2020江苏高考数学一轮复习学案：第23课__三角函数的基本概念 含解析.docx

第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。

三角函数的概念：：【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.【知识网络】三角函数的概念角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数同角三角函数的基本关系正弦、余弦的诱导公式式【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：{β|β=2kπ+α,k∈Z}第一象限角的集合：{β|2kπ<β<π2+2kπ,k∈Z}第二象限角的集合：{β|π2+2kπ<β<π+2kπ,k∈Z}第三象限角的集合：{β|π+2kπ<β<3π2+2kπ,k∈Z}第四象限角的集合：{β|3π+2kπ<β<2π+2kπ,k∈Z} 2.rad≈0.01745rad；1rad=()≈57.30=5718'xy2,k∈Z}；y=cotα，y=cscα的定义域是{α|α≠kπ,k∈Z}.终边在x轴上的角的集合：{β|β=kπ,k∈Z}终边在y轴上的角的集合：{β|β=kπ+π2,k∈Z}终边在坐标轴上的角的集合：{β|β=kπ2,k∈Z}要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式：弧长l=α⋅r，扇形面积S扇形1=lr=212r2α（其中r是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180=π；1=π180180π要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1.定义：在角α上的终边上任取一点P(x,y)，记r=OP=x2+y2则sinα=y x y r r,cosα=,tanα=，cotα=，secα=，cscα=. r r x x y2.三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，A T分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3.三角函数的定义域：y=sinα，y=cosα的定义域是α∈R；y=tanα，y=secα的定义域是{α|α≠kπ+π4.三角函数值在各个象限内的符号：cosαcotα=（2±α，要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：s in2α+cos2α=1;sec2α=1+tan2α;csc2α=1+cot2α.2.商数关系：tanα=sinα;cosαsinα.3.倒数关系：tanα⋅cotα=1;sinαcscα=1;cosα⋅secα=1要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1=sin2α+cos2α，1=sec2α-tan2α=tan45=，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1.2kπ+α(k∈Z),-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.π3π2±α的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是记忆.π2的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行(【典型例题】类型一、角的相关概念例 1.已知θ 是第三象限角,求角θ2精品文档 用心整理 的终边所处的位置.【答案】θ2是第二或第四象限角【解析】方法一：∵θ 是第三象限角，即 2k π + π < θ < 2k π + 3π 2, k ∈ Z ，∴ k π + π 2 < θ 2 < k π + 3π 4, k ∈ Z ,当 k = 2n 时， 2n π + π 2 < θ 2 < 2n π +3π 4, n ∈ Z , ∴ θ 2是第二象限角，当 k = 2n + 1 时， 2n π + 3π θ 7π< < 2n π + , n ∈ Z ,2 2 4∴ θ 2是第四象限角，θ∴ 是第二或第四象限角.2方法二：由图知: θ的终边落在二，四象限.2【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为θ2是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是 (π ,3π ) ．解决本题的关键就是为了凑出 2π 的整数倍，需要对整数进行分类．2θ（2）确定“分角”所在象限的方法：若 θ 是第 k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断 ， n ∈ N * ) n是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧 n 等份，并从 x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域就是角 θn( n ∈ N * )终边所在的范围。

高考数学第一轮复习三角函数解析要点三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应恣意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，查字典数学网整理了三角函数解析要点，协助广阔高中先生学习数学知识!
这一局部的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。

在教学中，我留意到有些先生依然在遇到三角函数标题的时分画直角三角形协助了解，这是十分风险的，也是我们所不倡议的。

三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，曾经发作了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。

有了这样一个思想上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个隶属产品(初中三角函数很多时分依靠于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现方式。

既然三角函数作为一种函数意义的了解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联络起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了一切的性质。

关于三角函数，除了图象，单位圆作为辅佐手腕，也是十分有效——就似乎配方在二次函数中运用普遍是一个道理。

三角恒等变形局部，并无太多窍门，从教学中可以看出，先生听懂公式都不难，运用起来比拟熟练的都是那些做题比拟多的同窗。

标题做到一定水平，其实很容易发现，高一调查
的三角恒等只要不多的几种题型，在课程与温习中，我们也会注重给先生总结三角恒等变形的〝一致论〞，掌握住降次，辅佐角和万能公式这些关键方法，普通的三角恒等迎刃而解。

关键是，一定要多做题。

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2021年高考数学第一轮温习三角函数解析要点就为大家分享到这里，更多精彩内容请关注高考数学知识点栏目。

【学习目标】1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．【课本导读】 1．三角函数图像(1)y ＝sin x ，x ∈的图像是 . (2)y ＝cos x ，x ∈的图像是 .(3)y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图像是 . 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(A >0，ω≠0)(1)五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，五点坐标为 ， (2)变换作图【说明】 前一种方法第一步相位变换是 平移 ，而后一种方法第二步相位变换是向 或 移 个 单位，要严格区分，对y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)同样适用．【教材回归】1．(1)把y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，得______的图像．(2)把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(3)把y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图像．(4)把y ＝sin2x 的图像向右平移π6得________的图像．2．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对 称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3 D.5π64.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )【授人以渔】题型一：五点作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像例1 (1)用“五点法”画出函数y ＝3sin x 2＋cos x2的图像，并指出这个函数的周期与单调区间．(2)用五点法作出y ＝2sin(2x ＋π3)在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3内的图像．题型二：三角函数的图像变换例2 (1)如何由y ＝sin x 的图像得y ＝2cos(－12x ＋π4)的图像．(2)如何由y ＝13sin(2x ＋π4)的图像得y ＝sin x 的图像．题型三：已知函数图像求解析式例3 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M (2,22)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (6,0)，求这个函数的解析式．思考题3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域题型四：函数y＝A sin(ωx＋φ)模型的简单应用例4如图，某市准备在道路EF的一侧修一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线是函数y＝A sin(ωx＋2π3)(A>0，ω>0)，x∈时的图像，且图像的最高点为B(－1,2)．赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值。

高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案【学习目标】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．预习案【课本导读】1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为(4)各象限角的集合为，，，2．弧度制(1)什么叫1度的角：(2)什么叫1弧度的角：(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝ .3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ .(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠⅡⅢⅣ4．三角函数线如图所示，正弦线为 ；余弦线为 ；正切线为 .【教材回归】1．下列命题为真命题的是( ) A ．角α＝k π＋π3(k ∈Z )是第一象限角 B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B2．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 3．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( ) A ．2 B.π3 C.π6 D.2π34．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为______．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 探 究 案 题型一： 角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β；(2)设集合M ＝{x |x ＝k 2³180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4³180°＋45°，k ∈Z }，那么两集合的关系是什么？例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2 (1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是________．(2)若sinθ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 题型二：三角函数的定义例3 已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α＋1tan α的值为________．思考题3 (1)若角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图像重合，求θ的各三角函数值． (2)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )题型三：利用三角函数线解三角不等式例4 (1)不等式sin x ≥32的解集为__________ ． (2)不等式cos x ≥－12的解集为__________．(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为_____．思考题4 (1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域 ．(2)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A．若α、β是第一象限的角，则cosα>cosβ B．若α、β是第二象限的角，则tanα>tanβC．若α、β是第三象限的角，则cosα>cosβD．若α、β是第四象限的角，则tanα>tanβ题型四：弧度制的应用例5已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考题5若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？训练案1．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．42．sin 2²cos 3²tan 4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A．2 B．－2 C．2－π2D.π2－25．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ。

随堂巩固训练(23)1. －300°化为弧度是__－5π3__． 解析：－300×π180＝－5π3. 2. 已知sinφ<0，tanφ>0，则角φ是第__三__象限角．解析：因为tanφ＝sinφcosφ>0，sinφ<0，所以cosφ<0，所以角φ是第三象限角． 3. 下列说法中正确的是__③__．(填序号)①第一象限角一定不是负角；②小于90°的角一定是锐角；③钝角一定是第二象限角； ④第一象限角一定是锐角．解析：①－330°是第一象限角；②负角、零度角是小于90°的角，但不是锐角；③钝角一定是第二象限角；④－330°是第一象限角，但不是钝角．4. 已知一个扇形的面积是4 cm 2，周长是8 cm ，则扇形的圆心角为__2__弧度．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则12lr ＝4，l ＋2r ＝8，所以l ＝4，r ＝2，所以圆心角为l r＝2. 5. 已知点P(tanα，cosα)在第二象限，则角α的终边在第__四__象限．解析：因为点P(tanα，cosα)在第二象限，所以tanα<0，cosα>0，所以角α的终边在第四象限．6. 已知角β的终边经过点(－x ，－6)，且cosβ＝－513，则x ＝__52__． 解析：因为cosβ＝－x （－x ）2＋（－6）2＝－x x 2＋36＝－513，所以⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（－x ）2x 2＋36＝25169，解得x ＝52. 7. 已知角α的终边上一点P 与点A(－3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sinα＋sinβ的值等于__0__．解析：由题意得P(3，2)，Q(3，－2)，则sinα＝213，sinβ＝－213，所以sinα＋sinβ＝213－213＝0.8. 若点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，则点P 的坐标是． 解析：设点P(x ，y)，因为点P 在角2π3的终边上，且OP ＝2，所以cos 2π3＝x OP ，sin 2π3＝y OP，得x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标是(－1，3)． 9. 设α是第三、四象限角，sinα＝2m －34－m，则实数m 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－1，32__． 解析：因为α是第三、四象限角，所以sinα∈(－1，0)，所以－1<2m －34－m <0，解得－1<m<32. 10. 若cosx<12，则x 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫2kπ＋π3，2kπ＋5π3，k ∈Z __． 11. 已知α＝π3，回答下列问题：(1) 写出所有与角α终边相同的角；(2) 写出在区间(－4π，2π)上与角α终边相同的角；(3) 若角β与角α的终边相同，则角β2是第几象限的角？ 解析：(1) 所有与角α终边相同的角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝2kπ＋π3，k ∈Z . (2) 令－4π<2kπ＋π3<2π(k ∈Z )，得－136＜k ＜56. 因为k ∈Z ，所以k ＝－2，－1，0，所以在区间(－4π，2π)上与角α终边相同的角是－11π3，－5π3，π3. (3) 由(1)有β＝2kπ＋π3(k ∈Z )，则β2＝kπ＋π6(k ∈Z )，所以β2是第一、三象限角． 12. 若一个扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少弧度时该扇形的面积最大？最大面积为多少？解析：设该扇形的半径为r ，弧长为l ，则有2r ＋l ＝20，即r ＝10－12l ， 所以扇形的面积S ＝12rl ＝12⎝⎛⎭⎫10－12l l ＝－14l 2＋5l ＝－14(l －10)2＋25， 当l ＝10，r ＝5时，S max ＝25 cm 2，此时α＝l r＝2， 所以当α＝2弧度时，扇形的面积取得最大值25 cm 2.13. 已知角α终边上一点P 到x 轴与到y 轴的距离之比为3∶4，且sinα<0，求cosα＋2tanα的值．解析：设点P(x ，y)，因为点P 到x 轴与到y 轴的距离之比为3∶4，所以|y x |＝34. 因为sinα<0，所以角α在第三或第四象限．若角α在第三象限，则x<0，y<0，y ＝34x ，r ＝x 2＋y 2， 所以cosα＝x r ＝x x 2＋y 2＝－1x 2＋y 2x2＝－11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＝－45，tanα＝y x ＝34， 所以cosα＋2tanα＝－45＋64＝710； 若角α在第四象限，则x>0，y<0，y ＝－34x ，r ＝x 2＋y 2， 所以cosα＝x r ＝x x 2＋y 2＝1x 2＋y 2x 2＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＝45，tanα＝y x ＝－34， 所以cosα＋2tanα＝45－64＝－710. 综上所述，cos α＋2tan α的值为±710.。

第四章 三 角 函 数____第23课__三角函数的基本概念____1. 理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．2. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．3. 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1. 阅读：必修4第4～15页．2. 解悟：①正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同角的含义；②弧度制下的弧长、扇形面积公式；③任意角的三角函数的定义．3. 践习：在教材空白处完成必修4第7页练习第3、8题；第10页练习第8题；第15页练习第3题.基础诊断1. 若角α的终边与角120°的终边相同，则α2是第__一、三__象限角．解析：由题意得，a ＝360°·＋120°(∈)，则α2＝180°·＋60°(∈)，所以α2是第一、三象限角．【备用题】 用弧度制表示下列集合：(1) y 轴负半轴；(2) 第二、四象限角平分线；(3) 第一象限角．解析：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π－π2，k ∈Z .(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋3π4，k ∈Z .(注意是π！)(3) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z .注：(1)、(2)答案不唯一，也常写成：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋3π2，k ∈Z .(2) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π－π4，k ∈Z .2. 若角α的终边经过点P(，－6)，且tan α＝－35，则的值为__10__．解析：tan α＝－35＝－6x，则＝10.3. 若扇形周长为10，面积是4，则扇形圆心角的弧度数为__12__．解析：设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝10，12θr 2＝4，得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)，所以扇形的圆心角的弧度数为12.4. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角． 其中正确的命题是__③__. (填序号)解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的一个内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．范例导航考向❶ 三角函数的值及符号的判定 例1 已知sin α<0且tan α>0. (1) 求角α的集合； (2) 求角α2终边所在的象限；(3) 判断tan α2·sin α2·cos α2的符号．解析：由sin α<0得角α在第三、四象限或y 轴的负半轴上，由tan α>0得α在第一、三象限，故满足题意的角α在第三象限．(1) 角α的集合为{α|2π＋π<α<2π＋3π2，∈}．(2) 由2π＋π<α<2π＋3π2，∈，得π＋π2<α2<π＋3π4，∈，故α2的终边在第二、四象限．(3) 当α2的终边在第二象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0；当α2的终边在第四象限时，tan α2·sin α2·cos α2>0.综上，tan α2·sin α2·cos α2>0.若θ是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第几象限角？解析：因为θ是第二象限角，所以2π＋π2<θ<2π＋π，∈，则π＋π4<θ2<π＋π2，∈，所以θ2为第一、三象限角．又因为|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2<0，所以θ2为第三象限角．【注】 (1) 三角函数值的符号取决于角终边所在的象限． (2) 写α2终边所在的象限时，要对的奇偶性进行分类讨论.考向❷ 三角函数定义的应用例2 若α是第二象限角，P(，5)为其终边上的一点，且cos α＝24，求sin α的值．解析：因为OP ＝x 2＋5，所以cos α＝xx 2＋5＝24.又α是第二象限角，所以<0，得＝－3，所以sin α＝5x 2＋5＝104.已知角α的终边经过点P(，－2)(≠0)，且cos α＝36，求sin α＋1tan α的值．解析：因为P(，－2)(≠0)，所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36，所以cos α＝x x 2＋2＝36.因为≠0，所以＝±10，所以r ＝2 3. 当＝10时，点P 坐标为(10，－2)．由三角函数的定义，有sin α＝－223＝－66，1tan α＝－102＝－5， 所以sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66.当＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66. 【注】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意异于坐标原点的点的横坐标，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，若题中已知角的终边在一条直线上，此时注意分两种情况进行分析．【备用题】 已知角α的终边过点(a ，2a)(a ≠0)，求α的正弦、余弦、正切函数值． 【点评】 本题是依据条件求三角函数值，要先由＝a ，y ＝2a 求出r ＝5|a|后再用定义． 解析：因为过点(a ，2a)(a ≠0)， 所以r ＝5|a|，＝a ，y ＝2a.当a>0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a 5a＝255，cos α＝xr＝a 5a＝55，tan α＝2； 当a<0时，sin α＝y r ＝2a 5|a|＝2a －5a＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55；tan α＝2.反思比较：比书上例题多了不确定因素，所以需要分类讨论. 考向❸ 弧长公式及扇形的面积公式例3 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径为R. (1) 若α＝π3，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该扇形内的弓形的面积； (2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：(1) 设扇形的弧长l ，该扇形内的弓形的面积为S ，当α＝π3，R ＝10cm 时，可知l ＝αR ＝10π3 cm ，而S ＝S 扇形－S △AOB ＝12lR －12R 2sin π3＝12×10π3×10－12×100×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2. (2) 2R ＋l ＝C ，l ＝|α|·R ＝αR ， 所以2R ＋αR ＝C ，所以R ＝C 2＋α，所以S 扇形＝12|α|R 2＝12αR 2＝12α×⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝12C 2×αα2＋4α＋4＝12C 2×1α＋4α＋4≤12C 2×14＋4＝116C 2.当且仅当α＝2时，等号成立，即当α＝2弧度时，该扇形有最大面积116C 2.扇形的面积为20cm 2，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？解析：设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为|α|r.因为0<α<2π，所以扇形面积S ＝12αr 2＝20，则r ＝40α＝210α.又因为扇形的周长C ＝2r ＋αr ＝(2＋α)r ＝210α(2＋α)＝210⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋α≥85，当且仅当α＝2弧度时，周长取得最小值．【注】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起;也方便得多，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．自测反馈1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__－π3__．解析：将分针拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，化为弧度数为－π3.2. 已知角α的终边经过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m ＝__2__．解析：角α的终边经过点P(－8m ，－3)，又因为cos α＝－45<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，所以OP ＝64m 2＋9，cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝12.3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与直线y ＝3重合，则角α的正弦值为__±10．解析：由题意得，tan α＝3，所以角α的终边在第一、三象限，若角α的终边在第一象限，则sin α＝31010.若角α的终边在第三象限，则sin α＝－31010，所以角α的正弦值为±31010.4. 若角α与8π5终边相同，则在[0，2π]上终边与角α4的终边相同的角是__2π5，9π10，7π5，19π10__．解析：由题意得，α＝2π＋8π5，∈，所以α4＝k π2＋2π5，∈.又因为α4∈[0，2π]，所以＝0，1，2，3时，α4分别为2π5，9π10，7π5，19π10.1. 任意角的三角函数是学习三角函数的基础，要注意在求解相关三角函数值时对符号的讨论，牢记“角优先”，明确角的取值范围．2. 运用三角函数的定义解三角函数有关问题，既体现了“回到定义”的思维策略的重要意义，也是一种重要的转化方法，应该重视这种“代数化”的思想．3. 你还有那些体悟，写下;：。

第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( A ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4〖解析〗 由图象(图象略)知T ＝π.2．已知直线y ＝m (0<m <2)与函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A (1，m )，B (5，m )，C (7，m )，则ω＝( A )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π6〖解析〗 由题意，得函数f (x )的相邻的两条对称轴分别为x ＝1＋52＝3，x ＝5＋72＝6，故函数的周期为2×(6－3)＝2πω，得ω＝π3，故选A. 3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R )，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数〖解析〗 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．故选B.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为〖a ，b 〗，则b －a 的值是( B ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3〖解析〗 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为〖－2,1〗，所以b －a ＝3.5．(2021·河北邢台模拟)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 〖解析〗 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( B ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称〖解析〗 ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴函数f (x )图象的对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z .故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，故选B.二、多选题7．关于函数f (x )＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ACD ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数 C ．f (x )有零点D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 〖解析〗 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性及零点．函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；根据周期函数的定义，可知函数f (x )一定不是周期函数，故B 错误；因为f (0)＝0，所以函数f (x )有零点，故C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝x 与y ＝sin x 均为增函数，所以函数f (x )也为增函数，故D 正确． 8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称〖解析〗 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π6－π3＝－32，所以函数f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确．综上选B 、C.三、填空题9．若y ＝cos x 在区间〖－π，α〗上为增函数，则实数α的取值范围是 －π<α≤0 . 10．(2021·云南昆明高三调研测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 π .〖解析〗 函数f (x )的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f (x )的最小正周期，又函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期为π，故f (x )的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 11．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2部分图象如图所示，若x 1，x 2∈〖a ，b 〗且x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，满足f (x 1＋x 2)＝1，则φ＝ π6 ，此时y ＝f (x )的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ) .〖解析〗 因为f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且f (a )＝f (b )＝0，故可得b －a ＝π2，因为f (x 1＋x 2)＝1，故可得2sin 〖2(x 1＋x 2)＋φ〗＝1，则可得2(x 1＋x 2)＋φ＝5π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，故可得2sin 〖(x 1＋x 2)＋φ〗＝2，则可得(x 1＋x 2)＋φ＝π2，解得φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，故可得x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．故答案为：π6；⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 〖解析〗 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．∴单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 四、解答题13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．〖解析〗 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 14．(2021·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最小值1，求a 的值． 〖解析〗 (1)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1．(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )最大值为3C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )最大值为4〖解析〗 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( B )A ．2B ．1C ．4D ．12〖解析〗 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.3．(2021·常德模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，则θ的一个值为( D )A ．－π3B ．－π6C ．2π3D ．5π6〖解析〗 由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为函数f (x )为奇函数，所以θ＋π6＝k π(k ∈Z )，故θ＝－π6＋k π(k ∈Z )．当θ＝－π6时，f (x )＝2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为增函数，不合题意．当θ＝5π6时，f (x )＝－2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.4．如果函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A ．〖－6,0)B ．〖－4,0)C ．(0,4〗D ．(0,6〗〖解析〗 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω<0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增， 则⎩⎨⎧ω<0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω<0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin(－6x )＝－12sin 6x 在⎣⎡⎦⎤－π8，－π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π12，π12上单调递减，排除选项A.故选B.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间； (3)求x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域． 〖解析〗 (1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)． y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22， 故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22.。

镇江市区普通高中数学教学案（教 师 版）一、知识梳理1．任意角的三角函数的定义：设角α终边上任一点P(x,y),OP=r=22y x +，则正弦sin α= ,余弦cos α= ,正切tan α= 变形: x = ；y = .与圆的参数方程有何联系？能用它对坐标减元吗？2．弧度制下弧长公式 ；扇形面积公式 3. 同角三角函数的基本关系式：平方关系： 商数关系： 4．诱导公式的记忆口诀5．三角函数的图象和性质你熟知的三角函数图像，定义域，值域，周期，奇偶性，对称轴，对称中心，单调性？ 6．函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质1）图象的画法： ① 五点法 ② 图象变换法（振幅、周期、相位变换）2）性质：振幅：_________； 周期：________； 频率：________；相位：_________； 初相：_________； 对称中心：_______________；对称轴：______________ 二、基础练习：1．=+)sin(απ ；=-)cos(απ ；tan()α-= ；=+)2cos(απ ；=-)23sin(απ2．已知角α的终边过P x x 求且（,135cos ),6,-=--α值为________. 253．若角α满足sin2α<0,sin α-cos α<0,则α在第________象限. 四4．若23cos 4x x α-=-，又α是第二、三象限角，则x 的取值范围是_________ ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= . 546．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．π67．将函数f （x ）=cos2x 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，若所得的图象经过点，则φ的最小值为 ．125π8．若角α的终边落在射线y=-x(x ≥0)上，则=. 0AB=．，求点，，，）的值；+==，求﹣）sinθ=，．=﹣+==1=cosθ==3-12f x=因为()sin(2)-12取最小值-。

第课三角函数的基本概念一、考纲要求．理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．．了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．二、知识梳理．对于角的概念，下列判断是否正确？①第一象限角一定不是负角；②小于的角一定是锐角；③钝角一定是第二象限角；④第一象限角一定是锐角．【教学建议】本题选自课本练习，主要是帮助学生复习、理解任意角的概念．教学时，教师可让学生说明理由或举出反例．结合本题，强调概念中的正角、负角、零角与旋转方向和幅度有关．．设是第二象限角，判断下列角所在象限是否正确？①是第一象限角；②是第四象限角；③是第二象限角；④是第三象限角．【教学建议】本题主要是复习终边相同的角的定义．通过这一组判断题，可以帮助学生理解与终边相同的角的表达形式．．判断下列命题的真假，并说明理由．①弧度角在第一象限；②若，则角为直角；③若半径为的圆的圆心角所对的弧的长为，则角；④若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为．【教学建议】本题主要是帮助学生复习弧度的意义以及弧长公式．教学时，对于①可以转化为角度，再进行判断；②主要给学生一个信号，；③让学生加强对弧长公式中的绝对值理解；④是由书中例题改编而来，教师在讲解时指出解题步骤．通过辨析和说理，可复习有关概念．．判断下列命题的真假，并给出理由．①若为三角形的一个内角，则；②为第三象限角且，则；③符号为负．【教学建议】本题帮助学生复习任意角的三角函数的定义，①③涉及到了三角函数的符号问题，在此可通过口诀帮助学生对三角函数的符号规律加强记忆，对于②可引导学生分别求正弦值和余弦值．三、诊断练习．教学处理：要求学生课前自主完成道小题，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言之有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁明了、切中要害．．诊断练习点评题：是第象限的角．【分析与点评】（）可以先化为角度；（）要求直接看出来．变：用弧度制表示第一象限角的集合为．答：．【分析与点评】要求学生习惯用弧度．备：用弧度制表示终边在下列位置的角的集合：()轴负半轴；()第二、四象限角平分线．解：()；()．（注意是！）注：答案不唯一，也常写成：()；()．题：若角与角的终边关于轴对称，则角与的关系是．【分析与点评】教师讲解之前可以让学生先画图，在一个周期内寻找关系，然后通过增加周期的整数倍，即可寻找到与之间的关系．变：若角与角的终边互为反向延长线，则角与的关系是．【分析与点评】教师讲解之前先让学生比较变题与原题的区别．答：．题：已知角终边上一点，且，则．【分析与点评】、在用任意角三角函数定义时，要求学生写清、、对应的数值，弄清舍去一解的原因．题：已知两个角的和是弧度，它们的差是，那么这两个角的大小分别为、.答案为：.【分析与点评】本题考查角的弧度与角度的互化以及运算结果的合理表达。