201X春九年级数学下册 第3章 圆 3.2 圆的对称性习题讲评课件(新版)北师大版

∵点A与点 A重合，点B与点 B 重合， ∴ AB 与 AB 重合，弦AB与弦 AB 重合，
∴ AB=AB ，AB=AB．
追问：小红的想法正确吗？
【形成结论】
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的
【巩固提高】
课堂小结： 本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？ 1、圆的轴对称性和中心对称性； 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等. 强调：运用本节知识时不能忘记其成立的条件“在同圆或等圆中”，这个知识点
是证明弧相等，弦相等常用的方法．
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
例2 如图，在☉O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F. (1)如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关

•
练习1：在⊙O中，OC垂直于弦AB， AB = 8，OA = 5， 则AC = 4 ，OC = 3 。
O
5
3
4┏
A
C8
B
变式练习
• 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， 垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么 sin∠OCE=
• •．
随堂练习
1. 已知：如图，在以O为
圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，
• 定理 垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所的两条弧.
C
如图∵ CD是直径,
A
B
M└
CD⊥AB, ∴AM=BM,
●O
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/292021/7/29Thur sday, July 29, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 8:07:42 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

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45
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键;
●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
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46
圆的相关概念
A⌒mB
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).
H 弧长 FE = 3.84 cm
G
E
F
A
.
C
6
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
.
7
垂径定理
A⌒mB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
A E.
B
D
O
BA
E
B
12
C
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的Байду номын сангаас为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。

[解析] B “在同圆或等圆中”是弧、弦、圆心角的关系定理成立的前提条件 20(t2i1á/1o2j/5iàn)，不可忽视．以上选项中只有“等弧”满足该条件(tiáojiàn)，所以B正确．
第三页，共二十六页。
2 圆的对称性
2．如图 K－20－1，在⊙O 中，A︵C＝B︵D，∠AOB＝40°，则∠COD
2 圆的对称性
证明：连接 AF.∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF， ∴∠GAE＝∠EAF，∴G︵E＝E︵F.
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2 圆的对称性
13．如图 K－20－11，AB 是⊙O 的直径，A︵C＝C︵D，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD.
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2 圆的对称性
14．如图K－20－12，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点． (1)连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD； (2)若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB，PD，PF，写出这三条 线段之间的数量关系(不必(bùbì)说明理由)．
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第十五页，共二十六页。
图K－20－9
2 圆的对称性
12．如图 K－20－10 所示，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，与 AD，BC 分别交于点 E，F，延长 BA 交⊙A 于点 G. 求证：G︵E＝E︵F.
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图K－20－10
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2 圆的对称性
4．把一张圆形纸片按图 K－20－2 所示方式折叠两次后展开，图中的 虚线表示折痕，则B︵C的度数是( C ) A．120° B．135° C．150° D．165°

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
n 你可以写出相应的命题吗? n 相信自己是最棒的!
D
想一想
垂径定理及逆定理
驶向胜利 的彼岸
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③ ①④ ①⑤
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
C
如图∵ CD是直径, 垂径定理是
A M└
B
●O
CD⊥AB, ∴AM=BM,
A
┗●
B n小明发现图中有:
M
●O
n由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.

过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
┗●
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 B 说小你亮的发想现法图和中理有由:.
平分弦（DM●不O是直径）由的①直③径CA垂DM直是=于B直M弦径,并且可平推分得弦所对②④⑤的CAA⌒⌒DCD两⊥==条BB⌒⌒ACD弧B,. ,.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦,ACM└ Nhomakorabea●O
如并B图且∵平C∴分DCA是A弦D⌒MC⊥直=所=BAB径⌒对MCB,,,,的两•• 杨 垂 圆要条老径中的弧师定一结. 提理个论示是重,三:
高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的
半径(精确到0.1m).
你是第一
个告诉同
学们解题
方法和结
果的吗？
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为AB垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定A理B， 3D7是.4A, CBD的中 7点.2，, C是 的中点，CD就37.是4 拱高.
垂径定理推论2
圆的两条平行弦所夹的 弧相等。
A
●O
B
C
D
M
A
●O
B
CM
D
垂径定理的应用(测公路的弯道的半径 )
例 1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
CD ，点O是 CD 的圆心），其中CD=600m，E为

（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
⌒⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对 的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
判断 挑战自我
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对D