初中数学沪教版八年级上册《二次函数的应用》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件

《实际问题与二次函数》说课稿各位评委：你们好！很高兴有机会参加这次比赛，并能得到各位专家的指导，我说课的课题是：实际问题与二次函数——最大值问题。

所用教材是人民教育出版社九年级上第22章第三节实际问题与二次函数，本节共需四课吋，面积最大是第一节，利润最大是第二节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：实际问题与二次函数也可以称作二次函数的应用，本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题乂是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题Z-,它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题、利润问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲解。

目的在于让学生通过掌握求最大值这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高小乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最人、利润最大、运动小的二次函数、综合应用四课时。

3 •学情及学法分析对九年级学生來说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最値，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，口的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标屮知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合木节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定木节课的教学目标如下：1•知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=3x? + bx + c QHO)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

二次函数的性质的教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义和基本性质。

2. 掌握二次函数的图像、顶点、轴对称、判别式和零点。

3. 能够应用二次函数的性质解决实际问题。

二、教学重点1. 二次函数的基本性质。

2. 二次函数的图像和顶点。

3. 二次函数的轴对称、判别式和零点。

三、教学难点1. 解决实际问题时如何应用二次函数的性质。

2. 对二次函数图像和顶点的理解和应用。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解二次函数的定义和基本性质来引导学生理解。

2. 演示法：通过具体的案例演示二次函数的图像、顶点、轴对称、判别式和零点的求解过程。

3. 练习法：通过大量的练习题巩固学生对二次函数性质的理解和应用能力。

五、教学过程1. 引入：老师可以通过现实生活中的例子引入二次函数的概念，如抛物线的形状、物体的自由落体等，引发学生对二次函数的兴趣。

2. 讲解二次函数的定义和基本性质：首先介绍二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。

然后讲解二次函数的基本性质：(1) 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a 的正负号决定。

- 当a大于0时，抛物线开口向上；- 当a小于0时，抛物线开口向下。

(2) 顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

(3) 轴对称：二次函数的图像的轴对称轴是通过顶点的竖直线x = -b/2a。

(4) 判别式：二次函数的判别式是D = b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的零点情况。

- 当D大于0时，二次函数有两个不相等的实数零点；- 当D等于0时，二次函数有一个重根；- 当D小于0时，二次函数无实数零点。

(5) 零点：二次函数的实数零点可以通过求解方程f(x) = 0得到。

3. 演示案例：选择几个典型的案例进行演示，如：(1) f(x) = x^2 - 3x + 2的图像和顶点；(2) f(x) = -2x^2 + 5x - 3的图像和顶点；(3) f(x) = 3x^2 - 6x + 3的轴对称轴和判别式。

教学目标：1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。

3、掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又效劳于生活。

4、培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。

教学重点：1、 在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系。

2、 根据情景建立适宜的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。

教学难点：如何根据情景建立适宜的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

课前准备：制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。

教学过程：一、创设情景，引入新课1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？2、由上给出引例：引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，学生丙的身高是，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？对，此题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。

今天我们学习的内容是“二次函数的应用〞。

二、新课讲解： 〔一〕课前练习1、抛物线23x y =上有一点的横坐标为2，那么该点的纵坐标为______。

2、二次函数132612++-=x x y 的函数图象上有一点的横坐标为25， 那么该点到x 轴的距离是______________。

3、二次函数532-=xy 有一点的纵坐标是2，那么该点横坐标为__________.4、抛物线过点A 〔0，1〕，B 〔2，1〕，C 〔1，0〕， 那么该抛物线解析式为___5、如图A 〔1，1〕，AB=3，AB ∥x 轴， 那么点A 的坐标为__________.注：第四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。

第3课时二次函数的应用教学目标1．从现实情境和已有知识经验出发，通过描点、连线，理清是何种函数关系，从而求出解析式．2．利用几何图形的性质列出函数解析式，根据所求解析式求出最值．3．深刻体会转化以及方程思想、渗透数形结合思想．教学重难点根据实际问题找出函数模型及从几何图形中得出函数解析式．教学过程导入新课复习回忆：1．二次函数图象的特点及二次函数解析式的几种类型．2．待定系数法求二次函数解析式的方法及最值求法．推进新课一、合作探究1．从实际问题中提炼函数关系行驶中的汽车，在制动后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”．为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：制动时车速/km·h－101020304050制动距离/m00.3 1.0 2.1 3.6 5.5 【问题1】请你以制动时车速的数据为横坐标(x值)，制动距离的数据为纵坐标(y值)，在直角坐标系中描出这些数据的点、连线，观察所画的函数的图象，你发现了什么？让学生动手画图、探究，直观感知属于何种函数．【问题2】若把这个函数的图象看成是一条抛物线，你能求出此函数的解析式吗？根据二次函数解析式的求法，让学生设出适当的解析式，进行求解．对于困难学生教师给予引导．【问题3】利用表中所给的数据，选择三对数据，求出它的函数关系式后，再用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．因为所画图象只是其中的一部分，我们不能确认此图象一定是抛物线．所以我们需要验证留下的两对数据是否满足所求抛物线的解析式，若满足，说明我们把此图象当作抛物线是正确的；若不满足，说明此图象不是二次函数的图象．【问题4】现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，则交通事故发生时车速是多少？是否因超速(该公路最高时速为110 km/h)行驶导致了交通事故？由所求二次函数的解析式，此题实际上是已知制动距离y＝46.5，求此时的车速x.显然，只需把y＝46.5代入解析式求出x即可，若车速x大于110 km/h，则为超速；否则不超速．2．几何图形中的二次函数一块三角形废料如图所示，∠C=90°，BC=8，∠A=30°.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E 应选在何处？此题可设计以下小问题：(1)若设AE=x，你能表示出DE、EF的长吗？(2)要使剪出的长方形CDEF 面积最大，可设长方形CDEF 面积为y ，试建立y 与x 的函数关系式．(3)根据所建立的函数关系式，求出长方形CDEF 面积最大时x 的值．(4)根据你所求得x 的值，能确定点E 应选在何处吗？二、巩固提高1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：x (元) 15 20 30 …y (件) 25 20 10 …若日销售量y (件)是销售价x (元)的一次函数．(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数解析式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？2．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．(1)请建立销售价格y (元)与周次x 之间的函数关系；(2)若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z (元)与周次x 之间的关系为z ＝－18(x －8)2＋12，1≤x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？本课小结1．能发现、提炼日常生活中可以利用函数关系式来解决的实际问题，并能用语言表述问题及解决问题的过程．2．能从几何图形中得出函数关系式，并能用函数关系式求几何问题中的最值问题．3．学会建立数学模型的思想方法及用函数思想解决几何问题的思想方法．与二次函数有关的探索性问题探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，因而倍受关注．现举例予以说明．一、条件探索型条件探索型题的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解题(即执果索因)．【例1】 若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝__________.(只要求写出一个)解析：本题答案不唯一，抛物线y ＝x 2－4x ＋c 与x 轴没有交点，可知一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0没有实数根，Δ＝16－4c ＜0，即c ＞4(c 为整数)，所以c 为大于4的所有整数，如5、6、7……等．答案：6二、结论探索型结论探索型题是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目，解结论探索型题的方法是由因导果．【例2】 请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是____________．解析：本题答案不唯一，只要满足a ＜0，且对称轴为x ＝2即可，如y ＝－(x －2)2－1等．三、存在性探索型存在性探索型题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索型题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．【例3】 已知抛物线y ＝－x 2＋(m －2)x ＋3(m ＋1)，交x 轴于A (x 1,0)、B (x 2,0)，交y轴的正半轴于C 点，且x 1＜x 2，|x 1|＞|x 2|，OA 2＋OB 2＝2OC ＋1.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在与抛物线只有一个公共点C 的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．分析：(1)用到的知识点有：二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x 轴交点的横坐标为方程－x 2＋(m －2)x ＋3(m ＋1)＝0的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m 的两个值，由x 1＜x 2得到m 的取值范围，进而确定m 的值，得到函数解析式．(2)分两种情况：当过点C 的直线和抛物线相交时，此直线为y 轴；当直线与抛物线相切时，设过C 点的直线解析式为y ＝kx ＋b ，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k 值，得到直线解析式．解：(1)由条件知AO ＝|x 1|＝－x 1，OB ＝|x 2|＝x 2，OC ＝3(m ＋1)，∵OA 2＋OB 2＝2OC ＋1，x 21＋x 22＝6(m ＋1)＋1，(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6(m ＋1)＋1，(m －2)2＋6(m ＋1)＝6(m ＋1)＋1，得m 1＝3，m 2＝1.∵x 1＜x 2，|x 1|＞|x 2|，∴x 1＋x 2＝m －2＜0.∴m ＝1.∴函数的解析式为y ＝－x 2－x ＋6.(2)存在与抛物线只有一个公共点C 的直线．则C 点的坐标为(0,6)．①当直线过C (0,6)且与x 轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，∴直线x ＝0.②设过C 点的直线为y ＝kx ＋b ，与抛物线y ＝－x 2－x ＋6只有一个公共点C ，当x ＝0时，b ＝6，∴y ＝kx ＋6.即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x 2－x ＋6，y ＝kx ＋6只有一个实数解．∴x 2＋(k ＋1)x ＝0.∵Δ＝0，∴(k ＋1)2＝0.∴k＝－1.∴y＝－x＋6.∴符合条件的直线的表达式为y＝－x＋6或x＝0.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

第2课时 二次函数的应用教学目标 1．会用待定系数法求二次函数解析式，能根据二次函数图象的特点设出相应的解析式．2．能建立适当的直角坐标系，并能设出相应的解析式，利用二次函数的知识解决实际问题．3．体会二次函数解决实际问题时，应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．教学重难点建立适当的坐标系，利用二次函数简便地解决实际问题．教学过程导入新课欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识．推进新课一、合作探究 【问题】 有一座抛物线形拱桥，如图．当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．求这座抛物线形拱桥的解析式．思路分析：这是一座抛物线形拱桥，要求它的解析式，因为二次函数的图象是抛物线，所以只要在这座抛物线形拱桥上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．让学生分组合作，讨论、交流应如何建立坐标系．此题方法很多，要充分发挥学生的优势，各抒己见．通过这一道题达到解决一类题的目的．方法一：以抛物线形拱桥的顶点为原点建立直角坐标系，可设二次函数的解析式为y ＝ax 2.然后把其中一点的坐标(2，－2)代入解析式，即可求出a ＝－12. 方法二：以水面所在的直线为x 轴，抛物线形拱桥的顶点与水面的垂线为y 轴建立直角坐标系，此时应设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋2.然后把点(2,0)代入解析式，即可求出a＝－12. 方法三：以水面与抛物线形拱桥左边的交点为原点建立直角坐标系，因为顶点坐标为(2,2)，所以可设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋2.然后把点(0,0)代入解析式，即可求出a ＝－12. 从以上方法可以看出，建立的坐标系不同，所求函数的解析式也不同，但都是正确的．在具体的实际问题情境中，建立适当的坐标系求得的解析式，对解决问题可能很简单．二、巩固提高【例题】 见课本例3.由学生求出解析式后，试着进行解答．【补例】如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米．(1)求该抛物线的解析式．(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(3)若水流喷出的抛物线形状与(2)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？(精确到0.1米)此题应先让学生建立适当的坐标系，再进行解答．三、达标训练1．在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米．(1)建立直角坐标系，求点A、B、C的坐标．(2)求过点A、B、C的抛物线的函数解析式．(3)你能算出丁的身高吗？(4)若现有一身高为1.625 m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应从离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由．若身高为1.7 m呢？2．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10 m.(1)建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标．(2)求此抛物线的解析式．(3)现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280 km(桥长忽略不计)．货车以40 km/h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行)．试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？本课小结1．根据实际问题的情境建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式是解决实际问题的关键．2．会借用函数思想方法来解决实际问题，培养学生的“转化”思想，即实际问题中的某些值，实际上就是二次函数解析式中知道横坐标求纵坐标或知道纵坐标求横坐标．有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。