2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明 11-1a Word版含解析

【2019最新】精选高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数解析：选B．“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”索的因应是( )B．a－c>0A．a－b>0D．(a－b)(a－c)<0C．(a－b)(a－c)>0解析：选C．<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．故选C．3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )B．b＞c＞aA．a＞b＞cD．a＞c＞bC．c＞a＞b解析：选A．因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋＞＋＞＋＞0，所以a＞b＞c．4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )B．至少有一个大于2A．都大于2D．至少有一个不大于2C．至少有一个不小于2解析：选C．假设三个数都小于2，则＋＋＋＋＋<6，由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2．故选C．5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )B．A≤C≤BA．A≤B≤CD．C≤B≤AC．B≤C≤A 解析：选A．因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f．6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是( )B．m≥nA．m>nD．m≤nC．m<n 解析：选C．－<⇐＋>⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立，故m<n．选C．二、填空题7．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)的函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1<cn．答案：cn＋1<cn 8．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f(x)＝ax ＋a －1，则f(x)在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f(0)f(1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0，所以<a<1．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，19．设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析：易知f(x)＝在定义域内是增函数，由f(f(b))＝b ，猜想f(b)＝b ．反证法：若f(b)>b ，则f(f(b))>f(b)>b ，与题意不符，若f(b)<b ，则f(f(b))<f(b)<b ，与题意也不符，故f(b)＝b ，即f(x)＝x 在[0，1]上有解．所以＝x ，a ＝ex －x2＋x ，令g(x)＝ex －x2＋x ，g′(x)＝ex －2x ＋1＝(ex ＋1)－2x ，当x∈[0，1]时，ex ＋1≥2，2x≤2，所以g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上是增函数，所以g(0)≤g(x)≤g(1)⇒1≤g(x)≤e，即1≤a≤e． 答案：[1，e]10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法) 令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p 的取值范围为．法二：(直接法)依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p －1＜0或2p2＋3p －9＜0，得－＜p ＜1或－3＜p ＜，故满足条件的p 的取值范围是．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 三、解答题11．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋ycosA ＋cosB ＝0与ax ＋ycos B ＋cos A ＝0平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0，由正弦定理可知sin Bcos B －sin Acos A ＝0，即sin 2B －sin 2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝．若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝，即△ABC 是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a ＝b 或a2＋b2＝c2．若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a2＋b2＝c2，即△ABC 是直角三角形．12．已知数列{an}满足a1＝，且an ＋1＝(n ∈N*)．(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝anan ＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<．解：(1)由已知可得，当n∈N*时，an ＋1＝，两边取倒数得，＝＝＋3，即－＝3，所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{an}的通项公式为an ＝．(2)证明：由(1)知an ＝，故bn ＝anan ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝，故Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝×＋×＋…＋×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝＝－·．因为>0，所以Tn<．。

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第2讲数系的扩充与复数的引入板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足（1＋i)z＝2i，则｜z|＝( ）A。

错误! B。

错误! C.错误! D．2答案C解析错误!由（1＋i)z＝2i，得z＝错误!＝1＋i，∴|z｜＝错误!.故选C。

解法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由（1＋i)z＝2i＝（1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝错误!。

故选C。

2．[2018·湖南模拟］已知错误!＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案D解析由错误!＝1＋i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.3．［2018·江西模拟］已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°,则z1·z2为（）A。

错误!＋错误!i B.错误!＋错误!iC.错误!－错误!iD.错误!－错误!i答案A解析z1·z2＝（cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝错误!＋错误!i.故选A。

（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3讲合情推理与演绎推理板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．(1）已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是错误!ah，如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为错误!lr;(2）由1＝12，1＋3＝22,1＋3＋5＝32,可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则（1）（2)两个推理过程分别属于( ）A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理答案A解析(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．故选A.2．把1，3，6,10，15，21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下图），试求第七个三角形数是( ）A．27 B．28 C．29 D．30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!,∴第七个三角形数为错误!＝28.3．［2018·太原模拟］观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．121 B．123 C．231 D．211答案B解析令a n＝a n＋b n,则a1＝1,a2＝3，a3＝4，a4＝7,…，得a n＋2＝a n＋a n＋1,从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( )A ．n ＝4B ．n ＝5C ．n ＝6D ．n ＝7答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6答案 C解析 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)都能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明如下：当n ＝1,2时，由以上得证．假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)，∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k答案 C解析 因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋(3k )＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为 ( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C. 7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数N (n,4)＝n 2；五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( )A ．500B ．1000C ．1500D ．2000答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( )A ．3n ＋1B ．4nC ．5n －1D ．6n －2答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D.二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______.答案 12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1 S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n . 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案 n n ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23； 由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝n n ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1. (1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )； T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )； T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )； 由此可猜想T n ＝n a 1(a 1＋nd ). (2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立， ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，即T k ＝k a 1(a 1＋kd )， 则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2 ＝k a 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ] ＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ] ＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ]. 即n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立． 14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)． (1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1，∴a n ＋1＝± a n ＋12， 又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3.猜想：当n ≥3时，a n <b n ，下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立．②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立，即a k <1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12< 2－2k ·k ！2 ＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0， 即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立． ∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②，①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列．∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . (2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2， 以下比较1b n与S n ＋1的大小： 当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2， 当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3， 当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4， 当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5， 猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1.综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1. 16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3；(2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)， 令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)， 令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2. 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1. 故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )ii·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.2－iB.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i ＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i.故选C. 5．(·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A.2－12B.2－1 C ．1 D.2＋12 答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.6．(·安徽十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B. 7．(·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C.9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立．其中真命题为( )A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.13．(·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎨⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.三、解答题15．(·徐汇区校级模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0，解得y ＝－2. ∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵z 2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4. ∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6， 即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值．解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1. (2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.而|z |＝(m －1)2＋(2m ＋1)2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )i i·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.2－iB.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(2018·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( ) A ．i B ．1 C ．－i D ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i.故选C. 5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A.2－12B.2－1 C ．1 D.2＋12 答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A.6．(2017·安徽江南十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B. 7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i＝32＋12i ，所以z＝32＋32i.故选D.10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立．其中真命题为( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4) D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab ＝2.13．(2016·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎨⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.三、解答题15．(2017·徐汇模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0， 解得y ＝－2.∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵z 2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4. ∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6， 即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(2017·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值．解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1. (2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1， 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，1.而|z |＝(m －1)2＋(2m ＋1)2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。

11.5数学归纳法E课后作业孕谀[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.(2016 •安庆高三月考)用数学归纳法证明2W(/?>5,胆NJ,第一步应验证()A.n=4B. /7=5C.刀=6D. n=7答案B解析根据数学归纳法的步骤，首先要验证刀取第一个值时命题成立，又刀N5,故第一步验证77=5.故选B.2.用数学归纳法证明12+22+-+(/7- 1) 2+/72+(/7-1)2 + - + 22+12 = /? 2/?3+1时，由n=k的假设到证明n=k+\时，等式左边应添加的式子是()A.(A+1)2+2A2B.(&+1F+护C.(Zr+1)2D.|a+1) [2a+l)2+l]答案B解析由n=k 80 n= k+1时，左边增加(&+1)' + #.故选B.3.(2018 •沈阳调研)用数学归纳法证明“/『+(卄1)'+(卄2)江用2)能被9整除”, 利用归纳法假设证明n=k+1时，只需展开()A. (&+3)‘B. (&+2)‘C. (A+l)3D. U+l)3+(A+2)3答案A解析假设n=k时，原式护+(外1尸+(斤+2)'能被9整除，当n=k+1时，(斤+1)‘ + (A+2)3+(A+3)3为了能用上面的归纳假设，只须将U+3)3展开，让其出现#即可.故选A.4.己知代刀)=(2刀+7)・3"+9,存在自然数加使得对任意用N*,都能使刃整除A/?), 则最大的/〃的值为()A. 30B. 26C. 36D. 6答案C解析・.・f(l)=36, /(2) =108 = 3X36, f(3) =360=10X36, :f(2), f(3)都能被36整除，猜想fS)能被36整除证明如下：当/7=1,2时，由以上得证.假设当n= kgb 时,f(/d = (2A+7)・3"+9 能被36 整除,则当n=k+1 时,/U+1)—/W = (2&+9) • 3小一(2斤+7)・3“=(6£+27)・ 3*-(2£+7)・ 3"= (4W+20)・ 3"=36(斤+5)・ 3"_2(^2), :. f(k + 1)能被36整除・・・・f(l)不能被大于36的数整除，.••所求最大的/〃的值为36.5.(2017 •泉州模拟)用数学归纳法证明n+ (/?+!) + (/?+2) +•••+ (3/?-2) = (2/7-1)2(/?GN*)时,若记/'(刀)=刀+ (刀+1) + (卄2) ------- (3刀一2),则 f{k+Y) —/*(A)等于()A. 3A-1B. 3A+1C. 8kD. 9k答案C解析因为 f(&)=&+4+1)+ 4+2)+・・・+(3&—2), AA+1) = a+1) + a+2) +••• + (3&—2) + (3斤一 1)+ (3&) + (3£+1),则 f(k+1) 一/W =3—1 +3k+3k+1 一k=8k.故选C.6. （2018 •太原质检）平面内有刃条直线，最多可将平面分成代刃）个区域，则代刀）的表 达式为（）A. n+1 r 孑乜+2答案C解析1条直线将平面分成1 + 1个区域;2条直线最多可将平面分成1 + （1+2）= 4个区 域；3条直线最多可将平面分成1 +（1+2 + 3） =7个区域；……；〃条直线最多可将平面分成 1 + （1+2 + 3 +・・・+ 〃）=1 + " 罗 =刃+；汁2个区域.故选c.7.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第〃 个三角形数为刀 罗1 =*+切.记第〃个斤边形数为AO,力（Q3），以下列出了部分斤 边形数中第〃个数的表达式:三角形数Nln, 3） =£/『+£〃；正方形数Nln, 4) =n :六边形数N 〈n, 6) = 2n —n.可以推测川刀，力的表达式，由此计算M10, 24) = ()A. 500B. 1000C. 1500D. 2000答案B11Q — 94 — 34 — 24 — 4解析 由已知得，Nln, 3) =~rf +㊁刀厂/?, N(n, 4) =/=—厂/+—厂刀，N(n, 5)31^ — 9 4—斤 fi —9 4 — 6_：门=匕一川+ J m Nlm 6) = 2n — n= o n + °根据归纳推理可得，Nlm &)k —2 2 4 — k 广 i i、 24 — 2 2 4 — 24丄匚亦，八亠=二一/?「+飞一刀.所以 M10, 24） X 10"+^—X 10= 1100-100 = 1000,故答案为1000.选 B.8.若数列｛弘｝满足％+5如1 = 36/?+18,刀丘『 且6/1 = 4,猜想其通项公式为（）A. 3/7+1B. 4/7C. 5/7— 1D. 6/7—2B. 2/7 D ・ n +〃+13五边形数N5, 5）=夺 1答案D解析由0=4求得臼2=10,臼3=16,经检验臼”=6/7—2.故选D.二、填空题9. 设$=l+*+g+# -------------- 寺，则$+1 —$= _______2“+1 +2/,+ 2+2//+3+，，＜+9+1 — ^=2'+1+2/，+2 +2/，+3_1 卜2"+2"10.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 下图为一组蜂巢的截面图•其屮第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以代/7）表示笫/7个图的蜂巢总数，则用/7表示的A/；） =•解析 由于 f(2)—f(l)=7—l=6, A3)-A2) =19-7=2X6, 推测当心2 时,有 f(/7)— f(/7—1) =6(/7—1),所以 f ｛n) = [f(n) — f\n — 1) ] + [f(〃一 1) —/'(〃一2) ] + [Az?-2) —f(n —3)] 卜[f(2)-f(l)]+f(l)=6[(/?-l) + (/?-2)+・・・ + 2 + l]+l=3/-3/?+l.又 f(l) =l=3xr-3Xl + l, ・・・f(/7)=3//-3〃+l.11. 设数列｛/｝的前刀项和为S”且对任意的自然数刀都有($—1)2=/$,通过计算S,$, 猜想 Sn= __________ .n答案币解析由（$ —1）2=£,得 $=*； 2由(1)2= (5 —$)$,得 $=§；答案 解析S T +1 = 1 b 2 + 3+44 答案1'+2'+3'+4‘=(1+2+3+4)2,由此可猜想第刀个等式为 1'+2‘+3'+4‘+・・・ + /= (1+2+3、9 n n+1+・・+沪=———三. 解答题13. (2017 •河南期末)设等差数列&｝的公差小0,且 沙0,记T lt =——3\32 日2&3 3n3trV\(1) 用句，〃分别表示蛊，兀，并猜想兀； (2) 用数学归纳法证明你的猜想.解 (1) T\= = TTJ~；由此可猜想T tl = ------ .a\ a\-r nd(2)证明：①当〃=1吋，7\= ------ ,结论成立,a\ a\ + d②假设当n=k 时(圧N")时结论成立， 即 Tk= I ,,—,a\ a\~\~kd则当 n=k+1 时，Tk+i = T k + ---- -禺+偸+2=—士—+ __________________ 1 ___________ a\ a\ + kd a\ + kd [&+ k+l d]•: 3f t = 2 3n+1 — 1 91 . 112 —十 日日花】 日2丿“ T1 1 1 1 1 ¥ I' /3 —十 十 臼<31 电丄丄' | 2 2® di) 日 1 日 3 a\ a\ + 2d(1) COS'3X2^=COS2兀 3X2^= 2(COS ^^7・・・盼产土寸岁，又“+122,日”+i〉0,(2)当刀=1 时,0=_*,方】=1一2 = — 1, /. ai>Z?i,当n=2时，&2=刁血=1—㊁=空，:.氐=b“当n— 3时，臼3=^"",厶=1 —§=§，猜想：当/?23时，必人，下面用数学归纳法证明：①当77=3时，由上知，曰3＜厶，结论成立.②假设n=k, 5,时，幼5成立，1 4即证明I~T^T＜ 1 - k+\•A+1 ! +「2 ]•・_ £+1 ~~-~~k+\~~"J 'I 4 「 2 T即证明&+i •&+i ! +[ &+1 •&+1 ! %，k_\ 2「 2 n即讪明k k+1—•—~k+l — +|_ —•—k+l —显然成立・:.n=k+1吋，结论也成立.综合①②可知：当心3时，成立.综上可得，当门=1时，0＞方1；当n=2时，6?2=&；当〃23, /7EN*时,冰bn、15.(2018 •上饶模拟)已知等差数列｛/｝的公差〃大于0,且昂是方程/-12^+27 =0的两根,数列｛爲的前刀项和为％且7；=1—尹.(1)求数列｛廟，｛加的通项公式；(2)设数列⑷的前/?项和为$,试比较*与恥的大小,并说明理由.解(1)设弘的首项为V^2,念是方程x — 12x+27 = 0的两根，• •禺=2/7 — 1.1 2T 〃= 1 时，A=7i = l —前,:.bi =-心2时，％=1-如"①，％一】=1-挤一1②,(2)5=1+ 7_1 刀=//,汕=(卄1严， 以下比较+与Sm 的大小：On1 3 1当n =1时，〒=云,$=4,〒〈$,力：2 bi 1 9 1当刀=2 时，—$=9, —<S, b> z th1271当刀=3 时，—=~, $=16, 了〈$,‘ 1 1 81 1 日刀=4 吋，厂二£=25, 丁>&,b\ 2 b\猜想：刀24时，｝>9+i.bn 下面用数学归纳法证明： ① 当77=4时，已证.② 假设当n=k(kwN, ^4)吋，*Sz3X 即y>(A+l)2,那么,n=k+1 时, ] 3*+i 3*"_=~=3 •石>3(*+1)2=3#+6A+3—(F + 4&+4) +2 护+2A —1> [ (&+1) + 1]'=S(A +I )+I .综合①②，当刀$4时，+>SrH ・16. (2018 •合肥模拟)函数A%)=/-2x-3.定义数列｛必｝如下：匿=2, 是过两点户(4, 5), @(疋，f(^))的直线/U 与X 轴交点的横坐标.⑴证明：2W 血5+K3；解得曰1 = 1,d=2、①一②得仏=飢7数列是等比数列.2（2）求数列｛/｝的通项公式.解（1）证明：用数学归纳法证明卄K3. ① 当刀=1时，孟=2,直线PQ 的方程为 厂5丿二「5匕—4）,令尸0,解得上=¥，所以2£眉＜卫〈3. ② 假设当n=k 时，结论成立，即2W 池5+K3. 直线PQz 的方程为y-^=r：）（A-4）,血+i —4所以2W*H 5+2＜3,即当n=k+1时,结论也成立. 由①②知对任意的正整数门,2W 疋＜^+K3・3 +4 x ⑵由⑴及题意得设 bn=X r — Z,'1 11 3 1 1 Q所以数列云+才是首项为一孑公比为5的等比数列，因此云+2=—]・門，即b 严一3 • 5z?_,+r3 由($ —1)2=($ — *S )得 $=孑猜想5?=刀+ ].12. (2018 •云南名校联考)观察下列等式：13 4= I 2,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+ 4：i=10\…，根据上述规律，第刀个等式为 __________ ・3 3 3 3 「77〃+ 1 I.,答案 1'+2'+3'+・・・+ /= ---------- ------ 〜解析 由第一个等式 13=12,得 13=(1+0)2；第二个等式 13+23=32,得 1'+2'= (1+2)2； 第三个等式13+23+33=62,得 13+23+33=(1+2+3)2；第四个等式 13+23+33+43=102,得故数列｛小的通项公式为如=32 + 池+1由归纳假设知心+2=驻g_ k\_a\+&+1 d\-\~ a\a\ a\ + kd[<3i+ k+\ d]& + kd&+1 k~\~ 1 a\ a\ + kd[0+k+1 d]0 [臼1+ k+1 d\'即n=k+1时，结论成立.由①②可知，几=----- 对于一切用2恒成立.a\ a\十nd14.(2017 •扬州模拟)在数列 &｝中，日“=cos3x 2(〃WN*).(1)试将N沖表示为②的函数关系式；2(2)若数列｛加满足5=\———(/?eN*),猜想/与人的大小关系，并证明你的结论.n • n\。