2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

绝密★启用前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =-（ ）(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC=（ ）(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是（ ）(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （ ） （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0Tx x =>，则S T = （ ）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =- （ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()2222BA BC ==，，，，则ABC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A. 6425B.4825 C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )A. 10310B. 1010C. 1010-D. 31010-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A. 18365+B. 54185+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A. 4πB.92π C. 6πD. 323π11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13 B.12 C. 23D. 3412. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，123,,......k a a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有( )A. 18个B. 16个--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________C. 14个D. 12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为______.14. 函数sin y x x =-的图象可由函数sin y x x =+的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1，3)-处的切线方程式是______. 16. 已知直线30l mx y m ++：与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D两点，若||AB =||CD =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化 处理量.附注:参考数据:719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=2.646≈.参考公式:相关系数()()nii tt y y r --=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑，a y bt =-．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（Ⅱ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A . （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明：()2f x A '≤.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点． （Ⅰ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小;（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG CD ⊥.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集;（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a的取值范围．][)3,+∞，(][)0,23,S T=+∞．【考点】解一元二次不等式，交集，故1zz-=4ii1zz∴=-．3211BA BC BA BC =⨯30．点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60ABx∠，30CBx∠，30．【考点】向量夹角的坐标运算从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、20C左右，数学试卷第10页（共27页）数学试卷第11页（共27页）a c a c a a --=+【解析】sin y x =者向右平移2π3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移【答案】2x y ++【解析一】()f x '=，2AB =数学试卷第16页（共27页）数学试卷第17页（共27页） 30，CD ∴Ⅰ）1n S λ=+1n a -，0λ≠，a ，当1n =时，1S 11n λλλ-⎛⎫⎪-⎝⎭，则11S -=1-．（Ⅱ）11((ii ni tb ==-=∑∑ 1.33bt -=-0.92y a bt =+=+代入回归方程可得，y 处理量将约为1.82亿吨．【考点】相关性分析，线性回归（Ⅰ）由已知得平面PAB ；，又PA ⊥面52AN ⎛∴= ⎝，(0,2,PM =，PN N ⎛= ⎝的法向量(0,2,1)n =，4,552AN n <>=⨯AN 与平面PMN 所成角的正弦值为25【考点】线面平行证明，线面角的计算21.【答案】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---；（Ⅱ）当1a ≥时，|()||cos2(1)(cos 1)|2(1)32(0)f x a x a x a a a f =+-+≤+-=-=，因此，32A a =-，当数学试卷第22页（共27页）数学试卷第23页（共27页）180，2PFB PCD ∠=∠，所以3180PCD ∠=，因此60PCD ∠=；（Ⅱ）因为PCD BFD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在G 就是过。

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）1（使用地区：广西、云南、贵州）23一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的.5【2016新课标Ⅲ】设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T= 6（）7A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）8【答案】D9【解析】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），10∵T=（0，+∞），11∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），12【2016新课标Ⅲ】若z=1+2i ，则=（）13A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i14【答案】C15【解析】解：z=1+2i ，则===i．16【2016新课标Ⅲ】已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）17A．30°B．45°C．60°D．120°18【答案】A19【解析】解：，；201∴；21又0≤∠ABC≤180°；22∴∠ABC=30°．23【2016新课标Ⅲ】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各24月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温25约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）2627A．各月的平均最低气温都在0℃以上28B．七月的平均温差比一月的平均温差大29C．三月和十一月的平均最高气温基本相同30D．平均最高气温高于20℃的月份有5个31【答案】D32【解析】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确33B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平34均温差比一月的平均温差大，正确35C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确36D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，37【2016新课标Ⅲ】若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）38A ．B ．C．1 D ．39【答案】A40【解析】解：∵tanα=，41∴cos2α+2sin2α====．422【2016新课标Ⅲ】已知a=2，b=3，c=25，则（）43A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b44【答案】 A45【解析】解：∵a=2=，46b=3，47c=25=，48综上可得：b＜a＜c，49【2016新课标Ⅲ】执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= 50（）5152A．3 B．4 C．5 D．653【答案】 B54【解析】解：模拟执行程序，可得55a=4，b=6，n=0，s=056执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=157不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=258不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=359不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4603满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．61【2016新课标Ⅲ】在△ABC中，B=，BC 边上的高等于BC，则cosA=（）62A ．B ．C ．﹣D ．﹣63【答案】 C64【解析】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，65令∠DAC=θ，6667∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，68∴BD=AD=a，CD=a，69在Rt△ADC 中，cosθ===，故sinθ=，70∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．71【2016新课标Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多72面体的三视图，则该多面体的表面积为（）7374A．18+36B．54+18C．90 D．81754【答案】 B76【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱77柱，78其底面面积为：3×6=18，79前后侧面的面积为：3×6×2=36，80左右侧面的面积为：3××2=18，81故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．82【2016新课标Ⅲ】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若83AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）84A．4π B ．C．6π D ．85【答案】 B86【解析】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，87∴AC=10．88故三角形ABC的内切圆半径r==2，89又由AA1=3，90故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，91此时V 的最大值=，92【2016新课标Ⅲ】已知O为坐标原点，F是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左93焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直94线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的95离心率为（）96A ．B ．C ．D ．97【答案】A98【解析】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），99令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b =±，100可得P（﹣c ，），101设直线AE的方程为y=k（x+a），102令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），103设OE的中点为H，可得H（0，），104由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，1055即为=，106化简可得=，即为a=3c，107可得e==．108【2016新课标Ⅲ】定义“规范01数列”{an }如下：{an}共有2m项，其中m项109为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，110若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）111A．18个B．16个C．14个D．12个112【答案】 C113【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的114个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：1150，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，1160，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；1170，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1181，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；1190，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，1200，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．121122二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.123【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II）若x，y 满足约束条件，则124z=x+y的最大值为．125【答案】126【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最127大，128由得D（1，），129所以z=x+y的最大值为1+；1306131【2016新课标Ⅲ】函数y=sinx ﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图132象至少向右平移个单位长度得到．133【答案】134【解析】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinx﹣cosx=2in（x 135﹣），136∴f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ）（φ＞0），137令2in（x+﹣φ）=2in（x﹣），138则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），139即φ=﹣2kπ（k∈Z），140当k=0时，正数φmin =，141142【2016新课标Ⅲ】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，143则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．144【答案】 2x+y+1=0．145【解析】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），146当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有147x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，148可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，149则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），150即为2x+y+1=0．1517【2016新课标Ⅲ】已知直线l：mx+y+3m ﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，152过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= ．153【答案】4154【解析】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，155∴=3，156∴m=﹣157∴直线l的倾斜角为30°，158∵过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，159∴|CD|==4．160三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.161【2016新课标Ⅲ】已知数列{an }的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．162（1）证明{an }是等比数列，并求其通项公式；163（2）若S5=，求λ．164【解析】解：（1）∵Sn =1+λan，λ≠0．165∴an ≠0．166当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，167即（λ﹣1）an =λan ﹣1，168∵λ≠0，an ≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，169即=，（n≥2），170∴{an }是等比数列，公比q=，171当n=1时，S1=1+λa1=a1，172即a1=，173∴an =•（）n﹣1．174（2）若S5=，175则若S5=1+λ（•（）4=，176即（）5=﹣1=﹣，177则=﹣，得λ=﹣1．1788179【2016新课标Ⅲ】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：180亿吨）的折线图．181182注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．183（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以184证明；185（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾186无害化处理量．187附注：188参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．189参考公式：r=，190回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：191=，=﹣．192【解析】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如193下：1949∵r==≈195≈≈0.996，196∵0.996＞0.75，197故y与t之间存在较强的正相关关系；198（2）==≈≈0.10，199=﹣≈1.331﹣0.10×4≈0.93，200∴y关于t 的回归方程=0.103+0.93，2012016年对应的t值为9，202故=0.10×9+0.93=1.83，203预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．204【2016新课标Ⅲ】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，205AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．206（1）证明：MN∥平面PAB；207（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．208209【解析】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，210∵N为PC的中点，211∴NG∥BC，且NG=，212又AM=，BC=4，且AD∥BC，213∴AM∥BC，且AM=BC，21410则NG∥AM，且NG=AM，215∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，216∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，217∴MN∥平面PAB；218法二、219在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，220在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，221∵AD∥BC，222∴cos，则sin∠EAM=，223在△EAM中，224∵AM=，AE=，225由余弦定理得：EM==，226∴cos∠AEM=，227而在△ABC 中，cos∠BAC=，228∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，229∴AB∥EM，则E M∥平面PAB．230由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，231∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．232∵NE∩EM=E，233∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；234（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2352AC•AM•cos∠MAC=．236∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，237∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，238∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，239∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．240在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平241面PMN所成角．242在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，24311在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，244∴sin．245∴直线AN与平面PMN 所成角的正弦值为．246247【2016新课标Ⅲ】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线248l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．249（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；250（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．251【解析】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，252由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，253∴∠PFQ=90°，254∵R是PQ的中点，255∴RF=RP=RQ，256∴△PAR≌△FAR，257∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，258∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，259∴∠FQB=∠PAR，260∴∠PRA=∠PRF，261∴AR∥FQ．262（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），263F （，0），准线为 x=﹣，264S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，265设直线AB与x轴交点为N，266∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，267∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，268∴2|FN|=1，∴xN =1，即N（1，0）．26912设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），270又=，271∴=，即y2=x﹣1．272∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．273274【2016新课标Ⅲ】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记275f（x）的最大值为A．276（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．277【解析】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．278（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a 279﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．280当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a 281﹣1）cosx﹣1，282令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，283则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，284且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g （）=﹣﹣1=﹣285，286令﹣1＜＜1，得a ＜（舍）或a ＞．因此A=3a﹣2287g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，288即f（x）的最大值为3a+2．289综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．290∴A=3a+2．291①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2 292﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，293∴A=2﹣3a，29413②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞295g （），296又|g （）﹣g（﹣1）|=＞0，297∴A=|g（）|=，298综上，A=．299（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a 300﹣1|，301当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，302当＜a＜1时，A==++≥1，303∴|f′（x）|≤1+a≤2A，304当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，305综上：|f′（x）|≤2A．306307请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选308修4-1：几何证明选讲]309【2016新课标Ⅲ】如图，⊙O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 310两点．311（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；312（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．313314315【解析】（1）解：连接PA，PB，BC，316设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，317∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，31814由⊙O 中的中点为P，可得∠4=∠5，319在△EBC中，∠1=∠2+∠3，320又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，321即有∠2=∠4，则∠D=∠1，322则四点E，C，D，F共圆，323可得∠EFD+∠PCD=180°，324由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，325即有3∠PCD=180°，326可得∠PCD=60°；327（2）证明：由C，D，E，F共圆，328由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 329可得G为圆心，即有GC=GD，330则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，331则OG⊥CD．332333[选修4-4：坐标系与参数方程]334【2016新课标Ⅲ】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α335为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 336的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．337（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；338（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．339【解析】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），340移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，341即有椭圆C1：+y2=1；342曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，343即有ρ（sinθ+cosθ）=2，344由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，345即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；34615（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，347|PQ|取得最值．348设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，349联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，350由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，351解得t=±2，352显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，353即有|PQ|==，354此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，355即为P （，）．356357[选修4-5：不等式选讲]358【2016新课标Ⅲ】已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．359（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；360（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．361【解析】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，362∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，363|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，364∴﹣2≤x﹣1≤2，365解得﹣1≤x≤3，366∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．367（2）∵g（x）=|2x﹣1|，368∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，3692|x ﹣|+2|x ﹣|+a≥3，370|x ﹣|+|x ﹣|≥，371当a≥3时，成立，372当a＜3时，|a ﹣1|≥＞0，373∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，374解得2≤a＜3，375∴a的取值范围是[2，+∞）．3763773783792016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）38016（使用地区：广西、云南、贵州）381382一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只383有一项是符合题目要求的.3841．【2016新课标Ⅲ】设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T= 385（）386A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）3872．【2016新课标Ⅲ】若z=1+2i ，则=（）388A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3893．【2016新课标Ⅲ】已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）390A．30°B．45°C．60°D．120°3914．【2016新课标Ⅲ】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中392各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气393温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）394395A．各月的平均最低气温都在0℃以上396B．七月的平均温差比一月的平均温差大397C．三月和十一月的平均最高气温基本相同398D．平均最高气温高于20℃的月份有5个3995．【2016新课标Ⅲ】若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）400A ．B ．C．1 D ．4016．【2016新课标Ⅲ】已知a=2，b=3，c=25，则（）402A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b403177．【2016新课标Ⅲ】执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= 404（）405406A．3 B．4 C．5 D．64078．【2016新课标Ⅲ】在△ABC中，B=，BC 边上的高等于BC，则cosA=（）408A ．B ．C ．﹣D ．﹣4099．【2016新课标Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某410多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）41118412A．18+36B．54+18C．90 D．81 41310．【2016新课标Ⅲ】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若414AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）415A．4π B ．C．6π D ．41611．【2016新课标Ⅲ】已知O为坐标原点，F是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的417左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的418直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 419的离心率为（）420A ．B ．C ．D ．42112．【2016新课标Ⅲ】定义“规范01数列”{an }如下：{an}共有2m项，其中m422项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，423若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）424A．18个B．16个C．14个D．12个425426二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.42713．【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II）若x，y 满足约束条件，428则z=x+y的最大值为．42914．【2016新课标Ⅲ】函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的430图象至少向右平移个单位长度得到．4311915．【2016新课标Ⅲ】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，432则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．43316．【2016新课标Ⅲ】已知直线l：mx+y+3m ﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两434点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则435|CD|= ．436437三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.43817．【2016新课标Ⅲ】已知数列{an }的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．439（1）证明{an }是等比数列，并求其通项公式；440（2）若S5=，求λ．44118．【2016新课标Ⅲ】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单442位：亿吨）的折线图．443444注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．445（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以446证明；447（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾448无害化处理量．449附注：450参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．451参考公式：r=，452回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：45320=，=﹣．45419．【2016新课标Ⅲ】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，455AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．456（1）证明：MN∥平面PAB；457（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．45845920．【2016新课标Ⅲ】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线460l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．461（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；462（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．46321．【2016新课标Ⅲ】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，464记f（x）的最大值为A．465（Ⅰ）求f′（x）；466（Ⅱ）求A；467（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．468469请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选470修4-1：几何证明选讲]47122．【2016新课标Ⅲ】如图，⊙O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 472两点．473（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；474（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．47547647721[选修4-4：坐标系与参数方程] 47823．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以479坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方480程为ρsin（θ+）=2．481（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；482（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．483484[选修4-5：不等式选讲]48524．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．486（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；487（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．48848949022。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={|（﹣2）（﹣3）≥0}，T={|＞0}，则S∩T=（）A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．18+36B ．54+18C ．90D ．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ）A ．4πB ．C ．6πD ．11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（5分）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意≤2m ，a 1，a 2，…，a 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若，y 满足约束条件，则=+y 的最大值为 ． 14．（5分）函数y=sin ﹣cos 的图象可由函数y=sin+cos 的图象至少向右平移 个单位长度得到．15．（5分）已知f （）为偶函数，当＜0时，f （）=ln （﹣）+3，则曲线y=f （）在点（1，﹣3）处的切线方程是 ．16．（5分）已知直线l ：m+y+3m ﹣=0与圆2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与轴交于C ，D 两点，若|AB|=2，则|CD|= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．（1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（2）若S 5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据：y i =9.32，t i y i =40.17，=0.55，≈2.646． 参考公式：相关系数r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点．（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=2的焦点为F ，平行于轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f （）=acos2+（a ﹣1）（cos+1），其中a ＞0，记|f （）|的最大值为A ．（Ⅰ）求f′（）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（）=|2﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（）≤6的解集；（2）设函数g（）=|2﹣1|，当∈R时，f（）+g（）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={|（﹣2）（﹣3）≥0}，T={|＞0}，则S∩T=（）A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：≤2或≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B ． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ）A ．4πB ．C ．6πD ．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC 的内切圆半径r==2， 又由AA 1=3，故直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的内切球半径为，此时V 的最大值=， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由题意可得F ，A ，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=（+a ），分别令=﹣c ，=0，可得M ，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0），设直线AE 的方程为y=（+a ），令=﹣c ，可得M （﹣c ，（a ﹣c ）），令=0，可得E （0，a ），设OE 的中点为H ，可得H （0，），由B ，H ，M 三点共线，可得BH =BM ，即为=， 化简可得=，即为a=3c ， 可得e==．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意≤2m ，a 1，a 2，…，a 中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若，y满足约束条件，则=+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，最大，由得D（1，），所以=+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sin﹣cos的图象可由函数y=sin+cos的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（）=sin+cos=2sin（+），则f（﹣φ）=2sin（+﹣φ），依题意可得2sin（+﹣φ）=2sin（﹣），由﹣φ=2π﹣（∈），可得答案．【解答】解：∵y=f（）=sin+cos=2sin（+），y=sin﹣cos=2sin（﹣），∴f（﹣φ）=2sin（+﹣φ）（φ＞0），令2sin（+﹣φ）=2sin（﹣），则﹣φ=2π﹣（∈），即φ=﹣2π（∈），当=0时，正数φ=，min故答案为：．【点评】本题考查函数y=sin的图象变换得到y=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2π﹣（∈）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（）为偶函数，当＜0时，f（）=ln（﹣）+3，则曲线y=f （）在点（1，﹣3）处的切线方程是2+y+1=0 ．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣）=f（），即有＞0时，f（）=ln﹣3，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（）为偶函数，可得f（﹣）=f（），当＜0时，f（）=ln（﹣）+3，即有＞0时，f（）=ln﹣3，f′（）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（﹣1），即为2+y+1=0．故答案为：2+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：m+y+3m﹣=0与圆2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= 4 ．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A ，B 分别作l 的垂线与轴交于C ，D 两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．（1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（2）若S 5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n =1+λa n ，λ≠0．∴a n ≠0．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=1+λa n ﹣1﹣λa n ﹣1=λa n ﹣λa n ﹣1，即（λ﹣1）a n =λa n ﹣1，∵λ≠0，a n ≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n ≥2），∴{a n }是等比数列，公比q=， 当n=1时，S 1=1+λa 1=a 1，即a 1=， ∴a n =•（）n ﹣1．（2）若S 5=， 则若S 5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣， 则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据：y i =9.32，t i y i =40.17，=0.55，≈2.646． 参考公式：相关系数r=， 回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA ∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM ∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE ∩EM=E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM=2，AC=3，cos ∠MAC=，得CM 2=AC 2+AM 2﹣2AC •AM •cos ∠MAC=． ∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ，∵PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD=AD ，∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN==，在Rt △PAM 中，由PA •AM=PM •AF ，得AF=， ∴sin ．∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=2的焦点为F ，平行于轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF ，PF ，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF ，即可证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP=AF ，BQ=BF 及AP ∥BQ ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R 是PQ 的中点，∴RF=RP=RQ ，∴△PAR ≌△FAR ，∴∠PAR=∠FAR ，∠PRA=∠FRA ，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR ，∴∠FQB=∠PAR ，∴∠PRA=∠PQF ，∴AR ∥FQ ．（Ⅱ）设A （1，y 1），B （2，y 2），F （，0），准线为 =﹣，S △PQF =|PQ|=|y 1﹣y 2|，设直线AB 与轴交点为N ，∴S △ABF =|FN||y 1﹣y 2|，∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴N =1，即N （1，0）．设AB 中点为M （，y ），由得=2（1﹣2）， 又=， ∴=，即y 2=﹣1．∴AB 中点轨迹方程为y 2=﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f （）=acos2+（a ﹣1）（cos+1），其中a ＞0，记|f （）|的最大值为A ．（Ⅰ）求f ′（）；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：|f ′（）|≤2A ．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f ′（）；（Ⅱ）讨论a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I ），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f ′（）|≤2A ．【解答】（I ）解：f ′（）=﹣2asin2﹣（a ﹣1）sin ．（II ）当a ≥1时，|f （）|=|acos2+（a ﹣1）（cos+1）|≤a|cos2|+（a ﹣1）|（cos+1）|≤a|cos2|+（a ﹣1）（|cos|+1）|≤a+2（a ﹣1）=3a ﹣2=f （0），因此A=3a ﹣2．当0＜a＜1时，f（）=acos2+（a﹣1）（cos+1）=2acos2+（a﹣1）cos﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（）|=|﹣2asin2﹣（a﹣1）sin|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线+y﹣4=0平行的直线方程为+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．的参数方程为（α为参数），【解答】解：（1）曲线C1移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，：+y2=1；即有椭圆C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，曲线C2即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由=ρcosθ，y=ρsinθ，可得+y﹣4=0，即有C的直角坐标方程为直线+y﹣4=0；2（2）由题意可得当直线+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线+y﹣4=0平行的直线方程为+y+t=0，联立可得42+6t+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时42﹣12+9=0，解得=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（）=|2﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（）≤6的解集；（2）设函数g（）=|2﹣1|，当∈R时，f（）+g（）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（）≤6的解集．（2）由f（）+g（）=|2﹣1|+|2﹣a|+a≥3，得|﹣|+|﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（）=|2﹣2|+2，∵f（）≤6，∴|2﹣2|+2≤6，|2﹣2|≤4，|﹣1|≤2，∴﹣2≤﹣1≤2，解得﹣1≤≤3，∴不等式f（）≤6的解集为{|﹣1≤≤3}．（2）∵g（）=|2﹣1|，∴f（）+g（）=|2﹣1|+|2﹣a|+a≥3，2|﹣|+2|﹣|+a≥3，|﹣|+|﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|﹣|+|﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016 年全国一致高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题 :本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）设会合S={ x| （x﹣2）（x﹣ 3）≥ 0} ， T={ x| x＞ 0} ，则 S∩ T=（）A．[ 2， 3]B．（﹣∞， 2] ∪ [ 3，+∞）C．[ 3， +∞）D．（0，2] ∪ [ 3，+∞）【剖析】求出 S 中不等式的解集确立出S，找出 S 与 T 的交集即可．【解答】解：由 S 中不等式解得： x≤ 2 或 x≥3，即 S=（﹣∞， 2] ∪[ 3， +∞），∵ T=（0，+∞），∴S∩ T=（0，2] ∪ [ 3，+∞），应选： D．2．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）若 z=1+2i，则=（）A．1B．﹣ 1C．i D．﹣ i【剖析】利用复数的乘法运算法例，化简求解即可．【解答】解： z=1+2i，则===i．应选： C．．（分）（新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ ABC=3 52016?（）A．30°B．45°C．60°D．120°【剖析】依据向量，的坐标即可求出，及，的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，依据∠ ABC的范围即可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又 0°≤∠ ABC≤180°；∴∠ ABC=30°．应选： A．4．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）某旅行城市为向旅客介绍当地的气温状况，绘制了一年中各月均匀最高气平和均匀最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的均匀最高气温约为 15℃， B 点表示四月的均匀最低气温约为 5℃，下边表达不正确的选项是（）A．各月的均匀最低气温都在0℃以上B．七月的均匀温差比一月的均匀温差大C．三月和十一月的均匀最高气温基真同样D．均匀最高气温高于20℃的月份有 5 个【剖析】依据均匀最高气平和均匀最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解： A．由雷达图知各月的均匀最低气温都在0℃以上，正确B．七月的均匀温差大概在10°左右，一月的均匀温差在5°左右，故七月的均匀温差比一月的均匀温差大，正确C．三月和十一月的均匀最高气温基真同样，都为10°，正确D．均匀最高气温高于20℃的月份有 7，8 两个月，故 D 错误，应选： D．．（分）（新课标Ⅲ）若，则 cos2αα=（）5 52016?tan α=+2sin2A．B．C．1D．【剖析】将所求的关系式的分母“1化”为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵ tan α=，∴ cos2αα====．+2sin2应选： A．．（5分）（新课标Ⅲ）已知a=，b= ，c=，则（）62016?A．b＜a＜c B．a＜ b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【剖析】 b==， c== ，联合幂函数的单一性，可比较a，b，c，从而得到答案．【解答】解：∵ a= =，b=，c==，综上可得： b＜a＜c，应选： A．7．（ 5 分）（2016?新课标Ⅲ）履行如图程序框图，假如输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【剖析】模拟履行程序，依据赋值语句的功能挨次写出每次循环获得的a，b，s，n 的值，当 s=20时知足条件 s＞16，退出循环，输出n 的值为 4．【解答】解：模拟履行程序，可得a=4， b=6，n=0，s=0履行循环体， a=2，b=4， a=6，s=6，n=1不知足条件 s＞16，履行循环体， a=﹣2，b=6，a=4， s=10，n=2不知足条件 s＞16，履行循环体， a=2， b=4，a=6，s=16，n=3不知足条件 s＞16，履行循环体， a=﹣2，b=6，a=4， s=20，n=4知足条件 s＞ 16，退出循环，输出n 的值为 4．应选： B．8．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）在△ ABC中， B=，BC边上的高等于，则BCcosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【剖析】作出图形，令∠ DAC=θ，依题意，可求得c osθ= ==，sin θ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ ABC中角 A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥ BC于 D，令∠ DAC=θ，∵在△ ABC中， B= ，BC边上的高 AD=h= BC= a，∴BD=AD= a， CD= a，在 Rt△ADC中， cosθ= ==，故sinθ= ，∴ cosA=cos（ +θ）=coscos θ﹣sin sinθ=× ﹣×﹣．=应选： C．9．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【剖析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，从而获得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为： 3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）× 2=18+18，故棱柱的表面积为： 18× 2+18+18 =54+18．应选： B．10．（5 分）（ 2016?新课标Ⅲ）在关闭的直三棱柱ABC﹣ A1B1C1内有一个体积为的球，若 AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）V A．4πB．C．6πD．【剖析】依据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵ AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由 AA1=3，故直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的内切球半径为，此时 V的最大值=，应选： B．11．（ 5 分）（2016?新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+（＞=1 a b＞0）的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右极点． P 为 C 上一点，且 PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A．B．C．D．【剖析】由意可得 F，A，B 的坐，出直AE 的方程 y=k（x+a），分令 x= c，x=0，可得 M ， E 的坐，再由中点坐公式可得 H 的坐，运用三点共的条件：斜率相等，合离心率公式，即可获得所求．【解答】解：由意可 F（ c，0）， A（ a，0）， B（ a， 0），直 AE的方程y=k（x+a），令 x= c，可得 M（ c，k（ a c）），令 x=0，可得 E（ 0， ka），OE的中点 H，可得 H（ 0，），由 B，H，M 三点共，可得 k BH=k BM，即=，化可得= ，即 a=3c，可得 e= = ．另解：由△ AMF∽△ AEO，可得=，由△ BOH∽△ BFM，可得==，即有=即 a=3c，可得 e= =．故： A．12．（ 5 分）（2016?新Ⅲ）定“ 范 01 数列”{a n } 以下： { a n} 共有 2m ，此中 m0，m1，且随意 k≤2m，a1， a2，⋯，a k中 0 的个数许多于 1 的个数，若 m=4，不一样的“ 范 01 数列”共有（）A．18 个B．16 个C．14 个D．12 个【剖析】由新定可得，“ 范 01 数列”有偶数 2m ，且所含 0 与 1 的个数相等，首0，末 1，当 m=4 ，数列中有四个 0 和四个 1，而后一一列得答案．【解答】解：由意可知，“ 范 01 数列”有偶数 2m ，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，知足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共 14 个．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13．（ 5分）（新课标Ⅲ）若x， y知足拘束条件，则 z=x+y 2016?的最大值为．【剖析】第一画出平面地区，而后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面地区如图暗影部分，当直线经过 D 点时， z 最大，由得 D（1，），所以z=x+y 的最大值为1+；故答案为：．14．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）函数 y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象起码向右平移个单位长度获得．【剖析】令 f（x）=sinx+cosx=2sin（x+ ），则 f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ），依题意可得 2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈ Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+ cosx=2sin（ x+ ），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ）（φ＞0），令 2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ= ﹣2kπ（ k∈ Z），当 k=0 时，正数φmin=，故答案为：．15．（ 5 分）（2016?新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当 x＜0 时， f（ x）=ln（﹣x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（ 1，﹣ 3）处的切线方程是2x+y+1=0．【剖析】由偶函数的定义，可得f（﹣ x）=f（ x），即有 x＞ 0 时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解： f（x）为偶函数，可得 f （﹣ x）=f（ x），当 x＜0 时， f （x）=ln（﹣ x）+3x，即有x＞0 时， f（ x）=lnx﹣3x，f ′（x）= ﹣3，可得 f （1）=ln1﹣ 3=﹣3，f ′（1）=1﹣ 3=﹣2，则曲线 y=f（ x）在点（ 1，﹣ 3）处的切线方程为y﹣（﹣ 3） =﹣ 2（ x﹣1），即为 2x+y+1=0．故答案为： 2x+y+1=0．．（分）（新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆2+y2交于，16 52016?x =12AB 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若| AB| =2，则| CD| =4．【剖析】先求出 m，可得直线 l 【解答】解：由题意， | AB| =2的倾斜角为 30°，再利用三角函数求出，∴圆心到直线的距离d=3，| CD| 即可．∴=3，∴m=﹣∴直线 l 的倾斜角为 30°，∵过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，∴| CD| =．=4故答案为： 4．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅲ）已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=1+λa n，此中λ≠0．（1）证明 { a n } 是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5= ，求λ．【剖析】（1）依据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，联合等比数列的定义进行证明求解即可．（ 2）依据条件成立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵ S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当 n≥2 时， a n=S n﹣ S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1） a n=λa n﹣1，∵λ≠ 0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠ 1，即=，（n≥ 2），∴ { a n} 是等比数列，公比 q=，当 n=1 时， S1=1+λa1=a1，即 a1=，∴ a n=?（）n﹣1．（2）若 S5= ，则若 Sλ（）4] =，5=1+ [?即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．18．（12 分）（2016?新课标Ⅲ）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣ 2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以证明；（Ⅱ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到0.01），展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量．附注：参照数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参照公式：有关系数r=，回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．【剖析】（1）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正有关关系，将已知数据代入有关系数方程，可得答案；（ 2）依据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为9，代入可展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量．【解答】解：（1）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正有关关系，原因以下：∵r==≈≈≈ 0.993，∵0.993＞0.75，故 y 与 t 之间存在较强的正有关关系；（2） ==≈≈0.103，= ﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴ y 对于 t 的回归方程=0.10t+0.92，2016 年对应的 t 值为 9，故 =0.10× 9+0.92=1.82，展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量为 1.82 亿吨．19．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AD ∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD， N 为 PC的中点．（1）证明： MN∥平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．【剖析】（1）法一、取 PB 中点 G，连结 AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且 NG=，再由已知得 AM∥BC，且 AM=，获得∥AM，BC NG且 NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NM∥AG，由线面平行的判断获得 MN ∥平面 PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转变为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N 作NE⊥AC，垂足为E，连结ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得 PA∥NE，经过求解直角三角形获得 ME∥AB，由面面平行的判断可得平面 NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连结 CM，证得 CM⊥AD，进一步获得平面 PNM⊥平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A 作 AF⊥ PM，交 PM 于 F，连结 NF，则∠ ANF 为直线 AN 与平面 PMN所成角．而后求解直角三角形可得直线AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点 G，连结 AG，NG，∵N 为 PC的中点，∴ NG∥ BC，且 NG=，又AM=，BC=4，且AD∥ BC，∴AM∥ BC，且 AM= BC，则 NG∥AM，且 NG=AM，∴四边形 AMNG 为平行四边形，则NM∥AG，∵AG? 平面 PAB，NM?平面 PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△ PAC中，过 N 作 NE⊥AC，垂足为 E，连结 ME，在△ ABC中，由已知 AB=AC=3， BC=4，得 cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴ cos，则sin∠EAM=，在△ EAM 中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴ cos∠ AEM=，而在△ ABC中， cos∠BAC=，∴cos∠ AEM=cos∠BAC，即∠ AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则 EM∥平面 PAB．由 PA⊥底面 ABCD，得 PA⊥AC，又 NE⊥AC，∴ NE∥PA，则 NE∥平面 PAB．∵ NE∩EM=E，∴平面 NEM∥平面 PAB，则 MN∥平面 PAB；（ 2）解：在△ AMC 中，由 AM=2， AC=3， cos∠MAC= ，得 CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2 +MC2=AC2，则 AM⊥ MC，∵PA⊥底面 ABCD，PA? 平面 PAD，∴平面 ABCD⊥平面 PAD，且平面 ABCD∩平面 PAD=AD，∴CM⊥平面 PAD，则平面 PNM⊥平面 PAD．在平面 PAD内，过 A 作 AF⊥ PM，交 PM 于 F，连结 NF，则∠ ANF为直线 AN 与平面 PMN 所成角．在 Rt△PAC中，由 N 是 PC的中点，得 AN==，在 Rt△PAM 中，由 PA?AM=PM?AF，得 AF=，∴ sin．∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为．20．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点．（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ；（Ⅱ）若△ PQF的面积是△ ABF的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【剖析】（Ⅰ）连结 RF， PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明 AR∥FQ；（Ⅱ）利用△ PQF的面积是△ ABF的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连结RF，PF，由 AP=AF， BQ=BF及 AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠ PFQ=90°，∵R是 PQ的中点，∴ RF=RP=RQ，∴△ PAR≌△ FAR，∴∠ PAR=∠FAR，∠ PRA=∠ FRA，∵∠ BQF+∠BFQ=180°﹣∠ QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠ FQB=∠PAR，∴∠ PRA=∠PQF，∴ AR∥FQ．（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2， y2），F（， 0），准线为x=﹣，S△PQF= | PQ| = | y1﹣y2| ，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，∴S△ABF= | FN|| y1﹣y2| ，∵△ PQF的面积是△ ABF的面积的两倍，∴2| FN| =1，∴ x N=1，即 N（ 1， 0）．设 AB 中点为 M （x，y），由得（1﹣x2），=2 x又=，∴= ，即 y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为 y2=x﹣1．21．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（ cosx+1），此中 a ＞0，记 | f （x）| 的最大值为 A．（Ⅰ）求 f ′（x）；（Ⅱ）求 A；（Ⅲ）证明： | f ′（x） | ≤ 2A．【剖析】（Ⅰ）依据复合函数的导数公式进行求解即可求 f ′（ x）；（Ⅱ）议论 a 的取值，利用分类议论的思想方法，联合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（ I），联合绝对值不等式的性质即可证明：| f ′（ x） | ≤ 2A．【解答】（I）解： f ′（x）=﹣2asin2x﹣（ a﹣1）sinx．（II）当 a≥1 时， | f（x）| =| acos2x+（ a﹣ 1）（cosx+1）| ≤a| cos2x|+ （a﹣1）|（cosx+1）| ≤ a| cos2x|+ （a﹣1）（ | cosx|+ 1）| ≤ a+2（a﹣1）=3a﹣ 2=f（ 0），所以 A=3a﹣2．当 0＜a＜1 时， f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1） =2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令 g（t ） =2at2+（a﹣1）t ﹣1，则 A 是| g（t ） | 在 [ ﹣ 1， 1] 上的最大值， g（﹣ 1）=a， g（ 1）=3a﹣2，且当 t=时，g（t）获得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处获得极值）令﹣ 1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当 0＜a≤时， g（t ）在（﹣ 1，1）内无极值点， | g（﹣ 1）| =a，| g（ 1） |=2 ﹣3a，| g（﹣ 1） | ＜ | g（1）| ，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1 时，由 g（﹣ 1）﹣ g（ 1） =2（1﹣a）＞0，得 g（﹣ 1）＞ g（1）＞g（），又 | g（）| ﹣| g（﹣ 1） | =＞0，∴ A=| g（）| =，，＜．综上， A=，＜＜，（III）证明：由（ I）可得： | f （′ x） | =| ﹣2asin2x﹣（ a﹣1）sinx| ≤2a+| a﹣1| ，当 0＜a≤时， | f ′（x） | ＜ 1+a≤2﹣4a＜ 2（ 2﹣3a）=2A，当＜ a＜ 1 时， A== + + ＞ 1，∴| f ′（x）| ≤1+a≤2A，当 a≥1 时， | f ′（x）| ≤3a﹣ 1≤ 6a﹣4=2A，综上： | f ′（x） | ≤ 2A．请考生在第 22-24 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（ 10 分）（ 2016?新课标Ⅲ）如图，⊙ O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB 于 E，F 两点．（ 1）若∠ PFB=2∠PCD，求∠ PCD的大小；（ 2）若 EC的垂直均分线与 FD 的垂直均分线交于点G，证明： OG⊥ CD．【剖析】（1）连结PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA= ∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可获得所求∠ PCD的度数；（2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心， G 在 CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连结 PB，BC，设∠ PEB=∠1，∠ PCB=∠2，∠ ABC=∠ 3，∠PBA=∠ 4，∠ PAB=∠5，由⊙ O 中的中点为P，可得∠ 4=∠5，在△ EBC中，∠ 1=∠2+∠ 3，又∠ D=∠ 3+∠4，∠ 2=∠5，即有∠ 2=∠4，则∠ D=∠1，则四点 E，C，D，F共圆，可得∠ EFD+∠PCD=180°，由∠ PFB=∠EFD=2∠ PCD，即有 3∠PCD=180°，可得∠ PCD=60°；（ 2）证明：由 C，D，E，F 共圆，由 EC的垂直均分线与 FD 的垂直均分线交于点 G可得 G 为圆心，即有 GC=GD，则 G 在 CD 的中垂线，又 CD为圆 G 的弦，则 OG⊥CD．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出 C1的一般方程和 C2的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求 | PQ| 的最小值及此时 P 的直角坐标．【剖析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可获得C1的一般方程，运用x=ρ cos，θy=ρ sin，θ以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（ 2）由题意可适当直线x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时， | PQ| 获得最值．设与直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用鉴别式为0，求得 t ，再由平行线的距离公式，可得 | PQ| 的最小值，解方程可得 P 的直角坐标．此外：设 P（cosα，sin α），由点到直线的距离公式，联合协助角公式和正弦函数的值域，即可获得所求最小值和P 的坐标．【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y22α2α，=cos +sin=1即有椭圆 C ：+y2；=11曲线 C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2，即有ρ（sin θ+ cos θ）=2，由 x=ρcos，θy=ρsin，θ可得 x+y﹣4=0，即有 C2的直角坐标方程为直线 x+y﹣4=0；（ 2）由题意可适当直线x+y﹣ 4=0 的平行线与椭圆相切时，| PQ| 获得最值．设与直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得 4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣ 3） =0，解得 t=± 2，明显 t=﹣ 2 时， | PQ| 获得最小值，即有|PQ|==，此时 4x2﹣12x+9=0，解得 x= ，即为P（，）．另解：设 P（cosα，sin α），由 P 到直线的距离为 d==，当 sin（α+ ）=1 时， | PQ| 的最小值为，此时可取α=，即有 P（，）．[ 选修4-5：不等式选讲 ]24．（ 2016?新课标Ⅲ）已知函数f（ x） =| 2x﹣a|+ a．（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤ 6 的解集；（2）设函数 g（ x）=| 2x﹣1| ，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围．【剖析】（1）当 a=2 时，由已知得 | 2x﹣2|+ 2≤6，由此能求出不等式 f （x）≤6的解集．（ 2）由 f（x） +g（x）=| 2x﹣1|+| 2x﹣a|+ a≥3，得 | x﹣ |+| x﹣ | ≥，由此能求出 a 的取值范围．【解答】解：（1）当 a=2 时， f （x）=| 2x﹣ 2|+ 2，2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)教师版∵f（x）≤ 6，∴ | 2x﹣2|+ 2≤6，| 2x﹣2| ≤4，| x﹣ 1| ≤2，∴﹣ 2≤x﹣ 1≤ 2，解得﹣ 1≤x≤3，∴不等式 f（ x）≤ 6 的解集为 { x| ﹣1≤x≤3} ．（2）∵ g（ x） =| 2x﹣ 1| ，∴f（x）+g（ x） =| 2x﹣ 1|+| 2x﹣ a|+ a≥ 3，2| x﹣ |+ 2| x﹣ |+ a≥ 3，| x﹣ |+| x﹣ | ≥，当 a≥3时，成立，当 a＜3时， | x﹣ |+| x﹣ | ≥ | a﹣ 1| ≥＞0，∴（ a﹣1）2≥（ 3﹣a）2，解得 2≤a＜3，∴ a 的取值范围是 [ 2，+∞）．。

2016 年全国一致高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题 :本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）设会合S={ x| （x﹣2）（x﹣ 3）≥ 0} ， T={ x| x＞ 0} ，则 S∩T=（）A．[ 2，3]B．（﹣∞， 2] ∪ [ 3，+∞）C．[ 3， +∞）D．（0，2] ∪ [ 3，+∞）2．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）若 z=1+2i，则=（）A．1B．﹣ 1C．i D．﹣ i．（分）（新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ ABC=3 52016?（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）某旅行城市为向旅客介绍当地的气温状况，绘制了一年中各月均匀最高气平和均匀最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的均匀最高气温约为 15℃， B 点表示四月的均匀最低气温约为 5℃，下边表达不正确的选项是（）A．各月的均匀最低气温都在0℃以上B．七月的均匀温差比一月的均匀温差大C．三月和十一月的均匀最高气温基真同样D．均匀最高气温高于20℃的月份有 5 个5．（5分）（2016?新课标Ⅲ）若，则 cos2αα=（）tan α=+2sin2 A．B．C．1D．6．（5分）（2016?新课标Ⅲ）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜ b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（ 5 分）（2016?新课标Ⅲ）履行如图程序框图，假如输入的a=4，b=6，那么输出的 n=（）A．3B．4C．5D．68．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）在△ ABC中，B=，BC边上的高等于，则BCcosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5 分）（ 2016?新Ⅲ）在封的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体V 的球，若 AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3， V 的最大是（）A．4πB．C．6πD．11．（ 5 分）（2016?新Ⅲ）已知O 坐原点， F 是 C： + ＞0）的左焦点， A，B 分C 的左，右点． P C 上一点，且点 A 的直 l 与段 PF交于点 M，与 y 交于点 E．若直 BM =1（a＞bPF⊥ x ，OE 的中点， C 的离心率（）A．B．C．D．12．（ 5 分）（2016?新Ⅲ）定“ 范 01 数列”{a n } 以下： { a n} 共有 2m ，此中 m 0，m 1，且随意 k≤2m，a1， a2，⋯，a k中 0 的个数许多于 1 的个数，若 m=4，不一样的“ 范 01 数列”共有（）A．18 个B．16 个C．14 个D．12 个二、填空：本大共 4 小，每小 5 分.13．（ 5 分）（2016?新Ⅲ）若x， y 足束条件，z=x+y的最大值为．14．（5 分）（2016?新课标Ⅲ）函数 y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象起码向右平移个单位长度获得．15．（ 5 分）（2016?新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当 x＜0 时， f（ x）=ln（﹣x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（ 1，﹣ 3）处的切线方程是．．（分）（新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆2+y2交于，16 52016?x =12AB 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若 | AB| =2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅲ）已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=1+λa n，此中λ≠0．（1）证明 { a n } 是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5= ，求λ．18．（12 分）（2016?新课标Ⅲ）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣ 2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以证明；（Ⅱ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到0.01），展望 2016 年我国生活垃圾无害化办理量．附注：参照数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参照公式：有关系数r=，回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．19．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AD ∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD， N 为 PC的中点．（1）证明： MN∥平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．20．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点．（Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ；（Ⅱ）若△ PQF的面积是△ ABF的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．21．（ 12 分）（2016?新课标Ⅲ）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（ cosx+1），此中 a ＞0，记 | f （x）| 的最大值为 A．（Ⅰ）求 f ′（x）；（Ⅱ）求 A；（Ⅲ）证明： | f ′（x） | ≤ 2A．请考生在第 22-24 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（ 10 分）（ 2016?新课标Ⅲ）如图，⊙ O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB 于 E，F 两点．（1）若∠ PFB=2∠PCD，求∠ PCD的大小；（ 2）若 EC的垂直均分线与 FD 的垂直均分线交于点G，证明： OG⊥ CD．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ．（ 1）写出 C1的一般方程和 C2的直角坐标方程；（ 2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求 | PQ| 的最小值及此时 P 的直角坐标．[ 选修4-5：不等式选讲 ]24．（ 2016?新课标Ⅲ）已知函数f（ x） =| 2x﹣a|+ a．（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤ 6 的解集；（2）设函数 g（ x）=| 2x﹣1| ，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅲ）设集合S＝{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．6．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝（）A．3B．4C．5D．68．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．14．（5分）（2016•新课标Ⅲ）函数y＝sin x﹣cos x的图象可由函数y＝sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．18．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i＝9.32，t i y i＝40.17，＝0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r＝，回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．19．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f （x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅲ）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅲ）设集合S＝{x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S＝（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T＝（0，+∞），∴S∩T＝（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα＝，∴cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b＝＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝，c＝＝，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s＝20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a＝4，b＝6，n＝0，s＝0执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2不满足条件s＞16，执行循环体，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3不满足条件s＞16，执行循环体，a＝﹣2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】作出图形，令∠DAC＝θ，依题意，可求得cosθ＝＝＝，sinθ＝，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC＝θ，利用两角和的余弦求cos A是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示：其上底面和下底面面积为：3×3×2＝18，侧面的面积为：（3×6+3×）×2＝18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18＝54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．故三角形ABC的内切圆半径r＝＝2，又由AA1＝3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为＝，化简可得＝，即为a＝3c，可得e＝＝．另解：由△AMF∽△AEO，可得＝，由△BOH∽△BFM，可得＝＝，即有＝即a＝3c，可得e＝＝．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m＝4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z＝x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）（2016•新课标Ⅲ）函数y＝sin x﹣cos x的图象可由函数y＝sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+），则f（x﹣φ）＝2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）＝2sin（x﹣），由﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y＝f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+），y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）＝2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）＝2sin（x﹣），则﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z），即φ＝﹣2kπ（k∈Z），当k＝0时，正数φmin＝，故答案为：．【点评】本题考查函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1＝0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）＝f（x），即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，f′（x）＝﹣3，可得f（1）＝ln1﹣3＝﹣3，f′（1）＝1﹣3＝﹣2，则曲线y＝f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣2（x﹣1），即为2x+y+1＝0．故答案为：2x+y+1＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|＝2，∴圆心到直线的距离d＝3，∴＝3，∴m＝﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i＝9.32，t i y i＝40.17，＝0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r＝，回归方程＝+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r＝＝≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）＝＝≈≈0.103，＝﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程＝0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故＝0.10×9+0.92＝1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG＝，再由已知得AM∥BC，且AM＝BC，得到NG∥AM，且NG＝AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE ⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG＝，又AM＝，BC＝4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM＝BC，则NG∥AM，且NG＝AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB＝AC＝3，BC＝4，得cos∠ACB＝，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM＝，在△EAM中，∵AM＝，AE＝，由余弦定理得：EM＝＝，∴cos∠AEM＝，而在△ABC中，cos∠BAC＝，∴cos∠AEM＝cos∠BAC，即∠AEM＝∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM＝E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM＝2，AC＝3，cos∠MAC＝，得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC＝．∴AM2+MC2＝AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN＝＝，在Rt△PAM中，由PA•AM＝PM•AF，得AF＝，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA＝∠PQF，即可证明AR ∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP＝AF，BQ＝BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ＝90°，∴∠PFQ＝90°，∵R是PQ的中点，∴RF＝RP＝RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR＝∠FAR，∠PRA＝∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ＝180°﹣∠QBF＝∠PAF＝2∠PAR，∴∠FQB＝∠PAR，∴∠PRA＝∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x＝﹣，S△PQF＝|PQ|＝|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，＝|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|＝1，∴x N＝1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得＝2（x1﹣x2），又＝，∴＝，即y2＝x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2＝x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f （x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣2a sin2x﹣（a﹣1）sin x．（II）当a≥1时，|f（x）|＝|a cos2x+（a﹣1）（cos x+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cos x+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cos x|+1）|≤a+2（a﹣1）＝3a﹣2＝f（0），因此A＝3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1）＝2a cos2x+（a﹣1）cos x﹣1，令g（t）＝2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）＝a，g（1）＝3a﹣2，且当t＝时，g（t）取得极小值，极小值为g（）＝﹣﹣1＝﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|＝a，|g（1）|＝2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A＝2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）＝2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|＝＞0，∴A＝|g（）|＝，综上，A＝．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|＝|﹣2a sin2x﹣（a﹣1）sin x|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）＝2A，当＜a＜1时，A＝＝++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4＝2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅲ）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB＝∠1，∠PCB＝∠2，∠ABC＝∠3，∠PBA ＝∠4，∠PAB＝∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB＝∠1，∠PCB＝∠2，∠ABC＝∠3，∠PBA＝∠4，∠PAB＝∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4＝∠5，在△EBC中，∠1＝∠2+∠3，又∠D＝∠3+∠4，∠2＝∠5，即有∠2＝∠4，则∠D＝∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD＝180°，由∠PFB＝∠EFD＝2∠PCD，即有3∠PCD＝180°，可得∠PCD＝60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC＝GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y ﹣4＝0平行的直线方程为x+y+t＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2＝cos2α+sin2α＝1，即有椭圆C1：+y2＝1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝2，即有ρ（sinθ+cosθ）＝2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4＝0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4＝0平行的直线方程为x+y+t＝0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3＝0，由直线与椭圆相切，可得△＝36t2﹣16（3t2﹣3）＝0，解得t＝±2，显然t＝﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|＝＝，此时4x2﹣12x+9＝0，解得x＝，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d＝＝，当sin（α+）＝1时，|PQ|的最小值为，此时可取α＝，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。