2021年黑龙江省龙东地区中考数学试题(解析版)

数学一．选择题（共10小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣7B．7C．﹣D．【分析】直接利用实数的性质分别得出答案．【解答】解：，故选：D．2．下列运算一定正确的是（）A．a2•a＝a3B．（a3）2＝a5C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a5﹣a2＝a3【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，完全平方公式、合并同类项法则解答即可．【解答】解：A、a2•a＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a5与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．4．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，故选：C．5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（）A．8B．7C．10D．6【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定义求BC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝×8＝6．故选：D．6．方程＝的解为（）A．x＝5B．x＝3C．x＝1D．x＝2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），去括号得：3x﹣1＝4+2x，移项合并得：x＝5，检验：当x＝5时，（2+x）（3x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．7．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．8．一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8，∴摸出的小球是红球的概率为＝，故选：D．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．10．周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（）A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/minC．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min【分析】根据题意可知小辉家与图书馆的距离为1500m，去图书馆花了20分钟，回来时用了15分钟，再根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可求解．【解答】解：由题意，得：小辉从家去图书馆的速度为：1500÷20＝75（m/min）；小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．故选：C．二．填空题（共8小题）11．火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 3.396×106米．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：3396000＝3.396×106．故答案是：3.396×106．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠．【分析】根据当函数表达式是分式时，分母不为0可得答案．【解答】解：7x﹣5≠0，x≠．故答案为：x≠．13．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为﹣10．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，k＝2×（﹣5）＝﹣10．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，故答案为：﹣10．14．计算﹣2的结果是2．【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2×＝3﹣＝2．故答案为：2．15．把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是b（a+5）（a﹣5）．【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a+5）（a﹣5）．故答案为：b（a+5）（a﹣5）．16．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．【分析】根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，∵顶点坐标为（0，﹣2），且a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．17．不等式组的解集是x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x﹣7＜2，得：x＜3，解不等式x﹣5≤10，得：x≤15，则不等式组的解集为x＜3，故答案为：x＜3．18．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为28．【分析】由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，进而可求解BE的长，即可求得BC的长，再根据平行四边形的周长可求解．【解答】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，故答案为28．19一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是cm．【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】10．【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可．【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，＝8π，解得r＝10（cm），故答案为：10．20如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；应用意识．【答案】6．【分析】现根据矩形的性质证明Rt△AFO≌Rt△BEO，然后求出∠BOE＝60°，再解直角三角形即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，∴BC＝2BE＝6，故答案为：6．21先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】分式；运算能力．【答案】，．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式•﹣•＝﹣＝﹣＝＝＝，当a＝﹣1时，原式＝＝．22如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）见解答；（2）FP＝．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；（2）先把DE绕E点逆时针旋转90°得到EQ，则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F，则△DEF满足条件，最后利用勾股定理计算PF．【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；（2）如图，△DEF为所作；FP＝＝．23春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．【考点】用样本估计总体；条形统计图．【专题】统计的应用；运算能力．【答案】（1）60；（2）8，补图见解答；（3）300．【分析】（1）用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数；（2）用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢冰壶项目的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以最喜欢高山滑雪的学生所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24÷40%＝60（名）；（2）最喜欢冰球项目的人数有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），补全统计图如下：（3）根据题意得：1500×＝300（名），答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．24已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．（1）如图1，求证：CE＝BH；（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．【考点】全等三角形的判定；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）证明见解析过程；（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，理由见解析过程．【分析】（1）由正方形的性质可得BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，由“AAS”可证△EDC ≌△HCB，可得CE＝BH；（2）由“AAS”可证△AEG≌△BCG，由“SAS”可证△AEG≌△ABF，△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，∵BM⊥CE，∴∠HMC＝∠ADC＝90°，∴∠H+∠HCM＝90°∠E+∠ECD，∴∠H＝∠E，在△EDC和△HCB中，，∴△EDC≌△HCB（AAS），∴CE＝BH；（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，理由如下：∵AE＝AB，∴AE＝BC＝AD＝CD，∵△EDC≌△HCB，∴ED＝HC，∵AD＝CD，∴AE＝HD＝CD＝AB，在△AEG和△BCG中，，∴△AEG≌△BCG（AAS），∴AG＝BG＝AB，同理可证△AFB≌△DFH，∴AF＝DF＝AD，∴AG＝AF＝DF，在△AEG和△ABF中，，∴△AEG≌△ABF（SAS），同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．25君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B 种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；推理能力．【答案】（1）每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；（2）最多可以购买50支A种型号的毛笔【分析】（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元，由题意列出方程组，即可求解；（2）设A种型号的毛笔为a支，由“总费用不超过420元”列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元；由题意可得：，解得：，答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；（2）设A种型号的毛笔为a支，由题意可得：6a+4（80﹣a）≤420，解得：a≤50，答：最多可以购买多少50支A种型号的毛笔．26已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）2．【分析】（1）如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，先根据垂径定理可得：＝，＝，根据圆周角定理得AP平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠C＝90°，所以∠QAB+∠QBA ＝×90°＝45°，根据三角形的外角的性质和对顶角相等可得结论；（2）先根据SSS证明△DGO≌△DBO（SSS），得∠ABD＝∠DGO，根据同角的余角相等可得∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，最后根据内错角相等可得OG∥AD；（3）如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，证明△GKD≌△DCB（AAS），得GK＝DC＝y，根据等角的正切可得EN的长，根据勾股定理列方程可得y的值，最后由勾股定理可得AG的长．【解答】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵点N为AC的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan E，∴，即＝，∴EN＝，∴AN＝CN＝y+，ON＝y，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．27在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接P A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH ∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【答案】（1）y＝﹣x2+x．（2）S＝8t﹣16．（3）P（，5）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出点C的坐标，可得AC＝8，利用三角形面积公式求解即可．（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．想办法证明WP＝WC＝WF，推出∠CPF＝90°，再证明∠PLC＝∠ODC，推出tan∠PLC＝tan∠ODC＝，求出点L的坐标，求出直线BP的解析式，构建方程组确定点P坐标即可．【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax2+bx，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴C（2，0），D（0，﹣4），∵A（10，0），∴OA＝10，OC＝2，∴AC＝8，由题意P（t，2t﹣4），∴S＝×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．∵PT⊥CG，∴∠PTC＝∠ODC＝90°，∴OD∥PT，∴∠ODC＝∠CPT，∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，∴RH⊥MJ，∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，∴四边形RFJH是矩形，∴RF＝HJ，∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，∴四边形MJQG是平行四边形，∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，∵MF平分∠CFG，∴∠CFM＝∠MFG，∵CF∥MH，∴∠FMH＝∠CFM，∴∠FMH＝∠MFH，∴FH＝HM，∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，∴△MHG≌△FHJ（AAS），∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，∴∠GFQ＝∠GQF，∵CF∥GQ，PT∥FG，∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，∴∠WPF＝∠WFP，∴WP＝WF，∵D，E关于x轴对称，∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，∵EC∥PG，∴∠PGC＝∠ECO，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PT⊥CG，∴CT＝TG，∵WT∥FG，∴CW＝WF，∴WP＝WC＝WF，∴∠CPF＝90°，∴∠LCP+∠PLC＝90°，∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，∴∠PLC＝∠ODC，∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，∵B（，6），∴OL＝+12＝，∴L（，0），∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，由，解得，∴P（，5）．。

黑龙江省龙东地区2023年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列运算正确的是（ ） A. 22(2)4a a −=−B. 222()a b a b −=−C. ()()2224m m m −+−−=−D. ()257a a =【答案】C 【解析】【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：A.()2224a a −=，原式计算错误； B. ()2222a b a ab b −=−+，原式计算错误；C. ()()2224m m m −+−−=−，计算正确；D. ()2510aa =，原式计算错误．故选：C ．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．4. 已知一组数据1,0,3,5,,2,3x −−的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. 3− B. 5C. 3−和5D. 1和3【答案】C 【解析】【分析】先根据平均数的定义列出关于x 的方程，求出x 的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可．【详解】解：∵数据1,0,3,5,,2,3x −−的平均数是1，∴10352371x +−+++−=×， 解得5x =，则1,0,3,5,5,2,3−−， ∴这组数据的众数是3−和5， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念．5. 如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（ ）A. 5mB. 70mC. 5m 或70mD. 10m【答案】A 【解析】【分析】设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x −，宽为()502m x −的矩形的面积，根据花草的种植面积为23600m ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x −，宽为()502m x −的矩形的面积，依题意得：()()1002502=3600x x −− 解得：15=x ，270x =（不合题意，舍去）， ∴小路宽为5m ． 故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 已知关于x 的分式方程122m xx x+=−−的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤B. 2m ≥C. 2m ≤且2m ≠−D. 2m <且2m ≠−【答案】C 【解析】【分析】解分式方程求出22mx −=，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：2m x x +−=−， 解得：22mx −=， ∵分式方程122m xx x+=−−的解是非负数， ∴202m−≥，且222mx −≠， ∴2m ≤且2m ≠−， 故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键． 7. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A ，B ，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种 B. 6种C. 7种D. 8种【答案】B 【解析】【分析】设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x 的数量分两种情况讨论求解即可．【详解】解：设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，其中56,0,0,x y z ≤≤>>且,,x y z 均为整数，根据题意得，302520500x y z ++=， 整理得，654100x y z ++=， ①当5x =时，6554100y z ×++=， ∴704,5zy −=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数， ∴当70410z −=时，2y =，∴15z =；当70430z −=时，6y =，∴10z =； 当70450z −=时，10y =，∴5z =；②当6x =时，6654100y z ×++=， ∴644,5zy −=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数， ∴当64420z −=时，4y =，∴11z =； 当64440z −=时，8y =，∴6z =； 当64460z −=时，12y =，∴1z =； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 8. 如图，ABC V 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC x ∥轴，双曲线ky x=过,A B 两点，过点C 作CD y ∥轴交双曲线于点D ，若12BCD S =V ，则k 的值是（ ）A. 6−B. 12−C. 92−D. 9−【答案】C 【解析】【分析】设,k B b b，根据反比例函数的中心对称性可得,k A b b −−，然后过点A 作AE BC ⊥于E ，求出4BC b =，点D 的横坐标为3b −，再根据12BCD S =V 列式求出CD ，进而可得点D 的纵坐标，将点D 坐标代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解：由题意，设,k B b b，∵AB 过原点O ， ∴,k A b b −−， 过点A 作AE BC ⊥于E ， ∵ABC V 是等腰三角形， ∴()2CE BE b b b ==−−=， ∴4BC b =，点D 的横坐标为3b −， ∵底边BC x ∥轴，CD y ∥轴，∴1141222BCD S BC CD b CD =⋅=⋅⋅=V ， ∴6CD b=， ∴点D 的纵坐标为66k k b b b+ −−= ， ∴63,k D b b +−， ∴()6336kk b k b +=−⋅=−+， 解得：92k =−，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B 坐标，正确表示出点D 的坐标是解题的关键．9. 如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD ==，将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置，线段1OD 恰好经过点B ，点C 落在y 轴的点1C 位置，点E 的坐标是（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C.)1,2−D. ()12【答案】D 【解析】【分析】首先证明11AOB D C O V :V ，求出2AB CD ==，连结OC ，设BC 与1OC 交于点F，然后求出1OC OC ==12C F=−，再用含EF 的式子表示出1EC ，最后在1Rt EFC V 中，利用勾股定理构建方程求出EF 即可解决问题．【详解】解：∵矩形ABCD 的边5AD =，:1:4OA OD =， ∴1OA =，4OD =，5BC =， 由题意知1AB OC ∥，∴11ABO D OC ∠=∠， 又∵1190BAO OD C ∠=∠=°， ∴11AOB D C O V :V ， ∴111D C OA AB OD =， 由折叠知14OD OD ==，11D C DC AB ==， ∴14AB AB =， ∴2AB =，即2CD =，连接OC ，设BC 与1OC 交于点F ，∴OC∵90FOA OAB ABF ∠=∠=∠=°， ∴四边形OABF 是矩形，∴2AB OF ==，190BFO EFC ∠=°=∠，1OA BF ==， ∴514CF =−=，由折叠知1OC OC ==14EC EC CF EF EF ==−=−，∴112C F OC OF =−=−，∵在1Rt EFC V 中，22211EF C F EC +=，∴()()22224EF EF +−=−，解得：1=−EF ，∴点E 的坐标是()12−， 故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出AB 的长是解题的关键．10. 如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 上的动点，且AF DE ⊥，垂足为G ，将ABF △沿AF翻折，得到,AMF AM △交DE 于点P ，对角线BD 交AF于点H ，连接,,,HM CM DM BM ，下列结论正确的是：①AF DE =；②BM DE ∥；③若CM FM ⊥，则四边形BHMF 是菱形；④当点E 运动到AB 的中点，tan BHF ∠；⑤2EP DH AG BH ⋅=⋅．（ ）A. ①②③④⑤B. ①②③⑤C. ①②③D. ①②⑤【答案】B【解析】【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是正方形，90DAE ABF ∴∠=∠=°，DA AB =，AF DE ⊥Q ，90BAF AED ∴∠+∠=°， 90BAF AFB ∠+∠=°Q ，AED BFA ∴∠=∠，()AAS ABF AED ∴△≌△，AF DE ∴=，故①正确，Q 将ABF △沿AF 翻折，得到AMF V ，BM AF ∴⊥，∵AF DE ⊥，BM DE ∴∥，故②正确，当CM FM ⊥时，90CMF ∠=°， 90AMF ABF ∠=∠=°Q ，180AMF CMF ∴∠+∠=°，即,,A M C 在同一直线上， 45MCF ∴∠=°，9045MFC MCF ∴∠=°−∠=°，通过翻折的性质可得45HBF HMF ∠=∠=°，BF MF =， ∴HMF MFC ∠=∠，HBC MFC ∠=∠，,BC MH HB MF ∴∥∥，∴四边形BHMF 是平行四边形，BF MF =Q ，∴平行四边形BHMF 是菱形，故③正确，当点E 运动到AB 的中点，如图，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE BF a ==，在Rt AED △中，DE AF =，,45AHD FHB ADH FBH ∠=∠∠=∠=°Q ，AHD FHB ∴△∽△， 122FH BF a AH AD a ∴===， 23AH AF ∴==， 90AGE ABF ∠=∠=°Q ，AGF ABF ∴△∽△，AE EG AG AF BF AB∴====EG BF ∴==，AG AB =，DG ED EG ∴=−=，GH AH AG =−=， BHF DHA ∠=∠Q ，在Rt DGH △中，tan tan 3DGBHF DHA GH∠=∠==，故④错误， AHD FHB Q △∽△， 12BH DH ∴=， 1133BH BD ∴==×，2233DH BD ==×， AF EP ⊥Q ，根据翻折的性质可得2EP EGa ==，2EP DH ∴⋅=，222AG BH ⋅=，22EP DH AG BH ∴⋅=⋅=，故⑤正确； 综上分析可知，正确的是①②③⑤． 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11. 据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________． 【答案】75.69910× 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【详解】5699万756990000 5.69910=×，故答案为：75.69910×．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 12.函数中，自变量x 的取值范围是____________．【答案】3x ≥− 【解析】【详解】解：由题意得，30x +≥， 解得3x ≥−．13. 如图，在矩形ABCD 中对角线AC ，BD 交于点O ，请添加一个条件______________，使矩形ABCD 是正方形（填一个即可）【答案】AB BC =或AC BD ⊥ 【解析】【分析】根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形. 【详解】∵邻边相等的矩形是正方形， ∴可添加条件AB BC =或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形 ∴还可以添加条件AC BD ⊥【点睛】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件.14. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________． 【答案】35##0.6 【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 红1 红2红3白1白2红1（红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2）红2 （红2，红1）（红2，红3） （红2，白1） （红2，白2）红3 （红3，红1） （红3，红2）（红3，白1） （红3，白2）白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3）（白1，白2）白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2，白1）由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种， ∴恰好是一红一白的概率是123205=，故答案为：35． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15. 关于x 的不等式组501x x m +>−≤ 有3个整数解，则实数m 的取值范围是__________．【答案】32m −≤<−##23m −>≥− 【解析】【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m 的不等式组，进而可求得m 的取值范围．【详解】解：解不等式组501x x m +> −≤得：1x m −5<≤+，∵关于x 的不等式组501x x m +>−≤有3个整数解，∴这3个整数解为4−，3−，2−， ∴211m −≤+<−， 解得：32m −≤<−， 故答案为：32m −≤<−．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m 的不等式组是解题的关键．16. 如图，AB 是O e 的直径，PA 切O e 于点A ，PO 交O e 于点C ，连接BC ，若28B ∠=°，则P ∠=__________°．【答案】34 【解析】【分析】首先根据等边对等角得到28B OCB ∠=∠=°，然后利用外角的性质得到56AOC B OCB ∠=∠+∠=°，利用切线的性质得到90OAP ∠=°，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵28B ∠=°，OB OC =， ∴28B OCB ∠=∠=°，∴56AOC B OCB ∠=∠+∠=°， ∵PA 切O e 于点A ， ∴90OAP ∠=°，∴18034P OAP AOP ∠=°−∠−∠=°． 故答案为：34．【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17. 已知圆锥的母线长13cm ，侧面积265cm π，则这个圆锥的高是__________cm ．【答案】12 【解析】【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式S rl π=侧变形可得m 655c 13S r l πππ===侧，根据圆锥母线公式l =，可得12cm h ===，故答案为：12．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．18. 在Rt ACB △中，30,2BAC CB ∠=°=，点E 是斜边AB 的中点，把Rt ABC △绕点A 顺时针旋转，得Rt AFD △，点C ，点B 旋转后的对应点分别是点D ，点F ，连接CF ，,EF CE ，在旋转的过程中，CEF △面积的最大值是__________．【答案】4+4+ 【解析】【分析】过点A 作AG CE ⊥交CE 的延长线于点G ，求出12AG AC ==，然后由旋转的性质可知点F在以A 为圆心AB 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G 、A 、F 三点共线时点F 到直线CE 的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．【详解】解：如图，在Rt ACB △中，30BAC ∠=°，2CB =，点E 是斜边AB 的中点，∴24AB CB ==，122CE AB AE ===，AC =，∴30ECA BAC ∠=∠=°，过点A 作AG CE ⊥交CE 的延长线于点G ，∴12AG AC ==，又∵在旋转的过程中，点F 在以A 为圆心AB 的长为半径的圆上运动，4AF AB ==， ∴点F 到直线CE的距离的最大值为4+，（如图，G 、A 、F 三点共线时） ∴CEF △面积最大值((11424422CE =×=××+=故答案为：4+．【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F 到直线CE 距离的最大值是解答本题的关键．19. 矩形ABCD 中，3,9AB AD ==，将矩形ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在点E 处，若ADEV 是直角三角形，则点E 到直线BC 的距离是__________． 【答案】6或3+或3− 【解析】【分析】由折叠的性质可得点E 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上运动，延长BA 交A e 的另一侧于点E ，则此时ADE V 是直角三角形，易得点E 到直线BC 的距离；当过点D 的直线与圆相切于点E 时，ADE V 是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．【详解】解：由题意矩形ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在点E 处， 可知点E 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上运动，如图，延长BA 交A e 的另一侧于点E ，则此时ADE V 是直角三角形，的点E 到直线BC 的距离为BE 的长度，即26BE AB ==，当过点D 的直线与圆相切与点E 时，ADE V 是直角三角形，分两种情况， ①如图，过点E 作EHBC ⊥交BC 于点H ，交AD 于点G ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴EG AD ⊥，∴四边形ABHG 是矩形，3GH AB == ∵3AE AB ==，AE DE ⊥，9AD =，由勾股定理可得DE =∵1122AED S AE DE AD EG =⋅=⋅V ，∴EG =，∴E 到直线BC 的距离3EH EG GH =+=+， ②如图，过点E 作EN BC ⊥交BC 于点N ，交AD 于点M ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴NM AD ⊥，∴四边形ABNM 是矩形，3MN AB ==∵3AE AB ==，AE DE ⊥，9AD =，由勾股定理可得DE =∵1122AED S AE DE AD EM =⋅=⋅△，∴EM =，∴E 到直线BC的距离3EN MN GN =−=− 综上，6或3+或3−， 故答案为：6或3+或3−．【点睛】本题考查了矩形折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E 的运动轨迹是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点A在直线1:l y x =上，顶点B 在x 轴上，AB 垂直x 轴，且OB =，顶点C在直线2:l y =上，2BC l ⊥；过点A 作直线2l 的垂线，垂足为1C ，交x 轴于1B ，过点1B 作11A B 垂直x 轴，交1l 于点1A ，连接11A C ，得到第一个111A B C △；过点1A 作直线2l 的垂线，垂足为2C ，交x 轴于2B ，过点2B 作22A B 垂直x 轴，交1l 于点2A ，连接22A C ，得到第二个222A B C △；如此下去，……，则202320232023A B C V 的面积是__________．【答案】2 【解析】分析】解直角三角形得出30AOB ∠=°，60BOC ∠=°，求出ABC S =V ，证明111ABC A B C ∽△△，222ABC A B C V V ∽，得出1114A B C ABC S S =V V ，()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ，总结得出()2222n n nn n A B C ABC ABC S S S ==V V V，从而得出2023202320232202322A B C S ×=V ．的【【详解】解：∵OB =，∴()B ， ∵AB x ⊥轴，∴点A的横坐标为∵1:l y x =， ∴点A∴tan AB AOB OB ∠=， ∴30AOB ∠=°，∵2:l y =，∴设(),C C C x y，则C C y =，∴tan CCy BOC x ∠=，∴60BOC ∠=°，∴1cos 602OCOB =×°==，sin 60BC OB =×°=∵130AOC BOC AOB ∠=∠−∠=°，∴1AOB AOC ∠=∠， ∴OA 平分BOC ∠， ∵12AC l ⊥，AB OB ⊥，∴1AC AB == ∵1AB AC =，OA OA =，∴1Rt Rt OAB OAC V V ≌，∴1OC OB ==，∴11CC OC OC =−==∴12ABC OAB ACC BOC S S S S =−−V V V V1112222=××−=∵2BC l ⊥， ∴90BCO ∠=°，∴906030CBO ∠=°−°=°， ∵112B C l ⊥，2BC l ⊥，222B C l ⊥， ∴2112B B C C B C ∥∥，∴112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=°， ∴1122C B O C B O CBO AOB ∠=∠=∠=∠， ∴1AO AB =，112A O A B =， ∵AB x ⊥轴，11A B x ⊥轴， ∴112OB OB =，1212OB OB =，∵AB x ⊥轴，11A B x ⊥轴，22A B x ⊥轴， ∴1122AB A B A B ∥∥， ∴11112ABOB A B OB ==，22214AB OB A B OB ==， ∵2112B B C C B C ∥∥， ∴11112BC OB B C OB ==，22214BC OB B C OB ==，∴1111AB BCA B B C =， ∵111903060ABC A B C ∠=∠=°−°=°， ∴111ABC A B C ∽△△， 同理222ABC A B C V V ∽， ∴1114A B C ABC S S =V V ，()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ，∴()2222n n n n n A B C ABC ABC S S S ==V V V ，∴2023202320232202322A B C S ×=V ．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律()2222n n nn n A B C ABCABC S S S ==V V V ．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：2222111m m m m m −+ −÷ +−，其中tan 601m =°−． 【答案】1m m +，原式=【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出1m=−，最后代值计算即可．【详解】解：2222111m m m m m −+−÷+−()()211121m m m m m −+−÷−+ ()()21111m m m m m −=+−−⋅ 1mm =+，∵tan 6011m =°−=−，∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点坐标分别是()()2,1,1,2A B −−，()3,3C −．（1）将ABC V 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到111A B C △，请画出111A B C △． （2）请画出ABC V 关于y 轴对称的222A B C △．（3）将222A B C △着原点O 顺时针旋转90°，得到333A B C △，求线段22A C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）134π【解析】【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形； （2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；（3）画出旋转后的图形，根据33223223C A A C C DEC C OC DOE S S S S ==−扇扇即可得出答案． 【小问1详解】解：如图所示，111A B C △即为所求；【小问2详解】如图所示，222A B C △即为所求； 【小问3详解】将222A B C △着原点O 顺时针旋转90°，得到333A B C △，设¼23A A 所在圆交3OC 于点D ，交2OC 于点E ，Q23OA OA =，23OC OC =，23C E C D ∴=，3290A OA ∠=°Q ，2390C OC ∠=°， 32A OD A OE ∴∠=∠， ¼¼32A D A E ∴=，3322A C D A C E S S ∴=V V 曲边曲边，3OC =，2OD OA ==()()332232232239090133603604C A A C C DEC C OC DOE OC OD S S S S πππ°°∴==−=−==°°扇扇，故线段22A C 在旋转过程中扫过的面积为134π． 【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23. 如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于()()3,0,1,0A B −两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点P ，使得12PBC ABC S S =V V ，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+（2）存在，点P 的坐标为()2,3−或()3,12− 【解析】【分析】（1）采用待定系数法，将点A 和点B 坐标直接代入抛物线23y ax bx ++，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段AB 的中点D ，且与BC 平行的直线上的点与点B ，点C 连线组成的三角形的面积都等于12ABCS V ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．【小问1详解】解：因为抛物线23y ax bx ++经过点 ()30A −,和点()10B ,两点，所以 933030a b a b −+=++=， 解得12a b =−=− ， 所以抛物线解析式为：223y x x =−−+． 【小问2详解】解：如图，设线段AB 的中点为D ，可知点D 的坐标为()1,0−，过点D 作与BC 平行的直线l ，假设与抛物线交于点1P ， 2P （1P 在2P 的左边），（2P 在图中未能显示）．设直线BC 的函数解析式为()10y kx b k =+≠． 因为直线BC 经过点()10B ,和()0,3C ，所以1103k b b += = ， 解得133k b =−= ， 所以，直线BC 的函数解析式为：33y x =−+． 又12//PP BC ，可设直线12PP 的函数解析式为23y x b =−+， 因为直线12PP 经过点D ()1,0−，所以230b +=．解得23b =−．所以，直线12PP 的函数解析式为33y x =−−． 根据题意可知，12DBC ABC S S =V V ． 又12//PP BC ，所以，直线12PP 上任意一点P ′与点B ，点C 连线组成的P BC ′V 的面积都满足12P BC ABC S S ′=V V ． 所以，直线12PP 与抛物线223y x x =−−+的交点1P ，2P 即为所求，可得 23323x x x −−=−−+，化简，得260x x −−=，解得1232x x ==−，，所以，点1P 的坐标为()2,3−，点2P 的坐标为()3,12−． 故答案为：存在，点P 的坐标为()2,3−或()3,12−．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．24. 某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宜传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A ：优秀，B ：良好，C ：合格，D ：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是__________人； （2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C 组对应的扇形圆心角度数是__________°； （4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数． 【答案】（1）40 （2）见解析 （3）90 （4）220人 【解析】【分析】（1）用A ：优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数； （2）先求出C ：合格的人数，再补全统计图即可； （3）用360度乘以C 组对应人数占比即可得到答案； （4）用2200乘以样本中D 组对应的人数占比即可得到答案．小问1详解】 解：1230%40÷=人，∴这次学校抽查的学生人数是40人， 故答案为：40； 【小问2详解】解：由（1）得C ：合格的人数为401214410−−−=人， 补全统计图如下所示：【【小问3详解】解：103609040°×=°， ∴扇形统计图中C 组对应的扇形圆心角度数是90°， 故答案为：90； 【小问4详解】 解：4220022040×=人， ∴估计该校不合格的人数为220人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．25. 已知甲，乙两地相距480km ，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km ，货车继续出发2h 3后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离()km y 与货车行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a 的值是__________；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km ．【答案】（1）120 （2）60y x = （3）12517h 或13117h 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得OC 的解析式，将()1,a 代入解析式，解方程即可解答；（2）根据题意可得a 的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km ，可求出装货时间，即点B 的坐标，再根据货车继续出发2h 3后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线BG 的解析式中k 的值，最后将点B 坐标代入直线BG 的解析式，利用待定系数法即可解答；（3）根据（2）中直线BG 的解析式求得点F 的坐标，结合题意，可得点E 的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km 时；②出租车和货车第二次相遇后，距离12km 时，分别进行解答即可． 【小问1详解】解：结合图象，可得()4,480C ， 设直线OC 的解析式为y kx =，将()4,480C 代入解析式，可得4804k =，解得120k =，∴直线OC 的解析式为120y x =，把()1,a 代入120y x =，得120a =， 故答案为：120； 【小问2详解】解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km ，可得此时出租车距离乙地为120120240km +=， ∴出租车距离甲地为480240240km −=，把240y =代入120y x =，可得240120x =，解得2x =，∴货车装完货时，2x =，可得()2,120B ，根据货车继续出发2h 3后与出租车相遇，可得23×（出租车的速度+货车的速度）120=， 根据直线OC 的解析式为120y x =，可得出租车的速度为120km h ，∴相遇时，货车的速度为212012060km h 3÷−=， 故可设直线BG 的解析式为60y x b =+， 将()2,120B 代入60y x b =+，可得120120b =+，解得0b =，∴直线BG 的解析式为60y x =，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数关系式为60y x =；【小问3详解】解：把480y =代入60y x =，可得48060x =，解得8x =，()8,480G ∴， ()8,0F ∴，根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得151604EF==, 31,04E∴，∴出租车返回时的速度为314804128km h 4÷−=， 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t 小时，与出租车相距12km ， 此时货车距离乙地为60km t ，出租车距离乙地为()()1284128512km t t −=−，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km 时；可得()116012851212t t −−=， 解得112517t =， ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km 时；可得()221285126012t t −−=， 解得213117t =， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发12517h 或13117h 与出租车相距12km ． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．26. 如图①，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接DC ，点F ，G ，H 分别是,DE DC 和BC 的中点，连接,FG FH ．易证：FH =．若ABC V 和ADE V 都是等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=°，如图②：若ABC V 和ADE V 都是等腰三角形，且120BAC DAE ∠=∠=°，如图③：其他条件不变，判断FH 和FG 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】图②中FH =，图③中FH FG =，证明见解析【解析】【分析】图②：如图②所示，连接BD HG CE ，，，先由三角形中位线定理得到12FG CE FG CE =∥，，12GH BD GH BD =∥，，再证明ABD ACE ≌△△得到CE BD ACE ABD ==，∠∠，则FG HG =，进一步证明90FGH ∠=°，即可证明HGF △是等腰直角三角形，则FH =；图③：仿照图②证明HGF △是等边三角形，则FH FG =．【详解】解：图②中FH =，图③中FH FG =，图②证明如下：如图②所示，连接BD HG CE ，，， ∵点F ，G 分别是DE DC ，的中点， ∴FG 是CDE V 的中位线， ∴12FG CE FG CE =∥，， 同理可得12GH BD GH BD =∥，， ∵ABC V 和ADE V 都是等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=°， ∴AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，，，∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴CE BD ACE ABD ==，∠∠，∴FG HG =，∵BD GH FG CE ∥，∥， ∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠DCE GHC GCH =++∠∠∠ DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠ DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠90=°，∴HGF △是等腰直角三角形，∴FH =；图③证明如下：如图③所示，连接BD HG CE ，，， ∵点F ，G 分别是DE DC ，的中点， ∴FG 是CDE V 的中位线， ∴12FG CE FG CE =∥，， 同理可得12GH BD GH BD =∥，， ∵ABC V 和ADE V 都是等腰三角形，且120BAC DAE ∠=∠=°， ∴AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，，， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴CE BD ACE ABD ==，∠∠，∴FG HG =，∵BD GH FG CE ∥，∥，∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠DCE GHC GCH =++∠∠∠ DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠ DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠ 180BAC =°−∠60=°，∴HGF △是等边三角形， ∴FH FG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A ，B 两款文化衫，每件A 款文化衫比每件B 款文化衫多10元，用500元购进A 款和用400元购进B 款的文化衫的数量相同． （1）求A 款文化衫和B 款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A 款七折优惠，B 款每件让利m 元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m 值．【答案】（1）A 款文化衫每件50元，则B 款文化衫每件40元， （2）一共有六种购买方案 （3）5m = 【解析】【分析】（1）设A 款文化衫每件x 元，则B 款文化衫每件()10x −元，然后根据用500元购进A 款和用400元购进B 款的文化衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A 款文化衫a 件，则购买B 款文化衫()300a −件，然后根据，学校计划用不多于14800元，。

2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题+答案详解（试题部分）考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列计算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. ()527a a =C. ()339328a b a b −=−D. ()()22a b a b a b −++=−2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ）A. 1B. 0.8C. 0.6D. 0.5 5. 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m ≤B. 4m ≥C. 4m ≥−且2m ≠D. 4m ≤且2m ≠ 6. 已知关于x 的分式方程2333x x kx −=−−无解，则k 的值为（ ） A. 2k =或1k =− B. 2k =− C. 2k =或1k = D. 1k =− 7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2 8. 如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.59. 如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．12.在函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是________． 13. 已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．15. 关于x 的不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________． 16. 如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．19. 矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是13,22⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫−+÷− ⎪−+⎝⎭，其中cos60m =︒． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）23. 如图，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．△的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得APC△的面积最大值；若不存在，请说明理由．APC24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：（1）频数分布表中m=，扇形统计图中n=．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？25. 甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h ，乙货车的速度是 km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 26. 已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x −−=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB −运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA −运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S =M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题+答案详解（答案详解）考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列计算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. ()527a a =C. ()339328a b a b −=−D.()()22a b a b a b −++=−【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b −=−，此选项计算正确，符合题意；D 、 ()()()()22a b a b b a b a b a −++=−+=−，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A. 1B. 0.8C. 0.6D. 0.5【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷= 方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯−+−+−+−⎣⎦ ()110014=⨯+++ 0.5=故选：D ．5. 关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A. 4m ≤B. 4m ≥C. 4m ≥−且2m ≠D. 4m ≤且2m ≠【答案】D【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−的意义得到20m −≠且0∆≥，即244(2)20m −⨯−⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围． 【详解】解：关于x 的一元二次方程()22420m x x −++=有实数根， 20m ∴−≠且0∆≥，即244(2)20m −⨯−⨯≥，解得：4m ≤， m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6. 已知关于x 的分式方程2333x x kx −=−−无解，则k 的值为（ ） A. 2k =或1k =−B. 2k =−C. 2k =或1k =D. 1k =− 【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x −−=−，整理得，(2)9k x −=−，当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =−，所以关于x 的分式方程2333x x kx −=−−无解时，2k =或1k =−． 故选：A ．7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2 【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=−． 又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩， ∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8. 如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5【答案】A【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，可得6B y OD a==，2B x a =，则有32BE BD DE a =−=，问题随之得解． 【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0a >， ∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽， ∴AF AE EF OD OE DE==， ∵E 为AO 的中点，∴AE OE =， ∴1AF AE EF OD OE DE===， ∴AF OD =，EF DE =∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===， ∵B OD y =， ∴6B y OD a==， ∴2B x a =， ∴2B BD x a ==， ∴32BE BD DE a =−=， ∴11639 4.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯==， 故选：A ．9. 如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（ ）A. B. 5 C. 5 D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin 5MAC OBC ∠=∠=解三角形即可求出sin 5MC AC MAC =∠=，tan 5MN BM OBC =∠=． 【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =， ∴142OB OD BD ===，∴BC ===21tan 42OC OBC OB ===∠， ∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC ∠=∠∴sin sin5OC MAC OBC BC ∠=∠===，∴sin 5MC AC MAC =∠=，∴BM BC MC =−=−=∴1tan 525MN BM OBC =∠=⨯=， 故选：C ． 10. 如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤ 【答案】A【解析】【分析】连接DG，可得BD AB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BD BM AB ==，可判断④；根据相似有212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM SBM ==，即可判断⑤；根据点H 是AD的中点，设2AD =，即求出BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==BN ==，进而可判断③． 【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BACADB ∠=∠=∠=︒，BD AB =90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ， ∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F 四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒−∠−∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BN BD BM AB==∴BN =，故④正确， ∴212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==−， ∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H H A A BC AD ==， ∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽， ∴13HM AH BM BC ==， ∴13AHM ABM S HM S BM ==， ∴3ABM AHM S S =， ∵12ABMDBN S S =， ∴26BND ABM AHM S S S ==△，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH == 同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==， ∴32HM BM BH BM BM+==，∴23BM BH== ∵BN=，∴BN == ∵2BC =， ∴在Rt BNC △中，23NC ==， sin 10NC NBC BN ∠==，故③正确， 则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．【答案】121.390810⨯【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12. 在函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是________． 【答案】3x ≥##3x ≤【解析】【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x −≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13. 已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．【答案】AC BD =或AB BC ⊥【解析】【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________． 【答案】35【解析】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种， ∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=， 故答案为：35． 15. 关于x 的不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】102a −≤< 【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420−≥x ，得：2x ≤， 由102x a −>，得：2x a >， 不等式组420102x x a −≥⎧⎪⎨−>⎪⎩恰有3个整数解， ∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴−≤<， 解得102a −≤<， 故答案为：102a −≤<． 16. 如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．【答案】65【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒−︒=︒，故答案为：65．17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．【答案】90【解析】【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=， 解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．【答案】12【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值． 【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =， ∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠， ∴122AM CM AC ===，∴BM ===，∵P 、M 分别是CD AC 、的中点， ∴1122PM AD ==． 如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=，故答案为：12． 19. 矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________． 【答案】52或72或10【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD ∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD ∠∠ ∴3tan =tan =4CDBAP CBD BC ∠∠=， ∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯= ∴97822PC BC BP =−=−=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B??，∴5AC ===， ∴4cos 5BCACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=−=−= ∴452cos 52B CPC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B??，∴5AC ===， ∴4cos 5BC ACB AC ∠==， 由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+= ∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠； 综上所述：则PC 长为52或72或10． 故答案为：52或72或10． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．【答案】()1,3【解析】【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ，，12A 的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====, OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴等边三角形高为2， 由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭； 继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是5,322⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭； 7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是5,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；13A 的坐标是()2,0；不断循环，循环规律为以1A ，2A ，，12A ，12个为一组， 2024121688÷=，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫−+÷− ⎪−+⎝⎭，其中cos60m =︒． 【答案】1m −+，12【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可． 【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m−+=⋅+−− 1m =−+， 当1cos 602m =︒=时原式12=． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）【答案】（1）作图见解析，()12,3B（2）作图见解析，()23,0B −（3 【解析】【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB =90︒，利用弧长公式即可求出．【小问1详解】解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，【小问2详解】如图，22AB C 为所求；()23,0B −，【小问3详解】AB ==点B 旋转到点2B =． 23. 如图，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+（2）存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x −−+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+−梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =−++得，103b c c −++=⎧⎨=⎩解得：23b c =−⎧⎨=⎩223y x x ∴=−−+【小问2详解】解：对于223y x x =−−+，令0,y =则2230,x x −−+=解得，123,1x x =−=，∴()3,0A −，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x −−+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =−=+∴APC APE AOC PCOE S S S S =+−梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯−⨯ ()()()()2211132332333222x x x x x x =+−−++−−+−−⨯⨯ 23327228x ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭ ∵302−<， ∴S 有最大值， ∴当32x =−时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫− ⎪⎝⎭24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：（1）频数分布表中m=，扇形统计图中n=．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【小问1详解】÷=(人)解：被抽取的学生数为：36%50m=−−−−=（人），故503201458n=，n=÷=，即40%205040%故答案为：8，40；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，+<<，+<<，5142526382526∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组， 答案为：C ； 【小问3详解】 解：14560022850+⨯=（人） 答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25. 甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h ，乙货车的速度是 km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1）30，40（2）EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =−≤≤（3）经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等 【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知。

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题一、选择题（每题3分，满分30分）1. 下列运算中，计算正确的是（ ）A. ()222b a b a -=-B. 326a a a ⋅=C. ()224x x -=D. 623a a a ÷= 【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．【详解】()2222b b b a a a =--+，故A 选项错误，不符合题意； 2326a a a ⋅=，故B 选项错误，不符合题意；()224x x -=，故C 选项正确，符合题意；624a a a ÷=，，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2. 下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形 ∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（）A. 181B. 175C. 176D. 175.5 【答案】D【解析】【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，∴这6个数据的中位数为175176175.52+=，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B【解析】【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538+=个．故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A. 8B. 10C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可． 【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=， 解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 6. 已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A. 4m >B. 4m <C. 4m >且5m ≠D. 4m <且1m ≠【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】 【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得，15x +20y =360，即3x +4y =72，∴y =18-34x ． 又∵x ，y 均为正整数，∴415x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩或129x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或203x y =⎧⎨=⎩， ∴班长有5种购买方案．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2-【答案】D【解析】 【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∵四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，∴1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ， ∴AB ⊥y 轴，∵点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上， ∴3,22COB COA k S S ==- ， ∴35222AOB COB COA k S S S =+=-= ， 解得：2k =-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．9. 如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（ ）A 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3【答案】A【解析】【分析】连接DE ，取AD 的中点G ，连接EG ，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD ⊥BC ，BD =CD ，再由E 是AB 的中点，G 是AD 的中点，求出S △EGD =3，然后证△EGP ≌△FDP （AAS ），得GP =CP =1.5，从而得DG =3，即可由三角形面积公式求出EG 长，由勾股定理即可求出PE 长．.【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∵AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD=112422ABCS=⨯=12，∵E是AB的中点，∴S△AED=111222ABDS=⨯=6，∵G是AD的中点，∴S△EGD=11622AEDS=⨯=3，∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=12CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD=12GD EG⋅=3，即1332EG⨯=，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．10. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A. ①②④⑤B. ①②③⑤C. ①②③④D. ①③④⑤【答案】B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌ 得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌ 得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即AE BF ⊥；②通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒； ③通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽ 得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG ∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误； ⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌ ，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE ⋅-=∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒∴AOP AEC ∽∴OP AO CE AE= ∴OP AE CE AO⋅= ∴OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅ ∵1122ABE AE BP AB BE S ⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO ⋅⋅-===⋅ 所以③正确；④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC== 设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅== ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠====- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌ ，S 四边形OECF =S △COE +S △COF∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD∵S △COD =14ABCD S 正方形∴S 四边形OECF =14ABCD S 正方形 所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误，故选 B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分30分）11. 我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．【答案】81.8910⨯【解析】【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a ⨯的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910⨯，故答案为：81.8910⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．12. 函数y =中自变量x 的取值范围是______．【答案】 1.5x ≥【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x -≥，∴ 1.5x ≥；故答案为： 1.5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．13. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．【答案】OB =OD （答案不唯一）【解析】【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在△AOB 和△COD 中，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB COD ≌（SAS ）故答案为OB =OD （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键． 14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________． 【答案】13【解析】【分析】利用概率公式计算即可．【详解】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球， ∴摸到红球的概率是21243=+， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15. 若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．【答案】2a ≥##2a ≤【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a -⎧⎨-<⎩＜①②， 解不等式①得：2x ＜，解不等式②得：x a ＜，关于x 的不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x ＜， 2a ∴≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 16. 如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm ．【答案】【解析】【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由垂径定理和圆周角定理可得12AD BD AB ==，120AOB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得30OAB OBA ==︒∠∠，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA 、OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，12AD BD AB ∴==，90ODA =∠°， 60ACB ∠=︒，120AOB ∴∠=︒，OA OB = ，30OAB OBA ∴∠=∠=︒，3cm OA = ，3cm 2OD ∴=，AD ∴==，AB ∴=，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．17. 若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ． 【答案】53【解析】【分析】由于圆锥的母线长为5cm ，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为r cm ，那么圆锥底面圆周长为2πr cm ，所以侧面展开图的弧长为2πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于r 的方程，解方程即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r cm ，则圆锥底面周长为：2r πcm ，∴侧面展开图的弧长为：2r πcm ，∴12052=180ππ⨯r ， 解得：r =53， 故答案：53． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．【解析】【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，为∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA =OC ，O =OD ，AD =AB =3，∵∠BAD =60°，∴△ABD 等边三角形，∴BD =AB =3，∠BAO =30°，∴OB =32， ∴OA∴点O 关于AB 的对称点F ，∴OF ⊥AB ，OF =2OG =OA∴∠AOG =60°，∵CE ⊥AH 于E ，OA =OC ，∴OE =OC =OA∵AH 平分∠BAC ，∴∠CAE =15°，∴∠AEC =∠CAE =15°，∴∠DOE =∠AEC +∠CAE =30°，∴∠DOE +∠AOG =30°+60°=90°，∴∠FOE =90°，∴由勾股定理，得EF==,∴PO +PE 最小值．． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 是解题的关键．19. 在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE V 是直角三角形，则BP 的长为________．是【答案】313或154或6 【解析】【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ， ∴AB BP PC CE=，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，∴∠AED +∠PEC =90°，∵∠DAE +∠AED =90°，∴∠DAE =∠PEC ，∵∠C =∠D =90°，∴△ADE ∽△ECP ， ∴AD DE CE PC =，即12944PC-=，解得：53PC =， ∴313BP BC PC =-=； 如图，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得∠BAF =∠ABP =∠F =90°，∴四边形ABPF 为矩形，∴PF =AB =9，AF =PB ，∵∠PAF +∠DAE =90°，∠PAF +∠APF =90°，∴∠DAE =∠APF ，∵∠F =∠D =90°，∴△APF ∽△EAD ， ∴AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6． 故答案为：313或154或6 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322O A O A =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【解析】【分析】先求出11A B =，可得11OA B S = ，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2:2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =∴点(1B ，∴11A B =，∴11112OA B S =⨯= ， ∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32……∶OA n 2，∵11OA =，212OA OA =，322O A O A =，432OA OA =……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==……12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2n n --= ， ∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+．【答案】11a -，【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a 值，然后把a 值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式22222112111a a a a a a a ⎛⎫--+=-⋅ ⎪---⎝⎭ 2121211a a a a -+=⋅-- 11a=-，当2cos3011a =︒+=+时，原式==【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．（1）将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．【答案】（1）见解析；()15,3A -（2）见解析；()22,4A （3）点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【解析】 【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可； （2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；【小问2详解】如图所示△A 2B 2C 2即为所求，()22,4A ； 【小问3详解】∵115A C ==∴点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802⨯=． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．23. 如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）223y x x =--（2）存在，()11P +，()21P - 【解析】【分析】（1）将点()1,0A -，点()2,3B -，代入抛物线得10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，求出b c ，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得()222314y x x x =--=--，可得D 点坐标，将0x =代入得，3y =-，可得C 点坐标，求出1BCD S =△的值，根据4PBC BCD S S = 可得4PBC S = ，设()2,23P m m m --，则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，求出m 的值，进而可得P 点坐标． 【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -，点()2,3B -， ∴10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--． 【小问2详解】 解：存在．∵()222314y x x x =--=--， ∴()1,4D -，将0x =代入得，3y =-， ∴()0,3C-，∴D 到线段BC 的距离为1，2BC =， ∴12112BCD S =⨯⨯=V ， ∴44PBC BCD S S == ， 设()2,23P m m m --， 则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+= ，整理得，224m m -=，解得11m =+，或21m =，∴()11P +，()21P -，∴存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，点P 的坐标为()11P ，()21P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是： A 组：8.5x < B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了_______名学生； （2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100（2）补全统计图见解析（3）D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人 【解析】【分析】（1）根据统计图中B 组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E 组人数占比为15％，求出E 组人数为10015⨯％人，然后作差求出A 组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D 组人数的占比乘以360︒计算求解即可；（4）根据A B ，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】解：由统计图可知，本次共调查了2020100÷=％（人）， 故答案为：100． 【小问2详解】解：由统计图可知，E 组人数占比为15％， ∴E 组人数为1001515⨯=％（人），∴A 组人数为100204020155----=（人）， ∴补全统计图如图所示【小问3详解】解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100⨯︒=︒， ∴D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒． 【小问4详解】 解：由题意知，5201500375100+⨯=（人） ∴估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．25. 为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A 市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示．（1）甲车速度是_______km/h ，乙车出发时速度是_______km/h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案． 【答案】（1）100 60（2）1001200y x =-+（3）3，6.3，9.1 【解析】【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h 的路程为500km ，乙车5h 的路程为300km ，即可确定各自的速度；（2）设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可． 【小问1详解】解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ， ∴甲速度为：500÷5=100km/h ； 乙车5h 的路程为300km ， ∴乙的速度为：300÷5=60km/h ； 故答案为：100；60； 【小问2详解】设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，的代入得9300120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1001200k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+； 【小问3详解】解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ， 根据图象可得， 当0<t <5时， 100t -60t =120， 解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件； 当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120， 解得：t =6.3； 当8<t <9时， 100（t -8）=120，解得：t =9.2，不符合题意，舍去； 当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+100（t -9）=120， 解得：t =9.1；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.1h 时，两车之间的距离为120km ．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键． 26. ABC 和ADE 都是等边三角形．（1）将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．（2）将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1）证明见解析（2）图②结论：PB PA PC =+，证明见解析（3）图③结论：PA PB PC += 【解析】【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．【小问1详解】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合， ∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0， ∴PA PB PC +=或PA PC PB +=； 【小问2详解】解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ≌（SAS ）， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ）， ∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒， ∴AFP 是等边三角形， ∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=； 【小问3详解】解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE ≌（SAS ）， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =， ∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒， ∴AFP 是等边三角形， ∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=， 即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．27. 学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元． （1）求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？（2）设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元（2）有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根（3）方案三需要费用最少，最少费用是550元 【解析】【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：2325.4m ≤≤，由此即可确定方案；（3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m =时525675550=-⨯+=．【小问1详解】解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩，答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元； 【小问2详解】根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得2325.4m ≤≤，∵m 整数，∴m 可取23，24，25．∴有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根； 方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根； 方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根； 【小问3详解】设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+ ∵50-<，∴w 随m 的增大而减小，∴当25m =时，w 有最小值，即w 525675550=-⨯+=（元） 答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．28. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．为（1）求点C 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP !是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为()7,4（2）()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩（3）存在点P ()4,4或9,42⎛⎫⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP !是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA =，4OB =，再由4tan 3DAB ∠=，可得4OD =，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ∠=∠=︒，即可求解；（2）分两种情况讨论：当07t <…时，当712t <…时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ⊥PC 于点F ；当52PC CM ==时；当PM =CM 时，过点M 作MG ⊥PC 于点G ，即可求解．【小问1详解】解：27120x x -+=，解得13x =，24x =，∵OA OB <，∴3OA =，4OB =， ∵4tan 3DAB ∠=，。

2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷一.填空题（每题3分,满分30分）1．（3分）（2015•黑龙江）2021年1月29日,联合国贸易和发展会议公布的《全球投资趋势报告》称,2021年中国吸引外国投资达1280亿美元,成为全球外国投资第一大目的地国．1280亿美元用科学记数法表示为 美元．2．（3分）（2015•黑龙江）在函数y=中,自变量x的取值范围是 ．3．（3分）（2015•黑龙江）如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．4．（3分）（2015•黑龙江）在一个口袋中有5个除颜色外完全相同的小球,其中有3个黄球,1个黑球,1个白球,从中随机摸出一个小球,则摸到黄球的概率是 ．5．（3分）（2015•黑龙江）不等式组的解集是 ．6．（3分）（2015•黑龙江）关于x的分式方程﹣=0无解,则m= ．7．（3分）（2015•黑龙江）如图,从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上）,将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆的半径是 米．8．（3分）（2015•黑龙江）某超市“五一放价”优惠顾客,若一次性购物不超过300元不优惠,超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元,第二次购物付款288元,若这两次购物合并成一次性付款可节省 元．9．（3分）（2015•黑龙江）正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点,点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形,则腰长为 ．10．（3分）（2015•黑龙江）如图,在平面直角坐标系中,点A（0,）、B（﹣1,0）,过点A作AB的垂线交x轴于点A1,过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2,过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去,直至得到点A2015为止,则点A2015坐标为 ．二.选择题（每小题3分,共30分）11．（3分）（2015•黑龙江）下列各运算中,计算正确的是（ ）　A．a2+a3=a5B．a6÷a2=a3C．（﹣2）﹣1=2D．（a2）3=a612．（3分）（2015•黑龙江）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）　A．B．C．D．13．（3分）（2015•黑龙江）关于反比例函数y=﹣,下列说法正确的是（ ）　A．图象过（1,2）点B．图象在第一、三象限　C．当x＞0时,y随x的增大而减小D．当x＜0时,y随x的增大而增大14．（3分）（2015•黑龙江）由几个相同的小正方形搭成的一个几何体如图所示,这个几何体的主视图是（ ）　A．B．C．D．15．（3分）（2015•黑龙江）近十天每天平均气温（℃）统计如下：24,23,22,24,24,27,30,31,30,29．关于这10个数据下列说法不正确的是（ ）　A．众数是24B．中位数是26C．平均数是26.4D．极差是916．（3分）（2015•黑龙江）如图所示的容器内装满水,打开排水管,容器内的水匀速流出,则容器内液面的高度h随时间x变化的函数图象最接近实际情况的是（ ）　A．B．C．D．17．（3分）（2015•黑龙江）如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）　A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°18．（3分）（2015•黑龙江）△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是（ ）　A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．519．（3分）（2015•黑龙江）为推进课改,王老师把班级里40名学生分成若干小组,每小组只能是5人或6人,则有几种分组方案（ ）　A．4B．3C．2D．120．（3分）（2015•黑龙江）如图,正方形ABCD中,点E是AD边中点,BD、CE交于点H,BE、AH交于点G,则下列结论：①AG⊥BE。

2021年黑龙江省龙东地区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列运算正确的是()A. 3a+2b=5abB. 3a−a=3a=0C. 2a3+3a3=6a3D. −0.75a+342.矩形是轴对称图形，对称轴可以是()A. l1 B. l2 C. l3 D. l43.由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是()A.B.C.D.4.为了了解汽车司机遵守交通法规的意识，小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速(单位：km/ℎ)情况如图所示．根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是()A. 60km/ℎ，60km/ℎB. 58km/ℎ，60km/ℎC. 60km/ℎ，58km/ℎD. 58km/ℎ，58km/ℎ5. 如下图，在一块长35m ，宽26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)剩余部分种花草，要使剩余部分的面积为850m 2，则道路的宽为( )A. 0.5mB. 1mC. 1.5mD. 1.8m6. 如果关于x 的不等式组{x+82>x 4+5x >m 的解集为x >4，且关于y 的分式方程2y−2m y−2=−1的解为正数，则符合条件的所有整数m 的和为( )A. 4B. 6C. 8D. 10 7. 某学校两个宿舍共住8个人，每个房间各住几个人，这个问题的解的情况是( )A. 有无数解B. 有唯一解C. 有有限个解D. 无数个解 8. 在反比例函数y =−8x 图象上的点是( )A. (−2,6)B. (4,−2)C. (4,2)D. (6,2) 9. 用一张长2.5米，宽1.5米的铁皮做一个圆柱形烟筒，这个烟筒的侧面积是( )平方米(接口处忽略不计)．A. B. C. D.10. 某款正方形地砖如图所示，其中AE =BF =CG =DH ，且∠AFQ =∠BGM =∠CHN =∠DEP =45°，若四边形MNPQ 的面积为S 1，四边形AFQE 面积为S 2，当AF =5√2，且S 1S 2=3241时，AE 的长为( ) A. 2√2B. 3C. 4D. 3√2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 人民日报社客户端推送的一则微博“我们14亿人都是护旗手”，被全国网民大量转发.请用科学记数法表示14亿为______ ．12. 要使分式1x(x−1)有意义，则x 满足______．13.如图，将矩形纸片ABCD沿着DG折叠，点A恰好落在对角线BD的A′处，若AB=4，BC=3，则AG的长为______．14.在一个不透明的袋子里，装有除颜色外完全相同的2个黑球和1个红球，现从袋子中随机摸出两个球，则摸到1个黑球和1个红球的概率是______．15.若不等式组{x≤3x+2x<a只有两个整数解，则a的取值范围是______．16.如图，已知点C是AB⏜的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=______度．17.一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为______．18.已知⊙O的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则BC⏜的长为______ ．19.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=48°，∠BAC的平分线与线段AB的垂直平分线OD交于点O.连接OB、OC，将∠ACB沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．20.如图，菱形ABCD的边长为6，∠B=120°.点P是对角线AC上一点(不与端点A重合)，则12AP+ PD的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）21.先化简，再求值：x2+1x2−1−x−2x−1÷x−2x，其中x=−2．22.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标________.若将点B2向下平移h单位，使其落在△A1B1C1内部(不包括边界)，直接写出h的值________(写出满足的一个即可)．23. 如图，在平面直角坐标系中，B(5,0)，点A在第一象限，且OA=OB，sin∠AOB=3．5(1)求过点O，A，B三点的抛物线的解析式．(2)若y=k的图象过(1)中的抛物线的顶点，求k的值．x24. 华师一光谷分校为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机抽查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x(单位：小时)进行分组整理，并制成如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．(1)被抽样的学生总数有______人，并补全频数分布直方图；(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角的度数；(3)请估计该校3500名学生中每周的课外阅读时间不大于6小时的人数．25. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，其中甲种文具每个5元，乙种文具每个3元．如果调整文具购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若张老师购买这两种文具共用去540元，则甲、乙两种文具各购买了多少个？(3)若张老师购买这两种文具共不超过120个，则有多少种购买方案，哪种购买方案总费用最少？26. 如图(1)，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图(2)，设旋转角为α(0<α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P．(1)求证：BD1=CE1；(2)当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的值？27. 柯桥苏宁电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1720元第二周4台10台2960元(进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本)(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？28. (1)如图1，△ABC的面积是10，E是BC的中点，连接AE，△AEC的面积是______ ；(2)如图2，四边形ABCD的面积是10，E、F分别是一组对边AB、CD的中点，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是______ ；(3)如图3，E、F分别是一组对边AB、CD上的点，且AE=13AB，CF=13CD，若四边形ABCD的面积是10，连接AF，CE，则四边形AECF的面积是______ ；(4)如图4，平行四边形ABCD的面积是2，AB=a，BC=b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动，点F从点B出发沿BC以每秒bva个单位长的速度向点C运动．E、F分别从点A、B同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A、3a与2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、3a−a=2a，故本选项不合题意；C、2a3+3a3=5a3，故本选项不合题意；a=0，故本选项符合题意；D、−0.75a+34故选：D．在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此计算即可．本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．2.答案：D解析：此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合，进而判断即可．解：矩形是轴对称图形，对称轴可以是：l4．故选：D．3.答案：A解析：解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列式两个小正方形，故选：A．根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4.答案：C解析：解：由条形统计图可知，车速为52、55、58、60、62、65千米/小时的车数分别是3、8、9、10、4、2，因为数据60出现了10次，次数最多，所以众数是60(km/ℎ)，因为数据总数为36，中位数是位于第18和19位置两数的平均数，所以中位数是(58+58)÷2= 58(km/ℎ)．故选C．由条形统计图得到车速和车数的数据，再根据众数和中位数的概念求解即可．此题考查了中位数、众数的定义，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．5.答案：B解析：设道路的宽为x 米．依题意得：(35−x)(26−x)=850，解得：x 1=1，x 2=60(不合题意，舍去)所以，道路宽为1m 。

2021年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3.00分）人民日报2018年2月23日报道，2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤，成功超越1200亿斤，连续七年居全国首位，将1200亿斤用科学记数法表示为斤．2．（3.00分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．4．（3.00分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是．5．（3.00分）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是．6．（3.00分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．7．（3.00分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．8．（3.00分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B 作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．9．（3.00分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn= ．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3.00分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a212．（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（3.00分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．614．（3.00分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（）A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94 D．极差是2015．（3.00分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3.00分）已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠217．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x＞0）、y=（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）A．﹣1 B．1 C． D．18．（3.00分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．1719．（3.00分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种20．（3.00分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD =AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（满分60分）21．（5.00分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin30°．22．（6.00分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．23．（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．24．（7.00分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：（1）直接写出a的值，a= ，并把频数分布直方图补充完整．（2）求扇形B的圆心角度数．（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？25．（8.00分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工大米吨，a= ．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？26．（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．27．（10.00分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？28．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO=，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2021年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，满分30分）1．（3.00分）人民日报2018年2月23日报道，2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤，成功超越1200亿斤，连续七年居全国首位，将1200亿斤用科学记数法表示为 1.2×1011斤．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1200亿斤用科学记数法表示应为1.2×1011斤．故答案为：1.2×1011【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3.00分）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠0 ．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法即可判断．【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB=BC或AC⊥BD．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法．4．（3.00分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是．【分析】利用随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行计算即可．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是：，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．5．（3.00分）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2 ．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞a，解不等式②得：x＜2，又∵关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，∴﹣3≤a＜﹣2，故答案为：﹣3≤a＜﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．6．（3.00分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5 ．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．7．（3.00分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=1，所以此圆锥的高==．故答案为．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．（3.00分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B 作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为2．【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．【解答】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2∴PD+PG的最小值为2故答案为：2【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．9．（3.00分）Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ． 【分析】在Rt △ABC 中，通过解直角三角形可得出AC=5、S △ABC =6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB==5，S △ABC =AB •BC=6．沿过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当AB=AP=3时，如图1所示， S 等腰△ABP =S △ABC =×6=3.6；②当AB=BP=3，且P 在AC 上时，如图2所示， 作△ABC 的高BD ，则BD===2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6， ∴S 等腰△ABP =S △ABC =×6=4.32； ④当CB=CP=4时，如图3所示， S 等腰△BCP =S △ABC =×6=4.8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8． 故答案为3.6或4.32或4.8．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn= （）n．【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形ABn Cn的面积为（）n．故答案为：（）n．【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．二、选择题（每题3分，满分30分）11．（3.00分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a9，不符合题意；B、原式=27a6，不符合题意；C、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；D、原式=6a2，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．13．（3.00分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】左视图底面有2个小正方体，主视图与左视图相同，则可以判断出该几何体底面最少有2个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块． 【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，最多有4个小正方体．而第二层则只有1个小正方体．则这个几何体的小立方块可能有3或4或5个． 故选：D ．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，难度不大，主要考查了考生的空间想象能力以及三视图的相关知识．14．（3.00分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ）A ．平均分是91B ．中位数是90C ．众数是94D ．极差是20【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A 、平均分为：（94+98+90+94+74）=90（分），故此选项错误； B 、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98， 故中位数是94分，故此选项错误；C 、94分、98分、90分、94分、74分中，众数是94分．故此选项正确；D 、极差是98﹣74=24，故此选项错误． 故选：C ．【点评】此题主要考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．15．（3.00分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】设共有x 个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x ﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x ﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x ﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x 1=6，x 2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．16．（3.00分）已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1求出答案．【解答】解：=1解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程=1的解是负数，∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．17．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x＞0）、y=（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）A．﹣1 B．1 C． D．【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB =S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到•|3|+•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【解答】解：连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB =S△OCB，而S△OCB=•|3|+•|k|，∴•|3|+•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．18．（3.00分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，=×5×5=12.5，∵S△ACE∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．（3.00分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．【解答】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得120x+90y=1200，则y=，∵x、y均为非负整数，∴x=1、y=12；x=4、y=8；x=7、y=4；x=10、y=0；所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有4种，【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．20．（3.00分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC 、BD 于点E 、P ，连接OE ，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论： ①∠CAD=30°②BD=③S 平行四边形ABCD =AB •AC ④OE=AD ⑤S △APO =，正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA ，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE 是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE ∥AB ，根据勾股定理计算OC==和OD 的长，可得BD 的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断；⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S △AOE =S △EOC =OE •OC=，=，代入可得结论．【解答】解：①∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠DAE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA ， ∴∠BAE=∠BEA ， ∴AB=BE=1，∴△ABE 是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正确；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD==，∴BD=2OD=，故②正确；③由②知：∠BAC=90°，∴S▱ABCD=AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=AB，故④不正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=，∴S△AOE =S△EOC=OE•OC==，∴，∴=，∴S△AOP===；故⑤正确；本题正确的有：①②③⑤，4个，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．三、解答题（满分60分）21．（5.00分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin30°．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：当a=sin30°时，所以a=原式=•=•==﹣1【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．22．（6.00分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC扫过的面积=﹣，由此计算即可；【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积=﹣=﹣=2π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q 作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q 横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（7.00分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：（1）直接写出a的值，a= 30 ，并把频数分布直方图补充完整．（2）求扇形B的圆心角度数．（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？【分析】（1）先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D等级人数除以总人数可得a的值，用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形；（2）用360°乘以A等级人数所占比例可得；（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷=50（人），∴D等级人数所占百分比a%=×100%=30%，即a=30，C等级人数为50﹣（5+7+15+10）=13人，补全图形如下：故答案为：30；（2）扇形B的圆心角度数为360°×=50.4°；（3）估计获得优秀奖的学生有2000×=400人．【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（8.00分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工大米20 吨，a= 15 ．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？。

黑龙江省龙东地区2021年中考数学试卷（附答案）黑龙江省龙东地区2021年中考数学试卷一、填空题（每题3分，满分30分）1．在2021年的“双11”网上促销活动中，淘宝网的交易额突破了3200000000元，将数字3200000000用科学记数法表示． 2．在函数y=1中，自变量x的取值范围是． x-1第3题图 3．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF． 4．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是．??x+1＞015．不等式组?的解集是x＞-1，则a的取值范围是． a - x＜0??36．原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为．7．如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是．8．圆锥底面半径为3cm，母线长32cm则圆锥的侧面积为 cm2． 9．△ABC 中，AB=12，AC=39，∠B=30°则△ABC的面积是．10．观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…….则第2021个图形中有个三角形．第7题图第1个第2个第3个第2021个第10题图二、选择题（每题3分，满分30分） 11．下列各运算中，计算正确的是（）A．(x-2)2=x2-4B．(3a2)3=9a6C．x6÷x2=x3 D．x3・x2=x512．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．13．几个相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数最多是（）俯视图左视图 A．5个 B．7个 C．8个 D．9个14．一组从小到大排列的数据：a，3，4，4，6(a为正整数)，唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（） A．3.6B．3.8C．3.6或3.8D．4.215．如图，某工厂有两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通。

初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．22422a a a ⋅=B ．824x x x ÷=C ．222()x y x xy y -=-+D ．()32639x x -=-2．下列图标中是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）主视图 左视图A ．6B ．7C ．8D ．94．一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ）A ．3.6B ．3.8或3.2C ．3.6或3.4D ．3.6或3.25．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．14k < B ．14k ≤ C ．4k > D ．14k ≤且0k ≠6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k y x=的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=︒，则k 的值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 7．已知关于x 的分式方程422x k x x-=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A ．80k -<<B ．8k >-且2k ≠-C ．8k >-且2k ≠-D ．4k <且2k ≠- 8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）A ．4B ．8CD ．69．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A ．12种B ．15种C ．16种D ．14种10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论： ①45ECF ∠=︒；①AEG ∆的周长为212a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；①222BE DG EG +=；①EAF ∆的面积的最大值是218a ；①当13BE a =时，G 是线段AD 的中点． 其中正确的结论是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①① 二、填空题（每题3分，满分30分）11．5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为______．12．在函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是______． 13．如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______．15．若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是______．16．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=︒，则ACB ∠=______︒．17．小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm ．18．如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ∆沿射线BD 平移，得到EGF ∆，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为______．19．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．20．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：22169211x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3tan303x =︒-．22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上（1）将ABC ∆向左平移5个单位得到111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；（2）画出111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒后得到的221A B C ∆，并写出点2A 的坐标；（3）在（2）的条件下，求111A B C ∆在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．23．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）26．如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．图① 图① 图①（1）BE 与MN 的数量关系是______．（2）将DEC ∆绕点C 逆时针旋转到图①和图①的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图①或图①进行证明．27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=︒，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒()0t >（1）线段CN =______；（2）连接PM 和MN ，求PMN ∆的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当PMN ∆是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．。

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试数 学 试 题考生注意：1、考试时间120分钟2、全卷共三道大题，总分120分 一、填空题（每题3分，满分30分） 1．（2021黑龙江龙东地区，1，3分）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，2021年全省粮食总产量达到l152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓。

1152亿斤用科学记数表示为 ． 【答案】1。

152×10112．（2021黑龙江龙东地区，2，3分）函数y =xx 1中，自变量x 取值范围是 ． 【答案】x ≥1且x ≠0 3．（2021黑龙江龙东地区，3，3分）如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， 试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD 为菱形．【答案】AD=DC 或AC ⊥BD 等 4．（2021黑龙江龙东地区，4，3分）风华中学七年（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任组长，则组长是男生的概率为 ． 【答案】74 5．（2021黑龙江龙东地区，5，3分）若x =1是关于x 的一元二次方程x 2+3mx +n =0的解，则6m +2n = ． 【答案】－2 6．（2021黑龙江龙东地区，6，3分）二次函数y=－2（x －5）2+3的顶点坐标是 ． 【答案】（5，3） 7．（2021黑龙江龙东地区，7，3分）将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为 cm ． 【答案】2310．等 8．（2021黑龙江龙东地区，8，3分）李明组织大学同学一起去观看电影《致青春》，票价每张60元，20张以上（不舍20张）打八折，他们一共花了1200元，他们共买了 张电影票． 【答案】41或43 9．（2021黑龙江龙东地区，9，3分）梯形ABCD 中，AB=3，CD=8，点E 是对角线AC 上一点．连结DE 并延长交直线AB 于点F ，若BF AF ，则ECAE．【答案】20或25 10．（2021黑龙江龙东地区，10，3分）已知等边△ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△AB 2C 2的B22C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边△B 3C 3，……，如此下去，这样得到的第n 个等边△AB 3C 3的面积为 ．【答案】3（43）n或3（23）2n二、选择题（每题3分，满分30分）11．（2021黑龙江龙东地区，11，3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．（x 3）2=x 5B ．x 2+x 2=2x 4C ．21)2(1-=--D ．（a －b ）2=a 2－b 2【答案】C12．（2021黑龙江龙东地区，12，3分）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D 13．（2021黑龙江龙东地区，13，3分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这千几何体的小正方体的个数强多有（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 视力 4。

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试数学试题一、填空题(每题3分，满分30分)1、 国家统计局新闻发言人盛来运2021年7月15日在国新办的新闻发布会上宣布，据初步测算，上半年国内生产总值是172840亿元，比上年同期增长了3.7个百分点。

数据172840亿元用科学记数法表示为 亿元(结果保留三个有效数字)。

2、函数y =xx中，自变量x 的取值范围是 。

3、如图所示，正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在DC 上，请添加一个条件: ，使△ABE≌△BCF(只添一个条件即可)。

4、抛物线y =－21(x +1)2－1的顶点坐标为 。

5、已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 。

6、已知扇形的圆心角为60°，圆心角所对的弦长是2cm ，则此扇形的面积为 cm 2。

7、我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动。

部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有 人进入半决赛。

8、如图，已知⊙O 的半径为4，OC 垂直弦AB 于点C ，∠AOB=120°，则弦AB 长为 。

9、已知关于x 的分式方程1+x a －xx x a +--212=0无解，则a 的值为 。

10、如图，四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、B 2、C 2、D 2，顺次连接得到四边形A 2B 2C 2D 2，……，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n ,则四边形A n B n C n D n 的面积为 。

二、选择题(每题3分，满分30分)11、下列各运算中，计算正确的个数是 ( ) ①3x 2+5x 2=8x4② (－21m 2n)2=41m 4n 2 ③ (－41)－2=16 ④8－2=6A 、1B 、2C 、3D 、412、下列QQ 标识图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A 、①③⑤ B 、③④⑤ C 、②⑥ D 、④⑤⑥13、某校九年级有11名同学参加数学竞赛，预赛成绩各不相同，要取前5名参加决赛。

2二、2021年黑龙江省龙东地域初三数学试卷一、填空题（每题3分，总分值30分）1．（分）人民日报2021年2月23日报导，2021年黑龙江粮食总产量达到亿斤，成功超越1200亿斤，持续七年居全国首位，将1200亿斤用科学记数法表示为斤．2．（分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．3．（分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．4．（分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是．5．（分）假设关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，那么a的取值范围是．6．（分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，那么⊙O的半径为．7．（分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么此圆锥的高为．8．（分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，那么PD+PG的最小值为．9．（分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，那么那个等腰三角形的面积是．10．（分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，取得第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，取得第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，取得第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，那么S n=．二、选择题（每题3分，总分值30分）11．（分）以下各运算中，计算正确的选项是（）A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a212．（分）以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（分）如图是由假设干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，那么组成那个几何体的小正方体的个数不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．614．（分）某学习小组的五名同窗在一次数学竞赛中的成绩别离是94分、98分、90分、94分、74分，那么以下结论正确的选项是（）A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94 D．极差是2015．（分）某中学组织初三学生篮球竞赛，以班为单位，每两班之间都竞赛一场，打算安排15场竞赛，那么共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．716．（分）已知关于x的分式方程=1的解是负数，那么m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠217．（分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，别离交y=（x＞0）、y=（x ＜0）的图象于B 、C 两点，假设△ABC 的面积为2，那么k 值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．18．（分）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，那么四边形ABCD 的面积为（ ）A ．15B ．C ．D ．1719．（分）为奖励消防演练活动中表现优良的同窗，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每一个120元，排球每一个90元，在购买资金恰好用尽的情形下，购买方案有（ ）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种20．（分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，别离交BC 、BD 于点E 、P ，连接OE ，∠ADC=60°，AB=BC=1，那么以下结论：①∠CAD=30°②BD=③S 平行四边形ABCD =AB•AC ④OE=AD ⑤S △APO =，正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（总分值60分）21．（分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin30°．22．（分）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个极点坐标别离为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．23．（分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部份，请直接写出P点坐标．24．（分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词朗诵大赛活动，现随机抽取部份同窗的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答以下各题：（1）直接写出a的值，a=，并把频数散布直方图补充完整．（2）求扇形B的圆心角度数．（3）假设是全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估量取得优秀奖的学生有多少人？25．（分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间一路完成加工任务，乙车间加工半途停工一段时刻维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时刻s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时刻x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答以下问题：（1）甲车间天天加工大米吨，a=．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．（3）假设55吨大米恰好装满一节车箱，那么加工多长时刻装满第一节车箱？再加工多长时刻恰好装满第二节车箱？26．（分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有如何的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．27．（分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡输送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用别离为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用别离为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．（3）由于改换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时如何调运才能使总运费最少？28．（分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C 在y轴正半轴上，且sin∠CBO=，点P从原点O起身，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时刻为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动进程中，l上是不是存在一点Q，使以B、C、Q为极点的三角形是等腰直角三角形？假设存在，直接写出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．。

2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷及答案（Word解析版）黑龙江省龙东地区2021年中考数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）（2021?黑龙江）“大美大爱”的龙江人勤劳智慧，2021年全省粮食总产量达到1152亿斤，夺得全国粮食总产第一，广袤的黑土地正成为保障国家粮食安全的大粮仓，1152亿11斤用科学记数法表示为1.152×10斤．考点：科学记数法―表示较大的数．n分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．11解答：解：将1152亿用科学记数法表示为1.152×10．11故答案为：1.152×10．n点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2021?黑龙江）在函数考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．解答：解：根据题意得：x+1≥0且x≠0解得：x≥1且x≠0．故答案为：x≥1且x≠0点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）（2021?黑龙江）如图所示，平行四边形abcd的对角线ac、bd相交于点o，试添加一个条件：ad=dc，使得平行四边形abcd为菱形．中，自变量x的值域范围就是x≥1且x≠0．考点：平行四边形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形abcd的对角线ac、bd相交于点o，试添加一个条件：可以为：ad=dc；故答案为：ad=dc．第1页共24页评测：此题主要考查了菱形的认定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出结论就是解题关键．4．（3分后）（2021?黑龙江）风华中学七年级（2）班的“精英小组”存有男生4人，女生3人，若挑选出一人出任班长，则副组长就是男生的概率为．考点：概率公式．分析：由风华中学七年级（2）班的“精英小组”存有男生4人，女生3人，轻易利用概率公式解即可求出答案．答疑：求解：∵风华中学七年级（2）班的“精英小组”存有男生4人，女生3人，∴挑选出一人出任班长，则副组长就是男生的为：故答案为：．评测：此题考查了概率公式的应用领域．特别注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分后）（2021?黑龙江）若x=1就是关于x的一元二次方程x+3mx+n=0的求解，则6m+2n=2．考点：一元二次方程的求解．2分析：先把x=1代入x+3mx+n=0，获得3m+n=1，再把建议的式子展开整理，然后代入即可．2答疑：求解：把x=1代入x+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=1，则6m+2n=2（3m+n）=2×（1）=2；故答案为：2．评测：此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键就是把x的值代入，获得一个关于m，n的方程，不建议m．n的值，必须以整体的形式发生．6．（3分后）（2021?黑龙江）二次函数y=2（x5）+3的顶点座标就是（5，3）．考点：二次函数的性质2分析：因为顶点式y=a（xh）+k，其顶点座标就是（h，k），对照谋二次函数y=2（x5）+3的顶点座标．2答疑：求解：∵二次函数y=2（x5）+3就是顶点式，∴顶点座标为（5，3）．故答案为：（5，3）．评测：此题主要考查了利用二次函数顶点式谋顶点座标，此题型就是中考中考查重点，同学们应当熟练掌握．7．（3分后）（2021?黑龙江）将半径为4cm的半圆围起一个圆锥，这个圆锥的低为2cm．第2页共24页222=．考点：圆锥的排序．分析：根据扇形的弧长等同于圆锥的底面周长，即可求出圆锥的底面半径，底面半径、母线短以及圆锥低满足用户勾股定理，据此即可求出圆锥的高．答疑：求解：设立圆锥底面的半径就是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的低就是：=2cm．故答案就是：2．评测：本题考查了圆锥的排序，正确理解圆锥的侧面进行图与原来的扇形之间的关系就是化解本题的关键，认知圆锥的母线短就是扇形的半径，圆锥的底面圆周短就是扇形的弧长．8．（3分后）（2021?黑龙江）李明非政府大学同学一起回去看看电影《并致青春》，票价每张60元，20张以上（C99mg20张）踢八折，他们一共花掉了1200元，他们共买了20或25张电影票．考点：一元一次方程的应用领域．专题：分类探讨．分析：本题分后票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况探讨，根据数量=总价÷单价，列式排序即可解．答疑：求解：①1200÷60=20（张）；②1200÷（60×0.8）1200÷48=25（张）．请问：他们共买了20或25张电影票．故答案为：20或25．评测：考查了销售问题，特别注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．．9．（3分后）（2021?黑龙江）梯形abcd中，ab∥cd，ab=3，cd=8，点e就是对角线ac上一点，相连接de并缩短缴直线ab于点f，若考点：相近三角形的认定与性质；梯形．专题：分类探讨．分析：根据未知分别根据f在线段ab上后在ab的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出结论答疑：求解：例如图1：∵ab=3，=2，的值．=2，则=或．∴af=2，bf=1，∵ab∥cd，∴△aef∽△ced，∴=，第3页共24页∴==；例如图2：∵ab=3，=2，∴af=6，bf=3，∵ab∥cd，∴△aef∽△ced，∴=，∴==．故答案为：或．评测：此题主要考查了相近三角形的认定与性质，根据未知展开分类探讨得出结论两种相同图形就是解题关键．10．（3分后）（2021?黑龙江）未知等边三角形abc的边长就是2，以bc边上的高ab1为边作等边三角形，获得第一个等边三角形ab1c1，再以等边三角形ab1c1的b1c1边上的高ab2为边作等边三角形，获得第二个等边三角形ab2c2，再以等边三角形ab2c2的边b2c2边上的高ab3为边作等边三角形，获得第三个等边ab3c3；…，如此下去，这样获得的第n个等边三角形abncn的面积为（）．n考点：等边三角形的性质专题：规律型．分析：由ab1为边长为2等边三角形abc的高，利用三线合一得到b1为bc的中点，求出bb1的长，利用勾股定理求出ab1的长，进而求出第一个等边三角形ab1c1的面积，同理求出第二个等边三角形ab2c2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形abncn的面积．第4页共24页答疑：求解：∵等边三角形abc的边长为2，ab1⊥bc，∴bb1=1，ab=2，根据勾股定理得：ab1=，∴第一个等边三角形ab1c1的面积为∵等边三角形ab1c1的边长为∴b1b2=，ab1=，×（）=2（）；1，ab2⊥b1c1，根据勾股定理得：ab2=，∴第二个等边三角形ab2c2的面积为×（）=2（）；（）．n2依此类推，第n个等边三角形abncn的面积为故答案为：（）n评测：此题考查了等边三角形的性质，属规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质就是求解本题的关键．二、选择题（每题3分后，满分30分后）11．（3分后）（2021?黑龙江）以下运算中，排序恰当的就是（）325222224a．b．c．1d．（x）=x（ab）=abx+x=2x（2）=考点：全然平方公式；分拆同类项；幂的乘方与内积的乘方；正数整数指数幂．分析：a、利用幂的乘方运算法则排序获得结果，即可作出推论；b、分拆同类项获得结果，即可作出推论；c、利用正数指数幂法则排序获得结果，即可作出推论；d、利用全然平方公式进行获得结果，即可作出推论．326答疑：求解：a、（x）=x，本选项错误；222b、x+x=2x，本选项错误；c、（2）=，本选项恰当；d、（ab）=a2ab+b，本选项错误，故挑选c评测：此题考查了全然平方公式，分拆同类项，以及正数指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则就是求解本题的关键．12．（3分后）（2021?黑龙江）以下汽车标志中，既就是轴对称图形又就是中心对称图形的就是（）a．b．c．d．2221第5页共24页。

黑龙江省龙东地区2021年初中毕业学业统一考试数学试题一、填空穗(每小题3分1共30分)1．2011年7月ll日是第二十二个世界人口日，本次世界人口日的主题是“面对70亿入的世界”，70亿入用科学记数法表示为人．x-中自变量x的取值范围是．2．函数y=213．如图．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上．请添加一卡条件使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．4．把一副普通扑克牌中的13张红桃洗匀后正面向下，从中任意抽取一张。

抽出的牌的点数是4的倍数的概率是6．如图．点A、B、C、D分别是⊙0上四点，∠ABD=200，BD是直径，那么∠ABC= 8．等腰三角形一腰长为5。

一边上的高为3，则底边长为9．某商品按进价提高40％后标价，再打8折销售，售价为1 120元，则这种电器的进价为元．10．如图，直线y=X，点A l坐标为(1，O)，过点A l作x轴的垂线交直线于点B1,以原点0为圆心, 0B1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以圆点0B，的纵为圆心，0B2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去．点n 坐标为(n为正整散)。

二、选择题（每小题3分，共30分)11．下列各运算中，计算正确的是( )-=B、(－2x2y)3=－8 x5y3C、（－5)0=0 D、a2+a=a3A、82212．下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是( )13．在平面直角坐标系中，反比倒函数22a ayx-+=图象的两个分支分别在( )A、第一、三象限B、第二、四象限C、第一、二象限D、第三、四象限14．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图．小正方形中的数字表示在该程的小正方体的个数。

这个几何体的主视图是( )15．某校初三5名学生中考体育考试成绩如下(单位：分)；12、13、14、15、14．这组数据的众数和平均数分别为( )A、14 ，13B、13 ，14C、14，l3．5D、14，l3．616．如图所示，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形ABCD的边上沿着A一B—C—D的路径以1cm／s的速度运动．在这个运动过程中△APD的面积s(cm2)随时间t(s)的变化关系用图象表示，正确的是( )17．若(a－1)2+|b－2|=0，则(a－－b)2012值是(A、一lB、1C、0D、201218．如图，△ABC中,^AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点，连接DE,则△CDE的周长为( )A、20B、12C、14D、1319．某校团委与社区联合举办“保护地球．人人有责”活动，选派20名学生分三组到120个店铺发传单，若第一、二、三小组每人分别负责3、6、5个店铺．且每组至少有两人．则学生分组方案有( )A、6种B、5种C、4种D、3种20．如图．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠ABC=900，AB=BC=2AD,点E、F分别是AB、BC边的中点。