龙东地区中考数学试卷含答案

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算中，计算正确的是（）A.()222b a b a -=- B.326a a a ⋅=C.()224x x -= D.623a a a ÷=2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A .181B.175C.176D.175.54.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7B.8C.9D.105.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8B.10C.7D.96.已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A.4m > B.4m < C.4m >且5m ≠ D.4m <且1m ≠7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5B.6C.7D.88.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A.2B.1C.1-D.2-9.如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（）A.2.5B.2C.3.5D.310.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．12.函数y =中自变量x 的取值范围是______．13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．15.若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．16.如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm．17.若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．18.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．19.在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．20.如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．23.如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x <B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25.为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．26.ABC 和ADE 都是等边三角形．（1）将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．（2）将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27.学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．（1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．（1）求点C的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；!是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使CMP请说明理由．黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列运算中，计算正确的是（）A.()222b a b a -=- B.326a a a ⋅=C.()224x x -= D.623a a a ÷=【答案】C【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．【详解】()2222b b b a a a =--+，故A 选项错误，不符合题意；2326a a a ⋅=，故B 选项错误，不符合题意；()224x x -=，故C 选项正确，符合题意；624a a a ÷=，，故D 选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B.C.D.【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．3.学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A.181B.175C.176D.175.5【答案】D【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，∴这6个数据的中位数为175176175.52+=，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．4.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538+=个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8B.10C.7D.9【答案】B【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可．【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．6.已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A.4m > B.4m < C.4m >且5m ≠ D.4m <且1m ≠【答案】C【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-34x．又∵x，y均为正整数，∴415xy=⎧⎨=⎩或812xy=⎧⎨=⎩或129xy=⎧⎨=⎩或166xy=⎧⎨=⎩或203xy=⎧⎨=⎩，∴班长有5种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】D【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∵四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，∴1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ，∴AB ⊥y 轴，∵点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上，∴3,22COB COA k S S ==- ，∴35222AOB COB COA k S S S =+=-= ，解得：2k =-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．9.如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（）A .2.5 B.2 C.3.5 D.3【答案】A【分析】连接DE ，取AD 的中点G ，连接EG ，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD ⊥BC ，BD =CD ，再由E 是AB 的中点，G 是AD 的中点，求出S △EGD =3，然后证△EGP ≌△FDP （AAS ），得GP =CP =1.5，从而得DG =3，即可由三角形面积公式求出EG 长，由勾股定理即可求出PE 长．【详解】解：如图，连接DE ，取AD 的中点G ，连接EG ，∵AB =AC ，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，∴AD ⊥BC ，BD =CD ，∴S △ABD =112422ABC S =⨯ =12，∵E 是AB 的中点，∴S △AED =111222ABD S =⨯ =6，∵G 是AD 的中点，∴S △EGD =11622AED S =⨯ =3，∵E 是AB 的中点，G 是AD 的中点，∴EG ∥BC ，EG =12BD =12CD ，∴∠EGP =∠FDP =90°，∵F 是CD 的中点，∴DF =12CD ，∴EG =DF ，∵∠EPG =∠FPD ，∴△EGP ≌△FDP （AAS ），∴GP =PD =1.5，∴GD =3，∵S △EGD =12GD EG ⋅=3，即1332EG ⨯=，∴EG =2，在Rt △EGP 中，由勾股定理，得PE ==2.5，故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．10.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（）A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤【答案】B 【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌ 得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌ 得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE ⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽ 得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌ ，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF =S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC OD DOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌ ∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌ ∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确；③∵tan BE BP BAE AB AP ∠==∴AB AP BE BP =∴AB BE AP BP BE BP --=∴AP BP CE BP BE-=∴CE BPAP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC∽ ∴OP AO CE AE=∴OP AECE AO⋅=∴OP AE BPAP BP AO BE ⋅⋅-=⋅∵1122ABE AE BP AB BE S ⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO ⋅⋅-===⋅所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ，∴EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC =522a ，若:2:3BE CE =，则23BE CE =，∴233BE CE CE ++=∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅==∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3232tan 7a EG EG CAE AG AC CG ∠===-所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌ ，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF =S △DOF +S △COF =S △COD ∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．【答案】81.8910⨯【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a ⨯的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910⨯，故答案为：81.8910⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．12.函数y =中自变量x 的取值范围是______．【答案】 1.5x ≥【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x -≥，∴ 1.5x ≥；故答案为： 1.5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．【答案】OB =OD （答案不唯一）【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在△AOB 和△COD 中，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB COD ≌（SAS ）故答案为OB =OD （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．【答案】13【分析】利用概率公式计算即可．【详解】∵不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，∴摸到红球的概率是21243=+，故答案为：13．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15.若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．【答案】2a ≥##2a≤【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a -⎧⎨-<⎩＜①②，解不等式①得：2x ＜，解不等式②得：x a ＜，关于x 的不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x ＜，2a ∴≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16.如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm．【答案】【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由垂径定理和圆周角定理可得12AD BD AB ==，120AOB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得30OAB OBA ==︒∠∠，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，12AD BD AB ∴==，90ODA =∠°， 60ACB ∠=︒，120AOB ∴∠=︒，OA OB = ，30OAB OBA ∴∠=∠=︒，3cm OA = ，3cm 2OD ∴=，cm 2AD ∴==，AB ∴=，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．17.若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．【答案】53【分析】由于圆锥的母线长为5cm ，侧面展开图是圆心角为120°扇形，设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2πr cm ，所以侧面展开图的弧长为2πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于r 的方程，解方程即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r cm ，则圆锥底面周长为：2r πcm ，∴侧面展开图的弧长为：2r πcm ，∴12052=180ππ⨯r ，解得：r =53，故答案为：53．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．【答案】362【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=3 2，∴OA 33 2∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA 33 2∴∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA 33 2，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°，∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF2222333336222 OF OE⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴PO +PE 最小值=362．故答案为：2．【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 是解题的关键．19.在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．【答案】313或154或6【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ，∴AB BP PC CE=，即9124BP BP =-，解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴AD DECE PC=，即12944PC-=，解得：53 PC=，∴313 BP BC PC=-=；如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四边形ABPF为矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，∴AF PFDE AD=，即99412AF=-，解得：154=AF，即154PB=；综上所述，BP的长为313或154或6．故答案为：313或154或6【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得1132OA B S = ，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2:2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =∴点(1B ，∴11A B =∴1113122OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =OA 12∶OA 22∶OA 32……∶OA n 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==……12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴22022220223222S ⨯-=⨯=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．【答案】11a -，3-【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a 值，然后把a 值代入化简式计算即可．【详解】解：原式22222112111a a a a a a a ⎛⎫--+=-⋅ ⎪---⎝⎭2121211a a a a -+=⋅--11a=-，当2cos3011a =︒+=时，原式3==-【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；()15,3A -（2）见解析；()22,4A （3）点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；【小问2详解】如图所示△A 2B 2C 2即为所求，()22,4A ；【小问3详解】∵115A C ==∴点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802⨯=．【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．23.如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--（2）存在，()11P +，()21P -【分析】（1）将点()1,0A -，点()2,3B -，代入抛物线得10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，求出b c ，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得()222314y x x x =--=--，可得D 点坐标，将0x =代入得，3y =-，可得C 点坐标，求出1BCD S =△的值，根据4PBC BCD S S = 可得4PBC S = ，设()2,23P m m m --，则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，求出m 的值，进而可得P 点坐标．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -，点()2,3B -，∴10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--．【小问2详解】解：存在．∵()222314y x x x =--=--，∴()1,4D -，将0x =代入得，3y =-，∴()0,3C -，∴D 到线段BC 的距离为1，2BC =，∴12112BCD S =⨯⨯=V ，∴44PBC BCD S S == ，设()2,23P m m m --，则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，整理得，224m m -=，解得11m =+，或21m =，∴()11P +，()21P -，∴存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，点P 的坐标为()11P +，()21P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x <B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_______名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人【分析】（1）根据统计图中B 组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E 组人数占比为15％，求出E 组人数为10015⨯％人，然后作差求出A 组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D 组人数的占比乘以360︒计算求解即可；（4）根据A B ，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．【小问1详解】解：由统计图可知，本次共调查了2020100÷=％（人），故答案为：100．【小问2详解】解：由统计图可知，E 组人数占比为15％，∴E 组人数为1001515⨯=％（人），∴A 组人数为100204020155----=（人），∴补全统计图如图所示【小问3详解】解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100⨯︒=︒，∴D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒．【小问4详解】解：由题意知，5201500375100+⨯=（人）∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．25.为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【答案】（1）10060（2）1001200y x =-+（3）3，6.3，9.1【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h 的路程为500km ，乙车5h 的路程为300km ，即可确定各自的速度；（2）设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．【小问1详解】。

黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试 数学试题参考答案及评分标准一.选择题（每题3分，共30分）1.C2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.A9.C 10.A二.填空题（每题3分，共30分）11. 1.3908×1012 12.x ≥3 13. AC=BD 或∠ABC=90°（答案不唯一） 14. 53 15. 021＜a ≤- 16. 65 17. 90 18. 2122+ 19. 4725或或10 20.（1，3）三.解答题（满分60分）21.（本题满分5分） 解：原式=mm m m m m -+⋅-+-)1()1)(1()1(2 ..................................2分 =1+-m ......................................................... 1分2160cos =︒=m 当 时 ...................................................... 1分 21=原式 .................................................................. 1分22.（本题满分6分）（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求......1分B 1（2，3） ..................................1分（2）如图所示：△AB 2C 2即为所求.......1分B 2（-3，0） ................................1分（3）π25 ...............................2分第22题图23.（本题满分6分）解：（1）由已知得：⎩⎨⎧==++-301c c b..................1分 解得：⎩⎨⎧=-=32c b .............................1分 322+--=∴x x y .......................1分（2）点P 的坐标是P （－41523，）....................2分 △APC 的面积最大值是827.........................1分 24.（本题满分7分）（1） 8 40 .......................................2分（2） C .......................................................2分（3） （人）22850514600=+⨯........2分 答：估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人 ........................1分25.（本题满分8分）（1）30 40 ...........................................................................2分（2）甲货车在配货站出发的时间：3.5+0.5=4（h ）∴点E 的坐标是（4，105）甲货车到达B 地的时间：6-0.5=5.5（h ）∴点F 的坐标是（5.5，225） ......................................1分∴EF 的函数解析式是）5.54(21580≤≤-=x x y ....................2分（3）经过1.5h 或1445h 或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等 ...........3分 26.（本题满分8分） 解：图②的结论是：BM 2+NC 2+BM · NC=MN 2 ...................................1分图③的结论是：BM 2+NC 2-BM ·NC=MN 2 ....................................1分 选择图③进行证明证明：以点B 为顶点在△ABC 外作∠ABK=30°，在BK 上截取BQ=CN ，连接QA 、QM ，过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H ，∵AB=AC ∠C=∠ABQ CN=BQ∴△ACN ≌△ABQ ........................................................................1分 ∴AN=AQ ∠CAN=∠QAB又∵∠CAN+∠BAM=60°∴∠BAM+∠QAB=60°即∠QAM=∠MAN又∵AM=AM∴△AQM ≌△ANM ....................................................................1分 ∴MN=QM在Rt △BQH 中，∠QBH=60°................................................................1分∴BH=21BQ QH=23BQ HM=BM-BH=BM-21BQ 在Rt △QHM 中 可得：QH 2+HM 2=QM 2即（23BQ ）2+（BM -21BQ ）2=QM 2 整理得BM 2+BQ 2-BM · BQ=QM 2 ...............................................2分 ∴BM 2+NC 2-BM · NC=MN 2 ......................................................1分27.（本题满分10分）解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元.由题意得：⎩⎨⎧=+=+3251015200510b a b a.........................................................................1分 解得：⎩⎨⎧==1015b a ........................................................................1分 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 ....1分（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子（100-x 23）个.由题意得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥)23100(16)23100(5x x x x 解得：64171458≤≤x ..............................................................................2分 4,7,102310064,62,60)23100(=-=∴-x x x x 均为正整数和∴共有3种购买方案. .......................................................................................2分(3)设商家获得总利润为y 元.3406001400)23100(45==∴∴-=+-=-+=最大时，当的增大而减小随＜y x x y k x y x x y答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元. .......................................................................................2分28.（本题满分10分）解：（1） x 2-5x-6=0解得x 1=6, x 2=-1∵OA 的长度是x 2-5x-6=0的根∴OA=6 .....................................................................................1分过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，在Rt △AOC 中，∴OC ＝3，AC ＝33∴点A 的坐标为A （3，33） ........................................................1分（2）当0＜ｔ≤2时．过P 作PD ⊥x 轴，垂足为点DOP ＝2t ，OQ ＝3t ，PD ＝3t...........................................................................................1分∴S ＝21×3t ×3t ＝2233t ........................................................1分 当2＜ｔ≤3时，过Q 作QE ⊥OA ，垂足为点EOP=2t ， QE=63-t 233 ∴S ＝21×2t ×(63-t 233)＝t 36t 3232+- ...........................1分 当 3＜ｔ＜3.6时，过O 作OF ⊥AB ，垂足为FPQ=18-5t ， OF=33∴S ＝21×33×(18-5t)＝327t 3215+- ............................................1分 综上所述⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-≤<+-≤<=）（）（）（6.3t 3327t 32153t 2t 36t 3232t 0t 323s 22 .......................................1分 （3）N 1（2，4+23），N 2（2，23-4），N 3（-2，23），N 4（2，332） ......4分第28题图。

绝密★启用前2020年黑龙江省龙东地区初中毕业学业统一考试数 学考生注意：1.考试时间120分钟2.全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列各运算中，计算正确的是（ ）A .22422a a a ⋅=B .824x x x ÷=C .()222x y x xy y -=-+D .()32639xx -=-2.下列图标中是中心对称图形的是（ ）ABCD3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）主视图 左视图A .6B .7C .8D .94.一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）A .3.6B .3.8或3.2C .3.6或3.4D .3.6或3.25.已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ）A .14k ＜B .14k ≤C .4k ＞D .14k ≤且0k ≠6.如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数ky x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是 （ ）A .5B .4C .3D .27.已知关于x 的分式方程422x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围是 （ ）A .80k -＜＜B .8k -＞且2k ≠-C .8k -＞且2k ≠-D .4k ＜且2k ≠-8.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）A .4B .8CD .69.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案 （ ）A .12种B .15种C .16种D .14种10.如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM上，且AF ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG .则下列结论：①45ECF ∠=︒；②AEG △的周长为1a ⎛+ ⎝⎭；③222BE DG EG +=； ④EAF △的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点. 其中正确的结论是（ ）毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------A .①②③B .②④⑤C .①③④D .①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11.5G 信号的传播速度为300 000 000 m/s ，将数据300 000 000用科学记数法表示为___________. 12.在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是___________.13.如图，Rt ABC △和Rt EDF △中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________，使Rt ABC △和Rt EDF △全等.14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________.15.若关于x 的一元一次不等式组1020x x a -⎧⎨-⎩＞＜有2个整数解，则a 的取值范围是________.16.如图，AD 是ABC △的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB ∠=________︒.第16题图第18题图17.小明在手工制作课上，用面积为2150π cm ，半径为15 cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________cm .18.如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD △沿射线BD 平移，得到EGF △，连接EC 、GC .求EC GC +的最小值为________.19.在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠.若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为________.20.如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1.过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3.过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标________.三、解答题（满分60分）21.（本题满分5分）先化简，再求值：22169211x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3tan303x =︒-. 22.（本题满分6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上（1）将ABC △向左平移5个单位得到111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的221A B C △，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求111A B C △在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）.23.（本题满分6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标.若不存在，请说明理由.24.（本题满分7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）.求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少.25.（本题满分8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间. （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离.（直接写出答案）26.（本题满分8分）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN .图①图②图③（1）BE 与MN 的数量关系是___________.（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________27.（本题满分10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元.（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元.求m，n的值.（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1 168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案.（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值. 28.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程23180x x--=的根，连接BD，30DBC∠=︒，并过点C作CN BD⊥，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒()0t＞.（1）线段CN=___________；（2）连接PM和MN，求PMN△的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN△是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标.2020年黑龙江省龙东地区初中毕业学业统一考试数学答案解析一、 1.【答案】A【解析】A .22422a a a ⋅=，正确； B .88262x x x x -==÷，故B 选项错误； C .222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误； D .()326327x x -=-，故D 选项错误，故选A .【考点】单项式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式 2.【答案】B【解析】A 、不是中心对称图形，故本选项错误； B 、是中心对称图形，故本选项正确； C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、不是中心对称图形，故本选项错误. 故选：B .【考点】中心对称图形 3.【答案】B【解析】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4217++=（个）； 故选：B . 【考点】三视图 4.【答案】B【解析】∵数据：a ，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是4，1a =∴或2，当1a =时，平均数为1344 3.665++++=；当2a =时，平均数为2344 3.865++++=；故选C .【考点】众数与平均数的定义 5.【答案】B【解析】解：∵关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，240b ac ∆=-∴≥1a =∵，()21b k =-+，22c k k =+()()22214120k k k ⎡-+⎤-⨯⨯+⎣⎦∴≥，41k --∴≥， 14k ∴≤.故选B .【考点】一元二次方程的根的判别式 6.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ，AC BD ⊥，120ABC ∠=︒∵， 60ABO ∠=︒∴，∵点()1,1B -，OB ==∴tan60AOOB︒=∵，60AO =︒=∴，作BF y ⊥轴于F ，AE x ⊥轴于E ，∵点()1,1B -，1OF BF ==∴， 45FOB BOF ∠=∠=︒∴，90BOF AOF AOE AOF ∠+∠=∠+∠=︒∵， 45AOE BOF ∠=∠=︒∴，AOE ∴△为等腰直角三角形，AO =∵cos452AE OE AO ==⋅︒==∴ ∴点A的坐标为，∵点A 在反比例函数ky x=的图象上， 3k xy ==∴，故选：C .【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质 7.【答案】B【解析】方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83kx +=. x ∵为正数，803k +∴＞，解得8k -＞，2x ≠∵，823k +≠∴，即2k ≠-，k ∴的取值范围是8k -＞且2k ≠-.故选：B .【考点】解分式方程，不等式的解法8.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，6AO CO ==∴，BO DO =，248ABCD AC BDS ⨯==菱形， 8BD =∴，DH AB ⊥∵，4BO DO ==，124OH BD ==∴.故选：A .【考点】菱形的性质 9.【答案】D【解析】解：设购买A 、B 、C 三种奖品分别为x ，y ，z 个， 根据题意列方程得102030200x y z ++=， 即2320x y z ++=，由题意得x ，y ，z 均为正整数. ①当1z =时，217x y +=172yx -=∴， y ∴分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x 为正整数；②当2z =时，214x y +=142yx -=∴， y ∴可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x 为正整数；综上所述：共有8614+=种购买方案.故选：D【考点】求方程组的正整数解 10.【答案】D【解析】如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH .BE BH =∵，90EBH ∠=︒，EH =∴，AF ∵，AF EH =∴，45DAM EHB ∠=∠=︒∵，90BAD ∠=︒， 135FAE EHC ∠=∠=︒∴， BA BC =∵，BE BH =， AE HC =∴，()FAE EHC SAS △≌△∴，EF EC =∴，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=︒∵， 90AEF CEB ∠+∠=︒∴， 90FEC ∠=︒∴，45ECF EFC ∠=∠=︒∴，故①正确，如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS △≌△，ECB DCH ∠=∠∴， 90ECH BCD ∠=∠=︒∴，45ECG GCH ∠=∠=︒∴， CG CG =∵，CE CH =， ()GCE GCH SAS △≌△∴，EG GH =∴，GH DG DH =+∵，DH BE =， EG BE DG =+∴，故③错误，AEG ∴△的周长2AE EG AG AE AH AE AD DH AE AD EB AB AD a=++=+=++=++=+=，故②错误，设BE x =，则AE a x =-，AF =，()222111111222228AEFS a x x x ax x a a ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭△∴， 102-∵＜，∴当12x a =时，AEF △的面积的最大值为218a ，故④正确；如图3，延长AD 到H ，使得DH BE =，同理：EG GH =，13BE a =∵，则23AE a =，设AG y =，则DG a y =-，1433EG GH a y a a y ==-+=-∴，在Rt AEG △中，222AE AG EG +=，即2222433a y a y ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：12y a =， ∴当13BE a =时，G 是线段AD 的中点，故⑤正确；综上，①④⑤正确， 故选：D .【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用，勾股定理的应用二、11.【答案】8310⨯【解析】300 000 000的小数点向左移动8位得到3， 所以300 000 000用科学记数法表示为8310⨯， 故答案为8310⨯.【考点】科学记数法的表示方法 12.【答案】2x ＞【解析】解：根据题意得，20x -＞，解得2x ＞. 故答案为2x ＞.【考点】函数自变量的取值范围13.【答案】AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等） 【解析】解：ABC ∵△和EDF △均为直角三角形，=90A DEF ∠∠=︒∴，又B D ∠=∠∵，故要使得Rt ABC △和Rt EDF △全等，只需添加条件AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）即可. 故答案：AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）【考点】全等的判定 14.【答案】25【解析】解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果， ∴两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为：82205=； 故答案为：25. 【考点】用列表法或画树状图法求概率 15.【答案】68a ＜≤【解析】解：1020x x a -⎧⎨-⎩＞①＜②解不等式①得：1x ＞，解不等式②得：2x a ＜，∴不等式组的解集是12ax ＜＜，x ∵的一元一次不等式组有2个整数解， x ∴只能取2和3，342a≤∴＜，解得：68a ＜≤ 故答案为：68a ＜≤. 【考点】一元一次不等式 16.【答案】50【解析】连接BD ，如图，AD ∵为ABC △的外接圆O 的直径，90ABD ∠=︒∴，90904050D BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴， 50ACB D ∠=∠=︒∴.故答案为：50. 【考点】圆周角定理 17.【答案】10【解析】由1=2S lR 扇形得：扇形的弧长2150 π1520 π=⨯÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=20 ππ210=÷÷=（厘米）. 故答案是：10.【考点】圆锥的底面半径18.【答案】【解析】如图，将ABC △沿射线CA 平移到AB C ''△的位置，连接C E '、AE 、DE ，AB GE DC ∥∵∥且AB GE DC ==，∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，AE BG ∴∥，CG DE =， AE CC ⊥'∴，由作图易得，点C 与点C '关于AE 对称，C E CE '=， 又CG DE =∵，EC GC C E ED +='+∴，当点C '、E 、D 在同一直线时，C E ED '+最小， 此时，在Rt C D E ''△中，4C B ''=，448B D '=+=，C D ='=，即EC GC +的最小值为，故答案为：.【考点】正方形的性质，图形的对称性，线段最短和平行四边形的性质与判定 19.【解析】分两种情况：（1）当点B '落在AD 上时，如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∠=∠=︒∴，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，1452BAE B AE BAD '∠=∠=∠=︒∴，AB BE =∴，315a =∴， 315BE a ==∴在Rt ABE △中，1AB =，1BE =，E A =∴（2）当点B '落在CD 上，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒∴，AD BC a ==，∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，'90B AB E ︒∠=∠=∴，'1AB AB ==，'35EB EB a ==，'DB ==∴3255EC BC BE a a a =-=-=，在ADB '△和B CE '△中，9090B AD EB C AB DD C ∠=∠=︒-∠''⎧⎨∠=∠=︒'⎩ADB B CE ''∴△∽△，'''DB AB CE B E =∴1355a a=，解得，a =35BE a =∴ 在Rt ABE △中，1AB =，BE =，E A =∴. 【考点】翻折变换，矩形的性质20.【答案】()20202020231,3⨯-【解析】解：AM ∵的解析式为1y x =+，()1,0M -∴，()A 0,1，即1AO MO ==，45AMO ∠=︒，由题意得：11MO OC CO ===，1113O A MO ==，∵四边形1111O A B C 是正方形，111213O C C O MO ===∴，12315OC =⨯-=∴，11113B C O C ==，()15,3B ，221239A O C O ==∴，229B C =，22918OO OC MO =-=-=，综上，23n n MC =⨯，231n n OC =⨯-，3nn n n n B C A O ==，当 2 020n =时， 2 0202 020231OC =⨯-， 2 0202 020 2 0203B C =， 点()2 0202 020231,3B ⨯-， 故答案为：()2 0202 020231,3⨯-. 【考点】等腰直角三角形的性质，点的坐标三、21.【答案】原式=()()()()221311111x x x x x x x ⎡+⎤+--÷⎢⎥+++-⎣⎦()()()21122113x x x x x x +-+-+=⋅++ ()()()211313x x x x x +-+=⋅++ 13x x -=+，当3tan303333x =︒-=-=时，原式===【考点】分式的混合运算——化简求值，分式的减法，乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算22.【答案】（1）111A B C △如图所示，()10,2A ； （2）221A B C △如图所示，()23,3A -- （3）BC =∵(211s π348π642=+⨯⨯=+∴【考点】此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算23.【答案】解：（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩∴，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；（2）存在，理由如下： 当点P 在x 轴下方时， 如图，设AP 与y 轴相交于E ，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为()0,3，()1,0A -∵，()3,0B ，3OB OC ==∴，1OA =， 45ABC =︒∠∴，45PAB ABC ∠︒∠==∵， OAE ∴△是等腰直角三角形， 1OA OE ==∴，∴点E 的坐标为()0,1-，设直线AE 的解析式为1y kx =-， 把()1,0A -代入得：1k =-，∴直线AE 的解析式为1y x =--，解方程组2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2245x y =⎧⎨=-⎩， ∴点P 的坐标为()4,5-；当点P 在x 轴上方时， 如图，设AP 与y 轴相交于D ，同理，求得点D 的坐标为()0,1，同理，求得直线AD 的解析式为1y x =+，解方程组2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩， 得：1110x y =-⎧⎨=⎩(舍去)或2223x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为()2,3；综上，点P 的坐标为()2,3或()4,5-【考点】待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组 24.【答案】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为604801310019120714051602100.89950⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=＞，即该班一分钟跳绳的平均次数至少是100.8次，超过了全校的平均次数； （2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，共有50名学生，可知中位数是将跳绳次数从小到大排列后位于第25、26这两个次数的平均数，因为4131725+=＜，413193626++=＞， 所以中位数一定在100～120范围内， 即该生跳绳成绩的所在范围为100～120；（3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：1975233+++=(人)， 所以P （其跳绳次数超过全校平均数）3350=， 答：从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率为3350. 【考点】频数分布直方图，简单的概率计算，中位数等知识 25.【答案】解：（1）由图象可知：()0,50M ，()3,200E设ME 的解析式()0k y kx b =+≠ 把()0,50M ，()3,200E 代入得：解得5050b k =⎧⎨=⎩，ME ∴的解析式为()505003y x x =+≤≤；（2）由图象知()4,0B ，()6,200C 设BC 的解析式y mx n =+，把()4,0B ，()6,200C 代入得，406200m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得，100400m n =⎧⎨=-⎩，BC ∴的解析式为：100400y x =-由图象知()5,200F ，()G 9,0 设FG 的解析式y px q =+，把()5,200F ，()G 9,0代入上式得，520090p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得，50450p q =-⎧⎨=⎩，故FG 的解析式为：50450y x =-+联立方程组得，10040050450y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得173x h =；由图象得，()6,200C ，()8,0D 设CD 的解析式为y rx s =+，把()6,200C ，()8,0D 代入上式得，620080r s r s +=⎧⎨+=⎩，解得，100800r s =-⎧⎨=⎩ 故CD 的解析式为100800y x =-+，联立方程组得10080050450y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得7 h x =答：货车返回时与快递车途中相遇的时间17h 3，7 h （3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时， 其速度为：()2002100km/h ÷=所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：()1001100 km ⨯= 【考点】一次函数的应用26.【答案】解：（1）B Rt A C ∵△中，90ACB ∠=︒，AC BC =，45BAC ABC ∠=∠=︒∴ AC BC =∵，DC EC =，AD BE =∴，∵点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点， PM ∴，PN 分别为ABE △，BAD △中位线，PM BE ∴∥，12PM BE =，PN AC ∥，12PN AD =，PM PN =∴，45APM BPN ∠=∠=︒， 90PMN ∠=︒∴，PMN ∴△为等腰直角三角形，sin PM MN PNM MN =⋅∠==∴，2BE PM =∴，即BE =；（2）图（2）：BE =图（3）：BE = 证明：如图（2）连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G ，90ACB DCE ∠=∠=︒∵， DCA ECB ∠=∠∴， DC EC =∵，AC BC =，ACD BCE ∴△≌△，CAD CBE ∠=∠∴，BE AD =， AGH CGE ∠=∠∵，90CAD AGH CBE CGE ∠+∠=∠+∠=︒∴， 90AHB ∠=︒∴，P ∵、M 、N 分别是AB 、AE 、BD 的中点，PN AD ∴∥，12PN AD =， PM BE ∥，12PM BE =，PM PN =∴，190MPN AHB ∠=∠=∠=︒，PMN ∴△是等腰直角三角形，MN =∴，2BE PM ==∴.图②【考点】等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，中位线定理 27.【答案】解：（1）由题意得1520430108212m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：1014m n =⎧⎨=⎩；答：m 、n 的值分别为10和14； （2）根据题意()()1014100116010141001168x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≥≤，解得：5860x ≤≤， 因为x 是整数所以x 为58、59、60；∴共3种方案，分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克； 方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克； 方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）方案一的利润为：()()161058181442516-⨯+-⨯=元， 方案二的利润为：()()161059181441518-⨯+-⨯=元， 方案三的利润为：()()161060181440520-⨯+-⨯=元，∴利润最大值为520元，甲售出60 kg ，乙售出40 kg ，()()161026018144020%1 160a a --⨯+--⨯≥∴解得： 1.8a ≤答：a 的最大值为1.8；【考点】二元一次方程组的应用，解一元一次不等式28.【答案】解：（1）解方程23180x x --=得：16x =，23x =-(舍去)，6AB =∴，∵四边形ABCD 是矩形，30DBC ∠=︒，6AB CD ==∴，212BD AB ==，BC AD ===∴BDC 1122S BC CD BD CN =⋅=⋅△∵，BC CD CN BD ⋅===∴故答数为：（2）如图1，过点M 作M H BD ⊥于H ，AD BC ∵∥，30ADB DBC ∠=∠=︒∴，122MH MD ==∴， 30DBC ∠=︒∵，CN BD ⊥，9BN ==∴，当点P 在线段BN 上即902t ＜＜时，PMN △的面积()21922s t =⨯-=+；当点P 与点N 重合即92t =时，0s =， 当点P 在线段ND 上即962t ＜≤时，PMN △的面积()21292s t =⨯-=；2290242902962t s t t ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜≤∴＜；（3）如图，过点P 作PE BC ⊥于E ，当92PN PM t ==-时，则DM =，12MH DM =，32DH t =，222MH PH PM +=∵，()2223122922t t t ⎫⎛⎫+--=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴， 解得：3t =或73t =， 即132PE BP t ===或1723PE BP t ===，则BE =3BE =， ∴点P的坐标为()或73⎫⎪⎪⎝⎭；当92PN NM t ==-时，222MH NH MN +=∵，()22233922t t ⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴， 解得3t =或24（不合题意舍去），6BP =∴，132PE BP ==，BE =∴点P的坐标为()，综上所述：点P坐标为()或733⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【考点】矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，坐标与图形。

黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. a2⋅2a2=2a4B. x8÷x2=x4C. (x−y)2=x2−xy+y2D. (−3x2)3=−9x6【答案】A【考点】同底数幂的乘法，单项式乘单项式，完全平方公式及运用，积的乘方【解析】【解答】A．a2⋅2a2=2a4，符合题意；B．x8÷x2=x8−2=x6，故B选项不符合题意；C．(x−y)2=x2−2xy+y2，故C选项不符合题意；D．(−3x2)3=−27x6，故D选项不符合题意，故答案为：A．【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．2.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．4.一组从小到大排列的数据: a,3,4,4,6( a为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2【答案】B【考点】平均数及其计算，众数【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为1+3+4+4+65=3.6；当a=2时，平均数为2+3+4+4+65=3.8；故答案为：C.【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.5.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A. k<14B. k≤14C. k>4D. k≤14且k≠0【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴△=b2−4ac≥0,∵a=1,b=−(2k+1),c=k2+2k,∴[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0,∴−4k≥−1,∴k≤14.故答案为：B．【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．6.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(−1,1)，∠ABC=120°，则k的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120 °，∴∠ABO=60 °，∵点B（-1，1），∴OB= √12+12=√2，∵tan60°=AO，OB∴AO= √2tan60°=√6，作BF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45 °，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 °，∴∠AOE=∠BOF=45 °，∴△AOE为等腰直角三角形，∵AO =√6，∴AE=OE=AO ⋅cos45°=√6×√2=√3，2∴点A的坐标为（√3，√3），∵点A在反比例函数y=k的图象上，x∴k=xy=3，故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 °，继而求得点A的坐标，即可求解．7.已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则c的取值范围是（）A. −8<k<0B. k>−8且k≠−2C. k>−8D. k<4且k≠−2【答案】B【考点】分式方程的解及检验，解一元一次不等式【解析】【解答】方程两边同时乘以x−2得，x−4(x−2)+k=0，解得：x=8+k3．∵x为正数，∴8+k3>0，解得k>−8，∵x≠2，∴8+k3≠2，即k≠−2，∴k的取值范围是k>−8且k≠−2．故答案为：B．【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（）A. 4B. 5C. √13D. 6【答案】A【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= AC×BD2=48，∴BD=8，∵DH⊥AB，BO=DO=4，∴OH= 12BD=4．故答案为：A．【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，即x+2y+3z=20，由题意得x,y,z均为正整数．①当z=1时，x+2y=17∴x=17−y2，∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；②当z=2时，x+2y=14∴x=14−y2，∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故答案为：D【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，化简后根据x,y,z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．10.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：① ∠ECF=45°；② ΔAEG的周长为(1+√22)a；③ BE2+DG2=EG2；④ ΔEAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤【答案】 D【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH= √2BE，∵AF= √2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③不符合题意，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，设BE= x，则AE= a−x，AF= √2x，∴S△AEF= 12(a−x)x=−12x2+12ax=−12(x−12a)2+18a2，∵−12<0，∴当x=12a时，，△AEF的面积的最大值为18a2，故④符合题意；如图3，延长AD到H，使得DH=BE，同理：EG=GH，∵BE=13a，则AE=23a，设AG= y，则DG= a−y，∴EG=GH = a−y+13a=43a−y，在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，即(23a)2+y2=(43a−y)2，解得：y=12a，∴当BE=13a时，G是线段AD的中点，故⑤符合题意；综上，①④⑤符合题意，故答案为：D．【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= √2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= y，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得y=12a，即可判断⑤符合题意．二、填空题（共10题；共10分）11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.【答案】3×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108。

黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．在的“双11”网上促销活动中，淘宝网的交易额突破了3200000000元，将数字3200000000用科学记数法表示 ．【答案】3.2×109．【解析】试题解析：3200000000=3.2×109．考点：科学记数法—表示较大的数．2．在函数y =1x -1中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】x ＞1．【解析】3．如图，BC ∥EF ，AC ∥DF ，添加一个条件 ，使得△ABC ≌△DEF ．第3题图【答案】AB=DE 或BC=EF 或AC=DF【解析】试题解析：∵BC ∥EF ，∴∠ABC=∠E ，∵AC ∥DF ，∴∠A=∠EDF ，∵在△ABC 和△DEF 中，A EDF AB DEABC E ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF ，同理，BC=EF 或AC=DF 也可求证△ABC ≌△DEF ．考点：全等三角形的判定．4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．【答案】38【解析】5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +1＞0a - 13x ＜0的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是 ． 【答案】a ≤﹣13 【解析】试题解析：解不等式x+1＞0，得：x ＞﹣1，解不等式a ﹣13x ＜0，得：x ＞3a ， ∵不等式组的解集为x ＞﹣1，则3a ≤﹣1，∴a ≤﹣13考点：解一元一次不等式组．6．原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 ．【答案】10%．【解析】试题解析：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次的百分率是10%．考点：一元二次方程的应用．7．如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是．第7题图【答案】5.【解析】试题解析：连接AC、AE，∴PC+PE的最小值为5．考点：轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．8．圆锥底面半径为3cm，母线长32cm则圆锥的侧面积为cm2．【答案】92π 【解析】考点：圆锥的计算．9．△ABC 中，AB =12，AC =39，∠B =30°则△ABC 的面积是 ．【答案】213或153．【解析】试题解析：①如图1，作AD ⊥BC ，垂足为点D ，在Rt △ABD 中，∵AB=12、∠B=30°，∴AD=12AB=6，BD=ABcosB=12323 在Rt △ACD 中，2222(39)6AC AD -=-3，∴333则S △ABC =12×BC ×AD=12×3×3 ②如图2，作AD ⊥BC ，交BC 延长线于点D ，考点：解直角三角形．10．观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…….则第个图形中有个三角形．第1个第2个第3个第2017个第10题图【答案】8065【解析】试题解析：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3，当n=时，4n﹣3=8065.考点：图形的变化类二、选择题（每题3分，满分30分）11．下列各运算中，计算正确的是（）A．(x-2)2=x2-4 B．(3a2)3=9a6C．x6÷x2=x3D．x3·x2=x5【答案】D.【解析】试题解析：A.原式=x2﹣4x+4，故A错误；B.原式=27a6，故B错误；C.原式=x4，故C错误；故选D.考点：整式的混合运算．12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】考点：中心对称图形；轴对称图形13．几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数最多是（）俯视图左视图A．5个B．7个C．8个D．9个【答案】B．【解析】试题解析：由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下：故选B ．考点：由三视图判断几何体．14．一组从小到大排列的数据：a ，3，4，4，6(a 为正整数)，唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）A ．3.6B ．3.8C ．3.6或3.8D ．4.2【答案】C ．【解析】考点：众数；算术平均数．15．如图，某工厂有两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通。

黑龙江省龙东地区20XX年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：Array1、考试时间120分钟二、选择题（每题3分，满分30分）11.下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．()3532b a ba = B ．()632273a a = C ．326x x x =÷ D ．()222b a b a +=+12.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D13.如图,是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图,则小立方体的个数可能是 （ ）AB C D 第15题图A ．＞1 B. ≥1 C. ≥1且≠9 D. ≤1 18.如图,在矩形ABCD 中,AD=4,∠DAC=30°,点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是 （ ） A.2 B.32 C. 4 D.33819.“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有 （ ）A.4种B.5种C.6种D.7种20.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点,且AE=FD,连接BE 、CF 、BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH.下列结论正确的个数是（ ） ①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE ④S △HDG : S △HBG =tan ∠DAG ⑤线段DH 的最小值是252-三、解答题（满分60分） 21.（本题满分5分）先化简，再求值：12123322--+-÷-a aa a a a a ,其中=a 1+2cos60°22.（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，2）请解答下列问题: （1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B 1C 1，并写出A 1的坐标. （2）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到的△A 2BC 2，并写出A 2的坐标.（3）画出和△A 2BC 2关于原点O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出A 3的坐标. F E H D A G BC 第20题图第22题图23.（本题满分6分）如图，Rt △A O B 的直角边O A 在x 轴上，O A=2，AB=1，将Rt △A O B 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △C O D ，抛物线y=c bx x ++-265经过B 、D 两点.（1）求二次函数的解析式.（2）连接BD ，点P 是抛线上一点，直线O P 把△B O D 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标.24.（本题满分7分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》,《挑战不可能》,《最强大脑》,《超级演说家》,《地理中国》五种电视节目的喜爱程度,随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查(每人只能选择一种喜爱的电视节目),并将获得的数据进行整理,绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查中共抽取了______名学生. （2）补全条形统计图.（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在扇形的圆心角是___ _度. （4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？第23题图中国 大脑 演说家 诗词大会 不可能25.（本题满分8分）在甲、乙两城市之间有一服务区,一辆客车从甲地驶往乙地,一辆货车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶.客车、货车离服务区的距离y1(千米),y2(千米)与行驶的时间x(小时)的函数关系图象如图1所示.(1)甲、乙两地相距千米.(2)求出发3小时后,货车离服务区的路程y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式.(3)在客车和货车出发的同时,有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计）,邮政车离服务区的距离y3(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象如图2中的虚线所示,直接写出在行驶的过程中,经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等?第25题图26.（本题满分8分） 己知:△A O B 和△C O D 均为等腰直角三角形, ∠A O B=∠C O D=90°.连接AD 、BC,点H 为BC 中点,连接O H. (1)如图1所示,易证: O H=21AD 且O H ⊥AD(不需证明). (2)将△C O D 绕点O 旋转到图2、图3所示位置时，线段O H 与AD 又有怎样的关系.并选择一个图形证明你的结论.第26题图图2 B A DO C H ADB O 图3C H 图1 B A O CH27.（本题满分10分） 为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展.20XX 年春,预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数)，青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍.经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷、青椒1.5万元/公顷、马铃薯2万元/公顷.设种植西红柿x 公顷,总利润为y 万元.(1)求总利润y (万元)与种植西红柿的面积x (公顷)之间的关系式. (2)若预计总利润不低于180万元,西红柿的种植面积不低于8公顷,有多少种种植方案? (3)在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的81在冬季同时建造A 、B 两种类型的温室大棚,开辟新的经济增长点.经测算，投资A 种类型的大棚5万元/个、B 种类型的大棚8万元/个,请直接写出有哪几种建造方案?28.(本题满分10分)如图,矩形A O CB 的顶点A 、C 分别位于x 轴和y 轴的正半轴上,线段O A 、O C 的长度满足方程01315=-+-y x (O A ＞O C),直线b kx y +=分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点.将△BCN 沿直线BN 折叠,点C 恰好落在直线MN 上的点D 处,且tan ∠CBD =43. (1)求点B 的坐标.(2)求直线BN 的解析式.(3)将直线BN 以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向下平移,求直线BN 扫过矩形A O CB 的面积S 关于运动的时间t(0＜t ≤13)的函数关系式.第28题图黑龙江省龙东地区20XX 年初中毕业学业统一考试数学试题参考答案及评分标准一、填空（每题3分，共30分）1.8×10102.x ≠13.AB=DE(BC=EF, DF=AC)等4. 55.a ≥16.39.57.34316-π8.1324+π 9.4或34 或74 10.（2016332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,0)或写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3210082016或⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛0,322016二、选择题（每题3分，共30分）11.B 12.A 13.D 14.C 15.D 16. B 17. C 18 B 19. A 20.C 三、解答题（满分60分） 21.（本题满分5分） 解：原式=aa )1(3-·22)1(-a a -12-a a ……………………………………… 2分 =1-a a . …………………………………………………… 1分当a=2cos60°+1=2时， ………………………………………… 1分原式=2. ……………………………………………………1分22. （本题满分6分）解; ⑴正确画出对称后的图形 ………………………………………1分 A 1（-2，2）………………………………………1分⑵正确画出旋转后的图形 ………………………………………1分 A 2（4，0）………………………………………1分⑶正确画出成中心对称的图形 ………………………………………1分 A 3（-4，0）………………………………………1分 23. （本题满分6分） 解：（1）由题意得，△AOB ≌△COD ∴OC=OA=2，CD=AB=1.∴ B （2，1） D （-1，2）………………………………………………………1分 ∵抛物线y=c bx x ++-265经过B 、D 两点.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--⨯-=++⨯-2)1(651226522c b c b∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21310b c ……………………… … …… … 1分 ∴二次函数解析式是10152++-=x x y ……………1分(2) ∵直线OP 把△B O D 分成周长相等的两部分∴直线OP 必过线段BD 的中点（23,21） …………1分∴直线OP 的解析式y op =3x …………1分∵点P 是抛物线31021652++-=x x y 和直线y op =3x 的交点∴⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy∴P （1，3）或P （-4，-12）………………………………2分24. （本题满分7分）解：(1)本次共调查学生200%1530=（人）. ………………………………1分（2）补全条形图的高度是50.………………………………2分（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在扇形的圆心角是36度.…………………2分 （4）估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人.……2分 25. （本题满分8分） 解：（1）甲、乙两地相距480 千米………………………………2分（2）设出发3小时，货车离服务区的路程y 2与时间x 的关系式为y 2=kx+b （k ≠0）， 则 ⎩⎨⎧=+=+3601203b k b k ………………………………………………………1分解得:⎩⎨⎧-==12040b k ………………………………………………………1分∴y 2=40x-120 ………………………………………………………1分（3）经过1.2小时、 4.8小时、 7.5小时 邮政车与客车和货车的距离相等 ……3分 26. （本题满分8分） 解：（1）图2的结论为：OH=21AD …………………………………1分 OH ⊥AD ………………………………1分 图3的结论为: OH=21AD ………………………………1分 OH ⊥AD ………………………………1 (2) 选图2的结论证明如下：证明: 延长OH 到点Q 使OH=HQ,连接QC 易证△BHO ≌△CHQ ∴∠BOH=∠Q OH=21OQ ∵等腰Rt △AOB 和等腰Rt △COD ∴∠AOD=180°-∠COBA∠QCO=180°-(∠QOC+∠Q)=180°-∠COB∴∠AOD= ∠QCO易证△QCO ≌△AOD∴∠Q=∠OAD而∠AOC+∠COB=90°∴∠AOC+∠COQ+∠OAD=90°即OH ⊥AD ………………………2分 而OM=21OQ OQ=AD ∴OH=21AD ………………………2分 ∴OH=21AD OH ⊥AD 选图3的结论证明如下：证明:延长OH 到点Q 使OH=HQ,连接QC易证△BHO ≌△CHQ∴∠BOH=∠Q OH=21OQ ∵等腰Rt △AOB 和等腰Rt △COD∴∠BOC+∠AOD=180° ∴∠BOC=∠OAD+∠ADO ∴∠Q+∠COQ=∠OAD+∠ADO ∴∠AOD=∠OCQ 易证△QCO ≌△AOD∴∠Q=∠OAD而∠BOQ+∠AON=90°∴∠DAO+∠AON=90°即OH ⊥AD ………………………2分 而OM=21OQ OQ=AD ∴OH=21AD ………………………2分 ∴OH=21AD OH ⊥AD27. （本题满分10分）解（1）由已知可得：y=x+1.5×2x+2(100-x-2x)y=-2x+200 …………………………………………3分 Q 图2 BA DO C H 图3(2) 由已知可得：则⎩⎨⎧≥≥+-81802002x x ， …………………………1分解得8≤x ≤10. …………………………………………………………………1分 ∵x 为整数 ，∴x 可取8、9、10.∴有三种购买方案……………………………………………………………1分（3）方案一：建造A 种类型大棚1个；B 种类型大棚1个……………1分方案二：建造A 种类型大棚1个；B 种类型大棚2个……………1分方案三：建造A 种类型大棚2个；B 种类型大棚1个……………1分方案四：建造A 种类型大棚3个；B 种类型大棚1个……………1分28 .（本题满分10分）解：（1）∵01315=-+-y x ∴ x=15 ， y=13 . ………………………………………………1分 ∵O A 、O C 的长度满足方程01315=-+-y x (O A ＞O C)∴OA=15 ， OC=13. ……………………………………………………1分∴B(15,13). ………………………………………………………… 1分(2)过点D 作直线EF ∥x 轴,分别交OC 、BA 边于E 、F∴∠CBD=∠BDF∵tan ∠CBD =43 ∴tan ∠BDF = tan ∠CBD =DF BF =43 ………………………………1分 ∴在Rt △BDF 中，BD=15，由勾股定理得：BF=9，DF=12∴DE=3在Rt △DEN 中，DE=3，NE+DN=9 由勾股定理得DN=5 NE=4∴点N （0，8）, ………………………………1分设直线BN 解析式是y BN =kx+b∵N （0，8） B(15,13)∴y BN =831+x . ………………………………1分（3）S=15t ………………………………1分(0<t ≤8) …………………………1分S=9639232-+-t t ………………………………1分 (8<t ≤13) …………………………1分注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分.。

龙东中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. √2C. 3.14D. 1/3答案：B2. 一个二次函数的图像开口向上，且经过点(1,0)和(-1,0)，下列哪个选项是该二次函数的对称轴？A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 14答案：B4. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. ±3B. 3C. -3D. 9答案：A5. 下列哪个选项是不等式2x - 3 > 5的解集？A. x > 4B. x < 4C. x > 1D. x < 1答案：A6. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，那么它的体积是多少？A. 60cm³B. 48cm³C. 36cm³D. 12cm³答案：A8. 一个等差数列的前三项分别为2、5、8，那么它的第10项是多少？A. 27B. 29C. 31D. 23答案：C9. 一个正五边形的内角和是多少？A. 540°B. 360°C. 720°D. 1080°答案：A10. 一个函数y = 2x + 3的图像与x轴的交点坐标是什么？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是_________。

答案：512. 如果一个数的立方等于-8，那么这个数是_________。

答案：-213. 一个圆的周长为12π，那么它的半径是_________。

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. πD. √02. 已知a、b是实数，且a + b = 0，则下列等式中正确的是（）A. a^2 = b^2B. a = bC. a^2 = -b^2D. a^2 = b^2 且 a = b3. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于x轴的对称点是（）A.（-1，-2）B.（1，-2）C.（-1，2）D.（1，2）4. 下列函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（）A. y = √xB. y = 1/xC. y = |x|D. y = x^2 - 15. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形6. 在下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，3，5，7，9B. 2，4，6，8，10C. 1，4，7，10，13D. 3，6，9，12，157. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直B. 直角三角形的斜边中点到顶点的距离等于斜边的一半C. 对顶角相等D. 直线与平面垂直，则直线上的任意一点都在平面上8. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 259. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = x^2D. y = -x^210. 已知函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点（2，3），则下列选项中正确的是（）A. k > 0，b > 0B. k < 0，b < 0C. k > 0，b < 0D. k < 0，b > 0二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。

12. 在直角坐标系中，点B（3，-4）到原点的距离是______。

黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）（•黑龙江）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，全省粮食总产量达到1152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓，1152亿斤用科学记数法表示为 1.152×1011斤．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将1152亿用科学记数法表示为1.152×1011．故答案为：1.152×1011．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x≠0 解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）（•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：AD=DC，使得平行四边形ABCD为菱形．考点：平行四边形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．4．（3分）（•黑龙江）风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为．考点：概率公式．分析：由风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，∴选出一人担任班长，则组长是男生的为：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（•黑龙江）若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=﹣2．考点：一元二次方程的解．分析：先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．解答：解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；故答案为：﹣2．点评：此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．6．（3分）（•黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．考点：二次函数的性质分析：因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标．解答：解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3是顶点式，∴顶点坐标为（5，3）．故答案为：（5，3）．点评：此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．（3分）（•黑龙江）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为2 cm．考点：圆锥的计算．分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．解答：解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的高是：=2cm．故答案是：2．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（3分）（•黑龙江）李明组织大学同学一起去看电影《致青春》，票价每张60元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1200元，他们共买了20或25张电影票．考点：一元一次方程的应用．专题：分类讨论．分析：本题分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论，根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．解答：解：①1200÷60=20（张）；②1200÷（60×0.8）1200÷48=25（张）．答：他们共买了20或25张电影票．故答案为：20或25．点评：考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．．9．（3分）（•黑龙江）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若=2，则=或．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：分类讨论．分析：根据已知分别根据F在线段AB上后在AB的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出的值．解答：解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题关键．10．（3分）（•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为（）n．考点：等边三角形的性质专题：规律型．分析：由AB1为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n 的面积为（）n．故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3分）（•黑龙江）下列运算中，计算正确的是（）A．（x3）2=x5B．x2+x2=2x4C．（﹣2）﹣1=﹣D．（a﹣b）2=a2﹣b2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、（x3）2=x6，本选项错误；B、x2+x2=2x2，本选项错误；C、（﹣2）﹣1=﹣，本选项正确；D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误，故选C点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．12．（3分）（•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．析：解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．13．（3分）（•黑龙江）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（）A．4B．5C．6D．7考点：由三视图判断几何体．分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．解答：解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2=6个．故选C．点评：考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．14．（3分）（•黑龙江）下表是我市某中学九年级（1）班右眼视力的检查结果：视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 6 1 1 5 9 6 根据表中提供的信息，这43名同学右眼视力的众数和中位数分别是（）A．4.9，4.6 B．4.9，4.7 C．4.9，4.65 D．5.0，4.65考点：众数；中位数．分析：根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：视力为4.9的学生人数最多，故众数为4.9；共43为学生，中位数落在第22为学生处，故中位数为4.6．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．15．（3分）（•黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA →→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：根据当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧BA上运动时，距离不变；在BO上运动时，越来越近，即可得出答案．解答：解：利用图象可得出：当爸爸在半径AO上运动时，离出发点距离越来越远；在弧AB上运动时，距离不变；在OB上运动时，越来越近．故选：C．点评：此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象．16．（3分）（•黑龙江）已知关于x 的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1考点：分式方程的解．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．解答：解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠﹣1，∴a≤﹣1且a≠﹣2，∴a≤﹣1且a≠﹣2．故选B．点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．17．（3分）（•黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3B．2C．3D．2考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．分析：首先根据AB=BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．解答：解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=∠C=30°，∵AD为直径，AD=6，∴∠ABD=90°，∵∠D=30°，∴AB=AD=3．故选A．点评：本题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．18．（3分）（•黑龙江）如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y=的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA，∠ACO=60°，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2考点：反比例函数综合题．分析：根据三角形外角性质得∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，易得OA=OC=4，然后再Rt△AOB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OC=2，AB=OB=2，则可确定C点坐标为（﹣2，2），最后把C点坐标代入反比例函数解析式y=中即可得到k的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ACO=60°，∴∠OAC=∠AOB﹣∠ACB=30°，∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC=4，在△AOB中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，∴∠OAB=30°，∴OB=OC=2，∴AB=OB=2，∴C点坐标为（﹣2，2），把C（﹣2，2）代入y=得k=﹣2×2=﹣4．故选B．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．19．（3分）（•黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种考点：二元一次方程的应用．分析：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，就可以得出7x+5y≤50，x≥3，y≥3，根据解不定方程的方法求出其解即可．解答：解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤50，∵x≥3，y≥3，∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜50，当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜50，当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜50，当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞50舍去，当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜50，当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜50，当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞50舍去，当x=5，y=3时，7×5+5×3=50=50，综上所述，共有6种购买方案．故选D．点评：本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点．20．（3分）（•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．三、简答题（满分60分）21．（5分）（•黑龙江）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x=2sin45°+1．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．分析：先通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后求出x的值，再把它代入原式，进行计算即可．解答：解：（1﹣）÷=•=，当x=2sin45°+1=2×+1=+1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的化简步骤和特殊角的三角函数值，关键是把分式化到最简，然后代值计算．22．（6分）（•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．解答：解：（1）如图所示：A1的坐标为：（﹣3，6）；（2）如图所示：∵BO==，∴==π．点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换，根据已知得出对应点位置是解题关键．23．（6分）（•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF 的面积．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）根据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），∴EF=4，过点D作DM⊥y轴于点M．∴S△DEF=EF•DM=8．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．24．（7分）（•黑龙江）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学1分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数．（3）若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀？（4）请你根据以上信息，对我市开展的学生跳绳活动谈谈自己的看法或建议．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用95≤x＜115的人数是8+16=24人，所占的比例是12%即可求解；（2）求得范围是115≤x＜145的人数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的比例即可求解；（3）首先求得所占的比例，然后乘以总人数8000即可求解；（4）根据实际情况，提出自己的见解即可，答案不唯一．解答：解：（1）抽查的总人数：（8+16）÷12%=200（人）；（2）范围是115≤x＜145的人数是：200﹣8﹣16﹣71﹣60﹣16=29（人），则跳绳次数范围135≤x≤155所在扇形的圆心角度数是：360×=81°．；（3）优秀的比例是：×100%=52.5%，则估计全市8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：8000×52.5%=4200（人）；（4）全市达到优秀的人数有一半以上，反映了我市学生锻炼情况很好．点评：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．25．（8分）（•黑龙江）秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面．兴华农场积极想办法，决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收，工作了4天，由于雨雪过大，机械收割被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的，第8天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6天，完成了兴化农场所有的收割任务．图1是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图2是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x天之间的函数图象，请结合图象回答下列问题．（1）请直接写出：A点的纵坐标600．（2）求直线BC的解析式．（3）第几天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意可知a=8，再根据图2求出4到8天时的人工收割量，然后求出前4天的人工收割的量即可得到点A的纵坐标；（2）先求出点B、C的坐标，再设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后列出方程求解，再求出直线EF 的解析式，根据10倍关系列出方程求解，从而最后得解．解答：解：（1）由题意可知，a=8，所以，第4到8的人工收割作物：26200﹣25800=400（亩），所以，前4天人工收割作物：400÷=600（亩），故点A的纵坐标为600；（2）∵600+400=1000，∴点B的坐标为（8，1000），∵34800﹣32000=2800，∴点C的坐标为（14，2800），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC的解析式为y=300x﹣1400；（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，∵A（4，600），B（8，1000），∴，解得，所以，y=100x+200，由题意得，10（100x+200）=8000，解得x=6；设直线EF的解析式为y=k2x+b2，∵E（8，8000），F（14，32000），∴，解得，所以，直线EF的解析式为y=4000x﹣24000，由题意得，4000x﹣24000=10（300x﹣1400），解得x=10．答：第6天和第10天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，题目信息量较大，理解两个图象并准确获取信息，确定出题目中的数量关系是解题的关键．26．（8分）（•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．考点：正方形的性质；矩形的性质；旋转的性质专题：证明题．分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解答：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：AF﹣BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．27．（10分）（•黑龙江）为了落实提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元．（1）请问有几种开发建设方案？（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据投入资金不超过200万元，又不低于198万元列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x是正整数解答；（2）设总W元，建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据总等于A、B两个型号的之和列式函数关系式，再根据一次函数的增减性解答；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，根据再建设的两种户型的资金等于（2）中方案节省的资金列出二元一次方程，再根据a、b都是正整数求解即可．解答：解：（1）设建设A型x套，则B型（40﹣x）套，根据题意得，，解不等式①得，x≥15，解不等式②得，x≤20，所以，不等式组的解集是15≤x≤20，∵x为正整数，∴x=15、16、17、18、19、20，答：共有6种方案；（2）设总W万元，建设A型x套，则B型（40﹣x）套，W=5.2x+4.8×（40﹣x）=0.4x+192，∵0.4＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元；（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，则（5.2﹣0.7）a+（4.8﹣0.3）b=15×0.7+（40﹣15）×0.3，整理得，a+b=4，a=1时，b=3，a=2时，b=2，a=3时，b=1，所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；②A型住房2套，B型住房2套；③A型住房3套，B型住房1套．点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理清题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键，（2）利用一次函数的增减性求最值要注意自变量的取值范围．28．（10分）（•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．。

龙东五地市2023中考数学试卷及解析全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：龙东五地市2023年中考数学试卷第一部分选择题（共80分）1. 已知直角三角形的直角边长分别为3cm和4cm，则斜边长是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm2. 若一个数自减去1的3倍，再乘以2，得到的结果是30，这个数是（）A. 15B. 16C. 17D. 184. 小明的爷爷今年68岁，小明今年8岁，几年以后小明的爷爷的年龄是小明的3倍？A. 12年B. 16年C. 20年D. 24年7. 甲、乙两人一起进行搬砖工作，甲每小时搬3块，乙每小时搬4块，若两人一起工作4小时，共搬砖48块，求甲、乙两人各自搬了多少块砖？A. 16，32B. 12，36C. 14，34D. 18，308. 小华每天早上骑自行车上学，平均速度为20km/h；放学后坐公交车回家，平均速度为30km/h。

如果上学和放学的路程相等，求他来回一次的总时间为多少小时？A. 2B. 3C. 4D. 510. 不等式2x + 3 > 7的解集为（）A. {x|x > 2}B. {x|x > 1}C. {x|x > 3}D. {x|x > 4}11. 若a + 3 = 7，则a的值是__________13. 小李有一堆苹果，其中一半是红色的，一半是绿色的，若共有12个红苹果，则小李手中一共有__________ 个苹果。

14. 三角形的三边长分别是5cm、8cm、9cm，其中最长的边所对的角的度数是__________ 度。

15. 不等式4x - 7 < 17的解集为{x|x < ________}18. 已知正方形的一边长为5cm，求其周长和面积分别为多少？周长为__________，面积为__________21. 解方程：5x + 3 = 1822. 某商店原价销售一种商品100元，后来打8折出售，求打折后的价格。

2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2•2a2＝2a4B．x8÷x2＝x4C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣9x62．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．6B．7C．8D．94．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A．3.6B．3.8或3.2C．3.6或3.4D．3.6或3.25．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠06．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），∠ABC＝120°，则k的值是（）A．5B．4C．3D．27．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8且k≠2D．k＜4且k≠﹣2 8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S 菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．69．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F 在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）5G信号的传播速度为300000000m/s，将数据300000000用科学记数法表示为．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝°．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为．20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A 1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O 2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝3tan30°﹣3．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）BE与MN的数量关系是．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D 点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M 同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2•2a2＝2a4B．x8÷x2＝x4C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣9x6【解答】解：A、a2•2a2＝2a4，故此选项计算正确；B、x8÷x2＝x6，故此选项计算错误；C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项计算错误；D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，故此选项计算错误；故选：A．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第一列一定有2个且只能是2个，第二行第一列一定有3个且只能是3个；第一行第二列和第二行第二列，这两个位置至少有一个地方有一个，不能都没有，但可以都有1个，所以最多有：2+1+3+1＝7（个）．故选：B．4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（）A．3.6B．3.8或3.2C．3.6或3.4D．3.6或3.2【解答】解：∵从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴x＝2或x＝1，当x＝2时，这组数据的平均数为＝3.6；当x＝1时，这组数据的平均数为＝3.4；即这组数据的平均数为3.4或3.6，故选：C．5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞4D．k≤且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，解得：k≤．故选：B．6．（3分）如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），∠ABC＝120°，则k的值是（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝AD，AC⊥BD，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点B（﹣1，1），∴OB＝，∴AO＝＝，设直线BD的解析式为y＝mx，∴1＝﹣m，∴m＝﹣1，∴直线BD的解析式为y＝﹣x，∴直线AC的解析式为y＝x，∵OA＝，∴点A的坐标为（，），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝＝3，故选：C．7．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8且k≠2D．k＜4且k≠﹣2【解答】解：分式方程﹣4＝，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．故选：B．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S ＝48，则OH的长为（）菱形ABCDA．4B．8C．D．6【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m+20n+30＝200，整理得m+2n＝17，∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；当C种奖品个数为2个时，根据题意得10m+20n+60＝200，整理得m+2n＝14，∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有8+6＝14种购买方案．故选：D．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F 在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∴S△AEF∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）5G信号的传播速度为300000000m/s，将数据300000000用科学记数法表示为3×108．【解答】解：300000000＝3×108．故答案为：3×108．12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【解答】解：添加的条件是：AB＝ED，理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），故答案为：AB＝ED．14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为＝，故答案为：．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是6＜a≤8．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＜0，得：x＜，则不等式组的解集为1＜x＜，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组的整数解为2、3，则3＜≤4，解得6＜a≤8，故答案为：6＜a≤8．16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝50°．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为10cm．【解答】解：∵S＝l•R，∴•l•15＝150π，解得l＝20π，设圆锥的底面半径为rcm，∴2π•r＝20π，∴r＝10（cm）．故答案为：10．18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为4．【解答】解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，∠ADB＝45°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝45°，∵D，T关于AE对称，∴AD＝AT＝4，∠TAE＝∠EAD＝45°，∴∠TAD＝90°，∵∠BAD＝90°，∴B，A，T共线，∴CT＝＝4，∵EG＝CD，EG∥CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴CG＝DE，∴EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，∵TE+EC≥TC，∴EC+CG≥4，∴EC+CG的最小值为4．故答案为：4．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为或．【解答】解：分两种情况：①当点B'落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，∴∠BAE＝∠B'AE＝∠BAD＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝1，AE＝AB＝；②当点B'落在CD边上时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，B'E＝BE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，B'D＝＝，在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB'∽△B'CE，∴＝，即＝，解得：a＝，或a＝﹣（舍去），∴BE＝a＝，∴AE＝＝＝；综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A 1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O 2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标（2×32020﹣1，32020）．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B3（53，27），B4（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝3tan30°﹣3．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝3tan30°﹣3＝3×﹣3＝﹣3时，原式＝＝＝1﹣．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（0，2）；（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（﹣3，﹣3）；（3）如图，∵BC＝＝4，∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：+×3×4＝8π+6．23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝（﹣1+3）÷2＝1，当x＝0时，y＝3，则C（0，3），点C关于对称轴的对应点P1（2，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1．则直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x+m，则1+m＝0，解得m＝﹣1．则与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x﹣1，联立抛物线解析式得，解得，（舍去）．P2（4，﹣5）．综上所述，P1（2，3），P2（4，﹣5）．24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．【解答】解：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是：＝100.8，∵100.8＞99，∴超过全校的平均次数；（2）这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，因为4+13+19＝36，所以中位数一定在100～120范围内；（3）该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2＝33（人），故从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【解答】解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式为y＝50x+50；（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，解方程组得；设CD的函数解析式为y＝cx+d，由CD经过（8，0），（6，200）可得：，解得，∴CD的函数解析式为y＝﹣100x+800，解方程组得，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．（1）BE与MN的数量关系是BE＝NM．（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【解答】解：（1）如图①中，∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM∥BE，PM＝BE，∵BN＝DN，AP＝PB，∴PN∥AD，PN＝AD，∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN是等腰直角三角形，∴MN＝PM，∴MN＝•BE，∴BE＝MN，故答案为BE＝MN．（2）如图②中，结论仍然成立．理由：连接AD，延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠ABH）＝180°﹣（45°+∠HAC+∠ABH）＝∠180°﹣（45°+∠HBC+∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM＝BE，PN∥AD，PN＝AD，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∴BE＝2PM＝2×MN＝MN．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．【解答】解：（1）依题意，得：，解得：．答：m的值为10，n的值为14．（2）依题意，得：，解得：58≤x≤60．又∵x为正整数，∴x可以为58，59，60，∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．（3）购买方案1的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）；购买方案2的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）；购买方案3的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）．∵516＜518＜520，∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，解得：a≤．答：a的最大值为．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D 点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M 同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝3；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵AB 长是x 2﹣3x ﹣18＝0的根，∴AB ＝6，AB ＝﹣3（舍去），∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ＝6，∠BCD ＝90°，∵∠DBC ＝30°，∴BD ＝2CD ＝12，BC ＝CD ＝6，∵∠DBC ＝30°，CN ⊥BD ，∴CN ＝BC ＝3，故答案为：3．（2）如图，过点M 作MH ⊥BD 于H ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝30°，∴MH ＝MD ＝t ，∵∠DBC ＝30°，CN ⊥BD ，∴BN ＝CN ＝9，当0＜t ＜时，△PMN 的面积s ＝×（9﹣2t ）×t ＝﹣t 2+t ；当t ＝时，点P 与点N 重合，s ＝0，当＜t ≤6时，△PMN 的面积s ＝×（2t ﹣9）×t ＝t 2﹣t ；（3）如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当PN＝PM＝9﹣2t时，∵PM2＝MH2+PH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2t﹣t）2，∴t＝3或t＝，∴BP＝6或，当BP＝6时，∵∠DBC＝30°，PE⊥BC，∴PE＝BP＝3，BE＝PE＝3，∴点P（3，3），当BP＝时，同理可求点P（，），当PN＝NM＝9﹣2t时，∵NM2＝MH2+NH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2，∴t＝3或24（不合题意舍去），∴BP＝6，∴点P（3，3），综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．。

一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 252. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 45°C. 30°D. 90°3. 若函数f(x)=2x-3在区间[1,2]上单调递增，则函数g(x)=x^2-4x+5在区间[1,2]上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B，若AB的中点坐标为(1,0)，且a+b+c=0，则a的值为（）A. -1B. 1C. 0D. -25. 若等比数列{an}的公比q>1，且a1=2，则数列{an^2}的前n项和为（）A. 2n^2B. 4n^2C. 2n(n+1)D. 4n(n+1)6. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (1,2)D. (2,1)7. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)和B(3,4)，则该函数的斜率k为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在△ABC中，若∠A=90°，AB=6，AC=8，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 169. 已知函数f(x)=x^3-3x，则f(-1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 110. 若函数g(x)=|x-2|+|x+3|，则g(x)的最小值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=-2，则数列{an^2}的前n项和为（）A. 3n^2B. 2n^2C. 4n^2D. 5n^212. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=-x的对称点坐标为（）A. (-3,2)B. (-2,3)C. (3,-2)D. (2,-3)13. 若一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)和B(3,4)，则该函数的截距b为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 在△ABC中，若∠A=90°，AB=6，AC=8，则∠B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°15. 已知函数f(x)=x^3-3x，则f(1)的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 116. 若函数g(x)=|x-2|+|x+3|，则g(x)的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 817. 已知等比数列{an}的公比q<1，且a1=4，则数列{an^2}的前n项和为（）A. 4n^2B. 2n^2C. 8n^2D. 16n^218. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=2x的对称点坐标为（）A. (-1,1)B. (-2,3)C. (1,2)D. (3,2)19. 若一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)和B(3,4)，则该函数的斜率k为（）A. 1B. 2C. 3D. 420. 在△ABC中，若∠A=90°，AB=6，AC=8，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）21. 已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则a10的值为______。

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题一、选择题（每题3分，满分30分）1. 下列运算中，计算正确的是（ ）A. ()222b a b a -=-B. 326a a a ⋅=C. ()224x x -=D. 623a a a ÷= 【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．【详解】()2222b b b a a a =--+，故A 选项错误，不符合题意； 2326a a a ⋅=，故B 选项错误，不符合题意；()224x x -=，故C 选项正确，符合题意；624a a a ÷=，，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形 ∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A. 181B. 175C. 176D. 175.5 【答案】D【解析】【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，∴这6个数据的中位数为175176175.52+=，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B【解析】【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538+=个．故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A. 8B. 10C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可． 【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=， 解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 6. 已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A. 4m >B. 4m <C. 4m >且5m ≠D. 4m <且1m ≠【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】 【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得，15x +20y =360，即3x +4y =72，∴y =18-34x ． 又∵x ，y 均为正整数，∴415x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩或129x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或203x y =⎧⎨=⎩， ∴班长有5种购买方案．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】D【解析】 【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∵四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，∴1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ， ∴AB ⊥y 轴，∵点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上， ∴3,22COB COA k S S ==- ， ∴35222AOB COB COA k S S S =+=-= ， 解得：2k =-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．9. 如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（ ）A 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3【答案】A【解析】【分析】连接DE ，取AD 的中点G ，连接EG ，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD ⊥BC ，BD =CD ，再由E 是AB 的中点，G 是AD 的中点，求出S △EGD =3，然后证△EGP ≌△FDP （AAS ），得GP =CP =1.5，从而得DG =3，即可由三角形面积公式求出EG 长，由勾股定理即可求出PE 长．.【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=112422ABCS=⨯=12，∵E是AB的中点，∴S△AED=111222ABDS=⨯=6，∵G是AD的中点，∴S△EGD=11622AEDS=⨯=3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=12CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=12GD EG⋅=3，即1332EG⨯=，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．10. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A. ①②④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①③④⑤【答案】B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌ 得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌ 得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒； ③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽ 得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG ∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误； ⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌ ，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S ⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO ⋅⋅-===⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC== 设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠====- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌ ，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形 所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11. 我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．【答案】81.8910⨯【解析】【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a ⨯的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910⨯，故答案为：81.8910⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．12. 函数y =中自变量x 的取值范围是______．【答案】 1.5x ≥【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x -≥，∴ 1.5x ≥；故答案为： 1.5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．13. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．【答案】OB =OD （答案不唯一）【解析】【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在△AOB 和△COD 中，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB COD ≌（SAS ）故答案为OB =OD （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键． 14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________． 【答案】13【解析】【分析】利用概率公式计算即可．【详解】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球， ∴摸到红球的概率是21243=+， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15. 若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．【答案】2a ≥##2a ≤【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a -⎧⎨-<⎩＜①②， 解不等式①得：2x ＜，解不等式②得：x a ＜，关于x 的不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x ＜， 2a ∴≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 16. 如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm ．【答案】【解析】【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由垂径定理和圆周角定理可得12AD BD AB ==，120AOB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得30OAB OBA ==︒∠∠，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，12AD BD AB ∴==，90ODA =∠°， 60ACB ∠=︒，120AOB ∴∠=︒，OA OB = ，30OAB OBA ∴∠=∠=︒，3cm OA = ，3cm 2OD ∴=，AD ∴==，AB ∴=，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．17. 若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ． 【答案】53【解析】【分析】由于圆锥的母线长为5cm ，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2πr cm ，所以侧面展开图的弧长为2πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于r 的方程，解方程即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r cm ，则圆锥底面周长为：2r πcm ，∴侧面展开图的弧长为：2r πcm ，∴12052=180ππ⨯r ， 解得：r =53， 故答案：53． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．【解析】【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，为∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA =OC ，O =OD ，AD =AB =3，∵∠BAD =60°，∴△ABD 等边三角形，∴BD =AB =3，∠BAO =30°，∴OB =32， ∴OA∴点O 关于AB 的对称点F ，∴OF ⊥AB ，OF =2OG =OA∴∠AOG =60°，∵CE ⊥AH 于E ，OA =OC ，∴OE =OC =OA∵AH 平分∠BAC ，∴∠CAE =15°，∴∠AEC =∠CAE =15°，∴∠DOE =∠AEC +∠CAE =30°，∴∠DOE +∠AOG =30°+60°=90°，∴∠FOE =90°，∴由勾股定理，得EF==,∴PO +PE 最小值．． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 是解题的关键．19. 在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．是【答案】313或154或6 【解析】【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ， ∴AB BP PC CE=，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，∴∠AED +∠PEC =90°，∵∠DAE +∠AED =90°，∴∠DAE =∠PEC ，∵∠C =∠D =90°，∴△ADE ∽△ECP ， ∴AD DE CE PC =，即12944PC-=，解得：53PC =， ∴313BP BC PC =-=； 如图，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得∠BAF =∠ABP =∠F =90°，∴四边形ABPF 为矩形，∴PF =AB =9，AF =PB ，∵∠PAF +∠DAE =90°，∠PAF +∠APF =90°，∴∠DAE =∠APF ，∵∠F =∠D =90°，∴△APF ∽△EAD ， ∴AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6． 故答案为：313或154或6 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322O A O A =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【解析】【分析】先求出11A B =，可得11OA B S = ，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2:2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =∴点(1B ，∴11A B =，∴11112OA B S =⨯= ， ∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32……∶OA n 2，∵11OA =，212OA OA =，322O A O A =，432OA OA =……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==……12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2n n --= ， ∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．【答案】11a -，【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a 值，然后把a 值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式22222112111a a a a a a a ⎛⎫--+=-⋅ ⎪---⎝⎭ 2121211a a a a -+=⋅-- 11a=-，当2cos3011a =︒+=+时，原式==【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；()15,3A -（2）见解析；()22,4A （3）点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【解析】 【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可； （2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；【小问2详解】如图所示△A 2B 2C 2即为所求，()22,4A ； 【小问3详解】∵115A C ==∴点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802⨯=． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．23. 如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）223y x x =--（2）存在，()11P +，()21P - 【解析】【分析】（1）将点()1,0A -，点()2,3B -，代入抛物线得10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，求出b c ，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得()222314y x x x =--=--，可得D 点坐标，将0x =代入得，3y =-，可得C 点坐标，求出1BCD S =△的值，根据4PBC BCD S S = 可得4PBC S = ，设()2,23P m m m --，则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，求出m 的值，进而可得P 点坐标． 【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -，点()2,3B -， ∴10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--． 【小问2详解】 解：存在．∵()222314y x x x =--=--， ∴()1,4D -，将0x =代入得，3y =-， ∴()0,3C-，∴D 到线段BC 的距离为1，2BC =， ∴12112BCD S =⨯⨯=V ， ∴44PBC BCD S S == ， 设()2,23P m m m --， 则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，整理得，224m m -=，解得11m =+，或21m =，∴()11P +，()21P -，∴存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，点P 的坐标为()11P ，()21P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是： A 组：8.5x < B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人 【解析】【分析】（1）根据统计图中B 组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E 组人数占比为15％，求出E 组人数为10015⨯％人，然后作差求出A 组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D 组人数的占比乘以360︒计算求解即可；（4）根据A B ，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】解：由统计图可知，本次共调查了2020100÷=％（人）， 故答案为：100． 【小问2详解】解：由统计图可知，E 组人数占比为15％， ∴E 组人数为1001515⨯=％（人），∴A 组人数为100204020155----=（人）， ∴补全统计图如图所示【小问3详解】解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100⨯︒=︒， ∴D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒． 【小问4详解】 解：由题意知，5201500375100+⨯=（人） ∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．25. 为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案． 【答案】（1）100 60（2）1001200y x =-+（3）3，6.3，9.1 【解析】【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h 的路程为500km ，乙车5h 的路程为300km ，即可确定各自的速度；（2）设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可． 【小问1详解】解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ， ∴甲速度为：500÷5=100km/h ； 乙车5h 的路程为300km ， ∴乙的速度为：300÷5=60km/h ； 故答案为：100；60； 【小问2详解】设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，的代入得9300120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1001200k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+； 【小问3详解】解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ， 根据图象可得， 当0<t <5时， 100t -60t =120， 解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件； 当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120， 解得：t =6.3； 当8<t <9时， 100（t -8）=120，解得：t =9.2，不符合题意，舍去； 当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120， 解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时，两车之间的距离为120km ．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 26. ABC 和ADE 都是等边三角形．（1）将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．（2）将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1）证明见解析（2）图②结论：PB PA PC =+，证明见解析（3）图③结论：PA PB PC += 【解析】【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．【小问1详解】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合， ∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0， ∴PA PB PC +=或PA PC PB +=； 【小问2详解】解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ≌（SAS ）， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ）， ∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒， ∴AFP 是等边三角形， ∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=； 【小问3详解】解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ≌（SAS ）， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =， ∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒， ∴AFP 是等边三角形， ∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=， 即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．27. 学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元． （1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元（2）有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元 【解析】【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：2325.4m ≤≤，由此即可确定方案；（3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m =时525675550=-⨯+=．【小问1详解】解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩，答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元； 【小问2详解】根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得2325.4m ≤≤，∵m 整数，∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根； 方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根； 方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根； 【小问3详解】设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+ ∵50-<，∴w 随m 的增大而减小，∴当25m =时，w 有最小值，即w 525675550=-⨯+=（元） 答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．为（1）求点C 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP !是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为()7,4（2）()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩（3）存在点P ()4,4或9,42⎛⎫⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP !是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA =，4OB =，再由4tan 3DAB ∠=，可得4OD =，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ∠=∠=︒，即可求解；（2）分两种情况讨论：当07t <…时，当712t <…时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ；当52PC CM ==时；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，即可求解．【小问1详解】解：27120x x -+=，解得13x =，24x =，∵OA OB <，∴3OA =，4OB =， ∵4tan 3DAB ∠=，。

龙东五地市2023中考数学试卷及解析一、试卷总体评价本次试卷对数学知识的考察较为全面，涵盖了数与式、方程与不等式、函数、三角形、圆等知识点。

试卷难度适中，既注重基础知识的考察，又注重了对学生思维能力的考察。

二、选择题1. 以下结论正确的是（） A. 两角及一边分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边平行，这两个三角形是全等三角形 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等正确答案是：D. 三边分别相等的两个三角形全等。

2. 在下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一锐角和夹边相等 B. 一锐角和斜边相等 C. 斜边和一锐角相等 D. 两条直角边分别相等且一条边也相等正确答案是：B. 两角分别相等且其中一组等角的对边平行。

三、填空题3. 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=72°，则∠C的度数为______。

正确答案是：48°。

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=5，则c=______。

正确答案是：4。

四、解答题5. 已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E在直线AD上，且∠BED=90°。

求证：BE²=DE·EC。

证明：在△BDE和△ADC中，∵AB=AC，（已知）∴∠B=∠C，（）∵AD是BC边上的高，（已知）∴∠DAC=∠BED，（）∴△BDE≌△ADC，（）∴DE=CD，（已知） EC=AB-BD，（梯形中位线的性质）∴BE²=DE·EC。

（）综上所述，该题的答案是BE²=DE·EC。

六、圆中的计算问题6. 求出下列各圆的半径（保留小数点后两位）：（1）已知圆中一条弦长为6cm，这条弦的弧所在圆心角是150°；（2）已知圆的直径为6cm，它的一条弦长为6cm。

答案：（1）根据题意，我们可以利用弧长公式计算出圆的半径r。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -5/3B. 2C. √2D. 0.1010010001……2. 已知函数y=2x-1，当x=3时，y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点为（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）4. 下列各式中，正确的是（）A. a²=abB. (a+b)²=a²+2ab+b²C. (a-b)²=a²-2ab+b²D. (a+b)²=a²-2ab+b²5. 若a、b、c为等差数列，且a+b+c=15，a+c=9，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 126. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°7. 若等比数列的前三项分别为2，6，18，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 6D. 98. 已知一元二次方程x²-4x+3=0，则该方程的解为（）A. x=1，x=3B. x=2，x=3C. x=1，x=2D. x=3，x=49. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），则线段AB的中点坐标为（）A.（2，3）B.（2，4）C.（3，2）D.（3，3）10. 若a、b、c为等差数列，且a+b+c=12，abc=27，则b+c的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知函数y=3x+2，当x=0时，y的值为______。

12. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则∠C的度数为______。

13. 若等比数列的前三项分别为1，3，9，则该数列的公比为______。

2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题试卷及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．解：A.，原式计算错误；B. ，原式计算错误；C. ，计算正确；D. ，原式计算错误．故选：C．【点拨】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．【点拨】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．4. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（）A. B. 5 C. 和5 D. 1和3【答案】C【解析】先根据平均数的定义列出关于的方程，求出的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可．解：∵数据的平均数是1，∴，解得，则，∴这组数据的众数是和5，故选：C．【点拨】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念．5. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，依题意得：解得：，（不合题意，舍去），∴小路宽为．故选A．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且【答案】C【解析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非负数，∴，且，∴且，故选：C．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．7. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】B【解析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得，，整理得，，①当时，，∴∵且均为整数，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；②当时，，∴∵且均为整数，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；综上，此次共有6种采购方案，故选：B．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．8. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．解：由题意，设，∵过原点，∴，过点A作于E，∵是等腰三角形，∴，∴，点D的横坐标为，∵底边轴，轴，∴，∴，∴点D的纵坐标为，∴，∴，解得：，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．解：∵矩形的边，，∴，，，由题意知，∴，又∵，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，即，连接，设与交于点F，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴点的坐标是，故选：D．【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．10. 如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（）A. ①②③④⑤B. ①②③⑤C. ①②③D. ①②⑤【答案】B【解析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．解：四边形是正方形，，，，，，，，，故①正确，将沿翻折，得到，，∵，，故②正确，当时，，，，即在同一直线上，，，通过翻折的性质可得，，∴，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故③正确，当点运动到的中点，如图，设正方形的边长为，则，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④错误，，，，，，根据翻折的性质可得，，，，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11. 据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．【答案】【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．5699万，故答案为：．【点拨】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________．【答案】【解析】解：由题意得，，解得．13. 如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件______________，使矩形是正方形（填一个即可）【答案】或【解析】根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形∴还可以添加条件【点拨】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件.14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．【答案】##0.6【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：列表得：红1红2红3白1白2红1（红1，红2）（红1，红3）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红3）（红2，白1）（红2，白2）红3（红3，红1）（红3，红2）（红3，白1）（红3，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，红3）（白1，白2）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，红3）（白2，白1）由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，∴恰好是一红一白的概率是，故答案为：．【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．【答案】##【解析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围．解：解不等式组得：，∵关于的不等式组有3个整数解，∴这3个整数解为，，，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．16. 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________．【答案】34【解析】首先根据等边对等角得到，然后利用外角的性质得到，利用切线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．解：∵，，∴，∴，∵切于点A，∴，∴．故答案为：34．【点拨】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________．【答案】12【解析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．解：根据圆锥侧面积公式变形可得，根据圆锥母线公式，可得，故答案为：12．【点拨】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．18. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________．【答案】##【解析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A.F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．解：如图，在中，，，点是斜边的中点，∴，，，∴，过点A作交的延长线于点G，∴，又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，，∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A.F三点共线时）∴面积最大值，故答案为：．【点拨】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键．19. 矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是__________．【答案】6或或【解析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形，易得点到直线的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．解：由题意矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，可知点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，如图，延长交的另一侧于点E，则此时是直角三角形，点到直线的距离为的长度，即，当过点D的直线与圆相切与点E时，是直角三角形，分两种情况，①如图，过点E作交于点H，交于点G，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，②如图，过点E作交于点N，交于点M，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直线的距离，综上，6或或，故答案为：6或或．【点拨】本题考查了矩形折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E 的运动轨迹是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A 在直线上，顶点B 在x 轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是__________．【答案】【解析】解直角三角形得出，，求出，证明，，得出，，总结得出，从而得出．解：∵，∴，∵轴，∴点A的横坐标为，∵，∴点A的纵坐标为，∴，∴，∵，∴设，则，∴，∴，∴，，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵轴，轴，∴，，∵轴，轴，轴，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：，其中．【答案】，原式【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出，最后代值计算即可．解：，∵，∴原式．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．（2）请画出关于轴对称的．（3）将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；（3）画出旋转后的图形，根据即可得出答案．（1）解：如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）将着原点顺时针旋转，得到，，，，，，，，，，，故线段在旋转过程中扫过的面积为．【点拨】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23. 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，点的坐标为或【解析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．（1）解：因为抛物线经过点和点两点，所以，解得，所以抛物线解析式为：．（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点，（在的左边），（在图中未能显示）．设直线的函数解析式为．因为直线经过点和，所以，解得，所以，直线的函数解析式为：．又，可设直线的函数解析式为，因为直线经过点，所以．解得．所以，直线的函数解析式为．根据题意可知，．又，所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得，化简，得，解得，所以，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：存在，点的坐标为或．【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．24. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________；（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．【答案】（1）40 （2）见解析（3）（4）220人【解析】（1）用A：优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；（2）先求出C：合格的人数，再补全统计图即可；（3）用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；（4）用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案．（1）解：人，∴这次学校抽查的学生人数是人，故答案为：40；（2）解：由（1）得C：合格的人数为人，补全统计图如下所示：（3）解：，∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是，故答案为：；（4）解：人，∴估计该校不合格的人数为220人．【点拨】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．25. 已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中的值是__________；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．【答案】（1）120 （2）（3）或【解析】（1）利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可解答；（2）根据题意可得的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可解答；（3）根据（2）中直线的解析式求得点的坐标，结合题意，可得点的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可．（1）解：结合图象，可得，设直线的解析式为，将代入解析式，可得，解得，直线的解析式为，把代入，得，故答案为：120；（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可得此时出租车距离乙地为，出租车距离甲地为，把代入，可得，解得，货车装完货时，，可得，根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度货车的速度），根据直线的解析式为，可得出租车的速度为，相遇时，货车的速度为，故可设直线的解析式为，将代入，可得，解得，直线的解析式为，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为；（3）解：把代入，可得，解得，，，根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得,，出租车返回时的速度为，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，①出租车和货车第二次相遇前，相距时；可得，解得，②出租车和货车第二次相遇后，相距时；可得，解得，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距．【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．26. 如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】图②中，图③中，证明见解析【解析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则；图③：仿照图②证明是等边三角形，则．解：图②中，图③中，图②证明如下：如图②所示，连接，∵点F，G分别是的中点，∴是的中位线，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；图③证明如下：如图③所示，连接，∵点F，G分别是的中点，∴是的中位线，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）一共有六种购买方案（3）【解析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出．（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，由题意得，，解得，检验，当时，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，由题意得，，解得，∵a是正整数，∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，∴一共有六种购买方案；（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，由题意得，，∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴W的取值与a的值无关，∴，∴．【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点F 和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线的解析式．（2）连接，求的面积S与运动时间t的函数关系式．（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点Q的坐标是或．。