或
x 1, 2 1,
解得
x≤-1,或-1<x≤-
1 2
,
即所求解集为{x|x≤- 1 }. 2
答案:(2)(-∞,8]
反思归纳(1)解含参数的绝对值不等式问题的两种方法 ①将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决. ②借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根据 题目要求,求解参数的取值范围.
x|x≠0}
R
答案:(1)(-∞,0)∪{2}
(2)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是
.
解:(1)当 a=-1 时,f(x)≥|x+1|+1 可化为|x-1|-|x+1|≥1,
化简得
x 2
1, 1
或
1 x 1, 2x 1
②更换主元法: 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解 决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,解得 x>-5,所以 x≥4
时,不等式成立.当- 1 ≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,解得 x>1, 2
所以当 a≤8 时,不等式无解.
答案:-6或4
5.若|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为
.
解析:因为|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9,
所以当a<9时,不等式对x∈R均成立.
答案:(-∞,9)
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 |ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
【即时训练】(1)不等式|x2-2|<2的解集是( )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-1,0)∪(0,1)
(D)(-2,0)∪(0,2)
(2)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为
.
解析:(1)原不等式等价于-2<x2-2<2,即0<x2<4. 所以-2<x<2且x≠0.故不等式的解集为(-2,0)∪(0,2). 故选D. (2)由于||x-2|-1|≤1,即-1≤|x-2|-1≤1, 即|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,所以0≤x≤4. 答案:(1)D (2)[0,4]
2.绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次 不等式求解.
3x 2a 1 x a,
解析:当
a≤-1
时,f(x)=
x
2a
1 a
x
1
,
所以 f(x)min=-a-1,
-3ax<x<2aa 1 x 1,
考点二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
【例2】 解不等式|x-5|+|x+3|≥10. 解:令|x-5|=0,|x+3|=0,解得x=5,x=-3. (1)当x<-3时,不等式化为-(x-5)-(x+3)≥10, 即-2x+2≥10,解得x≤-4. (2)当-3≤x≤5时,不等式化为-(x-5)+(x+3)≥10, 即8≥10,显然不成立. (3)当x>5时,不等式可化为(x-5)+(x+3)≥10, 即2x-2≥10.解得x≥6. 综上,不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).
3 2
或-1≤x<-
1 2
,即不等式
(的 2)解 令集 g(为x{)=x|f-(1x≤ )+xf≤(-2x}).,
则g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|, 所以2>2|a|, 即-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).
经典考题研析 在经典中学习方法
含绝对值不等式的解法
解:(1)原不等式等价于
a 的取值范围是
.
反思归纳|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)c>0,则|ax+b|≤c可转化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可转化为 ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可. (2)c<0,则|ax+b|≤c,根据几何意义可得解集为;|ax+b|≥c的解集为R. (3)c=0,则|ax+b|≤c可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即 可;|ax+b|≥c的解集为R.
考点三 已知不等式的解集求参数
(2)不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ①分离参数法: 运用“f(x)≤a f(x)max≤a,f(x)≥a f(x)min≥a”可解决恒成立中的参 数范围问题.
(2)①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集.
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|
}
|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c (c>0).
3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)不等式的解法 (1)零点分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为 (-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每个部分上去掉绝对 值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b 的距离之和大于c的点的集合. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.
③数形结合法: 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背 景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题. 提醒:不等式的解集为 R 是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为 的对 立面也是不等式恒成立问题,如 f(x)>m 的解集为 ,则 f(x)≤m 恒成立.
【例1】 解下列不等式. (1)|2x-3|≤5; (2)|5-4x|>9.
解:(1)因为|2x-3|≤5,所以-5≤2x-3≤5,所以-2≤2x≤8, 所以-1≤x≤4,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.
【例 3】 (1)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a
x>a或x<-a 所以-a-1=5,所以 a=-6.当 a>-1 时,f(x)=
3x 2a 1 x 1,
x
2a
1 1
x
a
,
②|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等3x式 的2a解 1法 x a,
所|以 ax+fb(|x≤)micn=⇔a+1-,c所≤以ax+ab+≤1=c5,所以(ca>=04).,综上,a=-6 或 a=4.
夯基自测
1.|2x-1|>3的解集为( B )
(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(-2,1)
(D)(-1,2)
解析:由|2x-1|>3得2x-1<-3或2x-1>3, 解得x<-1或x>2.
2.不等式1<|x+1|<3的解集为( D )
(A)(0,2)
(B)(-2,0)∪(2,4)
反思归纳解含两个或多个绝对值符号的不等式利用零点分段讨论法求 解时,要注意以下三个方面:一是准确去掉绝对值符号;二是求得不等式 的解后,要检验该解是否满足x的取值范围;三是将各区间上的解集求 并集.
【即时训练】 解不等式|2x+1|+|x-1|<2.
【典例】(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 2 <x<1;当 x≥1 时,不
3 等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.所以 f(x)>1 的解集为{x| 2 <x<2}.
解:(1)原不等式等价于
x
3 2
,
或
1 2
x
3 2
,
或
2x 1 2x 3 6 2x 1 2x 3 6
x
1 2
,
2x 1 2x
3
解得 6.
3 2
<x≤2
或-
1 2
≤x≤
号成立,所以 f(x)+3|x-4|的最小值为 9,故 m<9.即 m 的取值范围为(-∞,9).
