江苏赣榆区2015届高三3月份联合调研考试数学(Word版含答案)

、、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式：棱柱的体积公式：,Sh V =其中S 是棱柱的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知复数i i i z )(43(+=是虚数单位），则z 的模为 ▲ . 2.已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A ▲ .3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间)51,0[，空气质量为优；在区间)101,51[，空气质量为良；在区间)151,101[，空气质量为轻微污染；. 由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.4.执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值是 ▲ .5.已知集合},4,3,2{},1,0{==B A 若从B A ,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .6.设等差数列}{n a 的前n 项为,28,26,453==+S a a S n 则10a 的值为 ▲ .7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 ▲ .8.已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线y x 82=的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .9.已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ .10.在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面,1,111=AA C AB 底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ▲ .注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项与各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

2015年3月高三第一次全国大联考统考【江苏版】一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}22<∈=x Z x A ，则=A C U ．2．已知i 是虚数单位，复数ii325-+-的模为 ． 3．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，， ≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为 ．5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．开始结束输出kk ←S ←0S<100 k ←k+1 Y NS 2S S ←+6. 已知R ∈ω，则“1=ω”是“函数x x f ωsin )(=的最小正周期为π2”的________条件． 7．已知数列{}n a 为等差数列，,11=a 公差0≠d ，1a 、2a 、5a 成等比，则2014a 的值为 ． 8. 已知四边形ABCD 为菱形，边长为1，120BAD ∠=︒，AE AD t AB =+（其中R t ∈且10<<t ），则当AE 最小时，DEEC=． 9．若实数,a b 满足22log (2)log (22)3a b -+-=，则a b +的最小值是 .10．平面直角坐标系xOy 中，点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≥14600y x y x ，当y x ,均为整数时称点),(y x P 为整点，则所有整点中满足y x +为奇数的点),(y x P 的概率为 .11．若函数3()3f x x x t =--（[]2,2x ∈-）的最大值为52，则实数t = ． 12．已知双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线左右两支分别交于A 、B 两点，若∆2ABF 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．13．若函数()f x 的导数5()()(),1,2k f x x x k k k Z '=--≥∈，已知x k =是函数()f x 的极大值点，则k = ．14．已知()f x 是定义在R 上且以4为周期的奇函数,当(0,2)x ∈时,2()ln()f x x x b =-+,若函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，则实数b 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点34(,)55P ． （１）求tan()4πα+的值；（２）若P 关于y 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16．（本小题满分14分）如图四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AD ＝1，侧面PAD 是正三角形，且与底面垂直，Q 是AD 的中点． (1) 求四棱锥P-ABCD 的体积；(2) M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，线段BC 上是否存在一点R ，使得当t ∈(0，1)时，总有BQ ∥平面MDR ？若存在，确定R 点位置；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）如图，半径为r 的圆M 与正三角形ABC 的两边AB,AC 相切，且与圆弧BEC 相切.圆M 与OA 相交于E,N 两点.已知圆弧BEC 所在圆半径为R ，圆心为O. (0,].3BOA π∠∈(1)求rR的最大值； （2）若6,R =求DN 的最大值.18．（本小题满分14分）已知P 为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>任一点，12,F F 为椭圆的焦点，12||||4PF PF +=，离心率为22． （1）求椭圆的方程；（2）若直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆的两交点,A B 的中点C 在直线12y x =上，O 为坐标原点，求三角形OAB 面积S 的最大值．CBAD OM RE N19．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足()23202n n n t b n b -++=（,t R n N *∈∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与k a +1之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足68n T =的正整数n . 20．（本小题满分16分）已知函数21()ln 1,()2a f x x ax g x x -=-+=，a R ∈； （1）已知2a <，()()()h x f x g x =+，求()h x 的单调区间； （2）已知1a =，若1201x x <<<，211221()()()()f x f x f t x t x x x -'=<<-，求证：122x x t +<．数学Ⅱ 附加题部分【理】21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选做题】（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题） 21.A ．选修4—1几何证明选讲.如图，已知AE 交BC 于点D ，交△ABC 外接圆于点E ，且AB ⋅AC =AD ⋅AE ．xylOABC求证：AE 为△ABC 的内角A 的平分线21. B ．选修4—2：矩阵与变换已知点P (a ，b )，先对它逆时针旋转060，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，43)，求实数a ，b 的值．21. C 选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设直线l 过点()3 A π6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=> 有公共点，求实数a 的最小值． 21. D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ＞0，且a +b +c =1，求证：31313132a b c +++++≤．22. 已知箱中装有2个白球3个黑球，每次任取一球（不放回），取完白球则停止取球． （1）求取2次后仍不能停止的概率；（2）记X 为停止取球后取球的次数，求X 的数学期望()E X ． 23. （本小题满分10分）已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2，n ∈N *)具有性质P ：∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )， a i ＋a j 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝0；(3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列．ABCD E(第21—A 题)。

2015届山东省济宁市鱼台县第一中学高三第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第 I 卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1<41},则C R （A∩B）=（ ） A ．（-∞,-2）∪[-1,+∞] B ．（-∞,-2]∪（-1,+∞）C ．（-∞,+∞）D ．（-2,+∞）2．已知i 是虚数单位，则ii 13+=A ．i 2-B ．i 2C ．i -D ．i3．已知命题01,:;25sin ,:2>+∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∀=∈∃x x R q x R x p 都有命题使，.01,:;25sin ,2>+∈=∈x R q x R x 都有命题使给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4．等差数列}{n a 的前n 项和为n S （n ＝1,2,3，…），若当首项1a 和公差d 变化时，1185a a a ++是一个定值，则下列选项中为定值的是A ．17SB ．16SC ．15SD ．14S5．设随机变量X 服从正态分布)8,6(N ,若)52()2(-<=+>a X P a X P 则=aA ．6B ．5C ．4D ．36．下列哪个函数的图像只需平移变换即可得到()sin cos f x x x =+的函数图像A ．1()2sin 2f x x =+B ．2()sin f x x =C ．3()2(sin cos )f x x x =+D ．4()2cos (sin cos )222x x xf x =+7．已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如图所示，则所需小木块最少有多少个A ．7个B ．8 个C ．9个D ．10个8．已知实数1[∈x ，]10，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为A ．31B ．94C ．52D ．103 9．已知实数y x ,满足⎩⎨⎧≤++≤++1|||22||12|y y x y x ，则y x Z -=2的最小值是A ．3B ．3-C ．5D ．5-10．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A ．4B ．7C ．332 D ．311．定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4xf x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈ 时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x 则 函 数)(x g 的零点个数为 A ．9B ．8C ．7D ．612．在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球半径为 A ．23B ．3C ．23D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分, 共20分。

2015届高三3月综合测试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：12(2i )(i)=(2m+1)+(2-m)i z z m ⋅=-+为实数,所以20, 2.m m -== 考点：复数概念，复数运算2.已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由题意得：2,21,32,23,1a a a a ===或，解得1a = 考点：集合包含关系3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ． 【答案】20 【解析】试题分析：松树苗的棵数为400150=203000⨯ 考点：分层抽样4.在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ▲ ． 【答案】13【解析】试题分析：当12=2S S 时，点P 为边AB 三等分点M （靠近B 点），所以122S S >的概率是13BM AB = 考点：几何概型概率5.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲【解析】试题分析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y by x a b a-==±，，所以2,,a b c e ===考点：双曲线的离心率，双曲线渐近线6.右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．【答案】25 【解析】试题分析：第一次循环： 1,3S n ==，第二次循环： 4,5S n ==，第三次循环： 9,7S n ==，第四次循环： 16,9S n ==，第五次循环： 25,1110S n ==>，结束循环，输出25S = 考点：循环结构流程图7.函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ▲ ． 【答案】(,0)-∞ 【解析】试题分析：由题意得230,23,0x x x x x ->><，所以定义域为(,0)-∞ 考点：函数定义域8.1，则此三棱锥的体积为 ▲ ． 【答案】16【解析】，体积为21136=考点：三棱锥的体积9.在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积为，则BC 边长为 ▲ ． 【答案】7 【解析】1sin 153,52bc A bc c b =⨯⨯⇒=⇒==，由余弦定理得22212cos 25930()49,7.2a b c bc A a =+-=+-⨯-==考点：余弦定理，三角形面积10.已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f ≤的解集为 ▲ ． 【答案】[)1,-+∞ 【解析】试题分析：由题意得：()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且1)(1)1f f ==，所以)(1)11f x f x x -⇔-+⇔≥-≤，即解集为[)1,-+∞考点：利用函数性质解不等式11.已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意得：2222T ππωω==⇒=,所以22()242k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，即1322()44k x k k Z -≤≤+∈，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤≤，即单调增区间为13[,]44- 考点：三角函数性质12.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ． 【答案】129【解析】试题分析：由题意得：23452=+21(),2a a a q q q q ⇒=+⇒==-舍，由33k S =，163k S +=-得112196192k k k k k a S S a a q ++++=-=-==，，所以263+192=129k S +=-考点：等比数列性质13.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE = ，3BC BF = ．若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅ 的值为 ▲ ．【答案】7 【解析】试题分析：因为,EF EA AB BF EF ED DC CF =++=++ ，所以32EF AB DC =+，从而1293222733AB DC AB EF AB ⨯+⨯⨯+⋅=⋅== 考点：向量数量积14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离之和为22a b +的最大值为 ▲ ． 【答案】18 【解析】=|||2|4a b a b -++-=，其图像为一个正方形，四个顶点分别为(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)A B C D ----, 而22a b +表示到原点距离的平方，所以22a b +的最大值为218OD = 考点：线性规划求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ． (1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．【答案】(1) 13【解析】试题分析：(1)先由向量垂直得到等量关系：sin 2cos θθ=，再代入式子化简即可：sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++ (2)先由2-=a b得-ab 2=，化简得12cos sin 0θθ-+=，再根据平方关系22cos sin 1θθ+=解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=试题解析：（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-ab 2=，即12cos sin 0θθ-+=， ① ………………………………………10分 又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由① ②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，……12分所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=． ……………………14分考点：向量垂直，同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点．(1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．【答案】(1) 详见解析(2)详见解析 【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用中位线性质得到//PA EF ，再结合线面平行判定定理条件进行论证，(2)先将面面垂直条件转化为线面垂直，过点P 作PD AB ⊥，则PD ⊥平面ABC ,从而PD BC ⊥，又P B B C ⊥，从而BC ⊥平面PAB ,因此BC PA ⊥试题解析：（1）在PAC ∆中，E 、F 分别是PC 、AC 的中点，所以//PA EF ， 又PA ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以//PA 平面BEF ．……………………………………6分 （2）在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ． 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ,………………8分又BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥，…………………………10分考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？【答案】(1) 10210xxθ+=+ (2) 1x = 【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用θ与x 表示后，利用其和为30列式，再解出θ即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用θ与x 表示，再利用第（1）问的结果消去x ，从而可得到y 关于x 函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定y 取最小值时x 的值.试题解析：(1)设扇环的圆心角为 ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+，…………………………………4分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…………7分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ……………………9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==．答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………14分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 考点：函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用. 18.(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ． (1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．【答案】(1) 3x =或4360x y --=． (2) 【解析】试题分析：（1）求ABC ∆的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点,P N 的坐标，再把点M 的坐标用其表示，把点,M N 的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意,,P N M 三点不能重合，即圆和线段BH 无公共点.试题解析：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以外接圆圆心(0,3)H，H 的方程为22(3)10x y +-=．………………4分设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被H 截得的弦长为2，所以3d =． 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-3=，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………8分 (2) 直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤， 因为点M 是点P ，N 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩……………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+， …12分 又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在上的值域为[325，10]，故2325r ≤且2r 10≤9． 15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故C 的半径r的取值范围为． ……………………………16分 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.19.(本小题满分16分)已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）1(2,)3-；（2）71(,)(,)548-∞--+∞ ；（3）当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=. 【解析】(3) 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]02x x x x -++=，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． (12)分由题意知，21000()35k f x x x a '==++，22000525(2)122024k f x x x a '=--=+++，若存在常数λ，使得21k k λ=，则220000251220(35)4x x a x x a λ+++=++， 即常数λ，使得20025(4)(35)(1)4x x a λλ-+=--， 所以常数λ，使得40,25(1)0.4a λλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得常数λ，使得4λ=，2512a =． ………15分故当2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；当2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．16分考点：函数与方程、导数的综合应用. 20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列． （ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）21n a n =-；（ⅱ）详见解析；（2）137,156⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）（ⅰ）由12,a a 可得12,S S ，在递推关系式2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥中，由12,S S 可求3S ，进而求出3a ，于是可利用{}n a 是等差数列求出x 的值，最后可求出{}n a 的通项公式，（ⅱ）易知()21641n n C t t B =--，所以要比较n C 和n B 的大小，只需确定n B 的符号和21641t t --和1的大小关系问题，前者易知为正，后者作差后判断符号即可；（2）本题可由递推关系式21132n n n S S S n +-++=+通过变形得出36(2)n n a a n +-=≥，于是可以看出任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，须且只需12345a a a a a <<<<，从而可以求出x 的取值范围． 试题解析：(1)（ⅰ）因为21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==，所以3149a x =-， ……………………2分 又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =， 所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ……………………4分 （ⅱ）因为()21*n a n n =-∈N ，所以21220n a n n b -==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--， …………………………………5分 所以其前n 项和()21641n n C t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--， ……7分当14t <-或12t >时，n n C B >；当14t =-或12t =时，n n C B =；当1142t -<<时，n n C B <．…………………………………………………………9分（2）由21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()221312(*)n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得2163(2,*)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥， ……………………10分 所以()321613(*)n n n a a a n n +++++=++∈N ,再作差得36(2,*)n n a a n n +-=∈N ≥，………………………………………………11分 所以，当1n =时，.1n a a x ==；当31n k =-时，().31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-； 当3n k =时，().331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，().314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；……14分 因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<， 所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………16分考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用.附加题21.B (选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．【答案】3．【解析】试题分析：本题可先求出曲线C 在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '的方程再与方程2214x y +=加以比较得出a b ,的值，也可在曲线C 上取两特殊点经阵M 所对应的变换作用下得到点在曲线C '上，代入C '方程，求出a b ,的值. 试题解析：设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11ax x by y =⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程． 又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分考点：矩阵与变换.21.C (选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】62． 【解析】试题分析：先将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线l 的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题试题解析：因为圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρsin 2cos 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22,半径为1,…4分因为直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l上的点P +⎝向圆C 引切线长是所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长. 22.（本小题满分10分）某品牌汽车4S 店经销,,A B C 三种排量的汽车，其中,,A B C 三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）155；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(1)这是一个古典概型问题，先求出从15款车型中任买3辆共有多少种可能，再求出购买3辆车都为B 种车有多少种可能，即可求出结果；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，对每种情况要准确分类，求出各种情况下有多少种可能，就可求出X 各种取值的概率，然后再求数学期望.试题解析：(1)设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155． ………………………………4分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.则3335433123(1),44C C C P X C ++===1115433123(3)11C C C P X C ===， 29(2)1(1)(3)44P X P X P X ==-=-==． 所以X 的分布列为……………………………8分数学期望329397()12344441144E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………10分 考点：随机变量的概率分布. 23.（本小题满分10分）已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）1(,1)2Q -．考点：曲线与方程.。

I ← 1 While I < 7S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S（第4题）连云港市2015届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】7AA 1BCB 1C 1D 1D（第8题）BDC（第12题）AA B C DMNQ（第15题）10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．【答案】312．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．【答案】8157+13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中” 为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分 由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分 ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．等级 优 良 中 不及格 人数519233故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，()123=-，x ，=y (44-，)， (2)分则⋅=x y ()1(4)234443⨯-+-⨯=-． …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y ()()()223314242122⎡⎤+-⋅-+=-+⨯-⎢⎥⎣⎦a b a b a b()342144432=-+⨯-⨯=- ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， …… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+- 22c o s c o s 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=334-，此时实数k 取最大值439-. …… 14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为 (0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，5b =，求0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切. 解：（1）因为3a =，5b =，所以2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分 xyO PAF （第18题）θ()2π0 3， 2π3()2π π3， ()f θ' - 0 +()f θ↘极小值334-↗所以210e e +-=，解得512e -=（负值已舍）． (10)分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以()2200PF x c y =-+()22000()x c x c a x ca =--+-+0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥． 当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上 是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数， 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤； 当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． …… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得2142a a a t --=，2242a a a t +-=；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得2342a a a t ++=； 第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分 （注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列 1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分 消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分 ② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ， p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）连云港市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠， …… 3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BCP ， …… 7分 所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．B ACPO（第21 - A 题）解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，3y x =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立2231040y x x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=，解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，纵坐标为532， …… 8分 化为极坐标为()5π 23，． …… 10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，， …… 2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分 所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分 （注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． (10)分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线 AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，，直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，．…… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B（第22题）y xOACPMB 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值；（2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分 当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=．…… 4分 （2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C n n --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与AB =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12C n -+…+222C n n --+22C nn -+…+122222C 2C n n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。

连云港、徐州、宿迁三市2015届高三第三次模拟考试注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3•作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：棱柱的体积公式：V Sh,其中S是棱柱的底面积，h是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题纸相应位置上. 1•已知复数z i(3 4i)(i是虚数单位)，则z的模为▲.2•已知集合A ( 1,3],B {2,4},则B ▲.3•如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图.根据国家标准，污染指数在区间[0,51)内，空气质量为优；在区间[51,101)内，空气质量为良；在区间[101,151)内，空气质量为轻微污染；.由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有▲天. 4•执行如图所示的算法流程图，则输出k的值是▲.5•已知集合A {0,1}, B {2,3,4},若从A,B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为▲.6•设等差数列{a n}的前n项为Si,a3 26,S 28，则a w的值为▲.7•设函数f(x) lO x g2 X, X 0,，贝V f(f( 1))的值为▲.4 , x 08•已知双曲线C的离心率为2,它的一个焦点是抛物线x2 8y的焦点，则双曲线C的标准方(A 4 )程为▲.29•已知函数f(x) sin( x -)(0 2),若f( ) 1,则函数y f(x)的最小正周期为▲IOP,OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，贝U AM AN 的取值范围是 ▲12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C:（x a ）2 （y a 2）2 1,点A （0,2）,若圆C 上存在点 M,满足MA 2 MO 2 10,则实数a 的取值范围是▲0,5 0,若不等式m(x 20,值是 ▲13•已知实数x,y 满足条件 y 2） （x y ）2恒成立，则实数m 的最大14.若函数f(x) ax 2(a1）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题纸指定区域 内作答, 说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）解答时应写出文字在厶ABC ，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,已知cosC - ,sin A . 2 cosB. 3 别为半径(1)求tan B的值;(2)若c -.5,求厶ABC的面积.（本小题满分14分）16.ECD. 如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD,AE 平面求证：AB 平面ADE;若点M在线段AE 上, AM 2ME,N为线段CD中点，求证：EN//平面BDM .(第16®)17. （本小题满分14分）如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F .为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF.设EPA (0 -).2(1 )为减少周边区域的影响，试确定E,F的位置，使△ PAE与厶PFB的面积之和最小;(2)为节省建设成本，试确定E,F的位置，使PE PF的值最小.（第17^>18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆M:冷与1(a b 0),其率心率为一3,两条准线之间的距离为®2B,C分别a b 2 3为椭圆M的上、下顶点，过点T(t,2)(t 0)的直线TB,TC分别与椭圆M交于E, F两点.(1) 椭圆M的标准方程；(2) 若厶TBC的面积是A TEF的面积的k倍，求k的最大值.(第题)19. (本小题满分16分)1 2 1 *设正项数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n刁玄2刁N .正项等比数列｛b n｝满足：匕 2 a2,匕 4 a6.a n,n 2k 1,k N* T(2)设C n n* 数列｛G｝的前n项和为T n,求所有正整数m的值，使得旦恰好b n，n 2k,k N T zm 1为数列｛G｝中的项.20. (本小题满分16分)已知函数f(x) - x3ax2x b,其中a,b为常数.31(1)当a 1时，若函数f(x)在［0,1］上的最小值为-,求b的值；3(2)讨论函数f (x)在区间(a,)上单调性；(3)若曲线y f(x)上存在一点P,使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直, 求a的取值范围.连云港、徐州、宿迁三市2015届高三第三次模拟考试数学n （附加题）注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题〜第23题）。

【学科网学易大联考】2015年第二次全国大联考【江苏版】一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1．已知复数z =201532i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限． 2．已知全集U=N ，集合{}10A x x =->，则=A C U ．3．若样本321,,a a a 的方差是2，则样本12322015,22015,22015a a a +++的方差是 ．4．已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =05，则该双曲线的准线方程为 ．5．已知实数x ∈[3，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ．6．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ． 7．定义在R 上的奇函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，当(02)x ∈，时，()4x f x =， 则(2015)f = ．8. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF 是一个直角三角形，∠AEF = 90︒，AE = 2，EF = 1，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 ．开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第8题）FEDCBA9．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，2π]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．.10．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x的取值范围为 ． 11. 已知函数20151()sin 201521xf x x =++在[]2015,2015-上的最大值分别为,M m ，则M m += ．12．在ABC ∆中，2AC BC ⋅=且两中线AD 与BE 互相垂直，求ABC ∆面积的最大值 ． 13．设P (x ，y)为函数22y x =+(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P的坐标为 ．14．设椭圆和双曲线有公共焦点12F F ，，两曲线的一个公共点为P ，且123F PF π∠=，记12e e ，分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e +的最大值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0） (I) 若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；(II)若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.16．（本小题满分14分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是正方形，E 是棱1AA 上任意一点，F 是CD 的中点． (I) 证明：BD 1EC ⊥； (II)若AF ∥平面C 1DE ，求1AEA A的值． D 1C 1B 1A 1FEDCBA17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地 ABCD ，经测量，AB = 20 m ，BC = 10 m ， ∠ABC = 120 °．拟过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF （点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为 3:1 的左、右两部分分别种植不同花卉．设 EB = x ，EF = y （单位：m ）． （Ⅰ）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；（Ⅱ）求 y 关于 x 的函数关系式；（Ⅲ）请确定点 E ，F 的位置，使直路 EF 长度最短．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A ，B 是圆 O ：221x y +=与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A 右侧），点(2,0)Q -， x 轴上方的动点 P 使直线 PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． (I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II ）设直线 PA ，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S ，T ，求证：点 Q ，S ，T 三点共线．19．（本小题满分16分）设二次函数2()f x ax bx c =++的导函数为().f x '（Ⅰ）若 a = 1，c = 2 ，且在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =()f x '恰与抛物线 y = f (x ) 相切，求 b 的值；（II ）若 ,()()x R f x f x '∀∈≥恒成立，（ⅰ）求证： c ≥a > 0 ；（ⅱ）求222b ac +的最大值．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5459342,S a a a a a =+=+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (Ⅲ)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.数学Ⅱ 附加题部分【理】21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选做题】（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题） A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 若AB =2AC ， 求证：BN =2AM .B ．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2218C y x =：，求曲线C 的方程．C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+，直线l的参数方程为,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：y =最大值．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（本小题满分10分）学校足球队进行罚点球训练，队员在一轮训练中最多可罚4次，并规定，一旦命中该队员即停止此轮练习，否则一直罚到第4次为止. 已知一选手罚点球的命中率为0.8，求一轮练习中，该选手的实际罚球次数X 的分布列，并求X 的数学期望. 23. （本小题满分10分）已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.(Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．MC NBO ·A。

江苏一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______. 不等式224x x-<的解集为________.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合 M={x|x 2+x ﹣6＜0}，N={x|1≤x ≤3}，则M ∩N= ．2．已知数列{a n }为等差数列，其前9项和为S 9=54，则a 5= ．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为 ．4．在等比数列{a n }中，a 1=2，若a 1，2a 2，a 3+6成等差数列，则a n = ．5．若tan θ=1，则cos2θ= ．6．已知在等比数列{a n }中，a 3+a 6=4，a 6+a 9=，则a 10+a 13= ．7．若a ＞0，b ＞0，ab=4，当a+4b 取得最小值时， = ．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 ．10．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 11．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1= ．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是 ．13．在数列{a n }中，若存在一个确定的正整数T ，对任意n ∈N *满足a n+T =a n ，则称{a n }是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列{x n }满足x 1=1，x 2=a （a ≤1），x n+2=|x n+1﹣x n |，若数列{x n }的周期为3，则{x n }的前100项的和为 ．14．当x ，y 满足条件|x ﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=6．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，∴a5=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，即有8q﹣8﹣2q2=0，解得q=2，则a n=2×2n﹣1=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．若tanθ=1，则cos2θ=0．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，∴==q3=，解得q=，∴a10+a13=（a6+a9）q4==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=4．【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b ≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，所以（）•=0，所以，所以cos ＜＞====，所以＜＞=．故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 30 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出可行域，如图所示：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．故答案为：30．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，此时a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．=n，以上式子累加，结合等差数列的求【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1和公式可得答案．=n，等【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．=n是解决问题的关键，属基础题．【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣113．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{x n}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{x n}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n 项和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．∴由题意得，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，∴=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．【解答】解：①函数f（x）=•===，由，解得，即（k∈Z）．∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．∴．∴f（B）=+1∈[2，3]．【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故a n=n，b n=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当S n=+（2+22+…+22012）时，S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当S n=+（2+22+…+22013）时，S n﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。

高三统测试卷（三）答案 理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合}02|{≥-=x x A ，|{x B =0＜x 2log ＜2},则)(B A C R ⋂是（ ）A ．|{x 2＜x ＜4}B ．}2|{≥x xC ．}4,2|{≥≤x x x 或D ． ,2|{〈x x 或}4≥x 2. 在ABC ∆中，“3π=A ”是“1cos 2A =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数4．已知)4sin(cos 22sin ,2,21)4tan(2παααπαππα--<<-=+则且等于（ ）A ．552- B ．1053- C ．552 D ．101035. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．sin()6y x π=+ B. sin(2)6y x π=- C. cos(4)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-6．由直线x =1，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．47B ．411C ．ln2D ．2ln 27. 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 8. 定义在R 上的偶函数，f (x )满足：对任意的x 1, x 2∈(],0-∞(x 1≠x 2), 有(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n *N ∈时，有（ ）A ．f (-n)<f (n-1)<f (n+1) B. f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C. f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D. f (n +1)<f (n -1)<f (-n )9. 函数1|log |3)(21-=x x f x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．210．函数12,41()),3),7),2(2),4x x f x a f b f c f x f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记 则（ ）A ．a >c >bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a >b >c11. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（ ）A ．（－∞，－3）∪（3，+∞）B ．（－3，0）∪（0，3）C ．（－3，0）∪（3，+∞）D ．（－∞，－3）∪（0，3）12．已知定义在R 上的偶函数f (x )在［0，+∞］上是增函数，不等式f (ax + 1)≤f (x –2) 对任意x ∈[21，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．［–3，–1］B ．［–2，0］C ．［–5，1］D ．［–2，1］第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设定义在R 上的函数f （x ）满足7)()2(=∙+x f x f ，若f （1）=2，则f （107）=__________.14．已知直线y =2x +1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为 ．15. 下列几个命题：①函数y =是偶函数，但不是奇函数；②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③ 设函数()y f x =定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ④若函数)0)(cos(≠+=A x A y ϕω为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；⑤已知x ∈（0，π），则y =sin x +xsin 2的最小值为。