《概率论与数理统计(第二版)》第二章随机变量与数字特征

《概率论与数理统计》

习 题 解 答

教材：《概率论与数理统计及其应用》，浙江大学盛骤、谢式千编，高等教育出版社，2004年7月第一版

目 录

第一章 随机事件及其概率1

第二章随机变量及其分布9

第三章随机变量的数字特征25

第四章正态分布33

第五章样本及抽样分布39

第六章参数估计42

第七章假设检验53

第一章 随机事件及其概率

1、解：（1）67,5,4,3,2S

（2）,4,3,2S

（3）,,,TTHTHHS

（4）6,5,4,3,2,1,,TTTTTTHTHHS

2、设A, B是两个事件，已知81)(,21)(,41)(ABPBPAP，求)(BAP，)(BAP，)(ABP，)])([(ABBAP

解：81)(,21)(,41)(ABPBPAP

)()()()(ABPBPAPBAP85812141

)()()(ABPBPBAP838121

87811)(1)(ABPABP

)])([(ABBAP)]()[(ABBAP

)()(ABPBAP)(BAAB

218185

3、解：用A表示事件“取到的三位数不包含数字1”

2518900998900)(191918CCCAP

4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A表示事件“取到的三位数是奇数”，用B表示事件“取到的三位数大于330”

(1) 455443)(2515141413ACCCCAP=0.48

2） 455421452)(251514122512ACCCACBP=0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；

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1 1. 下列函数是否为其随机变量的分布函数：

（1） F(x)={01/21 𝑥<00≤𝑥<1𝑥≥1

（2） F(x)={11/23/41 𝑥<00≤𝑥≤11

（3） F(x)= {0sin𝑥1 𝑥<00≤𝑥<𝜋𝑥≥𝜋

（4） F(x)= {0sin𝑥1 𝑥<00≤𝑥<𝜋/2𝑥≥𝜋/2

（5） F(x)={0sin𝑥𝑥1 𝑥<00≤𝑥≤𝜋/4𝜋/4

（6） F(x)={0𝑥+1/21 𝑥<−1−1≤𝑥<1𝑥≥1

2. 设随机变量X的分布函数为F(x)={00.40.81 𝑥<−1−1≤𝑥<11≤x<3𝑥≥3，求X的分布律。

2 3. 设随机函数X的取值为1,2,…,n，P{X=k}与k成正比(1≤k≤n)，求X的分布律。

4. 某仪器上存在同型号相互独立的电子元件，其寿命（小时）服从λ=1/600的指数分布，求在最初使用的200个小时内至少1只损坏的概率。

5. 设测量的随机误差为X，已知X~N(0,100)，试求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求α的近似值。（ϕ(1.96)=0.975∙e−5=0.007）

6. 设两台电子仪器的寿命（小时）为X1、X2，已知X~N(40,36)，X~N(45,9)。（1）若在45小时以内使用，（2）若在52小时内使用，问选哪一台要保险一些。

3 7. 设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctan x ,（1）求A,B的值 （2）求P{|X|<1} （3）X的密度函数。

8. 设f(x) ={𝑥2−𝑥0 0

9. 设随机变量X的分布律Y=2X+1，Z=X2，分别求Y，Z。

10. 设随机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布，Y=𝑒2𝑋，求Y的概率密度。

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精品文档 《概率论与数理统计（经管类）》 柳金甫、王义东 主编，

武汉大学出版社新版

第一章 随机事件与概率

第二章 随机变量及其概率分布

第三章 多维随机变量及其概率分布

第四章 随机变量的数字特征

第五章 大数定律及中心极限定理

第六章 统计量及其抽样分布

第七章 参数估计

第八章 假设检验

第九章 回归分析

前言

本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。

第一章 随机事件与概率

本章概述

.

内容简介

本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。

本章内容

§1.1 随机事件

1.随机现象：

确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；

不确定现象：

随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；

其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论：随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间

随机试验举例：

E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。

E3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。

E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。

举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

概率论与数理统计公式整理

第1章 随机事件及其概率

随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： ，

概率的公理化定义 设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：