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2.3 变量的相关性 2.3.1 变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关学习目标：1.理解两个变量的相关关系的概念．(重点)2.会画散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关系．(重点)3.理解最小二乘法原理，会求回归直线方程．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]一、变量间的相关关系 1．两个变量的关系2.将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．二、两个变量的线性相关 1．最小二乘法设x 、Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx .当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝ i ＝1n(y i －a －bx i )2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．2．回归直线方程的系数计算公式1．思考辨析(1)回归直线方程中，由x的值得出的y值是准确值．()(2)回归直线方程一定过样本点的中心．()(3)回归直线方程一定过样本中的某一个点．()(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．()[答案](1)×(2)√(3)×(4) ×2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是()A.y^＝1.75＋5.75xB.y^＝－1.75＋5.75xC.y^＝5.75＋1.75xD.y^＝5.75－1.75xC[代入系数公式得b^＝1.75，a^＝5.75.代入直线方程，求得y^＝5.75＋1.75x.故选C.]3．如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．图2-3-1①④[①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．]4．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为y^＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.650[把x＝80代入回归方程得其预测值y^＝5×80＋250＝650(kg)．][合作探究·攻重难]相关关系的判断(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图2-3-2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关[思路探究]结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．(1)D(2)C[(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D. (2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．][跟踪训练]1．某公司2009～2019年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：A.B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系C[由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.]求回归直线方程[探究问题]1．怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？[提示]画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．2．最小二乘法的实质是什么？任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？[提示]实际上，最小二乘法就是从整体上看，使各点与回归直线的距离最小．用最小二乘法求回归直线方程的前提是所给数据是线性相关的，不是线性相关的数据，求出回归直线方程是无意义的．3．回归系数b^的含义是什么？[提示]b^代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数．当b^＞0时，两变量呈正相关；当b^＜0时，两变量呈负相关．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．[思路探究]画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程[解](1)画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系．(2)列表、计算：b^＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a^＝y－b^x＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y^＝0.668x＋54.96.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归直线方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【导学号：31892019】[思路探究] (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的v 的值． [解] (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故线性回归直线方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归直线方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．2．某种产品的广告费支出y (百万元)与销售额x (百万元)之间的关系如下表所示．(1)假定y (2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？[解] (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ^＝438－412.5660－625＝25.535＝5170，a ^＝y －b ^x＝5＋8＋9＋114－5170×8＋12＋14＋164＝334－5170×252＝－67，则所求回归直线方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≥60，得x ≥4 26051≈84，所以实际销售额不少于84百万元．[当 堂 达 标·固 双 基]1．设一个回归方程y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位 A [由b^＝1.2>0，故选A.]2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线D[只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．]3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图2-3-3所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2图2-3-3B[由散点图知，变量x、y呈负相关，且回归直线在y轴上的截距大于0，故b^＜0，a^＞0.因此回归方程可能为y^＝－1.5x＋2.]4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4A[因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.]5．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．[解]由题意可知x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝30＋40＋60＋50＋705＝50，即样本中心为(5,50)，设回归直线方程为y^＝6.5x＋a，∵回归直线过样本中心(5,50)，^，即a^＝17.5，∴50＝6.5×5＋a^＝6.5x＋17.5.∴回归直线方程为y第 11 页。
§2.3《变量间的线性相关》导学案【学习目标】1、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作击散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2、了解最小二乘法的含义.3、若两个变量具有线性相关时，会求线性回归方程，并会用线性回归方程进行预测.4、了解相关系数的大小与两个变量间的相关程度的强弱关系。
【重点】会求线性回归方程，并会用线性回归方程进行预测.【难点】会判断相关系数的大小与两个变量间的相关程度的强弱关系【使用方法与学法指•导】1.用15分钟左右的时间阅读课本基础知识，从中了解变量间的线性相关问题，通过自主高效的预习，提升自己的阅读理解能力。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面的“我的疑惑”处。
【预习案】一、预习练习：1、在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？（1）作文水平与课外阅读量之间的关系；（2）降雪量与交通事故的发生率之间的关系；（3）光照时间和果树亩产量。
2、课本P85-86（1）如何画散点图？（2）两个变量是否具有相关关系，它的散点图有什么特点？（3）两个变量的相关关系有正相关和负相关，它们在散点图上各有什么特点？你能举出一些生活中的变量成正相关和负相关的例子吗？正相关是指：________________________________________________________________ ；负相关是指：________________________________________________________________ O （4）线性相关的两个变量，其散点图有什么特点？【探究案】探究点一:1、引入问题：观察人体的脂肪含量百■分比和年龄的样木数据的散点图，这两个相关变量成正相关•我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？2^在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？3、课本P87,什么叫回归直线？ _______________________________________________________ ；什么叫回归方程？______________________________________________________ ；冋归直线的特点：_________________________________________________________回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？________________________ 。
