十字相乘法分解因式导学案

十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）明白得二次三项式的意义；（2）明白得十字相乘法的依照；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是把握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，若是把y 看做常数，确实是关于x 的二次三项式；若是把x 看做常数，确实是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看做一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，确实是关于ab 的二次三项式．一样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看做一个整体，确实是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法那么．它的一样规律是：（1）关于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，若是能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，而且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就能够够运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方式的特点是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 能够表示单项式，也能够表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）关于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来讲，若是存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特点是“拆两头，凑中间”，那个地址要确信四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情形复杂，因此，一样要借助“画十字交叉线”的方法来确信．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意幸免以下两种错误显现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是不是等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一样要遵循的步骤多项式因式分解的一样步骤：先考虑可否提公因式，再考虑可否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．关于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀归纳如下：“第一提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要适合，四种方式反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把以下各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看做常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把以下各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：咱们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，那个地址a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要实验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积存体会，才能提高速度和准确性．例3 把以下各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看做一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻明白得换元的思想，这能够帮忙咱们及时、准确地发觉多项式中究竟把哪个看成整体，才能组成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是不是能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看做一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，那么原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：此题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题进程，表现了换元法化简求解的良好成效．另外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，咱们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，那么 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：此题持续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方式巧妙，令人眼花瞭乱．可是，体味之余应想到对换元后得出的结论必然要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方式1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方式2：把字母y 看做是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部份从头分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、从头分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，依照字母c 的次数分组，显现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又显现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和那个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，依照多项式的乘法原那么可明白另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．依照此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，那么 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，因此其对应项系数别离相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方式称为待定系数法，是很有效的方式．待定系数法、配方式、换元法是因式分解较为经常使用的方式，在其他数学知识的学习中也常常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有把握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．若是))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．若是305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，那么b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，那么a ，b 的值别离为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m n a ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．假设x －y ＝6，3617=xy ，那么代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把以下各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把以下各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把以下各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,m n 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4， 2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。

十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-． 例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，一流教育——圆你成功梦∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn212．－2，3x ＋1或x ＋2 13．17 14．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a （2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x一流教育——圆你成功梦11 1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。

用十字相乘法分解因式教学设计【教学目标】知识目标：学会用十字相乘法分解二次三项式；注意分解因式的基本步骤。

能力目标：渗透待定系数的思想。

情感目标：感受数学的简洁之美。

【教学重点】：恰当将系数分解质因数，凑出符合的“十字”。

【教学难点】：二次项系数不为1的二次三项式的因式分解。

【课前准备】：学案，阅读教材P172.【教学课时】：1课时。

【教学过程】：一、课前阅读。

阅读教材P172，尝试解决下面的问题。

1、完成后面的四道练习。

2、能用十字相乘法分解的二次三项式有何特征？3、已知x2+mx-12可以分解为两个一次二项式之积，则整数m的值可能是多少？二、新课学习。

（一）引入。

解一元二次方程x2-2x-3=0.（二）阅读效果交流。

1、请学生订正课本上的练习。

【教师点拨】①可应用前面所学的配方思想来解决；②注意一次项系数的符合.③在此处教画十字。

2、请学生谈问题2.【教师点拨】即公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

概括：能够分解为（x＋p）（x＋q）的二次三项式满足以下条件：①二次项系数为____；②一次项系数等于_________；③常数项等于________.3、订正问题3.【教师点拨】因-12=-1×12=-12×1=-2×6=-6×2=-3×4=-4×3，故m应有六种可能的值。

4、预习检测：将下列各式因式分解。

（1）x2 —6x ＋8 （2）x2 —2x —15（3）x2 —8x +12（三）阅读中学习。

1、例1、解方程：x2 +6x－7＝0口诀：“竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

阅读后反思：A、联系：本题与前面的因式分解题有什么相同之处？B、区别：本题与单纯的因式分解题有何区别？C、方法与思想：几个因式的积为0，则必有一个因式为0.【教师点拨】一元二次方程的标准形式为二次三项式的和为0，则只需将二次三项式分解为几个因式之积，就能应用“几个因式的积为0，则必有一个因式为0”求出未知数的值，可见，解方程与整式的变形是统一的。

十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ；（2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+ ]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a )108)(128(22++++=a a a a)108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90 162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ， 令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式．方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式．解法1： 655222-+-+-y x y xy x 6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x 65)52(22-+++-=y y x y x)1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---=)())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则 12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+．错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤． 正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．【同步练习】一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( ) A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )．a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m na ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式：（1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。

十字相乘法进行因式分解【学习目标】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．学习重点：理解十字相乘法的根据。

学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。

学习过程：1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．2．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型例题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ． ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )． 例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．例9 分解因式：22210235y aby b a -+．。

十字相乘法1.二次三项式多项式ax2+ bx + c,称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项，C为常数项.例如，x2 -2x-3和x2 + 5x + 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy + 8j2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2—7ab + 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2 -7(ab) + 3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x + y)2 + 7(x + y) +12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：31)对于二次项系数为1的二次三项式x2 + px + q ,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积，并且a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2 + (a + b)x + ab =(x + a)(x + b)3 •因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式:(1)x2 -2x-15 ；(2) x2 —5xy + 6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3义(一5),且3 + (—5)=—2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(一2y)( —3y),而(一2 y ) + ( —3 y ) = (—5 y)恰为一次项系数.解：(1) x2 - 2x -15 =(x + 3)(x - 5)；(2)x2 -5xy + 6y2 =(x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(3)2x2 -5x-3 ； (2) 3x2 + 8x-3 .点悟：我们要把多项式ax2 + bx + c分解成形如(ax1+ ,)(ax2 + c2)的形式，这里4a2 = a ,c c = c而a c + a c = b .解：(1) 2x2 - 5x - 3 =(2x +1)(x - 3)；(4)3x2 + 8x- 3 =(3x-1 )(x + 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1 ) x 4 -10 x 2 + 9 ；(5)7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)；(6)(a2 + 8a)2 + 22(a2 + 8a) +120 .点悟：(1)把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；(2)提取公因式(x+y )后，原式可转化为关于(x+y )的二次三项式；。

初中数学【用十字相乘法进行因式分解】导学案一、导入激学你还记得什么是因式分解吗？还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？二、导标引学学习目标：1、理解十字相乘法的概念和意义，会用十字相乘法把形如“x2+px+q”的二次三项式进行因式分解。

2、会用十字相乘法把形如“ax2+px+q”的二次三项式进行因式分解。

3、渗透化归数学思想和部分与整体的数学思想，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性、层次性。

学习重难点：熟练掌握十字相乘法因式分解；结合运用各种方法完成因式分解。

三、学习过程（一）导预疑学利用5分钟，按预学要求完成下列问题，小组讨论后找出疑难问题。

1、预学核心问题：（1）十字相乘法的概念和意义（2）会用十字相乘法进行因式分解；2、预学检测:计算：（1）（x+2）（x+1）=__________; (2) （x+2）（x﹣1）=__________(3)（x﹣2）（x﹣1）=_________; (4) （x+2）（x+3）=__________(5)（x﹣2）（x+3）=__________; (6) （x﹣2）（x﹣3）=__________讨论：你是用什么方法将这类题目做得又快又准呢？试总结一个公式。

____________________________________________________________3、预学评价质疑：通过预学，你学会了什么？还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。

（二）导问互学问题一：用十字相乘法进行因式分解；活动1：两个一次二项式(x+a) (x+b)的积得x 2+(a+b)x+ab 即(x+a) (x+b)＝x 2+(a+b)x+ab,观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？活动2：计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。

因式分解——十字相乘法导学案【学习目标】（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“十字相乘”法的理论根据；（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

【学习过程】一 、自主学习请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ； （x-2）（x-1）= 。

（x+p ）（x+q ）= x 2+(p+q)x+pq问题：把上述式子左右对调，你有什么发现？二、探索新知（1）先学后练：把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 --------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) 练：652++x x = 。

（2）先学后练：把x 2+6x-7分解因式x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x x x 12⨯x ⇓⇓7⨯x 1-练：因式分解①x 2-8x+15 ②x 2+4x+3 ③ x 2-2x-3④1522--x x ； ⑤2265y xy x +-．归纳：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（3）先学后练：把-x 2-6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。

练： ①-x 2-5x-6 ②-x 2+3x+4 ③ -x 2-2x+8 ④ -x 2+8x-15（4）用十字相乘法分解因式：①2x 2-2x-12 ②12x 2-29x+15③3522--x x ； ④3832-+x x ．归纳：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。

三、巩固训练1．分解因式：（1）1522--x x (2) 1032-+x x （3）3522--x x 2．分解因式：（1）22157x x ++； (2) 2384a a -+；(3) 2576x x +- (4) 261110y y --3．分解因式：(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2(3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a四．巩固训练先阅读学习，再求解问题：材料：解方程：=-+1032x x 0。