第一章 行列式小结练习

第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。

练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。

练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。

练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。

练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。

=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。

==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。

第一章 行列式习题1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。

（1(1)n c --）2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。

（(1)n c -）3. 2(1)(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)0122k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+?。

4. 由行列式的定义计算行列式413331233626xx x x xx展开式中4x 和3x 的系数。

（3412, 12x x -）（分析：4x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。

第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)411223344(1)4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。

3x 的系数：(2134)(4231)3331221334441223314(1)(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。

）5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式17033159097510959的值，证明他是13的倍数。

证明：12341701703170170341000131531593153159410021309709750979754103109510959109510959l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅+⋅，能被13整除。

注意，以下两个行列式：170317037033159315915909759759751095910959959≠，所以一定要加到最后一列上。

6. 设行列式311252342011133--=--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。

（0和-5）解：112131412112423424301011333A A A A -+--==----。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

第1章 行列式（小结）一、本章知识点 1. 行列式定义二阶行列式、三阶行列式、排列与逆序、对换、n 阶行列式。

2. 行列式计算行列式的性质、余子式和代数余子式、行列式按行（列）展开法则、三角形行列式与对角行列式、关于副对角线的行列式、范德蒙行列式。

3. 线性方程组二元线性方程组、三元线性方程组、克莱姆法则、齐次线性方程组解的定理。

二、题型分析题型1 利用行列式的定义计算行列式 解题思路对含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。

因行列式中的项有一元素为零时，该项的值为零，故只需求出所有非零项即可。

为求出所有非零项，将行标按标准顺序排列，再讨论列标所有可能的取值。

具体做法是：对一般项11j a 21j a … n j a 1，先由第1行的非零元素及其位置，写出1j 可能取的数码，再由第2，3，…，n 行的非零元素及其位置分别写出2j ，3j ，…，n j 可能取的数码，进而求出1j 2j … n j 的所有n 级排列，该n 级排列的个数即为所有非零项的项数（见例1），如果这样的非零项一个也没有，则该行列式的值为零（见例2）。

此外，若一个n 级行列式中零元素的个数大于n n -2，则此行列式等于零。

例1：求下列排列的逆序数：⑴ 1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；解：排列 1 3 … )12(-n 2 4 … )22(-n )2(n↓ ↓ … ↓ ↓ ↓ … ↓ ↓逆序 0 0 … 0 1-n 2-n … 1 0 故题设排列的逆序数为2)1(012)3()2()1(-=++++-+-+-=n n n n n N 。

⑵ 1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2。

解：排列 1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 4 2↓ ↓ … ↓ ↓ ↓ … ↓ ↓逆序 0 0 … 0 0 2 42-n 22-n 故题设排列的逆序数为：)1()]1)2(21[2)22()42(42-=-+-+++=-+-+++=n n n n n n N 。

第1章行列式 (作业1)一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，那么排列1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n 的逆序数为，排列1 3 …)12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为.2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为. 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000010020001000 -= 〔〕.〔A 〕!n 〔B 〕!)1(2)1(n n n --〔C 〕!)1(2)2)(1(n n n ---〔D 〕!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是〔〕. 〔A 〕1 〔B 〕-1 〔C 〕2 〔D 〕3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有〔〕个. 〔A 〕4；〔B 〕2；〔C 〕6；〔D 〕8.三、请按以下不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、假设n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，那么此行列式的值等于多少？说明理由.第1章行列式 (作业2)一、填空题1．假设D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题1．8171160451530169144312----- 2．dc ba 100110011001---3．ab b ba b bb a D n =4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n 。

线性代数重要知识点及典型例题答案线性代数知识点总结第⼀章⾏列式⼆三阶⾏列式N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =⼒（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。

（转宜⾏列式D = D r）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。

推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。

③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。

推论：若⾏列式中两⾏推论：⾏列式中某⼀⾏④⾏列式具有分⾏⑤将⾏列式某⼀⾏⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式M”、代数余⼦式州=（-1）砒定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。

克莱姆法则： 0⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式￡＞⼯0时，有唯⼀解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性⽅程组：当系数⾏列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式:5 铅 a l35 ?21①转置⾏列式:21a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如②对称⾏列式:gj = 5③反对称⾏列式:勺=~a ji奇数阶的反对称⾏列式值为零务2 a !3④三线性⾏列式:“22 0 ⽅法：⽤?“22把"21化为零，。

化为三⾓形⾏列式 0 "33（列）（列）成⽐例，则⾏列式值为零；元素全为零，⾏列式为零。

可加性的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⑤上（下）三⾓形⾏列式:⾏列式运算常⽤⽅法（主要）⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）化三⾓形⾏列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第⼆章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵.列矩阵.n 阶⽅阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义⼀般AB*BA,不满⾜消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0(M)r = kA T(AB)T = B T A r (反序定理)⽅幕：A kl A kz =A k ^kl 对⾓短阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、A3都是n 阶对⾓阵数量矩阵：相当于⼀个数（若……）单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅制是0数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个⼦块也要转置注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的.⼒"=3（⾮奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两⾏（列）2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K仔加到另⼀⾏（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过⼀次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\等价标准形矩阵rO O 乘法转置(A T )T = A(A + B)T =A r +B 1⼏种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r (AB) =r (B) 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与⾏列式的联系与区别：都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等,就相等，矩阵是⼀个数表.对应元素相等才相等；矩阵(ka tj )n =k(a i})fl ,⾏列式逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B —泄是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B —左互逆：③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。