2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想
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专题九 数学思想方法精析
第一讲函数与方程思想
、函数思想
就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 并用函数的解析式将其
表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解.
二、方程思想
就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论, 从而使问题获解.
三、函数思想与方程思想联系
函数思想与方程思想是密切相关的， 如函数问题可以转化为方程问题来解决， 方程问题
也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)= 0，就是求函数 y= f(x)的零点，解不等式
f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y = f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x) = g(x)的解的问题可以转 化为函数y= f(x)与y= g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)— g(x)与x轴的交点问题,
方程f(x)= a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重
要.
崗题热点突破
命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用
+ mx + 4>2m + 4x恒成立的实数 x的取值范围为(D )
A. (―汽一2] B. [2 ,+^ )
C. ( —s,— 2]U [2 ,+s )
D . ( — ^，― 2) U (2 ,+s )
2
[解析] 因为 x€[2,16]，所以 f(x) = Iog2x€[1,4]，即 m€[1,4] •不等式 x + mx+ 4>2m+ 4x 易错费示>
知识整合
Zhi shi zhe ng he
(4tf QubN TU 押
例1 (1)已知f(x)= log2X, x€ [2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数 m,使 x2 M知识合恒成立，即为 m(x— 2) + (x— 2)2>0恒成立.
设 g(m) = (x— 2)m+ (x— 2)2,
则此函数在区间［1,4］上恒大于0,
X— 2 + (X— 2 2>0 , 4(x- 2 ”(x— 2 2>0,
解得x< — 2或x>2.
(2) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(—0, 0)上单调递增.若实数a满足f(2|a
d Q
—1|)>f(— 2)，则a的取值范围是£,自.
［解析］由f(x)是偶函数且f(x)在(—0, 0)上单调递增可知，f(x)在(0, + 0 )上单调递
减.
又因为 f(2|a-1|)>f( — 2), f( — 2) = f( 2), 所以 2『-1|<_2，即 |a— 11<2，解得 1
『规律总结』
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利
用函数的最值解决问题.
(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函
数关系，使问题更明朗化.一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数.
跟踪训练 ：：：・
G ■ en zong xun lia n
1. (2018太原一模)定义域为R的可导函数y= f(x)的导函数为f (x),满足f(x)>f' (x),
且f(0) = X则不等式号B的解集为(B )
A. ( — 0, 0) B . (0 ,+0 )
C. (—0, 2) D . (2 ,+0 )
［解析］构造函数 ()切则'()eXf' (XX-eXf(x) f' (x —f(x)
g(x) = ex，贝V g (x) = x 2 = ex .由题意得 g' (x)<0恒成立，所以函数 g(x) =吁在R上单调递减•又因为 g(0)=爭=1,所以 吁<1.
即g(x)<1，所以x>0 ,所以不等式的解集为(0,+ 0).
2 1
2.若不等式x + ax+ 1 > 0对一切x€ (0, ?］恒成立，则a的最小值为(C )C.— 5 D . - 3
［解析］因为x2 + ax+ 1 > 0, 所以 g 1 >0,
$
g 4 >0, A. 0 B . - 2
一x 一1 i i
即 a》―x=— (x+X)，令 g(x)=-(x+ X)，
1 1
当 0
1 5 5
g(x)max= g(2)= - 2，故 a》-2，
5
即a的最小值为一2-
命题方向2解决图象交点或方程根的问题
例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x € R，都有f(x+ 4) = f(x)，且当x
1
€ ［ -2,0］时，f(x) =(3)x- 6•若在区间(-2,6］内关于 x 的方程 f(x)— loga(x+ 2) = 0(a>1)恰有 3 个不同的实数根，则实数 a的取值范围是(34, 2).
［解析］由f(x+ 4) = f(x)，即函数f(x)的周期为4,
1
因为当 xq - 2,0］时，f(x) =(3)x— 6.
所以若 xqo,2］，则一x€-2,0］,
则 f( - x) = (3)- x-6 = 3x-6,
因为f(x)是偶函数，
所以 f( - x)= 3x- 6 = f(x)，
即 f(x) = 3x- 6，x€［0,2］，
由 f(x) - loga(x+ 2) = 0 得 f(x) = loga(x+ 2)，
作出函数f(x)的图象如图.
当a>1时，要使方程f(x) — log a(x+ 2) = 0恰有3个不同的实数根，
则等价于函数f(x)与 g(x) = loga(x+ 2)有3个不同的交点，
Jg(2
则满足
l_g(6 pf(6，
解得3 4
『规律总结』
禾U用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路
(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的
问题转论为函数零点问题.
(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.
跟踪训练 丄・ G .. en zong xun lia n
1 n
已知函数f(x)= ~x— COSX,则方程f(x) = ~4所有根的和为(C )
7t
3n
2
［解析］■-f(x) = 2x— cosx,
••f ' (x)= 2 + sinx,
sinx> — 丁,
1
•f ' (x)= 2 + sinx>0,
1 n 7 n
ff(x) = 2x— cosx 在(—6, 6)上是增函数.Iloga4<3
即
log a8>3, £
一 n n n n
■f(2) = 4 — cos2 = 4，
•••在区间（—n帑上有且只有一个实数x=n满足f（x）=n
/ —詰，-cow 1,
1 n , n ,f(x) = 2X — cosxw —12+ 1<4,
由此可得：当x噺寸，f（x）=7n— i>n
n
• • •方程f（x）= 4也没有实数根.
n n
综上可知f（x）= 4，只有实数根2.故选C .
命题方向3解决最值或参数范围问题
小值为（D ）
a
［解析］当 y = a 时，2(x+1) = a,所以 x=~— 1.
设方程x+ ln x= a的根为t,
“ “ a t + ln t t ln_t ’
则 t+ In t = a，则 |AB|= t— ? + 1 = t— —-~+ 1 = 2 — 2 + 1
、工 上 Jn_t
设 g(t)= 2 — ~2 + 1(t>0),
令 g' (t) = 0, 得 t = 1,当 t€(0,1)时,g' (t)<0;
当 t€(1 ,+s)时，g' (t)>0 ,
3
所以 g(t)min= g(1) = 2 ,
3 3
所以|AB|>3,所以|AB|的最小值为|.例3直线y= a分别与曲线y= 2（x+ 1）, y= x+ In x交于点A, ，则|AB|的最
(t)=-—— 2 2t t— 1
"2T， C. 3 *2
4
『规律总结』
求最值或参数范围的技巧
(1) 充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式 (组)求解.
(2) 充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知 识求解.
(3) 当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再 利用方程知识使问题巧妙解决.
(4) 当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数.
跟踪训练
Gen zong xun lia n
————I— n ——
［解析］・.0A = (1,0), 0P= (cos 0, sin 9 , .'OA OP + S= cos 0+ sin 0= ■. 2sin( 0+ ~)，故OA
OP
+ S的最大值为.2,此时0= n故选B .
命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用
直线l与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于相异两点 A, B,且AP = 3PB.
(1)求椭圆C的方程；
⑵求m的取值范围.
2 2
［解析］(1)设椭圆C的方程为*+存=1(a> b>0),
2 2 ,2
设 c>0, c = a — b ,
由题意，知2b= 2, ^=寻，所以a = 1, b= c= f.
a 2 2
2
故椭圆C的方程为y2+ X = 1,即y2 + 2x2= 1. 例4椭圆C的中心为坐标原点 O,焦点在y轴上，短轴长为.2，离心率为
