微波技术基础-传输线和波导(2)

1 2a με
λc (TE ) =
10
v0 f c ( TE10 )
= 2a
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矩形波导的场分布
TE模式的一些参量
⎧λg > λ0 ⎪ ⎨ ⎪v p > c ⎩
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矩形波导的场分布
TM模场分布求解
⎧ E z |y =0,b = 0 ⎪ ⎨ ⎪ E z |x =0,a = 0 ⎩
v0 = kc 2π με = 1 2π με
⎧ Ex = ? ⎪E = ? ⎪ y ⎨ ⎪H x = ? ⎪H y = ? ⎩
f cmn =
λc
mπ 2 nπ 2 ( ) +( ) a b
10
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矩形波导的场分布
TE模场分布求解
截止波长
λcmn
2π = = kc
2 m 2 n 2 ( ) +( ) a b
传播常数 截止频率
2
mπ nπ j (ωt − β z ) Ez = Bmn ⋅ sin( x) ⋅ sin( y )e a b
2 c 2
mπ 2 nπ 2 β = k −k = k −( ) −( ) a b
λc
v0 = kc 2π με = 1 2π με
与TE模 相同
f cmn =
mπ 2 nπ 2 ( ) +( ) a b
单模传输条件
为什么要保 证单模传 输？ 通常矩形波导工作在TE10 单模传输情况，这是因为 TE10模容易实现单模传输 当工作频率一定时传输 TE10模的波导尺寸最小 若波导尺寸一定，则实现 单模传输的频带最宽
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矩形波导的单模传输
单模传输条件
TE11,TM11
TE 01
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矩形波导的场分布
TE模场分布求解
建立坐标系——以宽边 为x轴、短边为y轴
纵向磁场满足的波动方程 H z ( x, y, z ) = hz ( x, y )e j (ωt − β z )
μ, ε
a>b
2
⎧ ∂ 2hz ∂ 2hz + 2 + kc2hz = 0 ⎪ 2 ∂y ⎨ ∂x ⎪k 2 = k 2 − β 2 ⎩ c
B=0
mπ kx = − A sin k x a = 0 a m、n不能同时为零！
9
∵A≠0
m = 0,1, 2
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H z ( x, y , z ) = hz ( x, y )e j (ωt − β z ) hz ( x, y ) = ( A cos 矩形波导的场分布 D sin k y y ) k x x + B sin k x x )(C cos k y y +
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矩形波导的场结构
TE10模的场分布图
TE10 模场强与y无关，场分量沿y轴均匀分布。各场分 量沿x轴的变化规律为
⎧ E y ∝ sin (π x a ) ⎪ ⎨ H x ∝ sin (π x a ) ⎪ H z ∝ cos (π x a ) ⎩
Ex，Ey 均可能等于零，但不能同时为零！
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− jωμ ⎧ ⎪ex = k 2 k y ( A cos k x x + B sin k x x )( −C sin k y y + D cos k y y ) ⎪ c ⎨ ⎪e y = − jωμ k x ( − A sin k x x + B cos k x x )(C cos k y y + D sin k y y ) ⎪ kc2 ⎩ TE模场分布求解
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H z ( x, y , z ) = hz ( x, y )e j (ωt − β z ) hz ( x, y ) = ( A cos 矩形波导的场分布 D sin k y y ) k x x + B sin k x x )(C cos k y y +
TE模场分布求解
微 波 技 术 基 础
北京邮电大学无线通信与电磁兼容实验室 刘凯明 副教授
（明光楼718室，62281300）
Buptlkm@
2011
矩形波导
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本节学习要点
掌握矩形波导中场分量求解方法 掌握矩形波导TE/TM模的截止波数、截止波长 掌握矩形波导中实现单模传输的条件 了解矩形波导场分布特点
1 d 2 X ( x) = − k x2 X ( x) dx 2 1 d 2Y ( y ) 2 = −k y Y ( y ) dy 2
则有
d 2 X ( x) + k x2 X ( x) = 0 dx 2 d 2Y ( y ) 2 + k y Y ( y) = 0 dy 2
通解
k +k =k
2 x 2 y
⎧kc2 = k 2 − β 2 ⎪ ⎨ ⎪k = w με ⎩
⎧ ∂H z ⎞ j ⎛ ∂E z −β ⎪ H x = 2 ⎜ wε ∂y ∂x ⎟ kc ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ − j ⎛ ∂E z ∂H z ⎞ +β ⎪ H y = 2 ⎜ wε ∂x ∂y ⎟ kc ⎝ ⎪ ⎠ ⎨ ⎪ E = − j ⎛ β ∂E z + wμ ∂H z ⎞ ⎪ x kc2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ∂E z ∂H z ⎞ j ⎛ ⎪ E y = k 2 ⎜ − β ∂y + wμ ∂x ⎟ ⎠ c ⎝ ⎩
TE模场分布求解
得到纵向磁场的最终解
m、n不能同时为零
m、n称为波指数 波型称为正规波
mπ nπ j ( ωt − β z ) H z = Amn ⋅ cos( x ) ⋅ cos( y )e a b
传播常数 截止频率
2 2 c 2
mπ 2 nπ 2 β = k −k = k −( ) −( ) a b
f cmn =
v0
=
kc
=
1
(
mπ 2 nπ 2 ) +( ) a b
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矩形波导的单模传输
截止波长分布
TE10 模的截止波长为2a
TE 20 模的截止波长为a TE 01 模的截止波长为2b
TE11 模的截止波长为
2ab a +b
2 2
< 2b
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矩形波导的单模传输
TE 20
TE10
截止波长
2b a
a > 2b
⎧ a < λ0 < 2a 单模传输条件 ⎨ ⎩ a > 2b
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λ
2a
λc
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矩形波导的单模传输
单模传输条件
TE 20
TE11,TM11
TE 01
TE10
?
截止波长
a 2b
a < 2b
λ
2a
单模传输条件 ⎨
λc ⎧ 2b < λ0 < 2a
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矩形波导的场结构
TE10模的场分布图
所谓场分布图就是在固定时刻，用电力线和磁力 线表示某种波型场强空间变化规律的图形。 TE10模的场分量为
⎧ ⎛ π ⎞ j (ω t − β z ) ⎪ E y = E0 sin ⎜ a x ⎟ e ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ β ⎛ π ⎞ j (ω t − β z ) E0 sin ⎜ x ⎟ e ⎨H x = − ωμ ⎝a ⎠ ⎪ ⎪ 1 π ⎛ π ⎞ j (ω t − β z ) E0 cos ⎜ x ⎟ e ⎪ Hz = j ωμ a ⎝a ⎠ ⎩
⎩ a < 2b
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矩形波导的单模传输
TE10模的单模传输条件
⎧λc (TE20 ) < λ0 < λc (TE10 ) ⎪ ⎨ ⎪λc (TE01 ) < λ0 ⎩
单模传输条件
⎧ a < λ0 < 2a ⎨ ⎩λ0 > 2b
⎧2b <生在TE波与 TM波之间。
β = k 2 − kc2 = k 2 − (
mπ 2 nπ 2 ) −( ) a b
λc 2π με 2π με 矩形波导中，TEmn 模与TMmn模是简 2π 2 λcmn = = 并模。 kc m 2 n 2
( ) +( ) a b
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hz ( x, y ) = X ( x )Y ( y )
1 d X ( x) 1 d Y ( y) 2 + + kc = 0 2 2 X ( x ) dx Y ( y ) dy
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分离变量法
2
矩形波导的场分布
TE模场分布求解
要使等式恒成立，前两项必须分别为常数 可以设
π
π
v0
λc (TM ) =
11
v0 f c (TM11 )
=
2π ( ) +( ) a b
2
π
π
2
2π = kc
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矩形波导的场分布
“简并”现象
对波指数相同的TE波及TM波，有相同的截止波长， 因此有相同的传输条件。但TE、TM波具有不同的场结 构，这种具有不同场结构而有相同传输参量的现象， 称为“简并”。