整式的乘除 培优题目演示教学

第12章《整式的乘除》培优习题5：提公因式法和运用公式法分解因式考点1：因式分解的定义例1、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A 、()332362++=++z y x xz xyB 、()()36662-=-+x x xC 、()y x x xy x +-=--2222D 、()a b a a b a --=--2222333【同步练习】下列由左到右变形，属于因式分解的是（ ）A 、()()9432322-=-+x x xB 、()424222+=+x xC 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x 4114118112 D 、()()()3392--+-=--b a b a b a 考点2：提公因式法分解因式例3、多项式322436yz x y x xy -+各项的公因式是（ ）A 、xyB 、2xzC 、3xyD 、3yz 【同步练习】多项式c b a b a ab 2322212186-+的公因式是（ ）A 、c ab 26B 、2abC 、26abD 、c b a 236例4、把多项式()()222---a m a m 因式分解，结果正确的是（ ）A 、()()m m a --22B 、()()12+-m a mC 、()()12--m a mD 、()()12+-m a m 【同步练习】把多项式()()222-+-a m a m 进行因式分解，所得的结果是（ ）A 、()()m m a +-22B 、()()m m a --22C 、()()12--m a mD 、()()12+-m a m例5、利用因式分解计算：=-10110022（ ）A 、﹣2B 、2C 、1002D 、1002- 【同步练习】81812-肯定能被（ ）整除A 、79B 、80C 、82D 、83例6、已知4=+b a ，2=ab ，则2233ab b a +的值为（ ）A 、6B 、8C 、10D 、24【同步练习】如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则22ab b a +的值为（ ） A 、60 B 、16 C 、30D 、11考点汇编ba考点3：运用公式法分解因式例7、课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）用平方差公式分解下列各式：（1）22b a -（2）22249z y x - （3）22y x -- （4）2222516p n m -A 、第1道题B 、第2道题C 、第3道题D 、第4道题【同步练习】1、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、xy x -2B 、xy x +2C 、224y x +D 、224y x -2、下列各多项式中，能用平方差公式分解因式是（ ） A 、162+-xB 、92+xC 、42--xD 、y x 22-例8、把代数式2732-x 因式分解，结果正确的是（ ）A 、()932-xB 、()()993-+x xC 、()()333-+x xD 、()233-x【同步练习】把多项式a a -2分解因式，结果正确的是（ ）A 、()1-a aB 、()()11-+a aC 、()()11-+a a aD 、()1--a a例9、已知2=-b a ，则b b a 422--的值为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8【同步练习】1、若3=+b a ，则226b b a -+的值为（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、122、已知2=ab ，3=-b a ，则2332b a b a -的值为（ ）A 、6B 、﹣6C 、12D 、12-例10、下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A 、4122++a a B 、412++a a C 、422+-x x D 、22y xy x +-【同步练习】下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A 、12-aB 、122-+a aC 、142++a aD 、962+-a a例11、已知42++kx x 可以用完全平方公式进行因式分解，则k 的值为（ ）A 、4-B 、2C 、4D 、4±【同步练习】关于x 的二次三项式362++ax x 能直接用完全平方公式分解因式，则a 的值是（ ）A 、6-B 、6±C 、12D 、12±例12、把多项式x x x 1812223-+-分解因式，结果正确的是（ ）A 、()9622-+-x xB 、()232--x x C 、()()332-+-x x x D 、()232+-x x【同步练习】分解因式32232xy y x y x +-正确的是（ ）A 、()2y x xy + B 、()222y xy x xy +- C 、()222y xy x xy -+ D 、()2y x xy -1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、()2222y xy x y x ++=+B 、()22255y x xy -=-C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x x x x 12122D 、()()y x y x y x 22422-+=-2、把多项式()()3223x y y x -+-分解因式结果正确的是（ ） A 、()()y x y x 2232---B 、()()y x y x 2232+--C 、()()y x y x 2232-+-D 、()()y x x y 2232-+-3、把式子()()a y a x ---222分解因式，结果是（ ）A 、()()y x a +-22B 、()()y x a +-22C 、()()y x a --22D 、()()y x a --22 4、已知2-=-y x ，3=xy ，则22xy y x -的值为（ ） A 、2 B 、﹣6 C 、5 D 、﹣3 5、已知2=ab ，53-=-b a ，则代数式ab ab b a +-223的值为（ ） A 、6-B 、8-C 、10-D 、12-6、下列分解因式中，正确的是（ ） A 、()33632-=-m m m m B 、()b ab a a ab b a +=++2 C 、()222y x y x +=+D 、()2222y x y xy x --=-+-7、下列分解因式正确的（ ） A 、()()1122--+=--y x y x y x B 、()()y x y x y x 33922-+=- C 、()()y x y x y x ---=-22422D 、()2222y x y xy x -=--8、下列多项式中不能用公式分解的是（ ） A 、412++a a B 、ab b a 222--- C 、2225b a +- D 、24b --9、分解因式：()()=-+--29124b a b a （ ）探究应用A 、()2332b a -+B 、()2332b a -- C 、()2332b a ++ D 、()2332b a +-10、下列各式中，能用平方差公式分解因式的有（ ） ①22y x +；②22y x -；③22y x +-；④22y x --；⑤22411b a -； ⑥42-x A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个11、将224y x +-分解因式，得到（ ）A 、()()y x y x -+B 、()()x y x y -+22C 、()()y x y x 22-+D 、()()y x y x -+22 12、下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ） A 、22b a +-B 、22y x --C 、2249z x -D 、222516n m -13、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）A 、22b a -B 、22249z y x -C 、22y x --D 、2222516p n m - 14、把多项式442-a 分解因式，结果正确的是（ ）A 、()()2222-+a aB 、()214-a C 、()214+a D 、()()114-+a a15、因式分解y xy y x +-22的结果为（ ） A 、()21-xyB 、()21-x yC 、()122+-x x yD 、()1-x y16、分解因式422y y x -结果正确的是（ ）A 、()222y x y -B 、()22y x y - C 、()222x y y - D 、()()y x y x y +-2。

初中数学培优竞赛讲座第17讲--整式的乘法与除法第十七讲 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：nm n m a a a +=⋅，nmnm a a=)(，nn nb a ab ⋅=)(，nm n ma a a-=÷．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题 【例1】 (1)如果12=-+x x ，则3223++x x ＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题) (2)把(x 2一x+1)6展开后得012211111212a x a x a x a x a+++++ ，则24681012a a a a a a a ++++++ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x 2一x+1)6的展开式写出，因此想通过展开式去问题的难度． 【例4】))(2(67222B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解．【例5】 是否存在常数p 、q 使得qpx x++24能被522++x x 整除?如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由．思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．注 运用指数运算率解题，应注意以下几点： (1)善于变异底为同底； (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题．所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式．如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等．待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是：(1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数；(2)比较对应项的系数，列出方程组； (3)解方程组，求出待定系数的值．学力训练1．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)．房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a 元／米2，则买砖至少需要 元(用含a 、x 、y 的代数式表示)． (河北省中考题) 2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y ． (绍兴市竞赛题)3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ． (2003年武汉市选拔赛试题) 4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)5．化简)2(2)2(2234++-n n n 得（ ）． (IT 杯全国初中数学竞赛题)A ．8121-+n B ．12+-n C ．87 D ．476．已知223344556,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a<b<c<dB ．a<b<d<cC ．b<a<c<dD ．a<d<b<c (北京市“迎春杯”竞赛题) 7．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数根，则a 的值共有( )．A ． 1个B ．3个C ．6个D ．9个 8．计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )． (杭州市中考题)A ．1B ．—lC ．200351 D ．200351-9．已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a 、、的值．10．设d c b a 、、、都是正整数，并且19,,2345=-==a c d c b a ，求a-b的值． (江苏省竞赛题)11．已知四位数yxy x 9292⋅=，试确定)1(92112-----y y x xx y x 的值．12．多项式875223-+-x x x与多项式112++bx ax的乘积中，没有含4x 的项，也没有含3x 的项，则ba +2＝ ．13．若多项式7432+-x x 能表示成cx b x a ++++)1()1(2的形式，则a＝ ． 14．若1223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则42a a + ． (2003年北京市竞赛题) 15．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ．16．若2233445566,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a>b>c>dB ．a>b>d>cC ．b>a>c>dD ．a>d>b>c (北京市“迎春杯”竞赛题) 17．已知19971996321,,,,,a aa a a 均为正数，又M ))((199732199621a a a a a a++++++= ，N ))((199632199721a a a a a a++++++= ，则M 与N 的大小关系是( )．A ．M=NB ．M<NC ．M>ND ．关系不确定 18．若133=-x x，则199973129234+--+x x x x的值等于( )A ．1997B ．1999C ．2001D ．2003 (北京市竞赛题)19．已知关于x 的整系数二次三项式ax 2十bx+c 当x 取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l ，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x=1时，ax 2十bx+c=1B ．当x ＝3时，ax 2十bx+c=5C ．当x=6时，ax 2十bx+c=25D ．当x ＝8时，ax 2十bx+c=5020．已知3x 2-x-1=0，求6x 3十7x 2一5x+1999的值．21．已知a 是方程01322=-+x x的一个根，试求代数式131593322345-+-+++a a a a a a 的值．22．已知102222=⋅=⋅d c b a，求证：(a 一1)(d —1)=(b 一1)(c一1)．23．是否存在整数c b a 、、满足2)1516()910()89(=c b a？若存在，求出cb a 、、的值；若不存在，说明理由．24．当自然数n的个位数分别为0，1，2，……，9时，n2，n3，n 4，n 5的个位数如表所示n的个位数0123456789n2的个位数0149656941n3的个位数0187456329n4的个位数0161656l61n5的个位数0l23456789(1)从所列的表中你能发现什么规律?(2)若n为自然数，和数1981n+1982 n+1983 n+1984 n 不能被10整除，那么n必须满足什么条件?第十七讲整式的乘法与除法参考答案11。

第三讲整式的乘法和除法一、指数运算律是整式乘除的基础，分别有同底数幂的乘法：，幂的乘方：，积的乘方：，同底数幂的除法：. 学习指数运算律应该注意：（1）运算律成立的条件；（2）运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式.（3）运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.二、乘法公式是在多项式乘法的基础上。

经多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数式的证明等方面有着广泛的应用. 在学习乘法公式时应该注意：（1）熟悉公式的结构特点，理解掌握公式；（2）根据待求式的特点，模仿套用公式；（3）对公式中字母的全面理解，灵活应用公式；（4）既能正用，又能逆用，且能适当变形或重新组合，综合运用公式.例1：（1）计算：2000 20007 3 151998( ) （2）比较大小：2000 20003 7 35(2342)1005例2：有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取 1 号、2 号、3 号卡片分别为 1 张、2 张、3 张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．2 2（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a +7ab+3b ，那么需用 2 号卡片张，3 号卡片张．例3：（1）在2004,2005,2006,2007 这四个数中，不能表示为两个整数的平方差的是.（2）已知( 2000 a)( 1998 a) 1999 ，那么 2 ( 1998 )2( a a .2000 )2 b 2 c 2 a例4：已知a,b,c 满足a 2 7，b 2 1，c 6 17 ，则a+b+c 的值等于（）练习：24 23 1、填空： 4 ( 0. 25) 12n6na ( ). ；若a 3 ，则2 13、若n 1 n ，y 2n 1 2n 2 ，其中n为整数，则x与y 的数量关系是（）x 2 2A.x=4yB.y=4xC.x=12yD.y=12x4、如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是 2 和1 的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片张才能用它们拼成一个新的正方形．2 25、计算： 1. 2345 0. 7655 2. 469 0. 76556、计算： 2 19502 19512 19522 ... 19972 19982 199919492 7、计算：（1）219991998219991997199919992 2（2）( 2 219992005)(19991996199820013995 )20022000 18、已知a 5，求aa 4 2 1a2a？2 n 29、若n满足( n 2004) ( 2005 ) 1，则(2005 n)( n 2004 ) 等于（）.A.-1B.0C.12D.12 mn n2 m2n mn210、若m,n为有理数，且 2 2 4 4 0 m =（）m ，则A.-8B.-16C.8D.1611、小颖与同学做游戏，她把一张纸剪成5块再从所得的纸片中任取一块再剪成5块；然后再从所得 的纸片 中 任 取 一块， 再 剪 成 5块； ⋯这样类似 地进行 下 去 ， 能 不 能 在 第 n 次 剪 出 的纸片 恰 好 是 2 0 13块， 若 能 ， 求 出这个 n 值； 若 不 能 ，请说明 理 由 ． 12、一个自然数减去 45 后是一个完全平方数，这个自然数加上44, 后仍是一个完全平方数，试求这个自然数.。