初三数学最后一课

上好初中数学的最后一课
一年之计在于春，一日之计在于晨，一个高中学生三年的成长发展，不论是数学知识的获得，个性的陶冶，还是思维水平、数学能力的提高，都遵循这样一个规律——“三年发展看高一，高一关键在一上”，“良好的开端，成功的一半”，高一上学期，特别是高一上学期的前半学期，是从初中学习到高中学习的“转规期”，这个“规”转得顺不顺、好不好，对于能否顺利适应高中三年学习特别关键，不少刚入高中的同学虽然中考成绩不错，最后却造成数学成绩大滑坡，甚至不及格，造成这种现象的原因是多方面的，但很重要的一个原因在于没有上好初中最后一课——“初高中”数学的衔接课，尤其缺乏了解初高中数学知识“脱节”点，近些年已引起了一些教育专家的高度重视，因此，中考前适当地做一些“初高中”衔接中考题可起到事半功倍、一举两得的效果。

第一章直角三角形的边角关系第1课时§锐角三角函数教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。

这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。

师生共同研究形成概念1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。

这就涉及到倾斜角的问题。

用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。

但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。

1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。

当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。

这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

3、 正切函数（1） 明确各边的名称（2） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。

23.2.3 关于原点对称的点的坐标教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册第二十三章“旋转”23.2.3 关于原点对称点的坐标，内容包括：关于原点对称的点的坐标及应用．2.内容解析本节课在学生学习平移、轴对称在平面直角坐标系中坐标特点的基础上，进一步探究关于原点对称的两点坐标间的关系，并利用这一关系解决一些问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：掌握关于原点对称的两点坐标间的关系.二、目标和目标解析1.目标1）通过探究学习能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.2）通过对知识的学习能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.3）通过学生经历观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力，以及与他人合作交流的能力.2.目标解析达成目标1）的标志是：求直角坐标系中任意一点关于原点对称的点的坐标.达成目标2）的标志是：运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.教学重难点：通过探究学习能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.通过对知识的学习能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.三、教学问题诊断分析本节课是在中心对称的基础上学习关于原点对称的点的坐标，学生得出两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，教学时，教师要充分利用具体图形，让学生获得感性认识，进而利用这一性质作一个图形关于原点对称的图形.基于以上分析，本节课的教学难点是：能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图．四、教学过程设计（一）复习旧知，引入新课问题1：对于图形的运动，我们已经学习了哪些内容？平移，轴对称，旋转，中心对称追问1：以轴对称为例，我们学习了它的哪些相关知识，是按照怎样的顺序学习的?定义——性质——作图——坐标表示追问2：对于中心对称，我们已经学习了哪些内容？定义——性质——作图与轴对称的学习过程作对比，我们这一节课就来学习用坐标表示中心对称。

人教版九年级数学下册： 27《小结》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学下册第27课《小结》是本册教材的最后一课，主要目的是帮助学生回顾和总结整个九年级数学的学习内容，提高学生的综合运用能力。

本节课的内容包括对之前学习的代数、几何、概率等知识的回顾和总结，以及一些常用的数学方法和技巧的介绍。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了大部分的初中数学知识，但是对于一些概念的理解和运用可能还不够深入。

在学习过程中，他们需要通过教师的引导和启发，将已学的知识进行整合和提升，形成自己的数学思维和方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生能够回顾和总结九年级数学的主要知识点和方法。

2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和自信心，培养他们积极面对困难和挑战的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：帮助学生回顾和总结九年级数学的主要知识点和方法。

2.教学难点：如何引导学生将已学的知识进行整合和提升，形成自己的数学思维和方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、小组合作法和讨论法进行教学。

2.教学手段：利用多媒体课件和教学卡片进行辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对数学知识的思考，激发他们的学习兴趣。

2.回顾与总结：引导学生回顾和总结九年级数学的主要知识点和方法，通过小组合作和讨论，帮助他们形成自己的数学思维和方法。

3.应用与提升：通过一些典型的例题和练习题，让学生运用已学的知识和方法解决问题，提高他们的综合运用能力。

4.总结与反思：让学生总结自己在学习过程中的收获和不足，明确下一步的学习目标。

七. 说板书设计板书设计主要包括九年级数学的主要知识点和方法，以及一些常用的数学公式和定理。

通过板书的展示，帮助学生回顾和总结所学知识，提高他们的记忆和理解能力。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和考试成绩来进行。

一数最后十课讲义摘要：1.课程总结2.课程内容回顾3.课程目标回顾4.学生反馈与建议5.课程展望正文：【课程总结】经过一系列的数学课程学习，我们终于迎来了最后一课。

在这节课中，我们将对整个课程进行总结，回顾所学过的知识点，以及探讨未来的学习方向。

【课程内容回顾】在过去的十课中，我们学习了数学的基本概念，包括数、量、形、变化等方面。

我们掌握了数的分类、运算、比较大小等技能；了解了量的测量、换算、百分比等知识；探索了图形的分类、性质、面积和周长等概念；还学习了函数、方程、不等式等代数知识。

【课程目标回顾】回顾这些课程内容，我们的主要目标是通过数学知识的学习，培养学生们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

同时，通过数学课程的学习，使学生们更好地理解自然和社会现象，提高实际生活中的应用能力。

【学生反馈与建议】在课程进行过程中，我们收到了许多学生对课程的建议和反馈。

大部分学生表示，课程内容丰富，有利于他们全面了解数学知识。

但也有一部分学生认为，部分知识点较难理解，需要老师多做解释。

针对这些反馈，我们将在未来的课程中进行改进，使课程更加贴合学生的需求。

【课程展望】展望未来，我们将继续深入学习数学知识，以培养学生们更高的数学素养。

我们将进一步巩固基础知识，提高学生的运算能力，培养他们的创新思维。

同时，我们还将关注学生的个体差异，针对不同学生的需求，调整教学方法和课程进度，使每位学生都能在数学学习中取得进步。

【结语】在此，我们对本学期的数学课程进行总结，希望学生们能在课程中学有所得，不断提高自己的数学素养。

最后一课的故事《难忘的“最后一课”》相信大家都知道都德的《最后一课》吧，那充满爱国情怀的氛围，严肃而又庄重。

可我今天要说的“最后一课”，跟那可不一样，但也同样让人难以忘怀。

那是我高中时期的最后一节数学课。

那时候的我们，已经在高考的压力下奋斗了许久，对于最后一课，既期待又有些不舍。

上课铃响了，数学老师慢悠悠地走进教室，脸上带着一种神秘的笑容，这可不像他平时一本正经的模样。

他清了清嗓子：“同学们啊，今天可是咱这高中生涯最后一节数学课啦！”同学们一下子都来了精神，纷纷嚷嚷：“老师，来点不一样的呗！”老师嘿嘿一笑：“那行，咱今儿不讲题啦，来唠唠嗑！”哇，这可把我们惊到了，一向严谨的数学老师居然要跟我们唠嗑！老师开始回忆起我们这几年的点点滴滴，那些我们一起解过的难题，一起熬过的晚自习，甚至是上课打瞌睡被他逮到的时候，都成了此刻美好的回忆。

说着说着，老师突然冒出来一句：“哎呀，你们说我这几年天天跟你们念叨数学公式，我自己脑袋都快成公式本啦！”同学们哄堂大笑，我心想：老师你这话也太逗了。

大家也开始纷纷发言，有个同学说：“老师，以后我可能看到数学题就头疼，但想起您肯定会笑出来。

”另一个同学接着说：“老师，以后您再遇到调皮的学生可别上火，想想我们就好啦！”教室里面充满了欢声笑语和浓浓的不舍。

就在这时，老师突然表情严肃了起来：“同学们，虽然这是最后一课，但数学的魅力永远都在，希望你们以后不管走到哪里，都别忘了探索的精神。

”瞬间，教室里安静了下来，每个人都若有所思。

这就是我的“最后一课”，它没有那么沉重，反而充满了幽默和温暖。

它让我明白，学习的过程不仅有辛苦和压力，也有那些让人忍俊不禁的瞬间，还有深深的师生情谊。

现在每当我想起那节数学课，都会会心一笑，那些欢乐的场景仿佛还在眼前，那些教诲也一直激励着我不断前行。

我相信，这“最后一课”会成为我人生中一段无比珍贵的回忆。

湘教版数学九年级下册全册教案设计2021-1-24第1章二次函数1.1 二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y （元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0<x<1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例1 指出下列函数中哪些是二次函数.(1)y=(x-3)2-x 2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.解:(2)(5)是二次函数,其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.例2 讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时:(1)函数是一次函数;(2)函数是二次函数.【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.解:(1)由200m m m ⎧-=⎨≠⎩得010m m ⎩=≠⎧⎨或 , ∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数.(2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1,∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知，深化理解1.下列函数中是二次函数的是（ ）A. 2123y x x =+-B.y=3x 3+2x 2C.y=(x-2)2-x 3D.212y x =- 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ）A.1B.-1C.2D.-23.若函数232(3)1k k y k x kx -+=-++ 是二次函数，则k 的值为（ ）A.0B.0或3C.3D.不确定4.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是 .5.已知二次函数y=1-3x+5x 2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .6.某校九（1）班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.(1)求y 关于x 的函数关系式；（2）试求自变量x 的取值范围；（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.【答案】1.D 2.D 3.A 4.a ≠-2 5.5,-3,1 6.21122y x x =- 是 7.（1）y=25-πx 2=-πx 2+25.(2)0＜x ≤52.(3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.第1~3题.1.教材P42.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式【知识与技能】1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.【过程与方法】通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.【情感态度】通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.【教学重点】用待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】灵活选择合适的表达式设法.一、情境导入，初步认识1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？学生回答：2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？二、思考探究，获取新知例1，例2.探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材P21【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.探究2用顶点式求二次函数解析式.例3 已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点B （3，0）在图象上，∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最（大或小）值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.探究3用交点式求二次函数解析式例4(甘肃白银中考) 已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.求二次函数解析式.【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A（-2，0），B（1，0），可设解析式为交点式：y=a(x-x1)(x-x2).解：A（-2，0），B（1，0）在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点C（2，8），∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.三、运用新知，深化理解1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为94，则m的值为（）A.17B.1C.±17D.±12.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是（）A.a＜0B.b＞0C.c＞0D.ab＞03.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x=1,且经过点P （3,0)，则a-b+c的值为（）A.0B.-1C.1D.24.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是 .5.已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点.(1)试确定此二次函数的解析式;(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由.【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解,并适当对题目作简单的提示.第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0），将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.【答案】1.C 2.D 3.A 4.-15.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5）.∴c=3.∴9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=-1,b=-2.∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(2)∵当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P（-2,3)在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1.∴与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴AB=4.即S△PAB=12×4×3=6.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2).1.教材P23第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法,解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一,同学们要通过练习,熟练掌握.1.4 二次函数与一元二次方程的联系【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习,小组合作,探索出二次函数与一元二次方程的关系,感受数学的严谨性,激发热爱数学的情感.【教学重点】①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.【教学难点】一元二次方程与二次函数的综合应用.一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c当 y=0 时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答,教师点评二、思考探究，获取新知探究1求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3,x2=-1,所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-2=0的两根是什么？学生回答：【教学点评】-1＜x1＜0,2＜x2＜3.探究4 一元二次方程与相应二次函数的综合应用讲解教材P26例2【教学说明】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M,这样将二次函数的知识和前面学的一元二次方程就紧密联系起来了.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α,β，则α,β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1,β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-52）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-5 2【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上,教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；④二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系问题.第1~3题.1.教材P282.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.1.5 二次函数的应用第1课时二次函数的应用(1)【知识与技能】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.【教学重点】用抛物线的知识解决拱桥类问题.【教学难点】将实际问题转化为抛物线的知识来解决.一、情境导入，初步认识页的内容，完成下面各题.预习P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”，你准备采取什么1.要求出教材P29办法？图1-18，你猜测是什么样的函数呢？2.根据教材P293.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草图看看！4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！二、思考探究，获取新知探究 直观图象的建模应用例1某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物， 大门的地面宽度为8m ，两侧距地面3m 高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m,如图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1m)约为（ ）A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题. 先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度为AB,两壁灯之间的水平距离为CD,则B,D 坐标分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为y=ax2+h.把（3，3），（4，0）代入解析式求得h ≈6.9.故选A.答案:A【教学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.例2 小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m 时，水面宽度增加多少？【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.解:由题意建立如图的直角坐标系,2∵抛物线经过点A （2，-2），∴-2=4a,∴a=-12,即抛物线的解析式为y=-12x 2, 当水面下降1m 时，点B 的纵坐标为-3. 将y=-3代入二次函数解析式，得y=-12x 2, 得-3=-12x 2→x 2=6→x=±6,∴此时水面宽度为2|x|=26m. 即水面下降1m 时，水面宽度增加了(26-4)m.【教学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.三、运用新知，深化理解1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,溶洞顶点O 到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ） A.y=154x 2 B.y=154x 2+125C.y=-154x 2 D.y=-154x 2+125 2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m第2题图 第3题图 3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax 2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 秒.4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在O 处踢出一高球，球从离地面1米处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B处发现球在自己的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)足球第一次落地点C 距守门员是多少米?(取≈5)(3)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？【教学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第4题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为y=a(x-6)2+4,过点A（0，1），可求出a;（2）令y=0可求出x的值，x＜0舍去；（3）令y=0,求出C点坐标（,0),设抛物线CND为y=-112(x-k)2+2,代入C点坐标可求出k值(k＞).再令y=0可求出C、D的坐标，进而求出BD. 【答案】1.C 2.C 3.364.解:(1)y=-112(x-6)2+4(2)令y=0,可求C点到守门员约13米.(3)向前约跑17米.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评.3.建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.1.教材P31第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题,其主要思路是建立适当的直角坐标系,使求出的二次函数模型更简捷,解决问题更方便,让学生学会运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.第2课时二次函数的应用(2)【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.【教学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【教学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.一、情境导入，初步认识问题1同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x= 时，y有最值，其值为；②当-1≤x≤4时，y最小值为，y最大值为 .答案:①1,小，-4；②-4，5【教学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知教学点1最大面积问题阅读教材P动脑筋，回答下列问题.301.若设窗框的宽为x m，则窗框的高为 m,x的取值范围是 .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x,0<x<833.Smax =83m2.例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x，则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【教学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.教学点2 最大利润问题例2 讲解教材P31例题【教学说明】通过例题讲解使学生初步认识到要解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三点分点时,S最小D.当C是AB的三等分点时,S最大第1题图第2题图2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y（元）.①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A 2.5 cm, 5cm 2 3.解：①45+26024010- ×7.5=60（吨）. ②y=(x-100)(45+26010x -×7.5). 化简，得y=-34x 2+315x-24 000. ③y=-34x 2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为,小静说得不对.理由:当月利润最大时,x 为210元，每月销售额W=x(45+26010x -×7.5=-34 (x-160)2+19 200.当x 为160元时，月销售额W 最大.∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的.∴小静说得不对.【教学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.1.教材P 31第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是用二次函数理论知识解决最大面积问题和最大利润问题,通过对此问题的探究解决,使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系,提高学习数学的积极性.章末复习【知识与技能】掌握本章重要知识,能灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题. 【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,转化化归思想的过程,加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,激发学习兴趣.【教学重点】回顾本章知识点,构建知识体系.【教学难点】利用二次函数的相关知识解决具体问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构框图,使学生系统了解本章知识及它们之间的关系,教学时,边回顾边建立结构框图.二、释疑解惑，加深理解1.由于y=ax2+bx+c配方后可得y=224()24b ac ba xa a-++ ,所以y=ax2+bx+c的图象总可由y=ax2平移得到.2.对于现实生活中的许多问题，可以通过建立二次函数模型来解决.3.利用二次函数解法实际问题时,自变量的取值范围要结合具体问题来确定.三、典例精析，复习新知例1下列函数中,是二次函数的是( )A.y=8x2+1B.y=x2+1xC.y=(x-2)(x+2)-x2D.y=ax2【解析】选A.选项A符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；选项B 不是整式形式，错误；选项C不含二次项，错误；选项D，二次项系数a=0时，不是二次函数，错误.例2 抛物线y=-(x-1)2是由抛物线y=-(x+3)2向平移个单位得到的；平移后的抛物线对称轴是，顶点坐标是，当x= 时，函数y有最值，其值是 .【解析】本题因为a=-1＜0，所以抛物线开口向下，函数有最大值；掌握“左加右减”的平移规律时，关键是把握平移方向.答案:右 4 直线x=1 (1,0) 1 大 0例3如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大.正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号)【解析】∵抛物线开口向上,即a＞0;与y轴的交点在x轴下方，即c＜0,∴ac＜0,①正确；由函数图象与x轴的交点坐标（-1，0），（3，0），可得方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3,②正确；由函数图象与x=1的交点位于x轴下方，即a+b+c＜0，③错误；由函数图象可得抛物线的对称轴为x=1,当x＞1时，y随着x的增大而增大，故正确的说法有①②④.例4 如图，利用一面墙（墙长为15m)和30m长的篱笆来围矩形场地，若设垂直墙的一边长为x(m)，围成的矩形场地的面积为y(m2).(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;(2)怎样围成一个面积为112m2的矩形场地？。