建立适当的平面直角坐标系解决实际问题

建立适当的平面直角坐标系解决实际问题例1、如图,一石拱桥呈抛物线状,已知石拱跨度AB为40 m,拱高CM为16m,把桥拱看作一个二次函数的图象,建立适当的平面直角坐标系.1写出这个二次函数的表达式.2已知点N在距离中心M5 m处,求点N正上方桥高DN的长.例2、如图所示,公园要建造圆形的喷水池,水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.1若不计其他因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不能落到池外2若水流喷出的抛物线形状与1相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流最大高度可达多少米例3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2．8m,装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．练习1、如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥面顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-x-62+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是____________.2、2016·唐山二模设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE=B.113、一个横断面是抛物线的渡槽如图所示,根据图中所给的数据求出水面的宽度是______.4、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶拱桥洞的最高点离水面2m,水面下降1m时,水面的宽度为____________m.5、如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于A．米B．米C．米D．米6、一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测得,当水面宽AB＝1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少是否会超过1 m7、如图,有一座抛物线型拱桥,已知桥下在正常水位AB时,水面宽8m,水位上升3m, 就达到警戒水位CD,这时水面宽4m,若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．8、平时我们在跳大绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看为抛物线,如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面距离均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m,2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,求学生丁的身高.9、2016·常州模拟如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C靠点B一侧竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶.试图让网球落入桶内,已知AB=4m,AC=3m,网球飞行最大高度OM=5m,圆柱形桶的直径为0.5m,高为0.3m网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计.当竖直摆放圆柱形桶至少几个时,网球可以落入桶内。

11．实际问题与二次函数(三)建立坐标系解决问题预习归纳1．建立适当的直角坐标系，将实际问题转化为_________的模型来解决问题．例题讲解【例】有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图所示平面直角坐标系中，求抛物线的函数解析式．基础题训练1． (2014•绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣(x﹣6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．2．如图所示，有一建筑工从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m．(1)求抛物线的解析式．(2)求水流落地点B离墙的距离OB．3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽AB＝8cm，然后有一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m．(1)求抛物线的解析式；(2)求门高OE的长．中档题训练4．如图，排球运动员甲站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分．当球运动到最高点D时，其高度为2．6m，离甲站立地点O点的水平距离为6cm，球网BC离O点的水平距离为9m，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，乙站立地点M的坐标为(m,0)．⑴求出抛物线的解析式；(不写出自变量的取值范围)⑵求排球落地点N离球网的水平距离；⑶乙原地起跳可接球的最大高度为2．4m，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．综合题训练5．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y＝﹣x2＋x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．(1)请写出抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴．(2)请求出球飞行的最大水平距离．(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．。

平面直角坐标系复习教学目标：1．能准确画出平面直角坐标系，由点的位置写出坐标，由点的坐标确定点的位置．掌握特殊位置点的坐标特征，并能用坐标表示平移变换．2．会建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示地理位置．3．通过观察、尝试、交流，提高学生数形结合思想，培养学生归纳，整理所学知识和应用数学的意识．教学重点：1．准确确定平面内点的位置和坐标，并能进行综合应用．2．根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，并解决实际问题教学难点：1．正确运用坐标特征解决实际问题．2．平面直角坐标系的实际应用．教学方法：启发、讨论、交流．教具准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情景，导入新课这是一张某市旅游景点示意图，我们以中心广场所在水平线为横轴，以中心广场所在铅垂线为纵轴建立平面直角坐标系，你们能说出各景点的坐标吗？平面直角坐标系是确定平面内点的坐标的重要工具，用它可以解决很多实际问题，本节课我们大家一起来复习“平面直角坐标系”这一章．（由一个具体实例引出课题，可激发学生的兴趣，创造积极的求知氛围）二、师生互动，构建知识框架1．有序数对：有序数对是指______的两个数组成的数对，它的表示形式是（a，b）．2．平面直角坐标系的意义：在平面内，两条具有、并且______的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做______或_______，取向______方向为正方向，竖直的数轴叫做______或_______，取向______方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的______，平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个象限，这两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第______象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第______、______、______象限，坐标轴不属于任何象限．注意：（1）组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.（2）两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同．3．坐标平面内点的坐标的符号特征（填“+”或“-”）：4．特殊点的坐标性质：（1）平行于坐标轴直线上的点的坐标：平行于x轴的直线上的各点的________相同，_______不同；平行于y轴的直线上的各点的_________相同，__________不同；（2）点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则，P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则；（3）对称点的坐标：点P（a，b）关于x轴对称的点为_________，点P（a，b）关于y轴对称的点为__________；（4）点到两轴的距离的意义：点P（x，y）到x轴的距离为_____，到y轴的距离为____；（5）点的坐标与图形平移的关系：一个图形在平面直角坐标系中进行平移，其坐标就要发生相应的变化，可以简单地理解为：左、右平移纵坐标，横坐标，变化规律是，上下平移横坐标，纵坐标，变化规律是．5．用坐标表示地理位置的一般过程：（1）；（2）；（3）．（学生独立思考后与同伴交流各自的答案，学生代表发言，教师纠正学生出现的问题．）评析：复习时以点的坐标特征为主线，把全章知识系统化，条理化，全面化，以便于应用，同时也培养了学生的归纳概括能力．三、运用知识，进行基础训练例1在已给的平面直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的象限或坐标轴．A（2，3），B（-2，-3），C（4，-3），D（1.5，0），E（-1，5），F（0，-2），G（0，0）．练习1：1．点A(-3，4)在第象限，点B（2，-5）在第象限；2．如果点A( a，b)在第四象限，那么点B（b，-a）在第象限；若C(x，y)满足xy=0，则点C一定在；（根据点的坐标特征确定点的位置）（学生通过描点，加深了对平面直角坐标系和坐标的认识，为解决后面的问题作好铺垫）3．已知点P（1+2a，3-a）在x轴上，则点P的坐标为；4．已知线段AB∥y 轴，且A(-2，3)，AB =5，那么点B的坐标是；5．若点P( 2a+5，4a-3)在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为；6．已知点P( a-4，2-3a)在二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为；（根据特殊位置点的坐标特征确定点的坐标）7．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标是；（根据点的坐标的几何意义确定点的坐标）8．已知点P(2，-3)先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点P′，则点P′坐标为；（根据点的平移变换与坐标变化规律确定点的坐标）9．点P（3，-2）关于y 轴对称点的坐标是．（根据对称点坐标的规律确定点的坐标）评析：这些题型不仅对所学知识能进一步理解和应用，而且也提高了学生用数学知识解决问题的能力．例2如图是某市部分平面简图（图中小正方形的边长代表100 m长），请建立适当的平面直角坐标系，并写出各地的坐标．（学生在自己设计的活动中体验怎样建立平面直角坐标系，训练学生数学表达能力，也给学生极大的创造空间，有利于学生个性发展）四、拓宽知识，实现知识迁移师：平面直角坐标系是建立图形和数量关系的桥梁，反映了数学中重要的思想方法——数形结合，下面我们以图形面积为例说明怎样用数形结合思想、转化思想解决有关问题．例3在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．（1）平移△ABC，使得点C与坐标原点O重合，请画出平移后的△A′B′C′；（2）写出A、B两点对应点A′、B′的坐标；（3）求△A′B′C′的面积．（学生自己动手画图，作适当的辅助线，将所求图形的面积转化为规则图形的面积差来求，然后同伴相互交流）评析：学生在做数学的过程中掌握了一些数学思想方法，积累了数学解题经验，感受到了数学的应用价值．练习21．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，-4）在象限．2．已知点A（a，－5），B（8，b），根据下列要求，确定a，b的值：（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在第一，三象限的平分线上．3．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．4．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．五、师生小结，概括本章内容通过本节复习课，你对本章知识是否有了更深的认识呢？谈谈你的体会．（通过学生自己总结，加强学生对复习课的认识和学习方法的掌握）六、布置作业，拓展思维空间1．书本P84第1，2，4题；2．请你绘制一幅学校平面分布图，并用坐标表示．（强化用坐标表示地理位置的实际应用）．。

22.3 实际问题与二次函数第3课时　二次函数与拱桥类问题课题第3课时　二次函数与拱桥类问题授课人知识技能1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.数学思考1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想；2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想.问题解决通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.教学目标情感态度1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.教学重点探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.授课新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.二次函数解析式常见的形式有哪几种？并说明其特征.2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时：向上平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向下平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向左平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向右平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评.在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.活动一：创设情境【课堂引入】问题：图22－3－23是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.新课图22－3－23师生活动：教师进行引导，提出问题：对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题，教师进行提示：①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；③求出函数解析式，进而求点的坐标；④求函数解析式应该用待定系数法.师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程.解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便，更明确易懂.2.通过总结抛物线形实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确解题方向.（－2，－2），可得a ＝－12，所以抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2.把y ＝－3代入函数解析式，得x ＝±6，所以CD －AB ＝（2 6－4）米，则水面宽度将增加（2 6－4）米.图22－3－24活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致.如解法：如图22－3－25，设AB 所在直线为x 轴，经过AB 的中点O 且与AB 垂直的直线为y 轴，则通过画图可知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，可求出OA 和OB 的长为AB 长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y ＝ax 2＋2.将点A 的坐标（－2，0）代入解析式，得a ＝－12，所以抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋2.把y ＝－1代入上式，得x ＝±6，所以CD －AB ＝(2 6－4)米，则水面宽度将增加（2 6－4）米.图22－3－252.归纳总结教师引导学生进行归纳总结：①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线的函数解析式；④直接利用图象解决实际问题.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1　自动喷灌设备的喷流情况如图22－3－26所示，设水管AB在高出地面3.5米的B处有一自动旋转的喷水头，水流是抛物线形，喷头B与水流最高点C连线与地面成45°角，水流最高点C比喷头B高2米，求水流落点D到点A的距离.图22－3－26师生活动：学生按要求进行解答，教师做好指导、点拨.教师关注：（1）学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题；激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学建模思想，增强应用意识.（2）学生是否具有探索精神.【拓展提升】例2　如图22－3－27，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面209米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米.设篮球运动的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3.05米.问此球能否投中篮筐？图22－3－27师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果.教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助.通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生视野，提高学生灵活运用知识的能力.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.如图22－3－28所示的是一学生推铅球时铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，观察图象，则铅球推出的水平距离是　10　m.图22－3－28 图22－3－29针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.2.小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图22－3－29为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为（ B ）A.14B.11C.6D.33.某工厂的大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯，两盏壁灯之间的水平距离为6 m，如图22－3－30所示，则厂门的高约为　6.9 m　（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1 m）.图22－3－304.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形，喷出水流的高度y（m）与喷出水流距喷嘴的水平距离x（m）之间满足函数解析式y＝－12x2＋2x.（1）求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少；（2）求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.1.课堂总结：（1）你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第52页习题22.3第3题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效解决了教学的重难点；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由时间，让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.②[讲授效果反思]教师强调重点：（1）明确解决抛物线形问题的步骤；（2）设抛物线的函数解析式时，要根据函数图象选反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.择恰当的形式.③[师生互动反思]在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.④[习题反思]好题题号 错题题号 典案二导学设计学案一学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

23.6 图形与坐标1．了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；(重点)2．利用坐标表示物体间的位置；(重点)3．建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．(难点)一、情境导入“怪兽吃豆〞是一种计算机游戏，如以下图的标志表示“怪兽〞先后经过的几个位置．如果用(1，2)表示“怪兽〞按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽〞经过的其他几个位置吗？二、合作探究探究点一：建立适当的平面直角坐标系如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置．解析：根据“利于点的坐标表示〞的原那么，选广场为原点比拟适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小．解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，cm，根据比例尺实际距离为150m，以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)．方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向．探究点二：用方向、距离描述位置如以下图是小明家附近的简单地图. OA＝2cm，OB，OP＝4cm，C为OP的中点．答复以下问题(“O〞处表示小明家)：(1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？(2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离．解：(1)学校和公园；(2)图中商场在小明家北偏西30°cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm处．方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序．三、板书设计利用直角坐标系和方位描述物体间的位置1．建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置；2．用方向、距离描述位置．将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力．教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的时机，促使他们主动参与、积极探究.第2课时比例线段1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)2．理解成比例线段的概念；(重点)3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)一、情境导入请观察以下几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、合作探究探究点一：线段的比 【类型一】根据线段的比求长度如下列图，M 为线段AB 上一点，AM ∶MB ＝3∶5，且AB ＝16cm ，求线段AM 、BM 的长度．解：线段AM 与MB 的比反映了这两条线段在全线段AB 中所占的份数，由AM ∶MB ＝3∶5可知AM ＝38AB ，MB ＝58AB . ∵AB ＝16cm ，∴AM ＝38×16＝6(cm)，MB ＝58×16＝10(cm)． 方法总结：此题也可设AM ＝3k ，MB ＝5k ，利用3k ＋5k ＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．【类型二】比例尺在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，那么甲、乙两地的实际距离是________m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离〞可求解．设甲、乙两地的实际距离为x cm ，那么有1∶50 000＝3∶x ，解得x ＝150 000cm ＝1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．探究点二：成比例线段 【类型一】判断线段成比例以下四组线段中，是成比例线段的是( )A ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmB ．4cm ，8cm ，3cm ，5cmC ．5cm ，15cm ，2cm ，6cmD ．8cm ，4cm ，1cm ，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.应选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断； (2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．【类型二】由线段成比例求线段的长三条线段的长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．解：因为此题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x ，假设x ∶1＝2∶2，那么x ＝22；假设1∶x ＝2∶2，那么x ＝2；假设1∶2＝x ∶2，那么x ＝2；假设1∶2＝2∶x ，那么x ＝2 2.所以所添加的数有三种可能，可以是22，2，或2 2. 方法总结：假设使四个数成比例，那么应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．三、板书设计比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段 AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两 条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n 或写成AB CD ＝m n 成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这 四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．。

建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤1. 恰当地建立直角坐标系;2。

将已知条件转化为点的坐标；3。

合理地设出所求函数关系式；4。

代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5. 利用关系式求解问题。

方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键；（2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；（3)设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种；（4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。

总结：1。

能分析实际问题中数量关系,建立二次函数模型.2. 能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。

例题1 如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 之间按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.36米，则立柱EF 的长为（ ）A BC E FOA. 0.4米B. 0.16米C. 0.2米 D 。

0。

24米解析：由于按相同的间距0。

2m 用5根立柱加固,则AB ＝0.2×6＝1。

2，以C 为坐标系的原点，OC 所在直线为y 轴建立坐标系，由此得到抛物线过B （0。

6,0.36）、C （0，0)、A （－0。

6，0。

36）,据此求出其解析式。

把x ＝－0.4代入后求出y ，令EF=0.36－y即可。

答案:如图，以C为坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,设抛物线解析式为y＝ax2,由题意知，图象过B（0。

6，0.36），代入得:0。

36＝0。

36a，∴a＝1，即y＝x2。

∵F点横坐标为－0。

4，∴当x＝－0。

4时，y＝0。

16，∴EF＝0。

36－0.16＝0.2米。

故选C.点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。

主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键.例题2一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面错误! m，与篮筐中心的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m。

构建平面直角坐标系解决生活中的实际问题在现实生活中，平面上许多物体的位置可以利用直角坐标系来描述，给人们带来方便，而根据实际问题和背景建立恰当的坐标系又可以给位置的确定提供了可能。

在建立适当的直角坐标系描述物体的位置时，关键是选好原点的位置，而原点位置的选择应以各点的坐标容易表示为原则。

现将2006年各地的中考试题中有关的考题总结如下：例1 如图为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵为坐标原点，建立平面直角坐标系，则玉王宫岩所在位置的坐标为．分析:这是一道生活中的实际问题,把各景点看作是平面内的点,要想确定点的位置,必须建立平面直角坐标系,坐标系的建立与坐标原点的选取有直接关系.本题以舜帝陵为坐标原点,可见玉王宫岩在第一象限,横坐标为2,纵坐标为4.答:玉王宫岩所在位置的坐标为( 2,4)例2．如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(74)--，，白棋④的坐标为(68)--，，那么黑棋的坐标应该是．42（图2）y（北）x（东）6543211234567A舜帝陵B紫霞岩C凤凰岩D永福寺E玉王宫岩F鲁女峰A CBDEＦO分析：可先根据白棋②确定坐标原点，构建直角坐标系，然后利用白棋④验证坐标系建立的是否正确，最后确定黑棋的坐标。

答案: ()37--，例3.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的。

左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2）、（－2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是 。

分析:根据左图中的左眼移到右图中左眼的变化规律为:横坐标加7,纵坐标加2,容易根据此规律求出右图中右眼的坐标.答案( 5,4)。

北师大版数学八年级上册《建立适当的平面直角坐标系》说课稿1一. 教材分析《建立适当的平面直角坐标系》是北师大版数学八年级上册的一节课。

本节课的主要内容是让学生掌握建立平面直角坐标系的方法，以及理解坐标系在解决实际问题中的应用。

教材通过引入实际例子，让学生了解坐标系的建立过程，从而引出坐标系的定义，并且通过大量的练习让学生熟练掌握坐标系的运用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的知识，对图形的性质和运算有一定的了解。

同时，学生也学习了函数的知识，对函数的图像有所了解。

但是，学生对坐标系的建立和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握建立平面直角坐标系的方法，能够熟练地在坐标系中绘制图形和解决问题。

2.过程与方法目标：通过实际例子，让学生了解坐标系的建立过程，培养学生的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与实际生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握建立平面直角坐标系的方法，能够熟练地在坐标系中绘制图形和解决问题。

2.教学难点：让学生理解坐标系在解决实际问题中的应用，能够灵活运用坐标系解决问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际例子，引导学生思考和探索坐标系的建立过程。

同时，利用多媒体教学手段，展示坐标系的图像和实际应用，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示实际例子，引导学生思考如何建立坐标系来解决问题。

2.新课导入：介绍坐标系的定义和建立方法，引导学生学习坐标系的运用。

3.实例分析：通过具体例子，让学生了解坐标系在解决实际问题中的应用。

4.练习巩固：让学生进行练习，巩固所学知识，提高运用能力。

5.总结提高：引导学生总结坐标系的建立方法和应用，提高学生的思维能力。

七. 说板书设计板书设计如下：1.坐标系的定义2.坐标系的建立方法3.坐标系的应用八. 说教学评价本节课的教学评价主要通过学生的练习和课堂表现来进行。

7.2 坐标方法的简单应用7．2.1 用坐标表示地理位置【学习目标】1．掌握建立适当的直角坐标系描述地理位置的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．2．通过用直角坐标系表示地理位置，使学生体会平面直角坐标在实际生活中的应用．【学习重点】利用坐标表示地理位置．【学习难点】建立适当的平面直角坐标系解决实际问题．行为提示：创设情景，促进学生思考，引发学生的好奇心．行为提示：学生阅读后，独立完成问题，教师巡视，适时点拔．方法指导：选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴正方向．方法指导：建立平面直角坐标系时，一般选取一个适当的点作为位置中心，然后再以__向右__、__向上__的方向为坐标系的__x轴__、__y轴__的正方向，然后由各个位置与坐标中心的方位与距离，得出它们的坐标．情景导入生成问题情景导入：不管出差办事，还是外出旅游，只要到一个新的地方，人们都愿意带上一幅地图，它给人们出行带来了很大的方便，如图是在某公园门口看到的平面示意图．问题：你能用坐标表示出它们的地理位置吗？学生回答或展示，教师点评．自学互研生成能力【自主探究】认真阅读教材P73－74的内容，完成下列问题：问题1：根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．小刚家：出校门向东走1 500 m，再向北走2 000 m.小强家：出校门向西走2 000 m，再向北走3 500 m，最后向东走500 m.小敏家：出校门向南走1 000 m，再向东走3 000 m，最后向东南走750 m．(学生独立完成)问题2：以学校为坐标原点建立平面直角坐标系与以小刚家为坐标原点建立平面直角坐标系，其他点的坐标有没有变化？【合作探究】典例讲解：图中是某市旅游景点的示意图，试建立平面直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置．解：如果选取中心广场为坐标原点，建立平面直角坐标系，则各景点位置的坐标如图所示．思考：利用平面直角坐标系确定点的位置的一般步骤是什么？归纳总结：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．学习笔记：1.建立平面直角坐标系的方式不唯一，各点的坐标表示也不唯一．2．用坐标表示地理位置时，一般都是选取题目中涉及最多的地点为原点，比例尺的选取要与坐标的单位长度相匹配．学习笔记：确定位置的方法：①行列定位法；②方位角＋距离定位法；③经纬度定位法；④直角坐标系定位法.【自主探究】解答下列各题：某市有A教苑、B光明、C平安、D梅苑四个小区，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图，请建立适当的直角坐标系，并写出四个小区对应的坐标．解：答案不唯一，若建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，D的坐标分别为A(10，7)，B(6，－1)，C(－2，5.5)，D(0，0)．【合作探究】如图所示，一艘船在A处遇险后向相距35 n mile位于B处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？解：由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35 n mile，用北偏东60°，35 n mile就可以确定救生船相对于遇险船的位置．反过来，用南偏西60°，35 n mile就可以确定遇险船相对于救生船的位置．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一用坐标表示地理位置知识模块二用方位角和距离表示物体位置检测反馈达成目标【当堂检测】1．确定一个同学在教室里的位置的条件是 ( D )A．确定行、排的数据B．确定行、排的顺序C．确定行的顺序和数据D．确定行、排的顺序和数据2．如图，小明从点O出发，先向西走40 m，再向南走30 m到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示位置是( B )A．点A B．点BC．点C D．点D3．小明家的坐标为(1，2)，小丽家的坐标为(－2，－1)，则小明家在小丽家的( B )A．东南方向B．东北方向C．西南方向D．西北方向4．如图是绍兴市行政区域图，若上虞市所在地用坐标表示为(1，2)，诸暨市所在地表示为(－5，－2)．【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

建立适当的平面直角坐标系解决实际问题例1、如图，一石拱桥呈抛物线状，已知石拱跨度AB为40 m，拱高CM为16m，把桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系.(1)写出这个二次函数的表达式.(2)已知点N在距离中心M5 m处，求点N正上方桥高DN的长.例2、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不能落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度可达多少米？例3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C 离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．练习1、如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥面顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=-(x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是____________.2、(2016·唐山二模)设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=( )A.17B.11C.8D.73、一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是______.4、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面下降1m时，水面的宽度为____________m.5、如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于( )A．2.80米B．2.816米C．2.82米D．2.826米6、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？7、如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．8、平时我们在跳大绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面距离均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m，2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m，求学生丁的身高.9、(2016·常州模拟)如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶.试图让网球落入桶内，已知AB=4m，AC=3m，网球飞行最大高度OM=5m，圆柱形桶的直径为0.5m，高为0.3m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).当竖直摆放圆柱形桶至少几个时，网球可以落入桶内？。

北师大版数学八年级上册《建立适当的平面直角坐标系》教学设计1一. 教材分析《建立适当的平面直角坐标系》是北师大版数学八年级上册第六章第一节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基础知识，会用坐标表示点的位置的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会建立适当的平面直角坐标系，并利用坐标系解决一些实际问题。

教材通过两个例题让学生理解建立坐标系的目的是为了方便描述点的位置，从而更好地解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了坐标系的基础知识，会用坐标表示点的位置。

但是学生对为什么要建立适当的坐标系，以及如何建立坐标系解决实际问题还不太理解。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解坐标系的作用，以及如何根据实际问题选择适当的坐标系。

三. 教学目标1.让学生理解建立适当的平面直角坐标系的目的是为了方便描述点的位置，从而更好地解决实际问题。

2.让学生学会根据实际问题选择适当的坐标系。

3.让学生掌握利用坐标系解决实际问题的方法。

四. 教学重难点1.建立适当的平面直角坐标系的意义。

2.如何根据实际问题选择适当的坐标系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引出坐标系的概念，让学生在实际情境中理解坐标系的作用。

2.案例教学法：通过分析例题，让学生学会如何选择适当的坐标系解决实际问题。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论如何选择适当的坐标系，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含坐标系知识点的PPT，以便于学生直观地了解坐标系的概念。

2.例题：准备一些实际问题，让学生在课堂上练习如何选择适当的坐标系解决。

3.小组合作学习任务单：设计一份任务单，让学生在小组内讨论如何选择适当的坐标系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如商场地图，引出坐标系的概念，让学生在实际情境中理解坐标系的作用。

2.呈现（10分钟）介绍平面直角坐标系的基本概念，讲解建立适当的坐标系的意义。