二次根式 单元小结

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浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结浙教版八年级数学下册（二次根式）单元知识点总结
一、二次根式
1、定义：一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a;0时,√a表示a的算数平方根,√0=0
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一个非负数.
3.二次根式√ā的简单性质和几何意义
二、二次根式的性质
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被放开数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，
√(x-1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

三、二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵敏运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
.。

二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。

2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。

- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。

- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。

- 乘法：(√a)(√b)=√ab。

-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。

二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。

- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。

例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。

- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。

二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。

例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。

2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。

- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。

例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。

- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。

例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。

三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。

例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。

2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。

《二次根式》小结与复习备课人：任芳 审核：黄亚萍、杨栓祥 班级： 姓名：复习目标：1．进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．复习重点：二次根式的计算和化简复习难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

复习过程：知识点1、二次根式的意义 一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是a 的形式；2、被开方数必须是非负数。

练习一1、式子,21),31(31,1,21,27,25,1,1,23+>-+--+x x a a a a 21a --中，是二次根式的是 .2、当a 时，1-a 是二次根式.3、若式子21-+x x 有意义，则x 的取值范围是 . 4、使式子a 23-有意义且取得最小值的a 的取值是 ，a 23-的最小值是 .知识点二、二次根式的性质 ⑴)0()(2≥=a a a ⑵||2a a =⑶ab ＝a ×b ( a ≥0 ，b ≥0)⑷a b =a b（a ≥0，b >0） 练习二 1、化简：2)2(-= 2)32(-= 2)16.0(= 2)14.3(π-=________2、若233+-+-=x x y ，则xy = 。

3、分解因式：⑴x 2-3= ⑵ 2x 2-3=4、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是5、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x =_____________.6、将二次根式1a a ⋅-根号外的因式移到根号内为______________. 知识点三、最简二次根式满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

练习三1、在根式22222,122,2,1,125,5b ab a a x a a +++中，最简二次根式是 .2、化简：⑴34= ，⑵2723-= ，⑶231+= ，⑷813= 。

第十六章：小结与评价一、本章主要知识回顾1、当a ≥0时，a 叫做二次根式。

2、二次根式有如下性质()2a =a （a ≥0） ⎪⎩⎪⎨⎧<->>==)0()0(0)0(2a a a a a a ab a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）利用等式的对称性可知： b a b a =（a ≥0，b ＞0）b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）b a b a =（a ≥0，b ＞0）3、二次根式的加、减、乘除运算①最简二次根式②同类二次根 附：(a+b)(a －b)=a 2－b 2(a ±b)2=a 2±2ab ＋b 2 二、优秀作业展示三、有错大家辨（错误作业展示）温馨提示：（1）错在哪里？（2）错误的原因是什么？（3）应如何改正？1、马虎不认真2、错用乘法公式3、没严格的按照运算顺序来计算4、没注意书写格式5、特别要注意附加条件是性质概念不可分割的一部分6、结果没有化成最简二次根式2、我再试一试 ①()()23322332-+ ②()()2232233223+-- ③321)32(120++-- ④3281- 三、我是小神探（隐含条件的应用）1、若021=++-n m ，则m+n 的值为________2、化简22)32(144--+-x x x 得_________ 解：)32()12(2---=x x 原式)32(12---=x x有几位同学做到这一点往下……四、经典题例赏析 ①552555252=⨯⨯=；②36333232=⨯⨯=；③()()()()()131313213131321322-=--=-+-⨯=+数学上把这种分母中的根号去掉的过程称为“分母有理化”。

132+还可以用以下方法化简：()()()131313131313131313222-=+-+=+-=+-=+解答下列问题：请参照上述方法把下列各分母有理化：①36； ②352-2、在化简y x y x +-时，甲、乙两位同学的解答如下： 甲：()()()()()()()()y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x -=---=-+--=+-22乙：()()()()y x y x y x y x y x y x y x yx -=+-+=+-=+-22A 、两人解法都对B 、甲错乙对C 、甲对乙错D 、两人都错五、本章易考点题例：当a=_______时，最简二次根式732--a 与323-a 是同类二次根式。

二次根式小结笔记二次根式是代数中常见的一种形式，常常在数学问题中出现。

二次根式主要包括平方根、n次根、有理化等操作。

在学习代数的过程中，对二次根式的理解和运用至关重要。

下面将对二次根式进行小结笔记：平方根平方根是指一个数的平方根的一般形式表示为√a，其中a≥0。

平方根的性质包括：•若a≥0，则√a ≥ 0；•若a>b>0，则√a>√b；•若a>0，则√a存在实数解。

n次根n次根是指一个数的n次根的一般形式表示为√n√a，其中n为次数，a≥0。

n次根的性质包括：•若n为偶数且a≥0，则√n√a ≥ 0；•若n为奇数，则√n√a存在实数解。

有理化有理化是指将含有根号的表达式转化为不含根号的表达式。

有理化的方法包括：•有理化分母：分子、分母同乘√a，将分母中的根号消去；•有理化分子：利用公式(a+b)(a-b)=a²-b²，消去分子中的根号；•有理化式的完全平方公式：对于形如a²-√b 或a²+√b的式子，可以利用完全平方公式转化。

运算二次根式的运算主要包括加减乘除四则运算。

在进行运算时，需要注意同类项的相加减，乘法时要注意根号内外的乘法规则，而除法时要注意消去根号以得到最简形式。

实例应用二次根式在数学问题中的应用广泛，例如在代数方程、勾股定理等问题中都会涉及到二次根式的运算和化简。

通过对二次根式的小结笔记，我们可以更好地理解和运用二次根式，加深对代数知识的理解。

熟练掌握二次根式的性质和运算规则，能够更轻松地解决数学问题，提高数学水平。