中考数学第一轮复习反比例函数学案1

中考数学复习第13课时《反比例函数》说课稿一. 教材分析《中考数学复习第13课时》这一课时，是在学生已经掌握了比例函数的基础上进行教学的。

本课时主要让学生了解反比例函数的定义、性质及其图象，能够熟练运用反比例函数解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探究反比例函数的图象和性质，培养学生的观察能力、思维能力和创新能力。

二. 学情分析初中生在学习反比例函数时，已经具备了一定的函数基础，对比例函数的概念和图象有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对反比例函数的定义和性质产生混淆，特别是在解决实际问题时，不知道如何运用反比例函数。

因此，在教学过程中，我要注重引导学生理解反比例函数的定义，掌握其性质，并能运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握反比例函数的定义、性质及其图象，能够熟练运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、探究等方法，让学生了解反比例函数的图象和性质，培养学生的观察能力、思维能力和创新能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习反比例函数的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义、性质及其图象。

2.教学难点：反比例函数在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、反比例函数图象软件等，直观展示反比例函数的图象和性质，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过复习比例函数的知识，引出反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：讲解反比例函数的定义，让学生通过实例理解反比例函数的概念。

3.性质探究：引导学生观察反比例函数的图象，总结反比例函数的性质。

4.应用拓展：通过实际问题，让学生运用反比例函数解决问题，巩固所学知识。

5.练习环节：布置一些有关反比例函数的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。

反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF k S S S OBN OAM ===∆∆∆图中 221K K S S PAB OAB +==∆∆图中2k ===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】 1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．5．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3B．﹣3C．D．【答案】B【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，∴k1＞0，k2＞0，∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，∴S△OAM＝S△OCN＝k1，∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，∴S矩形OABC＝k2，∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，∴k2﹣k1＝3，∴k1﹣k2＝﹣3，故选：B．6．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x ＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3B．5C．6D．10【答案】B【解答】解：∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△AOC＝×2＝1，又∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴S△BOC＝×8＝4，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+4＝5，故选：B．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S矩形OABC＝OA•OC＝，由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接P A，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为6．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4，∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2，∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ODE＝3，由几何意义得，＝3，∵k＞0，∴k＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A （x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，∴四边形OECF为矩形，∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点，由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，∴点B为CF的中点，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案为：2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠OCD+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。

精选全文完整版（可编辑修改）《反比例函数》复习课简案【教学目标】1．熟练掌握反比例函数的定义，能应用其图像与性质解决相关问题，会用待定系数法求一次函数的表达式；2. 通过反比例函数知识的整理、归纳，感受数学思考过程的条理性，发展学生的收集、整理、小结、概括、运用的能力；3. 通过学生自主设计问题、教师引导的方式，提高学生自主分析问题、解决问题的能力，培养学生独立思考、合作交流的意识，提升学生学习数学的基本素养.【教学重难点】教学重点：能用反比例函数的图像与性质解决问题，会用待定系数法求反比例函数的表达式； 教学难点：能用反比例函数的知识解决综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.【教学过程】一、 自主建构，梳理知识1、 反比例函数的定义:2、 反比例函数的图像:3、 反比例函数的图像特征:二、 自主设计，合作交流问题一：已知反比例函数的图像经过3(,4)2Q --（1）写出这个函数表达式；（2）若点Q (-1，m )在这个图像上，写出m 的值；（3）若P (-2，y 1) ,Q (3，y 2) 在这个图像上，你能比较y 1 ，y 2 的大小吗？（4）若P (x 1，y 1) , Q (x 2，y 2) 在这个图像上，且120x x <<，你还能比较y 1、y 2的大小吗？（5）如图，点P 是这个图像上任意一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，你能求出矩形OAPB 的面积吗？在第（5）问的基础上你还能提出哪些问题？一轮复习研讨课三、 变题研究，提高能力 变式1：如图，A 、B 两点在双曲线6y x =上,分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2= ．变式2：如图,过点P （4，5）分别作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴 于点D ，PC 、PD 分别交反比例函数6y x =（x ＞0）的图象于点 A 、B ，则四边形BOAP 的面积为 ．变式3：如图，A 、B 是双曲线6y x=上的两点，过A 点作 AC⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C.若D 为OB 的中点，则△ADO 的面积为 ．四、总结反思，提升素养问题二：1、如图,直线y kx =与反比例函数6y x =的图像交于P 、Q 两点． （1）若P(1，6),你能说出点Q 的坐标吗？（2）在(1)的条件下，结合图像，你能写出方程6kx x =的解吗？ 你能写出不等式6kx x >中x 的取值范围吗？2、已知A （3，2）、B （-2，﹣3）两点是一次函数y kx b =+ 和反比例函数m y x =图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式0m kx b x+->的解集．在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。

2021年中考数学一轮复习(通用版)第11章反比例函数考点梳理考点一反比例函数的概念、图象和性质1．反比例函数的概念一般地，函数y＝(k为常数，且k≠0)叫做反比例函数．【点拨】(1)函数y＝kx－1或xy＝k都是反比例函数；(2)反比例函数中自变量的取值范围是x≠0. 2．反比例函数的图象和性质(1)反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是．(2)反比例函数的图象无限接近，但永不与相交．(3)反比例函数的图象和性质第一、三象限第二、四象限一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小．3．确定反比例函数的表达式(1)求反比例函数的表达式可用待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可．(2)求反比例函数表达式的一般步骤：①设反比例函数的表达式；①把已知的一组对应值代入函数表达式，建立方程；①解方程求得待定系数的值．4．反比例函数的系数k的几何意义如图，设点P(x，y)是反比例函数y＝kx图象上任一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则①OP A的面积＝12OA·P A＝12|xy|＝12|k|，这就是反比例函数的系数k的几何意义．【点拨】根据比例系数k的几何意义，求k值时，要根据双曲线所在的象限正确确定k的符号.考点二反比例函数的应用1．反比例函数与一次函数的综合应用(1)求函数解析式一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比例函数的解析式求出另一个交点的坐标，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式中，解方程(组)即可．(2)求交点坐标将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组求解即可；对于正比例函数与反比例函数，其均关于原点对称，只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一个交点的坐标．(3)求面积①当有一边在坐标轴上时，通常将坐标轴上的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；①当两边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解．此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”．(4)比较两个函数值的大小，求自变量的取值范围2．反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题，首先要建立反比例函数的数学模型，这也是关键一步，一般地，建立反比例函数模型有两种思路：(1)题目中明确指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下，可利用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)题目中未指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下可利用基本数量关系求反比例函数的关系式，反比例函数模型建立后，进一步地可利用反比例函数的图像及性质解决问题．重难点讲解考点一正确理解反比例函数的概念，会求k值和反比例函数的解析式方法指导：因为反比例函数的解析式y＝kx(k≠0)中只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式，因而只需给出一组x，y的值或图象上一点的坐标，代入y＝kx(k≠0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式．另外，反比例函数解析式y＝kx(k≠0)也可以变形为k＝xy(k≠0)，所以要求的k值就等于双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之积．进一步理解得到反比例函数解析式y＝kx(k≠0)中，比例系数k的几何意义是过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为|k|.经典例题1 (2020•安徽滁州模拟)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(x＞0)经过矩形ABOC的对角线OA的中点M，已知矩形ABOC的面积为16，则k的值为()A．2B．4C．6D．8【解析】设A(a，b)，则ab＝16，∵点M是OA的中点，∴M(12a，12b)，∵反比例函数y＝kx(x＞0)经过点M，∴k＝12a﹒12b＝14ab＝14×16＝4．【答案】B考点二一次函数与反比例函数的综合方法指导：这类问题常有以下四种主要题型：(1)利用k值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象位置．解题策略：分k>0和k<0两种情况考虑．(2)已知直线与双曲线的表达式求交点坐标．解题策略：联立直线与双曲线的方程组成方程组求解．(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式．解题策略：待定系数法．(4)应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值的大小．解题策略：看图象，以两个图象的交点为界，图象在上方的函数值比图象在下方的要大．经典例题2 (2020•黑龙江大庆模拟)如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．(1)求反比例函数的解析式与点B坐标；(2)求△AOB的面积．【解析】(1)利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题．(2)构建方程组求出交点B坐标，直线y＝－x ＋5交y轴于E(0，5)，根据S△AOB＝S△OBE－S△AOE计算即可．解：(1)∵A(1，n)在直线y＝－x＋5上，∴n＝－1＋5＝4，∴A(1，4)，把A(1，4)代入y＝kx得到k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x．(2)由45y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，，解得14x y =⎧⎨=⎩，或41x y =⎧⎨=⎩，， ∴B (4，1)，直线y ＝－x ＋5交y 轴于E (0，5)， ∴S △AOB ＝S △OBE －S △AOE ＝12×5×4－12×5×1＝7.5．考点三 反比例函数的应用 方法指导：利用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括出反比例函数关系，建立反比例函数模型．根据已知条件写出反比例函数的解析式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际问题．因此，利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数模型，即求出反比例函数解析式．一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为y ＝kx(k ≠0)，然后求出k 的值即可．(2)列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数(y )和自变量(x )的方程，进而解出函数，得到函数解析式．经典例题3 (2020·江西模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0≤x ≤10时，求水温y (℃)与开机时间x (分)的函数关系式； (2)求图中t 的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为y＝kx＋b，依据题意，得2010100 bk b⎧⎨⎩＝，＋＝，解得820kb⎧⎨⎩＝，＝，故此函数解析式为y＝8x＋20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为y＝mx，依据题意，得100＝10m，即m＝1000，故y＝1000x，当y＝20时，20＝1000t，解得t＝50.(3)∵57－50＝7＜10，∴当x＝7时，y＝8×7＋20＝76.答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃.过关演练1．(2020·河南一模)已知点A(2，a)，B(－3，b)都在双曲线y＝－6x上，则()A．a＜b＜0B．a＜0＜b C．b＜a＜0 D．b＜0＜a2．(2020•山东德州中考)函数y＝kx和y＝－kx＋2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A B C D 3．(2020•贵州黔西南州中考)如图，在菱形ABOC中，AB＝2，①A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx(k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为()A ．y ＝－x B ．y ＝－x C ．y ＝－3xD ．y ＝x4．(2020·湖南长沙模拟)若点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，则下列说法正确的是( ) A ．图象分別位于二、四象限 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．点(2，－6)在函数图象上 D ．当y ≤4时，x ≥3 5．(2020·安徽合肥模拟)在同一坐标系中，函数y ＝kx和y ＝－kx ＋3的大致图象可能是( )A B C D6．(2020·安徽合肥一模)如图，若反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，点A 为图象上任意一点，点B 在x 轴负半轴上，连接AO ，AB ，当AB ＝OA 时，①AOB 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法确定7. (2020•湖北孝感中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位：A)与电阻R (单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为( )A．I＝24RB．I＝36RC．I＝48RD．I＝64R8. (2020•湖南长沙中考)2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是()A．v＝610tB．v＝106t C．v＝6110t2D．v＝106t29．(2020·河北一模)已知反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx＋b的图象相交于点A(4，1)，B(a，2)两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为(1，0)，则①ACD的面积为()A．12B．9C．6D．510．(2020·广东广州一模)如图所示，已知A(13，y1)，B(3，y2)为反比例函数y＝1x图象上的两点，动点P(x，0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是()A．(13，0) B．(43，0) C．(23，0) D．(103，0)11．(2020·湖北十堰一模)已知反比例函数y＝24kx+(k是常数，且k≠－2)的图象有一支在第二象限，则k的取值范围是．12．(2020•江苏无锡模拟)如果反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是．13．(2020•山东滨州中考)若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为．14．(2020•四川甘孜州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝2 x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为．15．(2020·安徽阜阳模拟)如图，菱形ABCD的顶点A，B的横坐标分别为1，4，BD①x轴，双曲线y＝5 x (x＞0)经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．16．(2020•山东青岛)如图所示，点A是反比例函数y＝kx(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝．17．(2020•浙江台州中考)小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训练次数x(单位：次)之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较(y1－y2)与(y2－y3)的大小：y1－y2y2－y3．18．(2020•山东济宁中考)在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2．(1)y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．19．(2020·安徽合肥三模)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交于点A(－3，m)，与x轴交于点B(－2，0)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线y＝3与直线AB交于点C，与双曲线交于点D，求CD的长；(3)根据图象，直接写出不等式－x＋b＜kx＜3的解集．20．(2020·浙江金华模拟)如图，一次函数y1＝－x＋4的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点，与y轴和x轴分别交于C，D两点，AM①y轴，BN①x轴，垂足分别为M，N两点，且AM与BN交于点E.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)直接写出反比例函数图象位于第一象限且y1＜y2时自变量x的取值范围；(3)求①OAB与①ABE的面积的比．21．(2020•四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)若①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．22．(2020•山东聊城中考)如图，已知反比例函数y＝kx的图象与直线y＝ax＋b相交于点A(－2，3)，B(1，m)．(1)求出直线y＝ax＋b的表达式；(2)在x轴上有一点P使得①P AB的面积为18，求出点P的坐标．23．(2020·江西南昌模拟)制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800①，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600①.煅烧时温度y(①)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(①)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是26①.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于400①时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？参考答案考点梳理考点一 1.kx2. (1)双曲线 (2)坐标轴 坐标轴 (3)减小 增大 中心 过关演练1. B 【解析】①双曲线y ＝6x，k ＝－6＜0，①双曲线在第二、四象限，①2＞0，－3＜0，①点A (2，a )在第四象限，点B (－3，b )在第二象限，①a ＜0＜b .2. D 【解析】在函数y ＝k x 和y ＝－kx ＋2(k ≠0)中，当k ＞0时，函数y ＝kx的图象在第一、三象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、四象限，故选项A 、B 错误，选项D 正确；当k ＜0时，函数y ＝kx的图象在第二、四象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、三象限，故选项C 错误．3. B 【解析】①在菱形ABOC 中，①A ＝60°，菱形边长为2，①OC ＝2，①COB ＝60°，①点C 的坐标为(－1，，①顶点C 在反比例函数y ═k x 的图象上，＝1k，得k y ＝－x ．4. B 【解析】①点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，①k ＝xy ＝3×4＝12，①此反比例函数的解析式为y ＝12x.①k ＝12＞0，①此函数的图象位于一、三象限，故选项A 错误；①k ＝12＞0，①在每一象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；①2×(－6)＝－12≠12，①点(2，－6)不在此函数的图象上，故选项C 错误；当y ≤4时，即y ＝12x≤4，解得x ＜0或x ≥3，故选项D 错误． 5. D 【解析】由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项A 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项B 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＜0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项C 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项D 正确．6. B 【解析】①反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，①k ＝－12×4＝－2，过A 点作AC ①OB于点C，①①ACO的面积为12×2＝1，①AO＝AB，①OC＝BC，①S①AOB＝2S①AOC＝2.7. C 【解析】设I＝kR，把(8，6)代入得：k＝8×6＝48，故这个反比例函数的解析式为I＝48R．8. A 【解析】①运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，①106＝vt，①v＝6 10t．9. D 【解析】①点A(4，1)在反比例函数y＝mx上，①m＝xy＝4×1＝4，①y＝4x.把B(a，2)代入y＝4x得2＝4a，①a＝2，①B(2，2)．①把A(4，1)，B(2，2)代入y＝kx＋b.①1422k bk b⎧⎨⎩＝＋，＝＋，解得123kb⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①一次函数的解析式为y＝12x＋3，①点C在直线y＝12x＋3上，①当x＝0时，y＝3，①C(0，3)．过A作AE①x轴于点E.①S①ACD＝S梯形AEOC－S①COD－S①DEA＝(13)42+⨯－12×1×3－12×1×3＝5.10. D 【解析】把A(13，y1)，B(3，y2)代入反比例函数y＝1x得y1＝3，y2＝13，①A(13，3)，B(3，13)．连接AB，在①ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，①延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，P A－PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝ax＋b(a≠0)，把点A，B的坐标代入得133133a ba b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，＝＋，解得1103ab⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①直线AB的解析式是y＝－x＋103，当y＝0时，x＝103，即P(103，0)．11. k＜－2 【解析】①反比例函数y＝24kx+的图象有一支在第二象限，①2k＋4＜0，解得k＜－2.12. a＞3 【解析】∵反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，∴a－3＞0，∴a＞3．13. y＝2x【解析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得x＝1，故该点的坐标为(1，2)，将(1，2)代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝2，故该反比例函数的解析式为y＝2x．14. 2【解析】①当点P在AB下方时作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，直线AB与x轴交点的坐标为(－1，0)，则直线l与x轴交点的坐标C(1，0)，设直线l的表达式为y＝x＋b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝－1，故直线l的表达式为y＝x－1①，而反比例函数的表达式为y＝2x①，联立①①并解得x＝2或－1(舍去)；①当点P在AB上方时，同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x＋3①，联立①①并解得x舍去负值)．15. 452【解析】连接AC，与BD交于点M，①菱形对角线BD①x轴，①AC①BD，①点A，B横坐标分别为1和4，双曲线y＝5x(x＞0)经过A，B两点，①AM＝5－54＝154，BM＝4－1＝3，①AC＝152，BD＝6，①菱形ABCD的面积12AC·BD＝452.16. －4 【解析】设反比例函数的解析式为y＝kx．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝12|k|，∴12|k|＝2，∴k＝±4；又反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝－4．17. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx，把(3，400)代入y＝kx得，400＝3k，解得k＝1200，①y与x之间的函数关系式为y＝1200x；(2)＞提示：把x＝6，8，10分别代入y＝1200x得，y1＝12006＝200，y2＝12008＝150，y3＝120010＝120，①y1－y2＝200－150＝50，y2－y3＝150－120＝30，①50＞30，①y1－y2＞y2－y3．18. 解：(1)y＝4xx＞0 提示：①在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2，①12xy＝2，①xy＝4，①y关于x的函数关系式是y＝4x，x的取值范围为x＞0.(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；(3)将直线y ＝－x ＋3向上平移a (a ＞0)个单位长度后解析式为y ＝－x ＋3＋a ，解34y x a y x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩，， 整理得，x 2－(3＋a )x ＋4＝0，①平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，①①＝(3＋a )2－16＝0，解得a ＝1，a ＝－7(不合题意舍去)，故此时a 的值为1．19. 解：(1)由点B (－2，0)在一次函数y ＝－x ＋b 上，得b ＝－2，①一次函数的表达式为y ＝－x －2；由点A (－3，m )在y ＝－x －2上，得m ＝1，①A (－3，1)，把A (－3，1)代入数y ＝kx(x ＜0)得k ＝－3，①反比例函数的表达式为y ＝－3x. (2)y ＝3，即y C ＝y D ＝3，当y C ＝3时，－x C －2＝3，解得x C ＝－5，当y D ＝3时，3＝－3Dx ，解得x D ＝－1，①CD ＝x D －x C ＝－1－(－5)＝4. (3)不等式－x ＋b ＜kx＜3的解集为－3＜x ＜－1. 20. 解：(1)当x ＝1时，a ＝－x ＋4＝3，①点A 的坐标为(1，3)．将点A (1，3)代入y ＝kx中，①k ＝1×3＝3，①反比例函数的表达式为y ＝3x ，联立34y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝－＋，解得13x y ⎧⎨⎩＝，＝，或31x y ⎧⎨⎩＝，＝， ①B (3，1)． (2)反比例函数图象位于第一象限且y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜1或x ＞3. (3)①A (1，3)，B (3，1)，①E (3，3)，AE ＝2，BE ＝2，①S ①ABE ＝12×2×2＝2，①S ①OAB ＝S 四边形ONEM －S ①ABE －S ①AOM －S ①BON ＝3×3－2－12×3×1－12×3×1＝4，①①OAB 与①ABE 的面积的比是4①2＝2①1.21. 解：(1)①反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，①k＝3×4＝12，①反比例函数的表达式为y＝12x；(2)①直线y＝kx＋b过点A，①3k＋b＝4，①过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点，①B(－b k ，0)，C(0，b)，①①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，①12×4×|－bk|＝2×12×|－bk|×|b|，①b＝±2，当b＝2时，k＝23，当b＝－2时，k＝2，①直线的函数表达式为y＝23x＋2，y＝2x－2．22. 解：(1)将点A(－2，3)的坐标代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝－2×3＝－6，故反比例函数表达式为y＝－6x，将点B的坐标代入上式，解得m＝－6，故点B(1，－6)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式得326=a ba b=-+⎧⎨-+⎩，，解得3=3ab=-⎧⎨-⎩，，故直线的表达式为y＝－3x－3；(2)设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝－1，故点E(－1，0)，分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，则S①P AB＝12PE•CA＋12PE•BD＝32PE＋62PE＝92PE＝18，解得PE＝4，故点P的坐标为(3，0)或(－5，0)．23. 解：(1)材料锻造时，设y＝kx(k≠0)，由题意得600＝8k，解得k＝4800，当y＝800时，4800x＝800，解得x＝6，①点B的坐标为(6，800)．材料煅烧时，设y＝ax＋26(a≠0)，由题意得800＝6a＋26，解得a＝129，①材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝129x＋26(0≤x≤6).4800÷26＝184.6，①锻造操作时y与x的函数关系式为y＝4800x(6＜x＜184.6)．(2)把y＝400代入y＝4800x，得x＝12，12－6＝6(分)．答：锻造的操作时间为6分钟．。

第13讲:反比例函数一、复习目标1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题二、课时安排1课时三、复习重难点1、反比例函数图象与性质2、反比例函数图象、性质的应用四、教学过程（一）知识梳理反比例函数的图象与性质·PN＝|y|·|x|＝（二）题型、技巧归纳考点1：反比例函数的概念技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．考点2：反比例函数的图象与性质技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y ＝kx的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．考点3反比例函数的应用技巧归纳：先根据双曲线上点C 的坐标求出m 的值，从而确定点C 的坐标，再将点C 的坐标代入一次函数关系式中确定n 的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y ＝k x的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k |，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．（三）典例精讲例1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)[解析] 设反比例函数的关系式为y ＝kx，把点(－1，6)代入可求出k ＝－6，所以反比例函数的关系式为y ＝－6x，故此函数也经过点(－3，2)，答案选A.例2在反比例函数y ＝k x (k <0)的图象上有两点()－1，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2，则y 1－y 2的值是( ) A ．负数 B ．非正数C ．正数D ．不能确定 [解析] 反比例函数y ＝kx ：当k ＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．又∵点(－1，y 1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，y 2均位于第二象限，－1＜－14， ∴y 1＜y 2，∴y 1－y 2＜0，即y 1－y 2的值是负数，故选A.例3 如图点A ，B 在反比例函数y ＝ (k>0，x>0)的图象上，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为________．[解析] ∵S △AOC ＝6，OM ＝MN ＝NC ＝13OC ，∴S △OAC ＝12×OC×AM，S △AOM ＝12×OM×AM＝13 S △OAC ＝2＝12|k|.又∵反比例函数的图象在第一象限，k ＞0，则k ＝4.例4 如图13－2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y ＝4y x=在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值；(2)过x 轴上的点D (3,0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝ 交于点P 、Q ，求△APQ 的面积．解：(1) ∵点C(1，m)在双曲线y ＝4x上，∴m ＝4，将点C(1，4)代入y ＝2x ＋n 中，得n ＝2；(2)在y ＝2x ＋2中，令y ＝0，得x ＝－1，即A(－1，0)．将x ＝3代入y ＝2x ＋2和y ＝4x，得点P(3，8)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43，∴PQ ＝8－43＝203.又∵AD ＝3－(－1)＝4，∴△APQ 的面积＝12×4×203＝403. （四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握反比例函数的求法，能画出反比例函数的图象，能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题（五）随堂检测1、已知点A(－2，y 1)、B(1，y 2)和C(2，y 3)都在反比例函数ky x= (k<0)的图象上，那么y 1、y 2和y 3的大小关系如何？2、已知反比例函数7y x=-图象上三个点的坐标分别是A(－2，y 1)、B(－1，y 2)、C(2，y 3)，能正确反映y 1、y 2、y 3的大小关系的是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 2>y 3>y 13、已知反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）． （Ⅰ）求这个函数的解析式；（Ⅱ）判断点B （﹣1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x ＜﹣1时，求y 的取值范围．4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A （m ，2）．（1）求m 的值；（2）求正比例函数y=kx 的解析式；（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．五、板书设计反比例函数六、作业布置反比例函数课时作业七、教学反思借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。

备战2020年中考数学一轮专项复习——反比例函数综合问题一、反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0） ； （B ）xy = k （k ≠ 0）； （C ）y=kx -1（k ≠0） 二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第一、三象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内。

3、增减性：（1）当k>0时,y = xk （k ≠ 0）为减函数,y 随x 的增大而减小； （2）当k<0时,y = xk （k ≠ 0）为增函数,y 随x 的增大而增大。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y =x 6 和y = x 6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴成轴对称。

一、选择题：1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x ﹣1，④y ＝是反比例函数的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k ≠0）判定则可． 【解析】①y ＝2x 是正比例函数；②y ＝x 是正比例函数；③y ＝x ﹣1是反比例函数；④y＝不是反比例函数，是反比例关系；所以共有1个．故选：B．2．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；故选：D．3．如图，过原点的直线l与反比例函数y＝﹣的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是（）A．B．2C．2 D．1【分析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣，利用a即可表示出ON的长度，然后根据不等式的性质即可求解．【解析】设N的横坐标是a，则纵坐标是﹣．则OM＝ON＝≥．则MN的最小值是2．故选：B．4．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y 轴上，则△ABC的面积为（）A．3 B．2 C．D．1【解析】连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB，而S△OAB＝|k|＝，∴S△CAB＝，故选：C．5．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝1∴k＝1，∴k＝4．故选：C．6．如图，在菱形ABOC中，∠ABO＝120°，它的一个顶点C在反比例函数y＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．7.（2019•淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（）A．2B．6 C．4D．2【解析】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，∴OD1＝D1A1＝2，设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，解得：a＝，即：y2＝，同理：y3＝，y 4＝，……∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，故选：A．8．如图，已知点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P 是AC的中点．若△ABP的面积为4，则k的值为（）．A．16 B．8 C．4 D．24【分析】由△ABP的面积为4，知BP•AP＝8．根据反比例函数y＝中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．【解答】解：∵△ABP 的面积为•BP •AP ＝4，∴BP •AP ＝8，∵P 是AC 的中点，∴A 点的纵坐标是B 点纵坐标的2倍，又∵点A 、B 都在双曲线y ＝（x ＞0）上，∴B 点的横坐标是A 点横坐标的2倍，∴OC ＝DP ＝BP ，∴k ＝OC •AC ＝BP •2AP ＝16．故选A.二、填空题：9.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xk y 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AD=5，∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=5∴C （4,4），将C 代入x k y =得：44k =，∴16=k10．（2019遂宁中考 第15题 4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数y ＝经过点B ．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过C （0，3）、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）【解析】点C （0，3），反比例函数y ＝经过点B ，则点B （4，3），则OC ＝3，OA ＝4，∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，PA ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，解得：x ＝，故点G （，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为：y ＝x 2﹣x +3． 11．如图，已知点(1，3)在函数y ＝kx (x >0)的图象上，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝kx(x >0)的图象又经过A ，E 两点，则点E 的横坐标为____．【解析】 把(1，3)代入到y ＝kx，得k ＝3， 所以函数解析式为y ＝3x. 设A (a ，b )，根据图象和题意可知，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 2.因为y ＝3x 的图象经过A ，E ，所以分别把点A 和E 代入到函数解析式中得 ab ＝3，①b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝3，② 由②得ab 2＋b 24＝3，把①代入得32＋b 24＝3， 即b 2＝6，解得b ＝±6，因为A 在第一象限，所以b ＞0，所以b ＝ 6.把b ＝6代入①求得a ＝62， 所以点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.故答案为 6. 12．如图，Rt △AOB 中，∠OAB ＝90°，∠OBA ＝30°，顶点A 在反比例函数y ＝图象上，若Rt △AOB 的面积恰好被y 轴平分，则进过点B 的反比例函数的解析式为 ．【分析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ），则ab ＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE ∽△ABF ，由相似三角形的对应边成比例，则BD 、OD 都可用含a 、b 的代数式表示，从而求出B 的坐标，进而得出结果．【解析】分别过A 、B 作AE ⊥x 轴于E ，BD ⊥y 轴交AE 于F ．设A （a ，b ）．∵顶点A 在反比例函数y ＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．13．如图， △OAP ，△ABQ 是等腰直角三角形，点P ，Q 在反比例函数y ＝4x (x ＞0)上，直角顶点A ，B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为 ．【解析】 ∵△OAP 是等腰直角三角形，∴PA ＝OA .∴设P 点的坐标是(a ，a )，把(a ，a )代入解析式y ＝4x，解得a ＝2(a ＝－2舍去)， ∴P 的坐标是(2，2)，∴OA ＝2，∵△ABQ 是等腰直角三角形，∴BQ ＝AB ，∴可以设Q 的纵坐标是b ，∴横坐标是b ＋2，把Q 的坐标代入解析式y ＝4x， 得b ＝4b ＋2，∴b ＝5－1(b ＝－5－1舍去)，∴点Q 的坐标为(5＋1，5－1)．14．（2019•毕节市）如图，在平面直角坐标中，一次函数y ＝﹣4x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．正方形ABCD 的顶点C 、D 在第一象限，顶点D 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上．若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图象上，则n 的值是 ．【解析】过点D 作DE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥y 轴，∵AB ⊥AD ，∴∠BAO ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∠BOA ＝∠DEA ，∴△ABO ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BO ，DE ＝OA ，易求A （1，0），B （0，4），∴D （5，1），∵顶点D 在反比例函数y ＝上，∴k ＝5，∴y ＝，易证△CBF ≌△BAO （AAS ），∴CF ＝4，BF ＝1，∴C （4，5），∵C 向左移动n 个单位后为（4﹣n ，5），∴5（4﹣n ）＝5，∴n ＝3，故答案为3；三、解答题15．如图，一次函数y ＝kx ＋2的图象与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为P .PA 垂直x 轴于点A .PB 垂直y 轴于点B .函数y ＝kx ＋2的图象分别交x 轴，y 轴于点C ，D .已知DB ＝2OD ，△PBD 的面积S △PBD ＝4.(1)求点D 的坐标；(2)求k ，m 的值；(3)写出当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝m x的值的x 的取值范围．【解析】(1)在y ＝kx ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，所以点D (0，2)．(2)因为OD ＝2，DB ＝2OD ＝4，由S △PBD ＝4，可得BP ＝2，而OB ＝OD ＋DB ＝6，所以点P (2，6)．将P (2，6)分别代入y ＝kx ＋2与y ＝mx，可得 k ＝2，m ＝12.(3) 由图象可知，当x ＞0时，使一次函数y ＝kx ＋2的值大于反比例函数y ＝mx的值的x 的取值范围是x ＞2.16．（2019遂宁中考 第23题 10分）如图，一次函数y ＝x ﹣3的图象与反比例函数y ═（k ≠0）的图象交于点A 与点B （a ，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点A 重合），连接OP ，且过点P 作y 轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【解析】（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝；（2）如图：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．17．（2019•河池）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y＝过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y＝过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，∵点M，N在反比例函数的图象上，∴DN•AD＝BM•AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN•BC＝BM•CD，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠MCN＝∠BCD，∴△MCN∽△BCD，∴∠CNM＝∠CDB，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD．∵B（6，0），D（0，8），∴直线BD的解析式为y＝﹣x+8，∵C，C′关于MN对称，∴CC′⊥MN，∴CC′⊥BD，∵C（6，8），∴直线CC′的解析式为y＝x+，∴C′（0，）．（3）如图3中，①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴5m＝4（m+3），∴m＝12．②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴8m＝4（m+3），∴m＝3．③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．综上所述，满足条件的m的值为3或12．18．“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP，OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP，NQ⊥OQ)，他发现弯道MN上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A，B，C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，并测得S2＝6(单位：平方米)，OG＝GH＝HI.(1)求S1和S3的值；(2)设T(x，y)是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数解析式；(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP＝2米，NQ＝3米．问一共能种植多少棵花木？【解析】(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k 2a ，CI ＝k 3a .所以S 2＝k 2a •a －k 3a•a ＝6，解得k ＝36.所以S 1＝k a •a －k 2a •a ＝12k ＝12×36＝18，S 3＝k 3a •a ＝13k ＝13×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y ＝36x .∵T(x ，y)是弯道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2，NQ ＝3，∴GM ＝362＝18，OQ ＝363＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x ＝2时，y ＝18，可以种8棵；当x ＝4时，y ＝9，可以种4棵；当x ＝6时，y ＝6，可以种2棵；当x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵；当x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共可以种8＋4＋2＋2＋1＝17(棵)花木．19、如图，已知反比例函数k y x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【解析】（1）∵已知反比例函数k y x =经过点(1,4)A k -+，∴41k k-+=，即4k k -+= ∴2k =∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)，∴21b =+∴1b =∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。

第三部分 一次函数与反比例函数模块二 反比例函数基础知识梳理考点1 反比例函数的图象 考点4 设参数来帮忙 考点2 比大小（增减性） 考点5 反比例与几何综合考点3面积不变性原理1.如果点A （-2，y 1），B （-1，y 2），C （2，y 3）都在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜y 3＜y 2B. y 2＜ y 1 ＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3 ＜y 2 ＜y 12如图，已知一次函数y ＝kx - 4的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝x8在第一象限内的图象交于点C ，且A 为BC 的中点，则k ＝____________。

3.已知双曲线y ＝x 3和y ＝xk的部分图象如图所示，点C 是y 轴正半轴上一点，过点C 作AB ∥x 轴分别交两个图象于点A ，B ，若CB ＝2CA ，则k ＝____________。

4.如图，一次函数y ＝ k x - 1的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x3（x ＞0）的图象交于B ，BC 垂直x 轴于点C ，若△ABC 的面积为1，则k 的值是___________。

5.如图，点B （3，3）在双曲线y ＝x k （x ＞0）上点D 在双曲线y ＝x4（x ＜0）上，点A 和点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且点A ，B ，C ，D 构成的四边形为正方形。

（1）求k 的值； （2）求点A 的坐标。

6.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x - 1与函数y ＝x1的图象可能是（ ）7.函数y 1＝x 和y 2＝x1的图象如图所示，则y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ） A. x ＜ - 1或 x ＞1 B. x ＜ - 1或0 ＜ x ＜ 1 C. - 1 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1 D. - 1 ＜ x ＜ 0 或 0 ＜ x ＜ 18.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （ - 3，0） （1）求点D 的坐标；（2）求经过点C 的反比例函数解析式。

2020年中考数学一轮复习培优训练：《反比例函数》1．（2019•滦南县二模）已知：一次函数y＝mx+10（m＜0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧）．（1）当A（8，2）时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△P AB是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当m＝﹣2时，设A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．2．（2019秋•市中区期末）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N 作ND⊥x轴于点D，且DN＝1．已知点P是x轴（除原点O外）上一点．（1）直接写出M、N的坐标及k的值；（2）将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q 能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由；（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•永春县校级自主招生）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．4．（2019•滨州模拟）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，tan∠BAO＝．（1）求点A的坐标；（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE ＝16．若反比例函数y＝的图象经过点C，求k的值；（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2019春•南召县期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1），点B的坐标为（﹣2，m）（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；（3）观察图象直接写出ax+b＞时x的取值范围是；（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标．6．（2019春•常熟市期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．（1）求∠BCO的度数；（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．7．（2019•无锡模拟）已知：如图1，在平面直角坐标系中点A（2，0）．B（0，1），以AB 为顶点在第一象限内作正方形ABCD．反比例函数y1＝（x＞0）、y2＝（x＞0）分别经过C、D两点．（1）求点C的坐标并直接写出k1、k2的值；（2）如图2，过C、D两点分别作x、y轴的平行线得矩形CEDF，现将点D沿y2＝（x ＞0）的图象向右运动，矩形CEDF随之平移；①试求当点E落在y1＝（x＞0）的图象上时点D的坐标；②设平移后点D的横坐标为a，矩形的边CE与y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图象均无公共点，请直接写出a的取值范围．8．（2019•高新区校级三模）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，AD＝2AB，直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，双曲线y＝（x＞0）经过点D，与BC边相交于点E．（1）填空：k＝；（2）连接AE、DE，试求△ADE的面积；（3）在x轴上有两点P、Q，其中点P可以使PC+PD的值最小，而点Q可以使|QC﹣QD|的值最大，请直接写出P、Q两点的坐标以及线段PQ的长．9．（2019春•宜宾期末）如图1，直线l 1：y ＝kx +b 与双曲线y ＝（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点E ，已知点A （1，3）、点C （4，0）． （1）求直线l 1和双曲线的解析式；（2）将△OCE 沿直线l 1翻折，点O 落在第一象限内的点H 处，直接写出点H 的坐标； （3）如图2，过点E 作直线l 2交x 轴的负半轴于点F ，连接AF 交y 轴于点G ，且△AEG 的面积与△OFG 的面积相等． ①求直线l 2的解析式；②在直线l 2上是否存在点P ，使得S △PBC ＝S △OBC ？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．．10．（2019•广东二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图②，△P A1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．11．（2019•历下区二模）如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，2），过点A的直线y＝kx+b与y轴于点C，且BD＝2OC，tan∠OAC＝．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A左侧的一点，且AE＝BD，连接BE交直线CA于点M，求tan∠BMC 的值．12．（2019•雨花区校级三模）如图，∠APB与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，已知O为坐标原点，P（﹣1，﹣1），且∠P AO+∠PBO＝45°．（1）求∠APB的度数；（2）判断OA•OB是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由；（3）射线P A、PB分别与反比例函数的图象交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，设A（0，m），令T＝（x1﹣x2）（y1﹣y2﹣1），当m≤4时，求T的取值范围．13．（2019春•锡山区校级期末）（1）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x 轴与C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为b．A 与B的坐标分别为、．（用b与k表示），由此可以猜想DP与BP的数量关系是．（2）四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，P是AC的中点，点B的横坐标为4．①当m＝4，n＝20时，判断四边形ABCD的形状并说明理由．②四边形ABCD能否成为正方形？若能，直接写出此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．14．（2019春•鼓楼区期末）如图①，在平面直角坐标系中，A（1，a）是函数y＝的图象上一点，B（0，b）是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A、B、P、Q按顺时针方向排列）．（1）求a的值；（2）如图②，当b＝0时，求点P的坐标；（3）若点P也在函数y＝的图象上，求b的值；（4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数y＝的图象上一点，判断以点P、Q、M、N为顶点的四边形能否是正方形？如果能，请直接写出b的值；如果不能，请说明理由．15．（2019春•乳山市期末）如图，边长为3正方形OACD的顶点O与原点重合，点D，A 在x轴，y轴上．反比例函数y＝（x≠0）的图象交AC，CD于点B，E，连按OB，OE，BE，S＝4．△OBE（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作y轴的平行线m，点P在直线m上运动，点Q在x轴上运动；①若△CPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求△CPQ的面积；②将“①”中的“以P为直角顶点的”去掉，将问题改为“若△CPQ是等腰直角三角形”，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是．（直接写答案，不用写步骤）参考答案1．解：（1）把A（8，2）代入y＝，得k＝8×2＝16．∴反比例函数的解析式为y＝，把A（8，2）代入y＝mx+10，得到m＝﹣1，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10，解方程组，得或，∴点B的坐标为（2，8）；（2）①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣x+10，当y＝0时，﹣x+10＝0，解得x＝10，∴点E（10，0），OE＝10．∵A（8，2），∴OH＝8，AH＝2，∴HE＝10﹣8＝2，∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°，又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴＝，∴＝，∴MH＝2，∴M（6，0），可设直线AP的解析式为y＝k′x+b，则有，解得，∴直线AP的解析式为y＝x﹣6，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣2，﹣8）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣8，﹣2），综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）、（﹣8，﹣2）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴＝，∵＝，∴＝＝，∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，∴＝，即b＝a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝的图象上，∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10），解得：a＝3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y＝px+q，则有， 解得：， ∴直线BC 的解析式为y ＝2x +2．当x ＝0时，y ＝2，则点D （0，2），OD ＝2，∴S △COB ＝S △ODC +S △ODB ＝OD •CT +OD •BS ＝×2×3+×2×2＝5． ∵OA ＝OC ，∴S △AOB ＝S △COB ，∴S △ABC ＝2S △COB ＝10．2．解：（1）由题意M （1，4），n （4，1），∵点M 在y ＝上，∴k ＝4；（2）当点P 滑动时，点Q 能在反比例函数的图象上；如图1，CP ＝PQ ，∠CPQ ＝90°，过Q作QH⊥x轴于H，易得：△COP≌△PHQ，∴CO＝PH，OP＝QH，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；当x＝1时，y＝4，∴M（1，4），∴OC＝PH＝4设P（x，0），∴Q（x+4，x），当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）＝4，x2+4x+4＝8，x＝﹣2±2，当x＝﹣2+2时，x+4＝2+2，如图1，Q（2+2，﹣2+2）；当x＝﹣2﹣2时，x+4＝2﹣2，如图2，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；如图3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0）过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，∴Q（x﹣4，﹣x），同理得：﹣x（x﹣4）＝4，解得：x1＝x2＝2，∴Q（﹣2，﹣2），综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．（3）当MN为平行四边形的对角线时，根据MN的中点的纵坐标为，可得点S的纵坐标为5，即S（，5）；当MN 为平行四边形的边时，易知点S 的纵坐标为3，即S （，3）；综上所述，满足条件的点S 的坐标为（，5）或（，3）．3．解：（1）∵点B （3，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴a ＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y ＝，∵点A 的纵坐标为4，∵点A 在反比例函数y ＝图象上，∴A （，4）， ∴， ∴，∴一次函数的表达式为y ＝﹣x +6；（2）如图1，过点A 作AF ⊥x 轴于F 交OB 于G ，∵B （3，2），∴直线OB 的解析式为y ＝x ，∴G （，1），A （，4），∴AG ＝4﹣1＝3，∴S △AOB ＝S △AOG +S △ABG ＝×3×3＝．（3）如图2中，①当∠AOE 1＝90°时，∵直线AC 的解析式为y ＝x ，∴直线OE 1的小时为y ＝﹣x ，当y ＝2时，x ＝﹣，∴E1（﹣，2）．②当∠OAE2＝90°时，可得直线AE2的解析式为y＝﹣x+，当y＝2时，x＝，∴E2（，2）．③当∠OEA＝90°时，易知AC＝OC＝CE＝，∵C（，2），∴可得E3（，2），E4（，2），综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．4．解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，∴OB＝4，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，∴OA＝8，∴A（﹣8，0）．（2）∵EC⊥AB，∴∠ACD＝∠AOB＝∠DOE＝90°，∴∠OAB+∠ADC＝90°，∠DEO+∠ODE＝90°，∵∠ADC＝∠ODE，∴∠OAB＝∠DEO，∴△AOB∽△EOD，∴＝，∴OE：OD＝OA：OB＝2，设OD＝m，则OE＝2m，∵•m•2m＝16，∴m＝4或﹣4（舍弃），∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），∴直线DE的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵A（﹣8，0），B（0，4），∴直线AB的解析式为y＝x+4，由，解得，∴C（﹣，），∵若反比例函数y＝的图象经过点C，∴k＝﹣．（3）如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD＝OB＝4，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠PNB＝∠ONM＝45°，∴OM＝DM＝ON＝2，∴BN＝2，PB＝PN＝，∴P（﹣1，3）．如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，P（0，2）；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR＝MR，可得P（2，6）．综上所述，满足条件的点P 坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）； 5．解：（1）∵点A 坐标为（3，1）把点A 的坐标代入y ＝中得：k ＝3∴反比例函数的解析式是：y ＝把点B 的坐标为（﹣2，m ）代入y ＝中，得：﹣2m ＝3，m ＝﹣∴B （﹣2，﹣）把A 、B 两点的坐标代入y ＝ax +b 中得：，解得：∴一次函数的解析式为：y ＝x ﹣；（2）如图1，当y ＝0时， x ﹣＝0，x ＝1，∴C （1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝＝；（3）由图象得：ax +b ＞时x 的取值范围是：x ＞3或﹣2＜x ＜0；故答案为：x＞3或﹣2＜x＜0；（4）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：①当OA＝OP时，如图2，∵A（3，1），∴OA＝，∴P1（﹣，0）或P2（，0）；②当OA＝AP时，如图3，∴P（6，0）；③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，设OP＝x，则AP＝x，PE＝3﹣x，∴AP2＝AE2+PE2，∴12+（3﹣x）2＝x2，x＝，∴P（，0）；综上，P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．故答案为：（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．6．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B（b，0），C（0，b），∴OB＝OC＝﹣b，∵∠BOC＝90°∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°．（2）如图1中，作MN⊥AB于N．∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为y＝﹣x+b，∴直线MN的解析式为y＝x+4，由，解得，∴N（，），∵MA＝MB，MN⊥AB，∴NA＝BN，设A（m，n），则有，解得，∴A（﹣4，b+4），∵点A在y＝﹣上，∴﹣4（b+4）＝﹣4，∴b＝﹣3，∴A（﹣4，1）．（3）如图2中，由（2）可知A（﹣4，1），M（0，4），∴AM＝＝5，当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q（﹣4，﹣4），Q′（﹣4，6），当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q（4，1）当AM为菱形的对角线时，设P″（0，b），则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，∴b＝﹣．∴AQ″＝MP″＝，∴Q″（﹣4，），综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣4，6）或（﹣4，）或（4，1）．7．解：（1）如图1中，作DM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠AOB＝∠AMD＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠DAM＝90°，∴∠ABO＝∠DAM，∴△OAB≌△MDA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（3，2），∵点D在y＝上，∴k2＝6，同法可得C（1，3），∵点C在y＝上，∴k1＝3．（2）①设平移后点D坐标为（m，），则E（m﹣2，），由题意：（m﹣2）•＝3，解得m＝4，∴D（4，）．②设平移后点D 坐标为（m ，），则C （m ﹣2， +1），当点C 在y ＝上时，（m ﹣2）（+1）＝6，解得m ＝1+或1﹣（舍弃），观察图象可知：矩形的边CE 与y 1＝（x ＞0），y 2＝（x ＞0）的图象均无公共点， 则a 的取值范围为：4＜a ＜1+．8．解：（1）如图所示：过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，∵直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4，∴当x ＝0时，y ＝4，则OB ＝4，B 点坐标为：（0，4）；当y ＝0时，x ＝2，则OA ＝2，A 点坐标为：（2，0）；∵∠OAB +∠DAH ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°，∴∠BAO ＝∠ADH ，又∵∠BOA ＝∠AHD ，∴△AOB ∽△DHA ， ∴＝＝＝， ∴＝＝，解得：DH ＝4，AH ＝8，∴D （10，4），则k ＝10×4＝40， 故答案为：40；（2）由（1）得：AO ＝2，OB ＝4，则AB ＝2， ∵AD ＝2AB ，∴AD ＝4， ∴S 矩形BACD ＝S △AED ＝×2×4＝20；（3）如图所示：过点C 作CN ⊥y 轴于点N ，作D 点关于x 轴对称点D ′，连接CD ′，交x 轴于点P ，连接DP ，∵∠NBC +∠NCB ＝90°，∠NBC+∠OBA＝90°，∴∠NCB＝∠OBA，又∵∠CNB＝∠BOA＝90°，∴△CNB∽△BOA，∴＝＝2，∴CN＝8，BN＝4，∴C点坐标为：（8，8），∵D（10，4），∴D′（10，﹣4），设直线CD′的解析式为：y＝ax+d则，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣6x+56，当y＝0则x＝，故P点坐标为：（，0），延长CD交x轴于Q，此时|QC﹣QD|的值最大，∵CD∥AB，D（10，4），AB的解析式为y＝﹣2x+4，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+24，∴Q（12，0），∴PQ＝12﹣＝．9．解：（1）将A（1，3）、点C（4，0）代入y＝kx+b得，解得：∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+4；将A（1，3）代入y＝（x＞0）中，得m＝3，∴双曲线的解析式为：y＝（x＞0）．（2）如图1中，在y＝﹣x+4中，令x＝0，得：y＝4∴E（0，4）∴△COE是等腰直角三角形，由翻折得：△CEH≌△CEO∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°，OC＝OE∴OCHE是正方形．∴H（4，4）．（3）如图2，连接AO，①∵A（1，3）、O（0，0）．设直线AO解析式为y＝k1x，3＝k1，∴直线AO 解析式为y ＝3x ，∵S △AEG ＝S △OFG∴S △EF A ＝S △EFO∴EF ∥AO∴直线l 2的解析式为：y ＝3x +4；②存在，点P 坐标为：P （﹣1，1）或P （1，7）． ∵S △PBC ＝S △OBC ，∴点P 在经过点O 或H 平行于直线l 1：y ＝﹣x +4的直线上， 易得：y ＝﹣x 或y ＝﹣x +8 分别解方程组或得：或 ∴点P 的坐标为P （﹣1，1）或P （1，7）． 10．解：（1）如图①，过B 作BC ⊥x 轴于C ，∵OB ＝AB ，BC ⊥x 轴，∴OC ＝AC ＝OA ，∵点A 的坐标为（6，0），∴OA ＝6，∴OC ＝AC ＝3，∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴y ＝＝4， ∴B （3，4），∵点A （6，0），点B （3，4）在y ＝kx +b 的图象上， ∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；（2）如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a＞0），∵顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a＝，解得：a＝（负值舍），∴OC＝2，∴OA＝2OC＝4，∴A（4，0）；（3）如图②，过P作PD⊥x轴于点D，∵△P A1A是等腰直角三角形，∴PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4+m，m），∴m（4+m）＝12，解得：x1＝2﹣2，m2＝﹣2﹣2（负值舍去），∴A1A＝2m＝4﹣4，∴OA1＝OA+AA1＝4，∴点A1的坐标是（4，0）．11．解：（1）∵A（﹣，0），B（0，2），∴OA＝，OB＝2，∵tan∠OAC＝＝，∴OC＝1，BC＝3，∵BD＝2OC，∴BD＝2，∵BD⊥BC，∴D（2，2），把D（2，2）代入y＝中，得到m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图，设CD交x轴于K．∵OK∥BD，∴＝，∴＝，∴OK＝，∵OC＝1，OA＝，∴OC2＝OA•OK，∴＝，∵∠AOC＝∠COK，∴△AOC∽△COK，∴∠OAC＝∠OCK，∵∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OCA+∠OCK＝90°，∴∠ACK＝90°，∴AC⊥CD．（3）如图，作BH⊥CM于H．∵A（﹣，0），C（0，﹣1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，∵AE＝BD＝2，∴OA＝2+＝，∴E（﹣，0），∵B（0，2），∴直线BE的解析式为y＝x+2，由解得，∴M（﹣，），∴CM＝，BM＝，∵S＝×3×＝××BH，△BCM∴BH＝，∴MH＝＝，∴tan∠BMC＝＝＝2．12．解：（1）如图1中，连接PO，延长PO到K．∵∠AOK＝∠OP A+∠OAP，∠KOB＝∠OPB+∠OBP，∴∠POP A+∠OAP+∠OPB+∠OBP＝90°，∵∠P AO+∠PBO＝45°，∴∠OP A+∠OPB＝45°，∴∠APB＝45°．（2）结论：OA•OB＝2，理由：∵P（﹣1，﹣1），∴KO平分∠AOB，OP＝，∴∠AOK＝∠BOK＝45°，∵∠AOK＝∠OP A+∠OAP＝45°，∠OP A+∠OPB＝45°，∴∠OAP+∠OPB，∵∠AOP＝∠BOP＝135°，∴△POA∽△BOP，∴＝，∴OA•OB＝OP2＝2．（3）∵A（0，m），∴OA＝m，∵OB•OA＝2，∴OB＝，∴B（，0），∴直线P A的解析式为y＝（m+1）x+m，直线PB的解析式为y＝x﹣，由，相切y得到：（m+1）x2+mx﹣1＝0，∵x1•（﹣1）＝﹣，∴x1＝，y1＝m+1，同法可得x2＝，y2＝，∴T＝（x1﹣x2）（y1﹣y2﹣1）＝（﹣）（m+1﹣﹣1）＝﹣，∵0＜m≤4，∴T＜0，∵T（m+2）＝﹣（m2+2m+2），∴m2+（2+T）m+2+2T＝0，∵△≥0，∴4+4T+T2﹣4（2+2T）≥0，∴T2﹣4T﹣4≥0，解得T≤2﹣2或T≥2+2，∵T＜0，∴T≤2﹣2．13．解：（1）∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，∴AC⊥BD，由题意B（m，），A（m，），∴PD＝m，BD＝m，∴BD＝2PD，∴DP＝BP，故答案为：A（m，），B（m，），DP＝BP．（2）①当x＝4时，y＝＝1，∴点B的坐标为（4，1）；当x＝4时，y＝＝5，∴D（4，5），∵点P为线段AC的中点，设A（a，），则C（5a，），∴P A＝PC，∴（a+5a）÷2＝4，∴a＝，∴A（，3），C（，3），∴点P的坐标为（4，3），∴P A＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，∴P A＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形．②四边形ABCD能成为正方形．当四边形ABCD为正方形时，设P A＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．当x＝4时，y＝＝，∴点B的坐标为（4，），∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，∴点D的坐标为（4，8﹣），∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．14．解：（1）∵A（1，a）是函数y＝的图象上一点，∴a＝．（2）如图②中，作PE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F．∵四边形ABPQ是正方形，∴AB＝AP，∠ABP＝∠PEC＝O＝∠AFO＝90°，∴∠PBE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠PBE＝∠BAF，∴△PBE≌△BAF（AAS），∴PE＝BF＝1，OE＝AF＝，∴P（﹣，1）．（3）如图③中，作AF⊥OB于F，PE⊥OB于E．同法可证：△PBE≌△BAF，∴BE＝AF＝1，PE＝BF＝b﹣，∴P（b﹣，b+1），∵点P在y＝上，∴（b﹣）•（b+1）＝，解得b＝2或﹣，（4）如图④中，当点N在反比例函数图形上时，由题意易知P（b﹣，b+1），M（﹣，+），N（b﹣，+），∵点N在反比例函数图形上，∴（b﹣）（+）＝，解得b＝﹣或．15．解：（1）∵四边形OACD是正方形，边长为3，∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，∵反比例函数y＝（x≠0）的图象交AC，CD于点B，E，∴可以假设B（，3），E（3，），＝4，∵S△OBE∴9﹣﹣﹣（3﹣）2＝4，解得k＝3或﹣3（舍弃），∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①如图1中，设直线m交OD于M．由（1）可知B（1，3），AB＝1，BC＝2，当PC＝PQ，∠CPQ＝90°时，∵∠CBP＝∠PMQ＝∠CPQ＝90°，∴∠CPB+∠BCP＝90°，∠CPB+∠PQM＝90°，∴∠PCB＝∠MPQ，∵PC＝PQ，∴△CBP≌△PMQ（AAS），∴BC＝PM＝2，PB＝MQ＝1，∴PC＝PQ＝＝，∴S＝．△PCQ如图2中，当PQ＝PC，∠CPQ＝90°，同法可得△CBP≌△PMQ（AAS），∴PM＝BC＝2，OM＝PB＝5，∴PC＝PQ＝＝，＝．∴S△PCQ＝5．②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，同法可得CQ＝PQ＝，此时S△PCQ或CQ′＝PQ′＝＝，可得S＝17，△P′CQ′不存在点C为等腰三角形的直角顶点，综上所述，△CPQ的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是5或17．故答案为5或17．。

第1页（共27页）2025年广东省中考数学一轮复习：反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点
在反比例函数=的图象上，则k 的值为（
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．82．当x ＜0时，函数=4的图象在（
）A ．第二、四象限
B ．第二象限
C ．第一、三象限
D ．第三象限
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣6，0）、B （0，﹣8），将线段AB 绕点A 逆时
针旋转90°得到线段AC ．若反比例函数=（k 为常数）的图象经过点C ，则k 的值为（
）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
4．导体中的电流I （A ）、导体的电阻R （Ω）与导体两端的电压U （V ）之间满足关系式U ＝IR ．当U ＝220V 时，下列说法错误的是（
）A ．I 是R 的反比例函数
B ．I 与R 的函数图象是双曲线的一支
C ．当R 越来越大时，I 也越来越大
D ．当R 为40Ω时，I 为5.5A。

专题08 反比例函数一．选择题1．（2022·山东潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）A ．海拔越高，大气压越大B ．图中曲线是反比例函数的图象C ．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D ．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 2．（2022·湖南郴州）如图，在函数()20=>y x x 的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数()80y x x=-<的图像于点B ，连接OA ，OB ，则AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．103．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．（2022·江苏常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．50y x =+B ．50y x =C ．50y x=D ．50=x y 5．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣226．（2022·内蒙古通辽）如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =120BDC ∠=︒，BCD S =△()0ky x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．-B ．6-C ．-D ．12-7．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·海南）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（ ）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)9．（2022·广西贺州）己知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与by x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10.（2022·广东）点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ） A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y11．（2022·江苏无锡）一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =mx的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（ ） A ．3B ．134 C ．72D ．15412．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（ ）A ．呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B ．当K ＝0时，1R 的阻值为100C ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当120=R 时，该驾驶员为醉驾状态13．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x =的图象．观察图象可得不等式22x x>的解集为（ ）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >14．（2022·河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m 个人共同完成需n 天，选取6组数对(),m n ，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2022·湖北十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x =>和()220ky k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9二．填空题16．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =kx(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．17．（2022·内蒙古呼和浩特）点()121,-a y 、()2,a y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，若120y y <<，则a 的取值范围是______．18．（2022·山东烟台）如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ∥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，∥AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．19．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）20．（2022·贵州铜仁）如图，点A 、B 在反比例函数ky x=的图象上，AC y ⊥轴，垂足为D ，BC AC ⊥．若四边形AOBC 间面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．21．（2022·广西桂林）如图，点A 在反比例函数y ＝kx的图像上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ∥y 轴于点B ，若AOB 的面积是3，则k 的值是 _____．22．（2022·贵州遵义）反比例函数()0ky k x=≠与一次函数1y x =-交于点()3,A n ，则k 的值为__________．23．（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数6y x=-的图象经过点()4,a ，则a 的值为___________．24．（2022·湖北武汉）在反比例1k y x-=的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式24x kx -+是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．25．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数(0)ky x x=<图象上一点，过点A 作AB ∥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且∥ABC 的面积为4，则k =______________．26．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)ky x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．27．（2022·湖北鄂州）如图，已知直线y ＝2x 与双曲线ky x=（k 为大于零的常数，且x ＞0）交于点A ，若OA k 的值为 _____．28．（2022·福建）已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）29．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0ky k x=≠经过AC 边的中点D ，若BC =k =______．30．（2022·内蒙古包头）如图，反比例函数(0)ky k x=>在第一象限的图象上有(1,6)A ，(3,)B b 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，D 是线段OA 上一点．若AD BC AB DO ⋅=⋅，连接CD ，记,ADC DOC 的面积分别为12,S S ，则12S S -的值为___________．31．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于点()()2,2,,1A B n --．当12y y <时，x 的取值范围是_________．32．（2022·山东威海）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．33．（2022·广西玉林）如图，点A 在双曲线(0,0)k y k x x=>>上，点B 在直线2(0,0)y mx b m b =->>上，A 与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点C ，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论：①()A b ②当2b =时，k =③m =④22AOCB S b =四边形 则所有正确结论的序号是_____________．34．（2022·四川宜宾）如图，△OMN 是边长为10的等边三角形，反比例函数y =kx(x >0)的图象与边MN 、OM分别交于点A 、B （点B 不与点M 重合）．若AB ∥OM 于点B ，则k 的值为______．35．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa p 是它的受力面积2()m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为_________ Pa ．三．解答题36．（2022·湖南湘潭）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．(1)如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；(2)如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．37．（2022·山东临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧2cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg 的金属物体作为秤砣．(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为kg x ，OB 的长为cm y ．写出y 关于x 的函数解析式；若048y <<，求x 的取值范围．(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B 处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为kg x ，OB 的长为cm y ，写出y 关于x 的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．38．（2022·山东聊城）如图，直线()30y px p =+≠与反比例函数()0ky k x=>在第一象限内的图象交于点()2,A q ，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线3y px =+于点E ，且:3:4AOB COD S S =△△．(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．39．（2022·湖北武汉）如图，OA OB =，90AOB ∠=︒，点A ，B 分别在函数1k y x =（0x >）和2ky x =（0x >）的图象上，且点A 的坐标为(1,4)．(1)求1k ，2k 的值：(2)若点C ，D 分在函数1k y x =（0x >）和2k y x=（0x >）的图象上，且不与点A ，B 重合，是否存在点C ，D ，使得COD AOB △△≌，若存在，请直接出点C ，D 的坐标：若不存在，请说明理由．40．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数ky x=和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)ky x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．41．（2022·内蒙古赤峰）阅读下列材料定义运算：min ,a b ，当a b ≥时，min ,a b b =；当a b <时，min ,a b a =．例如：min 1,31-=-；min 1,22--=-．完成下列任务(1)①()0min 3,2-= _________；②min 4-=_________ (2)如图，已知反比例函数1ky x=和一次函数22y x b =-+的图像交于A 、B 两点．当20x -<<时，()()2min,213kx b x x x x-+=+--．求这两个函数的解析式．42．（2022·四川雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO 的直角顶点A 的坐标为（m ，2），点B 在x 轴上，将∥ABO 向右平移得到∥DEF ，使点D 恰好在反比例函数y ＝8x（x ＞0）的图象上．(1)求m 的值和点D 的坐标；(2)求DF 所在直线的表达式； (3)若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ．43．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22ky x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当21y y >时，求x 的取值范围； (3)若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．44．（2022·湖南永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的形响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A 端以平均()2x +米/秒的速度滑到B 端，用了24秒；第二次从滑雪道A 端以平均()3x +米/秒的速度滑到B 端，用了20秒．(1)求x 的值；(2)设小勇从滑雪道A 端滑到B 瑞的平均速度为v 米/秒，所用时间为t 秒，请用含t 的代数式表示v （不要求写出t 的取值范围）．45．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式；(2)求ABC 的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式kmx x<的解集．45．（2022·湖北荆州）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x ⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．请根据图象解答：(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）(2)【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接P A ，PB ． ①求当n ＝3时，直线l 的解析式和∥P AB 的面积；②直接用含．．．．n 的代数式表示．．．．．．∥P AB 的面积．46．（2022·四川宜宾）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求OCD 的面积．47．（2022·湖北恩施）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∥ACB =90°，A (0，2)，C (6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k ≠0)的图象经过点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．48．（2022·贵州贵阳）一次函数3y x =--的图象与反比例函数ky x=的图象相交于()4,A m -，(),4B n -两点． (1)求这个反比例函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x 的取值范围．49．（2022·山东青岛）如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ，与反比例函数2y x=-的图象在第二象限相交于点(1,)A m -，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =． (1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．50．（2022·辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，OAC 的边OC 在y 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A 和点()2,6B ，且点B 为AC 的中点．(1)求k 的值和点C 的坐标；(2)求OAC 的周长．51．（2022·江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点C ，连接OC ．已知点(0,4)B ，BOC 的面积是2．(1)求b 、k 的值；(2)求AOC △的面积．52．（2022·四川广安）如图，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数y =mx（m 为常数，m ≠0）的图象在第二象限交于点A （﹣4，3），与y 轴负半轴交于点B ，且OA =OB (1)求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象直接写出当x <0时，不等式kx +b ≤mx的解集．53．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标为1，过点B 作BE x ∥轴，AD BE ⊥于点D ，点71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C 是直线BE上一点，且AC =．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，请直接写出不等式0mkx b x+-<的解集．54．（2022·广西）已知：点 A （1，3）是反比例函数1ky x=（k ≠0）的图象与直线2y mx =（ m ≠0）的一个交点．(1)求k 、m 的值：(2)在第一象限内，当21>y y 时，请直接写出x 的取值范围55．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V （单位：3m ）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m ）随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式；(2)当3m 10V =时，求该气体的密度ρ．56．（2022·四川达州）如图，一次函数1y x =+与反比例函数ky x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．57．（2022·浙江金华）如图，点A 在第一象限内，AB x ⊥轴于点B ，反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象分别交,AO AB 于点C ，D ．已知点C 的坐标为(2,2),1BD =．(1)求k 的值及点D 的坐标．(2)已知点P 在该反比例函数图象上，且在ABO 的内部（包括边界），直接写出点P 的横坐标x 的取值范围．58．（2022·四川南充）如图，直线AB 与双曲线交于(1,6),(,2)A B m -两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C ，连接AC ．(1)求直线AB 与双曲线的解析式．(2)求ABC 的面积．59．（2022·重庆）反比例函数4y x =的图象如图所示，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与4y x=的图象交于(,4)A m ，(2,)B n -两点，(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式4kx b x+<的解集；(3)一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求OAC 的面积．60．（2022·四川德阳）如图，一次函数312y x =-+与反比例函数k y x =的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为－2．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B 的坐标是()3,0-，若点P 在y 轴上，且AOP 的面积与AOB 的面积相等，求点P 的坐标．61．（2022·山东泰安）如图，反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．。

2023年中考数学一轮专题练习 ——反比例函数2一、单选题（本大题共10小题）1. （湖北省武汉市2022年）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．120y y +<B ．120y y +>C ．12y y <D ．12y y >2. （湖北省宜昌市2022年）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b <D ．a b ≤3. （湖北省十堰市2022年）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．94. （江苏省泰州市2022年）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( )A ．B ．C ．D ．5. （湖北省荆州市2022年）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） ()()()1233,,1,,1,y y y --312y y y <<3y x =23y x =3y x=3y x=-12y x =22y x=22x x>A ．B ．或C ．或D ．或6. （四川省内江市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣227. （黑龙江省绥化市2022年）已知二次函数2y ax bx c =++的部分函数图象如图所示，则一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b cy x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）11x -<<1x <-1x >1x <-01x <<10x -<<1x>A ．B ．C ．D ．8. （湖北省省直辖县级行政单位潜江市2022年）如图，点A 在双曲线4y x=上，点B 在双曲线12y x=上，且AB//x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．129. （江苏省宿迁市2022年）如图，点A 在反比例函数()20=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中∠OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．410. （山东省滨州市2022年）在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与ky x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题）11. （四川省成都市2022年）关于x 的反比例函数2m y x-=的图像位于第二、四象限，则m 的取值范围是 ．12. （四川省广元市2022年）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在第二象限内，反比例函数ky x=的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是 ．13. （湖北省鄂州市2022年）如图，已知直线y ＝2x 与双曲线ky x=（k 为大于零的常数，且x ＞0）交于点A ，若OA k 的值为 ．14. （四川省凉山州2022年）如图，点A 在反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB 的面积为3，则k ＝ ．15. （四川省内江市2022年）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．16. （2022年四川省乐山市）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=k x(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k= ．三、解答题（本大题共10小题）17. （吉林省2022年）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：3m）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；(2)当3m10V=时，求该气体的密度ρ．18. （湖南省岳阳市2022年）如图，反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式； (2)求ABC 的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式kmx x<的解集． 19. （湖北省恩施州2022年）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB =90°，A (0，2)，C (6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k ≠0)的图象经过点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围． 20. （湖南省衡阳市2022年）如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()3,1A ，()1,B n -两点．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．21. （四川省遂宁市2022年）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如()1,1-，()2022,2022-都是“黎点”． (1)求双曲线9y x-=上的“黎点”； (2)若抛物线27y ax x c =-+（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当1a >时，求c 的取值范围．22. （四川省遂宁市2022年）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围； (3)若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．23. （四川省自贡市2022年）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数ny x=的图象交于()()1,2,,1A B m -- 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)过点B作直线l∥y轴，过点A作直线AD l⊥于D，点C是直线l上一动点，若2DC DA=，求点C的坐标．24. （湖北省咸宁市2022年）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝mx（x＞0）的图像交于A（6，－12），B（12，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．(1)求y1与y2的解析式；(2)观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为．25. （四川省南充市2022年）如图，直线AB与双曲线交于(1,6),(,2)A B m-两点，直线BO 与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．(1)求直线AB与双曲线的解析式．(2)求ABC的面积．26. （四川省眉山市2022年）已知直线y x =与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与ky x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；(3)在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．参考答案1. 【答案】C 【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系． 【详解】解：∵点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数6y x=的图象时的两点， ∴11226x y x y ==． ∵120x x <<， ∴120y y <<． 故选：C ． 2. 【答案】A 【分析】根据电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x 和y 的变化规律是单调的，即可判断 【详解】∵电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系 由表格：5,20I R ==；1,100I R == ∴在第一象限内，I 随R 的增大而减小 ∵204080100<<< ∴51a b >>> 故选：A 3. 【答案】B 【分析】设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0），先确定出D （3，23k ），C （3-t ，23k+t ），由点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，推出t =3-23k ，进而求出点B 的坐标（3，6-23k），再点C 在反比例函数y =1k x的图象上，整理后，即可得出结论． 【详解】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）． ∴点D 的坐标为（3，23k ）， ∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）． ∵点C 在反比例函数y =2k x的图象上， ∴（3-t ）（23k +t ）=k2，化简得：t =3-23k ， ∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k， ∴点B 的坐标为（3，6-23k ）， ∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18． 故选：B ． 4. 【答案】D 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y 1、y 2、y 3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A ．把点代入y =3x ，解得y 1=-9，y 2=-3，y 3=3，所以y 1<y 2<y 3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；B ．把点代入y =3x 2，解得y 1=27，y 2=3，y 3=3，所以y 1>y 2=y 3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；C ． 把点代入y =，解得y 1=-1，y 2=-3，y 3=3，所以y 2<y 1<y 3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D ． 把点代入y =-，解得y 1=1，y 2=3，y 3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意；()()()1233,,1,,1,y y y --312y y y <<()()()1233,,1,,1,y y y --312y y y <<()()()1233,,1,,1,y y y --3x312y y y <<()()()1233,,1,,1,y y y --3x312y y y <<312y y y <<5. 【答案】D 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】 解：∵ ∴由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为， 由图象可以看出当或时，函数在22y x=上方，即12y y >， 故选：D ． 6. 【答案】D 【分析】设点P （a ，b ），Q （a ，），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝，则PQ ＝PM +MQ ＝，再根据ab ＝8，S △POQ ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P （a ，b ），Q （a ，），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝， ∴PQ ＝PM +MQ ＝． ∵点P 在反比例函数y ＝的图象上， ∴ab ＝8． ∵S △POQ ＝15， ∴PQ •OM ＝15， ∴a （b ﹣）＝15． ∴ab ﹣k ＝30． ∴8﹣k ＝30， 解得：k ＝﹣22． 故选：D ． 7. 【答案】B 【分析】根据2y ax bx c =++的函数图象可知，0a >，240b ac ->，即可确定一次函数图象，根据2x =时，420y a b c =++>，即可判断反比例函数图象，即可求解．22x x>12y y >12y x =22y x=11x x ==-，10x -<<1x >12y x =k a ka-kb a-k a k a-kb a-8x1212ka解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则240b ac ->，∴一次函数24y ax b ac =+-图象经过一、二、三象限，二次函数2y ax bx c =++的图象，当2x =时，420y a b c =++>，∴反比例函数42a b cy x++=图象经过一、三象限 结合选项，一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b cy x++=在同一平面直角坐标系中的图象大致是B 选项 故选B 8. 【答案】C 【分析】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，利用反比例函数系数k 的几何意义，分别得到四边形AEOD 的面积为4，四边形BEOC 的面积为12，即可得到矩形ABCD 的面积． 【详解】过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， ∵点A 在双曲线4y x=上， ∴四边形AEOD 的面积为4， ∵点B 在双曲线12y x=上，且AB//x 轴， ∴四边形BEOC 的面积为12， ∴矩形ABCD 的面积为12-4=8， 故选：C ．9. 【答案】C 【分析】如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMA AHB 证明,AOM BAH ≌ 可得,,OM AH AM BH 设2,,A mm则0a >x222,,,,AM m OMMH mBD m mm m可得 22,,B mm m m 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMAAHB 90,MOA MAO,,AO AB AO AB 90,MAO BAH设2,,A m m则222,,,,AM m OMMH mBD m mmm∴ 22,,B mm m m22222282,OBmm m mmm 0,m > 而当0,0a b >>时，则a b +≥ 2222882228,m m m m∴2282m m 的最小值是8， ∴OB故选：C ．10. 【答案】A 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y 轴的交点在x 轴上方，排除B 、D 选项，,MOA BAH ,AOM BAH ≌,,OMAH AMBH =1y kx =+当k ＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A 正确， 故选：A ． 11. 【答案】2m < 【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解． 【详解】根据题意得：m-2＜0， 解得：m ＜2． 故答案为：m ＜2． 12. 【答案】4 【分析】过B 作BD OA ⊥于D ，设B m n （，），根据三角形的面积公式求得12OA n=，进而得到点A 的坐标，再求得点C 的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解． 【详解】解：过B 作BD OA ⊥于D ，如下图．∵点B 在反比例函数ky x=的图象上， ∴设． ∵的面积为6， ∴， ∴．∵点C 是AB 的中点， ∴． ∵点C 在反比例函数的图象上， 1y kx =+ky x =-B m n （，）OAB 12OA n=12,0A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,22mn n C n+⎛⎫⎪⎝⎭ky x=∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13. 【答案】2 【分析】设点A 的坐标为（m ，2m ），根据OA 的长度，利用勾股定理求出m 的值即可得到点A 的坐标，由此即可求出k ． 【详解】解：设点A 的坐标为（m ，2m ）， ∴， ∴或（舍去）， ∴点A 的坐标为（1，2）， ∴， 故答案为：2． 14. 【答案】6 【分析】设点A 的坐标为(,)(0,0)A a b a b >>，则,OB a AB b ==，先利用三角形的面积公式可得6ab =，再将点(,)A a b 代入反比例函数的解析式即可得．【详解】解：由题意，设点A 的坐标为(,)(0,0)A a b a b >>，AB x ⊥轴于点B ，,OB a AB b ∴==，OAB 的面积为3，， 解得， 将点(,)A a b 代入ky x=得：， 故答案为：6． 15. 【答案】 【分析】分别求出过点P ，且平行于x 轴和y 轴时对应的m 值，即可得到m 的取值范围． 【详解】当PQ 平行于x 轴时，点Q 的坐标为，代入中，可得； 当PQ 平行于y 轴时，点Q 的坐标为，可得；1222mn nmn n +⋅=4mn =4k=OA =1m =1m =-122k =⨯=11322OB AB ab ∴⋅==6ab =6k ab ==223m <<(),3m 2y x =23m =()2,n 2m =∵一次函数随的增大而增大， ∴的取值范围是， 故答案为：． 16. 【答案】3 【分析】连接OD 、DE ，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S △ADE = S △ABE =32，以及S △ADE =S △ADO =32，再利用反比例函数的比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：连接OD 、DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点B 、点D 到对角线AC 的距离相等， ∴S △ADE = S △ABE =32，∵AD ⊥x 轴， ∴AD ∥OE ，∴S △ADE =S △ADO =32，设点D (x ，y ) ，∴S △ADO =12OA ×AD =12xy =32，∴k =xy =3． 故答案为：3． 17. 【答案】(1)()100V Vρ=> (2)13kg/m 【分析】（1）用待定系数法即可完成；（2）把V =10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．y x m 223m <<223m <<(1)设密度ρ关于体积V 的函数解析式为()0,0kV k Vρ=>≠， 把点A 的坐标代入上式中得： 2.54k=， 解得：k =10， ∴． (2)当时，（）． 即此时该气体的密度为1． 18. 【答案】(1)2y x=-(2)4(3)1x <-或01x << 【分析】（1）把点()1,2A -代入()0ky k x=≠可得k 的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B 、C 的坐标然后利用三角形面积公式可求解． （3）根据图象得出不等式kmx x<的解集即可． (1)解：把点()1,2A -代入()0k y k x =≠得：21k =-， ∴2k =-，∴反比例函数的解析式为2y x=-；(2)∵反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ， ∴()1,2B -，∵点C 是点A 关于y 轴的对称点， ∴()1,2C ， ∴2CD =，∴()122242ABC S =⨯⨯+=△．(3)根据图象得：不等式kmx x<的解集为1x <-或01x <<． ()100V Vρ=>3m 10V =10110ρ==3kg/m 3kg/m19. 【答案】(1)反比例函数的解析式为y 1=24x； (2)当12y y >时，0<x <4或x <-6． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及S △ABC =3S △ADC ，求得DC =2，得到D (6，4)，利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线AB 的解析式，解方程x +2=24x，求得直线y 2= x +2与反比例函数y 1=24x的图象的两个交点，再利用数形结合思想即可求解． (1)解：∵A (0，2)，C (6，2)， ∴AC =6，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC =BC =6， ∵S △ABC =3S △ADC ， ∴BC =3DC ， ∴DC =2， ∴D (6，4)，∵反比例函数y 1=kx(k ≠0)的图象经过点D ，∴k =6×4=24，∴反比例函数的解析式为y 1=24x； (2)∵C (6，2)，BC =6， ∴B (6，8)，把点B 、A 的坐标分别代入2y ax b =+中，得682a b b +=⎧⎨=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为22y x =+， 解方程x +2=24x， 整理得：x 2+2x -24=0， 解得：x =4或x =-6，∴直线y 2= x +2与反比例函数y 1=24x的图象的交点为(4，6)和(-6，-4)， ∴当12y y >时，0<x <4或x <-6．20. 【答案】(1)反比例函数解析式为3y x =，一次函数解析式为2y x =-(2)M或( 【分析】（1）分别将(3,1)A ，(1,)B n -代入反比例函数解析式，即可求得m ，n 的值，再将A ，B 两点坐标代入一次函数解析式，求得k ，b 的值；（2）若四边形OCNM 是平行四边形，则//MN OC ，且MN OC =，即M N y y OC -=，由此进行求解．(1)解：将点(3,1)A ，代入， 得，解得， 点，反比例函数的解析式为；将点，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为．(2)解：将代入，得，，．若四边形是平行四边形，则，且，设，， 则， 解得或．21. 【答案】(1)9y x-=上的“黎点”为()3,3-，()3,3- (2)09c <<【分析】（1）设双曲线9y x -=上的“黎点”为(),m m -，构建方程求解即可； (1,)B n -m y x=131m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩33m n =⎧⎨=-⎩∴(1,3)B --3y x=(3,1)A (1,3)B --y kx b =+133k b k b =+⎧⎨-=-+⎩12k b =⎧⎨=-⎩∴2y x =-0x =2y x =-2y =-∴(0,2)C -∴2OC =OCNM //MN OC 2MN OC ==3(,)M t t(,2)N t t -3(2)2M N MN y y t t=-=--=t =∴M (（2）抛物线27y ax x c =-+（a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程()270ax x c x a -+=-≠有且只有一个解，3640ac ∆=-=，可得结论．(1) 设双曲线9y x -=上的“黎点”为(),m m -， 则有9m m --=，解得3m =±， ∴9y x-=上的“黎点”为()3,3-，()3,3-． (2)∵抛物线27y ax x c =-+上有且只有一个“黎点”，∴方程()270ax x c x a -+=-≠有且只有一个解， 即260ax x c +=-，3640ac ∆=-=，9ac =， ∴9a c=． ∵1a >，∴．22. 【答案】(1)11y x =-，画图象见解析(2)点C 的坐标为（3，2）；当12y y <时，2x <-或03x <<(3)2ACD S =△【分析】（1）根据B 点的横坐标为-2且在反比例函数y 2=6x的图象上，可以求得点B 的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可； （2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C 的坐标，然后再观察图象，即可写出当y 1＜y 2时对应自变量x 的取值范围；（3）根据点B 与点D 关于原点成中心对称，可以写出点D 的坐标，然后点A 、D 、C 的坐标，即可计算出△ACD 的面积．(1)解：∵B 点的横坐标为-2且在反比例函数y 2=6x的图象上， ∴y 2=62-=-3， ∴点B 的坐标为（-2，-3），∵点B （-2，-3）在一次函数y 1=ax -1的图象上，∴-3=a ×（-2）-1，解得a =1，∴一次函数的解析式为y =x -1，∵y =x -1，09c <<∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；∴图象过点（0，-1），（1，0），函数图象如图所示；；(2)解：解方程组16y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得32xy=⎧⎨=⎩或23xy=-⎧⎨=-⎩，∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=6x交于B、C两点，B点的横坐标为-2，∴点C的坐标为（3，2），由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；(3)解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，∴点D（2，3），作DE⊥x轴交AC于点E，将x=2代入y=x-1，得y=1，∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= (31)(21)(31)(32)22-⨯--⨯-+=2，即△ACD的面积是2．23. 【答案】(1)y＝2x-，y＝﹣x＋1；(2)（2，8）或（2，﹣4）【分析】（1）把点A （﹣1，2）代入n y x=求出n 的值，即可得到反比例函数的解析式，把B （m ，﹣1）代入求得的反比例函数的解析式得到m 的值，把A 、B 两点的坐标代入一次函数y kx b =+，求出k ，b 的值，即可得出一次函数的解析式；（2）根据已知条件确定AD 的长及点D 的坐标，由DC ＝2AD 得到DC ＝6，从而求得点C 的坐标．(1)解：把点A （﹣1，2）代入ny x =得，2＝1n-，解得n ＝﹣2，∴反比例函数的解析式是y ＝2x -，把B （m ，﹣1）代入y ＝2x -得，﹣1＝2m ，解得m ＝2，∴ 点B 的坐标是（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y kx b =+得，221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ＋1；(2)解：∵直线l y 轴，AD ⊥l ，点A 的坐标是（﹣1，2），点B 的坐标是（2，﹣1），∴ 点D 的坐标是（2，2），∴ AD ＝2－（﹣1）＝3，∵ DC ＝2DA ，∴ DC ＝6，设点C 的坐标为（2，m ），则｜m －2｜＝6，∴ m －2＝6或m －2＝﹣6，解得m ＝8或﹣4，∴ 点C 的坐标是（2，8）或（2，﹣4）24. 【答案】(1)1132y x -＝，23(0)y x x =->；(2)162x <<； (3)2．【分析】（1）将两函数A 、B 的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可； （2）由图像可知当x 在A 、B 两点之间时y 1<y 2，，所以x 取值在A 、B 两点横坐标之间；（3）根据平移性质可知DE AB ∥，CF =t ，求出两直线之间的距离即为△ACD 的高CG ，通过A 、C 坐标求出线段AC 长，列出△ACD 面积=1·2AC CG 的代数式求解即可．(1)∵一次函数y 1＝kx ＋b 的图像与函数y 2＝m x（x ＞0）的图像交于A （6，－12），B （12，n ）两点， ∴16212k b k b n ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 1262m n m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 解得：1132k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 36m n =-⎧⎨=-⎩， ∴y 1、y 2的解析式为：1132y x -＝，23(0)y x x=->； (2) 从图像上可以看出，当x 在AB 两点之间时，y 1<y 2，∴x 的取值范围为：162x <<； (3)作CG ⊥DE 于G ，如图，∵直线DE 是直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到，∴DE AB ∥，CF =t ，∵直线AB 的解析式为1132y x -＝， ∴直线AB 与y 轴的交点为C 130,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴的交点为13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即直线AB 与x 、y 坐标轴的交点到原点O 的距离相等，∴∠FCA =45°，∵CG ⊥DE ， DE AB ∥，∴CG ⊥AC ，CG 等于平行线AB 、DE 之间的距离，∴∠GCF =∠GFC =45°，∴CG==， ∵A 、C 两点坐标为：A （6，－12），C 130,2⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴线段AC∴11322ACD S AC CG t =⋅=⨯=， ∵△ACD 的面积为6，∴3t =6，解得：t =2．25. 【答案】(1)直线AB 的解析式为y =2x +4；双曲线解析式为6y x=；(2)16【分析】（1）根据点A 的坐标求出双曲线的解析式，求出点B 的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）求出直线OB 的解析式为y =x ，得到点C 的坐标，过点B 作BE ∥x 轴，交AC 的延长线于E ，求出直线AC 的解析式，进而得到点E 的坐标，根据的面积=S △ABE -S △BCE 求出答案．(1)解：设双曲线的解析式为，将点A （1，6）代入， 得，∴双曲线解析式为， ∵双曲线过点B （m ，-2），∴-2m =6，解得m =-3，∴B （-3，-2），设直线AB 的解析式为y =nx +b ，23ABC k y x=166k =⨯=6y x =得，解得， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4；(2)设直线OB 的解析式为y =ax ，得-3a =-2，解得a =， ∴直线OB 的解析式为y =x ， 当时，解得x =3或x =-3（舍去）， ∴y =2，∴C （3，2），过点B 作BE ∥x 轴，交AC 的延长线于E ，∵直线AC 的解析式为y =-2x +8，∴当y =-2时，得-2x +8=-2，解得x =5，∴E （5，-2），BE =8，∴的面积=S △ABE -S △BCE==16．26. 【答案】(1)4y x=(2)3b =(3)见解析【分析】 （1）先根据一次函数求出M 点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）先求出A 的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可； （3）过点A 作AE y ⊥轴于点E ，过B 点作BF x ⊥轴于点F ，即可根据A 、B 坐标证明()AOE BOF SAS △≌△，得到AOE BOF ∠=∠，OA OB =，再求出C 、D 坐标即可得到OC =OD ，即可证明AOD BOC ≌△△．632n b n b +=⎧⎨-+=-⎩24n b =⎧⎨=⎩2323263x x=ABC 11888422⨯⨯-⨯⨯(1)∵直线y x =过点(2,)M a ，∴2a =∴将(2,2)M 代入k y x=中，得4k =， ∴反比例函数的表达式为4y x =(2)∵点(1,)A m 在4y x=的图象上， ∴4m =，∴(1,4)A 设平移后直线AB 的解析式为y x b =+，将(1,4)A 代入y x b =+中，得4=1+b ，解得3b =．(3)如图，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，过B 点作BF x ⊥轴于点F ．∵(,1)B n -在反比例函数4y x=的图象上， ∴n =-4，∴B （-4，-1）又∵(1,4)A ，∴AE BF =，OE OF =，∴AEO BFO ∠=∠∴()AOE BOF SAS △≌△， ∴AOE BOF ∠=∠，OA OB =又∵直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ， ∴(3,0)C -，(0,3)D ，∴OC OD =在AOD △和BOC 中，OA OB AOE BOF OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()AOD BOC SAS △≌△．。

2021中考数学 一轮复习：反比例函数一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，3)，(3，0)，△ACB=90°，AC=2BC ，函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B ，则k 的值为( )A .B .9C .D .2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是( )A. v ＝320tB. v ＝320tC. v ＝20tD. v ＝20t3. (2019·江苏扬州)若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y 轴对称点都在一次函数y =–x +m 的图象上，则m 的取值范围是A．m >B．m <-C．m m ><-D．m -<<4. 若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A. mn ≥－9B. －9≤mn ＜0C. mn ≥－4D. －4≤mn ≤05. （2020·黔东南州）如图，点A 是反比例函数y （x ＞0）上的一点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，AC 交反比例函数y 的图象于点B ，点P 是x 轴上的动点，则△P AB 的面积为（ ）xy 2-=A ．2B ．4C ．6D ．86. 如图，一次函数y 1＝ax ＋b与反比例函数y 2＝kx 的图象如图所示，当y 1＜y 2时，则x 的取值范围是( )A. x ＜2B. x ＞5C. 2＜x ＜5D. 0＜x ＜2或x ＞57. （2020·营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，其中∠OAB =90°，AO =AB ，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数y =kx（k ＞0，x＞0）的图象过点C ，且交线段AB 于点D ，连结CD ，OD ，若S △OCD =32，则k的值为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1 8. （2019•河北）如图，函数y =1(0)1(0)x xx x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二、填空题9. 若一个反比例函数的图象经过点A (m ，m )和B (2m ，-1)，则这个反比例函数的表达式为 .10. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3x 的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．11. （2020·安顺）如图，点A 是反比例函数3y x=图象上任意一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为 .12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C在反比例函数y ＝kx 的图象上，则k 的值为________．13. 已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝mx (m <0)图象上的两点，则y 1________y 2(填“>”或“＝”或“<”)．14. (2019·浙江绍兴)如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y kx=(常数k >0，x >0)上，若顶点D 的坐标为(5，3)，则直线BD 的函数表达式是__________．三、解答题15. 如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6，n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x，y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围.16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2= (m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标;(3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围.17. （2019•广东）如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．18. 如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx 的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3. (1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．2021中考数学 一轮复习：反比例函数-答案一、选择题1. 【答案】D [解析]过B 作BD ⊥x 轴，垂足为D. ∵A ，C 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC ，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴点B 的坐标为.∵函数y=(k>0，x>0)的图象经过点B ， ∴k==，故选D .2. 【答案】B【解析】△由题意可得路程s ＝80×4＝320，∴v ＝320t .3. 【答案】C【解析】∵反比例函数2y x =-上两个不同的点关于y 轴对称的点，在一次函数y =–x +m 图象上，∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点，联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m ⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m 2–8>0，∴m或m <–，故选C ．4. 【答案】A【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程nx ＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所以mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显然当一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意．022=+-mx x5. 【答案】A【解析】利用反比例函数中比例系数k 的几何意义求解.如图，连接OA 、OB 、PC ．∵AC ⊥y 轴，∴S △APC ＝S △AOC |6|＝3，S △BPC ＝S △BOC|2|＝1，∴S △PAB ＝S △APC ﹣S △BPC ＝2．6. 【答案】D【解析】根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的取值范围是0＜x ＜2或x＞5.7. 【答案】C【解析】如图，作CE ⊥x 轴于点E ，∵点C ，D 均在反比例函数y =kx的图象上，∴S △COE= S △AOD=2k，∵S 四边形OADC=S △COE +S 梯形ADCE=S △AOD+S △OCD ，∴S 梯形ADCE= S △OCD=32，不妨设OA=AB=a ，∵∠OAB=90°，∴点A （a ，0），B （a ，a ），∵点C 为斜边OB 的中点，∴C （12a ，12a ）∴k =12a ×12a =14a 2，∵点D 的横坐标是a ，∴点D 的纵坐标是14a ，即D （a ，14a ）．∵S 梯形ADCE=12（AD+CE ）·AE=32，∴12×（14a +12a ）×（a －12a ）=32，得：a 2=8，∴k =14a 2=14×8=2．8. 【答案】A【解析】由已知可知函数y =1(0)1(0)x xx x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y 轴对称，所以点M 是原点；故选A ．二、填空题9. 【答案】y=10. 【答案】(1，－3)(答案不唯一，合理即可) 【解析】对于y ＝－3x，依题意，说明只要x 是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．11. 【答案】3【解析】在反比例函数3y x= 中，3k =.由k 的几何意义，可得四边形OBAC 的面积为3.12. 【答案】－6 【解析】如解图，连接AC 交y 轴于点D ，因为四边形ABCO 是菱形，且面积为12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6.13. 【答案】＞【解析】△m ＜0，∴反比例函数y ＝mx 的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，又△m －1＞m －3，∴y 1＞y 2.14. 【答案】y 35=x【解析】∵D (5，3)， ∴A (3k ，3)，C (5，5k )， ∴B (3k ，5k )，设直线BD 的解析式为y =mx +n ，把D (5，3)，B (3k ，5k)代入， 得5335m n k k m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为y 35=x ． 故答案为y 35=x ．三、解答题15. 【答案】解:(1)把B (6，n )代入一次函数y=-x +4中，可得n=-×6+4=1， 所以B 点的坐标为(6，1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上， 所以k=xy=1×6=6， 所以k 的值为6，n 的值为1. (2)由(1)知反比例函数的解析式为y=. 当x=2时，y==3;当x=6时，y==1，由函数图象可知，当2≤x ≤6时函数值y 的取值范围是1≤y ≤3.16. 【答案】解:(1)将A (3，5)的坐标代入y 2=得，5=， ∴m=15.∴反比例函数的解析式为y 2=. 当y 2=-3时，-3=，∴x=-5， ∴点B 的坐标为(-5，-3).将A (3，5)，B (-5，-3)的坐标代入y 1=kx +b 得，解得∴一次函数的解析式为y 1=x +2.(2)令y 1=0，则x +2=0，解得x=-2. ∴点C 的坐标为(-2，0). 设一次函数图象与y 轴交于点D. 令x=0，则y 1=2. ∴点D 的坐标为(0，2).连接PB ，PC ，当B ，C 和P 不共线时，由三角形三边关系知，PB -PC<BC ; 当B ，C 和P 共线时，PB -PC=BC ， ∴PB -PC ≤BC. 由勾股定理可知， BC==3.∴当P 与D 重合，即P 点坐标为(0，2)时，PB -PC 取最大值，最大值为3.(3)当y 1>y 2时，x 的取值范围为x>3或-5<x<0.17. 【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）P （23，73）． 【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4；（2）∵反比例函数y =2k x的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1）， ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩， 解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．18. 【答案】解：(1)△点A 的纵坐标是3，当y ＝3时，3＝－12x, 解得x ＝－6，∴点A 的坐标为(－6，3)，(1分)把A(－6，3)代入y ＝k x ，得3＝k －6， 解得k ＝－18，∴反比例函数的解析式为y ＝－18x.(3分) 解图(2)如解图，连接CO ，∵A ，B 关于原点对称，∴AO ＝BO ，∴S △AOC ＝12S △ABC ＝24.(4分)作CF△x 轴于点F ，AE ⊥x 轴于点E ，则S △CFO ＝S △AEO ＝12AE·EO ＝12×3×6＝9，S△AOC ＝S 梯形AEFC ＝24.设C(x ，－18x )，则有（3－18x ）（x ＋6）2＝24，(5分) 整理得x 2－16x －36＝0，∴x 1＝－2，x 2＝18(舍去)，∴C(－2，9)，(7分)设y ＝－12x 平移后的解析式为y ＝－12x ＋b ， 把C(－2，9)代入上式得，9＝1＋b ，解得b ＝8，∴平移后的直线的函数表达式为y ＝－12x ＋8.(8分)。

第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.已知点A(-1,1)是反比例函数y=m+1x的图象上一点,则m的值为()A.-1B.-2C.0D.12.(2022最新四川自贡)一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x(k1·k2≠0)的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是()A.-2<x<0或x>1B.-2<x<1C.x<-2或x>1D.x<-2或0<x<13.(2022最新日照)反比例函数y=kbx的图象如图所示,则一次函数y=kx+b的大致图象是()4.一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x 的图象如图所示,则方程kx+b=2x的解为()A.x1=1,x2=2B.x1=-2,x2=-1C.x1=1,x2=-2D.x1=2,x2=-15.若反比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点P1(2,y1)和P2(3,y2),那么()A.y1<y2<0B.y1>y2>0C.y2<y1<0D.y2>y1>06.若式子√-k 有意义,则函数y=kx+1和y=k2-1x的图象可能是()7.(2022最新云南)如图,A,B两点在反比例函数y=k1x的图象上,C,D两点在反比例函数y=k2x的图象上,AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是()A.6B.4C.3D.28.(2022最新广东)如图所示,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k1≠0)与双曲线y=k2x(k2≠0)相交于点A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标是()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2)二、填空题9.(2022最新东营)如图,B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为.(k是常数,k≠0)的图象经过10.(2022最新上海)如果反比例函数y=kx点(2,3),那么这个函数图象在的每个象限内,y的值随x的值的增大而.(填“增大”或“减小”)11.(2022最新湖南长沙)如图,点M是函数y=√3x与y=k的图象在第一x象限内的交点,OM=4,则k的值为.12.(2022最新福建)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1的x 图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为.三、解答题13.(2022最新菏泽)如图,已知点D在反比例函数y=a(a≠0)的图象上,x过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b(k≠0)经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC OA=2 5.和一次函数y=kx+b的表达式;(1)求反比例函数y=ax(2)直接写出关于x的不等式a>kx+b的解集.x的图象14.(2022最新湖北武汉)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=kx交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;的图象交于(2)直线y=m(m>0)与直线AB交于点M,与反比例函数y=kx点N,若MN=4,求m的值;>x的解集.(3)直接写出不等式6x-5B组提升题组一、选择题1.函数y=kx与y=-kx2+k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()2.(2022最新临沂)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1.当y1<y2时,x的取值范围是()A.x<-1或x>1B.-1<x<0或x>1C.-1<x<0或0<x<1D.x<-1或0<x<13.(2022最新东平模拟)如图,双曲线y=kx 与直线y=-12x交于A、B两点,且A(-2,m),则点B的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(12,-1) D.(-1,12)二、填空题4.(2022最新江苏南京)函数y1=x与y2=4x的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:①函数的图象关于原点中心对称;②当x<2时,y随x的增大而减小;③当x>0时,函数图象的最低点的坐标是(2,4).其中正确结论的序号是.三、解答题5.(2022最新聊城)如图,已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与反比例函数y=k2x (x<0)的图象关于y轴对称,A(1,4),B(4,m)是函数y=k1x(x>0)图象上的两点,连接AB,点C(-2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点,连接AC,BC.(1)求m,n的值;(2)求AB所在直线的表达式;(3)求△ABC的面积.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(-3,2),B(2,n)两点,则不等式ax+b<kx的解集为()A.-3<x<2B.-3<x<0或x>2C.x>-3D.x<22.在同一直角坐标平面内,如果直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,那么k1和k2的关系一定是()A.k1+k2=0B.k1·k2<0C.k1·k2>0D.k1=k23.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x-2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y2=kx(x>0)交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,连接BD,则以下结论:①S△ADB =S△ADC;②当0<x<3时,y1<y2;;③当x=3时,EF=83④当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4与直线y=kx+b交于点M、N,并且点M的坐标为4.如图,双曲线y=mx=kx+b的解为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象可得关于x的方程mx()A.-3,1B.-3,3C.-1,1D.-1,35.如图,正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()的图象上,直角边BC在x轴6.如图,Rt△ABC的顶点A在双曲线y=kx上,∠ABC=90°,∠ACB=30°,OC=4,连接OA,∠AOB=60°,则k的值是()A.4√3B.-4√3C.2√3D.-2√37.如图,若点M是x轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数y=k1x (x>0)和y=k2x(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是()A.∠POQ不可能等于90°B.PMQM =k1 k2C.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.△POQ的面积是12(|k1|+|k2|)8.如图所示,已知A(12,y1),B(2,y2)为反比例函数y=1x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是()A.(12,0) B.(1,0)C.(32,0) D.(52,0)9.如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=kx(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB·AC=160,有下列四个结论:①双曲线的解析式为y=20(x>0);②Ex;④AC+OB=12√5.其中正确的结论有点的坐标是(4,8);③sin∠COA=45()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标10.已知函数y=ax和y=4-ax为1,则两个函数图象的交点坐标是.(x>0)的图象交于点A, 11.如图,一次函数y=kx+2与反比例函数y=4x与y轴交于点M,与x轴交于点N,且AM MN=1 2,则k=.三、解答题12.如图,直线l1的方程为y=-x+1,直线l2的方程为y=x+5,且两直线与直线l1的另一交点为Q(3,a).相交于点P,过点P的双曲线y=kx(1)求双曲线的解析式;(2)根据图象直接写出不等式k>-x+1的解集;x(3)若l2与x轴的交点为M,求△PQM的面积.(x>0)的图象交于13.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx点P(n,2),与x轴交于点A,与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC,S△PBC=4.(1)求一次函数、反比例函数的解析式;(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.14.如图,反比例函数y=kx的图象与过两点A(0,-2),B(-1,0)的一次函数的图象在第二象限内相交于点M(m,4).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)在双曲线(x<0)上是否存在点N,使MN⊥MB,若存在,请求出N点坐标,若不存在,说明理由.15.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到点Q,点Q 也在该函数y=kx+b的图象上.(1)求k的值;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=-4x的图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若S1S2=7 9 ,求b的值.16.如图1,▱OABC的边OC在y轴的正半轴上,OC=3,A(2,1),反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B.(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式;(2)如图2,将线段OA延长交y=kx(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点.①求直线BD的解析式;②求线段ED的长度.第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.B2.D3.D4.C5.A6.B 因为式子√-k有意义,所以k<0,所以一次函数y=kx+1的图象过第一、二、四象限,故选B.7.D 设点A(m,k1m )、点B(n,k1n),则点C(k2mk1,k1m)、点D(k2nk1,k1n),∵AC=2,BD=1,EF=3,∴{ m -k 2mk 1=2,k 2nk 1-n =1,k 1m -k 1n=3, 解得k 1-k 2=2.8.A 由题可知,A 、B 两点关于原点对称,∵A 的坐标是(1,2),∴B 的坐标是(-1,-2). 二、填空题 9.答案 y=6x解析 B(3,-3),C(5,0),O(0,0),四边形OABC 为平行四边形,则点B 可以看成点C 经过平移得到的,点A 可以看成点O 经过平移得到的,∴点A(-2,-3),代入求解得y=6x .10.答案 减小解析 ∵反比例函数y=kx (k≠0)的图象过点(2,3),∴k=2×3=6>0,∴这个函数图象在的每个象限内,y 的值随x 的值的增大而减小. 11.答案 4√3解析 过点M 作MN⊥x 轴于点N,由已知设M 的坐标为(x,√3x)(x>0),则ON=x,MN=√3x,在Rt△OMN 中,ON 2+MN 2=OM 2,即x 2+(√3x)2=42,解得x=2(舍负),故M(2,2√3),将M 的坐标代入y=kx 中,可得k=4√3.12.答案152解析 ∵点A 在反比例函数y=1x的图象上,且点A 的横坐标是2,∴y=12,即点A 的坐标为(2,12).如图,∵双曲线y=1x 和矩形ABCD 都是轴对称图形和中心对称图形,∴点A 、B 关于直线y=x 对称,∴B (12,2),同理,C (-2,-12),D (-12,-2). ∴AB=√(2-12)2+(12-2)2=3√22. AD=√(2+12)2+(12+2)2=5√22.∴S 矩形ABCD =AB·AD=152.三、解答题13.解析 (1)∵BD=OC,OC OA=2 5,点A(5,0),点B(0,3), ∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,又∵点C 在y 轴的负半轴,点D 在第二象限, ∴点C 的坐标为(0,-2),点D 的坐标为(-2,3). ∵点D(-2,3)在反比例函数y=ax 的图象上,∴a=-2×3=-6,∴反比例函数的表达式为y=-6x .将A(5,0)、C(0,-2)代入y=kx+b, 则{5k +b =0,b =-2,解得{k =25,b =-2,∴一次函数的表达式为y=25x-2.(2)x<0.将y=25x-2代入y=-6x,整理得25x 2-2x+6=0,∵Δ=(-2)2-4×25×6=-285<0,∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.观察图形,可知:当x<0时,反比例函数图象在一次函数图象上方, ∴不等式ax >kx+b 的解集为x<0.14.解析 (1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上, ∴a=2×(-3)+4=-2.∵点A(-3,-2)在y=kx 的图象上,∴k=6.(2)∵点M 是直线y=m 与直线AB 的交点, ∴M (m -42,m).∵点N 是直线y=m 与反比例函数y=6x的图象的交点, ∴N (6m ,m).∴MN=x N -x M =6m -m -42=4或MN=x M -x N =m -42-6m=4,解得m=2或m=-6或m=6±4√3, ∵m>0,∴m=2或m=6+4√3. (3)x<-1或5<x<6.B 组 提升题组一、选择题1.B 易知抛物线y=-kx 2+k 的对称轴为x=0.若k>0,则反比例函数的图象过第一、三象限,二次函数的图象的开口向下,与y 轴相交于正半轴;若k<0,则反比例函数的图象过第二、四象限,二次函数的图象的开口向上,与y 轴相交于负半轴,故选B.2.D∵正比例函数y 1=k 1x 与反比例函数y 2=k2x 的图象相交于A 、B 两点,其中点A 的横坐标为1. ∴B 点的横坐标为-1,故当y 1<y 2时,x 的取值范围是x<-1或0<x<1.故选D. 3.A 解法一:当x=-2时, y=-12×(-2)=1,即A(-2,1).将A 点坐标(-2,1)代入y=kx,得k=-2×1=-2,所以反比例函数的解析式为y=-2x ,联立得{y =-2x,y =-12x ,解得{x 1=-2,y 1=1,{x 2=2,y 2=-1, 所以B(2,-1). 故选A.解法二:因为反比例函数的图象和正比例函数的图象都是中心对称图形,所以它们的交点坐标关于原点对称,故选A.二、填空题4.答案①③解析①∵y=y1+y2,∴y=x+4x.若点(a,b)在函数y=x+4x的图象上,则b=a+4a.∵当x=-a时,y=-a-4a =-(a+4a)=-b.∴点(-a,-b)在函数y=x+4x的图象上.∴函数y=x+4x的图象关于原点中心对称,故①正确.②当0<x<2时,随着x的增大,y1增大,y2减小,∴y的变化不能确定;当x<0时,随着x的增大,y1增大,y2减小,∴y的变化不能确定;当x=0时,y无意义.故②错误.③当x>0时,y=x+4x=(√x-√4x )2+2·√x·√4x=(√x-√4x )2+4,当√x=√4x,即x=2时,y取得最小值,y min=4. ∴函数图象的最低点的坐标是(2,4).故③正确. 三、解答题5.解析 (1)∵A(1,4),B(4,m)是函数y=k 1x (x>0)图象上的两点,∴4=k 11,k 1=4.∴y=4x (x>0),∴m=44=1.∵y=k2x(x<0)的图象与y=k1x(x>0)的图象关于y 轴对称,∴点A(1,4)关于y 轴的对称点A 1(-1,4)在y=k2x(x<0)的图象上,∴4=k 2-1,k 2=-4.∴y=-4x(x<0).又∵点C(-2,n)是函数y=-4x(x<0)图象上的一点,∴n=-4(-2)=2.(2)设AB 所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0), 将A(1,4),B(4,1)分别代入y=kx+b 得{4=k +b ,1=4k +b ,解这个二元一次方程组,得{k =-1,b =5.∴AB 所在直线的表达式为y=-x+5.(3)自A,B,C 三点分别向x 轴作垂线,垂足分别为A',B',C'.CC'=2,AA'=4,BB'=1,C'A'=3,A'B'=3,C'B'=6. ∴S △ABC =S 梯形CC'A'A +S 梯形AA'B'B -S 梯形CC'B'B=12×(2+4)×3+12×(1+4)×3-12×(2+1)×6=152.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.B2.B∵直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,∴k1x=k2x无解,∴x2=k2k1无解,∴k2k1<0,即k1·k2<0.故选B.3.C 对于直线y1=2x-2,令x=0,得到y=-2;令y=0,得到x=1,∴A(1,0),B(0,-2),即OA=1,OB=2.在△OBA和△DCA中,{∠AOB=∠ADC=90°, OA=DA,∠OAB=∠DAC,∴△OBA≌△DCA(ASA),∴OB=CD=2,OA=AD=1,∴S△ADB =S△ADC(同底等高的三角形面积相等),故①正确;由①知CD=2,OD=OA+AD=2,∴C(2,2),把C点坐标代入反比例函数解析式得k=4,即y2=4x, 由函数图象得,当0<x<2时,y1<y2,故②错误;当x=3时,y 1=4,y 2=43,即EF=4-43=83,故③正确;当x>0时,y 1随x 的增大而增大,y 2随x 的增大而减小,故④正确.故选C.4.A∵M(1,3)在反比例函数图象上, ∴m=1×3=3,∴反比例函数解析式为y=3x ,∵点N 也在反比例函数图象上,点N 的纵坐标为-1. ∴x N =-3, ∴N(-3,-1),∴关于x 的方程mx =kx+b 的解为x=-3或x=1.故选A.5.A∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点E(-1,2), ∴根据图象可知当y 1>y 2>0时x 的取值范围是x<-1, ∴在数轴上表示为,故选A.6.B∵∠ACB=30°,∠AOB=60°, ∴∠OAC=∠AOB -∠ACB=30°, ∴∠OAC=∠ACO, ∴OA=OC=4.在△AOB 中,∠ABC=90°,∴∠OAB=30°, ∴OB=12OA=2,∴AB=√3OB=2√3, ∴A(-2,2√3),把A(-2,2√3)代入y=kx 得k=-2×2√3=-4√3.故选B.7.DA.∵P 点坐标未知,∴当PM=MQ=OM 时,∠POQ 等于90°,故此选项错误;B.由题图知k 1>0,k 2<0,而PM,QM 为线段长度,一定为正值,故PM QM=|k1k 2|,故此选项错误;C.根据k 1,k 2的值不确定,得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称,故此选项错误;D.∵|k 1|=PM·MO,|k 2|=MQ·MO,△POQ 的面积=12MO·PQ=12MO(PM+MQ)=12MO·PM+12MO·MQ,∴△POQ 的面积是12(|k 1|+|k 2|),故此选项正确.故选D.8.D 把A (12,y 1),B(2,y 2)代入反比例函数y=1x得y 1=2,y 2=12,∴A (12,2),B (2,12),∵在△ABP 中,|AP-BP|<AB,∴延长AB 交x 轴于点P',当点P 在P'点位置时,PA-PB=AB, 此时线段AP 与线段BP 之差达到最大. 设直线AB 的解析式是y=kx+b(k≠0),把A 、B 的坐标代入得{2=12k +b ,12=2k +b ,解得k=-1,b=52,∴直线AB 的解析式是y=-x+52,当y=0时,x=52,即P'(52,0),故选D.9.C 过点C 作CF⊥x 轴于点F, ∵OB·AC=160,A 点的坐标为(10,0), ∴菱形OABC 的边长为10, ∴OA·CF=12OB·AC=12×160=80,∴CF=80OA =8010=8,在Rt△OCF 中, ∵OC=10,CF=8,∴OF=√OC 2-CF 2=√102-82=6, ∴C(6,8),易知点D 是线段AC 的中点, ∴D 点坐标为(10+62,82),即(8,4), ∵双曲线y=k x (x>0)经过D 点, ∴4=k8,即k=32,∴双曲线的解析式为y=32x(x>0),故①错误;易知直线CB 的解析式为y=8, ∴{y =32x ,y =8,解得{x =4,y =8,∴E 点坐标为(4,8),故②正确; sin∠COA=CFOC =810=45,故③正确;易知AC=√(10-6)2+(0-8)2=4√5,又∵OB·AC=160, ∴OB=160AC =4√5=8√5,∴AC+OB=4√5+8√5=12√5,故④正确. 故选C.二、填空题10.答案 (1,2)和(-1,-2) 解析 依题意有y=a,y=4-a, 解得a=2.代入原函数有{y =2x ,y =2x,解此方程组得{x 1=1,y 1=2和{x 2=-1,y 2=-2.所以两函数图象的交点坐标为(1,2)和(-1,-2). 11.答案 34解析 过点A 作AD⊥x 轴,由题意可得MO∥AD, 则△NOM∽△NDA, ∵AM MN=1 2, ∴NM AN =MO AD =23,∵一次函数y=kx+2与y 轴的交点为(0,2), ∴MO=2, ∴AD=3, ∴当y=3时,3=4x ,解得x=43,∴A (43,3),将A 点代入y=kx+2得3=43k+2,解得k=34.三、解答题12.解析 (1)解方程组{y =-x +1,y =x +5,得{x =-2,y =3,则P(-2,3),把P(-2,3)代入y=kx 得k=-2×3=-6,∴双曲线的解析式为y=-6x.(2)当x=3时,y=-3+1=-2, 则Q(3,-2),所以不等式kx >-x+1的解集为-2<x<0或x>3.(3)当y=0时,x+5=0,解得x=-5,则M(-5,0),设l 1与x 轴的交点为N,则N(1,0). ∴S △PQM =S △PMN +S △QMN =12×(5+1)×(3+2)=15.13.解析 (1)∵AC=BC,CO⊥AB, ∴O 为AB 的中点,即OA=OB, ∵S △PBC =4,即12OB×PB=4,P(n,2),即PB=2, ∴OA=OB=4,∴P(4,2),B(4,0),A(-4,0). 将A(-4,0)与P(4,2)代入y=kx+b 得{-4k +b =0,4k +b =2,解得{k =14,b =1.∴一次函数的解析式为y=14x+1.将P(4,2)代入反比例函数解析式得2=m 4,解得m=8, ∴反比例函数的解析式为y=8x .(2)假设存在这样的D 点,使四边形BCPD 为菱形.过点C 作x 轴的平行线与双曲线交于点D,连接PD 、BD 、CD,如图所示.令一次函数y=14x+1中x=0,则有y=1,∴点C 的坐标为(0,1), ∵CD∥x 轴,∴设点D 的坐标为(x,1).将点D(x,1)代入反比例函数解析式y=8x中,得1=8x,解得x=8,∴点D 的坐标为(8,1),即CD=8. ∵P 点横坐标为4, ∴BP 与CD 互相垂直平分, ∴四边形BCPD 为菱形.故反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD 为菱形,此时点D 的坐标为(8,1).14.解析 (1)设直线AB 的表达式为y=ax+b(a≠0), 将点A(0,-2),B(-1,0)代入y=ax+b,得 {b =-2,-a +b =0,解得{a =-2,b =-2, ∴一次函数的表达式为y=-2x-2. 当y=-2x-2=4时,x=-3, ∴点M 的坐标为(-3,4),将点M(-3,4)代入y=kx,得4=k-3,解得k=-12,∴反比例函数的表达式为y=-12x.(2)假设存在这样的点N.过点M 作MC⊥x 轴于C,过点N 作ND⊥MC 于D,如图所示. ∵∠MND+∠NMD=90°, ∠BMC+∠NMD=90°, ∴∠MND=∠BMC, 又∵∠MDN=∠BCM=90°, ∴△MDN∽△BCM,∴MD BC =ND MC.设N (n ,-12n ),则有4+12n2=-3-n 4,解得n=-8或n=-3(不合题意,舍去), 经检验,n=-8是原分式方程的解且符合题意, ∴点N 的坐标为(-8,32),∴在双曲线(x<0)上存在点N (-8,32),使MN⊥MB.15.解析 (1)设点P 的坐标为(m,n), 则点Q 的坐标为(m-1,n+2), 依题意得{n =km +b ,n +2=k (m -1)+b ,解得k=-2. (2)根据题意得S △OABS △AEC =916=OB 2CE 2,∴OB CE =34.设点C 的坐标为(a,-2a+b), 则OB=b,CE=-2a+b,∴{b-2a+b =34,-2a +b =-4a,解得b=3√2或b=-3√2(舍去).16.解析 (1)如图1,过点A 作AP⊥x 轴于点P,则AP=1,OP=2.又∵四边形OABC 是平行四边形, ∴AB=OC=3, ∴B(2,4).∵反比例函数y=kx (x>0)的图象经过点B,∴4=k2.∴k=8.∴反比例函数的关系式为y=8x .(2)①设直线BD 的解析式为y=kx+b(k≠0),直线OA 的解析式为y=k 1x(k 1≠0), ∵A(2,1),∴直线OA 的解析式为y=12x.∵点D 是反比例函数y=8x的图象与直线OA 的交点,解方程组{y =12x ,y =8x,得{x =4,y =2或{x =-4,y =-2. ∵点D 在第一象限内, ∴D(4,2).将B 、D 两点代入y=kx+b, ∴直线BD 的解析式为y=-x+6.②把y=0代入y=-x+6,解得x=6.∴E(6,0),过点D作DH⊥x轴于H,如图2,图2∴DH=2,OH=4,∴HE=6-4=2,由勾股定理可得ED=√DH2+HE2=2√2.。

中考数学复习《反比例函数》教案教案：反比例函数教学目标：1.了解反比例函数的定义；2.掌握求解反比例函数的图像、性质和解题方法；3.能够在实际问题中应用反比例函数。

教学重点：1.反比例函数的定义和特点；2.求解反比例函数的图像和性质；3.实际问题中的反比例函数应用。

教学难点：1.反比例函数的图像和性质；2.运用反比例函数解决实际问题。

教学过程：一、导入与复习（10分钟）1.复习正比例函数的概念和性质，并给出例子进行讲解。

2.提问：什么是反比例函数？反比例函数有哪些特点？3.回答问题并讨论。

二、知识讲解（15分钟）1.介绍反比例函数的定义：若两个变量x和y满足x*y=k（k≠0），其中k为常数，则称y与x成反比例关系，并称y是x的反比例函数。

2.解释反比例函数的特点和图像特征。

3.讲解反比例函数的性质，如定义域、值域等。

三、图像与性质（20分钟）1.示例一：求解y=k/x图像和性质。

a.计算k=1时，给出图像，并讨论特点。

b.讨论k>1和k<1的情况，给出图像并比较。

c.得出结论：y=k/x的图像是一条过原点的双曲线。

2.示例二：求解y=k/x^2图像和性质。

a.计算k=1时，给出图像，并讨论特点。

b.讨论k>1和k<1的情况，给出图像并比较。

c.得出结论：y=k/x^2的图像是一条过原点的开口向上的双曲线。

d.引导学生思考：如何通过改变k的值来改变这条双曲线的形状？四、实际应用（25分钟）1.讲解实际问题的解题步骤。

2. 示例一：车辆行驶的速度和所用时间成反比例关系。

当速度为60km/h时，所用时间为5小时。

求当速度为120km/h时，所用的时间。

3.示例二：工厂生产一种产品，当原材料的数量为4000吨时，需要工作4个月完成。

求当原材料的数量为6000吨时，需要工作多长时间才能完成。

4.让学生自己选择一个实际问题，并运用反比例函数进行求解。

五、归纳总结（10分钟）1.整理反比例函数的定义、特点、图像和性质。

函数——反比例函数1一．选择题（共8小题）1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．2．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．3．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．5．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣17．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜18．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小二．填空题（共8小题）9如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是_________ ．10双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为_________ ．11．若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是_________ （写出一个即可）．12．下列关于反比例函数y=的三个结论：①它的图象经过点（7，3）；②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在二、四象限内．其中正确的是_________ ．13．如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB 交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为_________ ．14．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为_________ ．15．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为_________ ．16．如图，反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为_________ ．三．解答题（共9小题）17．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△PO Q的面积为8，求k的值．18．已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB 于点E．（1）k的值为_________ ；（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．20．已知反比函数y=，当x=2时，y=3．（1）求m的值；（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．21如图，反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．22．如图，函数y=的图象过点A（1，2）．（1）求该函数的解析式；（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．23如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x＞0时，不等式的解集．24已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．25．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？函数——反比例函数1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．解答：解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D 正确；故选：D．点评：考查反比例函数和一次函数图象的性质：（1）反比例函数y=：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；（2）一次函数y=kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b=0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴．2．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（）A． B． C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．解答：解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=的图象可知m＞0，故A 选项正确；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=的图象可知m＞0，相矛盾，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m ＞0，相矛盾，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m ＜0，相矛盾，故D选项错误；故选：A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：先根据一次函数图象与系数的关系得到k的范围，然后根据k的范围判断反比例函数图象的位置．解答：解：A、对于y=kx+1经过第一、三象限，则k＞0，﹣k＜0，所以反比例函数图象应该分布在第二、四象限，所以A选项错误；B、一次函数y=kx+1与y轴的交点在x轴上方，所以B选项错误；C、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以C选项错误；D、对于y=kx+1经过第二、四象限，则k＜0，﹣k＞0，所以反比例函数图象应该分布在第一、三象限，所以D选项正确．故选：D．点评：本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=（k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．4．反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据反比例函数所在的象限判定k的符号，然后根据k的符号判定一次函数图象所经过的象限．解答：解：A、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误；B、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；C、如图所示，反比例函数图象经过第二、四象限，则k＜0．﹣k+2＞0，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；D、如图所示，反比例函数图象经过第一、三象限，则k＞0，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示一致，故本选项正确；故选：D．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y=kx和反比例函数y=图象所在的象限．解答：解：如图所示，∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选：C．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1考点：反比例函数的性质．专题：计算题．分析：根据反比例函数的性质得m+1＜0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得m+1＜0，解得m＜﹣1．故选：D．点评：本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．7．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1D．k＜1考点：反比例函数的性质．专题：常规题型．分析：根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．解答：解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣1＞0，解得k＞1．故选：A．点评：本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．8．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小考点：反比例函数的性质．专题：常规题型．分析：根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x 的增大而减小．解答：解：A、把点（1，1）代入反比例函数y=得2≠1不成立，故A选项错误；B、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；C、图象的两个分支关于y=﹣x对称，故C选项错误．D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：D．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x 的增大而增大．二．填空题（共8小题）9．如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是 3 ．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象的对称性．专题：计算题；数形结合．分析：由反比例函数图象的对称性和反比例函数系数k的几何意义可得：△ABM的面积为△AOM面积的2倍，S△ABM=2S△AOM=|k|．解答：解：由题意得：S△ABM=2S△AOM=3，S△AOM=|k|=，则k=3．故答案为：3．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义及反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．10．双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为3（答案不唯一）．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：首先根据反比例函数的性质可得k+1＞0，再解不等式即可．解答：解：∵双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴k+1＞0，解得：k＞﹣1，∴k可以等于3（答案不唯一）．故答案为：3（答案不唯一）．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．11．若函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是0 （写出一个即可）．考点：反比例函数的性质．专题：开放型．分析：根据反比例函数图象的性质得到m﹣1＜0，通过解该不等式可以求得m的取值范围，据此可以取一个m值．解答：解：∵函数y=的图象在同一象限内，y随x增大而增大，∴m﹣1＜0，解得 m＜1．故m可以取0，﹣1，﹣2等值．故答案为：0．点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．12．下列关于反比例函数y=的三个结论：①它的图象经过点（7，3）；②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在二、四象限内．其中正确的是①②．考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得①正确；根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x的增大而减小可得②正确，③错误．解答：解：①∵7×3=21，∴它的图象经过点（7，3），故①正确；②∵k=21＞0，∴它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，故②正确；③它的图象应在第一三象限，故③错误；故答案为：①②．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征：横纵坐标之积=k．13．如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB 交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为 2 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：代数几何综合题．分析：由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB=3，S△COB=1，然后利用S△AOC=S△AOB﹣S△COB进行计算．解答：解：∵AB⊥x轴，∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．故答案为：2．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．14．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为8 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出S△ODE=S△OBC=k，S△AOB=k+5，=，进而求出即可．解答：解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OBC的面积相等=，∵△OAC的面积为5，∴△OBA的面积=5+，∵AD：OD=1：2，∴OD：OA=2：3，∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴=（）2，即=，解得：k=8．点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为 4 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解答：解：∵MA垂直y轴，∴S△AOM=|k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．点评：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．16．如图，反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为y= ．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．解答：解：设点A坐标（x，），∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，∴D（x，），∴过点D的反比例函数的解析式为y=，故答案为：y=．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三．解答题（共9小题）17．如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为8，求k的值．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．专题：计算题．分析：（1）由于PQ∥x轴，则点P的纵坐标为2，然后把y=2代入y=得到对应的自变量的值，从而得到P点坐标；（2）由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|=8，然后解方程得到满足条件的k的值．解答：解：（1）∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为2，把y=2代入y=得x=3，∴P点坐标为（3，2）；（2）∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|6|=8，∴|k|=10，而k＜0，∴k=﹣10．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数系数k的几何意义．18．已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．专题：待定系数法．分析：（1）利用待定系数法把（2，1）代入反比例函数y=中可得k的值，进而得到解析式；（2）根据y=可得x=，再根据条件2＜x＜4可得2＜＜4，再解不等式即可．解答：解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，∴该函数的表达式为y=；（2）∵y=，∴x=，∵2＜x＜4，∴2＜＜4，解得：＜y＜1．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函数解析式．19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB 于点E．（1）k的值为9 ；（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值；（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D为BC 的中点，可得出S△OCD=S△OBD，即可得出结论．解答：解：∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，∴D（3，3）．∴k=3×3=9，故答案为9；（2）S△OCD=S△OBE，理由是：∵点D，E在函数的图象上，∴S△OCD=S△OAE=，∵点D为BC的中点，∴S△OCD=S△OBD，即S△OBE=，∴S△OCD=S△OBE．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的特征以及矩形的性质，是一道综合题，难度中等．20．已知反比函数y=，当x=2时，y=3．（1）求m的值；（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．专题：代数综合题．分析：（1）把x、y的值代入反比例函数解析式，通过方程来求m的值；（2）根据反比例函数图象的性质进行解答．解答：解：（1）把x=2时，y=3代入y=，得3=，解得：m=﹣1；（2）由m=﹣1知，该反比例函数的解析式为：y=．当x=3时，y=2；当x=6时，y=1．∴当3≤x≤6时，由于y随x的增大而减小，所以函数值y的取值范围是：1≤y≤2．点评：本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上是把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程．21．如图，反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．专题：数形结合；待定系数法．分析：（1）利用待定系数法把A（1，3）代入反比例函数y=可得k的值，进而得到解析式；（2）根据△AOB的面积为6求出B点坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点代入可得k、b的值，进而得到答案．解答：解：（1）∵反比例函数y=（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3），∴3=，解得：k=3，∴反比例函数解析式为y=；（2）设B（a，0），则BO=a，∵△AOB的面积为6，∴•a•3=6，解得：a=4，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∵经过A（1，3），B（4，0），∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，关键是正确求出B点坐标．22．如图，函数y=的图象过点A（1，2）．（1）求该函数的解析式；（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．分析：（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．解答：解：（1）∵函数y=的图象过点A（1，2），∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，得2=，解得：k=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵点A是反比例函数上一点，∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．（3）设图象上任一点的坐标（x，y），∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，∴矩形的面积为定值．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x＞0时，不等式的解集．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；数形结合．分析：（1）将B的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，将A和B的坐标分别代入一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出一次函数解析式；（2）由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集．解答：解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B（2，1），∴将B坐标代入反比例解析式得：m=1×2=2，∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0）、B（2，1）两点，∴将A和B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1；（2）由图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集为x＞2．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点，以及待定系数法的运用，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题第二问的关键．24．已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．解答：解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b=4，解得k=4，b=3，∴反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，当x=﹣4时，y=﹣1，∴B（﹣4，﹣1），当x=0时，y=+3，∴C（0，3），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC==；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．25．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合；待定系数法．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．解答：解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．。

教学主题 一轮复习反比例函数教学目标掌握反比例函数题型重 要 知识点 1.反比例函数 2. 3. 易错点教学过程反比例函数考点1：反比例函数的图象和性质 1、一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，其图象是叫双曲线。

2、当k >0时，图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

当k <0时，图象的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3、对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB)要会求(会表示)，如图所示．考点1、反比例函数图像与性质1、函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是 （ ）【答案】B2、如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ ）【答案】 BA ．2y x =B ．4y x=C ．3y x=-D ．12y x =3、若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 【答案】> 4、如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (－1,－2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜2【答案】D6.如图，已知直线12y x =-经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数2ky x=（0≠k ）的图象上． （1）求点P ′的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y 2<2时自变量x 的取值范围．【答案】（1）∴P ′（2，4）．(2) k =8，自变量x 的取值范围x <0或x >4． 考点3：反比例函数解析式中k 的几何意义 相关知识：设()P x y ，是反比例函数ky x=图象上任一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，则（1）△OPA 的面积111222OA PA xy k ===g ．（2）矩形OAPB 的面积OA PA xy k ===g 。