下载文档原格式
2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:好中差你的数学成绩你的物理成绩学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 38 41 45 49 50脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄53 54 56 57 58 60 61脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例 2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:品牌所含热量的百分比口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 19 78E 26 75F 20 71G 19 65H 24 62I 19 60J 13 52（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表.性别身高/cm 右手一拃长/cm 性别身高/cm 右手一拃长/cm 女152 18.5 女153 16.0女156 16.0 女157 20.0女158 17.3 女159 20.0女160 15.0 女160 16.0 女160 17.5 女160 17.5 女160 19.0 女160 19.0 女160 19.0 女160 19.5 女161 16.1 女161 18.0 女162 18.2 女162 18.5 女163 20.0 女163 21.5 女164 17.0 女164 18.5 女164 19.0 女164 20.0 女165 15.0 女165 16.0 女165 17.5 女165 19.5 女166 19.0 女167 19.0 女167 19.0 女168 16.0 女168 19.0 女168 19.5 女170 21.0 女170 21.0 女170 21.0 女171 19.0 女171 20.0 女171 21.5 女172 18.5 女173 18.0 女173 22.0 男162 19.0 男164 19.0 男165 21.0 男168 18.0 男168 19.0 男169 17.0 男169 20.0 男170 20.0 男170 21.0 男170 21.5 男170 22.0 男171 21.5 男171 21.5 男171 22.3 男172 21.5 男172 23.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 21.0 男174 22.0 男174 22.0 男175 16.0 男175 20.0 男175 21.0 男175 21.2 男175 22.0 男176 16.0 男176 19.0 男176 20.0 男176 22.0 男176 22.0 男177 21.0 男178 21.0 男178 21.0 男178 22.5 男178 24.0 男179 21.5 男179 21.5 男179 23.0 男180 22.5 男181 21.1 男181 21.5 男181 23.0 男182 18.5 男182 21.5 男182 24.0 男183 21.2男185 25.0 男186 22.0男191 21.0 男191 23.0 （1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线. 同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线. 同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：零件数x（个）10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间62 68 75 81 89 95 102 108 115 122y(min)画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.。
2.3.2两个变量的线性相关教学目标：1.明确事物间的相互联系。
认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学重点：1.利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．2.根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：1.作散点图和理解两个变量的正相关和负相关。
2.理解最小二乘法的思想教学过程：一、复习准备：1. 人的身高和体重之间的关系？2. 学生设计一个统计问题，并指出问题涉及的总体是什么，所涉及的变量是什么．二、讲授新课：1. 教学散点图①出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：据的图形，这样的图形叫做散点图。
正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关。
如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关。
④讨论：你能举出一些生活中的变量成正相关或负相关的例子吗？⑤练习：一个工厂为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次调查，收集数据如下：2. 指出是正相关还是负相关。
3. 关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ ⑥ 小结：1.散点图的画法。
2.正相关与负相关的概念。
三、回归方程1. 教学回归直线概念：① 从散点图上可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这这两个变量之间具有线形相关关系，直线叫回归直线。
②提问：从散点图上可以发现，人体的脂肪百分比和年龄的散点图，大致分布在通过散点图中心的一条直线。
那么，怎样确定这条直线呢？ 2. 教学最小二乘法：①求回归方程的关键是如何用数学的方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”．如果直线的方程为αβ+=x y ，用()i ,,βαρ表示第i 个样本点()i i y x ,与直线之间的距离，则从总体上看各点与此直线的距离可以用所有样本点与回归直线的距离来表示，即用下面的公式()()∑==ni i Q 1,,,βαρβα来表示．注意到上面的等式对于任何实数α和β都有定义，因此可把()βα,Q 看成二元函数．这样，“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的含义是回归方程的截距a 和斜率b 构成的点()b a ,应该是函数()βα,Q 的最小值点．特别地，当()()2,,i i i x y i αββαρ--=时，()b a ,应该使函数()()()()2222211,αβαβαββα--++--+--=n n x y x y x y Q 达到极小值，即a 和b 由公式①给出。
《2.3.2两个变量的线性相关》一、内容和内容解析本节课是人教A版高中数学必修三2.3.2两个变量的线性相关的第二课时。
上节课通过大量的生活实例，学生已经初步认识两个变量间的相关关系，并可以借助散点图呈现收集的数据。
通过对单变量样本数据中“平均数的几何意义”（切合学生的认知需要）的介绍，为本节课的内容做了铺垫。
本节课的主要内容是用最小二乘法求线性回归方程，基础知识是回归直线的概念，也是本节课的核心概念；基本思想是“最小二乘法”思想；根据线性回归方程的系数公式求回归直线是本节课的基本技能.就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域.了解“最小二乘法”思想，比较各种“估算方法”，体会它的科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进学生对核心概念的进一步理解.“样本估计总体”是本节课的上位思想也是整个第二章的核心思想，而“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现.回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中有所渗透.本节课通过引导学生经历“收集数据——整理数据（作散点图）——探究并确定回归直线的数学意义——求回归直线方程——应用”完整的回归分析的过程，鼓励学生独立思考、自主探究、合作交流和计算机操作等方式展开学习，从而发挥本节课的育人价值。
整个学习过程渗透了数据分析和数学建模的核心素养。
通过引导学生对散点图中的点大致分布在一条直线附近的观察，渗透直观想象的核心素养；通过尝试提出找回归直线的想法、用自己的语言描述对这条直线的初步认识到探究从数学的角度定义回归直线的过程，渗透数学抽象和逻辑推理的核心素养；最后，根据回归直线方程的系数公式，引导学生先求出公式中的基本统计量，再代入公式的过程和指导学生利用Excel电子表格求回归方程的过程，提升数学运算的核心素养。
基于上述内容分析，本节课的教学重点为:了解最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程二、目标和目标设置基于对本节课教学内容的解析，结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，制定本节课的教学目标如下：1.了解一元线性回归模型的含义：（1）能根据散点图解释两个相关变量的线性相关关系；（2）能用自己的语言解释回归直线的统计意义；2.了解最小二乘原理：（1）经历用不同方法确定回归直线的过程，能认识到回归直线是“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的直线；（2）能用数学符号刻画“从整体上看，各点与此直线上的点的距离最小”的表达方式；（3）通过对表达方式的转化（距离最小到偏差平方和最小），体会最小二乘法原理，并能用自己的语言表述；3. 针对实际应用问题，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；4. 在经历完整的线性回归分析的过程中，重点提升数据分析和数学建模核心素养；5. 针对实际应用问题，会用一元线性回归模型进行预测.三、学生学情分析在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程后，在学生现有知识能力范围内，如何选择一个最优方法，成为知识发展的逻辑必然.而上节课的“从平均数的几何意义说起”符合学生的认知需要和支撑点，同时引起了学生的兴趣，为这节课的最小二乘法思想的产生做了重要的铺垫.“最小二乘法”作为经典的回归方程估算方法，通过用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”这一直观的几何描述，采取合适的数学处理方法，最终获得回归直线，对学生认可统计估算的科学性有很大帮助.其中对于数形结合发现距离与偏差的等价性，二元二次函数的特征辨识等都是这节课学生所要具备的认知基础.基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是学生顺利了解解“最小二乘法”思想的前提;而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高，这里就造成了已有认知与现需认知的差异，而且是学生不能独立突破的.要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为“两个具有线性相关关系的变量的代表”这一回归直线概念的本质，并体现相对于其他估算方法法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说理，这里的认知差异也是学生无法自己消除的，需要老师的引导和帮忙.知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为本节课将会遇到的最大矛盾.教学中，要防止两种倾向:一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程，甚至在课堂上花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向，都脱离了实际情况，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材要求，脱离了本节课教学要求.所以，本节课的教学难点是:如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想.对于该教学难点，教师通过精准问题串层层分解学生认知的难点，不断寻找学生的认知原点，关键处动画展示，直观形象，突破教学难点.本节课涉及大量数据计算，形成操作上的一个难点，通过小组合作，教师培训模式突破难点.四、教学策略分析本节课在课前让学生收集身高与体重的数据，一方面对前面学过的知识有一个巩固，同时让本节课进行线性回归分析的过程更加完整；二是从学生身边的真实数据出发，更容易促进学习动机，而且给学生带来的体验也更为真实。
对回归直线概念的学习，采用概念形成和概念同化相结合的策略。
从自然语言描述上，回归直线是“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的一条直线，“总偏差平方和最小”是回归直线的数学符号表示。
这里通过精心设计“问题串”引导学生经历充分的思维活动过程，是本节课落实数学基本活动经验的最佳机会。
具体来说，考虑让学生带着“同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？”这样的问题，在得出散点图后，直观感知“点”的分布特点，实际上也是在培养学生“发现问题”、“提出问题”的能力；通过让学生“尝试画出你认为合适的回归直线”的活动，给予学生独立思考的时间和空间，再通过让学生展示自己画的回归直线，引导学生对回归直线的标准有一个模糊的初步的想法。
在此基础上提出如何给回归直线一个定量的数学的标准的问题。
通过借助几何画板动态演示，帮助学生理解从“距离的和的最小”到“总偏差平方和最小”的转化过程，完成对回归直线概念的形成过程。
除此之外，上节课利用“平均数的几何意义”的案例做了铺垫，本节课再类比标准差公式的学习过程，实际上是采用了先行组织者策略帮助学生同化回归直线的概念。
新课标相对于老课标（修订版）在教学目标上增加了“会使用相关统计软件”的要求，采用小组合作学习的方式，更能在探究和上机操作的过程中帮助基础薄弱的学生学习。
另外，手机拍照投屏技术可以及时将学生讨论的结果展示给所有学生，帮助老师及时获得反馈，也有助于学生在心理上形成与他人的比较，帮助学生逐渐形成自我评价的意识。
最后考虑结合国策作为作业的背景材料，也是体现教学中要有立德树人的意识。
五、教学过程设计（一）知识回顾，导入新课1．两个变量之间有几种关系？2．从“平均数”的几何意义说起师生活动：两个变量之间有两种关系，即函数关系和相关关系.通过平均数是数轴上一组数据最靠近的一个“代表值”，但是这是一个单变量样本数据的问题，日常生活中涉及的大多数是多变量的问题，比如课前收集的身高与体重就是一个双变量样本数据的问题（二）初步探索，直观感知面对收集来的样本数据，同学们想做什么？或者说利用学过的统计知识你能做些什么？利用电子表格作出散点图，直观感知两个变量之间的线性相关关系及回归直线（板书）数学实验1：寻找回归直线——请同学们在学案上尝试画出你认为合适的回归直线问题1：如何评价这些“直线”的优劣？是否有个评价标准？【设计意图】能够进行数学抽象，达到新课标的水平一，即在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题.在上节课平均数的几何意义的基础上，学生通过散点图对寻求回归直线的优劣展开思考，对于所有的点要突出“整体”二字，于是提出“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”这一评价标准，对比几何描述的直观性和代数表达的便捷性，揭示两者是同一标准下不同表述.师生活动：通过面对样本数据，感受核心思想“利用样本估计总体”.通过作出散点图发现两个变量线性相关关系及回归直线.寻求的可能方案：(1)回归直线是过散点最多的直线；(2)回归直线是使上下点基本平均分布的直线；(3)回归直线是过两个端点的直线；(4)回归直线是经过样本中心的直线；(5)回归直线是各点与之距离最小的直线；(6)多画几条直线，取它们的斜率、截距的平均数作为回归直线的斜率.由此自然出现一个问题:各种处理方法是否合理?哪条“最合适”?类比平均数的几何意义，感受样本数据点与相应直线在整体上是最接近的，“接近”，数学上是如何量化的.于是引出了评价优劣的标准为“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”. 由于具有几何直观性，学生易于接受此标准，达成“几何”与“代数”的转化.（三）循序渐进，延伸拓展问题2：你能用代数式刻画“从整体上看，各点与此直线的距离和最小”吗?问题3：距离可以用别的形式代替吗？问题4：作为判断优劣的标准，距离和偏差可以等价吗?问题5：偏差有正有负，因此它们的和并不能反映“从总体上来看，各点与直线的偏差最小”，怎样解决这个问题呢?【设计意图】能够在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，建立数学模型，进行数据分析.通过问题，引导学生进人深层次的思考，为下一步探究作好准备.经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，体会“最小二乘法” 思想.师生活动: 利用几何画板介绍偏差处理法的优越性和等价性，达成“距离”与“偏差”的转化.假设样本数据为：11(,)x y 22(,)x y ……(,)n n x y .当自变量x 取i x （i =1，2，……，n ）时，可以得到ˆi y bx a =+（i =1，2，……，n ），它与实际收集到的i y 之间的偏差是ˆ()i i i i y y y bx a -=-+（i =1，2，……，n ），故偏差和为1112ˆˆˆ()()()n n Q y yy y y y =-+-++-，偏差有正有负，易抵消，所以学生生可能会存在如下回答:(1)每项加绝对值，这样全部变成正数;(2)每项加平方.类比前面方差的学习，大家不难达成共识选（2），这样就形成二乘法思想，即 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--+⋅⋅⋅+--问题6：显然a ，b 是未知量，i x ，i y 是已知量 ，那么下面的表达式具有什么样的函数特征？【设计意图】不经历公式化简，无法真正理解最小二乘法思想.而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度.而由具体到抽象，由特殊到一般，是学生顺利完成认知过程的一般性原则.通过此问，让学生了解这个式子的结构，为后续学习打下基础.师生活动:通过令式子等于Q 观察其函数特征，可以发现其实是关于a ，b 的二元二次函数求最值的问题，即我们要求的是当a ，b 取什么值时，使Q 取到最小值，即所有点到直线的整体距离最小.上述这种通过求Q 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法.其中“二乘”指的是平方，最小即使得Q 最小. 在此基础上，给出使Q 为最小值时的a ，b 的值的线性回归方程系数公式222()()11()11i i i i i i n n x x y y x y nxy i i b n n x x x nxi i ---∑∑====--∑∑==，a y bx =- 对于公式的推导及证明，我们将在后面的学习中深入展开.问题7：运用这个公式进行运算，你按怎样的顺序求解呢?【设计意图】能够针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题，体现了数学的核心素养.但公式不要求推导（推导过程参见《选修2-3》第三章3.1节），又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识.通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解.师生活动: 这个公式不要求记忆，由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求a ，b 时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照的顺序来求，再代入公式.（四）实际应用，知识深化问题1：观察公式，根据我们收集的数据，需要计算哪些新数据，才能求出线性回归方程系数?计算量大不大?我们用计算机代替，请大家自主进行操作【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂.通过分解，加深对公式结构的理解.同时，通过数据处理的繁杂过程，体现计算器处理的优越性.师生活动:师生共同得出211,,,,n n i ii i i n x y x y x ==∑∑这五个新数据.学生自主完成计算机操作(操作流程拷贝在学生电脑上)，最后教师进行操作示范，点评，师生共同完成.问题2：利用计算机，请同学们独立完成电脑上的例题（即课本上91页例题）.师生活动:教师巡视，适时指导辅助，最后操作演示，并对估计的结果的随机性作出说明.（五）归纳总结，内化知识【设计意图】思维导图式的对课堂知识和思想的两层总结、提炼师生活动: 师生共同小结（六）作业布置，创新应用我国是一个人口大国，由于二胎政策的放开，估计人口数量及发展趋势是我们制定经济发展计划等一系列相关政策的基础，人口数量预测是一个复杂的问题，不仅是人口与时间两个变量之间的关系，还与国家经济状况，科技发展，自然灾害和战争等其他因素有关.上网收集我国近15年人口数量，并利用统计知识对收集到的数据进行分析，并预测2020年我国人口数.【设计意图】学习材料的选择是学生自身的身高和体重的数据，渗透了数学源于生活，材料的选择更能引起学生兴趣，而作业的背景材料选择结合国策，促进知识的保持与迁移，同时也是对立德树人的体现（七）板书设计数学实验六、课堂教学目标检测1.完成课本85页“探究”：人体的脂肪百分比和年龄的回归直线方程；2.从以上探究：人体的脂肪百分比和年龄的表格中随机抽样出7组数据，继续求其回归直线方程，并体会跟1中回归直线方程有什么不同？为什么？【设计意图】对同样的问题背景，我们进行多次数据采样，求得的回归直线方程却不同，体会数据采样本身具有随机性，因此回归方程也是“随机的”.所以某个回归方程能否较好地反映总体，还需要进行误差分析，为后续学习铺垫.。
