六年级下册数学讲义-培优：第05讲 行程问题—相遇问题(下)(解析版)全国通用

六年级下小升初典型奥数之行程问题在小学六年级的数学学习中，行程问题一直是一个重点和难点，也是小升初奥数考试中经常出现的题型。

今天，咱们就来好好探讨一下这类问题。

行程问题主要涉及速度、时间和路程这三个量之间的关系。

基本的公式就是：路程＝速度×时间。

而常见的行程问题类型有相遇问题、追及问题、流水行船问题等等。

咱们先来说说相遇问题。

比如说，甲从 A 地出发，速度是每小时 5千米；乙从 B 地出发，速度是每小时 3 千米。

A、B 两地相距 16 千米，两人相向而行，问经过多长时间两人相遇。

解决这个问题，我们可以先算出两人的速度和，也就是 5 ＋ 3 ＝ 8千米/小时。

然后用总路程除以速度和，就能得到相遇时间：16÷8 ＝ 2小时。

再来看一个稍微复杂点的相遇问题。

甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米，经过 3 小时两人相遇。

A、B 两地相距多远？这时候我们就可以先算出甲 3 小时走的路程是 4×3 ＝ 12 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。

然后把两人走的路程相加，12 ＋ 18＝ 30 千米，就是 A、B 两地的距离。

接下来是追及问题。

比如甲在乙前面 10 千米处，甲的速度是每小时 3 千米，乙的速度是每小时 5 千米，问乙多长时间能追上甲。

因为乙的速度比甲快，所以每小时乙能比甲多走 5 3 ＝ 2 千米。

而两人一开始的距离差是 10 千米，所以追上甲需要的时间就是 10÷2 ＝ 5 小时。

再看一个例子，甲、乙两人同时同向出发，甲在前，乙在后。

甲每小时走 2 千米，乙每小时走 5 千米。

出发 4 小时后，乙追上甲。

一开始两人相距多远？我们先算出乙 4 小时走的路程是 5×4 ＝ 20 千米，甲 4 小时走的路程是 2×4 ＝ 8 千米。

因为乙追上了甲，所以一开始两人的距离差就是乙比甲多走的路程，即 20 8 ＝ 12 千米。

六年级行程问题专讲第一部分：相遇问题知识概述：行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度注：（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者开始运动那一刻所处的状态；（2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点（非常重要）；（3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。

解题秘诀：（1）必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。

（2）要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。

典型例题：例1.东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。

已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？习题：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，相向而行，汽车每小时行50千米，摩托车每小时行40千米，8小时两车相距多少千米？例2.甲港和乙港相距662千米，上午9点一艘“名士”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“日立”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“名士”号每小时行54千米，“日立”号的速度比“名士”号快多少千米？习题：甲乙两地的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。

货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。

要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例3.甲骑摩托车，乙骑自行车，同时从相距126千米的A 、B 两城出发相向而行。

3小时后，在离两城中点处24千米的地方，甲、乙二人相遇。

行程问题需要用到的基本关系：路程=速度时间速度=路程时间时间=路程速度题型一、相遇问题与追及问题相遇问题当中：相遇路程=速度和相遇时间追及问题当中：追及路程=速度差追及时间*********画路程图时必须注意每一段路程对应的问题是相遇问题还是追及问题**********【例题1】甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。

他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。

求乙的速度考点：多次相遇问题．分析：本题可先据甲丙两人速度和及相遇时间求出总路程，再根据乙丙两人的相遇时间求出乙丙两人的速度和之后就能求出乙的速度了．解答：解：（8+10）×5÷（5+1）-10=18×5÷6-10，=15-10，=5（千米）．答：乙每小时行5千米．点评：本题据相遇问题的基本关系式：速度和×相遇时间=路程，进行解答即可．【例题2】甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地40米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地30米处，求A、B两地相距多远分析：两次相遇问题，其实两车一起走了3段两地距离，当然也用了3倍的一次相遇时间。

40×3－30=90km变式1、甲、乙两人同时从东西两地相向而行，第一次在离东地60米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西侧20米处，求东西两地相距多远60×3－20=160km【例题3】快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时。

两车分别从两站同时开出，相向而行，在离中点18千米处相遇。

甲乙两站相距多少千米分析：中点相遇问题，实际上是相遇问题和追及问题的综合。

第一步：相同的时间，快车比慢车多行18×2=36千米解：∵快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时快车与慢车的时间比是 6 : 10∴快车与慢车的速度比是10：6=5：3∴相遇时，快车行了全程的：5/（5+3）=5/8全程是225÷5/8=360（千米）变式1、快车每小时行48千米，慢车每小时行42千米。

一、相遇问题甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A ，B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程＋乙走的路程＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间＝路程和，即=t S V 和和。

二、追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。

如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程－乙走的路程＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程＝速度差×追及时间，即=t S V 差差。

三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同。

(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

相遇问题：速度和×相遇时间＝路程和 路程和÷速度和＝相遇时间 路程和÷相遇时间＝速度和 追及问题：速度差×追及时间＝路程差知识梳理行程问题路程差÷速度差＝追及时间路程差÷追及时间＝速度差一、多次追及、相遇问题精讲精练题型一、环形跑道多次相遇问题例、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【举一反三】甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长是多少米？【07年15所民校联考题】题型二、折返多次相遇问题例1、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。

六年级下册相遇问题知识点在数学学习的过程中，相遇问题是一个常见的类型，需要学生掌握相应的知识点和解题方法。

下面将介绍六年级下册中与相遇问题相关的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、相遇问题概述相遇问题是指两个或多个物体从不同的位置或出发时间出发，经过一段时间后在某个时间点或位置相遇的问题。

在解决相遇问题时，需要考虑到物体的速度、距离、时间等因素。

二、相遇问题的解题方法1. 直接法直接法是相遇问题的常用解题方法之一。

通过列方程、建立等式，从而求解未知数的值。

例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，一个人每小时走5公里，另一个人每小时走6公里，几小时后两人可以相遇？解法：设两人相遇需要走的时间为t，甲乙两人相遇的总距离相等，即5t=6t。

解得t=0，说明两人出发时就已经相遇。

2. 比值法比值法也是解决相遇问题常用的方法之一。

通过计算物体的速度比，找到相遇时的时间点或位置。

例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，一个人每小时走5公里，另一个人每小时走6公里，几小时后两人相距10公里？解法：根据速度比，可得相遇时甲、乙两人在同一时间内行走的距离比例为5:6。

设乙行走t小时后与甲相遇，根据比例关系可得5:6=（x-10）:x，解得x=60，即两人共同走了60公里时相遇。

3. 速度和时间的关系在相遇问题中，速度和时间是密切相关的。

当两物体速度相同或时间相同的情况下，它们将会在同一时间或位置相遇。

应用速度和时间的关系，可以更好地解决相遇问题。

例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，甲每小时走10公里，乙每小时走8公里，几小时后两人相距40公里？解法：根据速度和时间的关系，可得每小时甲、乙两人的距离差为（10-8）=2公里。

所以相遇需要40/2=20小时。

三、注意事项及拓展应用1. 单位的统一在解决相遇问题时，需要注意各个物理量的单位统一。

当速度的单位与距离或时间单位不一致时，应进行相应的换算。

2. 复杂相遇问题除了简单的相遇问题外，还存在一些复杂或多个物体相遇的情况。

小升初数学运用题真题汇编典型运用题—相遇问题 班级 姓名 得分1.(浙江杭州小升初考试)一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，已知货车每小时行45千米，客车每小时比货车多行10千米，两车开出后5小时相遇。

问：甲、乙两城市相距多少千米?2.(云南曲靖期末)甲、乙两列火车同时从A 、B 两地相对开出。

相遇时，甲车行驶的路程是乙54,已知乙车每小时行驶86千米，甲车行驶完全程要10小时，A 、B 两地相距多少千米?3.(广东广州中大附属外国语实验中学招生)客车、货车两车同时从甲、乙两城相对开出，客5车每小时行60千米，是货车速度的65,两车开出后6小时相遇。

甲、乙两城相距多少千米?知识梳理基础题4.(黑龙江伊春六年级期末)东、西两地相距420千米，客车和货车分别从东、西两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。

已知客车的平均速度是每小时75千米，货车的平均速度会超过每小时70千米吗?提高题5.(湖南长沙小学毕业考试)甲、乙两辆汽车同时从相距500千米的两地相对开出，2.5小时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度之比是3:2,乙车每小时行驶多少千米?6.(河南商丘六年级期末)甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，4小时后相遇，相遇时甲、乙两车所行路程的比是3:5,已知乙车每小时行60千米，求A、B两城相距多少千米?7.(山东青岛超银中学小升初入学分班考试)京沪高速公路全长大约1200千米。

一辆大客车和一辆小客车分别同时从上海和北京出发，相向而行，经过6小时9,两辆车的速度各是每小时多少千在途中相遇。

如果大客车的速度是小客车的11米?8.(贵州贵阳六年级期末)在比例尺是1:4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，货车的速度是40千米/时，客车的速度是60千米/时，经过几小时后两车相遇?9.(山东枣庄六年级期末)在一幅比例尺为1:9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。

第01讲行程问题之相遇、追及综合（下）教学目标：1、解答追及问题的基本问题及变形问题，提高学员分析解决问题的能力；2、通过行程问题的学习，提升形象和抽象的综合能力；3、进一步培养学员的学习兴趣及解题能力。

教学重点：学员能灵活运用行程问题的基本数量关系，解决关于相遇、追及的较复杂问题。

教学难点：求解相遇和追及的综合题，分析比较复杂的数量关系。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1、相遇问题是研究相向运动中的速度、时间、路程三者之间关系的问题，解答这类问题要理解和掌握的基本数量关系是：相遇路程÷速度和＝相遇时间；2、追及问题是运动双方的起始有距离，而双方运动的时间是相同的。

由于快的一方追及时，慢的一方也在向前运动，所以单位时间内所能追及的路程，即追及的速度是双方的速度差，这是解决追及问题的关键。

解答追及问题要理解和掌握的基本数量关系是：追及路程÷速度差＝追及时间。

3、许多行程问题都是把相遇和追及的两个形式综合在一起，但语言的表述是有区别的，所以在应用过程中，首先要学会判断这次运动是相遇还是追及，这样解题就有针对性了。

另外，还要学会画线段图来帮助解题。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）上午8点，货车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，中午12点，客车以每小时65千米的速度也从甲地开往乙地。

为了行车安全，两车间距离小于10千米时，后面的车要打开大灯，那么客车最晚应在什么时间打开大灯？解析部分：第一步：引导学员进行此题的题中情形的分析，进行相应的数据的理解和关联性的把握；第二步：继续引导学员对于此题进行相应的解决，可以有“为了行车安全火车间距离不能小于10千米，那么追及路程应为40×（12-8）-10=150（千米），然后用路程除以速度差就能求得时间”，继而进行相应过程的计算实现；第三步：对于最后的计算结果有自身的认识和总结，并鼓励学员进行积极的课堂讨论发言。

1二次相遇答题思路：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行两人在 C 地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。

一般知道 AC 和 AD 的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

【例1】甲、乙两车同时从 A 、B 两站相对开出，第一次相遇在离 A 站 120 千米处，然后各自按原速度继续行驶，分别到达对方车站后立即返回，第二次相遇时离 A 站的距离占 A 、B 两站距离的 40%。

A 、B 两站相距多少千米？【例2】快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，6 小时相遇，这时快车离乙站还有 240 千米,已知慢车从乙站到甲站需行 15 小时,两车到站后,快车停留半小时,慢车停留 1 小时返回,从第一次相遇到返回途中再相遇,经过多少小时？【例3】上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上小明。

然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米。

问这时是几点几分？1、甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地同时相向而行，速度比是 7：11.相遇后两车继续行驶，分别达到 B、A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距 B 地 80km，A、B 两地相距多少米？2、A、B 两地间有条公路，甲从 A 地出发，步行到 B 地，乙骑摩托车从 B 地出发，不停地往返于A、B 两地之间，他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达 B 地时，乙追上甲几次？3、A 的速度为每小时 30 千米，B 的速度为每小时 20 千米，A 和 B 同时从甲地出发到乙地，他们先后到乙地后又返回甲地……如此往返来回运动。

已经 A 与 B 第二次迎面相遇与 A 第二次追上 B 的两点相距 45 千米，甲、乙两地相距多少千米？4、甲、乙两地相距 720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶 1 小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是 120km/h，慢车的速度是 80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？2。

六年级数学下册行程问题行程问题(1)【知识要点】行程问题的三个基本量是：速度、时间、路程，它们之间的关系是：速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度行程问题按所行方向的不同，可分为①相遇问题（相向而行）②相离问题（相背而行）③追及问题（同向而行），其基本数量关系是：①相遇问题：速度和×相遇时间＝路程②相离问题：速度和×时间＝相距路程③追及问题：速度差×时间＝追及路程【基本练习】1、一辆客车和一辆小车同时从甲、乙两地相对开出，经过2.5小时相遇。

已知，甲乙两地相距多少千米？客车每小时行72千米，是小车速度的342、客、货两车同时从相距378千米的两地相对开出，客车每小时行72千米，货车每小时行63千米，经过几小时两车相遇？相遇时客车比货车多行多少千米？3、甲、乙两车同时从相距540千米的两地相对开出，经过3.6小时相遇。

已知甲车每小时行72，乙车每小时行多少千米？4、甲、乙两车同时从相距567千米的两地相对开出，经过3.5小时相遇。

已知甲、乙两车的速度比是5:4，甲、乙两车每小时各行多少千米？5、甲、乙两船同时从武汉出发开往上海，已知甲船每小时行52千米，乙船每小时行45千米，8小时后，两船相距多少千米？【例1】一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，在距中点12千米处相遇。

已知客、货两车的速度比是6:5，甲、乙两地相距多少千米？分析：时间一定，路程和速度成正比例，客、货两车的速度比是6:5，所以相遇时两车所行的路程的比也是6:5，即甲车行了全程的611，乙车行了全程的511；又两车在距中点12千米处相遇，也就是相遇时甲车比乙车多行了12×2＝24千米。

解答：12×2÷（611－511）＝练习1：1、甲、乙两车同时从A 、B 两地相对开出，在距中点15千米处相遇。

已知甲、乙两车的速度比是7:8，A 、Ｂ两地相距多少千米？２、两辆汽车同时从A 地出发开往B 地，甲、乙两车的速度比是6:5，甲车达到B 地后立即返回，在距B 地12千米处与乙车相遇。

相遇问题行程问题根据两人的行驶方向的异同分为同向和反向两种，而反向行驶又包括相遇问题和相背问题，同向行驶指追及问题．其关系如图：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相遇问题：异地、反向反向运动行程问题相背问题：同地、反向同向运动：追及问题：异地、同向这一节课我们主要来研究相遇问题．相遇问题里用的比较多的是上面公式的变形：路程和=速度和×相遇时间()s vt =速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和相遇问题包括三种情况：①恰好相遇的情况：此时路程和就是全程AB 。

②两车行驶到相距CD 时就不再行驶的情况：此时路程和=全程AB －CD 。

③两车相遇后继续行驶了一段路程CD ，此时路程和=全程AB+CD 。

〖经典例题〗例1、甲、乙两列火车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．两车相遇时，甲车正好走了300千米，两地相距多少千米？【分析】相遇时甲走了300千米，所以甲走了300÷50=6时，这6时正好是甲、乙两车的相遇时间，两地的距离(50＋60)×6=660千米．〖方法总结〗本题是公式的一个简单应用，在做题时，我们要找好对应，甲走的路程要和甲的速度对应，路程和就要和速度和对应。

〖巩固练习〗练习1：甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A 地、乙车从B 地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B 地，A 、B 两地相距多少千米？练习2：甲乙两城相距420千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米，第一辆汽车到达乙城后立即返回，两辆车从开出到相遇共用几小时？练习3：A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行．各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米?〖经典例题〗例2、甲、乙两列火车同时从相距380千米的两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．乙车比甲车晚出发1小时，乙车出发后，甲、乙两车几小时相遇？【分析】乙车晚出发1小时，则乙车出发时甲已经行驶了50×1=50千米，此时甲、乙两车的距离是380－50=330千米，所以乙车出发后，相遇时间为330÷(50+60)=3小时．例3、甲乙两辆汽车同时从相距820千米的两地出发相向而行，甲车的速度是80千米/时，乙车的速度是60千米/时，甲车由于有故障在中途停下来修车用了2小时，问：甲、乙两车出发后几小时相遇？【分析】由题意可知820千米不是两车共同走的，其中有两个小时是乙车单独走的，即60×2=120(千米)，因此两车共同走的路程是820－120=700(千米)．这段路程所用的时间是700÷(80＋60)=5(时)，所以甲、乙两车出发后相遇的时间是5＋2=7(时)．〖方法总结〗这两个题目是晚出发以及有故障的题目，这时全程不再是两车同时行驶的路程了，这样只要我们用全程减去一个车行驶的路程，剩下的路程就是两车一起走的了，这样就可以用上路程和、速度和以及相遇时间的公式了。

六年级下小升初典型奥数之相遇问题在小学六年级的奥数学习中，相遇问题是一个非常重要的知识点，也是小升初考试中经常出现的题型。

相遇问题主要涉及到两个或多个物体在运动过程中相向而行，最终相遇的情况。

通过解决相遇问题，可以锻炼我们的逻辑思维能力和数学运算能力。

首先，我们来了解一下相遇问题的基本概念。

相遇问题中，通常会给出两个物体的运动速度以及它们出发的时间和地点，然后要求计算出它们相遇的时间、地点或者相遇时所走过的路程等。

比如说，有甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时 5 千米，乙的速度是每小时 3 千米，A、B 两地相距 16千米，那么他们经过多长时间会相遇呢？要解决这个问题，我们需要用到一个重要的公式：相遇时间＝总路程 ÷速度和。

在这个例子中，总路程就是 A、B 两地的距离 16 千米，速度和则是甲、乙两人的速度之和，即 5 ＋ 3 ＝ 8 千米/小时。

所以相遇时间＝ 16 ÷ 8 ＝ 2 小时。

接下来，我们再看一个稍微复杂一点的例子。

甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，4 小时后两车相遇。

A、B 两地相距多少千米？这道题我们可以这样来思考，两车相对而行，4 小时后相遇，那么它们一共行驶的路程就是 A、B 两地的距离。

甲车 4 小时行驶的路程是 40×4 ＝ 160 千米，乙车 4 小时行驶的路程是 50×4 ＝ 200 千米，所以 A、B 两地相距 160 ＋ 200 ＝ 360 千米。

还有一种类型的相遇问题是求相遇地点。

比如，甲、乙两人在一条长 300 米的跑道上同时从两端相向跑步，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米，他们从出发到相遇一共跑了 30 秒，那么他们相遇的地点距离跑道的起点有多远？首先求出两人的速度和：4 ＋ 6 ＝ 10 米/秒，然后根据路程＝速度×时间，可得两人一共跑了 10×30 ＝ 300 米，刚好跑了一圈。

行程问题综合【知识精讲】1、基本行程问题2、相遇与追及问题3、其他经典的行程问题一、基本行程问题1. 行程三要素：路程、时间、速度;2. 三要素的关系：路程=时间×速度时间=路程÷速度速度=路程÷时间例1.（1） 一辆汽车从甲地往乙地送货，去时每小时行驶44千米，用了6小时，回来时用了5.5小时，汽车回来时每小时行驶多少千米?（2） 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达，但汽车行驶到53的路程时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米?二、相遇与追及问题1.相遇问题:路程和=相遇时间×速度和相遇时间=路程和÷速度和速度和=路程和÷相遇时间2.追及问题:路程差=追及时间×速度差追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间3.多次往返问题（1）从两端出发，相向而行：第1，2，3，4，......次迎面相遇的路程和分别为1，3，5，7，......个全程；（2）从两端出发，相向而行：第1，2，3，4，......次背后追及的路程差分别为1，3，5，7，......个全程；（3）从同一端点出发，同向而行：第1，2，3，4，......次迎面相遇的路程和为2，4，6，8，......个全程；（4）从同一端点出发，同向而行：第1，2，3，4，......次背后追及的路程差为2，4，6，8，......个全程；（5）特别地：在端点处相遇，既算迎面相遇也算追及.例2.快、慢两车分别从甲、乙两站同时开出，相对而行.经过2.5小时相遇，相遇地点距离中点25千米，已知慢车每小时行驶40千米，问快车走到乙站还需要多长时间?例3.小强每分钟走70米，小李每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟后，小强掉头去追小李，追上小李时小强共走了多少米? 例4.A、B两地相距13.5平米，甲、乙两人分别由A、B两地同时相向而行，各在A、B之间往返一次，甲比乙先返回原地，途中两人第一次迎面相遇于点C, 第二次迎面相遇遇于点D，已知两次相遇时间间隔为3小时，C.、D两地相距3千米，则甲和乙的速度分别是多少?三、其他经典的行程问题1.火车行程问题：(完全通过)火车车长+桥(隧道)长度=火车速度×通过的时间;2.流水行船问题:(1) 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速;(2) 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2.3.环形路线问题:(1) 从同一点出发反向而行：相遇的路程和为环形路线一圈的长度;(2) 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度;(3) 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性.例5.(1) 一辆列车通过300米长的隧道用15秒，通过180米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米?(2)轮船从甲地到乙地，顺水每小时行驶25千米，逆水每小时行驶15千米，来回一次共行驶4小时，甲、乙两地相距多少千米?例6.绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12 分钟后两人相遇，如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与上次相差20米。

相遇问题姓名1、甲和乙分别从东村和西村同时出发，甲行完全程需要15小时，乙行完全程需要10小时，经过多长时间甲乙相遇？2、小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。

学校到少年宫有多少米？3、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

弟弟每分钟行多少米？4、甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。

两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。

A、B两地间的距离是多少千米？5、甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。

中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙，求东村、西村相距多少千米？6、A、B两站相距440千米，甲乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折返向甲车飞去，遇到甲车又往回飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞行多少千米，两车才相遇？7、小凯的家在学校的南边，小明的家在学校的北边。

两家2420千米。

每天上学时。

如果小凯比小明提前出发6分钟，两人就可以同时到校。

已知小凯每分钟能走65米，小明每分钟走80米，小凯的家离学校多少米？8、小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校，求小军每分钟走多少米？9、甲乙两人分别同时从AB两地相向而行，在距A 地120千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即还回，途中又在距A地150千米处相遇。

求AB两地之间的距离。

10、客车和货车分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，客车到乙地，货车到甲地后，都立即返回，两车又在距甲地35千米处相遇，求全程是多少千米？11、甲乙两车同时从AB两地相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且到达对方出发点后立即还回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，（1）、求全程是多少千米？（2）求两次相遇地点间的距离。

第02讲行程问题——平均速度（下）教学目标：1、运用平均速度对其它行程数量进行求解；2、与实际问题相结合，强化对于平均速度的认知和运用能力；3、进一步培养学员的学习兴趣及解题能力。

教学重点：运用平均速度对其它行程数量进行求解。

教学难点：与实际问题相结合，强化对于平均速度的认知和运用能力。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1、平均速度的基本公式：平均速度=总路程÷总时间；2、平均速度涉及的计算技巧：同一段路程，往返的平均速度和具体路程长度无关；时间相同的情况下求平均速度可以将两个速度相加然后除以2。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）熊猫胖胖往返于相距360千米的东西两地，由东地去西地每小时走72千米，从西地回东地比来时少用1小时，他往返的平均速度是多少？解析部分：对于此题进行线段图的绘制，分别求出由东地去西地的时间和由西地去东地的时间，然后根据平均速度的定义对于问题进行相应求解。

给予新学员的建议：强调对于题中各个数据关联的理解，进行图形的绘制以及数据标注。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极地进行课堂发言，调动起整个课堂的积极活跃的气氛和氛围。

参考答案：360÷72=5（小时） 5-1=4（小时） 360÷（5+4）=40（千米/小时）答：他往返的平均速度是40千米/小时。

【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）车要走600千米的路，上山及下山各300千米，上山时的速度每小时15千米，问当它下山要多快才能达到平均速度是每小时20千米？解析部分：分析此题，首先根据总的平均速度求出总的行驶时间，然后继续求出上山时的行驶时间，做差之后就得到了下山时的时间，继而可以求出下山的速度。

给予新学员的建议：需要对于此题线段图形进行绘制，根据线段图形进行问题最终解决。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并鼓励学员进行积极的纸上操作计算。

第05讲行程问题—相遇问题（下）教学目标:1、理解行程问题中的“相遇求路程、求速度”的解题思路。

2、在实际行程问题中，总结出一些相遇问题的规律和特点；3、进一步通过行程中相遇问题的学习，培养学员学以致用的应用意识。

教学重点:掌握相遇问题的结构特点，弄懂每经过一个单位时间两物体的变化，并能根据速度、时间、路程的数量关系解相遇行程的应用题。

教学难点:理解行程问题中的“相遇求路程”的解题思路。

教学过程:【环节一:预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、相遇问题的意义:两个运动物体（人）分别以一定的速度，从两地同时出发，相向（面对面）而行，经过一段时间后在途中相遇，这类行程问题叫做“相遇问题”。

它的特点是两个运动物体（人）在相遇时间内共同走完的路程等于它们原来相距的路程。

2、相遇问题的基本量:速度和:两个运动物体（人）在单位时间(秒、分、时)所走的路程和；相遇时间:两个运动物体（人）同时出发到相遇所用的时间；总路程:两个运动物体（人）同时出发到相遇所走的路程。

3、相遇问题主要数量关系是:总路程÷速度和=相遇时间【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟甲乙两地相距450千米，客车10小时行完全程，货车15小时行完全程。

客车和货车同时从两地出发，相向而行，几小时相遇？解析部分:两车速度未知，需先求出。

客车速度:450÷10=45（千米/时）；货车速度:450÷15=30（千米/时）。

再根据，相遇时间=总路程÷速度和，求出相遇时间。

给予新学员的建议:教师可以引导学员两车速度未知，需先求出。

哈佛案例教学法:鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。

参考答案:450÷（450÷10+450÷15）=6（小时）答:6小时可相遇。

【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟甲乙两人同时从A，B两地相向而行，出发2小时后，还相距90千米，出发5小时后两人相遇。

第01讲行程问题之相遇、追及综合（下）教学目标：1、解答追及问题的基本问题及变形问题，提高学员分析解决问题的能力；2、通过行程问题的学习，提升形象和抽象的综合能力；3、进一步培养学员的学习兴趣及解题能力。

教学重点：学员能灵活运用行程问题的基本数量关系，解决关于相遇、追及的较复杂问题。

教学难点：求解相遇和追及的综合题，分析比较复杂的数量关系。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）1、相遇问题是研究相向运动中的速度、时间、路程三者之间关系的问题，解答这类问题要理解和掌握的基本数量关系是：相遇路程÷速度和＝相遇时间；2、追及问题是运动双方的起始有距离，而双方运动的时间是相同的。

由于快的一方追及时，慢的一方也在向前运动，所以单位时间内所能追及的路程，即追及的速度是双方的速度差，这是解决追及问题的关键。

解答追及问题要理解和掌握的基本数量关系是：追及路程÷速度差＝追及时间。

3、许多行程问题都是把相遇和追及的两个形式综合在一起，但语言的表述是有区别的，所以在应用过程中，首先要学会判断这次运动是相遇还是追及，这样解题就有针对性了。

另外，还要学会画线段图来帮助解题。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）上午8点，货车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，中午12点，客车以每小时65千米的速度也从甲地开往乙地。

为了行车安全，两车间距离小于10千米时，后面的车要打开大灯，那么客车最晚应在什么时间打开大灯？解析部分：第一步：引导学员进行此题的题中情形的分析，进行相应的数据的理解和关联性的把握；第二步：继续引导学员对于此题进行相应的解决，可以有“为了行车安全火车间距离不能小于10千米，那么追及路程应为40×（12-8）-10=150（千米），然后用路程除以速度差就能求得时间”，继而进行相应过程的计算实现；第三步：对于最后的计算结果有自身的认识和总结，并鼓励学员进行积极的课堂讨论发言。