()1(,91)1)(1(122121p p p p p p 解得p 1=p 2=32.故选D.答案：D10.（2004年潍坊市模拟题）一次课改经验交流会打算交流试点类学校的论文5篇和非试点类学校的论文3篇.排列次序可任意排列，则最先和最后交流的论文不来自同类学校的概率是A.5615 B.2815 C.2813 D.5613 解析：最先和最后交流论文来自不同学校的取法为C 15C 13A 22A 66.∴所求概率P =8866221315A A A C C =2815. 答案：B11.甲袋内装有白球3个、黑球5个，乙袋内装有白球4个、黑球6个.现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一个球放入甲袋，则甲袋内白球没有减少的概率为A.4437 B.4435 C.4425 D.449 解析：分两类.（1）若从甲袋取黑球，其白球没有减少的概率P 1=1111811115C C C C .（2）若从甲袋中取白球，同样P 2=111181513C C C C .故白球没有减少的概率P =1111811115C C C C +111181513C C C C =8855+8815=4435. 答案：B12.如果一个人的生日在星期几是等可能的，那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天，但不是都在同一天的概率是A.662772)(2C - B.662774)(2C -C.762762)(2A - D.76276)42(A -解析：（1）每个人生日都有7种可能，故共有76种；（2）集中在两天中，故为C 27（26－2）（每人生日有两种可能，集中在同一天也为2种）.所以P =66267)22(C -，故选A.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年广东，13）某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是________.（用分数作答）解析：2名女生当选的取法为C 23，1名女生当选的取法为C 14C 13.∴概率为27131423C C C C +=75. 答案：7514.（年春季上海，6）某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.（结果用最简分数表示）解析：∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C 138种， ∴P =340138C C =2601. 答案：2601 15.某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是________.解析：至少有两个顾问作出正确决定即可.P =C 23·0.82·0.2+0.83=0.896.答案：0.89616.六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是________.解析：6位同学共有A 66种排法，其中后排每人均比前排同学高，共有A 33A 33种排法，故其概率为663333A A A =201. 答案：201 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知集合A ={－8，－6，－4，－2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的坐标x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，计算：（1）点（x ，y ）正好在第二象限的概率； （2）点（x ，y ）不在x 轴上的概率.解：（1）P 1=291414A A A =92. （2）P 2=291828A A A =98（或P 2=1－29A 8=98. ∴点（x ，y ）正好在第二象限的概率是92， 点（x ，y ）不在x 轴上的概率是98. 18.（12分）某商店采用“购物摸球中奖”促销活动，摸奖处袋中装有10个号码为n （1≤n ≤10，n ∈N *），重量为f （n ）=n 2－9n +21（g ）的球.摸奖方案见下表：说明：凭购物发票到摸奖处，按规定方案摸奖；这些球以等可能性从袋中摸出；假定符合条件的顾客均参加摸奖.试比较方案①与②的中奖概率的大小. 解：当球的重量小于号码数时，有 n 2－9n +21<n ，解得3<n <7.∵n ∈N *，∴n 的取值为4，5，6.∴所求的概率为P 1=103. 设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，不妨设n <m ，则有n 2－9n +21=m 2－9m +21， 即（n －m ）（m +n －9）=0. ∵n ≠m ，∴m +n =9.∴（n ，m ）的取值满足（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）. ∴所求的概率为P 2=210C 4=454. ∴P 1>P 2，即方案①的中奖概率大.19.（12分）如图，电路中4个方框处均为保险匣，方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率，假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.求：（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断的概率； （2）通电后电路在一天内不断路的概率.解：以A 、B 、C 、D 分别记为各处保险丝不被烧断的事件，则它们的对立事件为A 、B 、C 、D ，依题意各事件是相互独立的.（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断包括两种情况： A 被烧断但B 不被烧断，即A ·B 事件发生； A 不被烧断但B 被烧断，即A ·B 事件发生. 由题意事件A ·B 与A ·B 互斥， 故所求概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=（1－21）×32+21×（1－32）=21. （2）左电路系统不断路的概率为1－P （A ·B ·C ）=1－P （A ）P （B ）P （C ）=1－（1－21）（1－32）（1－43）=2423. 一天内电路不断路的概率为2423×54=3023. 20.（12分）某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：（1）2次都遇到红灯的概率； （2）至少遇到1次红灯的概率.（1）解：记“他第一次遇到红灯”为事件A ，记“他第二次遇到红灯”为事件B .由题知，A 与B 是相互独立的，因此，“他两次都遇到红灯”就是事件A ·B 发生.根据相互独立事件的概率乘法公式，得P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=0.6×0.6=0.36.答：他两次都遇到红灯的概率是0.36.（2）解法一：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”. ∴A ·B =“他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A ·B =“他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并有A ·B 与A ·B 是互斥的，因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=（1－0.6）×0.6+0.6×（1－0.6）=0.48.∴他至少遇到1次红灯的概率是P （A ·B ）+P （A ·B +A ·B ）=0.36+0.48=0.84. 答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.解法二：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”. ∴A ·B =“他两次都没有遇到红灯”，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－0.6）×（1－0.6）=0.16. ∴他至少遇到1次红灯的概率是P =1－P （A ·B ）=1－0.16=0.84.答：至少遇到1次红灯的概率是0.84. 21.（12分）（理）现有5个工人独立地工作，假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.（1）求在同一时刻有3个工人需要电力的概率；（2）如果最多只能供应3个人需要的电力，求超过负荷的概率.解：（1）依题意，每名工人在1小时内需要电力的概率是P =6012=51. 因此，在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P 1=C 35（51）3（54）2=0.0512. （2）超负荷的概率为P 2=C 45（51）4（54）+C 55（51）5=6254+31251=0.00672. （文）甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别是0.7和0.8，每人投篮两次. （1）求甲进2球，乙进1球的概率；（2）若投进1球得2分，未投进得0分，求甲、乙二人得分相等的概率.解：（1）依题意，所求概率为P 1=C 220.72·C 120.8×0.2=0.1568.（2）甲、乙二人得分相等的概率为P 2=C 220.72·C 220.82+C 120.7×0.3×C 120.8×0.2+0.32×0.22=0.3136+0.1344+0.0036 =0.4516.22.有点难度哟！（14分）某数学家随身带着甲、乙两盒火柴，每盒有n 根，每次用时，随机地任取一盒，然后从中抽取一根（巴拿赫火柴问题）.求：（1）第一次发现一盒空时，另一盒恰剩r 根火柴的概率（r =0，1，…，n ）；（2）第一次用完一盒火柴（不是发现空）时另一盒恰剩r 根火柴的概率（r =1，2，…，n ）. 分析：第n +1次取到甲盒时，才发现甲盒空，但第n 次取甲盒后即已用完甲盒火柴.因此（1）（2）中的两个事件不同.解：（1）记A =“首次发现一盒空时另一盒恰剩r 根火柴”， B =“首次发现的空盒是甲盒且此时乙盒恰剩r 根火柴”， C =“首次发现的空盒是乙盒且此时甲盒恰剩r 根火柴”. 则事件B 与C 互斥，A =B +C.由于甲、乙盒所处地位相同，故P （B ）=P （C ）.为求P （B ），令D =“在甲、乙两盒中任取一盒，得到甲盒”，则P （D ）=21. 事件B 发生相当于独立重复地做了2n －r +1次试验，前2n －r 次D 恰好发生n 次、第2n －r +1次D 也发生.因此P （B ）=C n r n -2（21）n （1－21）n －r ·21 =1221+-r n C n r n -2，P （A ）=P （B ）+P （C ）=2P （B ）=rn -221C n r n -2.（2）记E =“首次用完一盒时另一盒恰有r 根”，F （G ）=“首次用完的是甲（乙）盒且此时乙（甲）盒恰有r 根火柴”. 则事件F 与G 互斥，E =F +G .事件F 发生相当于独立重复地做了2n －r 次试验，前2n －r －1次D 恰好发生n －1次，第2n －r 次D 也发生.故P （F ）=C 112---n r n （21）n －1（1－21）n －r ·21=12221--⨯r n C 112---n r n .类似（1），P （E ）=P （F ）+P （G ）=2P （F ）=1221--r n C 112---n r n .评述：改记A 为A r ，则A 0，A 1，…，A n 彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 0rn -221C 12--n r n =1；改记E 为E r ，则E 1，E 2，…，E n 也彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 1121--r n C 112---n r n =1.因此使用概率方法我们可以得到一些恒等式.（1）中分别取r =0和n ，得P （首次发现一盒空时另一盒也空）=C n n2n 221， P （首次发现一盒空时另一盒原封未动）=n 21；（2）中取r =n ，得P （用完一盒时另一盒原封未动）=121-n .。

单元质检卷十二 概率(B )(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90,σ2),且P (x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ,且X 服从二项分布,则X 的方差为() A.3B.2.1C.0.3D.0.212.将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是() A.1564B.15128C.24125D.481253.(2020某某高三诊断)2020年初,新型冠状肺炎在欧洲爆发后,我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资,并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个需要援助的国家可供选择,每个医疗小组只去一个国家,设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个国家”,则P (A|B )=() A.29B.13C.49D.594.一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次,令第i 次得到的数为a i ,若存在正整数k 使得∑i=1ka i =4的概率p=mn,其中m ,n 是互质的正整数,则log 5m-log 4n 的值为()A.1B.-1C.2D.-25.(2020某某师大附中高三月考)某部电影中有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克·索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知,就留下了一串奇异的数字13,3,2,21,1,1,8,5,将这串数字从小到大排列,就成为1,1,2,3,5,8,13,21,其特点是从第3个数字起,任何一个数字都是前面两个数字的和,它来自斐波那契数列.在如图所示的矩形ABCD中,每一个数字表示相应圆的半径,在矩形ABCD 中任投一点,则该点落在阴影部分的概率是()A.73π1092B.89π1092C.162π1092D.16π10926.(2020某某某某高三检测)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()A.1191077B.160359C.9581077D.289359二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.8.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为. 三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B 组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A 组的客户,“☉”表示B 组的客户.注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A ,B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ,n ,根据图中数据,试比较m ,n 的大小(结论不要求证明);(2)从A ,B 两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A 组的客户的概率;(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从A ,B 两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.10.(12分)(2020某某某某高三检测)过去五年,我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口,东部帮西部,全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽,最后4 335万贫困人口将全部脱贫,这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年,越是到关键时刻,更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策,某扶贫小组为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物,并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1 000元,根据前期各方面调查发现,该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性,且两者互不影响,其具体情况如下表:(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列;(2)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4 000元.假设该农户是一个四口之家,且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵,能否凭这一亩经济农作物的纯收入,预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.11.(12分)(2020某某某某三模)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24 468 g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量Y~N(μ,σ2);25②若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<η<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<η<μ+3σ)=0.997;③通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件.参考答案单元质检卷十二概率(B)1.B∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,所以P(x>110)=0.2,∴P(90<x<110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B.2.A 将5本不同的书分给4名同学,共有45=1024种分法,其中每名同学至少一本的分法有C 52A 44=240种,则所求概率为2401024=1564,故选A .3.A 事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个国家”,则P (AB )=A 4444=332,P (B )=C 41·3344=2764,P (A|B )=P(AB)P(B)=29.4.B 当k=1时,概率为14;当k=2时,4=1+3=2+2=3+1,概率为3×142;当k=3时,4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为3×143;当k=4时,4=1+1+1+1,概率为144.所以p=14+316+364+1256=64+48+12+1256=125256=5344,所以n=44,m=53,所以log 5m-log 4n=3-4=-1.故选B .5.A 由题意,阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆,面积分别为64π和9π,而整个长方形的宽为16+10=26,长为26+16=42,所以该点落在阴影部分的概率是64π+9π42×26=73π1092.6.C 设一大缀二小与一大缀四小这两种灯球数分别为x ,y ,则{x +y =360,2x +4y =1200,解得{x =120,y =240,若随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是一大缀四小的概率为1-C 1202C 3602=9581077.7.23基本事件总数n=C 42=6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为P=46=23.8.47250因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250;三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250. 9.解(1)m<n.(2)设“从抽取的20位客户中任意抽取2位,至少有一位是A 组的客户”为事件M ,则P (M )=C 101C 101+C 102C 202=2938.所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938. (3)依题意ξ的可能取值为0,1,2. 则P (ξ=0)=C 91C 81C 101C 101=1825; P (ξ=1)=C 11C 81+C 91C 21C 101C 101=1350;P (ξ=2)=C 11C 21C 101C 101=150.所以随机变量ξ的分布列为所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)=0×1825+1×1350+2×150=310, 即E ξ=310.10.解(1)由题意知1200×20-1000=23000,1200×15-1000=17000,900×20-1000=17000,900×15-1000=12500, 所以X 的所有可能取值为23000,17000,12500. 设A 表示事件“作物产量为900kg ”,则P (A )=0.5;B 表示事件“作物市场价格为15元/kg ”,则P (B )=0.4.则P (X=23000)=P (AB )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P (X=17000)=P (A B )+P (A B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P (X=12500)=P (AB )=0.5×0.4=0.2,所以X 的分布列为:(2)由(1)知,2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为EX=23000×0.3+17000×0.5+12500×0.2=17900(元),179004>4000,凭这一亩经济农作物的纯收入,该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准,所以,能预测该农户在2020年底可以脱贫. 11.解(1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ=0)=C 20(12)0(12)2=14;P (ξ=1)=C 21×12×12=12;P (ξ=2)=C 22(12)2(12)0=14.所以ξ的分布列为所以E ξ=0×14+1×12+2×14=1(个).(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X. 假设面包师没有撒谎,则X~N (1000,502).根据附①,从X 的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y ,则Y~N (1000,102).考试11 / 11 庞加莱记录的25个面包质量,相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据,这25个数据的平均值为Y=2446825=978.72<1000-2×10=980,由附②数据知,P (Y<980)=1-0.9542=0.023<0.05,由附③知,事件“Y<980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误,所以庞加莱认为面包师撒谎.。

解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12(1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。

(2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数ξ的概率分布列和数学期望。

【答案】 (Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A ，“只成功一次”为事件A 1，“一次都不成功”为事件A 2，则：P(A)＝1－P(A 1＋A 2)＝1－P(A 1)－P(A 2)＝15055511131()()2216C C --=． 故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为1316． (Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5.则211(2)()24P ξ===；13211(3)()24P C ξ===，14313(4)()216P C ξ===，0515155541115(5)()()()22216P C C C ξ==++=．∴ξ的分布列为：∴E ξ=113557234544161616⨯+⨯+⨯+⨯=．2．某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A 班的同学和2个B 班的同学；乙景点内有2个A 班同学和3个B 班同学，后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光． (Ⅰ）求甲景点恰有2个A 班同学的概率；(Ⅱ）求甲景点A 班同学数ξ的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）甲乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个班同学有下面几种情况： ①互换的是A 班同学，此时甲景点恰好有2个A 班同学的事件记为A 1，则：51)(151412121=⋅⋅=C C C C A P ②互换的是B 班同学，此时甲景点恰有2个A 班同学的事件记为A 2，则：103)(151413122=⋅⋅=C C C C A P 故甲景点恰有2个A 班同学的概率2110351)()(21=+=+=A P A P P (Ⅱ）设甲景点内A 班同学数为ξ， 则：103)1(15141312=⋅⋅==C C C C P ξ；21)2(==ξP ；51)3(15141212=⋅⋅==C C C C P ξ因而ξ的分布列为：∴ E ξ=103×1+21×2+51×3=1019.3．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。

创作人：历恰面日期：2020年1月1日专题十四、概率抓住6个高考重点重点1 随机事件的概率1．频率与概率〔1〕频率：在一样条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A的频数，那么事件A出现的频率()n mf An=，频率的取值范围为[0,1].〔2〕概率：对于给定的随机事件，假如随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数附近，我们把这个常数记为P(A)，称为事件A的概率．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率向概率靠近.只要试验次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率.2．事件的关系及运算〔1〕对于事件A和事件B，假如事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或者事件A包含于事件B)．〔2〕假设事件A发生当且仅当事件B也发生，称事件A等于事件B．〔3〕假设某事件发生当且仅当事件A发生或者事件B发生，称该事件为事件A与事件B 的并事件〔或者和事件〕，记作A B+(或者A B)．〔4〕假设某事件发生当且仅当事件A且事件B都发生，那么称该事件为事件A与事件B 的交事件〔或者积事件〕，记作AB(或者A B)．〔5〕假设A B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥． 〔6〕假设A B 为不可能事件，而A B 为必然事件，那么称A 与B 为对立事件．3．概率的性质 〔1〕()[0,1]P A ∈，其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．〔2〕假设事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．〔3〕假设事件A 与事件B 对立，那么()1()P A P B =-[高考常考角度]角度1 某射手在同一条件下进展射击，结果如下表所示：〔1〕计算表中击中靶心的各个频率；〔2〕这个运发动击中靶心的概率约是多少？解析：此题考察频率与概率．〔1〕根据频率的计算公式，可以依次计算出表中击中靶心的的频率．8194490(1)0.8,(2)0.95,(3)0.88,(4)0.9,102050100f f f f ======== 178455906(5)0.89,(6)0.91,(7)0.9062005001000f f f ======角度2 〔1〕以下命题：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面〞，事件B ：“两次都出现反面〞，那么事件A 与事件B 是对立事件；②在命题①中，事件A 与事件B 是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，事件A ：“所取3件中最多有2件是次品〞，事件B：“所取3件中至少有2件是次品〞，那么事件A与事件B是互斥事件.正确命题的个数为A．0 B．1 C．2 D．3〔2〕盒中有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球．①“取出的球是黄球〞是什么事件？它的概率是多少？②“取出的球是白球〞是什么事件？它的概率是多少？③“取出的球是白球或者黑球〞是什么事件？它的概率是多少？解析：此题考察随机事件与随机事件的概率.〔1〕将一枚硬币抛掷两次，除去A、B的结果，还可能出现“一次正面，一次反面〞或者“一次反面，一次正面〞两种情况，因此①不正确，②正确；对于③，A与B有可能出现一共同结果“1件正品，2件次品〞，即事件A与事件B不是互斥事件，故③不正确．应选B 〔2〕①“取出的球是黄球〞在题设条件下不可能发生，是不可能事件，概率为0②“取出的球是白球〞是随机事件，概率是4 9③“取出的球是白球或者黑球〞在题设条件下必然要发生，是必然事件，概率为1 重点2 古典概型1．古典概率模型：〔1〕试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；〔2〕每个根本领件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．并不是所有的试验都是古典概型，例如，在适宜的条件下种下一粒种子并观察它是否“发芽〞，这个试验的根本领件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽〞与“不发芽〞这两种结果出现的时机一般是不均等的．2．古典概型的概率公式：()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数3．学会用最原始的方法计算根本领件个数，许多古典概型的试题其根本领件个数的计算没有直接的公式可以套用，这时就要回归到最原始的方法解根本领件的个数，一般就是列举法，通过列举把所有的根本领件找出来，在列举时注意借助于图表、坐标系等进展．4．对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的方法求出总体包含的根本领件的个数及事件包含的根本领件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者者先求对立事件的概率，进而用互斥事件的概率加法公式或者对立事件的概率公式求出所求事件的概率．[高考常考角度]角度1 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性一样，那么这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为〔〕A. 13B.12C.23D.34解析：〔理科解法〕由题知1321()33CP A==，应选A.〔文理解法〕记三个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加1组记为“甲1〞那么根本领件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3〞，一共9种记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组〞，其中事件A包含的根本领件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3〞，一共3个．因此31()93P A==，应选A角度2甲乙两人一起去游“2021世园会〞，他们约定，各自HY地从1到6号景点中任选4个进展游览，每个景点参观1小时，那么最后1小时他们同在一个景点的概率是〔〕A. 136B.19C.536D.16点评：此题抓住主要条件，去掉次要条件〔例如参观时间是〕可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点道路的排列问题．理科使用排列组合反而复杂解析：〔理科解法〕甲、乙两人各自HY任选4个景点的情形一共有4466A A⋅种；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556A A⋅⨯种，所以33554466616A APA A⋅⨯==⋅．〔文理科解法〕假设用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，一共36种；其中满足题意的“同一景点相遇〞包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，一共6个根本领件，故所求的概率为61()366P A==，应选D对一些情境较为简单、根本领件个数不是太多的古典概型问题，用枚举法即可求事件发生的概率，但应特别注意：枚举时要严防遗漏，绝不重复．角度3 电子钟一天显示的时间是是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，那么一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为〔〕A．1180B．1288C．1360D．1480解析：此题考察古典概型概率的求解，数字之和为23的只有09：59，18：59，19：49，19：58四种可能，一天显示的时间是总一共24×60 =1 440种，故所求概率为41()1440360P A==，应选C点评：此题中，如何得出随机事件“任一时刻的四个数字之和为23〞所包含的根本领件的个数是解题的关键．在小时上的两个数字之和最大为10，即19点，最小为0；在分钟上的两个数字之和最大为14，即每个小时段的第59分钟．要想使四个数字之和等于23，只有以下两种情形：当分钟上的两个数字之和等于14时，小时上的两个数字之和只能等于9，也即只有9点和1 8点；当分钟上的两个数字之和等于13时，即每个小时段的第49分钟和第58分钟，小时上的两个数字之和只能等于10，即19点.角度4 〔理科〕一组抛物线211,2y ax bx =++其中a 为2，4，6，8中任取的一个数，b 为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线互相平行的概率是〔 〕A ．112B ．760C ．625 D. 516解析：此题结合抛物线、导数的应用考察古典概型概率的求解．这一组抛物线一共4416⨯=条，从中任意抽取两条，一共有216120C =种不同的方法．它们在与直线1x =交点处的切线的斜率1|x k y a b ='==+假设3a b +=，只有一种情形，〔2+1〕，不合题意；假设5a b +=，有两种情形，〔2+3，4+1〕，从中取出两条，有22C 种取法；假设7a b +=，有三种情形，〔2+5，4+3，6+1〕从中取出两条，有23C 种取法； 假设9a b +=，有四种情形，〔2+7，4+5，6+3，8+1〕从中取出两条，有24C 种取法； 假设11a b +=，有三种情形，〔4+7，6+5，8+3〕从中取出两条，有23C 种取法； 假设13a b +=，有两种情形，〔8+5，6+7〕从中取出两条，有22C 种取法；假设15a b +=，只有一种情形，〔8+7〕，不合题意由分类加法计数原理知任取两条抛物线且满足题目要求的情形一共有222222343214C C C C C ++++= 故所求概率为147()12060P A ==，应选B 此题中所有的抛物线一共16条，这些抛物线在1x =处的斜率可以是3，5，7，9，11，13，15，按照这个斜率对16条抛物线进展分类，每一类中取出的两条抛物线在与直线1x =交点处的切线斜率是相等的，随机事件的总数就是所有这些取法之和，而根本领件的总数就是在16条抛物线中选取两条．角度5甲、乙两校各有3名老师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．〔Ⅰ〕假设从甲校和乙校报名的老师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名老师性别一样的概率；〔Ⅱ〕假设从报名的6名老师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名老师来自同一的概率．解析：〔Ⅰ〕甲校两男老师分别用A、B表示，女老师用C表示；乙校男老师用D表示，两女老师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的老师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)一共9种，从中选出的两名老师性别一样的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)一共4种，选出的两名老师性别一样的概率为49 P=〔Ⅱ〕从甲校和乙校报名的老师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)一共15种，从中选出两名老师来自同一的结果有：(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)一共6种，选出的两名老师来自同一的概率为62155P==.重点3 几何概型1．几何概型：假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或者体积〕成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式：()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的时机是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们做大量的重复试验，从而求得几何概型的概率，一般地，利用计算机或者计算器的rand ()函数可以产生0~1之间的均匀随机数．a~b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或者计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand ()，然后利用伸缩和平移变换x= rand ()*〔b-a 〕+a ，就可以产生a~b 之间的均匀随机数．4．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，根本领件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个根本领件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型和用古典概型求解概率问题的思路是一样的，同属于“比例解法〞．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的根本领件所占的图形面积〔体积、长度〕〞与“试验的根本领件所占的总面积〔总体积、总长度〕〞之比来表示．5．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的一共同点是根本领件是等可能的，不同点是根本领件数前者是无限的〔根本领件可以抽象为点〕，后者是有限的．对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，其中某个点落在某区域上的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．6．几种常见的几何概型概率的求法：〔1〕设线段l 是线段L 的一局部，向线段L 上任投一点，此点落在线段l 上的概率为L l P =的长度的长度〔2〕设平面区域g 是平面区域G 的一局部，向区域G 上任投一点，此点落在区域g 上的概率为G g P =的面积的面积〔3〕设空间区域v 是空间区域V 的一局部，向区域v 上任投一点，此点落在区域V 上的概率为V v P =的体积的体积7．化解几何概型问题要从以下三方面做起：〔1〕明确几何概型的意义．几何概型是根本领件个数有无限个，每个根本领件发生的可能性相等的一个概率模型，这个概率模型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度〔面积或者体积〕成比例．〔2〕记住几何概型的计算公式．几何概型的计算就是找随机事件所占有的几何度量值和整个根本领件所占有的几何度量值的比值．即假如整个根本领件占有的几何度量值为M ，随机事件A 所占有的几何度量值为N ，那么事件A 发生的概率()N P A M= 〔3〕掌握转化策略．很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要擅长根据问题的详细情况进展转化，如把从两个区间内取出的实数看作坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.[高考常考角度]角度1 菱形ABCD 的边长为2，030,A ∠=那么该菱形内的点到菱形的顶点A ，B 的间隔 均不小于1的概率是〔 〕 A ． 4π B. 14π- C. 112π- D. 5112π- 解析：此题考察几何概型的意义以及几何概型概率的求解．如下图，只有当点位于菱形内的空白区域时，其到A ，B 的间隔 才均不小于1，菱形的面积为022sin 302⨯=两个阴影局部的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为2π，故空白区域的面积为22π-，所求的概率是22124P ππ-==-，应选B 点评：经分析可知此题中以点B 为圆心的扇形，其圆弧恰好与菱形的边AB ，CD 相切.几何概型所根据的知识背景极为广阔，面对不同的试题要认真进展分析.角度2 关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+，其中实数,a b 满足8000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，那么函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率是_______解析：此题结合不等式组所表示的平面区域考察几何概型概率的求解，函数2()41f x ax bx =-+在[1,)+∞上单调递增的充要条件是21b a ≤，即2a b ≤.作出平面区域如下图. 问题等价于向区域OAB 中任意掷点，点落在区域OAC 〔点C 的坐标是168(,)33〕 中的概率，这个概率值是18812313882P ⨯⨯==⨯⨯ [答案] 13 角度3 蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个外表的间隔 均大于1，称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞概率为〔 〕A ． 427B ．19C ．49 D. 127解析：此题考察几何概型概率的求解．蜜蜂“平安飞行〞需要距正方体各外表间隔 均大于1，故其活动范围在大正方体内的一个棱长为l 的小正方体中，所以蜜蜂“平安飞行〞的概率为3311327P ==，应选D 几何概型有“线型〞的，其概率是随机事件所在线段和所有根本领件所在线段的长度之比；“面积型〞的，其概率是随机事件所在面和所有根本领件所在面的面积之比；“体积型〞的，其概率是随机事件所在的空间几何体和所有根本领件所在的空间几何体的体积之比.角度4如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E H 分别是棱1111,A B D C 上的点〔点E 与1B 不重合〕，且11//EH A D ，过EH 的平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G . 〔Ⅰ〕证明：//AD 平面EFGH ；〔Ⅱ〕设122,AB AA a ==在长方体1111ABCD A B C D -内随机选取一点，记该点取自于几何体11A ABFE D DCGH - 内的概率为p .当点,E F 分别在棱111,A B B B 上运动且满足EF a=时，求p 的最小值.点评：此题考察空间直线、平面的位置关系，以及空间几何体的体积、几何概型等根底知识，考察空间想象才能、推理推证才能、运算求解才能.解析：〔Ⅰ〕方法一：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AD A D 又11//EH A D ，//AD EH ∴AD ⊄平面EFGH ， EH ⊂平面EFGH //AD ∴平面EFGH ；〔Ⅱ〕设BC b =，那么长方体1111ABCD A B C D -的体积为222V a a b a b =⋅⋅=， 几何体11EB F HC G -的体积11111111()22bV EB B F B C EB B F =⋅⋅=⋅ 222211EB B F EF a +==，222111122EB B F a EB B F +∴⋅≤=，当且仅当1122EB B F a ==时等号成立， 从而221127411428a bV a b V p V a b ≤∴=-≥-=，当且仅当1122EB B F a ==时等号成立， p ∴的最小值为78方法二：〔Ⅰ〕同方法一〔Ⅱ〕设BC b =，那么长方体1111ABCD A B C D -的体积为222V a a b a b =⋅⋅=，几何体11EB F HC G -的体积11111111()22bV EB B F B C EB B F =⋅⋅=⋅ 设001(090)B EF θθ∠=≤<，那么11cos ,sin EB a B F a θθ==2221111sin cos sin 222EB B F a a a θθθ∴⋅==≤，当且仅当sin 21θ=，即045θ=时等号成立，从而221127411428a b V a b V p V a b ≤∴=-≥-=，当且仅当sin 21θ=，即045θ=时等号成立，p ∴的最小值为78重点4 n 次HY 重复试验的概率问题〔理科〕1. n 次HY 重复试验概型：在一样条件下重复做的n 次试验称为n 次HY 重复试验，在n 次HY 重复试验中，假如事件A 发生的概率为p ，那么在n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k次的概率为()(1),k k n kn n P k C p p -=-这是概率计算中应用非常广泛的一种概率模型．2．明确n 次HY 重复试验概型的适用环境：根据定义，nn 次HY 重复试验概型的适用环境，擅长将实际问题归结到这个概率模型是化解这类概率应用问题的关键.3．注意局部中的HY 重复试验概型：在实际问题中，往往一个随机事件其中的一局部或者假设HY 分符合HY 重复试验概型的条件，这时可以在这些局部中使用HY 重复试验概型的计算公式，以到达简化计算的目的．[高考常考角度]角度1 在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能挪动一个单位，沿x 轴正方向挪动的概率是23，沿y 轴正方向挪动的概率为13，那么该智能汽车挪动6次恰好挪动到点(3，3)的概率为____．解析：此题考察HY 重复试验的概率．假设该智能汽车挪动6次恰好到点(3，3)，那么智能汽车在挪动过程中沿x 轴正方向挪动3次、沿y 轴正方向挪动3次，因此智能汽车挪动6次后恰好位于点(3，3)的概率为333622160()(1)33729P C =-=角度2 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停顿，用X 表示取球的次数，那么(12)P X ==______________解析：此题考察互相HY 事件的概率、HY 重复试验概型.由，一次取球取到红球的概率为38，取到白球的概率为58，12X =，说明第12次取到的是红球，前11次取到9个红球和2个白球9922102111135335(12)()()()()88888P X C C ==⋅=角度3 有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假假设每只灯正常发光的概率为0.5．假设一个面上至少有3只灯发光，那么不需要维修，否那么需要维修这个面．〔1〕求恰好有两个面需要维修的概率； 〔2〕求至少3个面需要维修的概率． 解析：〔1〕因为一个面不需要维修的概率为3545555555551111(3)(4)(5)()()()2222P P P C C C ++=++=所以一个面需要维修的概率为12因此，6个面中恰好有两个面需要维修的概率为2666115(2)()264P C == 〔2〕设需要维修的面为X 个，那么1~(6,)2X B ， 又0616266666661113115(0)(),(1)(),(2)(),264232264P C P C P C ======故至少3个面需要维修的概率是 6661315211(0)(1)(2)164326432P P P ---=---=即至少3个面需要维修的概率是2132点评：此题的难点是计算一个面不需要维修的概率．每个面上的5只彩灯正常发光的概率都相等，故可以看作是5次HY 重复试验，一个面不需要维修的概率也即是5次HY 重复试验中事件至少发生3次的概率，按照HY 重复试验的概率公式计算即可．重点5 离散型随机变量的分布列、期望、方差〔理科〕 1.期望：1122......n n E x p x p x p ξ=++++2.方差：2221122()()...()...n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+3.HY 差：δξ=4.222(),(),()E a b aE b D a b a D D E E ξξξξξξξ+=++==-〔1〕求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进展： ①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率； ③按标准形式写出分布列，并用分布列的性质验证．〔2〕假如分布列中某一栏的概率比拟复杂；可以利用分布列的性质12...1n p p p +++=求解．〔3〕求随机变量的分布列，根底是概率的计算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、互相HY 事件同时发生的概率、n 次HY 重复试验有k 次发生的概率等． 6．期望、方差的求法〔1〕对离散型随机变量的数学期望应注意如下几点： ①数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均．②E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E ξ是不变的，它描绘ξ取值的平均状态.③1122......n n E x p x p x p ξ=++++直接给出了E ξ的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加．④教材中给出的()E a b aE b ξξ+=+，说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ的数学期望的线性函数.〔2〕对离散型随机变量的方差应注意如下几点：①D ξ表示随机变量ξ对E ξ的平均偏离程度．D ξ越大，说明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之，D ξ越小，ξ的取值越集中；在E ξ附近．ξ的分散程度．②D ξ与E ξ一样，也是实数，由ξ的分布列唯一确定．③对于结论：2()D a b a D ξξ+=，在记忆和使用此结论时，请注意(),()D a b aD b D a b aD ξξξξ+≠++≠.〔3〕求离散型随机变量ξ的期望与方差韵方法： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由期望的定义求E ξ； ⑤由方差的定义求D ξ.〔4〕当断定随机变量ξ服从二项分布时，可不用列出分布列，直接求出E ξ与D ξ. 〔5〕在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后准确应用公式．充分利用期望和方差的性质解题，能防止繁琐的运算过程，进步运算速度和准确度．如22()D E E ξξξ=-．〔6〕求离散型随机变量的期望与方差的关键在于求出分布列，求离散型随机变量的分布列的关键是过好四关：①过好“题目的理解关〞．要抓住题中关键字句，尽可能转化为自己熟悉的模型． ②过好“随机变量的取值关〞．准确无误地找出随机变量的所有可能取值．③过好“事件的类型关〞，事件通常包括等可能事件、互斥事件、对立事件、互相HY 事件、HY 重复试验事件等，在计算相应的概率前要先确定事件的类型，尤其注意“互斥事件〞与“互相HY 事件〞的区别． ④过好“概率的运算关〞．运用公式(),()()(),()()(),mP A P A B P A P B P A B P A P B n=+=+⋅=⋅ ()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=，确保正确无误.[高考常考角度]角度1 〔2021.〕〔本小题满分是12分〕某饮料公司招聘一名员工，现对其进展一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料一共8杯，其颜色完全一样，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品味后，从8杯饮料中选出4杯AX 表示此人选对AA 和B 两种饮料没有鉴别才能.（1）求X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望.解析：此题综合考察了排列组合、互斥事件的概率、古典概型、随机变量的分布列及期望等知识，以及数学建模、运算求解的才能.〔1〕X 的所有可能取值为0,1,2,3,4, 那么44448()(0,1,2,3,4)i i C C P X i i C -=== 即0444481(0)70C C P X C ===，13444816(1)70C C P X C ===，22444836(2)70C C P X C ===， 31444816(3)70C C P X C ===，4044481(4)70C C P X C ===. 那么X 的分布列为〔2〕令Y 表示此员工的月工资，那么Y 的所有可能的取值为2 100，2 800，3 500，那么1(3500)(4)70P Y P X ====，16(2800)(3)70P Y P X ====，53(2100)(2)70P Y P X ==≤= 11653()3500280021002280707070E Y ∴=⨯+⨯+⨯=或者者 11636161()35002800()210022807070707070E ξ=⨯+⨯+++⨯=所以 此员工月工资的期望为2280角度2 〔2021〕〔本小题满分是12分〕某农场方案种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种〔分别称为品种甲和品种乙〕进展田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总一共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．〔Ⅰ〕假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；〔Ⅱ〕试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验完毕以后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量〔单位：kg/hm 2〕如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．解析：〔Ⅰ〕X 可能的取值为0,1,2,3,4，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C C P X P X P X C C C C C P X P X C C ===============那么X 的分布列为X 的数学期望为()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔Ⅱ〕品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(403397390404388400412406)400,8x =+++++++=甲2222222221[3(3)(10)4(12)0126]57.25.8S =+-+-++-+++=甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(419403412418408423400413)412,8x =+++++++=乙2222222221(7(9)06(4)11(12)1)56.8S =+-+++-++-+=乙由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.重点6 二项分布〔理科〕二项分布：假设~(,),,(1)B n p E np D np p ξξξ==-，判断随机变量是否服从二项分布的关键是看某一事件是否进展了n 次HY 重复试验，且每次试验是否只有两种结果，假如不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.[高考常考角度]角度1〔本小题满分是12分〕游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全一样.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，假设摸出的白球不少于2个，那么获奖.〔每次游戏完毕以后将球放回原箱〕 〔Ⅰ〕求在一次游戏中， 〔i 〕摸出3个白球的概率； 〔ii 〕获奖的概率；〔Ⅱ〕求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X解析：本小题主要考察古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、二项分布、互斥事件和互相HY 事件等根底知识，考察运用概率知识解决简单的实际问题的才能. (Ⅰ)〔i 〕设“在1次游戏中摸出i 个白球〞为事件iA ()0,1,2,3i =，那么()213232253C C 1C C 5P A =⋅=． (ii)设“在1次游戏中获奖〞为事件B ，那么23B A A =，2112133222222225353C C C C C 1()C C C C 2P A =⋅+⋅=，因为2A 和3A 互斥，所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=． (Ⅱ) X 的所有可能值为0,1,2。

2025届新高考一轮复习特训概率一、选择题1．学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班总共参赛的同学有( )A.20人B.17人C.15人D.12人2．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为( )A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品4．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )6．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )7．以下事件是随机事件的是( )A.标准大气压下，水加热到100C︒，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为a ，b 的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根8．将95,96,97,98,99这5个数据作为总体,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为( )二、多项选择题9．对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件{A =两炮弹都击中飞机},事件{B =两炮弹都没击中飞机},事件{C =恰有一炮弹击中飞机},事件{D =至少有一炮弹击中飞机},则下列关系正确的是( )A.A D ≠∅B.B D =∅C.A B B D= D.A C D= 10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则( )A.()P B =C.A 与C 相互独立D.B 与C 相互独立11．下列命题中为真命题的是( )A.若事件A 与事件B 互对立事件，则事件A 与事件B 为互斥事件B.若事件A 与事件B 为互斥事件，则事件A 与事件B 互为对立事件C.若事件A 与事件B 互为对立事件，则事件A B +为必然事件D.若事件A B +为必然事件，则事件A 与事件B 为互斥事件三、填空题12．从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________.13．为开展某教育宣讲活动，某单位从甲､乙､丙､丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率是________.14．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则为()______.P A B C=四、解答题15．小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率;（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率;（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.16．某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计解题思路,从男、女生中各随机抽取100名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有1名男生的概率.17．ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具,引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系,从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查,并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民,否则视为非青年居民.（i）完成下列22⨯列联表,并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？中随机抽取4名居民做进一步调查,求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：2χ=a b c d=+++.参考数据：球1个、蓝球1个,乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.（1）从两袋中随机各取一球,求取到的两球颜色相同的概率;（2）从甲袋中随机取两球,从乙袋中随机取一球,求取到至少一个红球的概率.参考答案1．答案：B解析：设参加田径运动的同学构成集合A ,参加球类运动会的同学构成集合B ,则参加田径运动同学人数card 8A =,参加球类运动会的同学人数card 12B =,两次运动会都参赛的同学人数()card 3A B = ,则两次运动会中,这个班总共参赛的同学人数为()()card card card card 812317A B A B A B =+-=+-= .故选：B.2．答案：B解析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品.故B 正确.3．答案：C解析：由已知得：()P A =()P B =122(()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C.4．答案：B，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，3%.33≈.故选：B的5．答案：B假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1111111345p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．答案：B解析：两名同学分3本不同的书，记为a ，b ，c ，基本事件有()0,3，()1,2a ，()1,2b ，()1,2c ，()2,1a ，()2,1b ，()2,1c ，()3,0，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率28p ==故选:B 7．答案：B解析：A.标准大气压下，水加热到100C ︒必会沸腾，是必然事件，故本选项不符合题意；B.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；C.长和宽分别为a ，b 的矩形，其面积为ab ，是必然事件，故本选项不符合题意；D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件，故本选项不符合题意故选B.8．答案：D解析：依题意可知,总体平均数为97,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,情况如下：选到95,96,则样本平均数为97 1.5-=,971-=,选到95,98,则样本平均数为970.5-=,970-=,选到96,97,则样本平均数为970.5-=,970-=,选到96,99,则样本平均数为970.5-=,选到97,98,则样本平均数为970.5-=,971-=,选到98,99,则样本平均数为97 1.5-=,=故选：D.9．答案：ABD解析：由题意得,事件{C =第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中},事件{D =恰有一枚击中或两枚都击中},对于A 中,由事件{A =两炮弹都击中飞机},{D =至少有一炮弹击中飞机},得A D A = ,正确;对于B 中,由事件{B =两炮弹都没击中飞机},{D =至少有一炮弹击中飞机},得事件B 与事件D 是互斥事件,所以B D =∅ ,正确;对于C 中,由事件{A =两炮弹都击中飞机},{B =两炮弹都没击中飞机},{D =至少有一炮弹击中飞机},得A B 不是必然事件,B D 为必然事件,所以A B B D ≠ ,不正确;对于D 中,事件{A =两炮弹都击中飞机},{C =恰有一炮弹击中飞机},{D =至少有一炮弹击中飞机},得{A C = 至少有一炮弹击中飞机},所以A C D = ,正确.故选:ABD.10．答案：ACD解析：对A ：()33327166636P B =⨯+⨯==对B ：()333318666636P A =⨯+⨯==()339166364AB =⨯==，则()()()133248P A P B P AB ⋅=⨯=≠，故A 与B 不相互独立，故B 错误；对C ：()46P C ==()232312666636AC =⨯+⨯==则()()()121233P A P C P AC ⋅=⨯==，故A 与C 相互独立，故C 正确；对D ：()22318166636P BC =⨯+⨯==则()()()321432P B P C P BC ⋅=⨯==，故B 与C 相互独立，故D 正确；故选：ACD.11．答案：AC解析：对立事件首先是互斥事件,A 为真命题;互斥事件不定是对立事件,B 为假命题;事件A ,B 为对立事件,则在一次试验中A ,B 一定有一个发生,C 为真命题;事件A B +表示事件A ,B 至少有一个发生,A ,B 不一定互斥,D 为假命题.故选AC.解析：从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有24C 6=种取法，其中乘积为6的有1，6和2，3两种取法，因此所求概率为26P ==解析：从甲、乙、丙、丁四名宣讲员选取两名有如下情况：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种情况，14．答案：0.9解析：由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C =++= .故答案为：0.9.15．答案：（1）0.398（2）0.994（3）0.092()()()()C P A P B P C +⋅0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=..(()()(()()A P B P C P A P B P C +解析：（1）由频率分布直方图可知,年龄在40岁以下的居民所占比例为()100.010.0250.030.65⨯++=,年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65100.020.85+⨯=,所以75%分位数位于40,50)［内,由0.750.654010450.850.65-+⨯=-,所以,样本数据的75%分位数为45;（2）（i ）由题知,22⨯列联表为：()2220090306020 6.061 3.841.1505011090χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以,有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联;（ii ）按照分层抽样,青年居民应抽取3864⨯=人,非青年居民应抽取2人.设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X ,()316248C C 3C P X ===()4648C 4C P X ===所以()()()334P X P X P X ≥==+==18．答案：(1)答案见解析解析：（1）设甲袋中的红球为1r ,2r ,白球为w ,篮球为b ,乙袋中的红球为R ,白球W ,篮球为12,B B ,则从两袋中各取一球,所有基本事件如下:{}1,r R ,{}1,r W ,{}11,r B ,{}12,r B ,{},w R ,{},w W ,{}11,w B ,{}2,w B ,{}2,r R ,{}2,r W ,{}21,r B ,{}22,r B ,{},b R ,{},b W ,{}1,b B ,{}2,b B ,故基本事件的总数为16.设A 为“取到的两球颜色相同”,则A 含有的基本事件如下:{}1,r R ,{}2,r R ,{},w W ,{}1,b B ,{}2,b B ,共5个基本事件,则()544P A ==⨯（2）如（1）中所设,从甲袋中随机取两球,从乙袋中随机取一球,总的基本事件如下:{}12,,r r R ,{}12,,r r W ,{}121,,r r B ,{}122,,r r B ,{}1,,r w R ,{}1,,r w W ,{}11,,r w B ,{}12,,r w B ,{}1,,r b R ,{}1,,r b W ,{}11,,r b B ,{}12,,r b B ,{}2,,r b R ,{}2,,r b W ,{}21,,r b B ,{}22,,r b B ,{}2,,r w R ,{}2,,r w W ,{}21,,r w B ,{}22,,r w B ,{},,b w R ,{},,b w W ,{}1,,b w B ,{}2,,b w B ,基本事件的总数为24,设B 为“取到至少一个红球”,其对立事件设为C ,则C 为“没有取到红球”,C 含有的基本事件如下:{},,b w W ,{}1,,b w B ,{}2,,b w B ,共有3个,故()324P C ==()()1118B P C =-=-=。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷十计数原理、概率、随机变量及其分布(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2021年八省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A为“该同学选择政治和地理”,事件B为“该同学选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件2.(2021安徽安庆模拟)杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”,现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的概率是()A.23B.13C.29D.193.某公司研发5G项目时遇到一项技术难题,由甲、乙两个部门分别独立攻关,已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8,乙部门攻克该技术难题的概率为0.7,则该公司攻克这项技术难题的概率为()A.0.56B.0.86C.0.94D.0.964.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望EX是()A.115B.125C.135D.1455.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x≤70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在(90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为()A.3B.2.1C.0.3D.0.216.(2021福建福州一模)某次会议中,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.198B.268C.306D.3787.(2021广东茂名一模)某乒乓球训练馆使用的球是A,B,C三种不同品牌标准比赛球,根据以往使用的记录数据:若这些球在盒子中是均匀混合的,且无区别的标志,现从盒子中随机地取一只球用于训练,则它是合格品的概率为()A.0.986B.0.984C.0.982D.0.9808.设随机变量X的分布列如下:则方差DX=()A.0B.1C.2D.39.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是 ( )A.P (B )=25 B.P (B|A 1)=511C.事件B 与事件A 1相互独立D.A 1,A 2,A 3不是两两互斥的事件10.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论不正确的是( ) A.2个球都是红球的概率为16 B.2个球中恰有1个红球的概率为12 C.至少有1个红球的概率为23 D.2个球不都是红球的概率为1311.在(2x -x)6的展开式中,下列说法正确的是( )A.常数项为160B.第5项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为64 12.下列结论正确的是( )A.若随机变量X 服从两点分布,P (X=1)=12,则EX=1 B.若随机变量Y 的方差DY=3,则D (2Y+1)=6C.若随机变量ξ服从二项分布B (4,13),则P (ξ=3)=3281D.若随机变量η服从正态分布N (1,σ2),P (η≤2)=0.82,则P (0≤η≤2)=0.64 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021天津滨海新区模拟)有三台车床加工同一型号的零件,第一台加工的次品率为0.06,第二、三台加工的次品率均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的0.25,0.3,0.45,任取一个零件,是次品的概率为.14.已知(3x-1)6=a0+a1x+…+a6x6,则a1+a2+…+a6=.15.杭州亚运会启动志愿者招募工作,甲、乙等6人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,每人至多参加一个项目,若甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,那么共有种不同的选拔志愿者的方法.(用数字作答)16.(2021浙江富阳中学模拟)已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率分别为13,23,12,该考生报考乙大学,每门科目通过的概率均为12,设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”,则事件A 发生的概率为,设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数,则随机变量X的数学期望为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对党史的了解,某班级开展党史知识竞赛活动,现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)用分层抽样的方法从成绩在[80,90),[90,100]两组学生中抽取5人进行培训,再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛,求这2人来自不同小组的概率.18.(12分)(2021北京平谷一模)某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一地区进行了质量满意调查,现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本,得到下表:(1)从样本中任取1个人,求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;(2)从该地区的老年人中抽取2人,青年人中随机选取1人,估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率.19.(12分)(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.20.(12分)某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及数学期望;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.21.(12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层随机抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表一:男生表二:女生(1)求x,y的值;(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为X,求随机变量X的分布列及均值;(3)由表中统计数据填写下列2×2列联表,测评结果优秀是否与性别有关.附:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.22.(12分)(2021安徽合肥模拟)某调查组从一养鱼示范村的养鱼塘内随机捕捞两次,上午进行第一次捕捞,捕捞到60条鱼,共105 kg,称重后计算得出这60条鱼质量(单位:kg)的平方和为200.41,下午进行第二次捕捞,捕捞到40条鱼,共66 kg,称重后计算得出这40条鱼质量(单位:kg)的平方和为117.(1)请根据以上信息,求所捕捞100条鱼质量的平均数z 和方差s 2;(2)根据以往经验,可以认为该鱼塘鱼质量X 服从正态分布N (μ,δ2),用z 作为μ的估计值,用s 2作为δ2的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼,其质量在(1.21,3.21]的概率是多少?(3)某批发商从该村鱼塘购买了1 000条鱼,若从该鱼塘随机捕捞,记ξ为捕捞的鱼的质量在(1.21,3.21]的条数,利用(2)的结果,求ξ的数学期望. 附:(1)数据t 1,t 2,…,t n 的方差s 2=1n ∑i=1n (t i -t )2=1n(∑i=1n t i 2-n t 2);(2)若随机变量X 服从正态分布N (μ,δ2),则P (μ-δ<X ≤μ+δ)≈0.682 6;P (μ-2δ<X ≤μ+2δ)≈0.954 4;P (μ-3δ<X ≤μ+3δ)≈0.997 4.单元质检卷十 计数原理、概率、随机变量及其分布1.A 解析事件A 与事件B 不能同时发生,是互斥事件.该同学还可以选择化学和政治,故事件A与事件B不是对立事件.故选A.2.C解析记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A,B,C,则样本点分别为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9种情况,其中一张为“琮琮”,一张为“宸宸”的共2种情况,所以所求的概率P=29.故选C.3.C解析根据题意得,P=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94.故选C.4.A解析X的可能取值为2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴EX=45×2+15×3=115,故选A.5.B解析∵x~N(90,σ2),且P(x≤70)=0.2,∴P(x>110)=0.2,∴P(90<x≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B.6.A解析分两种情况.若选两个国内媒体一个国外媒体,有C62C31A22=90种不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有C61C32A33=108种不同提问方式,根据分类加法计数原理,共有90+108=198种提问方式.故选A.7.B解析将A,B,C分别记为第1,第2,第3个品牌,设事件M1表示“取到的球是第i个品牌(i=1,2,3)”,事件N表示“取到的是一个合格品”,其中M1,M2,M3两两互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984,所以它是合格品的概率为0.984.故选B.8.B解析由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,EX=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,DX=E(X2)-(EX)2=5-4=1.故选B.9.B解析易见A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D不正确,P(B|A1)=511,故B正确,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,故A不正确,事件B与事件A1不相互独立,故C不正确,故选B.10.D 解析对于A,2个球都是红球的概率为13×12=16,故选项A 正确;对于B,2个球中恰有1个红球的概率为13×(1−12)+(1−13)×12=12,故选项B 正确;对于C,至少有一个红球包括两个都是红球和恰有1个红球,结合选项A,B 可知,至少有一个红球的概率为16+12=23,故选项C 正确;对于D,2个球不都是红球的对立事件为2个球都是红球,所以2个球不都是红球的概率为1-16=56,故选项D 不正确. 故选D .11.C 解析二项式通项为T r+1=C 6r(2x )6−r(-x )r=26-r(-1)r C 6rx2r-6.由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23×(-1)3×C 63=-160,故A 错误;展开式共有7项,所以第4项二项式系数最大,故B 错误; 由二项式通项可得r 为偶数时,系数才有可能取到最大值, 当r=2时,该项系数最大为240,故C 正确;令x=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 6=(2-1)6=1,所有项的系数和为1,故D 错误. 故选C .12.D 解析由条件可知,P (X=0)=1-P (X=1)=12,EX=0×12+1×12=12,故A 错误;D (2Y+1)=4DY=12,故B 错误;若随机变量ξ服从二项分布B (4,13),则P (ξ=3)=C 43×(13)3×23=881,故C 错误; 根据对称性可知,正态分布曲线关于x=1对称,所以P (0≤η≤2)=1-2(1-P (η≤2))=0.64,故D 正确. 故选D .13.0.052 5 解析依题意,任取一个零件,它是次品的概率为0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.14.63 解析令x=0,可得a 0=1,令x=1,可得a 0+a 1+a 2+…+a 6=(3×1-1)6=64, 所以a 1+a 2+…+a 6=64-1=63.15.52 解析根据题意,分4种情况讨论.①甲乙都不参加志愿活动,在剩下的4人中任选3人参加即可,有A 43=24种选拔方法; ②甲参加但乙不参加志愿活动,甲只能参加C 项目,在剩下的4人中任选2人参加A ,B 项目,有A 42=12种选拔方法;③乙参加但甲不参加志愿活动,乙只能参加A 项目,在剩下的4人中任选2人参加B ,C 项目,有A 42=12种选拔方法;④甲乙都参加志愿活动,在剩下的4人中任选1人参加B 项目,有A 41=4种选拔方法. 根据分类加法计数原理,则不同的选拔志愿者的方法种数为24+12+12+4=52. 16.1232解析(1)由题知,事件A 为该考生报考乙大学在笔试环节通过二门科目或通过三门科目,所以P (A )=C 32(12)212+C 33(12)3=12. (2)由题意可得,X 的值可能为0,1,2,3.P (X=0)=23×13×12=19;P (X=1)=13×13×12+23×23×12+23×13×12=718; P (X=2)=13×23×12+13×13×12+23×23×12=718; P (X=3)=13×23×12=19.即随机变量X 的数学期望为EX=0×19+1×718+2×718+3×19=32.17.解(1)根据频率分布直方图得(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)×10=1, 解得a=0.020.平均成绩为(45×0.004+55×0.006+65×0.020+75×0.030+85×0.024+95×0.016)×10=76.2. (2)来自[80,90)小组的有3人,记为a 1,a 2,a 3, 来自[90,100]小组的有2人,记为b 1,b 2, 从5人中随机抽取2人,样本点为(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2),共10个, 这2人来自不同组的样本点有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),共6个, 所以这2人来自不同小组的概率为P=610=35.18.解(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意为事件A ,总人次为500人,对酸奶质量满意的人数为100+120+150=370,所以P (A )=370500=3750.(2)由频率估计概率,设“抽取的老年人中对鲜奶质量满意”为事件B ,则抽取的老年人中对鲜奶质量满意的概率为P (B )=45,设“抽取的青年人中对鲜奶质量满意”为事件C ,则抽取青年人中对鲜奶质量满意的概率为P (C )=35.故抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率P=C 21×45×35×(1−45)+(45)2×(1−35)=56125,所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为56125.19.解(1)X=0,20,100.P (X=0)=1-0.8=0.2=15,P (X=20)=0.8×(1-0.6)=45×25=825, P (X=100)=0.8×0.6=45×35=1225.所以X 的分布列为(2)若小明先回答A 类问题,期望为EX. 则EX=0×15+20×825+100×1225=2725.若小明先回答B 类问题,Y 为小明的累计得分,Y=0,80,100, P (Y=0)=1-0.6=0.4=25,P (Y=80)=0.6×(1-0.8)=35×15=325, P (Y=100)=0.6×0.8=35×45=1225. EY=0×25+80×325+100×1225=2885.因为EX<EY ,所以小明应选择先回答B 类问题.20.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X 的所有可能取值为100,200,300.P (X=300)=C 33C 63=120,P (X=200)=C 31C 21C 11C 63=620=310, P (X=100)=C 32C 31+C 22C 41C 63=9+420=1320,或P (X=100)=1-P (X=200)-P (X=300)=1320所以奖金数X 的概率分布列为奖金数X 的数学期望EX=100×1320+200×310+300×120=140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y ,则Y~B 3,310,所以P (Y=k )=C 3k 310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A ,则P (A )=P (Y=2)+P (Y=3)=C 32×3102×710+C 33×3103=27125.则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27125.21.解(1)设从高一年级男生中抽取m 人,则m 500=45500+400,解得m=25,则从女生中抽取20人,所以x=25-15-5=5,y=20-15-3=2.(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人,其中女生有2人,则X 的所有可能的取值为0,1,2.P (X=0)=C 53C 73=1035=27,P (X=1)=C 52C 21C 73=2035=47,P (X=2)=C 51C 22C 73=535=17.则随机变量X 的分布列为所以X 的均值EX=27×0+47×1+17×2=67.(3)2×2列联表如下:χ2=45×(15×5−15×10)230×15×25×20=45×152×5230×15×25×20=98=1.125≤2.706.判断测评结果优秀与性别无关.22.解(1)z =105+6660+40=1.71,s 2=200.41+117100-1.712=0.25.(2)该鱼塘鱼质量满足X~N (μ,δ2),其中μ=1.71,δ2=0.25,即X~N (1.71,0.25), 则P (μ-δ<X ≤0)≈0.68262,P (0<X ≤μ+3δ)≈0.99742,∴P (1.21<X ≤3.21)=P (μ-δ<X ≤μ+3δ)=P (μ-δ<X ≤0)+P (0<X ≤μ+3δ)≈0.6826+0.99742=0.84.(3)由(2)可得鱼的质量在(1.21,3.21]的概率为0.84. 由题意可知ξ~B (1000,0.84),由二项分布的数学期望公式可得,ξ的数学期望为E ξ=1000×0.84=840.。

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是 ( )A ．不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1B ．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0，8C ．“直线y ＝k(x+1)过点(-1，0)”是必然事件D ．先后抛掷两枚大小一样的硬币，两枚都出现反面的概率是31【答案】D2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】C3． 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A ．101B ．91 C ．111 D ．81【答案】A4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（ ）A ．910B ．45C ．25D ．12【答案】A5．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0Bx y x y x y =++≥≤≤表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内 的概率为 A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 【答案】A6．在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）A ．2511B ．2491C ．2501D ．2521【答案】C7．已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X 的取值为 ( ）A ． 0，1B ． 0，2C ． 1，2D ． 0，1，2【答案】D8． 下面事件是必然事件的有（ ）①如果a 、b ∈R ，那么a ·b =b ·a ②某人买彩票中奖 ③3+5>10 A ．①B ．②C ．③D ．①②【答案】A9．若有一个正四面体形状的骰子，四个面上分别写有数字1,0,1,2-，任意在桌面上抛掷两次，记与桌面接触的那个面上的数字分别为,x y ，则点(,)x y 在不等式组020112x x y y x ⎧⎪<≤⎪-≥⎨⎪⎪≥-⎩表示的平面区域内的概率是( ) A ．716B ．38C ．516D ．14【答案】C10．在15个村庄中，有7个村庄不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于46781015C C C 的是 ( ） A ． (2)P X = B ． (2)P X ≤C ． (4)P X =D ． (4)P X ≤【答案】C11．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是 ( )A ．91B ．41 C ．361 D ．9【答案】A12． 已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ）ABCD ．12【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13． 连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)，若在△ABC 中，A 与a 同向， 与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．【答案】51214．已知随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)a P n n n n ξ===+，其中a 是常数，则51()22P ξ<<的值为 ． 【答案】 5615．边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是___________________。