十字相乘法导学案精讲精练(2课时共10页)
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[文件] sxc2dja0016.doc[科目] 数学[年级] 初二[章节][关键词] 十字相乘/二次齐次式/换元法/因式分解[标题] 十字相乘(2)[内容]十字相乘(2)教学目标1.使学生掌握通过换元的方法,把可以转化为形如x2+px+q的某些多项式分解因式,渗透化归和整体思想方法;2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.教学重点和难点重点:运用换元法,对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.难点:理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式,也可以是多项式;对于p和q,不仅可以是单项式(包括数),也可以是多项式.教学过程设计一、复习1.把下列各式分解因式:(1)x2+5x+4;(2)y2+4y-5;(3)m2-6m+8;(4)p2-5p-36.答:(1)(x+1)(x+4); (2)(y+5)(y-1);(3)(m-2)(m-4); (4)(p+4)(p-9).2.问:在二次三项式x2+px+q中,p和q各满足什么条件时,可以因式分解?答:把常数q分解因数,选择其中的两个因数,使它们的代数和等于p,此时,二次三项式x2+px+q可以分解因式.二、新课二次三项式x2+px+q中的x,不仅可以是单项式,也可以是多项式. 同样,P和q不仅可以是单项式(包括数),也可以是多项式.对于这样的多项式怎样分解因式呢?例1 把x4+6x2+8分解因式.分析:这个多项式不是关于x的二次三项式,如果把x2设为y,那么这个多项式就可转化为y2+6y+8,这是关于y的二次三项式,我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了.这里,设y=x2,把y称为辅助元,这种方法叫做换元法解设x2=y,则多项式变为y2+6y+8,把它分解因式,得y2+6y+8=(y+2)(y+4).再把y换成x2,得x4+6x2+8=(x2) 2+6x2+8=(x2+2)(x2+4).指出:通过设辅助元,把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式,在解题中,代换的步骤可以省略.例2 把(a+b) 2-4(a+b)+3分解因式.分析:如果把(a+b)看作一个整体,这样原多项式可看成关于(a+b)的二次三项式,就可以进行因式分解了.解 (a+b) 2-4(a+b)+3=(a+b-1)(a+b-3).指出:把(a+b)看作二次三项式x2+px+q中的字母x的方法称为“换元法”,这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法,它能起到化难为易,化繁为简的作用.例3 把(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72因式分解.分析:这个多项式较复杂,若能注意题目中的各项的特点,把某些项看作一个整体,运用代换法,即通过设辅助元,把原多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式,就可以进行因式分解了.问:运用整体思想和换元法,可以有几种不同的分解因式的方法?(不要求写出设辅助元的代换过程.)解方法1 把x2-3x看作一个整体.原式=[(x2-3x)+2][(x2-3x)-4]-72=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=(x2-3x-10)(x2-3x+8)=(x-5)(x+2)(x2-3x+8).方法2 把x2-3x+2看作一个整体.原式=(x2-3x+2)[(x2-3x+2)-6]-72=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=[(x2-3x+2)-12][(x2-3x+2)+6]=(x2-3x-10)(x2-3x+8)=(x-5)(x+2)(x2-3x+8).方法3 把x2-3x-4看作一个整体.原式=[(x2-3x-4)+6](x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4+12)(x2-3x-4-6)=(x2-3x+8)(x2-3x-10)=(x2-3x+8)(x-5)(x+2).指出;通过例3可以看到,如果把二次三项式(x2-3x+2)与二次三项式(x2-3x-4)相乘,将得到一个四次多项式,这时再分解因式就困难了.如果把其中的某些项看作一个整体(即把它看作一个新的辅助元),这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式,就可以用学过的方法分解因式了.例4 把x2-3xy+2y2分解因式.问:所给的多项式的结构特点是什么?答:多项式中的x和y的最高次项都是2次,中间项x与y的乘积项,次数也是2次,因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式,也可以看作是关于y的二次三项式.问:如果把它看作是关于x的二次三项式,怎样分解因式?答:这时,2y2就相当于常数项,可以把它分解为-y与-2y的积,那么-y+(-2y)=-3y恰好等于一次项x的系数.解 x2-3xy+2y2=x2-3yx+2y2=(x-y)(x-2y).指出:由例4可以看到,当二次三项式x2+px+q中的p和q是一个单项式时,如果q可以分觖成两个因式之积,而这两个因式之和正好等于一次项系数p时,这样的二次三项式就可以分解因式.三、课堂练习把下列各式分解因式:1.x4-15x2+26;2.(x+y) 2-(x+y)-2;3.y4-26y2+25;4.(a-b) 2+6(b-a)+5;5.(x2-2x)2-7(x2-2x)-8;6.x2-2xy-8y2;7.x2+(a+b)x+ab; 8.x4-7x2y2+6y4;9.(a+b) 2+m(a+b)-12m2.答案:1.(x2-13)(x2-2);2.(x+y+1)(x+y-2);3.(y+5)(y-5)(y+1)(y-1);4.(a-b-1)(a-b-5);5.(x-4)(x+2)(x-1) 2;6.(x+2y)(x-4y);7.(x+a)(x+b); 8.(x+y)(x-y)(x2-6y2);9.(a+b+4m)(a+b-3m).四、小结本节课所讨论的四个例题都可以通过换元方法,即整体思想方法把原问题转化为形如x2+px+q的二次三项式的因式分解问题.学会具体解题方法固然重要,但通过解数学题掌握数学思想方法更为重要.五、作业把下列各式分解因式:1.(1)x4+7x2-18;(2)x6+8x3+15;(3)m2x2-8mx+12;(4)x2y2-7xy+10;2.(1)x2-7xy+12y2;(2)a2+2ab-15b2;(3)m2+4mn-12n2;(4)p2+9pq+18q2.3.(1)(m+n) 2-(m+n)-30;(2)(x-y) 2-3(x-y)-40;(3)(2m+n) 2-4r(2m+n)+3r2; (4)(a-b) 2-12(a-b)-45.4.(1)(x2-4x) 2-(x2-4x)-20;(2)(a2+5a+3)(a2+5a-2)-6.答案:1.(1)(x2-2)(x2+9);(2)(x2+3)(x3+5);(3)(mx-2)(mx-6);(4)(xy-2)(xy-5).2.(1)(x-3y)(x-4y);(2)(a+5b)(a-3b);(3)(m-2n)(m+6n);(4)(p+3q)(p+6q).3.(1)(m+n-6)(m+n+5);(2)(x-y+5)(x-y-8);(3)(2m+n-r)(2m+n-3r); (4)(a-b-15)(a-b+3).4.(1)(x+1)(x-5)(x-2) 2;(2) (a2+5a+3)(a2+5a-4)-6=[(a2+5a)+3][(a2+5a)-2]-6=(a2+5a) 2+(a2+5a)-12=(a2+5a+4)(a2+5a-3)=(a+1)(a+4))(a2+5a-3).课堂教学设计说明通过例1~例3的讨论,向学生介绍换元法,渗透整体思想和化归的思想方法,关于换元法和整体思想方法,在教科书中没有向学生提出,但是,对于帮助学生理解和掌握如例1~例3类型的问题,让学生学习换元法和整体思想方法是有重要作用的.通过换元法把可化归为形如x2+px+q的某些多项式分解因式,使学生体会到,学习新知就说好比“上楼梯”,要逐步登级而上;但是在解决新问题时,常常是通过某种方法和手段,把未知的知识化归为用已知的知识去解决,这就好比“下楼梯”,由高往低,逐级而下“上楼梯”与“下楼梯”的关系可以形象地说明在数学中解决问题的主要思想方法.在教学中,通过例题的讨论,引导学生学会在解数学题时,从整体上观察、思考和处理问题,这不仅是一种重要的数学方法,而且是解决有关数学问题时常用的一种技能和技巧.。
※因式分解〔分组分解法,十字相乘法〕
知识要点:
1、分组分解法:适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2a-b中没有公因式,又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合,把多项式分成两组,再提公因式,即可到达分解因式的目的。
例1分解因式:
a2-b2a-b =〔a2-b2〕〔a-b〕
=〔ab〕〔a-b〕〔a-b〕
=〔a-b〕ab1
⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原那么:分组后可直接提取公因式或直接利用公式,但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时,分组方法不唯一。
无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
练习:把以下多项式分解因式
⑴a2-abac-bc ⑵2a-10a5b-b ⑶m2-5m-mn5n
⑷3a4b4a3b ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c22bc
⑺2-21-2 ⑻2-2-2-2 ⑼a22abb2-ac-bc
2、十字相乘法
二次项系数为1的二次三项式2amb,求a,b的值。
=6, =,那么代数式3-2223的值为?
=2, =a4 ,22=1 求a的值。
课题: 14、3、4十字相乘法【学习目标】1、了解“二次三项式”的特征,理解“十字相乘”法的理论根据;2、能熟练地把形如的二次三项式因式分解。
3、通过对规律的探索,提升自己从特殊到一般,从具体到抽象的思维品质,通过课堂交流,培养合作学习能力,提高自己的表达能力。
【学习重点】熟练地把形如的二次三项式因式分解 【学习难点】在分解形如的二次三项式时能准确找到各个因式。
【课前预习案】1、因式分解与整式乘法的关系: ;2.已有的因式分解方法: ;3.把下列各式因式分解:(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16【课中探究案】 活动一:探究的分解1.提出问题: 你能分解x 2+3x+2吗?(1)请直接填写下列结果2、(1)(x+2)(x+1)= ;(x+7)(x-1)= ;(x+P )(x+q )= ;(2)因式分解x 2+3x+2= x 2 + 6x – 7= x 2+(p+q)x+(pq)=把上述式子左右对调,你有什么发现?(2)把x 2+3x+2分解因式 步骤:①竖分二次项与常数项②交叉相乘,和相加③检验确定,横写因式2X + X = 3X 解:x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)练一练:(1)652--x x (2)256x x -+ (3)234x x +-(4)234x x -- (5)-x 2-6x+16 (6)(7)x 2-5x+6 (8) (9)x 2+2x-3拓展练习1、用十字相乘法分解因式:x x 12⨯(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+2、先阅读学习,再求解问题:材料:解方程:=-+1032x x 0。
解:原方程可化为 (x+5)(x-2)=0∴x+5=0或 x-2=0由x+5=0得x=-5由x-2=0得x=2∴x=-5或 x=2为原方程的解。
解方程:x 2-2x-3=0。
【课末达标案】1.把下列各式分解因式:(1)1522--x x = ; (2) =-+1032x x 。
第2讲十字相乘法一、知识梳理:根据多项式乘法知道反过来3x2x515x+2x=17x以上过程可用如右画十字相乘的方法表示:拆两头凑中间这种通过画十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
因此,对于能够分解因式的二次三项式 ,当时,就可以用十字相乘法分解:xaxb(a+b)x如分解:x2x-3x=-x-3x+2x-2x+3x=x+3x-2x-2x-3x=-5x-3x-2此方法就是把二次三项式首末两项拆散竖着排列,再把十字相乘法的积相加。
若相加的和等于中间项,说明因式分解成功,分解出来的两个因式就是横线上面横着写的两个一次二项式。
用这种方法分解因式要注意常数和一次项系数的符号关系。
一般地,若常数项为正数,则分解出两个同号得因数(同中间项的符号);若常数项是负数,则分解成两个异号得因数,绝对值较大的数的符号与中间相同。
二、典例精讲:例1、用十字相乘法分解下列各式的因式(1) (2)(3) (4)(5) (6)例2、把下列各式分解因式(1) (2)(3) (4)例3、分解因式(1) (2)例4、分解下列各式的因式(1) (2)(3)(双十字相乘法)例5、(1)若多项式和多项式有公因式,则的值是 。
(2)无论为何值时,多项式能被整除,则 。
即时即练:(一)填空题(1)(2)(3)若,则 , 。
(4)如果,那么 , 。
(5)若,则 。
(6)如果,那么 , 。
(二)选择题(1)与的公因式为( )A、 B、 C、 D、(2)与有相同因式的多项式是( )A、 B、 C、 D、(3)将分解因式的结果为( )A、 B、 C、 D、(三)分解因式(1) (2)(3) (4)(7) (8)(3) (4)(四)解答题(1)已知,,求的值。
(2)若,求的值。
(3)已知,且,求(4)已知,求的值。
十字相乘法进行因式分解【学习目标】(1)理解二次三项式的意义;(2)理解十字相乘法的根据;(3)能用十字相乘法分解二次三项式;(4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.学习重点:理解十字相乘法的根据。
学习难点:能用十字相乘法分解二次三项式。
学习过程:1.二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例如,322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中,如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式.在多项式37222+-ab b a 中,把ab 看作一个整体,即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于ab 的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x +y 看作一个整体,就是关于x +y 的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax +b )(cx +d )竖式乘法法则.它的一般规律是:(1)对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2,如果能把常数项q 分解成两个因数a ,b 的积,并且a +b 为一次项系数p ,那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x 可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.2.因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”.【典型例题】例1 把下列各式分解因式:(1)1522--x x ;(2)2265y xy x +-.例2 把下列各式分解因式:(1)3522--x x ;(2)3832-+x x .例3 把下列各式分解因式:(1)91024+-x x ;(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+;(3)120)8(22)8(222++++a a a a .例4 分解因式:90)242)(32(22+-+-+x x x x .例5 分解因式653856234++-+x x x x .例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x . .例7 分解因式:ca (c -a )+bc (b -c )+ab (a -b ). 例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.例9 分解因式:22210235y aby b a -+.。
十字相乘法进行因式分解【学习目标】(1)理解二次三项式的意义;(2)理解十字相乘法的依据;(3)能用十字相乘法分解二次三项式;(4)要点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法.学习要点:理解十字相乘法的依据。
学习难点:能用十字相乘法分解二次三项式。
学习过程:1.二次三项式多项式 ax2bx c ,称为字母x的二次三项式,此中 ax 2称为二次项,bx 为一次项, c 为常数项.比如,x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式.在多项式 x26xy8 y2中,假如把y看作常数,就是对于x的二次三项式;假如把 x 看作常数,就是对于 y 的二次三项式.在多项式22b 27ab3中,把 ab 看作一个整体,即2( ab)27(ab) 3 ,a就是对于 ab 的二次三项式.相同,多项式(x y)27( x y) 12 ,把x+y看作一个整体,就是对于x+y 的二次三项式.十字相乘法是合用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依照和详细内容利用十字相乘法分解因式,本质上是逆用(ax+ b)(cx+ d) 竖式乘法法则.它的一般规律是:(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式x2px q ,假如能把常数项q 分解成两个因数 a,b 的积,而且 a+ b 为一次项系数 p,那么它就能够运用公式x2(a b)x ab (x a)( x b)分解因式.这类方法的特点是“拆常数项,凑一次项”.公式中的 x 能够表示单项式,也能够表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.2.因式分解一般要按照的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑可否提公因式,再考虑可否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还可以持续分解的多项式因式仍旧用这一步骤频频进行.以上步骤可用口诀归纳以下:“第一提取公因式,而后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要适合,四种方法频频试,结果应是乘积式”.【典型例题】例 1把以下各式分解因式:(1)x 22x15;()x22.25xy 6 y例 2把以下各式分解因式:(1)2x25x 3;(2) 3x 2 8x 3 .例 3 把以下各式分解因式:(1)x410 x29;(2)7(x y)35( x y)22( x y) ;(3)(a28a) 222(a 28a) 120 .例 4分解因式: (x22x 3)( x22x24) 90 .例 5分解因式6x45x338x25x 6 .例 6分解因式x22xy y25x 5 y 6 ..例 7 分解因式: ca(c-a)+ bc(b-c)+ ab(a- b).例 8已知x4 6 x2x 12 有一个因式是 x2ax 4 ,求a值和这个多项式的其余因式.例 9 分解因式:5a2b223aby10 y2.。
十字相乘法一.学习目标导航重点 应用十字相乘法解一元二次方程难点 对多项式运用十字相乘法进行因式分解二.重点难点透视详解点一 十字相乘法对2ax bx c ++,把二次项系数a 分解成两个因数1a ,2a 的积12a a ∙,把常数项c 分解成两个因数1c,2c 的积12c c ∙,并使1221a c a c ∙+∙正好等于一次项系数b ,那么可以直接写成结果:21122()()ax bx c a x c a x c ++=++,这种分解因式的方法就叫十字相乘法。
详解点二 二次项系数为1的二次三项式【例1】分解因式:232x x ++分析:二次项系数可以分解成11⨯,常数项分解成12⨯,11123⨯+⨯=,故该二次三项式可分解成(1)(2)x x ++。
解:原式=(1)(2)x x ++点评:用十字相乘法分解因式,可写成十字交叉的形式,更直观清楚:1112,十字左边乘积为二次项系数,十字右边乘积为常数项,交叉相乘结果为一次项系数。
随堂小练:分解下列因式256x x ++ 2710x x ++ 21016x x ++ 2701000x x ++【变式1】一次项系数为负,常数项为正说明:常数项分解成两个负数的乘积 【例2】分解因式:232x x -+分析:二次项系数可以分解成11⨯,常数项分解成(1)(2)-⨯-,1(1)1(2)3⨯-+⨯-=-,故该二次三项式可分解成(1)(2)x x --。
解:原式=(1)(2)x x --点评:写成十字交叉的形式:1112--随堂小练:分解下列因式268x x -+ 2812x x -+ 2914x x -+ 250400x x -+【变式2】一次项系数为负,常数项为负或一次项系数为正,常数项为负说明:常数项分解成正数负数的乘积,且其中绝对值较大的数符号与一次项系数符号一致。
【例3】分解因式:(1)234x x -- (2)234x x +-分析:(1)1114- (2)1114-解:(1)原式=(1)(4)x x +- (2)原式=(1)(4)x x -+ 点评:注意符号的一致性! 随堂小练:分解下列因式212x x +- 2328x x +- 2340x x -- 29400x x --详解点三 二次项系数不为1的二次三项式说明:与二次项系数为1时类似,能提公因式先提取公因式,再将二次项系数化为正数,写成两个正数的乘积,再利用十字相乘法。
综高高一导学案【补充内容】用“十字相乘”法分解因式。
【学习目标】(1)了解“二次三项式”的特征;(2)理解“十字相乘”法的理论根据;(3)会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【学习过程】一、温故知新1.因式分解与整式乘法的关系:;2.已有的因式分解方法:;3.把下列各式因式分解:(1) 3ax2+6ax+3a (2) x2-4y2 (3)x4-8x2+16二、探索新知1.提出问题:你能分解2ax2+6ax+4a吗?2.探求解决:(1)请直接填写下列结果(x+2)(x+1)= ;(x+2)(x-1)= ; (x-2)(x+1)= ;(x-2)(x-1)= 。
把上述式子左右对调,你有什么发现?(2)把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) =+2 ---------- 常数项(+1) + (+2) =+3 ---------- 一次项系数---------- 十字交叉线2x + x = 3x 解:x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)(3)按(2)中的方法把652++x x 分解因式 。
3.归纳概括:十字相乘法定义: 。
三、例题分析:例1 x 2 + 6x – 7= (x+7)(x-1) 步骤:①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘,和相加 ③检验确定,横写因式-x + 7x = 6xx ⇓⇓7⨯x 1-x x 12⨯顺口溜:竖分常数交叉验,横写因式不能乱。
练习1: x2-8x+15= ;练习2: x2+4x+3= ; x2-2x-3= 。
小结:对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项,凑一次项”例2试将 -x2-6x+16 分解因式提示:当二次项系数为-1时,先提取-1,再进行分解。
例3 用十字相乘法分解因式:(1)2x2-2x-12(2)12x2-29x+15提炼:对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头,凑中间”。
三、课堂小结1.十字相乘法: ; 2.适用范围: ;3.理论根据: ; 4.具体方法: 。
甘肃省张掖市临泽县第二中学九年级数学上册第二章《十字相乘法》导学案北师大版课题课型新授课课时教师教学目标掌握十字相乘法解方程的方法重点十字相乘法的运用难点十字相乘法的应用教法合作探究学法合作交流时间一、创设情景引入新课我们知道()()22356x x x x++=++,反过来,就得到二次三项式256x x++的因式分解形式,即()()25623x x x x++=++,其中常数项6分解成2,3两个因数的积,而且这两个因数的和等于一次项的系数5,即6=2×3,且2+3=5。
一般地,由多项式乘法,()()()2x a x b x a b x ab++=+++,反过来,就得到()()()2x a b x ab x a x b+++=++这就是说,对于二次三项式2x px q++,如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积,并且a+b等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式,即()()()22x px q x a b x ab x a x b++=+++=++。
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
学习困惑记录二、讲授新课例1 把232x x++分解因式。
分析:这里,常数项2是正数,所以分解成的两个因数必是同号,而2=1×2=(-1)(-2),要使它们的代数和等于3,只需取1,2即可。
解:因为2=1×2,并且1+2=3,所以()()23212x x x x++=++例2把276x x-+分解因式。
分析:这里,常数项是正数,所以分解成的两个因数必是同号,而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3),要使它们的代数和等于-7,只需取-1,-6即可。
归纳:,把2x px q++分解因式时:如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
因式分解——十字相乘法(1)【教学目标】1.能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++的二次三项式分解因式;2.过课堂交流,锻炼学生数学语言的表达能力;3.培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++ 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把2x px q ++分解因式时,准确地找出a b 、,使;a b q a b p ⋅=+= 【教学过程】 一、复习导入 1.口答计算结果:(1) (2)(1)x x ++ (2) (2)(1)x x +- (3) (2)(1)x x -+ (4) (2)(1)x x -- (5) (2)(3)x x ++ (6) (2)(3)x x -- (7) (2)(3)x x -+ (8) (2)(3)x x -- 2.问题:你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?[在多项式的乘法中,有十字相乘公式2()()()x a x b x a b x ab ++=+++]二、探索新知 1.观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.反过来可得 2()()()x a b x ab x a x b +++=++等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2.体会与尝试:①试一试 因式分解: 243x x ++;223x x --将二次三项式243x x ++因式分解,就需要将二次项2x 分解为x x ∙,常数项3分解为3×1,而且3 + 1= 4,恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:243(3)(1)x x x x ++=++.3x + x =4x②定义:利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. ③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式(尽所有可能): 6= ; 12= ; 24= ; -6= ; -12= ; -24= . ④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解:(1) 276x x -+; (2) 256x x -- ; (3) 2812x x ++; (4) 21112x x --; (5) 21024x x ++; (6) 2524x x --;3.思考与归纳:要将二次三项式2x px q ++因式分解,就需要找到两个数a b 、,使它们的积等于常数项q ,和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解,即22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++用十字交叉线表示:ax + bx =()a b x +由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况,怎样才能找到两个合适的数,通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 三、课堂练习:(1)分解因式:①562++x x ②862++y y ③1682+-x x ④21102+-a a⑤1452-+x x ⑥542-+t t ⑦14132--x x ⑧6322--x x(2)先填空,再分解(尽可能多的):2x ( ) x + 60 = ; 5.讨论:22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++中的符号规律. 四、课堂小结对二次三项式2x px q ++进行因式分解,应重点掌握以下三个方面:x x3+1+x x a b1.掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2.符号规律: 当0q >时,a b 、同号,且a b 、的符号与p 的符号相同;当0q <时,a b 、异号,且绝对值较大的因数与p 的符号相同.3.书写格式:竖分横积五、作业布置1.用十字相乘法将下列二次三项式进行因式分解:(1)232++x x (2)232+-x x (3)322-+x x (4)322--x x(5) 652++x x (6)652+-x x (7)652-+x x (8)652--x x(9) 22-+x x (10)1242--x x (11) 6322-+x x (12)1582+-x x(13) 32122++x x (14)9102++x x (15)1032--x x (16)1522--x x2.思考:将2(23)6(23)5x x -+-+进行因式分解.因式分解——十字相乘法(2)【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式;2、通过问题研究,培养学生整体代换等数学思想;3、通过问题设计,培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式.【教学难点】灵活运用十字相乘法分解因式.【教学过程】一、复习导入1.因式分解:(1)256-+(4)212x xx x--x x++(2)2224x x+-(3)268问题:复习回顾十字相乘法的一般步骤?2.因式分解2x x--26问题:对于二次项系数不为1的二次三项式,你是否能够分解因式呢?二、探索新知例1. 分解因式2x x--26分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘求代数和,使其等于一次项系数.-1x22x3=-4x-+3x x2--=-+26(2)(23)x x x x2++(1ax bx ca≠)的二次三项式分解因式注意事项二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它转化为正数,)只需把它分解成两个正的因数.练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解(1)2568x x +- (2)2675x x -- (3)2276x x ++ (4)231110x x -+ 变式训练 将下列多项式因式分解 (1)2271615x xy y +-分析:把2271615x xy y +-看成是x 的二次三项式,这里的常数项是215y -1x 3y 7x 5y -21xy + 516xy xy -=2271615x xy y +-(3)(75)x y x y =+-(2)24()5()6x y x y +-+-分析:把()x y +看做整体z ,利用换元法得到2456z z --2456z z --(2)(43)z z =-+即:24()5()6x y x y +-+-(2)(443)x y x y =+-++ 三、课堂练习1.将下列多项式因式分解(1)22512x x -- (2)2352x x -- (3)242427x x ++ (4)212133x x -+ 2.将下列多项式因式分解(1)226136x xy y -+ (2)228635x y xy +-(3)2218215x xy y -+ (4)222()()()6()a b a b a b a b +++--- 四、课堂小结1.二次项系数不为1的二次三项式因式分解解法及注意事项2.因式分解中渗透整体考虑思想五、布置作业1. 将下列多项式因式分解(1)22-+x x (2)652--x x (3)2532+-x x(4)3762+-x x (5)2522++x x (6)3722+-x x2. 将下列多项式因式分解(1)422416654y y x x +- (2)633687b b a a --(3)2(23)6(23)5x x -+-+(4)120)8(22)8(222++++x x x x十字相乘法分解因式(1)多项式c bx ax ++2,称为字母 的二次三项式,其中 称为二次项, 为一次项, 为常数项.例如:322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.(2)在多项式2286y xy x +-中,如果把 看作常数,就是关于 的二次三项式;如果把 看作常数,就是关于 的二次三项式.(3)在多项式37222+-ab b a 中,把 看作一个整体,即 ,就是关于 的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把 看作一个整体,就是关于 的二次三项式.(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项,凑一次项”当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头,凑中间”当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项; 常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.注意:用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.例1 把下列各式分解因式:(1)1522--x x ; (2)2265y xy x +-.例2 把下列各式分解因式:(1)3522--x x ; (2)3832-+x x .例3 把下列各式分解因式:(1)91024+-x x ; (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+;(3)120)8(22)8(222++++a a a a .例4 分解因式:90)242)(32(22+-+-+x x x x .例5 分解因式653856234++-+x x x x .例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x .例7 分解因式:ca (c -a )+bc (b -c )+ab (a -b ).例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 ( )A .abB .a +bC .-abD .-(a +b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ,则b 为 ( ) A .5 B .-6 C .-5 D .63.多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x -b ),则a ,b 的值分别为 ( )A .10和-2B .-10和2C .10和2D .-10和-24.不能用十字相乘法分解的是 ( )A .22-+x xB .x x x 310322+-C .242++x xD .22865y xy x --5.分解结果等于(x +y -4)(2x +2y -5)的多项式是 ( )A .20)(13)(22++-+y x y xB .20)(13)22(2++-+y x y xC .20)(13)(22++++y x y xD .20)(9)(22++-+y x y x6.将下述多项式分解后,有相同因式x -1的多项式有 ( )①672+-x x ; ②1232-+x x ; ③652-+x x ;④9542--x x ; ⑤823152+-x x ; ⑥121124-+x xA .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题7.=-+1032x x __________.8.=--652m m (m +a )(m +b ). a =__________,b =__________.9.=--3522x x (x -3)(__________).10.+2x ____=-22y (x -y )(__________).11.22____)(____(_____)+=++a mn a . 12.当k =______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________).13.若x -y =6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________. 三、解答题14.把下列各式分解因式:(1)6724+-x x ; (2)36524--x x ; (3)422416654y y x x +-;(4)633687b b a a --; (5)234456a a a --; (6)422469374b a b a a +-.15.把下列各式分解因式:(1)2224)3(x x --; (2)9)2(22--x x ;(3)2222)332()123(++-++x x x x ; (4)60)(17)(222++-+x x x x ;(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ; (6)48)2(14)2(2++-+b a b a .16.已知x +y =2,xy =a +4,2633=+y x ,求a 的值.。