19章矩形、棱形、正方形教案 2

19.3 正方形教学设计【教学内容】本节课主要学习的是正方形的有关概念、性质、简单应用。

【教学目标】知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质。

过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值。

【教材分析】1．重点：探索正方形的性质简单应用。

2．难点：掌握正方形的性质简单应用。

3．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容。

【教学准备】教师准备：制作课件、实物投影仪、。

学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的性质判定，预习本节内容。

【学法分析】1．认知起点：已经积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形。

2．学习方式：采用教师引导，学生自主学习的方法解决重点难点。

【教学过程】一、合作探究导入新课展示课件：生活中有关正方形的图片，并提出下列问题：1．观察后有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？（生）利用小学知识回答问题。

2．正方形是矩形吗？如何使一个一般的矩形成为正方形？（师）用矩形纸片按课本图折叠。

（生）发现正方形是一组邻边相等的特殊的矩形。

3．正方形是菱形吗？如何使一个一般的菱形成为正方形？（师）用活动菱形框架进行演示。

（生）发现正方形是有一个内角是90°的特殊的菱形。

4．正方形具有哪些性质呢？（师）组织学生分成四人小组展开讨论。

（生）观察联想到它是矩形，所以具有矩形的性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的性质。

从边、角、对角线、对称性四个方面进行归纳总结。

（师）组织学生汇报探究结果，全班交流。

二、实践应用探究新知例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（师）操作电脑，画出图形，讲清怎样写出已知、求证。

（生）上台演板写出已知求证。

（师）评析，纠正不足，分析题意。

19.1.2 矩形的判定(二)一、教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ． ∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ， ∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．第十四章整式的乘法与因式分解基础过关满分120分时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5【答案】D【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；B、（2a）3＝8a3，不符合题意；C、a9÷a3＝a6，不符合题意；D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；故选：D．2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．27【答案】B【解答】∵3a×3b＝3a+b∴3a+b＝3a×3b＝1×2＝2故选：B．3．（2019 •贵池区期中）计算（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A． B． C．D．【答案】D【解答】（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（）2017×（）2018×（﹣1）．故选：D．4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或0【答案】D【解答】∵（x﹣2）x＝1，当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．故选：D．5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6【答案】D【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，则a＝1，b＝﹣6，故选：D．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2【答案】A【解答】三角形的面积为：（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．故选：A．7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m∵乘积中不含x2项，∴3m﹣2＝0，解得m．故答案为：．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝；b＝．【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10∴2b﹣3a＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10∴2b+a＝﹣9②由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝22 ．【答案】22【解答】∵27，∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，∴x＝22；故答案为：22．三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）；（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，解得：p＝3，q＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）若a＞b，求a﹣b的值；（3）若a＞b，分别求出a和b的值．解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，∴a﹣b＝±3，又∵a＞b，∴a﹣b＝3；（3）由（2）得a﹣b＝3，解方程组，解得．19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；（2）若x≠y，试说明正方形与长方形面积哪个大．解：（1）长方形的周长为2（2x+2y）＝4（x+y）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．∴正方形的边长为x+y，∴正方形与长方形的面积之差为（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x﹣y）2．（2）∵x≠y，∴（x﹣y）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2＝4+5﹣x，解得x＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴解得：a＝4，k＝20故另一个因式为（x+4），k的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1）（1）（1）…（1）（1）＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）第3课时 分式方程的应用1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．重点能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．一、复习导入1．解分式方程有哪些步骤？2．解分式方程： x ＋1x －1－4x 2－1＝1.3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知1．课件出示教材第129页“做一做”．处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x ＋500)元．第一年出租的房屋为96 000x 间，第二年出租的房屋为102 000x ＋500间，根据题意，得96 000x＝102 000x ＋500.解得x ＝8 000.经检验，x ＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x ＋500＝8 500(元)．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96 000x元，第二年每间房屋的租金为102 000x 元，根据题意，得102 000x ＝96 000x＋500.解这个方程，得x ＝12.经检验，x ＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．(4)解：认真仔细．(5)验：有两次检验．(6)答：注意单位和语言完整．四、练习巩固1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )A.120x＋3＝180xB.120x＋3＝180xC.120x＝180x＋3D.120x＝180x＋32.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为( )A.10x＋2＝102.5x＋12B.102.5x－10x＝2－0.5C.10x－102.5x＝2－0.5 D.10x－102.5x＝2＋0.5五、课堂小结通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？六、课外作业1．教材第129页“随堂练习”．2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．。

19．2 菱形1 菱形的性质(第1课时)教学目标一、基本目标1．认识菱形,理解菱形的基本概念．2．理解菱形的性质,并能对菱形的性质进行证明．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握菱形的性质．【教学难点】用菱形的性质解决问题．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P110～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的一切性质．3．菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心．菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴．它有2条对称轴,两条对称轴互相垂直．4．菱形的四条边都相等．5．菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角．6．如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形？解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC,OA＝OC,OB＝OD.相等的角：∠DAB＝∠BCD,∠ABC＝∠CDA,∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°,∠1＝∠2＝∠3＝∠4,∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD,直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求证：菱形的对角线互相垂直．【互动探索】(引发学生思考)画出图形,写出已知求证→找到等腰三角形→根据等腰三角形三线合一进行证明．【解答】如图,已知菱形ABCD,AC与BD相交与点O.求证：AC⊥BD.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD,BO＝DO.∴AO是BD的垂直平分线(等腰三角形三线合一),即AC⊥BD.【互动总结】(学生总结,老师点评)等腰三角形三线合一是常见的证明线段相等或垂直的定理．【例2】如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC＝8,BD＝6,求菱形的周长．【互动探索】(引发学生思考)由菱形对角线的性质,能得到△AOD是什么特殊三角形？【解答】∵四边形ABCD是菱形,∴AO＝OC＝4,BO＝OD＝3,AC⊥BD,AD＝DC＝BC＝AB,∴∠AOD＝90°,∴AD＝AO2＋DO2＝42＋32＝5,∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的对角线互相垂直,且把菱形分成四个全等的直角三角形,所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．活动2巩固练习(学生独学)1．如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC第1题第2题2．如图,在菱形ABCD中,AC＝12,BD＝16,则菱形的边长为10.3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm,则菱形的面积为23cm2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点O在原点,点C的坐标为(4,0),点B 的纵坐标是－1,则顶点A坐标是________．【互动探索】观察发现OC为一条对角线,连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标,需要确定横坐标和纵坐标．连结AB交OC于点D.∵四边形OACB是菱形,∴AB⊥OC,OD＝CD,AD＝BD,∵点C的坐标是(4,0),点B的纵坐标是－1,∴OC＝4,BD＝AD＝1,∴OD＝CD＝2,∴点A的坐标为(2,1)．【答案】(2,1)【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的对角线互相垂直,在平面坐标系问题中,如果其中一条对角线在坐标轴上,作出另一条对角线,那么它与坐标轴垂直,这为我们求点的坐标提供了重要条件．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！2 菱形的判定(第2课时)教学目标一、基本目标1．理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算．2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重难点目标【教学重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法．【教学难点】明确推理证明的条件和结论,能用数学语言正确表达．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P117的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．四条边都相等的四边形是菱形．4．判断下列说法是否正确．(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．(×)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．()(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形．(×)(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．(×)环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求证：四条边都相等的四边形是菱形．【互动探索】(引发学生思考)画出图形,写出已知求证→证明四边形为平行四边形→根据菱形的定义证明平行四边形为菱形．【解答】已知：四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD为菱形．证明：∵AB＝CD,AD＝BC,∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD为菱形．【互动总结】(学生总结,老师点评)证明四边形是菱形,一般可以先证明这个四边形是平行四边形．【例2】下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD,AC与BD互相平分B．AB＝BC＝CD＝DAC．AB＝BC,AD＝CD,AC⊥BDD．AB＝CD,AD＝BC,AC⊥BD【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪些？选项分析A ∵AC与BD互相平分,∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD,∴四边形ABCD 为菱形,故正确,不符合题意B∵AB＝BC＝CD＝DA,∴四边形ABCD为菱形,故正确,不符合题意C AB＝BC,AD＝CD,AC⊥BD,不能判定四边形ABCD是平行四边形,故错误,符合题意D∵AB＝CD,AD＝BC,∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD,∴四边形ABCD为菱形,故正确,不符合题意【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的判定方法有多种,可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．活动2巩固练习(学生独学)1．如图,在▱ABCD中,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(D) A．AB＝BC B.AC⊥BDC．BD平分∠ABC D．AC＝BD第1题第2题2．如图所示,在▱ABCD 中,AC ⊥BD ,E 为AB 中点,若OE ＝3,则▱ABCD 的周长是24. 3．如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,垂足分别是E 、F ,并且DE ＝DF .求证：(1)△ADE ≌△CDF ； (2)四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A ＝∠C .∵在△AED 和△CFD 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，DE ＝DF ，∴△AED ≌△CFD .(2)∵△AED ≌△CFD ,∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是菱形． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,EF 垂直平分AD 交AB 于点E ,交AC 于点F .求证：四边形AEDF 是菱形．【互动探索】要证明四边形AEDF 是菱形,结合已知条件“EF 垂直平分AD ,交AB 于点E ,交AC 于点F ”,因此需先证明四边形AEDF 是平行四边形,从而可证得结论．【证明】∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD ,又∵EF ⊥AD ,∴∠AOE ＝∠AOF ＝90°, ∵在△AEO 和△AFO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠F AO ，AO ＝AO ，∠AOE ＝∠AOF ，∴△AEO ≌△AFO ,∴EO ＝FO . ∵EF 垂直平分AD , ∴EF 、AD 相互平分,∴四边形AEDF 是平行四边形． 又EF ⊥AD ,∴平行四边形AEDF 为菱形．【互动总结】(学生总结,老师点评)在几何题中,如果垂直平分线段恰为四边形的对角线,那么适宜考虑先证这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直得菱形． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！。

第19章矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质【知识与技能】了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质【过程与方法】经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识,掌握几何思维方法【情感态度】培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用【教学难点】理解矩形的特殊性一、情境导入,初步认识收集有关长方形的图片，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.二、思考探究，获取新知探究：矩形的性质1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察.不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．3.让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.思考矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的方法来解决重点，突破难点.【归纳结论】矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．4.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？【教学说明】引导学生尽可能多的发现结论，养成善于观察的好习惯.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分．∴OA=OB．又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形．∴OA=AB=4cm.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8（cm）．2.已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．解：设AD=xcm，则对角线BP长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=(x+4)2，解得x=6．则AD=6cm．“直角三角形斜边上的高”是一个基本条件，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB=AD×AB，解得AE=4.8cm．3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE=EF．分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF=BE，则问题解决，而证明AF=BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∴∠B=∠AFD．又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF=EC．【教学说明】给予学生足够的时间，让学生先独立思考后，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.4.若矩形一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20cm．分析：本题需分两种情况解答即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm．当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．解：分两种情况当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm．【教学说明】本题考查的是基本的矩形性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.四、师生互动，课堂小结1.师生回顾矩形的性质.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材P101练习.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生容易把握问题的本质.真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构.2.矩形的判定【知识与技能】1.理解并掌握矩形的判定方法．2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.【过程与方法】通过探索矩形判定的过程，培养学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.【情感态度】培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.【教学难点】定理的证明方法及运用.一、情境导入,初步认识1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？【教学说明】通过这些问题，教师可以检查学生学习的情况.4．事例引入：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.二、思考探究，获取新知1.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.2.动手操作：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.思考：(1)随着∠ａ的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备；【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形三、运用新知，深化理解1._________________的平行四边形是矩形._________________的四边形是矩形.2.下列说法正确的是（）A.一组对边平行且相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形分析：矩形的判定定理有：（1）对角线相等的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形；据此判断．解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C 错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确．【教学说明】学生口答展示第1、2道题，训练学生的语言表达能力，3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．解：∵∠HAB+∠HBA=90°∴∠H=90°同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形．4.（一题多解题）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？解法一：能．如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H,可得四边形PHDE是矩形∴PE=DH，PH∥BD∴∠HPC=∠B又∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠HPC=∠FCP．又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°∴△PHC≌△CFP∴PF=HC∴DH+HC=PE+PF即：DC=PE+PF．解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图所示，∵可得四边形HEDC是矩形∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB∴∠HCP=∠B．∴△PHC≌△PFC∴PH=PF∴PE+PF=DC．【教学说明】到黑板展示第3、4道题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题19.1”中的第1、2、3、5题.2.完成本课时对应练习.本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发学生的数学兴趣，提高学生的数学水平.19.2 菱形1.菱形的性质【知识与技能】理解菱形的概念，掌握菱形的性质【过程与方法】经过探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中培养学生思维意识，体会几何说理的基本方法．【情感态度】培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观【教学重点】理解并掌握菱形的性质【教学难点】形成合情推理的能力一、情境导入,初步认识分四人小组，先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值．二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义．如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.思考：1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3.对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.三、运用新知，深化理解1.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A．15 B．1523C．7.5 D．153【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．2.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且DE交BC的延长线于点E．BE．求证：DE=12分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，BE．即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=12证明：方法一：如下图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，BE．∴DE=12方法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE中点，BE．∴DE=BC=12【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1．【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．学生自主完成，对有一定难度可相互交流，最后由教师总结.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.1.布置作业:教材P113“练习”2.完成本课时对应练习.在本节课中，重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用和常用方法.2.菱形的判定【知识与技能】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法.2.会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算.【过程与方法】经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的能力.【情感态度】培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．【教学重点】菱形的两个判定方法．【教学难点】判定方法的证明方法及运用．一、情境导入,初步认识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质：性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.温故而知新.二、思考探究，获取新知1.试一试.如图作一个四条边都相等的四边形.步骤：(1)画两条相等的线段AB、AD；(2)分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两条相交于点C；(3)连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD.观察你所画的图形，它是菱形吗？你能证明你的结论吗？【归纳结论】菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．【教学说明】首先教师活动让学生观察，而后让学生自己动手亲自体验活动，从而猜想出结论来.已知：在□ABCD中，AC⊥BD求证：□ABCD是菱形数学语言:∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD;∴□ABCD是菱形.2.画一画如图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.步骤：(1)作两条互相垂直的直线m,n，记交点为点O；(2)以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；(3)以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线上截取相等的两条线段OB、OD；(4)连结A,B,C,D四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.数学语言:∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形.【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.三、运用新知，深化理解1.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（B）A．4个B．5个C．6个D．7个2.下列说法正确的是（B）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形3.已知：如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠1=∠2，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC，∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠5=∠7=∠B，∴GF∥AE，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，∵AG=GF（或AE=EF），∴四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生养成从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.四、师生互动，课堂小结1.师生回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题19.2”中第2、3、4题.2.完成本课时对应练习.本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.19.3 正方形【知识与技能】1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.【过程与方法】经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．【教学重点】正方形的判定方法.【教学难点】正方形的判定方法.一、情境导入,初步认识1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为2的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．或C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠DAG+12∠BAG=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°.4.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连结AG∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=305.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE.（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠B=∠C．故△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得AO=OC.又∵△AEC是等边三角形.∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AED+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AED=30°∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠DAO=90°∴平行四边形ABCD是正方形．【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题19.3”中第1、2、3题.2.完成本课时对应练习.本课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上也是对平行四边形、矩形、菱形的复习、归纳和总结，培养了学生的发散思维能力.前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习，总结、归纳前面所学内容，弄清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.本章复习【知识与技能】熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想【情感态度】在整理知识点的过程中培养学生的独立思考习惯，让学生找到解决特殊平行四边形问题的一般方法,并感受成功【教学重点】使学生能熟练运用特殊平行四边形的性质、判定定理【教学难点】构造平行四边形解决问题一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系二、释疑解惑，加深理解1.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.3.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.4.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.。

2015年凹凸个性教育初二数学教案菱形、矩形、正方形教师姓名年级学员姓名课次：总课次，第次授课时间年月日（星期）时分至时分课题菱形、矩形、正方形教学目标与重点【教学目标】知识与技能1菱形、矩形、正方形的概念及其与平行四边形的关系2菱形、矩形、正方形的性质3菱形、矩形、正方形的判定4菱形、矩形、正方形既是轴对称图形也是中心对称图形5能运用菱形、矩形、正方形的性质进行有关的证明和计算【教学重难点】1矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都满足平行四边形的一切性质2牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定3能灵活运用矩形、菱形、正方形的性质和判定进行证明和计算【教学准备】直角三角板【教学工具】板书加习题课前检查作业完成情况：优良中差建议：教学步骤一，知识点回顾1、矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分。

（2）矩形的对角线相等。

（3）矩形既是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称线；也是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心矩形的判定：（1）三个角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形矩形的面积计算公式：面积=长⨯宽； 周长计算公式：周长=2⨯（长+宽）2菱形一组临边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等，对角线相等，对角线互相平分。

（2）菱形的对角线互相垂直。

（3）菱形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。

菱形的判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的面积计算公式：面积=对角线）对角线⨯⨯(21； 菱形周长计算公式：周长=边长⨯4 3正方形有一组临边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形的性质：（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分（3）正方形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴正方形面积计算公式：边长边长面积⨯=； 正方形周长计算公式：周长=边长⨯4要判断一个四边形是正方形，可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组临边相等；或者先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角。

19．2 菱形1 菱形的性质(第1课时)教学目标一、基本目标1．认识菱形，理解菱形的基本概念．2．理解菱形的性质，并能对菱形的性质进行证明．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握菱形的性质．【教学难点】用菱形的性质解决问题．教学过程环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P110～P113的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的一切性质．3．菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直．4．菱形的四条边都相等．5．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形？解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】求证：菱形的对角线互相垂直．【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→找到等腰三角形→根据等腰三角形三线合一进行证明．【解答】如图，已知菱形ABCD，AC与BD相交与点O.求证：AC⊥BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BO＝DO.∴AO是BD的垂直平分线(等腰三角形三线合一)，即AC⊥BD.【互动总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形三线合一是常见的证明线段相等或垂直的定理．【例2】如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，求菱形的周长．【互动探索】(引发学生思考)由菱形对角线的性质，能得到△AOD是什么特殊三角形？【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝4，BO＝OD＝3，AC⊥BD，AD＝DC＝BC＝AB，∴∠AOD＝90°，∴AD＝AO2＋DO2＝42＋32＝5，∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC第1题第2题2．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则菱形的边长为10.3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为23cm2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4，0)，点B的纵坐标是－1，则顶点A坐标是________．【互动探索】观察发现OC为一条对角线，连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标，需要确定横坐标和纵坐标．连结AB交OC于点D.∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，∵点C的坐标是(4，0)，点B的纵坐标是－1，∴OC＝4，BD＝AD＝1，∴OD＝CD＝2，∴点A的坐标为(2，1)．【答案】(2，1)【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，在平面坐标系问题中，如果其中一条对角线在坐标轴上，作出另一条对角线，那么它与坐标轴垂直，这为我们求点的坐标提供了重要条件．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！2 菱形的判定(第2课时)教学目标一、基本目标1．理解菱形的定义，掌握菱形的判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算．2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重难点目标【教学重点】探索证明菱形的两个判定方法，掌握证明的基本要求和方法．【教学难点】明确推理证明的条件和结论，能用数学语言正确表达．教学过程环节1 自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P117的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．四条边都相等的四边形是菱形．4．判断下列说法是否正确．(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．( ×)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．( )(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形．( ×)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．( ×)环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】求证：四条边都相等的四边形是菱形．【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→证明四边形为平行四边形→根据菱形的定义证明平行四边形为菱形．【解答】已知：四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD为菱形．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是菱形，一般可以先证明这个四边形是平行四边形．【例2】下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB＝BC＝CD＝DAC．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪些？选项分析A ∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 为菱形，故正确，不符合题意B∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意C AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误，符合题意D∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 为菱形，故正确，不符合题意【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的判定方法有多种，可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是( D )A．AB＝BC B.AC⊥BDC．BD平分∠ABC D．AC＝BD第1题第2题2．如图所示，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则▱ABCD的周长是24.3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C .∵在△AED 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，DE ＝DF ，∴△AED ≌△CFD .(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于点E ，交AC 于点F .求证：四边形AEDF 是菱形．【互动探索】要证明四边形AEDF 是菱形，结合已知条件“EF 垂直平分AD ，交AB 于点E ，交AC 于点F ”，因此需先证明四边形AEDF 是平行四边形，从而可证得结论．【证明】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，又∵EF ⊥AD ，∴∠AOE ＝∠AOF ＝90°，∵在△AEO 和△AFO 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ，∠AOE ＝∠AOF ，∴△AEO ≌△AFO ，∴EO ＝FO . ∵EF 垂直平分AD ， ∴EF 、AD 相互平分，∴四边形AEDF 是平行四边形． 又EF ⊥AD ，∴平行四边形AEDF 为菱形．【互动总结】(学生总结，老师点评)在几何题中，如果垂直平分线段恰为四边形的对角线，那么适宜考虑先证这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直得菱形．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。

菱形课题名称19.2 菱形的性质（第一课时）教学目标1．掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2，会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．教学重点菱形的性质1、2．难点目标菱形的性质及其综合运用．导入示标复习矩形的定义和性质，进而引入菱形的定义目标三导学做思一：什么样的平行四边形是菱形？一、自主预习（10分钟）自学课本例题以上的内容，完成下列问题：1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来的平行四边形叫做菱形，生活中的菱形有。

2.按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？有条对称轴。

图中相等的线段有；图中相等的角有。

③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。

平行四边形菱形？达标1．______________的平行四边形叫做菱形．2.已知：如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？求证：（1）四边形ABCD是平行四边形；(2) 过点A作AE⊥BC于点E, 过A作AF⊥CD于点F.用等积法说明BC=CD.(3) 求证：四边形ABCD是菱形.综合应用拓展如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．达标检测1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是；（3）对角线相等且互相平分的四边形是；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．下列条件，能判定四边形是菱形的是（）．（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E，求证：四边形OCED是菱形。

华东师大版数学八年级下册教学设计《第19章矩形、菱形与正方形19.3正方形》一. 教材分析华东师大版数学八年级下册第19章矩形、菱形与正方形，本章主要介绍了矩形、菱形与正方形的性质。

19.3节正方形是本章的重点内容，通过本节的学习，使学生掌握正方形的性质，并能运用正方形的性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了矩形和菱形的性质，对于正方形这一概念可能较为陌生，但学生已经具备了一定的几何图形的基础知识，通过引导和讲解，学生能够理解并掌握正方形的性质。

三. 教学目标1.让学生理解正方形的性质，并能够运用正方形的性质解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.正方形的性质的掌握。

2.运用正方形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生通过自主探究、合作交流，掌握正方形的性质，并能够运用正方形的性质解决实际问题。

六. 教学准备1.正方形的模型或者图片。

2.教学PPT或者黑板。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示正方形的模型或者图片，引导学生观察正方形的特点，引发学生对正方形性质的探究兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解正方形的性质，包括正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等等。

通过PPT或者黑板，展示正方形的性质，让学生直观地理解正方形的性质。

3.操练（15分钟）通过一些练习题，让学生运用正方形的性质解决问题。

例如，给出一个四边形，让学生判断是否为正方形。

4.巩固（10分钟）让学生分组合作，通过实际操作，进一步巩固正方形的性质。

例如，每组发一张正方形的纸片，让学生通过折纸的方式，验证正方形的性质。

5.拓展（5分钟）引导学生思考，除了正方形，还有哪些四边形具有特殊的性质。

例如，矩形和菱形。

让学生理解正方形是矩形和菱形的一种特殊情况。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，正方形的性质以及如何运用正方形的性质解决问题。

第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。

掌握矩形的性质定理。

过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。

情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。

教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。

《矩形、菱形、正方形》教学设计教学目标1．通过对生活中熟悉的图形认识，理解矩形的概念；2．探索并证明矩形的性质定理，在活动过程中发展学生的探究意识和有条理的表达能力； 3．能运用矩形的性质定理解决问题．教学重点、难点帮助学生探索并证明矩形的性质定理．教学过程：一、情境引入木工师傅做门框分下面三个步骤：（教师演示教具） ① 先截出两对等长的木料（如图①）；② 摆放成如图②的四边形，则这时门框是什么图形？根据的数学原理是什么？③将直角尺靠窗框的一个角如图③，调整门框的边框，当直角尺的两条直角边与门杠无缝隙时如图④，说明门框合格，这时门框是什么图形？①二、探究归纳1、给出矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、学生举例生活中的矩形。

3、矩形性质探究⑵、教师引导学生证明发现的性质。

①、教师文字语言归纳得出的猜想。

②、教师画图，写已知，求证学生证明。

（其中矩形的四个角是直角有学生口头证明，矩形的对角线相等进行纸笔训练，一学生上黑板板演）⑶、归纳矩形的性质。

（文字语言、符号语言表述性质）①、矩形是平行四边形，具有平行四边形的一切性质． ②、矩形是特殊的平行四边形，具有自身特殊的性质．I 、∠ABC ＝∠_____＝∠_____＝∠______＝______°，即________； II 、AC ＝_______， 即____________________．③、矩形既是 图形，又是 图形。

⑷、结合图形填空①、矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，则AC= ，BD= 。

②、矩形ABCD 中, AO=7，AC= ， BD= ， B0= 。

你还可以求出哪些边的长度？ ③、矩形ABCD 中，∠BOC=100°，∠OAD= ，∠OBA= 。

4、例题教学1、 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，且AC ＝2AB ． ⑴、求证：△AOB 是等边三角形．⑵、在矩形ABCD 中，要使△AOB 是等边三角形，你还可以加其它什么条件？⑶、在矩形ABCD 中，要使△AOB 是等腰直角三角形，你可以增加什么条件？（学生先独立思考后，写出证明过程，然后小组交流补充，形成完整的有条理的证明过程．） 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，AO ＝CO ＝21AC ，BO ＝DO ＝21BD ， ∵AC ＝2AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ． ∴△AOB 是等边三角形三、巩固练习1、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=10，∠BOC=120°, 求矩形的面积。

19章复习课掌握菱形的性质和判定，能解决菱形的相关问题 一、学生动手绘制菱形的知识图二、习题应用1、如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。

（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=︒,试问：P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14？为什么？2、如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=︒,P点在BD 上，求PE+PC 的最小值。

3、如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是A ∠的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F ，连接BF 、CE 。

求证：四边形BECF 是菱形。

让学生通过自主探究，发现问题并学会分析解决问题。

鼓励学生自主总结归纳知识，加强理解并帮助记忆.4、如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________． 三、练习巩固 1.菱形的面积等于（ ） A.对角线乘积 B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半 2.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ） A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线相等且垂直 D.两条对角线互相垂直平分 3.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．A 1个B 2个C 3个D 4个四、课后作业教材118页 习题19.2通过例题讲解和纠错，加深学生对知识的理解，使学生灵活应用.通过练习巩固知识，提高难度，使学生学会应用并得到发展.教学反C 1D 1 D 2C 2D C A B。

《正方形的判定》教案一、教学目标【知识与技能】学生掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题。

【过程与方法】经历探索矩形的定义和性质的过程，通过演示、观察、动手操作、归纳总结等活动，增强动手操作能力，增强主动探究意识。

【情感态度价值观】在探究矩形的性质的活动中，培养严谨的推理能力以及合作探究的精神，体会逻辑推理的思维价值，感受数学活动的乐趣。

二、教学重难点【教学重点】正方形的判定。

【教学难点】正方形形的判定的探究和灵活应用。

三、教学过程(一)引入新课演示改变平行四边形活动框架的形状，当有一个角是直角时引导学生观察图形特征，引出矩形的定义;通过提问并引导学生观察矩形还有哪些特殊的性质，从而导入新课《矩形的性质》(二)探索新知通过三个活动引导学生从角、对角线、对称性等几个方面去探究矩形的性质。

活动1:让学生观察、猜测、(一小组为单位)动手测量验证，然后老师多媒体演示动画，让学生总结矩形的性质;引导学生用几何语言证明矩形的性质。

活动2:学生拿出矩形纸跟着老师动手折叠探究矩形的对称性、然后多媒体动画演示，得到矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

活动3:老师引导学生观察矩形ABCD，用多媒体课件演示从矩形中抽象出直角三角形，学生归纳，教师补充得出矩形性质的推论，并引导学生证明。

(1)推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(2)总结直角三角形的性质(三)课堂练习已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长?(四)小结作业提问:今天有什么收获?引导学生回顾:矩形的性质。

课后作业:设计一个图表清楚的展示四边形、平行四边形、矩形之间的关系。

四、板书设计。

《矩形、菱形、正方形》教案教学目标1.理解平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形都具有这样的特征，掌握简单的识别方法；2.矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，还分别具有各自的特征，而且它们都是轴对称图形．3．通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力.教学重点1.通过探索、归纳几类特殊四边形的特征和识别，了解它们之间的包含关系；2.让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获取推理的经验；教学过程一、知识归纳师矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们既有平行四边形共有的性质，又有各自的特征，请大家回忆一下它们的特征和识别方法各是什么．请一位同学先说一下平行四边形的特征和识别方法.生平行四边形的特征：(1)是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；(2)对边分别平行；(3)对边分别相等；(4)对角线互相平分．平行四边形的识别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．师矩形的特征是什么呢？矩形的识别方法有哪几种呢?生1矩形的特征(具有平行四边形的一切特征)：(1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等且互相平分．生2识别一个四边形是矩形的方法：(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)有三个角是直角的四边形是矩形；(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．师下面我们再回忆菱形的特征和识别方法.生菱形特征(具有平行四边形的一切特征)：(1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，有两条对称轴；(2)菱形的四条边相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的识别方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．师正方形概念的三个要点：(1)是平行四边形；(2)有一个角是直角；(3)有一组邻边相等．正方形的特征和识别方法又是怎样的呢？生1正方形的特征：(1)正方形是中心对称图形，对称轴是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线，共有四条对称轴；(2)正方形四条边都相等；(3)正方形四个角都是直角；(4)对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角等于45°．生2正方形的识别方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．师很好！要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.二、实践应用例1已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.求证：△AOB是等边三角形.例2 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形.例3 如图，木质活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.例4 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与AD、BC 分别相交于点E、F.求正：四边形AFCE是菱形.例5 已知：如图，在正方形ABCD中，点A＇，B＇，C＇，D＇分别在AB、BC、CD、DA上，且AA＇= BB＇= CC＇= DD＇.求证：四边形A＇B＇C＇D＇是正方形.三、交流反思师生共同归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形关系图：四、检测反馈填空:1．两条对角线的平行四边形是矩形；两条对角线的平行四边形是菱形；两条对角线的四边形是矩形；两条对角线的四边形是菱形.2．在矩形ABCD中,AE⊥BD，E为垂足，∠DAE=2∠ABE.则∠EAC= 度.3．菱形的邻角之比是2∶1，边长是5cm，则较短的对角线为cm.4．如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E,试说明四边形OCED是菱形.5．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有个.。

《矩形的性质》教学设计教学目标1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。

3.渗透运动联系、从量变到质变的观点教学重点矩形的性质教学难点矩形的性质的灵活应用教具准备活动平行四边形教具、课件教学步骤（体现预习、导入、教学问题设计、内容安排、小结、作业布置等）一、知识回顾：平行四边形有哪此性质？（动态课件演示）边：平行四边形的对边相等。

角：平行四边形的对角相等，邻角互补对角线：平行四边形对角线互相平分对称性：中心对称图形二、新知引入：让学生举例说说生活中的特殊平行四边形（课件）根据学生的回答，选择其中的矩形来研究。

（学生可能说到长方形、正方形等）三、新知探究：1、矩形的定义。

教具和课件演示活动平行四边形的的变化过程，当变化到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）。

思考：为什么不说有两个、三个、四个角是直角呢？2、探究矩形的性质：（课件）矩形是特殊的平行四边形（有一个角是直角的平行四边形）所以具有平行四边形的所有性质，课前也作了回顾。

我们是按照边、角、对角线三个元素去描述的。

通过和学生一起逐一探究得到矩形的性质，并让学生口述证明角：矩形的四个角都是直角对角线；矩形的对角线相等对称性：中心对称和轴对图形。

（动态课件演示）（并与平行四边形的性质比较）（课件）3、探究直角三角形斜边上的中线的性质：（课件）提问：⑴如图，通过以上对矩形性质的探究，你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗？有多少个等腰三角形吗？你能发现线段AO、CO、BO、DO之间的大小关系吗？这四条线段与AC、BD又是什么关系呢？如果只看直角三角形ABC，BO是什么边上的什么线？你能说说这个结论吗？。