2020年《走向高考》高三数学二轮专题复习课件：8-1函数与方程思想、分类讨论思想专项模拟讲义总复习(6)

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[对点训练]
1．已知向量 a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数 λ 的值为( )A．－1B．2
C．1
D．－2
解析：选 A．法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得 a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以 a·b＝0，
故 a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得 λ＝－1.
和性质去分析问题、转化问题，函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是
从而使问题得到解决的思想 相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方
程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
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应用一 函数与方程思想在不等式中的应用 [典型例题]
设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 都成立，则 x 的取值范围为 ________．
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(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数， 将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程， 进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． (2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化 为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理，这是解决此类问题的一种比较 常见的思维方式．
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解析：在△ADC 中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 45°＝2＋DC2－2
2 2·DC·2
＝2＋DC2－2DC.
在△ABD 中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 135°＝BD2＋2＋2

专题九 数学思想方法精析第一讲函数与方程思想、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)= 0，就是求函数 y = f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y = f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x) = g(x)的解的问题可以转 化为函数y = f(x)与y = g(x)的交点问题，也可以转化为函数y = f(x)— g(x)与x 轴的交点问题,方程f(x)= a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重 要.崗题热点突破命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用+ mx + 4>2m + 4x 恒成立的实数 x 的取值范围为(D )A. (―汽一2]B. [2 ,+^ )C. ( —s,— 2]U [2 ,+s ) D . ( — ^，― 2) U (2 ,+s )2[解析] 因为 x€[2,16]，所以 f(x) = Iog 2x€[1,4]，即 m€[1,4] •不等式 x + mx + 4>2m + 4x易错费示>知识整合 Zhi shi zhe ng he(4tf QubN TU 押例1 (1)已知f(x)= log 2X , x € [2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m ,使 x 2M 知识合恒成立，即为m(x—2) + (x—2)2>0恒成立.设g(m) = (x—2)m+ (x—2)2,则此函数在区间［1,4］上恒大于0,X — 2 + (X — 2 2>0 , 4(x - 2 ”(x — 2 2>0,解得x< — 2或x>2.(2) 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(—0, 0)上单调递增.若实数a 满足f(2|ad Q—1|)>f(— 2)，则a 的取值范围是£,自.［解析］由f (x )是偶函数且f (x )在(—0, 0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0 )上单调递减.又因为 f(2|a -1|)>f ( — 2), f ( — 2) = f ( 2), 所以 2『-1|<_2，即 |a — 11<2，解得 1<a<|.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题.(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化.一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数.跟踪训练：：：・ G■en zong xun lia n1. (2018太原一模)定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数为f (x),满足f(x)>f ' (x), 且f(0) = X 则不等式号B 的解集为(B )A . ( — 0, 0)B . (0 ,+0 )C . (—0, 2)D . (2 ,+0 )［解析］构造函数()切则'()e X f' (X X -e X f(x )f ' (x —f (x )g(x) = e x ，贝V g (x) = x 2 = e x.由题意得 g' (x)<0恒成立，所以函数 g(x)=吁在R 上单调递减•又因为 g(0)=爭=1,所以 吁<1.即g(x)<1，所以x>0 ,所以不等式的解集为(0,+ 0).2 12.若不等式x + ax + 1 > 0对一切x € (0, ?］恒成立，则a 的最小值为(C )C .— 5D . - 3［解析］因为x 2 + ax + 1 > 0,所以 g 1 >0, $g 4 >0,A. 0 B . - 2一x一1i i即a》―x=— (x+X)，令g(x)=-(x+ X)，1 1当0<x w 2时，g(x) = - (x + x)递增，1 5 5g(x)max= g(2)= - 2，故a》-2，5即a的最小值为一2-例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x € R，都有f(x+ 4) = f(x)，且当x1€ ［-2,0］时，f(x) =(3)x- 6•若在区间(-2,6］内关于x 的方程f(x)—log a(x+ 2) = 0(a>1)恰有3 个不同的实数根，则实数a的取值范围是(34, 2).［解析］由f(x+ 4) = f(x)，即函数f(x)的周期为4,1因为当x q - 2,0］时，f(x) =(3)x— 6.所以若x q o,2］，则一x€-2,0］,则f( - x) = (3)- x-6 = 3x-6,因为f(x)是偶函数，所以f( - x)= 3x- 6 = f(x)，即f(x) = 3x- 6，x€［0,2］，由f(x) - log a(x+ 2) = 0 得f(x) = log a(x+ 2)，作出函数f(x)的图象如图.当a>1时，要使方程f(x) —log a(x+ 2) = 0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x) = log a(x+ 2)有3个不同的交点，J g(2 <f(2)则满足l_g(6 pf(6，解得3 4<a<2，故a 的取值范围是(3.4, 2).『规律总结』禾U 用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的 问题转论为函数零点问题.(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 跟踪训练 丄・ G .. en zong xun lia n1 n已知函数f(x)= ~x — COSX ,则方程f(x) = ~4所有根的和为(C )7t3n 2［解析］■-f(x) = 2x — cosx , ••f ' (x)= 2 + sinx ,sinx> — 丁, 1•f ' (x)= 2 + sinx>0,1 n 7 nf f(x) = 2x — cosx 在(—6, 6)上是增函数.Ilog a 4<3即log a 8>3,£一 n n n n■f(2) = 4 — cos 2 = 4，•••在区间（—n 帑上有且只有一个实数x =n 满足f （x ）=n/ —詰，-cow 1,1 n , n,f(x) = 2X — cosx w —12+ 1<4,由此可得：当x <訓寸，f （x ）=n 殳有实数根. 同理可证：x >噺寸，f （x ）=7n — i>nn• • •方程f （x ）= 4也没有实数根.n n综上可知f （x ）= 4，只有实数根2.故选C .命题方向3解决最值或参数范围问题小值为（D ）a［解析］当 y = a 时，2(x +1) = a ,所以 x =~— 1. 设方程x + ln x = a 的根为t ,“ “ a t + ln t t ln_t ’则 t + In t = a ，则 |AB|= t — ? + 1 = t — —-~+1 =2 — 2 +1 、工上 Jn_t设 g(t )= 2 — ~2 + 1(t >0),令 g ' (t) = 0, 得 t = 1,当 t€(0,1)时,g' (t)<0; 当 t€(1 ,+s )时，g ' (t)>0 ,3所以 g (t)min = g(1) = 2 ,33所以|AB|>3,所以|AB|的最小值为|.例3直线y = a 分别与曲线y = 2（x + 1）, y = x + In x 交于点A , ，则|AB|的最(t)=-——2 2tt — 1"2T ， C . 3 *2 4『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解.(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解.(3) 当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决.(4) 当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.跟踪训练G en zong xun lia n————I—n ——［解析］・.0A = (1,0), 0P= (cos 0, sin 9 , .'OA OP + S= cos 0+ sin 0= ■. 2sin( 0+ ~)，故OA OP+ S的最大值为.2,此时0= n故选B .例4椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，短轴长为.2，离心率为命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于相异两点A, B,且AP = 3PB.(1)求椭圆C的方程；⑵求m的取值范围.2 2［解析］(1)设椭圆C的方程为*+存=1(a> b>0),2 2 ,2设c>0, c = a —b ,由题意，知2b= 2, ^=寻，所以a = 1, b= c= f.a 2 22故椭圆C的方程为y2+ X = 1,即y2+ 2x2= 1.2⑵设直线I的方程为y= kx+ m(k z 0), l与椭圆C的交点坐标为A(x i, y i), B2(x2, y2), |y= kx+ m, 由22 12x + y = 1,得(k2+ 2)X2+ 2kmx+ (m2—1) = 0,△= (2km)2—4(k2+ 2)(m2—1) = 4(k2—2m2+ 2)>0 , (*)2—2km m — 1X1 + x2=二,X1x2 = ~ ,k2+ 2 k2+ 2因为AP= 3PB ,所以一X1= 3X2.x1 + x2=—2X2 , 所以丫2X1X2=—3X2.则3(X2 + X2)2+ 4X1X2= 0 ,2—2km 2 m —1 即3) + 4 •-k2+ 2 k2+ 2整理得4k2m2+ 2m2—k2—2 = 0 ,即k2(4m2—1) + (2 m2—2) = 0 ,2 1当m2= 4时，上式不成立；2 1 2 2 —2m当m丰匚时，k = 2 —，44m2— 1由(*)式，得k2>2m?—2,又k z 0,22 2 —2m 所以k2= 2一>0,4m2— 11 1解得—1<m< —2 或2<m<1,即所求m的取值范围为(—1,—1)*1，1).『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式 △第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质， 得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论•将上述等量代换式代入 少0或0中，即可求出目标参数的取值范围.跟踪训练Gen zong xun lia n上的任意一点，贝y OP FP 的取值范围为(B )若点0和点F(— 2,0)分别为双曲线2X2— y 2=P 为双曲线右支A . ［3 — 2 ,3,+s ) C . ［ — 7,+m)B . ［3 + 2 3,+^ ) D .【7，+s )2［解析］由c= 2,得a + 1 = 4,••a2= 3.2•••双曲线方程为X^ —y2= 1.设P(x, y)(x》.3),OP FP = (x, y)(・x+ 2, y)2=x2+ 2x+ y2= x2+ 2x+ x—13=3x2+ 2x—1(x> ,3).令g(x) = fx2+ 2x—1(x> . 3),则g(x)在［3, + a)内单调递增，g(x)min = g C . 3)= 3+ 2：.；3••O P FP的取值范围为［3 + 2 3, +°° ).。

解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。