第02讲——基本概念

整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．整式的基本概念知识结构模块一：整式的基本概念知识精讲内容分析1、 单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式212ab c -，它的指数为1214++=，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式223xy（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：27319x x -+是多项式．（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面 的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．3、整式：单项式和多项式统称整式．【例1】 在代数式2211253x x y b x -，，，221135()63x x y m n a +-+，，，0，269y y ++中，整式共有（ ）个A 、5B 、6C 、7D 、8【难度】★ 【答案】 B例题解析【解析】1()3x m n x a+和分母中含有字母，是分式的形式，不属于整式，单项式和多项式都是整式，故本题中的整式共6个．【总结】本题主要考查整式的概念．【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．223xy ，a -，a bc ，32mn +，572t ，233a b c -，2，x π-． 【难度】★【答案】以上代数式是单项式的有：223xy ，a -，572t ，233a b c -，2，xπ-．223xy 的系数为23，次数为3； a -的系数为-1，次数为1；572t ，系数为52，次数为7；233a b c -，系数为-3，次数为6；2，系数为2，次数为0； xπ-，系数1π-，次数为1．【解析】此题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．【例3】 写出下列多项式的次数及最高次项的系数．（1）323694x x -+；（2）413xyx y π+--． 【难度】★【答案】（1）此多项式的次数是3次，最高次项的系数为34；（2）此多项式的次数是2次，最高次项的系数是43π-．【解析】这是一道基础题目，考查的是多项式的系数和次数的概念．【例4】 解答题： （1）把多项式323562a a a -+-按a 的降幂排列；（2）把多项式2323453x y x xy y --+按y 的升幂排列；（3）求多项式223252x xy y --+的各项系数之和．【难度】★【答案】（1）325632a a a -++-；（2）3223543x x y xy y -+-+；（3）2-．【解析】（1）（2）升降幂的概念的考查，（3）多项式223252x xy y --+的各项系数分别为3，2-，5-，2，这四个数字之和为2-． 【总结】本题一方面考查多项式的排列，另一方面考查多项式中每一项的系数．【例5】 多项式44222315352y x x y xy x y -+--是几次几项式？【难度】★★ 【答案】五次五项式【解析】多项式中所包含的单项式的次数最高的项是235x y -，是五次单项式，故此多项式的次数为五次，共五项，所以是五次五项式．【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例6】 多项式2262n n x x +--+是三次三项式，求代数式221n n -+的值． 【难度】★★ 【答案】0或4．【解析】多项式2262n n x x +--+是二次三项式，则分两种情况： （1）当23n +=时，1n =，所以2211210n n -+=-+=；（2）当23n -=时，1n =-，所以2221(11)4n n -+=--=．【总结】本题一方面考查了几次几项式的概念，另外由于没有说最高次项是哪一项，因此要 分类讨论．【例7】 多项式21231365m x y xy x +-+--是六次四项式，单项式352n m x y z -的次数与这个多项式次数相同，求m n ，的值．【难度】★★【答案】31m n ==，．【解析】由题意知多项式是六次四项式，则可得：2163m m ++==，；又单项式的次数与多项式的次数相同，所以可得3516n m +-+=，所以1n =．【总结】本题主要考查多项式的次数与单项式的次数，注意两个概念的不同之处．【例8】 设自然数m n 、满足1m n ≤<，求多项式222n m m n m n x y xy ++-的次数？【难度】★★ 【答案】2或者是n ．【解析】（1）当n ≤2时，次数为2；（2）当n >2时，次数为n ．【总结】本题主要考查多项式的次数，注意多项式的次数与系数的指数无关．【例9】 请各写出一个符合条件的整式： （1）系数是1-，次数是3的单项式；（2）系数是3，次数是1的单项式； （3）常数项为2-的二次三项式． 【难度】★★ 【答案】（1）3x -；（2）3x ；（3）22x x +-．【解析】这是一道开放性的题目，主要考查的是整式、单项式和多项式的基础概念，答案不 唯一．1、同类项的概念：知识精讲模块二：合并同类项师生总结所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2、合并同类项：合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．【例10】 下列各组单项式中属于同类项的是： ①22m n 和22a b ；②312x y -和3yx ；③6xyz 和6xy ；④20.2x y 和20.2xy ； ⑤xy 和yx -；⑥12-和2．【难度】★ 【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【例11】 合并下列同类项：（1）2215232x x x x -+-+-； （2）333332m n m n --+；（3）2141732733m m a a a a --+-+-．【难度】★例题解析【答案】（1）211232x x --+；（2）332m n -+；（3）25037a a m --． 【解析】（1）原式222111(3)(2)(5)2322x x x x x x =-+--++=--+；（2）原式333333(3)22m m n n m n =-+-+=+（）-；（3）原式22411503(2)(7)33377a a a a m m a a m =+-+-+--=--．【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【例12】 单项式449m x y -与223n x y 是同类项，求23m n +的值．【难度】★ 【答案】7【解析】由题意，可得：4242m n =⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12323272m n +=⨯+⨯=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【例13】 合并下列同类项（1）2222210.120.150.12x y x y y x yx +-+； （2）122121342n n n n n x y x y y x y x +++---；（3）2220.86 3.25a b ab a b ab a b --++．【难度】★★【答案】（1）22220.620.150.1x y x y y x +-； （2）4n n x y -； （3）21.4a b ab --．【解析】（1）原式2222222221(0.12)0.150.10.620.150.12x y yx x y y x x y x y xy =++-=+-；（2）原式121212(32)44n n n n n n n x y x y x y x y x y +++=---=-；（3）原式222(0.8 3.2)(65) 1.4a b a b ab ab a b ab =-++-+=--．【总结】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．【例14】 单项式313a b a b x y +--与23x y 是同类项，求a b -的值．【难度】★★ 【答案】32【解析】由题意，可得：231a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：7414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以713442a b -=-=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【例15】 如果322279m x y x y --+是五次多项式，求m 的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】由题意得3256m m -+==，． 【总结】本题主要考查几次几项式的概念．【例16】 已知4x <-，化简：2344x x x -++--．【难度】★★ 【答案】416x --．【解析】因为4x <-，所以0x ->，40x +<，40x -<．所以2344x x x -++--=23124416x x x x ---+-=--．【总结】本题一方面考查绝对值的化简，另一方面考查合并同类项．【例17】 已知：3x =，1y =．求()22223223x xy x y xy ⎡⎤--+⎣⎦的值．【难度】★★ 【答案】81或-27．【解析】()2222222232233262x xy x y xy x xy x y xy⎡⎤--+=-++⎣⎦2236x x y =+． 因为3x =，1y =，所以可得291x y ==±，．当291x y ==，时， 2236x x y +=81；当29-1x y ==，时， 223627x x y +=-．【总结】本题主要考查合并同类项及多项式求值的问题．随堂检测【习题1】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（）； 二次多项式（ ）；整式（）．【难度】★【答案】单项式：21123ab ，；多项式：22123223x x x m n mn n -+-+-，，；二项式：23x -，2x x +； 二次多项式：2x x +；整式：22211121322333x ab x x m n mn n x y-+-+-+，，，，，． 【解析】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】 下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：2341523133x xya b x abc x --+，，，，， 【难度】★【答案】单项式有：23423xya b abc -，，； 2342a b 的系数是4，次数是7；3xy -的系数是13-，次数是2；abc 的系数是1，次数是3．【解析】本题主要考查的是单项式的次数和系数的概念，比较基础．【习题3】 写出下面式子的同类项（写出一个即可）：（1）256x y ；（2）11π2c a- ；（3）72xy z ； （4）π．【难度】★【答案】（1）23x y ；（2）113c a -；（3）723xy z -；（4）0．【解析】本题主要考查同类项的概念．【习题4】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．（1）424215x x +-；（2）2a ab b +； （3）33332a ab b a b ++-； （4）x y x+． 【难度】★【答案】424215x x +-和33332a ab b a b ++-是多项式，其中424215x x +-是四次三项式，33332a a b b a b++-是四次四项式． 【解析】（2）和（3）分母中都含有字母，不是整式． 【总结】本题主要考查多项式的概念以及几次几项式的概念．【习题5】 若12223559m m n a b+--与2a b 是同类项，求m ，n 的值．【难度】★★【答案】0m =，52n =-．【解析】由同类项的概念，可得122322155m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：052m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【总结】本题主要考查同类项的概念．【习题6】 同时都含有a b c ，，，且系数为1的7次单项式共有（）个A ．4B ．12C ．15D ．25【难度】★★ 【答案】C【解析】a 、b 、c 的系数分别是1、1、5； 1、2、4； 1、3、3；1、4、2； 1、5、1；2、1、4； 2、2、3； 2、3、2； 2、4、1；3、1、3；3、2、2；3、3、1；4、1、2；4、2、1；5、1、1，共有15个．【总结】本题主要考查单项式的次数的概念． 【习题7】 填空：若单项式()122nn x y--是关于x y ，的三次单项式，则n =【难度】★★ 【答案】0【解析】由题意可得：1120n n ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0n =．【总结】本题主要考查与单项式有关的概念，解题时注意对题意的准确理解．【习题8】 将多项式223421x y xy x y -+-按x 的降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项．【难度】★★【答案】按x 的降幂排列为：322241x y x y xy +--；是四次四项式；系数最小的项是24xy -．【解析】本题考查的是与多项式有关的概念，注意对概念的理解．【习题9】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值． 【难度】★★ 【答案】2-．【解析】由题意得：1030a b -+=⎧⎨--=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩，所以132a b +=-=-．【总结】本题主要考查多项式的合并，另外要准确理解多项式中不含某一项的含义．【习题10】 多项式()22532mx y n y +--是关于x y ，的四次二项式，求222m mn n -+的值． 【难度】★★ 【答案】1或者25【解析】由题意得：||230m n =⎧⎨-=⎩，解得：23m n =⎧⎨=⎩或23m n =-⎧⎨=⎩．当23m n =⎧⎨=⎩时，2221m mn n -+=； 当23m n =-⎧⎨=⎩时，22225m mn n -+=． 【总结】本题一方面考查四次二项式的概念，另一方面要注意m 的值有两种情况注意讨论． 【习题11】 去括号，再合并同类项：()()322224310x x x x x -+--+-．【难度】★★【答案】32232x x x -++．【解析】原式=3222248310x x x x x -+---+=32232x x x -++．【总结】本题主要考查合并同类项的方法．【习题12】 化简：3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++．【难度】★★ 【答案】3223511632a b a b ab +++ 【解析】原式=322521155((32)63336a b a b ab ++-+--+（）3223511632a b a b ab =+++．【总结】本题主要考查合并同类项，在计算的过程中注意符号．【作业1】 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ab -， 2R π， 3x y +， 247a a -+， b a ，5-，13mn m -，3y ，3a b-．【难度】★【答案】单项式：ab -，2R π，5-， 3y ；多项式： 3x y +，247a a -+，3a b -；整式：ab -，2R π，5-， 3y ，3x y +，247a a -+，3a b-． 【解析】本题主要考查了单项式和多项式的概念．【作业2】 指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：课后作业（1）322132187y xy x y x y ---； （2）2233521xy x y x y y ---+-．【难度】★【答案】（1）是四次四项式，系数最小的项是318x y -；（2）是四次五项式，系数最小的项是25x y -．【解析】多项式的次数是根据每一个单项式的最高次数定的．【作业3】 合并同类项： （1）33332x x x --；（2）2323456143a a a a a +--+-+；（3）22485362x x x x -+-+-．【难度】★【答案】（1）0；（2）3-34a a +-；（3）223x x -+ 【解析】（1）原式3(321)0x =--=；（2）原式323(63)(44)(51)34a a a a a =-++-+--=-+-；（3）原式22(43)(86)(52)23x x x x =---+-=-+．【总结】合并同类项的关键是将同类项的系数相加减．【作业4】 将多项式5423532431176a a b a b b a b ab ---++（1） 按a 的降幂排列；（2）按b 的降幂排列．【难度】★★【答案】（1）5432234537116a a b a b a b ab b -+-+-；（2）542332356117b ab a b a b -+-+【解析】注意审题，看清楚题目的要求．【作业5】 若0.11a b a b x y +--与1359a x y -是同类项，求a ，b 的值．【难度】★★【答案】2a =，1b =-．【解析】由题意可得：13a b a a b +=-⎧⎨-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业6】 若4413a b x y z 和827a c x y -是同类项，求a b c ++的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意可得：48420a a c b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：201a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2011a b c ++=+-=．【总结】本题主要考查同类项的概念．【作业7】 合并同类项：（1）2215x y x y -；（2）2222432434a b ab a b ab ++---；（3）22222213232323x y xy yx xy x y y x --++-．【难度】★★【答案】（1）245x y ；（2）2ab -；（3）227223x y xy -．【解析】（1）原式214(155x y =-=；（2）原式22(44)(33)(24)2a b ab ab =-+-+-=-；（3）原式222231272(32)(1)23323x y xy x y xy =-++-+-=-． 【总结】合并同类项的关键是合并同类项的系数．【作业8】 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】22a ．【解析】． 【总结】本题主要考查整式的运算在几何图形求面积中的运用．22221232214-a a a a a S S S S =⨯⨯-+=+=三角形正正阴aa2a2a。

开放教育法律专业（专升本）法律逻辑讲稿第二讲：概念教学目的与要求：1.明确什么是概念及其概念的两个基本逻辑特征；2.掌握概念和语词的关系；3.明确概念的种类和概念间的关系；4.掌握概念的限制和概括的方法；5.掌握下定义和划分的方法并能依据定义或划分的规则分析定义或划分是否正确。

第一节概念概述［重点掌握］㈠概念的定义●概念是反映思维对象的本质属性和分子范围的思维形式。

㈡概念和语词的关系：●概念和语词有密切联系概念通过语词(或词组)来表达，是语词的思想内容；语词是概念的语言表达形式。

●概念和语词有本质区别。

主要表现在：(一) 概念是对思维对象的反映，是思维形式；而语词是表达思维对象的声音、符号或笔划，是概念的物质外壳。

(二) 概念没有民族性；而语词具有民族性。

（不同的国家、地区、民族可以用不同的语言文字表达同一个概念，如果不是这样，就无法交流。

）(三) 概念和语词并非一一对应。

有四种情况：1.任何概念都要用语词表达，但并非任何语词都表达概念。

在现代汉语中，实词表达概念。

2.在实词中，同一个概念可以用不同的语词表达。

3.同一个语词在不同的语境中可以表达不同的概念。

这个问题要注意：例如"杜鹃"既可指一种叫"杜鹃"的鸟；也可以指一种叫"杜鹃"的花。

在三段论推理中有时出现"四词项错误"常常就是因为在同一条件下，同一语词表达了不同的概念。

4.同一个单词或词组，有时能独立地表达概念，有时不能独立地表达概念。

第二节概念的内涵和外延［重点掌握］概念的两个逻辑特征：内涵和外延。

●概念的内涵是概念对思维对象本质属性的反映。

●概念的外延是概念对思维对象分子范围的反映。

例如：法律是(体现统治阶级意志，由国家行使立法权的机关依照立法程序制定，由国家强制力保证执行的行为规则)，一般具有一定文字形式，如(宪法、刑法、民法等)。

其中，第一个括号中的文字揭示了"法律"这个语词所反映的概念的本质含义、本质属性，是"法律"的内涵；第二个括号中的文字列举了"法律"这个语词所反映的概念的一些对象，即分子范围，是"法律"的外延。