下载文档原格式
任务检查二面角问题定位1在正方体中，截面与底面所成二面角的正切值为（）A．B．C．D．答案C解答如图，连接交于点，连接，在正方形中，为中点，在正方形中，，，又在正方形中，，即为二面角的平面角，设，在中，，故截面与底面所成二面角的正切值为，故选．2如图，空间四边形中，，对角线，，求二面角的大小．答案．解答取的中点，连接，，如图所示，，，，，和是等腰直角三角形，又点是的中点，，，是二面角的平面角，，，由余弦定理得， ，，，具体步骤作、证、求常用方法方法一：棱上一点双垂线法在棱上任取一点(特殊点)，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.即二面角的大小为．原因分析精准突破二面角的平面角如图所示，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角．二面角的范围为，.3如图所示，已知三棱锥，，，，为的中点，且是正三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．(1)答案详见解答过程．解答，为中点，，又为正三角形，，，故为直角三角形，即，，又，，、在面内，面，又面，，又已知，，、在面内，面，又面，面面．详见解答过程．解答如图所示，取中点，中点，连接、、，由⑴知，为等腰又为中点，，又，，，又面面，面，面，即为所求角，又，，，，，在中，，在中，，在中，，，，在中，，为直角三角形，即，．4如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.(1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.答案见解析解答(1)在直角梯形BCDE中,由DE＝BE＝1,CD＝2,得BD＝BC＝2,222由AC＝2,AB＝2,得AB＝AC＋BC,即AC⊥BC.又平面ABC ⊥平面BCDE.从而AC ⊥平面BCDE.所以AC ⊥DE.又DE ⊥DC,从而DE ⊥平面ACD.(2)作BF ⊥AD,与AD 交于点F,过点F 作FG ∥DE,与AE 交于点G,连接BG,由第1问知DE ⊥AD,则FG ⊥AD.所以∠BFG 是二面角B A D E 的平面角.在直角梯形BCDE 中,由CD ＝BC ＋BD ,得BD ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCDE,得BD ⊥平面ABC,从而BD ⊥AB.由于AC ⊥平面BCDE,得AC ⊥CD.在Rt △ACD 中,由DC ＝2,AC ＝,得AD ＝,在Rt △AED 中,由ED ＝1,AD ＝,得AE ＝.在Rt △ABD 中,由BD ＝,AB ＝2,AD ＝,得BF ＝,AF ＝AD.从而GF ＝.在△ABE,△ABG 中,利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝,BG ＝.在△BFG 中,cos ∠BGF ＝.所以,∠BFG ＝,即二面角B -AD -E 的大小是.2225如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿，将，翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为（）A ．B ．C ． D．答案D解答在折叠前的矩形中连接BD 交EC 于O ，方法二：面上一点三垂线法自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.∵BC =4，CD =2，CD =2，DE =1，∴BC ：CD =CD ：DE ,即△BCD ∽△CDE ，∴∠DBC =∠ECD ，∴∠DBC =∠ECD ，∴∠ECD +∠ODC =90∘，即BD ⊥CE ，折起后，∵BD ⊥CE ，DO ⊥CE ，∴∠BOD 是二面角D −EC −B 的平面角，在△BOD 中,OD =BD =由余弦定理得cos ∠BOD =，OB =BD −OD =，，6已知在四棱锥一中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正切值；(3)求二面角的正切值．(1)答案见解析．解答取的中点，连接、，如图所示：是的中点，是的中位线，，且，在矩形中，，，又是的中点．．，，四边形是平行四边形．又平面，平面平面．(2)答案．解答连接，如图所示：平面，是直线与平面所成的角的平面角，底面是矩形，，，在中，，在中，，即直线与平面所成的角正切值为．(3)答案．解答作，交的延长线于，连接，如图所示：平面，是在平面上的射影，由三垂线定理，得，是二面角的平面角，，，，可得，二面角一一的正切值为．7如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，．(1)证明平面．(2)求异面直线与所成的角的正切值．(3)求二面角的正切值．(1)答案见解析．解答依题意，在中，，，，则，，在矩形中，，又，平面，平面，平面．(2)答案．解答由题设，底面是矩形，，（或其补角）是异面直线与所成的角．其中，，，，，在中，由余弦定理得，由知平面，平面，，又，，则是直角三角形，故，异面直线与所成的角的正切值为：．(3)答案．解答依题意，过点做于，过点做于，连结，由知，平面，平面，方法三：空间一点垂面法自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
