_学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学业分层测评新人教A版选修2_1

2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。

学习资料高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：双曲线及其标准方程[A 组 学业达标]1．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切,则动圆圆心的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线解析：设动圆半径为r ,圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1｜＝r ＋1，｜OO 2｜＝r ＋2，∴｜OO 2｜－｜OO 1｜＝r ＋2－r －1＝1〈｜O 1O 2｜＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支． 答案：A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B （5，0）距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是（ ） A 。

错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C 。

x 29－错误!＝1(x ≤－3）D 。

错误!－错误!＝1（x ≥3）解析：由题意c ＝5，a ＝3，∴b ＝4。

∴点P 的轨迹方程是错误!－错误!＝1(x ≥3)． 答案：D3．k 〉9是方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的（ ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件解析:当k 〉9时，9－k <0，k －4〉0,方程表示双曲线．当k <4时，9－k >0，k －4<0，方程也表示双曲线．∴k 〉9是方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：B4．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a的值是（）A。

错误!B．1或－2C．1或错误!D．1解析：依题意：错误!解得a＝1。

答案:D5．设P为双曲线x2－错误!＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1｜∶｜PF2｜＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6错误!B．12错误!C．12 D．24解析:由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，｜PF1|－|PF2｜＝2，又|PF1｜∶｜PF2|＝3∶2，∴|PF1｜＝6,|PF2｜＝4。

2.1.1 椭圆及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32 D ．(0，±3)【解析】 ∵y 21＋x 214＝1，∴椭圆的焦点在y 轴上，并且a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，即焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32.【答案】 C2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．4D ．1【解析】 由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.【答案】 A3．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，∴a ＞3或－6＜a ＜－2. 【答案】 D4．已知A (0，－1)，B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2)B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 【答案】 B5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B ．y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D ．y 294＋x 2254＝1【解析】 由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝6，故椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 【答案】 A 二、填空题6．椭圆方程mx 2＋ny 2＝mn (m >n >0)中，焦距为________.【解析】 椭圆方程可化为x 2n ＋y 2m＝1，∵m >n >0，∴椭圆焦点在y 轴上．∴c ＝m －n ，即焦距为2m －n .【答案】 2m －n7．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．【解析】 方程可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α，即sin α>cos α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫π4，π28．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12|PF 1||PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝c2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3. 【答案】 3 三、解答题9．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍. 【解】 原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4. ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)． 设P (x ，y )是椭圆上任一点， 由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即⎩⎨⎧x ＋2＋y 2＝2，x －2＋y 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝347，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，347或⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，－347.10．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 如图，设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.[能力提升]1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 设A 为椭圆左焦点，而BC 过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.【答案】 C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线【解析】 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．【答案】 B3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．【解析】 如图所示，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， |MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. ∵N ，O 分别是MF 1，F 1F 2中点． ∴|ON |＝12|MF 2|＝12×8＝4.【答案】 44．(2014·重庆高考改编)如图2­1­3，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求该椭圆的标准方程．图2­1­3【解】 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.x2 2＋y2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为。

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1 双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．已知M（－2,0)，N（2，0)，|PM|－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支【解析】本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM｜－|PN|＝4，恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线．【答案】C2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F2(－错误!，0)，点P位于该双曲线上，线段PF2的中点坐标为（0,2),则该双曲线方程为（）A。

错误!－y2＝1 B．x2－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1【解析】易知点P的坐标为（错误!，4),把点P的坐标代入选项中的方程只有B适合．【答案】B3．已知P是双曲线x24－错误!＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1｜＝3,则｜PF2｜等于（)A．1或5 B．6C．7 D．9【解析】由题意a＝2，∴｜|PF1｜－｜PF2｜｜＝4。

∴|PF2｜＝7。

=1 2高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1双曲线及其标准方程学业分层测评含解析北师大版选修11（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1•已知 M — 2,0） , N （2,0） , I PM — I PN = 4，则动点 P 的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的左支C. 一条射线D.双曲线的右支【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果. 由于|PM—|PN = 4,恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线.【答案】 CF 2（ — 5, 0），点P 位于该双曲线上，线段 PF 2的中点坐标为（0,2），则该双曲线方程为2X 2A.4 — y =12 2x yC~ — = 12 3【解析】 易知点P 的坐标为（，5, 4），把点P 的坐标代入选项中的方程只有 B 适合.【答案】 B2 23. 已知P 是双曲线X 4 — 9 = 1上一点，F 1, F 2分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF | = 3,则|P 冋等于（）A. 1 或 5B. 6C. 7D. 9【解析】 由题意a = 2,.・.|| P 冋—|P 冋| = 4.「.IP 冋=7. 【答案】 C2X 24. 与椭圆-+ y 2 = 1共焦点且过点 Q 2,1）的双曲线方程是（2X 2A — — y = 1 2 y 2 2x y2.已知双曲线中心在原点且一个焦点 B.D.2X 2 B- 7—y =1D.2X3C.X3-3 =1【解析】T C = 4 —1 = 3,.••共同焦点坐标为（土- , 0）,2 2设双曲线方程为p— * = 1（a>0, b>0），则由2X 2双曲线方程为——y = 1.【答案】 A2 2 25. F 1, F 2是椭圆X 6 + = 1和双曲线X 3 — y 2= 1的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点, 贝y cos / F 1PR 等于( )1 11 1A.：B. 7C.— D- 4 3 109【解析】不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF | — | PB| = 2 3 ,①由椭圆的定义，| PF | + | PF | = 2區②由①②可得，|PF | =■_6+ .3, |P 冋=6 — 3, T| F 1F 2I = 4,|PF |2+ |PFf —|R F 2|2 1 "C0S / F1PF =2|PF || P 冋 =3.【答案】 B 二、填空题6. ____________________________________________________ 双曲线5x 2 + ky 2= 5的一个焦点是(2,0)，那么k = _____________________________________________2【解析】 方程可化为X 2—匕=1 ,5 —k5 5 •••1 — k = 2,解得 k = — 3.5【答案】—5 37.(2014 •北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(一，2,0) , C .2, 0)，一个顶点是(1,0),则C 的方程为 ________ .2【解析】由题意，设双曲线的方程为X 2-討1(b >0), 又••• 1+ b 2= ( 2)2,A b 2= 1,即双曲线C 的方程为x 2 — y 2= 1.【答案】 x 2— y 2= 12 241 a 2— b 2= 1， 解得a 2= 2,b 2= 1,&已知F是双曲线X—1"2= 1的左焦点，A(1,4) , P是双曲线右支上的动点，则|PF +I PA 的最小值为_______ .【解析】 设右焦点为 F ',由题意知 F ' (4,0)，根据双曲线的定义，|PF 1 - | PF | =4 ,.・.|PF + |PA = 4 + I PF I + |PA , •••要使 |PF + I PA 最小，只需 |PF' I + |PA 最小即 可，即需满足 P 、F '、A 三点共线，最小值为 4+ | F ' A = 4+寸9工76 = 9.【答案】 9 三、解答题2 2x y9•若双曲线 云一寿=1的两个焦点为 F i 、F 2, |F 冋=10, P 为双曲线上一点，|PF | =2|PR | , PF 丄PF ，求此双曲线的方程.【解】 V] F1F2I = 10, • •2 c = 10, c = 5.又 V ] PF | — | PF = 2a , 且 |PF | = 2| PF | , • I PF = 2a , | PF | = 4a .在 Rt △ PFF 2 中，| F 1F 2I 2= |PF |2+ | P^|2,2 2• 4a + 16a = 100.2 . 2 2 2• a = 5.贝V b = c — a = 20.2 2x y故所求的双曲线方程为一乔=1. 5 2010.已知动圆 M 与圆C ： (x + 4) + y = 2外切，与圆C 2： (x — 4) + y = 2内切，求动圆 圆心的轨迹方程.【解】 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 相外切，所以|MC = r + 2，又动圆与圆C 相内切，所以有| MC = r -羽，于是| MC - | MC = (r +灵)—(r —血 =2迄，且半<|CC 2|，因此动圆圆心 M 的轨迹是以C 、C 2为焦点的双曲线的右支.2b 2=1，则有 2a = 2 2，即 a = 2,222又 c = 4,.・.b = c — a = 16— 2= 14,2 2于是动圆圆心的轨迹方程为 x —14 = 1(x > 2).［能力提升］2 2x y1.已知R 、F 2为双曲线匚一夕=1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲5 42x 设其方程为r a线的右支上，则| AP + | AF a|的最小值为(A. .37+ 4C. ,37—2 .5)B. . 37—4 D. 37 + 2 .5【解析】如图所示，连接FP交双曲线右支于点A.• | AP | + | AF 2| = | AF | + | AF |•••要求| AP | + | AF |的最小值，只需求| AP + | AF |的最小值.当A 落在A 处时，|AF | + | AF | = | PF |最小，最小值为 Q 37,.・.| AF | + | A 冋的最小值为 37 - 2 5.【答案】 C2X 22.若点O 和点F （ — 2,0）分别为双曲线— y = 1（ a >0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 OP FP 的取值范围为（ ）X o 22X 0设点 F (X 0, y °)，则 3 — y 0= 1，即即 y °= — — 1.f fX 0OP* FP = X 0( X 0 + 2 ) + y °= X 0+ 2X 0+ ~ — 1 324 3 7=3X0+4 — 4, • X 0> 3,f f故OP ・FP 的取值范围是［3 + 2・.3,+s ），故选B. 【答案】 B2X3•与椭圆二+ y 2 = 1共焦点且过点 Q 2,1）的双曲线方程是 ____________ .42 2【解析】 • c 2= 4 — 1 = 3,.••共同焦点坐标为（土 3, 0），设双曲线的方程为 p — = 1(a >0, b >0)，则由A. [3 — 2 3 ,+s) 7C — — +m4?B. [3 + 2 3,+口7 D. -，+-【解析】 由2X 2.3 — y = 1.a +1 = 4,得a = 3，则双曲线方程为4 1 孑-b 2= 1，2. 2小a +b = 3,x 2双曲线方程为——y = 1.2x 2［答案】 2—y2=i4•已知方程kx 2 + y 2= 4,其中k € R,试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型. 【解】(1)当k = 0时，方程变为y =± 2,表示两条与x 轴平行的直线；2 2 .. ..(2)当k = 1时，方程变为x + y = 4,表示圆心在原点，半径为 2的圆；2 2⑶ 当k <0时，方程变为 七—-^4= 1,表示焦点在y 轴上的双曲线.—k2 2x y⑷当0<k <1时，方程变为—+ — = 1,表示焦点在x 轴上的椭圆；k2 2⑸ 当k >1时，方程变为 扌+七=1,表示焦点在y 轴上的椭圆•k解得a 2=2, b = 1,。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线的标准方程学业分层测评 苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·徐州高二检测)双曲线y 216－x 29＝1上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．【解析】 据题意知|PF 1－PF 2|＝|PF 1－10|＝8，∴PF 1＝18或2. 【答案】 18或2 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．【解析】 由题意，得c ＝m 2＋＋－m2＝4，∴焦距为2c ＝8.【答案】 83．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．【解析】 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1.【答案】 y 2－x 23＝15．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．【解析】 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.【答案】 2 36．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________. 【导学号：09390032】【解析】 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343.【答案】3437．(2016·江西九江模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是PF 1的中点，若OM ＝1，则PF 1的值为________．【解析】 因为M 是PF 1的中点，所以PF 2＝2OM ＝2，又由双曲线的定义知：PF 1－PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝10.【答案】 108．(2016·云南玉溪模拟)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________. 【导学号：09390033】【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18，∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.【答案】y 29－x 272＝1 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 【解】 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【解】 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.能力提升]1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知PF 1－PF 2＝2a ＝2， ∴43PF 2－PF 2＝2， ∴PF 2＝6，PF 1＝8. 又F 1F 2＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.【答案】 242．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_____．【解析】 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5. 由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上， 故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.【答案】x 216－y 29＝1 3．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.【答案】x 24－y 2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3­1所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．图2­3­1【解】 矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，∴界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵a ＝25,2c ＝|AB |＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507， ∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质学业分层测评 新人教A 版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a ＞0)，∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即b a ＝1，e ＝c a＝ 2. 【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b ax ，得点A 的坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， ∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】52三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24.∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b2＝1的右焦点为(2，0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积．【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)∵a ＝3，b ＝1， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝433.[能力提升] 1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程高效测评 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线解析： 原方程化为：y 2k 2－1－x 21＋k＝1∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0，∴方程的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．故选B. 答案： B2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1 解析： 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1，又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选A.答案： A3．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1和F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A.12(m －a ) B ．m －a 2C ．m 2－a 2D.m －a解析： 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a 2. 答案： B4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24解析： 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形F 1PF 2为直角三角形． ∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中命题正确的序号为________． 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得1<k <52或52<k <4，此时方程表示椭圆，且1<k <52时表示焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k )·(k －1)<0得k <1或k >4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案： ③④6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析： 由题意得c 2＝a 2＋b 2，即25＝m ＋9，∴m ＝16. 答案： 16三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)求焦点在y 轴上，且过点P 1(3，－42)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5的双曲线的标准方程；(2)已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解析： (1)设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．因为P 1，P 2在双曲线上，所以P 1，P 2的坐标适合方程，所以有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，令m ＝1a 2，n ＝1b2.则方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝125m －8116n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116n ＝19，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9.∴所求方程为y 216－x 29＝1. (2)已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意． ∴所求双曲线标准方程是：x 2－y 224＝1.8．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程．解析： 依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝2 5.所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中2a ＝4,2c ＝|F 1F 2|＝25， 即a ＝2，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝1， 故L 的方程为x 24－y 2＝1.9．(10分)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点坐标分别为(－22，0)和(22，0)，且该双曲线经过点P (3,1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F 是双曲线的右焦点，Q 是双曲线上的一点，过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，且MQ →＋2QF →＝0，求直线l 的斜率．解析： (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝89a 2－1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6b 2＝2.于是，所求双曲线的方程为x 26－y 22＝1.(2)∵点F 的坐标为(22，0)，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －22)，令x ＝0，得y ＝－22k ，即M (0，－22k )．设Q (x 0，y 0)，由MQ →＋2QF →＝0，得(x 0，y 0＋22k )＋2(22－x 0，－y 0)＝(0,0)，即(42－x 0,22k －y 0)＝(0,0)，故⎩⎨⎧x 0＝42y 0＝22k.又Q 是双曲线上的一点，∴x 206－y 202＝1，即226－2k22＝1，解得k 2＝1312，∴k ＝±396.故直线l 的斜率为±396.。

2.1 曲线与方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________． 【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2­1­1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)B ．y ＝－43x (0≤x ≤4)C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4)D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4x B ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3) D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3) 【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )， 依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4， 方程表示半径为2的圆， 因此图形的面积S ＝π·22＝4π. 【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1， 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2＋y －2，|AB |＝x2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。