第二章 函数、导数及其应用 第七节 指数与指数函数

必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数word格式-可编辑-感谢下载支持 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

（整理到章）必修（第一册）第一章集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数、方程和不等式第三章函数概念与性质第四章指数函数与对数函数第五章三角函数必修（第二册）第六章平面向量及其应用第七章复数第八章立体几何初步第九章统计第十章概率选择性必修（第一册）第一章空间向量与立体几何第二章直线和圆的方程第三章圆锥曲线的方程选择性必修（第二册）第四章数列第五章一元函数的导数及其应用选择性必修（第三册）第六章计数原理第七章随机变量及其分布第八章成对数据的统计分析（整理到节）必修（第一册）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.2集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3幂函数3.4函数的应用（一）第四章指数函数与对数函数4.1指数4.2指数函数4.3对数4.4对数函数4.5函数的应用（二）第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3诱导公式5.4三角函数的图象与性质5.5三角恒等变换5.6函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质5.7三角函数的应用必修（第二册）第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念6.2平面向量的运算6.3平面向量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用第七章复数7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3* 复数的三角表示第八章 立体几何初步8.1基本立体图形8.2立体图形的直观图8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.5空间直线、平面的平行8.6空间直线、平面的垂直第九章 统计9.1 随机抽样9.2用样本估计总体9.3统计分析案例 公司员工的肥胖情况调查分析第十章 概率10.1 随机事件与概率10.2事件的相互独立性10.3频率与概率选择性必修（第一册）第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.2空间向量基本定理1.3空间向量及其运算的坐标表示1.4空间向量的应用第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.2双曲线3.3抛物线选择性必修（第二册）第四章数列4.1数列的概念4.2等差数列4.3等比数列4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.2导数的运算5.3导数在研究函数中的应用选择性必修（第三册）第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.2排列与组合6.3二项式定理第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.2离散型随机变量及其分布列7.3离散型随机变量的数字特征7.4二项分布与超几何分布7．5 正态分布第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的相关关系8.2一元线性回归模型及其应用8.3分类变量与列联表。

课堂达标(七) 指数、指数函数[A 基础巩固练]1．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8abC ．－6abD ．－6ab[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ，故选C.[答案] C2．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析] 由0.2＜0.8，底数0.4＜1知，y ＝0.4x在R 上为减函数，所以0.40.2＞0.40.8，即b ＞c .又a ＝40.2＞40＝1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .[答案] A3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ≥12，故选D.[答案] D4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)图象的大致形状是( )[解析] 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．[答案] D5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [解析] 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a ＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.[答案] C6．(2018·安徽阜阳第二次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x，x ＜0log 2x ＋＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )＞4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)[解析] 当x ＜0时，2e x＞4，解得：x ＞ln 2，不合题意； 当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2＞4，解得：x ＞3，综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．本题选择C 选项． [答案] C7．(2018·合肥质检)不等式2－x 2＋2x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为 ________ .[解析] 原不等式等价为2－x 2＋2x ＞2－x －4，又函数y ＝2x为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4. [答案] (－1,4)8．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是______．[解析] 曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为 ________ .[解析] 令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.[答案] 13或310．(2018·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数． 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2. ②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数， 故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.[B 能力提升练]1．(2018·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)[解析] 原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立，等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. [答案] C2．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)[解析] 令t ＝f (x )，则方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)可化为t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)，作出函数y ＝f (x )的图象如图，结合图象可以看出：方程t 2－at ＋b ＝0(b ≠0)在区间(0,1)，(1,2)内各有一个解时，方程f 2(x )－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有六个实数根，所以问题转化为函数h (t )＝t 2－at ＋b 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，在平面直角坐标系中，画出其表示的区域如图，结合图象可以看出：当动直线u ＝3a ＋b 经过点A (1,0)，B (3,2)时，u 分别取得最小值u min ＝3·和最大值u max ＝11，即3＜u ＜11，应选答案D.[答案] D3．(2018·日照模拟)已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 为常数，且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为 ________ . [解析] 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ∈[－1,0]．①若a ＞1，函数f (x )＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0＜a ＜1，函数f (x )在a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋ax 2＋2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[答案] 2,2或23，324．(2018·北京朝阳4月模拟)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度，已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是______．[解析] 令f (x )＝y ＝2|x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤a ，2－x－2≤x ＜(1)当a ＝0时，f (x )＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]． (2)当a ＞0时，f (x )在[－2,0)上递减，在[0，a ]上递增， ①当0＜a ≤2时，f (x )max ＝f (－2)＝4，值域为[1,4]； ②当a ＞2时，f (x )max ＝f (a )＝2a＞4，值域为[1,2a]． 结合(1)(2)，可知[m ，n ]的长度的最小值为3. [答案] 3 5．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． [解] (1)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数． 所以f (x )为增函数．故当a >0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[C 尖子生专练]已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x ＞0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x ＞0时，f (x )＝3x－13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x ＞0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t ＞0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即(32t －1)(32t＋1＋m )≥0，∵32t－1＞0，∴32t＋1＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。

指数函数的概念与应用指数函数是数学中重要的一种函数类型，它具有广泛的应用。

本文将介绍指数函数的概念及其在各领域的应用。

一、指数函数的概念指数函数是以常数e为底数的幂函数，其一般形式为f(x) = a * e^x，其中a为常数。

指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

指数函数具有以下特点：1. 指数函数的增长性：对于任意实数a和b，若a < b，则f(a) < f(b)。

即指数函数随着自变量的增大而快速增加。

2. 指数函数的导数：指数函数的导数仍为指数函数本身。

即f'(x) =k * e^x，其中k为常数。

这一特性使得指数函数在微积分和物理等领域的应用具有重要意义。

二、指数函数的应用1. 经济学中的应用指数函数在经济学中有广泛的应用。

以经济增长模型为例，指数函数可以描述经济增长的速度和规模。

在宏观经济学中，GDP增长率的指数模型可以反映一个国家或地区经济的发展潜力与趋势。

2. 生物学中的应用指数函数在生物学中的应用较为广泛。

在生物种群增长模型中，指数函数可以描述种群规模随时间的变化趋势。

当种群资源充足时，种群规模呈指数增长；当资源有限时，种群规模将达到稳定状态。

3. 物理学中的应用指数函数在物理学中的应用十分重要。

在放射性衰变、电路中的RC回路、核裂变等过程中，物理量的变化往往可以用指数函数进行描述。

指数函数是描述自然界中许多变化规律的数学工具。

4. 计算机科学中的应用指数函数在计算机科学中也有广泛的应用。

在算法复杂度分析中，指数函数可以用来描述某些算法的执行时间随输入规模的增长情况。

此外，在概率与统计领域，指数函数也经常与随机变量的概率分布密切相关。

总结：指数函数作为一种重要的数学函数类型，具有较为广泛的应用领域。

从经济学到物理学，从生物学到计算机科学，指数函数都扮演着重要的角色。

通过研究和应用指数函数，我们可以更好地理解和描述自然界中的各种变化规律，为各个领域的发展做出贡献。

导数与函数的指数函数解析在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具之一，而指数函数则是一类具有特殊形式的函数。

本文将探讨导数与函数的指数函数解析之间的关系。

一、导数的定义及意义导数是用来描述函数在某一点上的变化率的工具。

对于函数f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，或者写成dy/dx或df(x)/dx的形式。

导数的概念可以通过函数图像的斜率来理解，即函数曲线在某一点上的切线斜率。

导数具有一些重要的性质，比如导数的存在性与唯一性定理，导数与函数的连续性定理等。

这些性质为我们研究函数的性质和变化提供了有力的工具。

二、指数函数的定义和性质指数函数是以指数形式表示的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0。

指数函数在数学科学及其应用领域中具有广泛的应用，比如在金融、生物学、物理学等领域。

指数函数具有一些独特的性质，比如指数函数的图像都是以原点为对称中心的。

当底数a大于1时，指数函数的图像是递增的，斜率随着x的增大而增大。

当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像是递减的，斜率随着x的增大而减小。

三、导数与指数函数的关系对于指数函数f(x) = a^x，我们可以通过导数的定义来求解它的导数。

根据导数的定义，我们可以得到以下结论：1. 当指数函数的底数a大于0且不等于1时，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

其中ln(a)表示自然对数的底a的对数。

2. 特别地，当底数a为自然常数e时，即指数函数为f(x) = e^x时，它的导数为f'(x) = e^x。

由此可见，指数函数的导数与函数自身的形式有密切的关系。

通过对指数函数求导，可以得到更多关于指数函数变化率的信息。

四、指数函数解析的应用指数函数的解析在实际应用中具有广泛的应用。

举个简单的例子，假设我们需要研究某一物质的衰变过程，物质的衰变率可以通过导数来描述。

如果该物质的衰变率与时间成比例关系，那么该物质的数量可以用指数函数来表示。

导数与函数的指数函数关系解析导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。

指数函数是我们在数学中常见的一种函数形式，所以导数与函数的指数函数之间存在着紧密的关系。

本文将对导数与函数的指数函数的关系进行解析，帮助读者更好地理解这一概念。

1. 导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率，记作f'(x)，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。

导数的定义可表述为：当变量自变量x的增量趋近于0时，函数f(x)的增量与自变量x的比值的极限值。

2. 指数函数的定义指数函数是以某个固定的正数a（a≠1）为底，以自然对数e为底的指数函数称为e的指数函数。

以a为底的指数函数可表示为f(x) = a^x。

3. 指数函数的导数对于指数函数f(x) = a^x，其导数可以通过以下推导得到：f'(x) = lim(h->0)[a^(x+h) - a^x]/h= lim(h->0)[a^x*(a^h - 1)]/h= a^x * lim(h->0)[(a^h - 1)/h]其中，lim(h->0)[(a^h - 1)/h]称为a的自然对数。

4. a的自然对数a的自然对数定义为ln(a)，表示满足e^x = a的x值，其中e为自然对数的底数，其值约等于2.71828。

根据定义，我们可以得到a的自然对数与导数的关系：lim(h->0)[(a^h - 1)/h] = ln(a)5. 指数函数的导数表示将上述结果代入指数函数的导数公式中，可以得到指数函数的导数公式：f'(x) = ln(a) * a^x6. 特殊情况下的指数函数导数当a = e时，指数函数f(x) = e^x。

此时指数函数的导数公式可以简化为：f'(x) = e^x7. 导数与指数函数的关系由导数的定义和指数函数的导数公式，我们可以得到结论：函数f(x) = a^x 的导数为ln(a) * a^x。