山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二11月定时训练(期中)数学试题

保密☆启用前试卷类型：A2021届高三定时训练试题数学2020．11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则21ii+的模为（ ）A ．1B ．C ．2D2．设集合{ln(1)}A x y x ==-∣，集合{}2B y y x ==∣，则AB =（ ）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．(),1-∞D ．∅3．“ln ln a b >”是“11a b<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A ．35B ．35-C ．5D ．5-5．若3cos 22sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．9-B ．9-C ．79-D ．796．设0a >，0b >，且21a b +=，则12aa a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值7．已知O 是ABC △的外心，6AB =，10AC =，若AO x AB y AC =+，且2105(0)x y x +=≠，则ABC △ 的面积为（ ）A ．B ．18C ．24D ．8．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()2f x f x x =-+，当0x >时，()21f x x '>+．若(1)()21f a f a a +≥-++，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知函数()||xxf x e e x -=++（e 是自然对数的底数），则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上为增函数C ．若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D ．若(1)(1)f x f -<-，则02x <<10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<部分自变量、函数值如下表所示，则（ ）A ．函数解析式为5()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()f x 图象的一条对称轴为23x π=-C ．5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移2个单位所得的函数为奇函数 11．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成ABM △，连接1B D ，N 为BD 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，则当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π12．下列不等式中正确的是（ ）A ．ln 32<B ．ln π<C ．15<D ．3ln 28e >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(,1)a k =-，(4,2)b =-，若a 与b 共线，则实数k 的值为______． 14．已知等比数列{}n a 满足12a =，46521a a a =-，则9a =______．15．已知二面角P AB C --的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=．若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______． 16．已知对任意x ，都有21ln x xe ax x x --≥+，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos 6a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③sin sin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，a =_________________________．求ABC △的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知2()(1)1(R)f x ax a x a =+--∈．（Ⅰ）若()0f x ≥的解集为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求关于x 的不等式301ax x +≤-的解集； （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≥． 19．（本小题满分12分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T ．20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点．（Ⅰ）若D 是1AA 的中点，求证：BD ∥平面AEF ；（Ⅱ）线段AE （包括端点）上是否存在点M ，使直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒？若有，确定点M 的位置；若没有，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-，0x >． （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）证明：2()xf x e->．2021届高三定时训练 数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．BCD 10．BCD 11．BD 12．AC 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．2 14．12 15．2887π 16．(,1]-∞ 四、解答题（共70分）（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．） 17．（本小题满分10分） 解：若选①由正弦定理得()()() a b a b c b c +-=-， 即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,)A π∈，所以3A π=，又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为a =6b c +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯=△． 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，化简得1sin cos sin 22A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=． 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以2222bc ==，即24bc =-．所以111sin (246222ABC S bc A ==⨯-⨯=-△ 若选③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos 2sin cos 222A A A=，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠，∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =．所以11sin 4sin 223ABC S bc A π==⨯⨯=△． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得11(1)211(1)2a a a ⎧-⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-．故原不等式等价于2301x x -+≤-． 即(23)(1)010x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x <或32x ≥， 所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当0a =时，原不等式可化为10x +≤，解集为(],1-∞-．当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解集为1(,1],a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 当11a >-，即1a <-时，解集为11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当11a=-，即1a =-时，解集为{}1-； 当11a <-，即10a -<<时，解集为1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a+⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+．（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =，所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==，()1010212204612B -==-，故20202061449T =．20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接1DC ，1BC ，因为D ，E 分别是1AA ，1CC 的中点，故1AE DC ∥，AE ⊄平面1BDC ，1DC ⊂平面1BDC ， 所以AE ∥平面1BDC ．因为E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，所以1EF BC ∥，EF ⊄证平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ， 所以EF ∥平面1BDC ， 又AEEF E =，AE ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD ∥平面AEF ，（Ⅱ）题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F ． 因为(0,2,1)AE =，(1,1,0)AF =． 设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为(1,1,2)n =-．设(0,2,)(01)AM AE λλλλ==≤≤，又1(2,0,2)AB =， 所以11(2,2,2)B M AM AB λλ=-=--． 若直线1B M 与平面AEF 所成角为60︒，则111sin 60cos ,||n B M n B Mn B M⋅==⋅︒2(2)λ=⋅+2===． 解得：0λ=或45λ=，即当点M 与点A 重合， 或45AM AE =时，直线1B M 与平面AEF 所成的角为60︒． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()4()log 41x f x kx --=+-，因为函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数，故()()f x f x -=，即()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++． 整理得：()()442log 41log 41x x kx -=+-+，4412log 41x x kx -+=+，()4412log 414x x xkx --+=+， 2kx x =-，(21)0k x +=，又x 不恒为0，所以12k =-． （Ⅱ）()()()244441()log 41log 41log 4log 222xxx x x f x x -=+-=+-=+，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 只需方程()444log 22log 23x x x a a -⎛⎫+=⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根， 即方程42223x x x a a -+=⋅-有且只有一个实根， 令20x t =>，则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根．①1a =时，34t =-不合题意；②若0∆=，则34a =或者3a =-；若34a =，则2t =-，不合题意；若3a =，则12t =，符合题意；③若0∆>，则方程有两根，显然方程没有零根． 所以依题意知，方程有一个正根与一个负根，即101a -<-，解得1a >， 综上所述：实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()12sin f x x x =+-，得()12cos (0)f x x x '=->，令()0f x '=，得23x k ππ=+或52()3x k k ππ=+∈N ， 所以当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当52,2()33x k k k ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭N 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当572,2()33x k k k ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭N 时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 的极小值点为：2()3x k k ππ=+∈N ．因为212)33f k k k ππππ⎛⎫+=++-∈ ⎪⎝⎭N ，所以min ()133f x f ππ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）要证2()x f x e ->，即要证2(12sin )1x e x x +->．令2()(12sin )(0)xg x e x x x =+->，则2()(324sin 2cos )x g x e x x x '=+--，令()sin (0)h x x x x =->，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，即：当0x >，有sin x x >． 所以324sin 2cos 32sin 2cos x x x x x +-->--3304x π⎛⎫=-+≥-> ⎪⎝⎭． 所以324sin 2cos 0x x x +-->，又20x e >，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()()0g x g >， 即2(12sin )1x e x x +->．所以212sin x x x e -+->，即2()x f x e->．。

1山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二（一部）11月定时训练数学试题（时间120分钟 总分150分）一、单选题（共8小题，每题5分）1.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xOA +yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +zOC(x,y,z ∈R) ，则2x =，3y =-，2z =是,,,P A B C 四点共面的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知直线l 的方向向量a ，平面α的法向量μ，若a ＝(1,1,1)，μ＝(－1,0,1)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行3. 如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC,则点B 1到平面ABC 1的距离为( )721.A 510.B 621.C 410.D4. 设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A ．10B ．4C ．32D ．115．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦所在直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．x －3y ＋5＝0 C ．x －2y ＋6＝0D ．x ＋3y －8＝06.若直线，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆相切，30x y c -+=2210x y +=2则c 的值为（ ） A.或 B.或C.或D.或7. 直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．2215x y +=B ．22145x y +=C ．2215x y +=或22145x y +=D ．以上答案都不对8. 设点，若在圆上存在点，使得， 则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 二．多选题（共 4 小题， 每题 5 分，选全得满分，不全得 3 分，错选 0分）9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C．PQ =D ．2PF Q ∆的周长为10.如图，在直三棱柱ABC­A 1B 1C 1中，∠BAC＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF 的长度的平方可以取的值为( )146-128-812-614-0(,1)M x 22:1O x y +=N 45OMN ∠=︒0x [1,1]-11[,]22-[[,22-3A.110B.15C.12D ．111.以下四个命题表述正确的是( )A ．直线(3＋m )x ＋4y －3＋3m ＝0(m ∈R)恒过定点(－3，－3)B ．圆x 2＋y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x －y ＋2＝0的距离都等于1C ．曲线C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0与曲线C 2：x 2＋y 2－4x －8y ＋m ＝0恰有三条公切线，则m ＝4D ．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点⎝⎛⎭⎫14，1212.如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为22C ．三棱锥B ACQ -的体积为624D ．异面直线CQ 与AB所成的角的余弦值为3三．填空题（ 共4小题， 每题5 分）13.已知向量a ⃑ ＝(1,1,0)，b ⃑ ＝(－1,0,2)，若k a ⃑ ＋b ⃑ 与2a ⃑ －b ⃑ 互相垂直，则k 的值是 . 14.一条光线从点射出，经轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为．15. 椭圆x y 22941+=的焦点为F F 12、，点P 为其上的动点，当∠F PF 12为钝角时，则点P 的横坐标的取值范围是________.16．已知圆22:4O x y +=，A ，B 是圆上两点，点()1,2P 且PA PB ⊥，则AB 最大值是________.四．解答题17. (本题满分10分)已知椭圆2222x y C 1a b ：+=()0a b >>4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.18．(本题满分12分)已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求ABC ∆外接圆的一般方程. 19. (本题满分12分) 已知圆C:x 2+y 2−2x −4y −20=0，(2,3)-x 22(3)1x y -+=5直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.（1）求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）若直线l 与圆C 的两个不同交点分别为A ，B ．求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值.20. (本题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =． （1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．21．(本题满分12分)已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，一个顶点为M (0，1)，直线l交椭圆于A ，B 两点，且MA ⊥MB .(1)求椭圆C 的方程； (2)证明：直线l 过定点.22. (本题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =. (1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；求(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，BN的值；若不存在，请说明理由.BD6711月定时训练数学---答案1—8 B D A A C A C A 9 ACD 10 BC 11 BCD 12 BD13. 7514. 或 15. (-3√55,3√55)16.17.（1）c e a ==，2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y +=（2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=．18. 解：（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -, 又因为AC BH ⊥得，13BH k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ΔABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，2x =43170x y +-=8解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.19.（1）证明：圆C:x 2+y 2−2x −4y −20=0， 即22(1)(2)25x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径=5r ，又直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，化为(27)(4)0+-++-=m x y x y ，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(3,1)Q ，由22||(31)(12)55CQ =-+-=<，得Q 在圆C 内，则直线l 与圆C 恒有两个交点； （2）由题意知，设点(,)P x y 为弦AB 的中点，由（1）可知CP PQ ⊥，所以点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆，线段CQ 的中点为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，||5CQ =，则线段AB 中点P 的轨迹方程为2235(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；由圆的几何性质可知，当(3,1)Q 是弦AB 的中点时，||AB 最小.弦心距||5d CQ ==，圆C 的半径为5，可得22min |25(5)45AB =-=.20.（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ，则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-，设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，9∴()10,1,2n =1114cos ,525AP n AP n AP n ⋅===⋅，故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45．（2）由（1）可得()0,4,4PC =-，设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，∴()20,1,1n =12cos ,105n n ==，故二面角M CB P --的余弦值为10． 21. (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34b ＝1, 解得a 2＝4，b 2＝1所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ，M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，，得()1＋4k 2x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0 得x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2所以y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2＋2m ，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋mk ()x 1＋x 2＋m 2 ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，即x 1x 2＋()y 1－1()y 2－1＝0 代入整理得4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2－2m1＋4k 2＋1＝0 即5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35，m ＝1(舍), 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 22．(1)证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．(2)取AD 中点O,EF 中点K ，连接OB ，OK.于是在△ABD 中，OB OD ⊥，在正方ADEF 中OK OD ⊥，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，故OB ⊥平面AFEF ，进而0B OK ⊥，即OB, OD, OK 两两垂10直． 分别以,,OB OD OK 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如图）,于是，3,0,0B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,3,0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1E 0,,12⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,311M ,,0,F 0,,1442⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以MF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√34,−34,1),CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√32,52,0),DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0，1)设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00CD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即350220x y z ⎧-⋅-⋅=⎪⎨⎪=⎩令5x =-，则3y =，则(5,3,0)n =-设直线MF 与平面CDE 所成角为θ，||3sin |cos ,|||||MF n MF n MF n θ⋅=<>== (3) 要使直线//CE 平面AFN ，只需AN //CD ， 设,[0,1]BN BD λλ=∈,则331,,,,0222n n n x y z λ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,331,,0222nn n x y z λλ=-==,331,,0222N λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3311,,022AN λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,又 35(,,0)2CD =--，由//AN CD 得33112222 532λλ-+=--解得2=[0,1]3λ∈，所以线段BD 上存在点N,使得直线//CE 平面AFN ，且2=3BN BD ．。

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x +1＝0的倾斜角为（ ） A ．0°B ．45°C ．90°D ．不存在2．在棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC →+AD →+CC →1=（ ） A ．A 1C →B ．AC 1→C ．C 1A →D ．CA 1→3．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则可以与向量m →=b →−2c →，n →=b →+2c →构成空间另一个基底的向量是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．b →+c →4．若M （1，0，1），N （2，m ，3），P （2，2，n +1）三点共线，则m +n ＝（ ） A ．4B ．﹣2C ．1D ．05．已知直线x +2y ﹣4＝0与直线2x +4y +7＝0平行，则它们之间的距离为（ ） A ．√5B ．√10C ．3√52D ．3√1026．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0，直线l 的横纵截距相等且与圆C 相切，则满足条件的直线l 有（ ）条． A ．1B ．2C ．3D ．47．圆x 2+2x +y 2+4y ﹣3＝0上到直线x +y +1＝0的距离为√2的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ∈平面AA 1B 1B ，点F 是线段AA 1的中点，若D 1E ⊥CF ，则△EBC 的面积最小值为（ ） A ．12B ．2√55C ．√55D ．√510二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列命题中，正确的是（ ）A ．若非零向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，c →⊥b →，则有a →∥c →B ．任意向量a →，b →，c →满足(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)C ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →=13OA →+13OB →+13OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．对于任意向量a →，b →，必有|a →+b →|≤|a →|+|b →| 10．下列命题中，正确的是（ ）A ．在x ，y 轴上截距相等的直线都可以用方程x a +yb=1表示B ．方程x +my ﹣2＝0（m ∈R ）能表示平行y 轴的直线C ．经过点（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y ﹣1＝tan θ（x ﹣1）D ．经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线方程为（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）﹣（x 2﹣x 1）（y ﹣y 1）＝0 11．已知点P 在圆O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP ⊥BP 的点P 有3个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M 、N ，则直线MN 的方程为y ＝1D ．2|P A |+|PB |的最小值是2√1012．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足AP →=λAC →+μAD 1→，其中λ∈（0，1），μ∈R ，且μ≠0，则（ ）A ．对于任意的λ∈（0，1），μ∈R 且μ≠0，都有平面ACP ⊥平面A 1B 1DB ．当λ+μ＝1时，三棱锥B ﹣A 1PD 的体积为定值C ．当λ=34时，存在点P ，使得∠A 1PB ＞90°D ．当μ=34时，不存在点P ，使得AP ⊥平面PCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：1．过点()3,0和点(的直线的斜率是（ ）AB ．C D ．-2．若向量()1,0,1a =-，向量()2,0,b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） A ．20x y -= B ．230x y -+= C ．240x y +-=D ．250x y +-=4．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2D ．()0,2-5．已知直线l ：20kx y -+=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A B C D ．6．已知直线l ：y x m =+与曲线x =m 的取值范围是（ ）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 取点M ，在1CD 取一点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则MN 的最小值为（ ）A ．1 BC．2D．38．在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且CP =设异面直线CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A．8B．2C．3D．2二、多项选择题：9．下列说法正确的是（ ）A ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．圆1Q ：2220x y x +-=和圆2Q ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ．则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 11．下列说法正确的有（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m = C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是2 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．1//BC 平面APQB ．1A D ⊥平面APQC ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形D ．异面直线PQ 与11A C 所成的角为60︒ 三、填空题：13．直线10x ++=的倾斜角的大小是______．14．两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：6850x y +-=间的距离是______．15．已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-的棱长均为2，60BAD ∠=︒，以D '为半径的球面与侧面BCC B ''的交线长为______．16．已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度AB =，M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +、(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC △的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点． （Ⅰ）求AB 边所在的直线方程； （Ⅱ）求中线AM 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点(2,1)P -．（Ⅱ）过坐标原点O 的直线l 被圆M ，求直线l 的方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒，11AB AD AA ===． （Ⅰ）求1A C 的长；（Ⅱ）证明：直线1A C ⊥平面11BDD B ．21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，点P 在直线l ：20x y -=上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（Ⅰ）若点P 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求切线PA ，PB 方程；（Ⅱ）证明：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22．已知圆C ：22(1)12x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求MON △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题 9．BC 10．ABD11．AC12．ACD三、填空题13．56π 14．11015．216．3-四、解答题注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分． 17．解：（Ⅰ）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，所以直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=． （Ⅱ）设M 的坐标为()00,x y 则由中点坐标公式得02412x -+==，01312y -+==．故(1,1)M．所以224(11)(15)25M=++-=．18．解：（Ⅰ）设与直线10x y+-=垂直的直线方程为：0x y m-+=，又因为直线0x y m-+=过点(2,1)P-，故210m++=，解得3m=-，故圆M的圆心在直线30x y--=上．由230y xx y=-⎧⎨--=⎩，解得：12xy=⎧⎨=-⎩，所以圆心M的坐标为(1,2)-．所以圆M的半径：r MP===所以圆M的方程为：22(1)(2)2x y-++=．（Ⅱ）因为直线l被圆M，所以圆心M到直线l的距离：2d==．若直线l的斜率不存在，则l为直线0x=，此时圆心M到的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y kx=，即0kx y-=．由d==，整理得：2870k k++=，解得：1k=-或7-．所以直线l的方程为：0x y+=或70x y+=．19．解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA AD⊥，PA AB⊥，又AB AD⊥，所以PA，AB，AD 两两垂直．以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =-设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令31z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅， 23=，解得1a =或3a =． 所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23．20．解：（Ⅰ）设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 为空间中的一个基底，且1AC a b c =+- 因为1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===， 所以2221a b c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=． ()22211AC AC a b c ==+- 2222222a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=．故1AC ．（Ⅱ）BD b a =-，1BB c =()()1AC BD a b c b a ⋅=+-⋅-220b a b c a c =--⋅+⋅=． ()11AC BB a b c c ⋅=+-⋅20a c b c c =⋅+⋅-=．故1AC 是平面11BDD B 的法向量，故直线1A C ⊥平面11BDD B ． 21．解（Ⅰ）当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，符合题意． 当切线斜率存在时，设直线方程为1(1)2y k x =-+， 即102kx y k --+= 因为直线和圆相切，所以1d ==，解得512k =-． 此时直线方程为51(1)122y x =--+，即512110x y +-=． 所以切线PA ，PB 方程为：1x =，512110x y +-=．（Ⅱ）设点001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)M ，过P ，A ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆．即2220012222x x x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以220001202x x x y x y x ⎛⎫-+-++=⎪⎝⎭， ()22012102xy y x y x ⎛⎫+-+--+= ⎪⎝⎭，从而22201102x y y x y ⎧+-=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得定点坐标为(0,2)或42 ,55⎛⎫⎪⎝⎭． 22．解：（Ⅰ）因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上， 所以AQ PQ =．又CP CQ PQ =+=所以2CQ AQ AC +=>=．所以曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．则1c =，a =22b =．所以曲线E 的方程为22132x y +=． （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222326360k x kmx m +++-=． 此时有227224480k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+．所以MN == 因为原点O 到直线l的距离d =所以12MON S MN d =⋅=△ 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得()2222323222MONm k m S k +-+≤⨯=+△． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．所以MON △。

山东省枣庄市2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单项选择题：1．过点()3,0和点()4,3的直线的斜率是（ ）A ．3B ．3-C ．3 D ．3-2．若向量()1,0,1a =-，向量()2,0,b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） A ．20x y -= B ．230x y -+= C ．240x y +-=D ．250x y +-=4．已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()0,2，5B ．()0,2-，5C ．()0,2，5D ．()0,2-，55．已知直线l ：20kx y -+=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．10B ．5C ．6D ．356．已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公其点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)2,22⎡-⎣B ．(22,2⎤--⎦C ．)2,22⎡⎣D ．(22,2⎤-⎦7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 取点M ，在1CD 取一点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则MN 的最小值为（ ）A ．1BCD8．在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且CP =设异面直线CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A．8B．2C．3D．2二、多项选择题：9．下列说法正确的是（ ）A ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．圆1Q ：2220x y x +-=和圆2Q ：22240x y x y ++-=的交点为A ，B ．则有（ ） A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 11．下列说法正确的有（ ） A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m = C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是2 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的有（ ）A ．1//BC 平面APQB ．1A D ⊥平面APQC ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形D ．异面直线PQ 与11A C 所成的角为60︒ 三、填空题：13．直线310x y ++=的倾斜角的大小是______．14．两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：6850x y +-=间的距离是______．15．已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-的棱长均为2，60BAD ∠=︒，以D '为球心，5面BCC B ''的交线长为______．16．已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度6AB =，M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +、(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC △的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点． （Ⅰ）求AB 边所在的直线方程； （Ⅱ）求中线AM 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点(2,1)P -．（Ⅱ）过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒，11AB AD AA ===． （Ⅰ）求1A C 的长；（Ⅱ）证明：直线1AC ⊥平面11BDD B ．21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，点P 在直线l ：20x y -=上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （Ⅰ）若点P 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求切线PA ，PB 方程； （Ⅱ）证明：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22．已知圆C ：22(1)12x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求MON △面积的最大值．2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADACBBDA二、多项选择题 9．BC 10．ABD11．AC12．ACD三、填空题 13．56π 14．11015．2216．3-四、解答题注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分． 17．解：（Ⅰ）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，所以直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=． （Ⅱ）设M 的坐标为()00,x y 则由中点坐标公式得02412x -+==，01312y -+==． 故(1,1)M ．所以224(11)(15)25M =++-=．18．解：（Ⅰ）设与直线10x y +-=垂直的直线方程为：0x y m -+=， 又因为直线0x y m -+=过点(2,1)P -， 故210m ++=， 解得3m =-，故圆M 的圆心在直线30x y --=上．由230y x x y =-⎧⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心M 的坐标为(1,2)-．所以圆M 的半径：22(12)(21)2r MP ==-+-+=所以圆M 的方程为：22(1)(2)2x y -++=． （Ⅱ）因为直线l 被圆M 6， 所以圆心M 到直线l 的距离：6224d =-= 若直线l 的斜率不存在，则l 为直线0x =， 此时圆心M 到的距离为1，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx =，即0kx y -=．由22221k d k +==+，整理得：2870k k ++=， 解得：1k =-或7-．所以直线l 的方程为：0x y +=或70x y +=．19．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． 则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =-设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令31z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅， 22322112a =-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭，解得1a =或3a =． 所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23． 20．解：（Ⅰ）设AB a =，AD b =，1AA c =，则{},,a b c 为空间中的一个基底，且1AC a b c =+- 因为1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===， 所以2221a b c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=． ()22211AC AC a b c ==+- 2222222a b c a b a c b c =+++⋅-⋅-⋅=．故1AC ．（Ⅱ）BD b a =-，1BB c =()()1AC BD a b c b a ⋅=+-⋅-220b a b c a c =--⋅+⋅=．()11AC BB a b c c ⋅=+-⋅20a c b c c =⋅+⋅-=．故1AC 是平面11BDD B 的法向量，故直线1AC ⊥平面11BDD B ． 21．解（Ⅰ）当切线斜率不存在时，切线方程为1x =，符合题意． 当切线斜率存在时，设直线方程为1(1)2y k x =-+， 即102kx y k --+= 因为直线和圆相切，所以1d ==，解得512k =-． 此时直线方程为51(1)122y x =--+，即512110x y +-=． 所以切线PA ，PB 方程为：1x =，512110x y +-=．（Ⅱ）设点001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)M ，过P ，A ，M 三点的圆即以PM 为直径的圆．即2220012222x x x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭所以220001202x x x y x y x ⎛⎫-+-++=⎪⎝⎭， ()22012102xy y x y x ⎛⎫+-+--+= ⎪⎝⎭，从而22201102x y y x y ⎧+-=⎪⎨--+=⎪⎩， 解得定点坐标为(0,2)或42 ,55⎛⎫⎪⎝⎭．22．解：（Ⅰ）因为点Q 在线段AP 的垂直平分线上， 所以AQ PQ =．又CP CQ PQ =+=所以2CQ AQ AC +=>=．所以曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．则1c =，a =22b =．所以曲线E 的方程为22132x y +=． （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222326360k x kmx m +++-=． 此时有227224480k m ∆=-+>． 由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+．所以MN == 因为原点O 到直线l的距离d =，所以12MON S MN d =⋅=△ 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得()2222323222MONm k m S k +-+≤⨯=+△． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．所以MON △。

2020~2021学年度第一学期第一学段质量检测高二数学一、单项选择题：1. 过点(3,0)和点的斜率是（ ）A.B. C.3D. 3-【答案】A 【分析】直接根据斜率公式计算可得；【详解】解：过点(3,0)和点的斜率k == 故选：A【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题.2. 若向量(1,0,1)a =-，向量(2,0,)b k =，且满足向量//a b ，则k 等于（ ） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【分析】根据向量共线， 由向量的坐标，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,0,1)a =-，向量(2,0,)b k =，//a b ， 所以211k=-，解得2k =-. 故选：D.【点睛】本题主要考查由空间向量共线求参数，属于基础题型.3. 过点()12，，且与直线2+2=0x y +垂直的直线方程为（ ） A. 20x y -= B. 230x y -+= C. 2-4=0x y +D. 250x y +-=【答案】A试题分析：因为220x y ++=的斜率为12-，所以过点1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的斜率为2，因此过点1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的方程为()221,y x -=-既是20x y -=,故选A.考点：1、直线垂直的性质；2、点斜式求直线方程.4. 已知圆22410x y y +--=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A. ()0,2，5B. ()0,2-，5C. ()0,2D. ()0,2-，【答案】C 【分析】写出圆的标准方程，求圆心和半径.【详解】()222241025x y y x y +--=⇔+-=，所以该圆的圆心是()0,2，半径r =故选：C5. 已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【分析】将直线方程整理成点斜式,得到定点M 的坐标,||MP 即为一定点到直线上一点的距离,其最小值即为该定点到直线的距离【详解】将直线:20l kx y -+=整理为点斜式,得2y kx -=,M ∴为()0,2点(,)P x y 在直线210x y +-=上,MP ∴的最小值为点M 到直线210x y +-=的距离, 2220215521d ⨯+-∴===+ 故选B【点睛】本题考查两点间距离最小值的求法,此题需转化为点到直线的距离,考查转化思想,属于基础题6. 已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A. )2,22⎡-⎣B. (22,2⎤--⎦C. )2,22⎡⎣D.(22,2⎤-⎦【答案】B【分析】画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与曲线x =有两个公共点;直线l 与曲线相切时,m =-因此当2m -<≤-时，直线l 与曲线x =有两个公共点.故选B【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.7. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ）A. 1B.C.D.【答案】D 【分析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出11///M N AC ，设11DM DN x ==，由此可以求出||MN 的最小值.【详解】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：11//M N AC ，设11DM DN x ==， 在直角梯形11MM N N 中，222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 3 故本题选D.【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.8. 在四面体ABCD 中，5AB BC CD DA ====，3AC =，8BD =，点P 在平面ABD 内，且22CP =CP 与BD 所成的角为θ，则sin θ的最小值为（ ） A.368B.3 C.33D.22【答案】A 【分析】取BD 中点K ，AK 中点O ，根据长度关系和线面垂直的判定定理可证得CO ⊥平面ABD ，从而确定P 点在平面ABD 内的轨迹，根据轨迹可确定sin θ取最小值时P 点位置，根据长度关系可求得最小值.【详解】取BD 中点K ，连接AK ，CK ，取AK 中点O ，连接CO ，5AB AD ==，5BC CD ==，4BK DK ==，AK BD ∴⊥，CK BD ⊥，由AKCK K =，,AK CK ⊂平面ACK ，3AK CK ∴==，BD ⊥平面ACK ，CO ⊂平面ACK ，CO BD ∴⊥，AC AK CK ==，CO AK ∴⊥，又,BD AK ⊂平面ABD ，BD AK K =，CO ∴⊥平面ABD ，又OP ⊂平面ABD ，CO OP ∴⊥，又933942CO =-=，22CP =275842OP ∴=-=P ∴点在平面ABD 内的轨迹是以O 5为半径的圆. 作直径//MN BD ，则当P 与M 或N 重合时，sin θ取得最小值，()min33362sin 822CO CP θ∴===. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角的正弦值的求解，解题关键是能够根据垂直关系和长度关系确定动点在平面内的轨迹，从而根据轨迹确定取最小值时动点的位置.二、多项选择题：9. 下列说法正确的是（ ）A. 过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B. 点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C. 直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】BC 【分析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C 的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误． 【详解】对于A ：当12x x ≠，12y y ≠时，过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故A 不正确； 对于B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标1322⎛⎫⎪⎝⎭，， 满足直线方程1y x =+, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y =x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；对于C ：直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线20x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，所以C 正确； 对于D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x +y −2=0 或 y =x ，所以 D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0的情况，属于基础题．10. 圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A. 公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B. 线段AB 中垂线方程为10x y +-=C. 公共弦AB的长为2D. P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB距离的最大值为12+ 【答案】ABD【分析】两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=， 即公共弦AB 所在直线方程0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P到直线AB 距离的最大值为12+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 方程2x xy x +=表示两条直线B. 椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C. 曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D. 椭圆C ：2215y x +=的焦距是2【答案】AC 【分析】A.化简方程()210x xy x x x y +=⇔+-=，判断选项；B.讨论焦点在x 轴和y 轴两种情况，求m 的值；C.利用对称点是否满足方程，判断选项；D.根据椭圆方程求焦距.【详解】A.方程()210x xy x x x y +=⇔+-=，即0x =和10x y +-=表示两条直线，故A 正确；B.若方程表示焦点在x 轴的椭圆，则()()10201024m m m m ->->⎧⎨---=⎩，解得：4m =，若方程表示焦点在y 轴的椭圆时，则()()21002104m m m m ->->⎧⎨---=⎩，解得：8m =，所以4m =或8m =，故B 不正确；C.若点(),x y 满足方程22259x y xy +=，则点(),x y --也满足方程，所以曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称，故C 正确； D. 椭圆C ：2215y x +=，225,1a b ==，则2424c c =⇒=，所以焦距是4，故D 不正确.故选：AC【点睛】易错点睛：根据椭圆方程求参数或是判断性质时，需注意焦点的位置，以及讨论焦点的位置，否则会出现丢根的情况.12. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则下列说法正确的是( ) A. BC 1//平面AQPB. 平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C. A1D⊥平面AQPD. 异面直线QP与A1C1所成的角为60°【答案】ABD【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可判断；对于B，连接AP，AD1，D1Q即可求解.对于C，利用线面垂直的性质定理即可判断；对于D，根据异面直线所成角的定义即可求解.【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ//BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1//平面APQ，故选项A正确.对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1//PQ，D1Q=AP，所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故选项B正确.对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP是错误的，故选项C错误.对于选项D：PQ//BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B=60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、多面体的截面图形、线面垂直的性质定理、异面直线所成的角，属于基础题.三、填空题：13. 直线310x y ++=的倾斜角的大小是_________. 【答案】56π试题分析：由题意3k =-，即3tan θ=-，∴56πθ=．考点：直线的倾斜角.14. 两平行线1:3420l x y +-=，2:6850l x y +-=的距离是__________.【答案】110直线2l 的方程可化为53402x y +-=，故两平行直线12,l l 之间的距离2252211034d ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+，故答案为110. 15. 已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 2. 【分析】根据已知条件易得1D E 3=1D E ⊥侧面11B C CB ，可得侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 211B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，513D E =，所以2211||||||532EP D P D E =-=-=所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E 2 因为||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2222FG π==. 故答案为：22. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 16. 已知AB 是圆O ：222x y +=的一条弦，其长度AB 6=M 是AB 的中点，若动点(),2P t t +､(),2Q m -，使得四边形PMOQ 为平行四边形，则实数m 的最大值为_______.【答案】3- 【分析】由弦心距可求得2OM =,即M 点轨迹2212x y +=,四边形PMOQ 为平行四边形可知OM QP =,根据向量相等坐标的关系化简可得m t =±，要求出m 的最大值,取m t =+.【详解】AB M =是AB中点∴2222OM ⎛+= ⎝⎭，∴OM =，∴M 点轨迹方程为：2212x y +=PMOQ 为平行四边形，令(, )M x y ，∴OM QP =∴(,)(,4)x y t m t =-+，∴4x t my t =-⎧⎨=+⎩∴221()(4)2t m t -++=，221()(4)2t m t -=-+，m t -=m t =±m 的最大值,取444143m t t =+=++≤-=-=-∴max 3m =-. 故答案为:3-.【点睛】本题考查了圆心距,考查轨迹法求圆的方程,考查了基本不等式拓展公式()2,112a b a b R a b++≥≥≥∈+前两个的关系在求最值中的应用,难度较难. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -、(2,1)B --、(4,3)C ，M 是BC 边上的中点. （1）求AB 边所在的直线方程； （2）求中线AM 的长. 【答案】（1）6110x y -+=（2） 【分析】（1）根据两点式写出直线的方法化简得到AB 所在的直线方程；（2）根据中点坐标公式求出M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM 即可. 【详解】（1）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，直线AB 的方程为(51)6y x -=+，即6110x y -+=. （2）设M 的坐标为00(,)x y 则由中点坐标公式得0024131,122x y -+-+====，故(1,1)M .∴AM ==【点睛】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离，属于基础题.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点()2,1P -.（1）求圆M 的方程；（2）过坐标原点O 的直线l 被圆M ，求直线l 的方程. 【答案】（1）()()22122x y -+=+；（2）0x y +=或70x y += 分析】（1）首先求出过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线，则圆心必在此直线上；与2y x =-联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得r MP =；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：22d =，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.【详解】（1）由题意得，过点()2,1P -且与直线10x y +-=垂直的直线方程为：30x y --=由230y x x y =-⎧⎨--=⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩ ∴圆心M 的坐标为()1,2- ∴圆M的半径：()()2212212r MP ==-+-+=∴圆M 的方程为：()()22122x y -+=+（2）因为直线l 被圆M 截得的张长为6∴圆心M 到直线l 的距离：62242d =-=若直线l 的斜率不存在，则l 为直线0x =，此时圆心M 到的距离为1，不符合题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx =，即0kxy由22221k d k +==+，整理得：2870k k ++= 解得：1k =-或7-∴直线l 的方程为：0x y +=或70x y +=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM 平面PAB ．（Ⅱ）是否存在点E ，使得二面角P DE B --的余弦值为23？若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解+析；（Ⅱ）存在，23． 【分析】（Ⅰ）由题意有PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，以以A 空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．证明DM ，AP ，AB 为共面向量即得．（Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<，求出平面PDE 的一个法向量，平面BDE 的一个法向量为AP ，利用法向量夹角的余弦的绝对值等于23求得a 即可．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直．以A 为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,4,0)C点M 为PC 中点，故(1,2,1)M 故(1,0,1)DM =，又(0,0,2)AP =，(2,0,0)AB = 所以1122DM AP AB =+ 所以DM ，AP ，AB 为共面向量，DM ⊄平面PAB ， 所以//DM 平面PAB ． （Ⅱ）设(2,,0)E a ，04a <<依题意可知平面BDE 的法向量为(0,0,2)AP =，(0,2,2)DP =-，(2,2,0)DE a =- 设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩，令1z =，则2,1,12a n -⎛⎫=⎪⎝⎭．因为二面角P DE B --的余弦值为23， 所以2cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅， 即22322112a =-⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭，解得1a =或3a =．所以存在点E 符合题意，当1BE =或3BE =时，二面角P DE B --的余弦值为23． 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解．20. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，11AB AD AA ===，（1）求1A C 的长；（2）求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ． 【答案】（12；（2）证明见解+析【分析】（1）首先设AB a =，AD b =，1AA c =，得到1AC a b c =+-，再平方即可得到答案。

⼭东省滕州市第⼀中学2020-2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试（期中）⾼⼆数学模拟试题（三）保密★启⽤前2020～2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试⾼⼆数学模拟试题（三）注意事项：2020.11.111.答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每个⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.⼀.单项选择题:本⼤题共8⼩题,每⼩题5分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项．．．．是符合题⽬要求的.1．已知直线l 经过原点(0,0)O 和(1,1)A 两点，则直线l 的倾斜⾓是A．30?B．45?C．60?D．120?2．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，并且圆⼼在0x y +=上，则圆C 的⽅程为A．()()22112x y ++-=B．()()22112x y -++=C．()()22332x y -++=D ．()()22332x y ++-=3．若()()0134422=+?+-+?-y m m x m 表⽰直线，则A.2±≠m 且1≠m ，3≠mB.2±≠mC.1≠m 且3≠mD.m 可取任意实数4．圆1C ：22(2)(1)4x y ++-=与圆2C ：222610x y x y +-++=的位置关系是A．内切B．相交C．内含D．外切5.{},,a b c 是空间的⼀个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{},,a b b c a c +++ 下的坐标为A．(1,2,3)-B．(1,2,3)-C．(1,2,3)-D．(3,2,1)-6.三棱柱111ABC A B C -中，底⾯边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=?，则异⾯直线1AB 与1BC 所成⾓的余弦值为A、33B、66C、34D、367．设m ∈R ，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最⼤值A．B．C．6D．38．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上⼀点，且123F PF π∠=，若12F PF ?的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，当4R r =时，椭圆的离⼼率为（）A．45B．23C．12D．25⼆．多项选择题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，在每⼩题给出的四个选项中，有多个是符合题⽬要求的，全部选出得5分，漏选得2分，选错或多选得0分.9.已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是A.2l 始终过定点21,33?? ???B.若12//l l ，则1a =或-3C.若12l l ⊥，则0a =或2D.当0a >时，1l 始终不过第三象限10．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.则以下⼏个命题正确的有A．直线l 恒过定点(3,1)B．圆C 被y 轴截得的弦长为62C．直线l 与圆C 恒相交D．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的⽅程为250x y --=11．在四⾯体P ABC -中，以上说法正确的有A．若1233AD AC AB =+ ，则可知3BC BD = B．若Q 为ABC ?的重⼼，则111333PQ PA PB PC =++ C．若0PA BC ?= ，0PC AB ?= ，则0PB AC ?= D．若四⾯体P ABC -各棱长都为2，N M ,分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 12．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中⼼.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离⼼率分别为12,e e ，则下列结论正确的是()A．()11222a c a c +>+B．1122a c a c -=-C．1221a c a c >D．2112e e +=三、填空题（共4⼩题，每⼩题5分，满分20分）13.已知(2,1),(1,1)a b == ，则与2a b + ⽅向相同的单位向量e =________________.14.当点(2,1)P --到直线l ：(()13)1240()x y R =∈＋＋＋－－λλλλ距离的最⼤值时，直线l 的⼀般式⽅程是_________15.已知圆2212x y +=与圆2260x y x ++-=交于B A ,两点，过B A ,分别作直线AB 的垂线，与x 轴分别交于D C ,两点，则CD =__________.16.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，21,F F 分别为椭圆122=+b y a x 的左、右焦点，C B ,为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另⼀个交点为D ，若21BF F ?的⾯积为2125b ，则直线CD 的斜率为__________.四、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.17.（本⼩题满分10分）已知直线l ⽅程为Rm m my x m ∈=---+,083)2((1)求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；(2)若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的⽅程.18.（本⼩题满分12分）已知空间三点)5,1,1(),6,1,2(),3,2,0(--C B A ．(1)若点D 在直线AC 上,且AC BD ⊥,求点D 的坐标；(2)求以BC BA ,为邻边的平⾏四边形的⾯积．19.（本⼩题满分12分）已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .（1）若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的⽅程；（2）求满⾜条件3PM =的点P 的轨迹⽅程.20.（本⼩题满分12分）设椭圆)0(1:22>>=+b a b y a x C 过点)4,0(,离⼼率为53．（1）求C 的⽅程；（2）求过点)0,3(且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标.21.（本⼩题满分12分）如图所⽰，四棱锥S ABCD -中，2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=?，2CB BD ==，6SB SD ==，平⾯SBD ⊥平⾯ABCD .（1）求证：平⾯SBD ⊥平⾯SBC ；（2）若点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平⾯ABP 与平⾯SBD 所成锐⼆⾯⾓⼤⼩为60?，求λ的值.22.（本⼩题满分12分）设()2,1M 是椭圆22221x y a b +=上的点，12,F F 是焦点，离⼼率22e =.（1）求椭圆的标准⽅程；（2）设()()1122,,,A x y B x y 是椭圆上的两点，且1222x x +=，问线段AB 的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.2020～2021学年度第⼀学期第⼀学段模块考试⾼⼆数学模拟试题（三）参考答案⼀.单项选择题.1-4.BBDD5-8.ABCB ⼆.多项选择题.9.ADC10.ACD 11.ABC 12.ABD 三.填空题.13.)53,54(14.0173=--y x 15.416.135三.解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.17解：(1))1,4((2)04=-y x 或05=-+y x 18解：（1）)2,3,1(-=)2,3,1(-==λλAC AD ,)23,32,()2,3,1(),2,3,1(λλλλλ+-=-+=-=-OA OD OA OD ,)32,31,2()6,1,2()23,32,(--+=--+-=-=λλλλλλOB OD BD ,071464932)32,31,2()2,3,1(=-=-++-+=--+?-=?λλλλλλλBD AC ,21=λ,)4,21,21(),4,21,21(D OD =.（2）14)1()2(3,14)3(121,2,3(),3,1,2(222222=-+-+==-++=--=-=BC BA 7)1()3()2(132=-?-+-?+?=?BC BA ,2114147cos =?===BCBA B ,23sin =B ,37231414=??=S ,所以以BC BA ,为邻边得平⾏四边形的⾯积为37.19解：（1）2222:2410(1)(2)4C x y x y x y ++-+=∴++-= 切线l 斜率不存在时，即1x =，满⾜圆⼼到切线距离等于半径，当切线l 斜率存在时，设3:3(1)24l y k x k -=-\\=-33(1),341504y x x y ∴-=--+-=综上，切线l 的⽅程为34150x y +-=或1x =；（2）设(,)P x y ，则由3PM =得PC ===即:()()221213x y ++-=20.解:(1)53,4==a c b ，得5,3==a c ，所以椭圆C的⽅程为：1162522=+y x ;(2)中点坐标为：56,23(-21.（1）证明：因为2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=?，故90CBD ∠=?，故BC BD ⊥.⼜平⾯SBD ⊥平⾯ABCD ，平⾯SBD 平⾯ABCD BD =，BC ?平⾯ABCD ，故BC ⊥平⾯SBD ；因为BC ?平⾯SBC ，故平⾯SBD ⊥平⾯SBC ；（2）设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，⼜平⾯SBD ⊥平⾯ABCD ，故SE ⊥平⾯ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD ，AB 和平⾏于SE 的⽅向为x ，y ，z 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,4,0C ，()2,0,0D ，()1,1,2S ，因为CP CS λ= ，则()()1,3,2,3,2CP CS λλλλλ==--=-- ，所以()2,43,3P λλλ--，易得平⾯SBD 的⼀个法向量为()2,2,0BD = ，设(),,n x y z = 为平⾯ABP 的⼀个法向量，()0,2,0AB = ，()2,43,2AP λλλ=-- ，由0,0,n AB n AP ??==?? 得()()20,24320,y x y z λλλ=-+-+=?不妨取()2,0,2n λ=- .因为平⾯SBD 与平⾯ABP 所成锐⼆⾯⾓为60?，12=，解得23λ=，2λ=-（不合题意舍去），故23λ=.22.（1）由于椭圆的离⼼率为2e a ===，a ∴=，所以，椭圆的标准⽅程为222212x y b b +=，将点M 的坐标代⼊椭圆的标准⽅程得222221312b b b+==，得23b =，因此，椭圆的⽅程为22163x y +=；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的⽅程为y kx m =+，则0k ≠.将直线AB 的⽅程与椭圆⽅程联⽴22163y kx m x y =++=??，得()222214260k x kmx m +++-=.由韦达定理可得122421km x x k +=-=+，2221km k ∴=-+①，所以，121222221y y x x m k m k ++=?+=+，则线段AB 的中点坐标为222,2121km m k k ??- ?++?? .则线段AB 的垂直平分线⽅程为22122121m km y x k k k ??-=-+ ?++??，即2121m y x k k =--+，即211212km y x x k k k =-+=-- ? ? ?+，此时，线段AB 的垂直平分线过定点；综上所述，线段AB的垂直平分线过定点,02.。

2021～2022学年度第一学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBDCBDCA二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．AC10．BC11．BCD12．AB三、填空题(每小题5分，共20分)13．3414．(2,1)-16．[0,3四、解答题(共70分)（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．） 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为(2,3)B -，(0,3)C -，BC 的中点为D ，所以(1,0)D -． ................................................................................................. 2分 所以直线AD 的方程为：120112y x --=---， 整理得：310x y -+=． ................................................................................. 4分（Ⅱ）因为(2,3)B -，(0,3)C -，所以||BC ==． ............................................... 5分又直线BC 的方程为：323302y x -+=--+， 即330x y ++=． ............................................................................................ 7分则A 点到直线BC 的距离：d ==． .............................. 9分所以ABC △的面积为：11||1022ABC S BC d =⋅⋅=⨯=△． .................................. 10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离：d ==． 因为直线40x y +-=与圆C 相切，所以r d ==． ................................................................................................ 2分故圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=． .................................................. 4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即：320kx y k -+-=． ................................................................................... 6分 则圆心(1,1)C 到直线l 的距离：d =，又因为直线被圆C 所截得的弦长为2， 所以212d +=，可得1d ==．解得34k =． .......................................................................................................... 8分 所以直线l 的方程为：33(2)4y x -=-，整理可得：3460x y -+=． ........................................................................... 10分 ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：2x =， 代入圆的方程可得：2(1)1y -=， 解得0y =或2y =． 可得弦长为2，满足条件．综上所述直线l 的方程为：3460x y -+=或2x =． ................................. 12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB = a ，AC = b ，AD = c ．由题知：2221===b c a ，12⋅=⋅=⋅=a b b c c a ． ........................................................................... 1分 又23AO AB BO AB BE =+=+2()3AB AE AB =+-1233AB AE =+121()332AB AC AD =+⨯+111333AB AC AD =++111333=++a b c ． ...................................................................................... 3分 故1()()3AO BC ⋅=++- a b c b a221()3=⋅-+-⋅+⋅-⋅a b a b b a c b c a 0=．故AO BC ⊥． ...................................................................................................... 5分又1()()3AO BD ⋅=++⋅- a b c c a ，221()3=⋅-+⋅-⋅+-⋅a c a b c b a c c a 0=．故AO BD ⊥． ...................................................................................................... 7分 又因为BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且BC BD B = ，所以AO ⊥平面BCD ． ....................................................................................... 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点A 到平面BCD 的距离为：||AO =1|()|3++a b c ．= =3=． .................................................................................................... 12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由AD BD =得，45ABD BAD ∠=∠=︒，所以90ADB ∠=︒．又PD ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以PD DA ⊥． 同理PD DB ⊥．所以DA ，DB ，DP 两两垂直，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间坐标系． .............. 1分 则(1,0,0)A ，(1,1,0)C -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B 所以(1,0,1)PA =- ，(1,1,1)PC =--， .故1010PA PC ⋅=-++=，所以PA PC ⊥． ....................................................................................................... 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,1)PB =-．设111(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则0PA PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ， 即11110x z y z -=⎧⎨-=⎩，可取(1,1,1)=m ． ..................................................................................................... 7分 同理，设222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量，所以00PC PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ， 即2222200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，可取(0,1,1)=n ．.................................................................................................... 10分所以cos ,||||3⋅<>===⋅m n m n m n ． ............................................. 11分 由图可知，二面角A PB C --的平面角是钝角，所以，二面角A PB C --的余弦值3-． ...................................................... 12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，点B 在直线250x y -+=上，设点(25,)B b b -． .................................................................................................... 1分 则线段AB 的中点坐标为231(,22b b -+． ........................................................... 2分由题意可知，点231(,)22b b -+在直线2310x y +-=上， 则231231022b b -+⨯+⨯-=． 解得57b =．则25257b -=-，所以点B 的坐标为：255(,)77-． ........................................................................... 6分 （Ⅱ）设点A 关于直线250x y -+=的对称点为点(,)M m n ，由题意可得212502211122m n n m ++⎧-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩， 解得05m n =⎧⎨=⎩．即点(0,5)M ．......................................................................................................... 10分 直线BM 的斜率为：556725507BM k -==--，所以直线BC 的方程为655y x =+，即65250x y -+=．.............................................................................................. 12分22（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为圆心C 在直线20x y +-=上，设圆心坐标为(,2)C a a -． ..................................................................................... 1分 又因为圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)G -，所以OC CG =，即2222(2)(2)[(2)2]a a a a +-=++--，解得：0a =．所以圆心为(0,2)C ． ............................................................................................... 3分 半径为2r =．所以圆C 的方程为：2240x y y +-=． .............................................................. 4分（Ⅱ）设点2(,4a P a ，其中4a >，故过P 与圆相切的直线斜率一定存在且不为0．设过P 的与圆相切的直线斜率为k ，则切线方程为：204a kx y ka --+=．故圆心C到切线的距离2|2|2a ka d --==． 整理得：34222(4)(4)0216a a a k a k a ---+-=． ............................................. 5分故：3122424a ak k a -+=-，42122164a a k k a -=-． ......................................... 6分不妨记直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k所以有21:()4a PA y k x a -=-， 22:()4a PB y k x a -=-，令0y =得214M a x a k =- ，224N a x a k =-． ....................................................... 7分所以：2212||=||||44M N a a MN x x k k -=- 22112||4||k k a k k -=12=22416a a =-． ........................................................................................... 9分 211=||||224PMN P a S MN y MN ⋅=⋅△2222164a a a =⋅- 422(16)a a =- 24111162a a =⋅-． .......................................................................................... 10分 令21t a =(4)a >，则1(0,16t ∈． 22411616t t a a-=-+ 2111=16()(0,326464t --+∈．所以24164116a a≥-． ∴32PMN S ≥△． ...................................................................................................... 12分。

2020-2021学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）对于空间任意一点O 和不共线的三点A.B.C.且有 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x.y.z∈R ）.则x=2.y=-3.z=2是P.A.B.C 四点共面的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.（单选题.5分）已知直线l 的方向向量 α .平面α的法向量 μ .若 α =（1.1.1）. μ =（-1.0.1）.则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行3.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.所有棱长均为1.且AA 1⊥底面ABC.则点B 1到平面ABC 1的距离为（ ）A. √217B.√105 C. √216D.√104 4.（单选题.5分）设直线l 1：x+3y-7=0与直线l 2：x-y+1=0的交点为P.则P 到直线l ：x+ay+2-a=0的距离最大值为（ ）A. √10B.4C. 3√2D. √115.（单选题.5分）两圆x 2+y 2+4x-4y=0和x 2+y 2+2x-12=0的公共弦所在直线的方程为（ ）A.x+2y-6=0B.x-3y+5=0C.x-2y+6=0D.x+3y-8=06.（单选题.5分）若直线3x-y+c=0.向右平移1个单位长度再向下平移1个单位.平移后与圆x 2+y 2=10相切.则c 的值为（ ）A.14或-6B.12或-8C.8或-12D.6或-147.（单选题.5分）若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点.则该椭圆的标准方程为（ ）A. x 25 +y 2=1B. x 24 + y 25 =1C. x 25 +y 2=1或 x 24 + y 25 =1D.以上答案都不对8.（单选题.5分）设点M （x 0.1）.若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N.使得∠OMN=45°.则x 0的取值范围是（ ）A.[-1.1]B.[- 12 . 12 ]C.[- √2 . √2 ]D.[- √22 . √22 ]9.（多选题.5分）已知椭圆C 的中心为坐标原点.焦点F 1.F 2在y 轴上.短轴长等于2.离心率为 √63 .过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点.则下列说法正确的是（ ）A.椭圆C 的方程为 y 23 +x 2=1B.椭圆C的方程为 x 23 +y 2=1 C.|PQ|= 2√33D.△PF 2Q 的周长为4 √310.（多选题.5分）如图.在直三棱柱ABCA1B1C1中.∠BAC= π2.AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点.D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF.则线段DF的长度的平方可以取的值为（）A. 110B. 15C. 12D.111.（多选题.5分）以下四个命题表述正确的是（）A.直线（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）恒过定点（-3.-3）B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x-y+ √2 =0的距离都等于1C.曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线.则m=4D.已知圆C：x2+y2=1.点P为直线x4 + y2=1上一动点.过点P向圆C引两条切线PA.PB.A.B为切点.则直线AB经过定点(14，12)12.（多选题.5分）如图四棱锥P-ABCD.平面PAD⊥平面ABCD.侧面PAD是边长为2√6的正三角形.底面ABCD为矩形. CD=2√3 .点Q是PD的中点.则下列结论正确的是（）A.CQ⊥平面PADB.PC与平面AQC所成角的余弦值为2√23C.三棱锥B-ACQ的体积为6√2D.异面直线CQ与AB 所成的角的余弦值为√6313.（填空题.5分）已知a =（1.1.0）. b⃗ =（-1.0.2）.且k a + b⃗与2 a - b⃗垂直.则k的值为___ ．14.（填空题.5分）一条光线从点（2.-3）射出.经x轴反射.其反射光线所在直线与圆（x-3）2+y2=1相切.则反射光线所在的直线方程为___ ．15.（填空题.5分）椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2.点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时.点P横坐标的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）已知圆O：x2+y2=4.A.B是圆上两点.点P（1.2）且PA⊥PB.则|AB|最大值是___ ．17.（问答题.10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2.1）作弦且弦被P平分.则此弦所在的直线方程．18.（问答题.12分）已知△ABC的顶点C（2.-8）.直线AB的方程为y=-2x+11.AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0．（1）求顶点A和B的坐标；（2）求△ABC外接圆的一般方程．19.（问答题.12分）已知⊙C：x2+y2-2x-4y-20=0.直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A.B．求线段AB中点P的轨迹方程.并求弦AB的最小值．20.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.M是PA的中点.PD⊥平面ABCD.且PD=CD=4.AD=2．（1）求AP与平面CMB所成角的正弦．（2）求二面角M-CB-P的余弦值．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32.一个顶点为M（0.1）.直线l交椭圆于A.B两点.且MA⊥MB．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线l过定点．22.（问答题.12分）如图.在多面体ABCDEF中.平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形.四边形ABCD为梯形.且AD || BC.△ABD是边长为1的等边三角形.M为线段BD中点.BC=3．（1）求证：AF⊥BD；（2）求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；（3）线段BD上是否存在点N.使得直线CE || 平面AFN？若存在.求BNBD的值；若不存在.请说明理由．2020-2021学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）对于空间任意一点O 和不共线的三点A.B.C.且有 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x.y.z∈R ）.则x=2.y=-3.z=2是P.A.B.C 四点共面的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．【解答】：解：若P.A.B.C 四点共面.则满足x+y+z=1.则x=2.y=-3.z=2不一定成立.即必要性不成立．若x=2.y=-3.z=2.则满足x+y+z=2-3+2=1.则P.A.B.C 四点共面.即充分性成立.故x=2.y=-3.z=2是P.A.B.C 四点共面的充分不必要条件.故选：A ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．2.（单选题.5分）已知直线l 的方向向量 α .平面α的法向量 μ .若 α =（1.1.1）. μ =（-1.0.1）.则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行【正确答案】：D【解析】：由 α • μ =0.即可判断出直线l 与平面α的位置关系．【解答】：解：∵ α• μ =-1+1=0.∴ α⊥ μ .∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．故选：D．【点评】：本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．3.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.所有棱长均为1.且AA1⊥底面ABC.则点B1到平面ABC1的距离为（）A. √217B. √105C. √216D. √104【正确答案】：A【解析】：利用点B1到平面ABC1的距离是三棱锥B1-ABC1的高.利用等积法求出即可．【解答】：解：由题意可知. S△ABB1 = 12×1×1= 12.点C1到平面ABB1的距离是√32；所以V三棱锥C1−ABB1 = 13× 12× √32= √312；由正三棱柱的结构特征知.点C1到直线AB的距离是√12+(√32)2= √72.所以S△ABC1 = 12×1× √72= √74；设B1到平面ABC1的距离为h.由V三棱锥B1−ABC1 = V三棱锥C1−ABB1.所以13 × √74×h= √312.解得h= √217.即点B1到平面ABC1的距离为√217．故选：A ．【点评】：本题考查了点、线、面间的距离计算问题.计算时常采用等体积法.是中档题．4.（单选题.5分）设直线l 1：x+3y-7=0与直线l 2：x-y+1=0的交点为P.则P 到直线l ：x+ay+2-a=0的距离最大值为（ ）A. √10B.4C. 3√2D. √11【正确答案】：A【解析】：联立 {x +3y −7=0x −y +1=0.解得交点P ．直线l ：x+ay+2-a=0化为：x+2+a （y-1）=0.因此直线经过定点Q （-2.1）．即可得出P 到直线l ：x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|．【解答】：解：联立 {x +3y −7=0x −y +1=0.解得x=1.y=2．可得P （1.2）． 直线l ：x+ay+2-a=0化为：x+2+a （y-1）=0.因此直线经过定点Q （-2.1）．P 到直线l ：x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|= √(1+2)2+(2−1)2 = √10 ．故选：A ．【点评】：本题考查了对称性、中点坐标公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．5.（单选题.5分）两圆x 2+y 2+4x-4y=0和x 2+y 2+2x-12=0的公共弦所在直线的方程为（ ）A.x+2y-6=0B.x-3y+5=0C.x-2y+6=0D.x+3y-8=0【正确答案】：C【解析】：两个圆联立可直接得到公共弦所在的直线方程．【解答】：解：两个圆的方程联立 {x 2+y 2+4x −4y =0x 2+y 2+2x −12=0.两式相减整理可得：x-2y+6=0. 所以两个圆的公共弦所在的直线方程为：x-2y+6=0.故选：C ．【点评】：本题考查两圆的位置关系.属于基础题．6.（单选题.5分）若直线3x-y+c=0.向右平移1个单位长度再向下平移1个单位.平移后与圆x2+y2=10相切.则c的值为（）A.14或-6B.12或-8C.8或-12D.6或-14【正确答案】：A【解析】：根据平移规律“上加下减.左加右减”表示出平移后直线的方程.根据平移后直线与圆相切.可得圆心到直线的距离等于圆的半径.利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程.求出方程的解即可得到λ的值．【解答】：解：圆x2+y2=10所以圆心坐标为（0.0）.半径r= √10 .直线3x-y+c=0.变形为y=3x+c.根据平移规律得到平移后直线的解析式为：y=3（x-1）+c-1.即3x-y+c-4=0.由此时直线与圆相切.可得圆心到直线的距离d=√10=r= √10 .解得：c=14或-6．故选：A．【点评】：此题考查了直线与圆的位置关系.涉及的知识有：圆的标准方程.点到直线的距离公式.以及平移规律.当直线与圆相切时.圆心到直线的距离等于圆的半径.熟练掌握此性质及平移规律是解本题的关键．7.（单选题.5分）若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点.则该椭圆的标准方程为（）A. x25+y2=1B. x24 + y25=1C. x25 +y2=1或x24+ y25=1D.以上答案都不对【正确答案】：C【解析】：利用椭圆的简单性质求解.题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上.所以分情况讨论．【解答】：解：直线x-2y+2=0与x 轴的交点为（-2.0）.与y 轴的交点为（0.1）. 当椭圆的焦点在x 轴上.椭圆的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)则c=2.b=1.a 2=b 2+c 2=5.∴焦点在x 轴上.椭圆的标准方程为 x 25+y 2=1 ；当椭圆的焦点在y 轴上.椭圆的标准方程为 y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)则c=1.b=2.a 2=b 2+c 2=5.∴焦点在y 轴上.椭圆的标准方程为 x 24+y 25=1 ． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.题中没有明确焦点在x 轴还是在y 轴上.要分情况讨论.解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用.属于基础题．8.（单选题.5分）设点M （x 0.1）.若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N.使得∠OMN=45°.则x 0的取值范围是（ ）A.[-1.1]B.[- 12 . 12 ]C.[- √2 . √2 ]D.[- √22 . √22 ]【正确答案】：A【解析】：根据直线和圆的位置关系.利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：由题意画出图形如图：点M （x 0.1）.要使圆O ：x 2+y 2=1上存在点N.使得∠OMN=45°.则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N.使得∠OMN=45°.而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值.此时MN=1.图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1.∴x 0的取值范围是[-1.1]．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.数形结合是快速解得本题的策略之一．9.（多选题.5分）已知椭圆C的中心为坐标原点.焦点F1.F2在y轴上.短轴长等于2.离心率为√63.过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点.则下列说法正确的是（）A.椭圆C的方程为y23+x2=1B.椭圆C的方程为x23+y2=1C.|PQ|= 2√33D.△PF2Q的周长为4 √3【正确答案】：ACD【解析】：由已知求得b.再由离心率结合隐含条件求得a.可得椭圆方程.进一步求得通径及△PF2Q的周长判断得答案．【解答】：解：由已知得.2b=2.b=1. ca =√63.又a2=b2+c2.解得a2=3．∴椭圆方程为x2+y23=1．如图：∴|PQ|= 2b2a =√3=2√33.△PF2Q的周长为4a=4 √3．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.考查数形结合的解题思想方法.是中档题．10.（多选题.5分）如图.在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中.∠BAC= π2 .AB=AC=AA 1=1.已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点.D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF .则线段DF 的长度的平方可以取的值为（ ）A. 110B. 15C. 12D.1【正确答案】：BC【解析】：根据直三棱柱中三条棱两两垂直.可建立空间直角坐标系.设出F 、D 的坐标.求出向量 GD ⃗⃗⃗⃗⃗ . EF⃗⃗⃗⃗⃗ .利用GD⊥EF 求得关系式.写出DF 的表达式.然后利用二次函数求最值即可．【解答】：解：以A 为原点.AB 为x 轴.AC 为y 轴.AA 1为z 轴.建立空间直角坐标系. 则A （0.0.0）.E （0.1. 12 ）.G （ 12 .0.1）.设AF=x.AD=y.则F （x.0.0）.D （0.y.0）∴ GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 .y.-1）. EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.-1.- 12）. ∵GD⊥EF .∴ GD ⃗⃗⃗⃗⃗ •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x+2y-1=0.∴x=1-2y. DF= √x 2+y 2 = √(1−2y )2+y 2 = √5(y −25)2+15 . ∵0＜x ＜1.∴y∈（0. 12 ） ∴当y= 25 时.线段DF 长度的最小值是 √55 .又y=0时.线段DF 长度的最大值是1.而不包括端点.故y=0不能取.∴线段DF 的长度的平方的取值范围是[ 15 .1）．【点评】：本题的考点是点、线、面间的距离计算.主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识.考查运算求解能力．属于中档题．11.（多选题.5分）以下四个命题表述正确的是（ ）A.直线（3+m ）x+4y-3+3m=0（m∈R ）恒过定点（-3.-3）B.圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l ：x-y+ √2 =0的距离都等于1C.曲线C 1：x 2+y 2+2x=0与曲线C 2：x 2+y 2-4x-8y+m=0恰有三条公切线.则m=4D.已知圆C ：x 2+y 2=1.点P 为直线 x 4 + y 2 =1上一动点.过点P 向圆C 引两条切线PA.PB.A.B 为切点.则直线AB 经过定点 (14，12)【正确答案】：BCD【解析】：利用直线系方程求解直线所过定点判断A ；求出圆心到直线的距离.结合圆的半径判断B ；由圆心距等于半径和列式求得m 判断C ；求出两圆公共弦所在直线方程.再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D ．【解答】：解：由（3+m ）x+4y-3+3m=0.得3x+4y-3+m （x+3）=0.联立 {x +3=03x +4y −3=0 .解得 {x =−3y =3. ∴直线（3+m ）x+4y-3+3m=0（m∈R ）恒过定点（-3.3）.故A 错误；∵圆心（0.0）到直线l ：x-y+ √2 =0的距离等于1.∴直线与圆相交.而圆的半径为2.故到直线距离为1的两条直线.一条与圆相切.一条与圆相交.因此圆上有三个点到直线l ：x-y+ √2 =0的距离等于1.故B 正确；两圆有三条公切线.则两圆外切.曲线C 1：x 2+y 2+2x=0化为标准式（x+1）2+y 2=1.曲线C 2：x 2+y 2-4x-8y+m=0化为标准式（x-2）2+（y-4）2=20-m ＞0.圆心距为 √(2+1)2+42=5 =1+ √20−m .解得m=4.故C 正确；设点P 的坐标为（m.n ）.∴ m 4+n 2=1 .以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2-mx-ny=0.两圆的方程作差得直线AB 的方程为：mx+ny=1.消去n 得.m （x- y 2 ）+2y-1=0.令x- y2 =0.2y-1=0.解得x= 14.y= 12.故直线AB经过定点（14. 12）.故D正确．故选：BCD．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用.考查运算求解能力.属于中档题．12.（多选题.5分）如图四棱锥P-ABCD.平面PAD⊥平面ABCD.侧面PAD是边长为2√6的正三角形.底面ABCD为矩形. CD=2√3 .点Q是PD的中点.则下列结论正确的是（）A.CQ⊥平面PADB.PC与平面AQC所成角的余弦值为2√23C.三棱锥B-ACQ的体积为6√2D.异面直线CQ与AB 所成的角的余弦值为√63【正确答案】：BD【解析】：建立空间坐标系.根据直线的方向向量和法向量的关系.判断直线CQ和平面PAD的位置关系判断A.根据线面角的关系即可判断B.根据体积转化求出三棱锥B-ACQ.可判断C.根据异面直线CQ与AB的夹角公式即可判断D．【解答】：证明：∵侧面PAD是正三角形.取AD的中点O.∴PO⊥AD.∵AD=2 √6 .∴PO=3 √2 .OD= √6∴以O为原点.OD为x轴.过O作CD的平行线为y轴.OP为z轴.建立空间直角坐标系.则D（√6 .0.0）.P（0.0.3 √2）.C（√6 .2 √3 .0）.A（- √6 .0.0）.B（- √6 .2 √3 .0）.∵点Q是PD的中点.∴Q （ √62 .0. 3√22）. ∴ CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √62 .-2 √3 . 3√22）. ∵底面ABCD 为矩形.∴平面PAD 的法向量为（0.2 √3 .0）.∴ CQ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PAD 的法向量不平行. ∴CQ 与平面PAD 不垂直.故A 错误；∵ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √6 .2 √3 .-3 √2 ）. AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（2 √6 .2 √3 .0）. 设平面AQC 的法向量为 n ⃗ .∴ {CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0. 即 {−√62x −2√3y +3√22z =02√6x +2√3y =0. 令x=1.可得y=- √2 .z=- √3 .则 n ⃗ =（1．- √2 .- √3 ）.∵ PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √6 .2 √3 .-3 √2 ）. ∴cos ＜ n ⃗ . PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= |PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = √66√6 = 13 . 故PC 与平面AQC 所成角的余弦值为 √1−19 =2√23 .故B 正确； 由于V B-ACQ =V Q-ABC = 13 × 12 ×2 √3 ×2 √6 × 12 ×3 √2 =6.故C 错误；∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2 √3 .0）. CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √62 .-2 √3 . 3√22）. ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12.| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 √3 .| CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3 √2 .∴|cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |= 2√3×3√2 = √63 .故D 正确．故选：BD ．【点评】：本题考查了空间向量的线面的关系.线面角.异面直线所成的角.体积的求法.考查了运算能力和转化能力.属于中档题．13.（填空题.5分）已知a =（1.1.0）. b⃗ =（-1.0.2）.且k a + b⃗与2 a - b⃗垂直.则k的值为___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：根据所给的两个向量的坐标.写出k a + b⃗与2 a - b⃗的坐标.根据两个向量垂直.写出两个向量的数量积等于0.解出关于k的方程.得到结果．【解答】：解：∵ a =（1.1.0）. b⃗ =（-1.0.2）.∴k a + b⃗ =k（1.1.0）+（-1.0.2）=（k-1.k.2）2 a - b⃗ =2（1.1.0）-（-1.0.2）=（3.2.-2）.∵k a + b⃗与2 a - b⃗垂直.∴3（k-1）+2k-4=0..∴k= 75故答案为：75【点评】：本题考查两个向量垂直的充要条件.考查利用方程思想解决向量问题.这种题目的运算量不大.若出现是一个送分题目．14.（填空题.5分）一条光线从点（2.-3）射出.经x轴反射.其反射光线所在直线与圆（x-3）2+y2=1相切.则反射光线所在的直线方程为___ ．【正确答案】：[1]x=2或4x+3y-17=0【解析】：找出点（2.-3）关于x轴的对称点.此点在反射光线上.设出反射光线的斜率为k.表示反射光线的方程.由反射光线与已知圆相切.可得出圆心到反射线的距离等于圆的半径.利用点到直线的距离公式列出关于k的方程.求出方程的解得到k的值.即可确定出反射线的方程．【解答】：解：点（2.-3）关于x轴的对称点坐标为点（2.3）.① 当反射光线所在的直线斜率不存在时.符合条件的方程为x=2．② 设反射光线的斜率为k.可得出反射光线为y-3=k（x-2）.即kx-y-2k+3=0.∵反射光线与圆（x-3）2+y2=1相切.∴圆心到反射光线的距离d=r.√1+k2=1.整理得：6k+8=0.解得：k=- 43．此时.反射光线所在的直线方程为：4x+3y-17=0．综上所述.反射光线所在的直线方程为：x=2或4x+3y-17=0．故答案是：x=2或4x+3y-17=0．【点评】：此题考查了直线与圆的位置关系.涉及的知识有：直线的一般式方程.圆的标准方程.以及点到直线的距离公式.当直线与圆相切时.圆心到切线的距离等于圆的半径.熟练掌握此性质是解本题的关键．15.（填空题.5分）椭圆x29+y24=1的焦点F1、F2.点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时.点P横坐标的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−3√55，3√55)【解析】：设P（x.y）.根据椭圆方程求得两焦点坐标.根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系.求得x的范围．【解答】：解：如图.设P（x.y）.则F1(−√5，0)，F2(√5，0) .且∠F1PF2是钝角⇔PF12+PF22＜F1F22⇔(x+√5)2+y2+(x−√5)2+y2＜20⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4(1−x29)＜5⇔x2＜95⇔−3√55＜x＜3√55．故答案为：(−3√55，3√55)．【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题．16.（填空题.5分）已知圆O ：x 2+y 2=4.A.B 是圆上两点.点P （1.2）且PA⊥PB .则|AB|最大值是___ ．【正确答案】：[1] √5+√3【解析】：根据题意作出图象.结合圆的性质及直角三角形中线的性质.可得|OR|min .即可求出|AB|的最大值．【解答】：解：如图示：设R （x.y ）是线段AB 的中点.则OR⊥AB .∴|PR|= 12 |AB|=|RB|.在Rt△ORB 中.|OB|=2.|OR|= √x 2+y 2 .|RB|=|RP|= √(x −1)2+(y −2)2 .由勾股定理得：22=x 2+y 2+（x-1）2+（y-2）2.整理得 (x −12)2 +（y-1）2= 34. 故R 的轨迹是以C （ 12 .1）为圆心.以r= √32 为半径的圆. 故|OR|min =|OC|-r= √14+1 - √32 =√5−√32 . 由圆的弦长公式可得：|AB|max =2|BR|max =2 √|OB |2−(|OR |min )2 =2 √4−(√5−√32)2 = √8+2√15 = √5 + √3 .故答案为： √5+√3 ．【点评】：本题考查了圆的性质.考查圆的弦.弦心距.半径的关系.考查数形结合思想.是一道中档题．17.（问答题.10分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2.1）作弦且弦被P 平分.则此弦所在的直线方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a.b.c 即可；（2）设以点P （2.1）为中点的弦与椭圆交于A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.利用点差法能求出结果．【解答】：解：（1）e= c a = √32 .2b=4.所以a=4.b=2.c=2 √3 .椭圆标准方程为 x 216 + y 24 =1.（2）设以点p （2.1）为中点的弦与椭圆交于A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.则x 1+x 2=4.则y 1+y 2=2.分别代入椭圆的方程.两式相减可得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+4（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0.∴4（x 1-x 2）+8（y 1-y 2）=0.∴k= y 2−y 1x 2−x 1 =- 12 . ∴点P （2.1）为中点的弦所在直线方程为y-1=- 12（x-2）.整理.得：x+2y-4=0．【点评】：本题考查直线方程的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意点差法的合理运用．18.（问答题.12分）已知△ABC 的顶点C （2.-8）.直线AB 的方程为y=-2x+11.AC 边上的高BH 所在直线的方程为x+3y+2=0．（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求△ABC 外接圆的一般方程．【正确答案】：【解析】：（1）由题意直线BH.AB 联立求出B 的坐标.及求出直线AC 的方程.与直线AB 联立求出A 的坐标；（2）设圆的一般方程将A.B.C 三点坐标代入求出圆的一般方程．【解答】：解：（1）由 {y =−2x +11x +3y +2=0可得顶点B （7.-3）. 又因为AC⊥BH 得. k BH =−13 .所以设AC 的方程为y=3x+b.将C （2.-8）代入得b=-14.由 {y =−2x +11y =3x −14可得顶点为A （5.1）. 所以A 和B 的坐标分别为（5.1）和（7.-3）.（2）设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.将A （5.1）、B （7.-3）和C （2.-8）三点的坐标分别代入得 {5D +E +F +26=07D −3E +F +58=02D −8E +F +68=0 则有 {D =−4E =6F =−12.所以△ABC 的外接圆的一般方程为x 2+y 2-4x+6y-12=0．【点评】：考查求直线与直线的交点和圆的方程.属于基础题．19.（问答题.12分）已知⊙C ：x 2+y 2-2x-4y-20=0.直线l ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．（1）求证：直线l 与⊙C 恒有两个交点；（2）若直线l 与⊙C 的两个不同交点分别为A.B ．求线段AB 中点P 的轨迹方程.并求弦AB 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出圆C 的圆心和半径.整理直线方程为m （2x+y-7）+（x+y-4）=0.求出直线2x+y-7=0.x+y-4=0的交点.判断它在圆内.即可得证；（2）由题意知.设点P （x.y ）为弦AB 的中点.连接CP.则CP⊥PQ .由平面几何知识可得点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆.求得圆心和半径.注意运用中点坐标公式.再由当Q （3.1）是弦AB的中点时.|AB|最小.运用勾股定理即可得到所求值．【解答】：解：（1）证明：⊙C ：x 2+y 2-2x-4y-20=0.即（x-1）2+（y-2）2=25.圆心C （1.2）.半径r=5.又直线l ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.化为m （2x+y-7）+（x+y-4）=0.由 {2x +y −7=0x +y −4=0解得 {x =3y =1 . 则直线l 恒过定点Q （3.1）.由|CQ|= √(3−1)2+(1−2)2 = √5 ＜5.可得Q 在圆C 内.则直线l 与⊙C 恒有两个交点；（2）由题意知.设点P （x.y ）为弦AB 的中点.由（1）可知CP⊥PQ .点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆.线段CQ 的中点为（2. 32 ）.|CQ|= √5 .则线段AB 中点P 的轨迹方程为 (x −2)2+(y −32)2=54 ；由圆的几何性质可知.当Q （3.1）是弦AB 的中点时.|AB|最小．弦心距 d =|CQ |=√5 .⊙C 的半径为5.可得|AB|min =2 √52−(√5)2 =4 √5 ．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系的证明.注意运用直线恒过定点.考查线段中点的轨迹方程.注意运用几何法.考查弦长的最小值.注意运用弦长公式.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 是矩形.M 是PA 的中点.PD⊥平面ABCD.且PD=CD=4.AD=2．（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．（2）求二面角M-CB-P 的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点.DA.DC.DP 所在直线分别为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.由此能求出AP 与平面CMB 所成角的正弦值．（2）求出面CBP 法向量.利用向量法能求出二面角M-CB-P 的余弦值．【解答】：解：（1）以D 为原点.DA.DC.DP 所在直线分别为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.如图.A （2.0.0）.P （0.0.4）.C （0.4.0）.M （1.0.2）.B （2.4.0）.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.4）. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.-4.2）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.-4.4）.设面CMB 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −4y +2z =0.取y=1.得 n ⃗ =（0.1.2）. 设AP 与平面CMB 所成角为θ.则sinθ= |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | =| √20•√5|= 45 . ∴AP 与平面CMB 所成角的正弦值为 45 ．（2）设面CBP 法向量为 m ⃗⃗ =（x.y.z ）.则 {m ⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0m ⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −4y +4z =0.取z=1.得 n 2⃗⃗⃗⃗ =（0.1.1）. ∴cos ＜ n ⃗ ，m ⃗⃗ ＞= 1+2√5•√2= 3√1010 . ∴二面角M-CB-P 的弦值为3√1010 ．【点评】：本题考查线面角的正弦值、考查二面角的余弦植的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．21.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 √32.一个顶点为M （0.1）.直线l 交椭圆于A.B 两点.且MA⊥MB ．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 过定点．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆的离心率及上顶点的坐标及a.b.c 之间的关系求出a.b 的值.进而求出椭圆的方程；（2）易知直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程与椭圆联立.求出两根之和及两根之积.由MA⊥MB .所以 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.可得恒过（0.- 35 ）．【解答】：解：（1）由题意可得e= c a = √32 .b=1.而a 2=b 2+c 2.解得：a 2=4.b 2=1.所以椭圆的方程： x 24 +y 2=1； （2）证明：易知直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为y=kx+t.且t≠1.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立直线与椭圆的方程： {y =kx +t x 24+y 2=1 .整理可得：（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2-4=0.△=64k 2t 2-4（1+4k 2）（4t 2-4）＞0.即t 2＜1+4k 2.x 1+x 2=- 8kt 1+4k 2 .x 1x 2= 4t 2−41+4k 2 .因为MA⊥MB .所以 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即（x 1.y 1-1）•（x 2.y 2-1）=0.x 1x 2+y 1y 2-（y 1+y 2）+1=0.所以x 1x 2+（kx 1+t ）（kx 2+t ）-k （x 1+x 2）-2t+1=0.即（1+k 2）• 4t 2−41+4k 2 +k （t-1） •−8kt 1+4k 2 +t 2-2t+1=0.整理可得5t 2-2t-3=0.解得：t=- 35 或t=1（舍）.综上所述：可以得证直线恒过（0.- 35 ）．【点评】：本题考查求椭圆的方程与直线与椭圆的综合.及两条直线垂直的性质.属于中档题．22.（问答题.12分）如图.在多面体ABCDEF 中.平面ADEF⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形.四边形ABCD 为梯形.且AD || BC.△ABD 是边长为1的等边三角形.M 为线段BD 中点.BC=3．（1）求证：AF⊥BD ；（2）求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；（3）线段BD 上是否存在点N.使得直线CE || 平面AFN ？若存在.求 BN BD 的值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）推导出AF⊥AD ．从而AF⊥平面ABCD ．由此能证明AF⊥BD ．（2）取AD 中点O.EF 中点K.连接OB.OK ．则OB⊥OD .OK⊥OD .从而OB⊥平面AFEF.进而0B⊥OK .分别以OB.OD.OK 为x 轴.y 轴.z 轴建立空间直角坐标系.利用向量法能求出直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值．（3）要使直线CE || 平面AFN.只需AN || CD.利用向量法能求出线段BD 上存在点N.使得直线CE || 平面AFN.且 BN BD =23 ．【解答】：证明：（1）因为ADEF 为正方形.所以AF⊥AD ．又因为平面ADEF⊥平面ABCD.且平面ADEF∩平面ABCD=AD.所以AF⊥平面ABCD ．所以AF⊥BD ．解：（2）取AD 中点O.EF 中点K.连接OB.OK ．于是在△ABD 中.OB⊥OD .在正方ADEF 中OK⊥OD .又平面ADEF⊥平面ABCD.故OB⊥平面ADEF.进而0B⊥OK .即OB.OD.OK 两两垂直．分别以OB.OD.OK 为x 轴.y 轴.z 轴建立空间直角坐标系（如图）．于是. B (√32，0，0) . D (0，12，0) . C (√32，3，0) . E (0，•12，1) . M (√34，14，0)，F (0，−12，1)所以 MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34，−34，1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−52，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) .设平面CDE 的一个法向量为n=（x.y.z ）.则 {CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =−√32x −52y =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =z =0.令x=-5.则 y =√3 .则 n ⃗ =（-5. √3 .0）． 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ.则直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值为：sinθ=|cos ＜ MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|= |MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗ ||MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = √314 ． （3）要使直线CE || 平面AFN.只需AN || CD.设 BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1] . 则 (x n −√32，y n ，z n )=λ(−√32，12，0) . x n =√32−√32λ，y n =12λ，z n =0 . N (√32，−√32λ，12λ，0) . 所以 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，√32λ，12λ+12，0) .又 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−52，0)√32−√32−√32=12+12−52 . λ= 23∈[0，1] .所以线段BD 上存在点N.使得直线CE || 平面AFN.且 BN BD =23 ．【点评】：本题考查线线垂直的证明.考查线面角的正弦值的求法.考查满足条件的点是否存在的判断与求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．。

山东省枣庄滕州市第一中学2020-2021学年高二数学11月定时训练试题（一部）（时间120分钟 总分150分）一、单选题（共8小题，每题5分)1。

对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且，则2x =，3y =-,2z =是,,,P A B C 四点共面的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分又不必要条件2.已知直线l 的方向向量a ,平面α的法向量μ，若a ＝（1,1，1）,μ＝(－1,0，1）,则直线l 与平面α的位置关系是( ）A 。

垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D 。

直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行3。

如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC,则点B 1到平面ABC 1的距离为( )721.A510.B621.C410.D 4。

设直线1:370l x y +-= 与直线2:10lx y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为（ ） AB ．4C ．D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦所在直线的方程为( ） A ．x ＋2y －6＝0 B ．x －3y ＋5＝0 C ．x －2y ＋6＝0D ．x ＋3y －8＝06.若直线30x y c -+=，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆2210x y +=相切，则c 的值为（ ）A 。

14或6- B.12或8-C 。

8或12-D 。

6或14-7。

直线220xy 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A ．2215x y +=B ．22145x y +=C ．2215x y +=或22145x y +=D ．以上答案都不对8. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O xy +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ) A ．[1,1]-B ．11[,]22-C ．[2,2]-D ．22[,]22-二．多选题（共 4 小题， 每题 5 分，选全得满分，不全得 3 分，错选 0分）9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上,且短轴长为2，离心率为63，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ) A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C ．233PQ =D ．2PF Q ∆的周长为4310。

2020-2021学年山东省枣庄市高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.过点M(−2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A. 1B. 4C. 1或3D. 1或42.已知向量a⃗=(2,−3,5)与向量b⃗ =(−4,x,y)平行，则x，y的值分别是()A. −6和10B. 6和−10C. −6和−10D. 6和103.过点A(0,2)，斜率为1的直线方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x−y−2=0D. x+y+2=04.圆x2+y2+2x=0的圆心坐标和半径分别为()A. (1,0)，1B. (−1,0)，1C. (0,1)，1D. (1,0)，25.直线ax+y+3a−1=0恒过定点M，则直线2x+3y−6=0关于M点对称的直线方程为()A. 2x+3y−12=0B. 2x−3y−12=0C. 2x−3y+12=0D. 2x+3y+12=06.若直线y=x+m与曲线y=√1−x2有且只有一个公共点，则实数m的取值范围为()A. (−1,1]∪{−√2}B. {−√2,√2}C. [−1,1)∪{√2}D. (1,√2]7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M,N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在平面ABCD内，点Q在线段BN上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√5−55D. 3√558.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D.90∘二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列说法正确的是()A. 点(2,0)关于直线y=x+1的对称点为(−1,3)B. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1C. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或x−y=0D. 直线x−y−4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是810.已知两圆方程为x2+y2=16与(x−4)2+(y+3)2=r2(r>0)，则下列说法正确的是()A. 若两圆外切，则r=1B. 若两圆公共弦所在的直线方程为8x−6y−37=0，则r=2C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则r=3D. 若两圆有三条公切线，则r=211.已知曲线C：√(x+1)2+y2⋅√(x−1)2+y2=3，点P在曲线C上，则下列结论中正确的是()A. 曲线C关于坐标轴对称B. 曲线C上的点的横坐标的取值范围是[−2,2]C. 若A(−1,0)，B(1,0)，则存在点P，使△PAB的面积大于32D. 点P一定在椭圆x23+y22=1外12.下列说法正确的是()A. 双曲线x29−y216=1的渐近线方程是y=±43xB. 双曲线x2−y2=1的离心率c=√2C. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点F到渐近线的距离是bD. 双曲线x24−y22=1，直线l与双曲线交于A，B两点.若AB的中点坐标是(12,−1)，则直线l的方程为2x+8y+7=0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线3x+√3y−1=0的倾斜角大小为________．14.两平行直线l1︰ax+4y=0，l2︰3x+4y+m=0，若两直线之间的距离为1，则m=________15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1到平面ABC1D1的距离为√2，则正方体ABCD−A1B1C1D1棱长是______．16.已知AB是圆C：x2+y2−4x+2y+a=0的一条弦，M(1,0)是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在△ABC中，已知点A(2,2)，B(0,−2)，C(4,2)，点D为AB的中点，(1)求中线DC所在直线的方程(2)求BC边上的高所在直线的方程．18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P(2,−1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为√6，求直线l的方程．19.如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．(1)求证：PD//平面ACE；(2)求二面角P−AC−E的余弦值．20.如图所示的三棱台ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．(1)证明：AB1⊥平面BCC1B1；(2)若点D为BC中点，求点C到平面AB1D的距离．21.已知圆C轨迹方程为(x−2)2+y2=25．)，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若AB=8，求直线l的方程；(1)设点M(−1,32(2)设P是直线x+y+6=0上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22.已知圆C方程为(x−3)2+y2=12，定点A(−3,0)，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．(Ⅰ)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．(Ⅱ)过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查两点的斜率公式，两点的斜率公式为k=y2−y1x2−x1，利用比值为1即可求m．解：过点M(−2,m)、N(m,4)的直线的斜率等于1，所以k=y2−y1x2−x1=4−mm+2=1，解得m=1．故选A．2.答案：B解析：解：∵向量a⃗=(2,−3,5)与向量b⃗ =(−4,x,y)平行，∴−42=x−3=y5，解得x=6，y=−10．故选：B．利用向量平行的性质求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．3.答案：B解析：解：过点A(0,2)，斜率为1的直线方程是：y−2=x，即x−y+2=0．故选：B．利用点斜式方程求解．本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．4.答案：B解析：解：圆x 2+y 2+2x =0，即(x +1)2+y 2=1，表示以(−1,0)为圆心、半径为1的圆， 故选：B ．把一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线恒过定点，考查对称性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．由直线ax +y +3a −1=0可得定点坐标，设直线2x +3y −6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0，则|−6+3−6|4+9=|−6+3+c |4+9，求出c ，即可得出结论．解：由直线ax +y +3a −1=0， 可得a(x +3)+(y −1)=0， 令{x +3=0y −1=0， 可得x =−3，y =1， ∴M(−3,1)，设直线2x +3y −6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0， 则|−6+3−6|4+9=|−6+3+c |4+9，∴c =12或c =−6(舍去) 故选D ．6.答案：C解析：解：作出曲线y =√1−x 2与直线y =x +m 的图象如图：当直线y=x+m与半圆相切时，m=√2．当直线y=x+m与半圆相交时，−1≤m<1．∴实数m的取值范围为[−1,1)∪{√2}．故选：C．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.答案：C解析：本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．取AD中点O，则MO⊥面ABCD，即MO⊥OP，由PM=√5，得到OP=1，从而点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上．可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值．解：如图，取AD中点O，则MO⊥平面ABCD，即MO⊥OP，∵PM=√5，∴OP=√5−4=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上．可得O到BN的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥BN于H，△BON的面积为：S△BON=2×2−12×2×1−12×2×1−12×1×1=32，∴S△BON=12×OH×BN=12×OH×√5=32，解得OH=3√55，∴PQ长度的最小值为：OH−OP=3√55−1=3√5−55．故选C．8.答案：C解析：本题考查了异面直线所成的角的作法与计算问题，是基础题目．根据题意，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，得出BQ//PD，∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，利用等边三角形求出∠C1BQ的值即可．解：长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，∵P是AB的中点，∴BQ//PD，∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，如图所示；△C1BQ中，C1B=BQ=C1Q=√2，∴∠C1BQ=60°，即异面直线BC1与PD所成角等于60°．故选C．9.答案：ACD解析：本题考查命题的真假的判断直线方程的求法、直线的两点式方程、直线的截距等．求出截距得到三角形的面积判断D的正误；利用对称知识判断A的正误；直线的两点式方程判断B 的正误；利用截距相等判断C的正误．解：A、点(2,0)与(−1,3)的中点坐标(12,32)，满足直线方程y=x+1，并且两点所确定直线的斜率为：−1，所以点(2,0)关于直线y=x+1的对称点为(−1,3)，所以A正确；B、当x1≠x2，y1≠y2时，过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，所以B不正确；C、经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以C正确；D、直线x−y−4=0在两坐标轴上的截距分别为：4，−4，与坐标轴围成的三角形的面积是：12×4×4=8，所以D正确；故选：ACD．10.答案：ABC解析：A中，若两圆外切，则圆心距等于半径和，A正确;B中，两圆方程相减，得相交弦所在的直线方程为8x−6y+r2−41=0，与8x−6y−37=0相比较得r=2，故B正确;C中，x2+y2=16的圆心O，半径r=4，圆(x−4)2+(y+3)2=r2的圆心是A(4,−3)，设交点之一是B，因为过B点的切线互相垂直，所以过B点的两条半径也垂直，即OB垂直AB，所以三角形OAB是直角三角形，∠OBA=90∘，AO2=(4−0)2+(−3−0)2=25，OB=4，OB2=16，r2=AO2−OB2=9，即r=3.D中，由B知，D选项错误;故说法正确的是A、B、C．11.答案：AB解析：【试题解析】本题考查曲线和方程，椭圆的基本性质，三角形的面积公式，属于较难题．将P1(x,−y)，P2(−x,y)，P3(−x,−y)代入曲线C中可判定A选项；由不等式3=√(x+1)2+y2⋅√(x−1)2+y2⩾|x+1|·|x−1|=|x2−1|可判定B选项；由|PA|·|PB|=3，结合三角形的面积公式可判定C选项，取特殊值可判定D选项．解：对于A选项，∵点P(x,y)在曲线C：√(x+1)2+y2⋅√(x−1)2+y2=3，又√(x2+y2⋅√(x−1)2+y2=√(x+1)2+(−y)2⋅√(x−1)2+(−y)2=√(−x+1)2+y2⋅√(−x−1)2+y2=√(−x+1)2+(−y)2⋅√(−x−1)2+(−y)2，即P1(x,−y)，P2(−x,y)，P3(−x,−y)也在曲线C上，故A正确；对于B选项，又3=√(x+1)2+y2⋅√(x−1)2+y2⩾|x+1|·|x−1|=|x2−1|(当且仅当y=0时等号成立)，即−2⩽x2⩽4，又x2⩾0，所以x2⩽4，解得−2⩽x⩽2，故B正确；对于C选项，可知|PA|·|PB|=3，则S△PAB=12|PA|·|PB|·sin∠APB⩽32，故C错误；对于D选项，当取P(0,√2)时，点P在椭圆x23+y22=1上，故D错误；故选AB ．12.答案：ABCD解析：【试题解析】本题考查的知识要点：双曲线的方程和渐近线的关系，点到直线的距离公式的应用，点差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用双曲线的方程和渐近线的关系，离心率，点到直线的距离公式的应用，点差法的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．解：对于A ：双曲线x 29−y 216=1，令x 29−y 216=0，整理得x 3±y 4=0，整理得y =±43x ，故A 正确；对于B ：双曲线x 2−y 2=1中的a =1，b =1，所以c =√12+12=√2，所以e =c a =√2，故离心率为√2，故B 正确；对于C ：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点F(c,0)到渐近线x a +y b =0，即bx +ay =0的距离d =√a 2+b 2=b ，故C 正确； 对于D ：双曲线x 24−y 22=1，设直线l 与双曲线交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点． AB 的中点坐标是(12,−1)，所以x 1+x 22=12，y 1+y 22=−1，则：x 1+x 2=1，y 1+y 2=−2． 所以{x 124−y 122=1x 224−y 222=1，两式相减整理得k =y 1−y 2x 1−x 2=−14， 进一步利用点斜式得到y +1=−14(x −12)，整理得2x +8y +7=0，故D 正确．故选：ABCD ．13.答案：2π3解析：本题考查了直线的倾斜角，属于基础题.由直线方程得到直线的斜率，从而得到tanθ=−√3，再根据直线倾斜角的取值范围是[0,π)，即可得到结果．解：设直线的倾斜角为θ，∵3x+√3y−1=0，∴y=−√3x+√33，∴tanθ=−√3，又因为θ∈[0,π),∴θ=2π3．故答案为2π3．14.答案：±5解析：由两直线平行的条件求出a的值，再由平行线间的距离公式求出m．解：因为两平行直线l1︰ax+4y=0，l2︰3x+4y+m=0，所以4a=3×4，a=3，两直线间的距离为d=√32+42=|m|5=1，所以m=±5，故答案为±5．15.答案：2解析：解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1=O，∵AB⊥面BCC1B1，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1，∴B1C⊥面ABC1D1，B1C=√2，∴正方体ABCD−A1B1C1D1棱长是2．∴B1到平面ABC1D1的距离为12故答案为：2在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1=O，可得BC1⊥面ABC1D1，B1C=√2，可得正方体ABCD−A1B1C1D1棱长．．即B1到平面ABC1D1的距离为12本题考查了点面距离的定义及求解，属于中档题．16.答案：34解析：解：圆C：x2+y2−4x+2y+a=0，即(x−2)2+(y+1)2=−a+5，则圆心C(2,−1)，半径r=√5−a，∵弦AB的中点为M(1,0)．∴直线CM的斜率k=−1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y−0=x−1，即x−y−1=0．=√2，圆心C到直线x−y−1=0的距离d=√2若弦AB=3，=5−a，则2+94，解得a=34．故答案为34利用配方法得到圆的标准方程，求出直线方程、圆心到直线的距离，根据弦AB=3，求出圆的半径，即可得到a的值．本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．17.答案：解：(1)点A(2,2)，B(0,−2)，C(4,2)，点D 为AB 的中点，∴D(1,0)，∴直线DC 的方程为y 2−0=x−14−1，即2x −3y −2=0，(2)k BC =2+24−0=1，∴BC 边上的高所在的直线的斜率为−1，∴BC 边上的高所在直线的方程为y −2=−(x −2)，即x +y −4=0解析：(1)由中点坐标公式可得D 的坐标，再利用两点式即可求出直线方程，化为一般式即可．(2)由点的坐标可得BC 的斜率，由垂直关系可得BC 边上的高所在直线斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程，涉及直线的平行于垂直关系，属基础题．18.答案：解：(1)过点(2,−1)且与直线x +y −1=0垂直的直线方程为x −y −3=0， 由{y =−2x x −y −3=0，解得{x =1y =−2， 所以圆心M 的坐标为(1,−2)，所以圆M 的半径为r =√2，所以圆M 的方程为 (x −1)2+(y +2)2=2.(2)因为直线l 被圆M 截得的弦长为√6，所以圆心M 到直线l 的距离为d =√2−64=√22， 若直线l 的斜率不存在，则l 为x =0，此时，圆心M 到l 的距离为1，不符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx ，即kx −y =0，由d =√k 2+1=√22， 整理得k 2+8k +7=0，解得k =−1或−7，所以直线l 的方程为x +y =0或7x +y =0．解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)求出圆心坐标与半径，即可求出圆M 的方程；(2)分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为√6，求直线l 的方程．19.答案：解：(1)证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ，∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 中点，因为E 为PB 的中点，∴EO//PD ，又EO ⊂平面ACE ，PD ⊄平面ACE ，∴PD//平面ACE ；(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA =AB ，E 为PB 的中点，∴令PA =AB =1，则A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),E (12,0,12)，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12),， 设平面PAC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−z 1=0x 1+y 1=0, 令x 1=1，则y 1=−1,z 1=0，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设平面AEC 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x 2+12z 2=0x 2+y 2=0, 令x 2=1，则y 2=−1,z 2=−1，∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)，设二面角P−AC−E的平面角为θ，则．解析：本题考查线面平行的判定、利用空间向量求二面角．(1)连接BD交AC于O，连接EO，证出EO//PD，即可证出结果；(2)建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面AEC的法向量，利用公式，即可求出结果．20.答案：(1)证明：如图，过点B1作B1N⊥AB∵∠B1BN=45°，故△BNB1为等腰直角三角形，∴B1N=BN=1，∴B1B=√2，∴AB1⊥BB1．又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，又∵BC∩BB1=B，∴AB1⊥平面BCC1B1;(2)解：△AB1D中，AB1=√2，B1D=√6，AD=2√2，∴AB1⊥B1D，∴S△AB1D =12×√2×√6=√3．点D为BC中点，则点C到平面AB1D的距离=点B到平面AB1D的距离h，由等体积可得13×12×2×2×1=13×√3ℎ，∴ℎ=2√33，∴点C到平面AB1D的距离为2√33．解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，点到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(1)过点B1作B1N⊥AB.说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1.AA1⊥BC.AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1;(2)点D为BC中点，则点C到平面AB1D的距离=点B到平面AB1D的距离，利用等体积方法，即可求解．21.答案：解：(1)根据题意，圆C的方程为(x−2)2+y2=25，其圆心C为(2,0)，半径r=5，分2种情况讨论：①，若直线l的斜率不存在，即l：x=−1，代入圆的方程可得，y=±4，即有|AB|=8，成立；②，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−32=k(x+1)，即2kx−2y+3+2k=0，若AB=8，则圆心C到直线l的距离d=√25−16=3，则有d=√4+4k2=3，解可得k=34，即直线l的方程为y−32=34(x+1)，变形可得3x−4y+9=0；(2)证明：由于P是直线x+y+6=0上的点，设P(m,−m−6)，由切线的性质可得AC⊥PA，经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，则方程为(x−2)(x−m)+y(y+m+6)=0，整理可得(x2+y2−2x+6y)+m(y−x+2)=0，可令x2+y2−2x+6y=0，且y−x+2=0，解得x=2，y=0，或x=−2，y=−4．则有经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为(2,0)，(−2,−4)．解析：本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系以及弦长的计算，属于综合题．(1)设出直线l的方程，注意讨论斜率是否存在，再由点到直线的距离公式和弦长公式，计算即可得到直线方程；(2)设出P的坐标，根据切线的性质，可得经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，求得圆的方程，运用曲线系恒过定点的方法整理，解方程即可得到所有定点．22.答案：解：(Ⅰ)由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵|QA|−|QC|=|PC|=2√3<|AC|=6，满足双曲线的定义．设E 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =√3,c =3，b =√c 2−a 2=√6，则轨迹E 方程为x 23−y 26=1；(Ⅱ)直线AB 的倾斜角为30°，且直线过C(3,0)，∴y =√33(x −3)直线AB 的方程为y =√33(x −3)， 由{y =√33(x −3)x 23−y 26=1，消去y 得5x 2+6x −27=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴有x 1+x 2=−65，x 1x 2=−275．则|AB|=(√33)⋅√(−65)2−4×(−275)=165√3．解析：(Ⅰ)由题意可得点Q 满足双曲线的定义，且求得a ，c 的值，再由b 2=c 2−a 2求得b ，则点Q 的轨迹E 的方程可求；(Ⅱ)由题意得到直线AB 的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决．。

2020-2021学年山东省枣庄市滕州市高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知复数z =1+3i 3−i，则|z|=( )A. √22B. 2C. 1D. 122. 设集合A ={x|y =−√x}，B ={y|y =lnx}，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. RD. (−∞,0]3. 已知a >1，b >1，则“a >b ”是“log b a >log a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 已知α∈(0,π)，且sinα+cosα=12，则cos2α的值为( )A. ±√74B. √74C. −√74D. −346. 已知a >0，b >0，且满足ab =a +b +3，则a +b 的最小值是( )A. 2B. 3C. 5D. 67. 在△ABC 中，AB ⊥AC ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 1 B. √2 C. 2D. 2√28. 已知函数f(x)满足：对任意的x >0，都有f(x)+12xf′(x)>0.则( )A.f(1)4<f(2)B.f(1)4>f(2)C.f(2)2<f(4)D.f(2)2>f(4)二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 关于函数f(x)=x1−x ，下列结论正确的是( )A. f(x)的图象过原点B. f(x)是奇函数C. f(x)在区间(1,+∞)上单调递增D. f(x)是定义域上的增函数10. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的图像关于直线x=π12对称B. 函数f(x)的图像关于点(−π12,0)对称C. 将函数f(x)图像上所有的点向右平移π6个单位，得到函数g(x)，则g(x)为奇函数D. 函数f(x)在区间[−π4,π12]上单调递增11.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D,N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是()A. 存在某个位置，使得CN⊥AB1B. 翻折过程中，CN的长是定值C. 若AB=BM，则AM⊥B1DD. 若AB=BM=1，当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD外接球的表面积是4π12.下列选项中，满足不等式log2(2x−1)<1的是()A. 12B. 34C. 74D. 1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(k,−1)，b⃗ =(−4,2)，若a⃗与b⃗ 共线，则实数k的值为__________．14.在等比数列{a n}中，已知a3=4，a7−2a5−32=0，那么a7=________．15.已知三棱锥S−ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为______ ．16.设a>0，函数f(x)=x+a，g(x)=e x−1，若对任意的x1，x2∈(0,1]，都有f(x1)≥g(x2)成x立，则a的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）sinA，17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知√3sinA−cos(B+C)=1，sinB+sinC=87 a=7．(Ⅰ)求角A的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．18.已知f(x)=(x−a)(x−2)．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>0的解集；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)<0．19.已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π，PA=AD=2，AB=BC=1，点M，E分别是BA，PD的中点．2(1)求证：CE//平面BMD；(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值．21.已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若f(2t2+1)<f(t2−2t+1)，求t的取值范围；a)，其中a>0，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，(3)设函数g(x)=log2(a⋅2x−43求实数a的取值范围．22.设函数f(x)=1−e−x，证明：当x>−1时，f(x)≥x．x+1-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=1+3i3−i =(1+3i)(3+i)(3−i)(3+i)=10i10=i，∴|z|=1．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：本题考查集合求交，属于基础题．分别求出集合A，B，再计算交集即可．解：，所以A∩B={x|x≥0}．故选B．3.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合对数的运算法则以及不等式的关系是解决本题的关键．根据对数的运算法则结合不等式的关系进行判断即可．解：若a>b>1，则log b a>log b b=1，而log a b<log a a=1，则log b a>log a b成立，即充分性成立．若log b a>log a b，则，∵a>1，b>1，∴log b a>0，即(log b a)2>1，得log b a>1或log b a<−1(舍)，则log b a >1=log b b ，则a >b ， 即必要性成立，则“a >b ”是“log b a >log a b ”充要条件， 故选：C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13， ∴2a 1+1=1，2a 3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2an +1=1+n −1=n ，∴a n =2n −1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：由sinα+cosα=12两边平方得：1+2sinα⋅cosα=14，2sinαcosα=−34<0，则cosα<0，所以sinα−cosα=√1−2sinαcosα=√72>0，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=−12×√72=−√74，选C .6.答案：D解析：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题． 运用三元均值不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值． 解：a >0，b >0，且满足ab =a +b +3， 可得ab ≥3√3ab 3，即有ab ≥9，可得a +b ≥6，当且仅当a =b =3取得等号， 则a +b 的最小值为6． 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查平面向量基本定理和向量的运算，属中档题．把AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，代入AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2中，即可求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 解：∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(√2−1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(√2−1)(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=√2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −(√2−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又AB ⊥AC ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[√2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −(√2−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=√2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4√2． ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．8.答案：A解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造出函数g(x)是解题的关键，本题是一道中档题．构造函数g(x)=x 2f(x)，(x >0)，得到g(x)的单调性，求出g(1)<g(2)，从而求出答案． 解：∵f(x)+12xf′(x)>0， ∴2f(x)+xf′(x)>0， 令g(x)=x 2f(x)，(x >0)， ∴g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0， ∴g(x)在(0,+∞)递增，∴g(1)<g(2)，f (1)<4f (2)，即f(1)4<f(2)，故选：A ．9.答案：AC解析：本题考查函数的性质的应用，属于基础题．由初等函数的性质，判断函数图像特征，函数奇偶性、单调性．解：当x=0时，f(0)=01−0=0，A正确；函数f(x)=x1−x的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，B错误；f(x)=x1−x =−1−1x−1，在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递增，C正确，D错误．故选AC．10.答案：ACD解析：【试题解析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．根据图象求出函数f(x)的解析式，对各选项逐项判定，即可求出结果．解：由图可知，，所以，又ω>0，所以，所以f(x)=2sin(2x+φ)，由，|φ|<π2，得，所以，A选项，当时，，所以函数f(x)的图象关于直线x=π12对称，故A正确；B选项，当，，故B错误；C选项，函数f(x)图象上所有的点向右平移π6个单位，得到函数为奇函数，故C正确；D选项，由，得，当k=0时，，所以函数f(x)在区间[−5π12,π12]上单调递增，因为，所以函数f(x)在区间[−π4,π12]上单调递增．故选ACD．11.答案：BD解析：【试题解析】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判断及棱锥和球的体积，结合各种判定定理和反证法，逐一分析求解即可．解：对于A，如图1，取AD中点E，连接EC交MD于F，因为N为B1D的中点，所以NE//AB1，又由已知可得四边形MCDE为平行四边形，则F为MD的中点，所以NF//MB1，又AB1⊥MB1，所以EN⊥FN，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NC，又EN⊥FN，且三线NE,NF,NC共面共点，矛盾，不可能，故A 错误．对于B ，如图1，可得∠NEC =∠MAB 1(定值)，NE =12AB 1(定值)，AM =EC(定值)， 由余弦定理可得NC 2=NE 2+EC 2−2NE ⋅EC ⋅cos∠NEC ， ∴NC 是定值，故B 正确；对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接B 1O, DO ，由题意得AM ⊥OB 1， 若AM ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D =B 1，OB 1，B 1D ⊂平面B 1OD ， 则AM ⊥平面B 1OD ，则AM ⊥OD ， 因为，∴OD 与AM 不垂直，矛盾，∴AM 与B 1D 不垂直，可得C 错误;对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1−AMD 的体积最大，由已知AB =BM =1，则AM =DM =√2，AD =2，得DM ⊥AM ，由面面垂直的性质得DM ⊥平面AMB 1，DM ⊥MB 1，所以B 1D =√3，可得△AB 1D 为直角三角形，∠AB 1D =90°， 又DM ⊥AM ，所以AD 中点H 就是三凌锥B 1−AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，故D 正确， 故选BD ．12.答案：BD解析：log 2(2x −1)<1⇒{2x −1>0log 2(2x −1)<log 22，所以不等式的解集为(12,32)，故答案为BD ．13.答案：2解析：解：根据题意，向量a⃗ =(k,−1)，b ⃗ =(−4,2)， 若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则有2k =(−1)×(−4)=4，解可得k =2； 故答案为：2．根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得2k =(−1)×(−4)=4，解可得k 的值，即可得答案． 本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题．14.答案：64解析：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，a 7−2a 5−32=0， ∴a 1q 2=4，a 1q 6−2a 1q 4=32.解得{a 1=1q 2=4，∴a 7=a 1q 6=43=64．故答案为64．15.答案：5π解析：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥外接球球心位置是解题关键，属于较难题．解：取BC 中点D ，连接AD 并延长AD 到E ，使得AD =DE ，连接CE 、BE ，过E 作GE//SC ，如图所示：可知EC =EA =EB =1，且GE ⊥平面ABCE ， 显然三棱锥S −ABC 的外接球球心O 在直线GE 上， 设OC =OA =OB =OS =R ，并过O 作OF ⊥SC 于F ， 由题意可得：OF =CE =1，SF =SC −FC =SC −OE =1−√OC 2−CE 2=1−√R 2−1， 在Rt △OFS 中，由勾股定理得：OS 2−OF 2=SF 2，即R 2−1=(1−√R 2−1)2，解得R =√52，故球O 的表面积S =4πR 2=4π×(√52)2=5π．故答案为：5π．16.答案：a ≥e 2−2e+14或a ≥(e−1)24解析：解：对任意的x 1，x 2∈(0,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)成立，等价于f(x)min ≥g(x)max ， ∵g(x)=e x −1在(0,1]上单调递增，∴g(x)max =g(1)=e −1；当0<a ≤1时，f(x)=x +ax ≥2√x ⋅ax =2√a ，当且仅当x =√a 时取等号，∴f(x)min =2√a ， 由2√a ≥e −1解得1≥a ≥(e−1)24．当a >1时，f′(x)=1−ax 2<0，f(x)在(0,1]上递减， ∴f(x)min =f(1)=1+a ．由1+a ≥e −1解得a ≥e −2，∴a >1． 综上，a 的取值范围是a ≥(e−1)24，故答案为：a ≥(e−1)24对任意的x 1，x 2∈(0,1]，都有f(x 1)≥g(x 2)成立，等价于f(x)min ≥g(x)max ，由单调性易求g(x)max ，分0<a ≤1，a >1两种情况讨论，0<a ≤1时利用基本不等式可求f(x)min ，a >1时，由导数可求f(x)min ．该题考查函数恒成立问题，恒成立问题戊烷转化为函数最值解决，基本不等式、导数是求函数最值的常用方法，要熟练掌握．17.答案：解：(Ⅰ)由已知及cos(B +C)=−cosA ，得√3sinA +cosA =1，即2sin(A +π6)=1，得sin(A +π6)=12， 又π6<A +π6<7π6，∴A +π6=5π6，即A =2π3；(Ⅱ)由已知及正弦定理得b +c =8a 7=8，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 得49=(b +c)2−2bc +bc =64−bc ， 解得bc =15，∴△ABC 的面积为S =12bcsinA =15√34．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sin(A +π6)=12，结合范围π6<A +π6<7π6，可求A 的值．(Ⅱ)由已知及正弦定理，余弦定理可解得bc =15，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(Ⅰ)a =1时，不等式化为解得或所以不等式的解集为(Ⅱ)关于x 的不等式，即当a =2时，不等式化为，不等式无解；当时，解不等式，得； 当时，解不等式，得；综上所述a =2时，不等式无解，时，不等式的解集为(2,a)， 时，不等式的解集为(a,2)．解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，属于中档题． (Ⅰ)a =1时求出对应不等式的解集即可;(Ⅱ)讨论a =2、a >2和a <2时，求出不等式的解集即可．19.答案：解：(1)由等差数列{a n } 中设首项为a 1，公差为d ，由于：a 3+a 8=37，a 7=23． 则：{a 2+a 6=18a 5=11，解得a 1=3，d =2．所以a n =2n +1. (2)b n =a n +2n =2n +1+2n ， 由 (1) 知，S n =3n +n(n −1)+2(2n −1)2−1，=n 2+2n +2n+1−2．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和的应用． (1)直接利用已知条件求出数列的通项公式； (2)利用等差和等比数列的通项公式求和．20.答案：(1)证明：连接ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以ME =12AD ，ME//AD ，所以BC//ME ，BC =ME ，所以四边形BCEM 为平行四边形， 所以CE//BM.又因为BM ⊂平面BMD ，CE ⊄平面BMD ， 所以CE//平面BMD.……………………(6分)(2)如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O −xyz ，则又CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面CEQ 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，列方程组{n ⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：{−12x −y +z =0−x +z =0其中一个法向量为n⃗ =(2,1，2)， 设直线PA 与平面CEQ 所成角大小为θ，于是sinθ=√4+1+4⋅√0+0+1=23， 进而求得cosθ=√53…………………………(15分)解析：(1)连接ME ，证明ME//AD ，BC//ME ，推出CE//BM.然后证明CE//平面BMD ．(2)以A 为坐标原点建立空间坐标系O −xyz ，求出平面CEQ 的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线PA 与平面CEQ 所成角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=log 2(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数，∴f(−x)=log 2(4−x +1)−kx =f(x)=log 2(4x +1)+kx 恒成立， 即log 2(4x +1)−2x −kx =log 2(4x +1)+kx 恒成立， 解得k =−1．(2)由(1)可得，f(x)=log 2(4x +1)−x =log 24x +12x在(0,+∞)上是增函数，故由f(2t 2+1)<f(t 2−2t +1)可得t 2−2t +1>2t 2+1，解得−2<t <0，即不等式的解集为(−2,0)．(3)∵a >0，∴函数g(x)=log 2(a ⋅2x −43a)的定义域为(log 243,+∞)， 即方程log 2(4x +1)−x =log 2(a ⋅2x −43a)在区间(log 243,+∞)上有唯一解， 即方程4x +12x=a ⋅2x −43a 在区间(log 243,+∞)上有唯一解．令2x =t ，则t >43，因而等价于关于t 的方程(a −1)t 2−4a 3t −1=0 (∗)在(43,+∞)上只有一解．当a =1时，解得t =−34，不合题意； 当0<a <1时，记ℎ(t)=(a −1)t 2−4a 3t ，其图象的对称轴t =2a3(a−1)<0，∴函数ℎ(t)在(0,+∞)上递减，而ℎ(0)=−1 ∴方程(∗)在(43,+∞)上无解．当a >1时，其图象的对称轴t =2a3(a−1)>0， 所以，只需ℎ(43)<0，即169(a −1)−169a −1<0，此式恒成立，∴此时a 的范围为a >1．综上所述，所求a 的取值范围为(1,+∞)．解析：(1)由已知中函数f(x)=log 2(4x +1)+kx(k ∈R)是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k 的方程，解方程即可求出k 的值．(2)由于f(x)=log2(4x+1)−x=log24x+1在(0,+∞)上是增函数，故由不等式可得t2−2t+1>2x2t2+1，由此求得t的范围．a)在区间(3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，即方程log2(4x+1)−x=log2(a⋅2x−43 ,+∞)上有唯一解，利用换元法，化为整式方程，分类讨论，求得a的范围．(log243本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数的性质，函数的单调性的应用，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f(x)的解析式，是解答的关键，属于中档题．⇔e x≥1+x．22.答案：证明：由1−e−x≥xx+1当且仅当e x≥1+x．当x>−1时，f(x)≥xx+1令g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1．当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数，当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g(x)≥g(0)=0，即e x≥1+x．．所以当x>−1时，f(x)≥xx+1解析：把给出的不等式f(x)≥x等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号x+1判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．。

2020-2021学年山东省枣庄市滕州一中高二〔上〕开学检测数学试卷一、选择题〔共8小题〕.1．复数z满足〔1﹣i〕z＝i，那么复数在复平面内的对应点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么＝〔〕A．﹣B．﹣C．+D．+3．为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，那么采用“直播+录播〞方式进行线上教学的学校占比约为〔〕A．22.5%B．27.5%C．32.5%D．37.5%4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设△ABC的面积为，那么C＝〔〕A．B．C．D．5．设x，y∈R，向量＝〔x，1，1〕，＝〔1，y，1〕，＝〔2，﹣4，2〕，且⊥，∥，那么|+|＝〔〕A．B．C．3D．46．某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目．该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，那么该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为〔〕A．9%．B．19%C．59%D．69%7．三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，那么〔〕A．假设m∥n，n⊂α，那么m∥αB．假设l⊥α，m⊂β，l⊥m，那么α∥βC．假设α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γD．假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β8．＝〔1，2，3〕，＝〔2，1，2〕，＝〔1，1，2〕，点Q在直线OP上运动，那么当取得最小值时，点Q的坐标为〔〕A．B．C．D．二、多项选择题〔共4小题〕.9．下面关于复数的四个命题中，真命题是〔〕A．假设复数z∈R，那么∈RB．假设复数z满足z2∈R，那么z∈RC．假设复数z满足∈R，那么z∈RD．假设复数z1，z2的满足z1z2∈R，那么z1═10．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，那么〔〕A．平均数为3B．标准差为C．众数为2和311．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，那么〔〕A．直线BD1⊥平面A1C1DB．异面直线B1C与A1C1所成角为45°C．三棱锥P﹣A1DC1的体积为定值D．平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C112．在四面体P﹣ABC中，以上说法正确的有〔〕A．假设＝，那么可知＝3B．假设Q为△ABC的重心，那么＝C．假设＝0，＝0，那么＝0D．假设四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，那么||＝1三、填空题〔共4小题〕.13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAA1＝∠DAA1＝∠BAD＝60°，且所有棱长均为2，那么对角线AC1的长为．14．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．假设通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，那么样本中C车间的人数为．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是CB1上的一个动点，那么BM+D1M 的最小值是．16．在△ABC中，AB＝AC，E，F是边BC的三等分点，假设＝，那么cos∠EAF＝．四、解答题：此题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．||＝4，||＝8，与夹角是120°．〔1〕求的值及||的值；〔2〕当k为何值时，？18．函数f〔x〕＝A sin〔ωx+φ〕+b〔A＞0，ω＞0，〕的图象如下图．〔1〕求出函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设将函数f〔x〕的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的〔纵坐标不变〕得到函数y＝g〔x〕的图象，求出函数y＝g〔x〕的单调递增区间及对称中心．19．△ABC同时满足以下四个条件中的三个：①；②；③a＝7；④b＝3．〔Ⅰ〕请指出这三个条件，并说明理由；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．20．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，总分值均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10〕，[10，20〕，[20，30〕，[30，40〕，[40，50〕，[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10〕2[10，20〕3[20，30〕5[30，40〕15[40，50〕40[50，60]35〔Ⅰ〕在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；〔Ⅱ〕从对B餐厅评分在[0，20〕范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10〕范围内的概率；〔Ⅲ〕如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．21．某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处分，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中a＝b+10．处分金额x〔单位：元〕01020处分人数y50a b 〔1〕用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处分10元与20元的概率的差；〔2〕用分层抽样的方法在处分金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处分的人中各有一人参与执勤的概率．22．如下图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．〔1〕求证：AC⊥平面BDE；〔2〕求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；〔3〕设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．参考答案一、单项选择题〔共8小题〕.1．复数z满足〔1﹣i〕z＝i，那么复数在复平面内的对应点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法那么、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：〔1﹣i〕z＝i，∴〔1+i〕〔1﹣i〕z＝i〔1+i〕，∴2z＝i﹣7，∴z＝+i．那么复数＝﹣i在复平面内的对应点位于第三象限．应选：C．2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么＝〔〕A．﹣B．﹣C．+D．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣，应选：A．3．为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，那么采用“直播+录播〞方式进行线上教学的学校占比约为〔〕A．22.5%B．27.5%C．32.5%D．37.5%【分析】由条形统计图和扇形统计图得调查学校总数为n＝＝120，从而求出直播学校占比，进而能求出采用“直播+录播〞方式进行线上教学的学校占比．解：由条形统计图和扇形统计图得调查学校总数为：n＝＝120，∴采用“直播+录播〞方式进行线上教学的学校占比约为：应选：B．4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设△ABC的面积为，那么C＝〔〕A．B．C．D．【分析】由利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数根本关系式可得tan C＝，结合范围C∈〔0，π〕，可得C的值．解：由题意可得：ab sin C＝＝，可得：sin C＝cos C，可得：tan C＝，可得C＝．应选：D．5．设x，y∈R，向量＝〔x，1，1〕，＝〔1，y，1〕，＝〔2，﹣4，2〕，且⊥，∥，那么|+|＝〔〕A．B．C．3D．4【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法那么求出，由此能求出||．解：设x，y∈R，向量＝〔x，1，1〕，＝〔1，y，1〕，＝〔2，﹣5，2〕，且⊥，∥，∴＝〔1，1，1〕+〔1，﹣4，1〕＝〔2，﹣1，2〕，应选：C．6．某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目．该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，那么该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为〔〕A．9%．B．19%C．59%D．69%【分析】画出示意图，根据各自所占的比例即可求解结论．解：；由题可得：A+B+C＝81%；B+C＝39%；应选：A．7．三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α，β，γ，那么〔〕A．假设m∥n，n⊂α，那么m∥αB．假设l⊥α，m⊂β，l⊥m，那么α∥βC．假设α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γD．假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定A与B；直接证明C正确；由平面与平面平行的判定说明D错误．解：对于A，由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，故A错误；对于B，由l⊥α，l⊥m，得m∥α或m⊂α，又m⊂β，那么α∥β或α与β相交，故B 错误；设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内取一点P，作PA⊥a，垂足为A，PB⊥b，垂足为B，对于D，由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，不一定有α∥β，只有m与n相交时才有α∥β，故D错误．应选：C．8．＝〔1，2，3〕，＝〔2，1，2〕，＝〔1，1，2〕，点Q在直线OP上运动，那么当取得最小值时，点Q的坐标为〔〕A．B．C．D．【分析】可先设Q〔x，y，z〕，由点Q在直线OP上可得Q〔λ，λ，2λ〕，那么由向量的数量积的坐标表示可得＝2〔3λ2﹣8λ+5〕，根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q解：设Q〔x，y，z〕由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得，那么有Q〔λ，λ，2λ〕当＝〔1﹣λ〕〔2﹣λ〕+〔5﹣λ〕〔1﹣λ〕+〔3﹣2λ〕〔2﹣2λ〕＝2〔3λ2﹣8λ+5〕应选：C．二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，局部选对得3分，有选错的得0分．9．下面关于复数的四个命题中，真命题是〔〕A．假设复数z∈R，那么∈RB．假设复数z满足z2∈R，那么z∈RC．假设复数z满足∈R，那么z∈RD．假设复数z1，z2的满足z1z2∈R，那么z1═【分析】先设z＝a+bi，然后根据相应的概念与运算进行判断．解：设z＝a+bi，对于A项，假设z∈R，那么b＝0，此时，所以A正确；对于C项，，那么b＝0，所以z∈R，所以C正确；应选：AC．10．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，那么〔〕A．平均数为3B．标准差为C．众数为2和3【分析】把数据从小到大依次排列然后根据标准差公式，由此可求出标准差、众数、平均数．解：平均数：众数为：出现次数最多的2和3第85百分位数为：从大到小排序第8与第9的平均值应选：AC．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，那么〔〕A．直线BD1⊥平面A1C1DB．异面直线B1C与A1C1所成角为45°C．三棱锥P﹣A1DC1的体积为定值D．平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，得到直线BD1⊥平面A1C1D，判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行说明P到平面A1C1D的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确．解：∵A1C1⊥B1D1，A1C3⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C2⊥平面BB1D1，那么A1C1⊥BD1，同理DC3⊥BD1，∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四边形DA1B4C为平行四边形，∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1C2D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C4D．∵A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A6C1D，设平面A1C1D与底面ABCD的交线为l，应选：ACD．12．在四面体P﹣ABC中，以上说法正确的有〔〕A．假设＝，那么可知＝3B．假设Q为△ABC的重心，那么＝C．假设＝0，＝0，那么＝0D．假设四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，那么||＝1【分析】对于A：直接利用向量的线性运算的应用求出结果．对于B：利用三角形的中心和向量的线性运算的应用求出结果．对于C：利用向量垂直的充要条件的应用和向量的线性运算的应用求出结果．对于D：利用向量的线性运算和向量的模的应用求出结果．解：对于选项A：＝，那么3，整理得，所以2，故，故A正确．所以3，对于选项C：＝0，＝0，那么，整理得，转换为，对于选项D：＝＝，由于＝2，应选：ABC．三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．13．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAA1＝∠DAA1＝∠BAD＝60°，且所有棱长均为2，那么对角线AC1的长为2．【分析】利用表示出，两边平方求出2，开方即得AC1的长．解：＝2×2×cos60°＝2，＝3×2×cos60°＝2，＝2×2×cos60°＝2．∵＝，∴6＝〔〕2＝+++2+2+2＝24．故答案为．14．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有600人，B车间有500人．假设通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，那么样本中C车间的人数为8．【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：设C车间共有x人，样本中C车间的人数为n；由分层抽样的性质得：＝，故n＝30×＝8；故答案为：8．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是CB1上的一个动点，那么BM+D1M 的最小值是．【分析】首先把直观图转换为平面图，进一步求出平面图中线段长的最小值．解：如下图：此时BM＝，△CB1D1是边长为2的等边三角形，所以BM+D1M的最小值是．故答案为：16．在△ABC中，AB＝AC，E，F是边BC的三等分点，假设＝，那么cos∠EAF＝．．【分析】由结合向量加法及减法的四边形法那么可表示各边，然后结合余弦定理即可求解．解：以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，那么＝，＝，假设＝，那么AD＝，设BC＝，那么AD＝3，由勾股定理可得，AB＝AC＝＝，EF＝，AE＝AF＝＝，故答案为：．四、解答题：此题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．||＝4，||＝8，与夹角是120°．〔1〕求的值及||的值；〔2〕当k为何值时，？【分析】〔1〕利用数量积定义及其运算性质即可得出；〔2〕由于，•＝0，展开即可得出．解：〔1〕＝cos120°＝＝﹣16．||＝＝＝4．∴16k﹣128+〔2k﹣1〕×〔﹣16〕＝7，∴当k＝﹣7值时，．18．函数f〔x〕＝A sin〔ωx+φ〕+b〔A＞0，ω＞0，〕的图象如下图．〔1〕求出函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设将函数f〔x〕的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的〔纵坐标不变〕得到函数y＝g〔x〕的图象，求出函数y＝g〔x〕的单调递增区间及对称中心．【分析】〔1〕由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式．〔2〕由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y＝g〔x〕的单调递增区间及对称中心．解：〔1〕由函数f〔x〕的图象可得，解得：．又由得：，∴．综上：．由，k∈Z，得g〔x〕的单调递增区间为，k∈Z，由，k∈Z得：对称中心是，k∈Z．19．△ABC同时满足以下四个条件中的三个：①；②；③a＝7；④b＝3．〔Ⅰ〕请指出这三个条件，并说明理由；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．【分析】〔Ⅰ〕判断三角形的满足的条件，推出结果即可；〔Ⅱ〕利用余弦定理求出c，利用面积公式求解△ABC的面积．【解答】〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解：△ABC同时满足①，③，④．理由如下：因为，且B∈〔7，π〕，所以．所以△ABC只能同时满足③，④．故△ABC满足①，③，④．所以．所以△ABC的面积．20．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，总分值均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10〕，[10，20〕，[20，30〕，[30，40〕，[40，50〕，[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10〕2[10，20〕3[20，30〕5[30，40〕15[40，50〕40[50，60]35〔Ⅰ〕在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；〔Ⅱ〕从对B餐厅评分在[0，20〕范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10〕范围内的概率；〔Ⅲ〕如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【分析】〔Ⅰ〕由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；〔Ⅱ〕用列举法求根本领件数，计算对应的概率值；〔Ⅲ〕从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．解：〔Ⅰ〕由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为〔0.003+0.005+6.012〕×10＝0.2，所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；对B餐厅评分在[10，20〕范围内的有3人，设为N1、N2、N4；〔M1，M2〕，〔M1，N1〕，〔M6，N2〕，〔M1，N3〕，〔N1，N2〕，〔N1，N3〕，〔N2，N3〕共10种．〔M1，N1〕，〔M5，N2〕，〔M1，N3〕，故2人中恰有1人评分在[4，10〕范围内的概率为P＝＝；由〔Ⅰ〕得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，B餐厅评分低于30的人数为2+4+5＝10，所以会选择B餐厅用餐．21．某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处分，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中a＝b+10．处分金额x〔单位：元〕01020处分人数y50a b 〔1〕用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处分10元与20元的概率的差；〔2〕用分层抽样的方法在处分金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处分的人中各有一人参与执勤的概率．【分析】〔1〕由题意先求出a、b的值，再求出分别对骑车人处分10元、20元的的概率，可得结论．〔2〕先求出抽取的对骑车人处分分别为10元、20元的人数，再利用等可能事件的概率计算公式，求得结果．解：〔1〕由题意可得，求得．对骑车人处分10元的概率约为＝，对骑车人处分20元的概率约为＝，〔2〕对骑车人处分10元的人数为30，对骑车人处分20元的人数为20，那么对骑车人处分10元的人中抽取5人，对骑车人处分20元的人中抽取2人，这两种受处分的人中各有一人参与执勤的概率为＝＝．22．如下图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．〔1〕求证：AC⊥平面BDE；〔2〕求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；〔3〕设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【分析】〔1〕由中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；〔2〕以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE ﹣D的余弦值；〔3〕由中M是线段BD上一个动点，设M〔t，t，0〕．根据AM∥平面BEF，那么直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：〔1〕因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，解：〔2〕因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如下图．所以．那么A〔3，0，0〕，，，B〔3，3，0〕，C〔0，3，5〕，设平面BEF的法向量为＝〔x，y，z〕，那么，即．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…那么．所以＝0，即4〔t﹣3〕+2t＝0，解得t＝7．即当时，AM∥平面BEF．…。