新人教版初中数学正方形优质课课件完美版.

A
D
A
D
O
O
E
B
C
第3题图
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则
∠EBC的度数是
2.2.5°
第二十六页，共三十页。
当堂小练
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）A
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直 C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
5.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
第二十四页，共三十页。
当堂小练
1.下列命题正确的是（ D）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
第二十五页，共三十页。
当堂小练
3．在正方形ABC中,∠ADB=
∠BOC= 90°.
45,∠°DAC=
,45°
第二十九页，共三十页。
拓展与延伸
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边
形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
第三十页，共三十页。
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
第十四页，共三十页。
正方 形
新课讲解
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,

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c
和小芳在AB边上取定了一点E，经测量
EC=30m，EB=10m，这块场地的面积
和对角线长分别是多少？
丰富多彩的正方形
二、探索发现
？是真的吗（一）
有人说，给你两个大小不等的正方形， 可以通过切割的方法把它们拼接成一个大 正方形．这是真的吗？
正方形的性质
菱形的性质
四条边相等
四个角都是直角
矩形的性质
相等、
A
D
垂直且互相平分组对角
B
C
对称性------ 是轴对称图形也是中心对称图形
丰富多彩的正方形
变式探究
（2）把正方形A1B1C1O的顶点放在正方形 ABCD对角线交点O处，在转动过程中，若边
OA1、OC1能与直线AB、 BC交于点E、F，线段
BE、BF、OB是否存在
一定的数量关系？请写
A A1
D
E
O
出数量关系式，并证明．
B1
BF
C
C1
练习题
1、周长为20cm的正方形,边长是
B．2个
C．3个
D．4个
有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形
特殊的矩形
平行四边形
特殊的 平行四边形
有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。
一组邻边相等 有一个直角
正方形
菱形
特殊的菱形

下面大家自己完成证明
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝a cm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：如图，在正方形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，且AC＝6 2 cm
求：正方形的面积S。
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD
生活中的正方形
1、正方形的四条边有什么关系？ 四个角呢？
2、正方形是矩形吗？是菱形吗？
3、正方形具有哪些性质呢？
（1）
（2）
1． 正方形的定义
四条边相等且四个角都是直角的 四边形叫做正方形。
正方形既是有一组邻边相等的矩形， 又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
２．一个菱形的两条条件是 有一个角是直角 或对角线相等 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是
一组邻边相等 （或对角线互相垂直）
（填上一个条件即可）
例２：下列正确的是 D
Ａ. 四边相等的四边形是正方形 Ｂ．四角相等的四边形是正方形 Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形
求证：BM＝CN
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为

A．75°
B．60°
C．54°
D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC 为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求 ∠AMB即可．
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使 BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
解析：如图， ∵BE=BF，∴∠BFE=45° ∵∠CAB=45°， ∴FH⊥AC， 又CB⊥AF， ∴E是△ACF的垂心， 因此AG⊥CF。
解析：（1）连接AF 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ∵AF=AF，AE=AB， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF， ∴BF=EF；
2.证明： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线垂直的矩形是正方形。
分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA， 四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得 出结论； （2）由矩形的性质和已知条件得出 ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形， 得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）四边形AEDF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？ （3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形； （2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形， ∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形； （3）∵菱形对角线互相垂直， ∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形； （4）∵正方形既是菱形又是矩形， ∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．

∴在Rt△EBC中
随堂练习
随堂练习
4.如图，正方形ABCD的对角线长为8，E是BC边上一点， 且EF⊥OB，EG⊥OC，求EF+EG的长度.
解析：利用已知条件来判断四边形 EFOG是矩形，然后根据正方形的性 质，将EF转化为BF，EG转化为OF. 则EF+EG=BF+OF=OB.
A
D
O
G F
BE
B
C
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
A
D
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
O
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
B
C
新知探究
思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？Βιβλιοθήκη 平行四边形矩形
正 方 形
菱 形
性质：正方形=平行四边形+矩形+菱形.
A
D
解：∵四边形ABCD是正方形
E
∴ AB//CD，AB=BC=CD=DA
∴点 E 到边 AB 的距离=AD=BC
B
C
拓展提升
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，
且AF=CE.
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，求四边形BEDF的面积. A F
D
（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形
长线上一点，且CE=CF.
A
D
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60〫，求 ∠DFE 的度数.
E
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形

(B)
2.从角考虑
四个角都是直角 3.从对角线考虑
O
(D)B
C(A)
对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分一组对角.
4.从对称性考虑
它是轴对称图形，有4条对称轴,又是中心对称图形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形的性质
四边形
矩形
平行四边形
菱形
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
学习目标
1. 理解并掌握正方形的概念、性质； 2. 经历探索正方形有关性质的过程，了 解正方形与矩形、菱形的关系.
情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
情景一
图中共有多少个等腰直角三 角形？
A
D
O
B
C
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明: 连接PC
A
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
D P
N
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
B
MC
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等的矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形.
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形. __一__组__邻__边__相__等___的矩形是正方形.

(10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形 ．
（）
√
×
× ×
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
第十页，共16页。
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）B A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）D A、四条边相等.
第八页，共16页。
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
图形
性质
平行四边 矩 形
分类
形
(所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边
对边平行且 相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
四个角都 对角相等 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线相等且互相
对角线相 等
对角线互相垂直 ，每条对角线平 分一组对角
菱形
矩形
一组邻边相等 一内角是直角
第五页，共16页。
正方形 正方形
正方形的定义：
__有__一__组___邻__边__相__等__的矩形是正方形。 有__一__个__角__是__直__角___的菱形是正方形。 _有__一__组__邻__边_相__等__且__有__一_个__角__是__直__角____
的平行四边形是正方形。
第六页，共16页。
正方形与其它四边形的关系
正方正形方是形四最是边特特形殊殊的的平矩行形四边形 正平方行形四是边特形殊的菱形
正
矩形 方 菱形
形
第七页，角都是直角 对角线：相等
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。

2、 如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边
上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地
的面积和对角线分别是多少？
A
D
解：根据勾股定理：
BC2=EC2-EB2
=302-102
=800
E
∴BC= 800 20 2
∴这块场地的面积= 800 800 B
C
=800
对角线= 800 800
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
探究点二 正方形性质和判定的运用
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 A
D
角三角形需要什么条件？判定两
个三角形全等的条件又是什么？
O
图中共有多少个等腰直角三
角形？
B
C
总结梳理 内化目标
探究点一正方形的性质与判定
在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形 和菱形分别有什么关系？
四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫Байду номын сангаас方形．
你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？ 说说折出的四边形是正方形的依据．
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成 正方形．请说说图中∠1的变化过程．
=40
3 如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得 到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形．
A
H
D
E
G
B
F
C
变式 如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？
AH

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知识点三：正方形的判定
1.定义法：有一组邻边相等 ，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做 正方形．
几何语言表示 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形
2.有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形
解：有多种方法：只要小路交 于正方形对角线的交点且两条 小路互相垂直，则满足条件.
通过这节课的学习， 你学会了什么？
◆课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容？你 有什么收获？还有什么困惑？大胆地说 说自己的体会、感受或想法。
?
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
课后反思
∴△AEN ≌ △BFE ≌ △CMF≌△DNM，
∴EN=NM=MF=FE， ∴四边形EFMN为菱形. ∵∠BFE+∠BEF=90°， ∴∠BEF+∠AEN=90°。 ∴∠NEF=90°， ∴四边形EFMN为正方形.
3.如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小 路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你 有多少种方法？
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∴∠CEA＝∠ABG
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且