两个变量的线性关系分析26页PPT

7.3 偏相关分析
(4) SPSS实现举例
【例7-3】 下表是四川绵阳地区3年生中山柏的数据，分析月生长 量与月平均气温、月降雨量、月平均日照时数、月平均湿度4个气 候因素中哪些因素有关。
月 份
月生 月平均 长量 气温
月降 雨量
月平均日 照时数
月平均 湿度
月份
月生 长量
月平均 气温
月降 雨量
月平均日 月平均 照时数 湿度
方位或大小等）。定序变量的相关系数用斯皮尔曼（Spearman）相关系 数和肯德尔（Kendall’s ）相关系数来衡量。
Spearman相关系数及Z统计量
n
6
D
2 i
r
1
i1
n (n 2
1)
Z r n1
Kendall’s等级相关系数 及Z统计量
(UV) 2
n(n1)
Z
9n(n 1) 2(2n 5)
7.4 距离分析
相似性测度
对于定距数据主要使用皮尔逊相关系数和夹角余弦距离; 对于二值数据的相似性测度主要包括简单匹配系数、Jaccard相似性 指数、Hamann相似性测度等20余种。
其中的距离又分为个案（观测记录）之间的距离和变量之间的 距离两种。
(3) 分析步骤
距离分析中不存在假设检验问题，主要是通过SPSS自动计算
Spearman相关系数及Z统计量
Pearson 相关性
偏相关分析的任务就是在研究两个变量之间的线性相关关系时控制可能对其产生影响的变量，这种相关系数称为偏相关系数。
当≤|r时视为中度相关；
r r r r r r r r 当其偏|中相r时的 关说x距分y明离析,变z又的量分任之为务间个就的案是相（在关观研性测究x很记两y弱录个。）变2之量间之xz的间距的y离线z 和性变相2量关之关间系的时距控离制两可x种能y,。对z1其z2产生影响的变量x，y,这z1种2相关系xz数1称,z为2偏y相z2关,2系z1数。

4
经济变量关系中的随机性（二）
影响经济变量严格函数关系因素的存在，使得我们 所研究的两变量线性关系，实际上都是有一定随机 性的随机函数关系，应该表示为Y=α+βX+ε 两个变量的随机线性函数由两部分组成 一部分由严格的线性函数E（Y）= α+βX构成，我们 称之为两变量关系的趋势部分，也称为总体回归直 线，是两变量关系的主要方面，也是我们研究的主 要目标和对象 另一部分是随机误差项ε，代表了影响Y的各种较小 因素的综合影响，是两变量关系中的次要方面
9
26页图2-4
10
无自相关
无自相关假设的意义是对应不同观测值的误差项之间没有相 关性。如果这一点不成立，则意味着调养项的取值变化存在 某种规律性，这与模型认为误差项只是没有规律的微小随机 因素的综合影响的思想不符 当误差项之间存在相关性时，会对线性回归分析的效果产生 不利的影响 同时满足零均值、同方差、无自相关三条假设的随机误差项， 有时也称为“球形扰动项
参数估计的基本思路（二）
由于我们无法知道参数的真实值，因此我们的目标定在找出 它的某种近似值或估计值，并且希望估计值与真实值之间的 近似程度能够比较高；更进一步的问题是，既然参数的真实 值无法知道，那么我们找到一个估计值后，如何认定它是真 实值的较好近似，或在两个估计值中，如何判断哪个更好？ 解决这些问题的基本思路是，利用样本数据反映出来的趋势 性设法确定参数估计值，以与样本趋势的拟合程度作为选择 回归直线、判断参数估计好坏的标准 用拟合样本趋势的回归直线，或者称“样本回归直线”，近 似模型的总体回归直线，从而得到模型参数的估计值，这利 方法是线性回归分析的基本方法
对任意的i ≠ j都成立 解释变量X是确定性变量，而非随机变量 误差项 i 服从正态分布

解:(1)画出散点图.
(2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是 负相关?
解:(2)具有相关关系.根据散点图,左下角到右上角的区域,变量x的值由小 变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关关系.
方法技巧 两个随机变量x和y是否具有相关关系的确定方法: (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断 (如本题); (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断; (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
4
4
解:(2)由表中的数据得: xi yi =52.5, x =3.5, y =3.5, xi2 =54,
i 1
i 1
n
所以 b =
xi yi n x y
i 1
n
xi2

2Hale Waihona Puke nx=52.5 4 3.5 3.5 54 4 3.52
=0.7,
i 1
a = y - b x =3.5-0.7×3.5=1.05,
年份x
储蓄存款 y(千亿元)
2013 5
2014 6
2015 7
2016 8
2017 10
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2 012,z=y-5 得到表2:
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程;
5
5
解:(1) t =3, z =2.2, ti zi=45, ti2 =55,
知识探究
1.相关关系与函数关系不同 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种不确定性关系. 2.正相关和负相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为负相关.

xi2 nx 2
i 1
i 1
n
时，总体偏差 Q (yi yˆi )2为最小，这样就得到 i1
了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二
乘法.
思考5：利用计算器或计算机可求得年龄和人体 脂肪含量的样本数据的回归方程为
y 0.577x 0.448，由此我们可以根据一
个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
思考1：在各种各样的散点图中，有些散点图中的 点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一 定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的 散点图中的点的分布有什么特点？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
这些点大致分布在一条直线附近.
脂肪含量
思考2：如果散点图中的点的分布，从整体上看大 致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线 性相关关系，这条直线叫做回归直线.
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据，你 认为其回归直线是一条还是几条？
脂肪含量
一条
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
ห้องสมุดไป่ตู้识探究（二）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程， 回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相 关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程， 那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关 变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估 计.

[例3] 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时 间的长短,故必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔 化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间) 的一列数据如表所示.
x (0.01%)
104
180 190 177
147
134
150
191
204
121
学霸经验分享区 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,两 个变量具有相关关系是回归分析的前提. (2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于关系不 明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无相关关系,然后再 进行相关回归分析. (3)通过对散点图的观察,一般地,若图中数据大致分布在一条直线附 近,那么这两个变量近似成线性相关关系. (4)求线性回归方程,应注意到,只有大部分点分布在某条直线附近, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无 意义.
名师点津 对回归直线方程的几点说明 (1)a,b的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值.
(2)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的( x , y )在回归直线上.
(3)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yˆ = aˆ + bˆ x.
(4)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小. (5)求回归直线方程,计算量大,一般应学会使用计算器求解. (6)利用回归直线方程可以对总体进行估计.
解:散点图分别如图(1)(2)所示.
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近,因此两对变量 都具有相关关系. 图(1)中A的值由小变大时,B的值却是由大变小,即A和B成负相关; 图(2)中C的值由小变大时,D的值也是由小变大,即C和D成正相关.

04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。

3
判定系数
表示自变量对因变量变异的解释程度，取值范围为0到1。
双变量分析中的回归分析
简单线性回归
研究一个自变量对因变量的影响，建立一 条直线模型来解释二者之间的关系。
多元线性回归
研究多个自变量对因变量的影响，建立多 个变量之间的线性模型。
逻辑回归
用于研究因变量是二分类变量的情况，可以预测概率或者类别。
深入了解数据
通过双变量分析，我们可以深入了解数据之间的联 系，挖掘出隐藏的关联和规律。
预测和决策支持
基于双变量分析的结果，我们可以建立预测模型和 决策模型，为决策提供科学依据。
发现因果关系
双变量分析可以帮助我们确定两个变量之间的因果 关系，从而为进一步研究提供指导。
优化治疗方案
在医学领域，双变量分析可以用于优化治疗方案， 寻找最佳的药物组合和剂量。
双变量分析的常见方法和工具
1 相关性分析
2 回归分析
通过计算相关系数，分析两个变量之间的线性相 关程度。
建立回归模型，研究一个或多个自变量对因变量 的影响。
3 方差分析
4 卡方检验
比较不同组别之间的均值差异，判断因素之间是 否存在显著性差异。
用于比较观察频数和期望频数之间的差异，判断 两个变量之间是否存在关联。
医学统计课件：双变量分 析
双变量分析是一种研究两个变量之间关系的统计方法。通过该分析，我们可 以了解变量之间的相关性、回归关系，以及不同组别之间的差异。
什么是双变量分析？
双变量分析是指研究两个变量之间关系的统计方法。通过分析两个变量之间 的关联性和相关程度，可以揭示变量之间的内在关系。
双变量分析的意义和作用
回归分析模型的构建和评估

房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44
①画出数据对应的散点图； ②判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果 有相关关系，是正相关还是负相关？
解 ①数据对应的散点图如图所示.
②通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋 面积之间具有相关关系，并且是正相关.
x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ 必过点( )
A.(2,2)
B.(1,2)
C.(1.5,0)
D.(1.5,4)
解析 易得－x＝1.5，－y＝4，由于回归直线过样本点的中心(－x，
－y)，故选 D. 答案 D
4.小学生身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为y^＝8.8x＋65， 预测一名 10 岁的小学生的身高为________. 解析 当 x＝10 时，y^＝8.8×10＋65＝153. 答案 153
题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例3】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量.
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函 ①函数关系中两个变量间是一种确定性 ①在一定的条件下可以相

感谢观看
其中，xi和yi分别是两个变量 的观测值，x̄和ȳ分别是它们
的均值。
相关系数的解释
01
02
03
相关系数的绝对值大小 表示两个变量之间的线 性关系的强度，绝对值 越接近1表示关系越强。
相关系数的正负号表示 线性关系的方向，正号 表示正相关，负号表示
负相关。
相关系数只衡量线性关 系，对于非线性关系无
法准确描述。
两个变量之间的线性 关系
目录
• 线性关系的定义 • 线性回归分析 • 线性相关系数 • 线性预测与决策 • 案例分析
01
线性关系的定义
什么是线性关系
线性关系是指两个变量之间存在一种 关系，其中一个变量（自变量）的变 化会导致另一个变量（因变量）按照 一定的比例变化。
在线性关系中，自变量和因变量之间 的关系可以用一条直线来描述，因此 称为线性关系。
案例二：气温与空调销量的线性关系
总结词：负相关
详细描述：气温与空调销量之间存在负相关关系。当气温升高时，人们对空调的需求增加，空调销量随之上升。反之，当气 温降低时，空调销量则会下降。这种关系可以用一条直线表示，斜率为负，表示两个变量呈负相关。
案例三：GDP与人口数量的线性关系
总结词
不完全正相关
03
预测值与实际值之间的差距最小化。
线性回归模型的建立
01
线性回归模型的建立需要收集两个变量之间的观测数据，并确定因变 量和自变量之间的关系。
02
在建立模型之前，需要对数据进行探索性分析和预处理，包括缺失值 处理、异常值处理、数据转换等。
03
线性回归模型的一般形式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量， X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

A .1 B .1 C .1 D .1 1 6 8 4 2
35
【思路导引】利用回归直线方程必过样本点的中心求解.
【解析】选B.依题意可知样本点的中心为 ( 3 , ，3 )
48
则3
8
= 1×
3
+3
4
，a 解得
=a .
1 8Βιβλιοθήκη 36【拓展延伸】相关关系的强弱
(1)若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，称r=
6
(2)你能举例说明你对正相关与负相关的理解吗？ 提示：随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性 的相关关系，我们称为正相关.例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少 变多. 随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关 关系，我们称为负相关.例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就 越短.
n
n
x i2，
xi y，i
i1
i1
30
(5)代入公式计算
b ，a，公式为
n
x iyi n x y
b
i1
n
x
2 i
n
x
2
i1
，
a y b x .
(6)写出回归直线方程 = x+ .
yb a
31
【跟踪训练】 已知变量x，y有如下对应数据：
x1234 y1345
(1)作出散点图. (2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程.
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【思路导引】(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标， 在平面直角坐标系内画散点图. (2)应用计算公式求得线性相关系数 bˆ ， aˆ 的值. (3)实际上就是求当x=100时，对应的 yˆ 的值.