概率论与数理统计第2章随机变量

第2章 随机变量及其分布

教学要求

1．理解随机变量的概念以及随机变量的分布函数的概念与性质，会利用分布函数计算有关事件的概率.

2．理解离散型随机变量及其分布律的概念与性质，会求随机变量的分布律，会用分布律求分布函数以及有关事件的概率.

3．理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念与性质，掌握概率密度函数与分布函数之间的关系，会用概率密度函数求分布函数以及有关事件的概率.

4．熟练掌握)10(分布、二项分布、泊松分布的分布律以及均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布的概率密度与分布函数，掌握标准正态分布函数表的使用方法，并会运用它们解决有关问题.

5．会用求随机变量函数的分布.

教学重点

随机变量与分布函数的概念，离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度函数的概念以及概率的求法，二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布及其应用.

教学难点

连续型随机变量分布函数的计算及其随机变量函数分布的求法.

课时安排

本章安排8课时.

教学内容和要点

一、随机变量

1.随机变量的概念

2.随机事件的表示

二、离散型随机变量及其分布

1．离散型随机变量及其分布律的概念与性质

2．离散型随机变量的常用分布：)10(分布、二项分布、泊松分布

三、随机变量的分布函数

1.分布函数的概念与性质

2.离散型随机变量的分布函数

四、 连续型随机变量及其分布

1．连续型随机变量及其概率密度的概念与性质

2.连续型随机变量的常用分布：均匀分布、指数分布、正态分布、标准正态分布

五、随机变量的函数的分布

1. 随机变量函数分布的概念

2. 离散型随机变量函数分布律的求法

3. 连续型随机变量函数概率密度分布的求法

主要概念

1.随机变量

2.分布函数

3.离散型随机变量及其分布律

4.连续型随机变量及其概率密度

5．(01)分布 二项分布 泊松分布

6.指数分布 均匀分布 正态分布

第2章一维随机变量

习题2

一.

填空题：

1.设

离

散

型

随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 xPxF， 则 用 F (x) 表 示

概

0xP = __________。 解：000xFxF

2.设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 xarctgxxF121 则

P{ 0<<1} = ____14_____。 解： P{ 0<<1} = )0(F)1(F 14

3.设 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ = 2 } = P{ = 3 }，

则 P{ = 3 }= ___2783e 或 。

4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 是 ,2,1,0,!kkCkPK，

常 数 >0， 则 C 的 值 应 是 ___ e_____。

解： eCCekCkCkPKKKKK11!1!1000

5 设 随 机 变 量 的 分 布 律 是 4,3,2,1,21kAkPk

则 2521P= 。

解：AAkPk161516181412141

令 15161A 得 A1615

212521ppP 8.041211516

6.若 定 义 分 布 函 数 xPxF， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 的 分

布 函 数 的 充 要 条 件 是

F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F ( ) = 0 ， F ( + ) = 1

第二章 随机变量及其概率分布

1． 离散型随机变量

()01kKKKPXxpp

例1 设 ，则3.02.05.01c

2．常见离散型随机变量

（1）0—1分布：设X～),1(pB，则

应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X～),1(pB，其中EXXPAPp)1()(

例2 设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～),1(pB

（2）二项分布：设X～),(pnB，则()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn

应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X～),(pnB，其中()pPA为事件A在一次抽样中发生的概率。

例３ 某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为5,,1,0，52()0.80.2kkkPXkC，即X～)8.0,5(B

记住：若X～),(pnB，则npEX,)1(pnpDX

（3）泊松（Poisson）分布

若(),0,1,2,!KPXkekk则称X服从参数的泊松分布，且DXEX，记X～)(B，0

应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。

另外，当Y～),(pnB，且n很大，P很小时，令np，则()!kPYkek

例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算

解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～)005.0,100(B，由于n很大，p很小，令5np

则（1）55551506151!15!051)1()0(1)2(eeeeeXPXPXP

（2）5505(5)!kkPXek

3．随机变量的分布函数：X的分布函数为

)()(xXPXF，x

第二章 随机变量

2.1

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

2.2解：根据1)(0kkXP，得10kkae，即1111eae。

故 1ea

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4)

(1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

0011220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CCCCCC(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1020211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CCCCCC2.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155

(2) P{0.5

2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k=11[1()]1441314kklim （2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244

2.6解：设iA表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)PXPAAAAPAPAAPAAAPAAAA=18171615122019181719

1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA