2016东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(文科)试题及答案说课讲解

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。

4.已知函数f (x)是定义在R 上的偶函数，若当x v 0时，f (x) =Tog2( - 2x)，则f (32) =( )A. - 32B. - 6C. 6D. 64 【考点】函数奇偶性的性质.【分析】真假利用函数的奇偶性的性质求解即可. 【解答】 解：因为当xv 0时，f (x) = - log2 (- 2x), f (32) =f (- 32) =- log264= - 6, 故选：B.5.抛物线y 2=2px (p>0)上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为 1,则p=( )A. 77B. 1C. 2D. 4 2【考点】抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论. 【解答】解：抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离， 抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 p=2 .故答案选：C.6.已知06( ,二厂)且sin Ocos 9=a,其中a£ (0, 1),则tan 0的可能取值是( )A . - 3 B. 3 或耳 C.— D. -3或—【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】把已知等式两边平方， 可得2sin 0 £os9=a 2- 1,由a 的范围及B ( 一 , C )， 一 ............ ........................ .. …一，、碍 sin 0 *Cos(K 0,且 | sin 。

| v | cos 。

| ,由此碍到 0^( -------- , C),答案可求.【解答】 解：由sin 0+cos0=a,两边平方可得 2sin 0 "Cos 。

=a 2 - 1, .，• 0C (- q • C),从而 tan 06 (— 1, 0). 故选：C.7. 已知正二棱锥 V - ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正二棱锥侧面积是二1，由a€(0, 1)及 B £ (-分，~),有sin 0 £os 0< 0,且 | sin 0| < | cos 印，A. B. C. 18 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图画出对应直观图，根据正三棱锥的结构特征判断出顶点V在底面上的射影，由图象和勾股定理求出三棱锥的高，再求出侧面上的高即斜高，由三角形的面积公式求出正三棱锥侧面的面积.【解答】解：由三视图画出直观图如图所示：O是定点V在底面的射影，且。

辽省省2011年东北三省四市统一考试暨市高三教学质量监测（二）数 学（文科）命 题：东北三省四市联合命制时间：120分钟 总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡及答题纸上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡（纸）一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．（1）已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅，则实数a 的取值围是A.{}1B.(,0)-∞C.(1,)+∞D.(0,1)（2）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S a 的值为 A.154B.152C.74 D.72（3）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：（1）该抽样可能是简单的随机抽样；（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （4）已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则21z z ⋅为A ．i 2321+ B ．i 2123+ C ．i 2321- D ．i 2123- （5）已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶 函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是A ．q p ∧ B.)q (p ⌝∨ C.()()p q ⌝∧⌝ D.q p ∨ （6）已知图象不间断函数)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，且在区间(,)a b 上存在零点．图1是用二分法求方程开始 定义()f x 输入精确度d 和区间(,)a b参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差 ()()()[]222211x x x x x x n s n -++-+-=其中x 为样本平均数柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积和体积公式24S R π=，343V R π=其中R 为球的半径()0f x =近似解的程序框图，判断框可以填写的容有如下四个选择：①0)()(<m f a f ； ②0)()(>m f a f ； ③0)()(<m f b f ； ④0)()(>m f b f 其中能够正确求出近似解的是（ ） A ．①、③ B ．②、③ C ．①、④ D ．②、④（7）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ．则“1||d a >”是“n S 的最小值为1S ，且n S 无最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件（8）曲线33y x x =-在点(0,0)处的切线方程为A ．y x =-B ．3y x =-C ．y x =D ．3y x =（9）已知三个互不重合的平面γβα、、，且a αβ=，b αγ=，c βγ=，给出下列命题：①若c a ,b a ⊥⊥，则c b ⊥；②若P b a = ，则P c a = ；③若c a ,b a ⊥⊥，则γα⊥；④若b //a ，则c //a ．其中正确命题个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（10）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为e ，则它的渐近线方程为A ． 1 y e x =-B ．2 1 y e x =±-C ．21y e x =±-D ．1y e x =- （11）设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值围是A ．(0,1)B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞D ．)1,(-∞（12）已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值围是A ．14[,]23B ．1(0,]2C ．24[,]33D ．1[,1]2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上． （13）在棱长为2的正方体随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为． （14）已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(，点(,)N x y 的坐标x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x . 则OM ON ⋅的取值围是． （15）对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有.OB OA OA OB 0=⋅+⋅ 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 一点，则有.OC S OB S OA S OBA OCA OBC 0=⋅+⋅+⋅ ．将它类比到空间的情形应该是： 若O 是四面体ABCD 一点，则有．（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图3所示，成绩不小于90分为及格． （Ⅰ）甲班10名同学成绩标准差 乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）； （Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.甲 乙 257 368 24 68 7 89 1089 678 1235 12222俯视图左视图主视图图2 图3（18）（本小题满分12分）如图4，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，点E 、G 分别是CD 、PC 的中点，点F 在PD 上，且PF :FD =2:1 （Ⅰ）证明：EA PB ⊥； （Ⅱ）证明：BG 面AFC ．（19）（本小题满分12分）如图5，ABC ∆中，,2,332sin ==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =（Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求DBC ∆的面积．DAB5图4（20）（本小题满分12分）设a 为实数，函数()22xf x e x a =-+,x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221xe x ax >-+.（21）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足t =+（O 为坐标原点）PB PA ＜53时，数t 取值围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图6，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠； （Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C . 以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试数x 的取值围．图62011年东北三省四市统一考试暨市高三教学质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D （6）C （7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）16π-（14）]6,1[ （15） ·OA + ·OB + ·OC + ·OD =0 （16） π34三、解答题：本大题共共70分. （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）>． …………………3分 （Ⅱ）抽取情况为：92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78； 94，108，79； 106，108，78； 106，108，79．总共有12种． …………………9分 这12种平均分不及格是92，94，78； 92，94，79；共2种． …………………11分 所以三人平均分不及格的概率为61． …………………12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒， 所以ACD ∆为等边三角形，又因为E 是CD 的中点，所以AB EA ⊥．……2分 又PA ⊥平面ABCD ，所以PA EA ⊥． ……3分 所以⊥EA 面PAB ，所以PB EA ⊥． ……5分（Ⅱ）取PF 中点M ，所以FD MF PM ==．…………………………………………6分连接MG ，CF //MG ，所以//MG 面AFC ．……………………………………8分连接BD ,BM ，设O BD AC = ，连接OF ，所以OF //BM ，所以//BM 面AFC ． ················································ 10分 所以面//BGM 面AFC ，所以//BG 面AFC ．…………………………………12分（19）（本小题满分12分）V ACD O -V BCD O -V ABD O -V ABC O -解：（Ⅰ）因为332=∠ABC sin，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ··················· 2分 在ABC ∆中，设b AC ,a BC 3==， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ················································ 5分 在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得b b ADB cos 3316431642-+=∠， b a b BDC cos 33831622-+=∠． ································································· 7分 因为BDC cos ADB cos ∠-=∠，所以有b a b b b 338316331643164222-+-=-+，所以322a b -＝－6 ② 由①②可得13==b ,a，即3=BC ． ······················································· 9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯， 所以DBC ∆的面积为322． ······························································· 12分 （注：也可以设b BC ,a BA==，所以b a BD 3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由()22,x f x e x a x R =-+∈知'()2,xf x e x R =-∈。

2016年辽宁省沈阳二中高考数学四模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x-2＜0}，则A∪B（）A.（-∞，2）B.（0，1）C.（-2，2）D.（-∞，1）【答案】C【解析】解：∵A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，∴A∪B={x|0＜x＜2}∪{x|-2＜x＜1}=（-2，2）．故选：C．分别求解对数不等式及一元二次不等式化简A，B，再由并集运算得答案．本题考查并集及其运算，考查了对数不等式及一元二次不等式的解法，是基础题．2.已知复数z满足（z-2i）（1+i）=|1-i|（i为虚数单位），在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：∵|1-i|=，∴（z-2i）（1+i）=|1-i|=2，则，∴复数z对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．求出|1-i|，再把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知实数a满足|a|＜2，则事件“点M（1，1）与N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：要使点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧，则（a-2+1）（2a+1）＜0．即-＜a＜1．又|a|＜2，即-2＜a＜2，由测度比为长度比得：点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l两侧的概率为：P==．故选：C．根据点M（1，1）与点N（2，0）分别位于直线l：ax-2y+1=0两侧，求出a的取值范围，再利用几何概型求出对应的概率．本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．4.如图茎叶图表示的是甲乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示，若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A.{2}B.{1，2}C.{0，1，2}D.{2，3}【答案】C【解析】解：由茎叶图知，甲的平均成绩为×（88+92+93）=91；乙的平均成绩为×（90+91+90+m）=90+，又∵91≥90+，∴m≤2，又m∈N，∴m的可能取值集合为{0，1，2}．故选：C．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列出不等式求出m的取值集合．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了识图与用图的问题，是基础题．5.在等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A.3B.C.3或D.-3或【答案】C【解析】解：在等比数列{a n}中，∵a5•a11=a3•a13=3，a3+a13=4，则a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1当a3=1，a13=3时，q10=3，=q10=3，当a3=3，a13=1时，q10=，=q10=故选：C由已知中等比数列{a n}中，a5•a11=3，a3+a13=4，根据等比数列的性质我们易得到a3=1，a13=3，或a3=3，a13=1，分别求出对应的公比q满足的条件，即可得到的值．本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据a5•a11=a3•a13=3，结合a3+a13=4构造方程组，求出a3与a13的值，是解答本题的关键．6.下列说法正确的是（）A.命题“若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递减，则a＜0”的逆否命题是“若a≥0，则幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递增”B.已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p、q中必有一个是真命题、一个是假命题C.若x，y∈R，则“x=y”是“”的充要条件D.若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0【答案】C【解析】解：对于A：命题“若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内单调递减，则a＜0”的逆否命题是：“若a≥0，则幂函数f（x）=x a在（0，+∞）内不单调递减，故A错误；对于B：已知命题p和q，若p∧q为假命题，则命题p、q可能都是假命题，故B错误；对于C：若x，y∈R，则“x=y”能推出（x-y）2≤0即“”，是充分条件，由“”即（x-y）2≤0，能推出x=y，是必要条件，故C正确；对于D：若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故D错误，故选：C．分别对A、B、C、D各个选项进行判断，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断以及不等式问题，是一道综合题．7.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的条件有（）组．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：①∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b，故结论成立；③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立故选C．①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b∥c，从而a⊥b；③由b⊥β，α∥β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；④由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，由b∥β，可得过b与β相交的直线c∥b，从而可得结论．本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A.0，3B.0，4C.2，3 D.2，4【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8-6=2，i=2满足a＞b，a=6-2=4，i=3满足a＞b，a=4-2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.设向量=（4，3），向量在向量上的投影为，在x抽正方向上的投影为2，且||≤14，则为（）A.（2，14）B.（2，-）C.（-2，）D.（2，8）【答案】B【解析】解：设=（x，y），∵在上的投影为=||×cos＜，＞==，又∵在x轴的正方向的投影为2，∴x=2，代入上式得，化为7y2-96y-28=0，解得y=或14．∵≤14，∴y=，∴，．故选B．利用向量的数量积运算、投影、模的计算公式即可得出．本题考查了向量的数量积运算、投影、模的计算公式．10.如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.D.【答案】C【解析】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得-=1，又=c∴-4×=1，化简得c4-6a2c2+a4=0∴e4-6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选C．先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e 本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的应用，考查双曲线的离心率，解题的关键是得出a，c的方程．11.若f（x）=xsinx+cosx，则f（1），f（）以及f（）的大小关系是（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜【答案】D【解析】解：∵f（x）=xsinx+cosx，∴求导数，可得f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx∵当0＜x＜时，f'（x）=xcosx＞0，∴f（x）在区间[0，]上为增函数∵1＜＜，∴f（1）＜f（）＜f（）故选：D求导数得f'（x）=xcosx，从而0＜x＜时f'（x）＞0成立，得到f（x）在区间[0，]上为增函数，由此结合题意即可得到答案．本题给出含有三角函数的函数，求几何函数值的大小关系，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．12.若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，，＞，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，∴a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称∴a+b=4∴函数f（x）=，，＞当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，∴x=-2或x=-1，满足题意当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3故选C．先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______ ．【答案】[kπ-，kπ+]，k∈Z【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（-）=sin（-+φ）=-1，故+φ=2kπ+，且-+φ=2kπ-，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故答案为：[kπ-，kπ+]，k∈Z．由条件可得+φ=2kπ+，且-+φ=2kπ-，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的值域、单调性，属于中档题．14.一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】【解析】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为1，1，2，∴体积为=，∴该几何体的体积是23-=．故答案为：．由三视图可得，正方体，被一个平面截去一个三棱锥，三条侧棱互相垂直，长度分别为1，1，2，计算体积即可得出结论．本题考查了由几何体的三视图求相关问题；关键是正确还原几何体．15.如果实数x，y满足条件，则的取值范围是______ ．【答案】[4，7]【解析】解：作出不等式组；对应的区域，包括边界，如图=3+2×；因为表示过两点（1，1）与（x，y）的直线的斜率，当直线过区域中的点（-2，-1）时，直线斜率是，当直线过区域中的点（0，-1）时，直线的斜率是2，当直线过区域中的点（-1，0）时，直线斜率是，由图形知∈[，2]故=3+2×∈[4，7]故答案为[4，7]作出不等式组对应的区域，化简=3+2×由的几何意义求它的取值范围，然后再代入=3+2×求的取值范围．本题考查线性规划基础知识，在求目标函数的取值范围时，本题考虑到了几何意义，从而实现了把求取值范围的问题变成了求过两点的直线斜率的问题，使得问题得解．16.设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n-2n+1（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为______ ．【答案】a n=（n+1）•2n【解析】解：∵S n=2a n-2n+1（n∈N+），∴n=1时，a1=2a1-4，解得a1=4；n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2n+1-，化为：a n-2a n=2n，∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n-1）=n+1，∴a n=（n+1）•2n．故答案为：a n=（n+1）•2n．由S n=2a n-2n+1（n∈N+），利用递推关系可得：a n-2a n=2n，变形为=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A的对边长等于2，向量=，，向量=，．（1）求•取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）•=2-．因为A+B+C=π，所以B+C=π-A，于是•=+cos A=-2=-2．因为，，所以当且仅当=，即A=时，•取得最大值．故•取得最大值时的角A=；（2）设角、B、C所对的边长分别为a、b、c由余弦定理，得b2+c2-a2=2bccos A即bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号．又S△ABC=bcsin A=bc≤．当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为．【解析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出•，然后根据三角形的内角和定理，利用二倍角的余弦函数公式化简后进行配方得到•=-2，由为锐角，利用二次函数求最值得到•取最小值时sin=，根据特殊角的三角函数值求出A即可；（2）由a=2，根据第一问求得cos A的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根据S△ABC=bcsin A=bc，把bc的最大值代入到面积公式里得到面积的最大值．考查学生会进行平面向量的数量积的运算，灵活运用二次函数求值的方法及灵活运用余弦定理化简求值．会利用基本不等式求最值．18.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c 的值．（结论不要求证明）（注：s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【答案】解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为1000×=750人；（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，记体育成绩在[60，70）的学生为A1，A2，体育成绩在[80，90）的学生为B1，B2，B3，则从这两组学生中随机抽取2人，所有可能的结果如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10种，而事件M所包含的结果有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）共7种，因此事件M发生的概率为P（M）=；（Ⅲ）a，b，c的值分别是为70，80，100．【解析】（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，记体育成绩在[60，70）的学生为A1，A2，体育成绩在[80，90）的学生为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．（Ⅲ）由题意，能写出数据a，b，c的方差s2最大时，a，b，c的值．本题考查折线图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意注意对立事件概率计算公式的合理运用．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直？并说明理由．【答案】（本题满分为14分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，…（2分）∵CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又∵BC∩CC1=C，∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，…（3分）又∵B1C⊂平面BCC1B1，∴B1C∥平面ADD1A1．…（4分）（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC，…（5分）又∵AC⊥BD，BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，…（7分）又∵B1D⊂底面BB1D，∴AC⊥B1D；…（9分）（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直，…（10分）证明：假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，…（11分）由棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，可得：A1B1⊥AA1，A1B1⊥A1D1，又∵AA1∩A1D1=A1，∴A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，…（12分）又∵A1B1∩B1D=B1，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥A1D，…（13分）这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故直线B1D与平面ACD1不垂直．…（14分）【解析】（Ⅰ）先证明BC∥平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又BC∩CC1=C，即可证明平面BCC1B1∥平面ADD1A1，从而可证B1C∥平面ADD1A1．（Ⅱ）先证明BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB1D，从而可证AC⊥B1D；（Ⅲ）用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，再证明A1B1⊥AD1，即可证明AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥A1D，这与四边形AA1D1D 为矩形，且AD=2AA1矛盾，故得证．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4．（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若|DP|=|PE|，求直线DE的方程；（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大值，求直线MN的方程．【答案】解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0）∵椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4∴∴a=2，b=1∴c==∴椭圆的方程为，焦点F1（-，0），F2（，0）；（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直设D（x1，y1），E（x2，y2），代入椭圆方程可得，两方程相减可得=0∴斜率k=-1，∴直线DE的方程为4x+4y-5=0；（3）当直线MN与x轴垂直时，方程为x=1，S△OMN=；当直线MN不与x轴垂直时，设方程为y=k（x-1），M（x3，y3），N（x4，y4），直线代入椭圆方程，消去x可得（4k2+1）y2+2ky-3k2=0∴y3+y4=-，y3y4=∴S△OMN=|y3-y4|=2设=t（t＞3），g（t）=t++2∴g′（t）=1-＞0，∴g（t）＞，∴S△OMN＜综上，直线MN的方程为x=1．【解析】（1）设椭圆的方程，利用椭圆上的点A（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和等于4，建立方程组，即可求出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）由题意P为线段DE的中点，且直线不与x轴垂直，利用点差法，即可求直线DE 的方程；（3）分类讨论，确定△OMN面积，利用△OMN面积取得最大值，即可求直线MN的方程．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．21.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R）（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在x=1处有极值10，∴解得或，当a=4，b=-11时，f′（x）=3x2+8x-11，其中△＞0，所以函数有极值点，当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点，∴b的值为-11；（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，则F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数，所以得F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，即b≥（-3x2+8x）max，又-3x2+8x=-3（x-）2+≤，当x=时（-3x2+8x）max=，得b≥；解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max．令F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，①当a≥0时，F（x）max=0，∴b≥0；②当-4≤a＜0时，F（x）max=，∴b≥．又∵（）MAX=，∴b≥．【解析】（1）先对函数求导f'（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求；（2）解法一：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，构造关于a的函数F（a）=2xa+3x2+b≥0对任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，结合函数单调性可得F（a）min=F（-4）从而有b≥（-3x2+8x）max，解法二：f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x2-2ax 对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x2-2ax）max．构造函数F（x）=-3x2-2ax=-3（x+）2+，结合二次函数的性质进行求解函数F（x）的最大值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．22.如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【答案】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6-x∴4×∴x=即要求的AE的长是【解析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查用方程思想解决几何中要求的线段的长，本题是一个应用知识点比较多的题目．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线（θ为参数）和定点A（0，），F1，F2是左右焦点．（Ⅰ）求经过点F1垂直于直线AF2的直线L的参数方程．（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．【答案】解：（1）圆锥曲线，化为普通方程得+=1，所以焦点为F1（-1，0），F2（1，0），∴直线AF2的斜率k==-因此，经过点F1垂直于直线AF2的直线L的斜率k1=-=，直线L的倾斜角为30°所以直线L的参数方程是°°，即（t为参数）．（6分）（2）直线AF2的斜率k=-，倾斜角是120°，设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，则°°，即ρsin（120°-θ）=sin60°，化简得ρcosθ+ρsinθ=所以直线AF2的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-=0．（10分）【解析】（1）利用三角函数中的平方关系消去参数θ，将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到直线L的参数方程．（2）设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，利用正弦定理列出关于ρ、θ的关系式，化简即得直线AF2的极坐标方程．本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a-1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a-1＞0即为|x-2|+a-1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（-∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（-∞，a+1）∪（3-a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x-2|＞-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（-∞，5）．【解析】（1）不等式转化为|x-2|+|a-1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x-2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x-2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。

2016年二模文科数学答案13、4 14、6 15、①② 16、117. （I ）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q由题意可得,2,91-==d a …………（2分） n a n 211-=…………（3分）,211==q b …………（5分） nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=21…………（6分）（II ）|211|||n a n -=，…………（7分）当2105n n T n n -=≤时，，…………（9分） 当501062+-=≥n n T n n 时，，…………（11分）所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=6,50105,1022n n n n n n T n …………（12分）18. （I …………（3分）； …………（6分） （II ）喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 、B 、C 、D 懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法，…………（8分）其中两人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD ，共6种. …………（10分） 2人都能胜任医疗救护工作”为事件A ，…………（12分） 19. （Ⅰ）连接ED ，MN ∥ED …………（2分）又EFDA MN 平面⊄，EFDA ED 平面⊂ 所以MN ∥EFDA 平面…………（5分） （Ⅱ）由题意EFDA 平面⊥EFCB 平面⋂EFDA 平面EF EFCB =平面，CF ⊥EF ，⊂CF EFCB 平面 所以CF ⊥EFDA 平面…………（8分） 又EFDA c EFDA M V V --=21…………（9分） 4=EFDA S …………（10分）所以2=-EFDA M V …………（12分）20. （Ⅰ） 解：设),(),,(n m A y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2022n y m x …………（1分）所以⎩⎨⎧-=-=y n xm 4…………（2分）又4)4(2--=m n …………（3分）所以所求方程为y x 42= …………（4分）（Ⅱ）假设存在点),(00y x P设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ，直线AB 的方程为1+=kx y联立⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 ，得0442=--kx x ，…………（5分） 则⎩⎨⎧-==+442121x x kx x …………（6分）切线PA 的方程为)(241121x x x x y -=-点),(00y x P 代入化简得04200121=+-y x x x 同理得04200222=+-y x x x …………（7分）所以知21,x x 是方程042002=+-y x x x的两根…………（9分）则44021-==y x x …………（10分）所以10-=y ，代入圆方程得00=x …………（11分） 所以存在点)1,0(-P …………（12分）21. 解：（I ）因为函数()x f 的定义域为()∞+，0. …………（2分）()x xx x f -=-='111，. …………（3分） 令 ()0111>-=-='x xx x f ，得10<<x令 ()0111<-=-='x xx x f ，得1>x . …………（4分）所以函数()x f 的单调递增区间为()10，， 函数()x f 的单调递减区间为()∞+，1. …………（5分） （II ）证明：根据题意，()1ln (0)2g x x m x x=+->， 因为1x ，2x 是函数()1ln 2g x x m x=+-的两个零点， 所以111ln 02x m x +-=，221ln 02x m x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-, …………7分 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122lnx x x x x x -=.那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数1()2ln (01)h t t t t t=--<<， ……………10分则22(1)'()t h t t -=.因为01t <<，所以'()0h t >恒成立，故()(1)h t h <，即12ln 0t t t--<.可知112ln t t t->，故121x x +>. ……………12分 22. （Ⅰ）由题意可知BDC CBD ∠=∠…………（1分）所以DAC CAB ∠=∠…………（2分）由角分线定理可知，AB BM AD MD =，即AB MD AD BM⋅=⋅得证. …………（4分）（Ⅱ）由题意BM CP MD CB =，即AB CP AD CB =，. …………（4分）由四点共圆有BAD BCP ∠=∠. …………（5分）所以BCP ∆∽BAD ∆.. …………（6分） 所以ADB CBP ∠=∠. …………（7分）又BAC CBP ∠=∠，ADB ACB ∠=∠. …………（8分） 所以ACB BAC ∠=∠. …………（9分） 所以AC AB =. …………（10分）23. 解：(I)曲线C 的直角坐标方程为141222=+y x …………（1分）左焦点)0,22(-F 代入直线AB 的参数方程 得22-=m …………（2分）直线AB 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 222222（为参数t ） 代入椭圆方程得0222=--t t …………（3分） 所以||||FB FA ⋅=2…………（4分）(Ⅱ) 设椭圆C 的内接矩形的顶点为)sin 2,cos 32(θθ，)sin 2,cos 32(θθ-，)sin 2,cos 32(θθ-，)20)(sin 2,cos 32(πθθθ<<--…………（6分） 所以椭圆C 的内接矩形的周长为θθsin 8cos 38+=)3sin(16πθ+…………（8分）当23ππθ=+时，即6πθ=时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16…………（10分）24. 解析：(I)错误！未找到引用源。

2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮沈阳市第二十七中学 李 刚 沈阳市第五十六中学 高文珍 沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学 李曙光沈阳主审：沈阳市教育研究院 周善富本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效． 3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知则A B =I ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=9331x xB ，集合{}31<<-=x x A （ ） A. ()1,2 B. ()1,2- C. ()1,3 D. ()1,3- 2. 设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ） A. i 34+- B. i 34- C. i 43-- D. i 43-A ．4B ．4C ．-4D ．4-5. 已知}6,5,4,3,2,1{,∈y x ，且7=+y x ，则2xy ≥的概率（ ）A. 31 B ．32 C ．21 D. 656. 已知2tan =α，α为第一象限角，则ααcos 2sin +的值为（ ）A.B.C.7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为（）AB C D 8. 将函数)2sin()(ϕ+=x x f )2|(|πϕ<的图象向右平移12π 个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ） A.23 B.21 C. 21- D.23-9. 见右侧程序框图，若输入110011a =，则输出结果是（ A. 51 B. 49 C. 47 D. 4510. 已知点F 是双曲线C ： (0,0)a b >>的右焦点，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M 且MF 与双曲线的实轴垂直则，双曲线C 离心率是（ ） A. B. C. D. 2 11. 在ABC ∆中，D 是BC 中点，已知90BAD C ∠+∠=︒，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形12.当0>x 时，总有，偶函数)(x f 定义在(1,0)(0,1)-U 上，且0)21(=f恒成立，则不等式 的解集为（ ）A. {11<<-x x 且}0≠x B. {211|-<<-x x 或}121<<x C. 2121|<<⎩⎨⎧-x x 且⎭⎬⎫≠0x D. 211|-<<-⎩⎨⎧x x 或⎭⎬⎫<<210x55524+554+222221x y a b -=)(2)1ln()()1(2x f x x f x x>-⋅'-0)(<x f B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数y x ,满足120x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 . 14. 在椭圆221369x y +=上有两个动点M ，N ，若()2,0K 为定点，且0=⋅KN KM ，则NM KM ⋅的最小值为 .15. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 .16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件： （ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）. 则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满足()11511,432n n a a a n -==-≥.（I ）求证：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm ）：男生成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”．女生成绩在165cm 以上（包括165cm ）定义为“合格”，成绩在165cm 以下（不包括165cm ）定义为“不合格”．（I ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率； （III ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X 表示其中男生的人数，写出X 的分布列，并求X 的数学期望．19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，,E F 分别为AB 和CD 的中点，且2AB EF ==，6CD =，M 为BC 中点，现将梯形BEFC 沿EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA ，如图（2）所示，N 是线段CD 上一动点，且CN ND λ=.（Ⅰ）当12λ=时，求证：MN P 平面ADFE ； （Ⅱ）当1=λ时，求二面角M NA F --的余弦值.(1)(2)MFDE CABN20.（本小题满分12分）动点P 在抛物线22x y =上，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设12PM PQ =u u u u r u u u r.（I ）求点M 的轨迹E 的方程；（II ）设点()4,4S -，过)5,4(N 的直线l 交轨迹E 于,A B 两点，设直线,SA SB 的斜率分别为12,k k ，求12k k -的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数)cos ()(1x a e x f x+-=-，a ∈R .（I ）若函数)(x f 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；（II ）若0a =，证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀21,1x ，总有0)1cos()(2)1(>+⋅'+--x x f x f .请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为O e 的内接四边形且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作O e 的切线交DC 的延长线于点P .（Ⅰ）求证：AB MD AD BM ⋅=⋅；（Ⅱ）若CP MD CB BM ⋅=⋅，求证：AB BC =.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(2x m t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（I ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值； （Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为p ，求p 的最大值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0x ∃∈R 使得关于x 的不等式12x x t ---≥错误!未找到引用源。

2016届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模数学（文）试题一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | 1＜x ≤3}，B ＝{x | x ＞2}，则A ∩C U B 等于（ ） A.{x | 1≤x ≤2} B.{ x | 1≤x ＜2} C.{x | 1＜x ≤2} D.{x | 1≤x ≤3} 【答案】C【解析】试题分析：因为(],3U C B =-∞,所以A B A ⋂=，故选C ． 【考点】集合——交集、补集． 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1 B.若α=4π，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠4πD.若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】试题分析：逆否命题是交换条件和结论，并且对条件和结论都否定，故选C ． 【考点】命题——逆否命题．3．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是下图中的（ ）【答案】A【解析】试题分析：由()f x 图象可知1,01b a <-<<，所以xa 为减函数，再向下移动1b >个单位，故选A ．【考点】1、二次函数图象与性质；2、指数函数图象平移．【易错点晴】对于()f x 来说，,a b 是其零点，结合图象可以得到它们的范围，阅读题意的时候要注意已知条件a b >——小括号里面的数往往是很重要的条件；对于()g x 来说，我们把它分成两个部分，第一部分是x a 为指数函数，图象单调递减且经过()0,1，再向下移动超过1个单位即可得出结论.4．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m AB =， AN n AC =，则=+n m （ ）A ．1B ．2C ．21D ．3 【答案】B【解析】试题分析：因为O 是BC 的中点，所以2A B A C A O +=，即2m A M n A N A O +=，即()()()2m A OO+++,所以2m n +=.【考点】平面向量基本定理．5．若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使得函数()1f x - 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C【解析】试题分析：()()2'()4313f x x x x x =-+=--，所以()f x 在区间[]1,3上单调递减，()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递减.用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，范围比[]2,4小的选项为C ．【考点】1、函数导数；2、图象平移；3、充要条件． 6．在ABC∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ,,.a b c ,,.a b c sin cos sin cos a B C c B A +1,2b =,a b B >∠=且则（ ）A.56πB.3π C ．23π D.6π【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，因为sin 0B >，所以1sin cos sin cos 2A C C A +=，即1s i n ()s i n 2A C B +==，又因为a b >，所以6B π=． 【考点】1、解三角形----正弦定理；2、两角和的正弦公式．7．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 东北育才学校 沈阳铁路实验中学沈阳主审：沈阳市教育研究院本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A 1x =B. 1y =-C. 2x =-D. =2y -3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-.5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.15647. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1的D. 函数()exf x y =最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z =B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减 B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤ C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠ D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．13. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向的量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．的（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n∈．①求n P 最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．的参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A. 1x = B. 1y =- C. 2x =-D. =2y -【答案】B 【解析】【分析】把点()2,1代入抛物线方程，再求得准线方程. 【详解】把点()2,1代入抛物线方程2y ax =，得14a =，解得14a =， 所以抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =-. 故选：B.3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】计算()()a kb a kb +⊥-时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当()()a kb a kb +⊥- 时，()()0a kb a kb +⋅-= ，即2220ak b -=，故()()2222224310k⎡⎤+-+-=⎣⎦，解得k =故“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的充分不必要条件.故选：A4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-【答案】C 【解析】【分析】根据1sin cos 5a a +=结合()0,πa ∈可得sin ,cos a a 与tan a ，进而可得tan2a . 【详解】1sin cos 5a a +=则()21sin cos 12sin cos 25a a a a +=+=，即12sin cos 25a a =-，又因为()0,πa ∈，故sin 0a >，cos 0a <，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()249sin cos 12sin cos 25a a a a -=-=，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5a a -=，结合1sin cos 5a a +=可得4sin 5a =，3cos 5a =-，则4tan 3a =-.故2282tan 243tan21tan 7413a a a -===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：C5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率的公式，分析()(),P A P AB 求解即可.【详解】662163()264P A -==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则3456666C +C +C 41()264P AB ==，则()41()()63P AB P B A P A ==∣ 故选：C7. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，的直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上 B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上【答案】B 【解析】【分析】根据线面角的定义可得直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 所成角大小关系，再根据1324,θθθθ=>判断即可.【详解】直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角大小分别为1234,,,θθθθ， 等价于直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 成角大小分别为1234ππππ,,,2222θθθθ----， 由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则241ππ,22PB θθ-<-与1BB 所成角更小， 则点P 在线段OB 上.故选：B.8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()exf x y =单调递减， 所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z = B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =【答案】ABD的【解析】【分析】求解可得121122z z =-=--，再逐个选项判断即可.【详解】对A ，由实系数一元二次方程求根公式知121122z z =-=--，则22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭（与12,z z 顺序无关），故A 正确； 对B ，因为33121z z ==，所以33120z z -=，故B 正确； 对C ，由A ，2212210z z z z -=-≠，故C 错误；对D ，由韦达定理可得121z z =，故D 正确． 故选：ABD10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】过S 作直线l AD ∥，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，求得cos ESF ∠可判断A ；取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，可得，P GH ∈，可判断B ；由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大，可得1cos 2SEO ∠>，判断C ；作OI 垂直于MN ，连接SI ，则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，求得二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，判断D . 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A ：过S 作直线l AD ∥，因为BC AD ∥，所以l BC ∥， 所以l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，由正四棱锥S ABCD -， 可得,SE AD SF BC ⊥⊥，所以,l AD l BC ⊥⊥， 所以ESF ∠为二面角A l B --的平面角，连接EF ，在EFS中，2211cos 03ESF +-∠==≠ 所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错误；对于B ：取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，因为,OG SD OH SA ，又,OG OH ⊄平面 SAD ，,SD SA ⊂平面SAD ， 所以//OG 平面SAD ，//OH 平面SAD ，又OG OH O = ，所以平面//OGH 平面SAD ，所以当P GH ∈时，//OP 平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确； 对于C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成角最大，1cos 2SEO ∠==>，所以π3SEO ∠<，所以不布存Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为3π，故C错误；对于D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，因为SO ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以SO MN ⊥，又SO OI O = ，所以MN ⊥平面SIO ，因为SI ⊂平面SIO ，所以MN ⊥SI ， 因为则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，的当MN 都无限向点B 靠拢时，π4SIO ∠→；当,M A N C →→时，π2SHO ∠→， 所以二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：BD.11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+， 所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确； 对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-. 若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误； 对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠； 而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+- 因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠， 所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>. 而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离. 若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+. 综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确． 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<， 313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________．【答案】5或5- 【解析】【分析】设出动点P 的坐标，由2PB PA =求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340l x y m ++=的距离等于1即可.【详解】设点(,)P x y ，由||2||PB PA == 两边平方整理得：224x y +=，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线:340l x y m ++=的距离为1， 则圆心到直线的距离||15m d ==，解得5m =±． 故答案为：5或5-.14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可. 方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ． ∵1112D A AD AA =--∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=++-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．【小问2详解】设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．【答案】（1）22163x y += （2） 【解析】【分析】（1）设(,),B x y POP θ''∠=，根据条件得到cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消元即可求出结果； （2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k --+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而有OG与y轴负平轴所形成的夹角为π4α=，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+，直接求出,M N ，再根据条件求出12MN k =-，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为22(2)(1)163x y --+=，及直线MN 的方程为1mx ny +=，联立直线与椭圆，再结合条件得到2n m =，从而有12MN k =-，后面同法一；法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222124220kxkmx m +++-=，进而得到()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--，通过令2x =，得到()()()()222124128221222k km m k x x +++-=+--，令1mx k-=，得到()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而有 24210k km m ++-=，下面同方法一.【小问1详解】设(,),B x y POP θ''∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消去θ得22163x y +=，所以B '点轨迹Ω的方程为22163x y +=. 【小问2详解】方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222124260k x kmx m +++-=， ()()22222Δ(4)41226488240km k mk m =-+-=-+>，即2263m k <+由韦达定理知2121222426,1212km m x x x x k k --+==++， ()()221212121212121212(1)(1)111112222242AM ANk x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-⋅=⋅=⋅==-----++， 所以222222222(226)4(1)128(1)1226122114m k m k m k k m km k k m ++---++--++=++，整理得24210k km m ++-=， 即()241(21)(21)(21)0k m k k k m -++=+-+=， 当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =-+ 当210k m -+=时，直线MN 的方程为(2)1y k x =-+，恒过(2,1)A 点，不合题意 设(),G G G x y ，将()()1122,,,M x y N x y ，将M 、N 两点代入到椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y --+=， 即()()()()()()121212*********2032602y yy y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-+-+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以12MN OG k k ⋅=-，故1OG k =，设OG与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以π4α=， 设OA与x 正半轴所形成的夹角为β，因为(2,1)A，所以sin ββ==πcos cos sin()(sin cos cos sin )2AOG αβαβαβαβ⎛⎫∠=++=-+=-+= ⎪⎝⎭方法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+22(2)1163y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +--+--=从而21288412A k k x x k --⋅=+，故21244212k k x k --=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k --=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 又12AM ANk k ⋅=，将式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 212112MN y y k x x -==--，下面同方法一方法三：以(2,1)A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程22(2)(1)163x y --+=，在新坐标系下设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1mx ny += 将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得224()24()0x x mx ny y y mx ny +++++=， 整理得22(42)(44)(14)0n y n m xy m x +++++=即：2(42)(44)(14)0y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为121,2MN mx my k +==-，下面同方法一 方法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++-= 因为12,x x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--①又1212111222AM AN y y k k x x --⋅=⋅=--整理得：()()()()121222211x x y y -----()()21212112220m m x x k x x k k --⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++-=+--②令1m x k -=得：()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()22k +⨯-②③可得：整理得24210k km m ++-=，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线MN 的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k--+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而将问题转化成πcos cos 2AOG αβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭解决，其中α为OG与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA与x 正半轴所形成的夹角.19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭常数列，是58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）， 当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2016届高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）2016年高三第二次联合模拟考试文科数学答案二. 填空题:13. []1,1-5042017三．解答题17. 解：（Ⅰ）()21cos2cos cos444222xx x x xf x+=+=+……2分1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭……4分当2,262xk k Zπππ+=+∈，即24,3x k k Zππ=+∈时，()f x的最大值为32……6分（Ⅱ）Q()1sin262Bf Bπ⎛⎫=++=⎪⎝⎭sin26Bπ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭20,6263BB<<∴<+<Qππππ，263Bππ∴+=，3Bπ∴=……8分在ABC∆中，由余弦定理得，22212cos4922372b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=，b∴=……10分在ABC∆中，由正弦定理得，sin sina bA B=，2sin A∴==……12分18.解：（Ⅰ）由题意得2560(8020040240)5.657120440320240k⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯5.024>，……2分所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所在训练队有关系．……3分（Ⅱ）集训队6名队员中有甲队4人，乙队2人 (4)分记甲的队员为(1,2,3,4)ix i=，乙的队员为(1,2)iy i=，选取的搭配共有15种列举如下：()()()()()()()()()()()()()()()111221223132414212131423243412,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.x y x y x y x y x y x y x y x yx x x x x x x x x x x x y y，……8分记事件A为“选取的2名队员来自不同训练队”，事件A所包含的搭配情况共有8种列举如下：()()()()()()()() 1112212231324142,,,,,,,,,,,,,,.x y x y x y x y x y x y x y x y，……10分所以P(A)=815……12分19. （Ⅰ）证明：连接DG11,AD DC AG GC==11////DG AA BB∴且11DG AA BB==1//B G BD∴又1B G⊄平面EBD，BD⊂平面EBD∴1//B G平面EBD……2分又//GF ED，GF⊄平面EBD，ED⊂平面EBD∴//GF平面EBD……4分又1B G GF G=，1,B G GF ⊂平面1B F G……5分 ∴平面1//B FG 平面EBD ……6分（Ⅱ）解：过D 作DH AB ⊥交AB 于H平面11A ABB ⊥平面ABC ，平面11A ABB 平面ABC AB = ∴DH ⊥平面11A ABB ……8分在Rt ABD∆中，1,3,2D ADBD A D BAAB ⋅===∴== ……10分 又1111112233223B BDE D BB E B EB V V S DH --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅=……12分 20.解：（Ⅰ）设(,)A x x 21112，(,)B x x 22212，y x '= ……1分以A 为切点的切线方程为()y x x x x -=-211112，整理得：y x x x =-21112同理，以B 为切点的切线方程为y x x x =-22212,(0,1)P -代入2212122 (0)x x x x ==<得……4分12AB x x =-=……６分（Ⅱ）设(,)P x y ，由（Ⅰ）得y x x x y x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2112221212∴(,)x x x x P +121222……8分 由已知直线AB 的斜率必存在，设直线AB 的方程为y kx b =+y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩212∴x kx b --=2220 x x k+=122，x x b =-122(,)P k b ∴- ……10分P 在直线y x =-1上，b k =-1∴直线AB 的方程为()y kx k =+-1，(1)10k x y --+= ∴直线AB 过定点(11 ……12分21. 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln 3(0)f x x x x x =+->1(1)(21)()23x x f x x x x--'=+-=……1分当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x1(0,)212 1(,1)21(1,)+∞()f x '+-0 +()f x极大值极小值∴当12x =时，()f x 取极大值5ln24--，当1x =时，()f x 取极小值2-.……5分（Ⅱ）21231()23(0)ax ax f x ax a x x x-+'=+-=> ①当0a =时，1()0f x x'=>，∴()f x 在(0,)+∞递增； ……6分②当0a ≠时，设方程22310ax ax -+=（*），(ⅰ)当0∆≤，即809a <≤时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞递增； ……7分(ⅱ)当0∆>，即0a <或89a >时，方程（*）有两根12x x =若0a <，则210x x <<，当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增； 当1(,)x x ∈+∞时，()f x '<，()f x 递减 ……9分若89a >，则120x x <<， 当12(0,),(,)x x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增； 当12(,)x x x ∈时，()f x '<，()f x 递减 ……11分综上，当809a ≤≤时，()f x 增区间(0,)+∞；F当0a <时，()f x 增区间1(0,)x ，减区间1(,)x +∞；当89a >时，()f x 增区间12(0,),(,)x x +∞，减区间12(,)x x . （其中12x x = ……12分 22.解: （Ⅰ）,MB MC Q 分别为半圆的切线.MC MB ∴=连结BC ,由已知得.BC CD ⊥MCB MBC ∠=∠Q 且MCB DCM CBD CDM ∠+∠=∠+∠,,DCM CDM DM CM ∴∠=∠∴=又CM MB DM DB M=∴=∴为BD的中点.L L5分（Ⅱ）FC Q 是半圆的切线，由弦切角定理有FBC FCA ∠=∠，且CFB AFC ∠=∠，∴FCB ∆∽FAC ∆，,FC BC AF AC ∴=∴由切割线定理知 2FC FA FB =⋅ ， 22222(4)5165AC FB AC FA AF BC AB AC ⋅⋅+∴===--3AF ∴=L L 10分23.解: （Ⅰ） 直线l 的普通方程为(sin )(cos )sin 0.x y ααα--=圆C 的普通方程为2240.x y x ++=(2,0)C -QC ∴到l 的距离313sin sin 22d αα===∴=L L 4分0,cos απα≤<∴=Q566ππα∴=或L L 5分（Ⅱ）1co s i n x t y t αα=+⎧⎨=⎩Q 代入2240x y x ++=得22(1cos )(sin )4(1cos )0t t t ααα∴++++=26cos 50.t t α∴++=设,A B 对应参数为12,t t 则12126cos 5t t t t α+=-⎧⎨=⎩ 120t t >Q ∴12,t t 同号L L 8分121212*********t t t t PA PB t t t t t t ++∴+=+===L L 10分24.解：（Ⅰ）,,,a b c R +∈Q 且1a b c ++=由柯西不等式有2111()(111)9a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭min1119a b c ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 当且仅当13a b c ===取到“=”L L 5分（Ⅱ）证明：))()(1)()(1)()(1(2)111111(2c b c a c b b a c a b a c b a +++++++++++=+++++))((1))((1))((1c b c a c b b a c a b a ++++++++≤)11(21)11(21)11(21cb c a c b b a c a b a +++++++++++≤cb ac a c b b a -+-+-=+++++=111111111 ……10分。

2016年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B 为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5} 2．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2016•辽宁校级二模）一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣36．（5分）（2016•辽宁校级二模）函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f （x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3π C．4+πD．4++10．（5分）（2016•辽宁校级二模）若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C． D．11．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x ﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．（5分）（2016•辽宁校级二模）设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）（2016•辽宁校级二模）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）（2016•辽宁校级二模）已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．（5分）（2016•辽宁校级二模）设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．16．（5分）（2016•辽宁校级二模）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1=S n，则数列{}的前2016项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．（12分）（2016•辽宁校级二模）在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）（2016•辽宁校级二模）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．（12分）（2016•辽宁校级二模）已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•辽宁校级二模）如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB=4，AC=，求AF的长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•辽宁校级二模）直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．（2016•辽宁校级二模）已知a，b，c为正数，且a+b+c=1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证：++≥++．2016年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。