2.5-例题讲解

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。

2.5 典型例题例题２－１ 一个装有２kg 工质的闭口系经历如下过程：过程中系统散热25kJ ，外界对系统做功100kJ ，比热力学能减少15kJ/kg ，并且整个系统被举高1000m 。

试确定过程中系统动能的变化。

解 由于需要考虑闭口系统动能及位能的变化，所以应用第一定律的一般表达式（２－７b ），即2f 12Q U m cm g z W=∆+∆+∆+ 于是 2f 1K E 2m c Q W U m g z ∆=∆=--∆-∆(25k J )(100k J )(2k g )(1=----- 2-3(2k g )(9.8m /s )(1000m 10)-⨯⨯ =+85.4k 结果说明系统动能增加了85.4kJ 。

讨论（１） 能量方程中的Q ,W ，是代数符号，在代入数值时，要注意按规定的正负号含义代入。

U ∆，mg z ∆及2f 12m c ∆表示增量，若过程中它们减少应代负值。

（２） 注意方程中每项量纲的一致，为此mg z ∆项应乘以310-。

例题２－２ 一活塞汽缸设备内装有５kg 的水蒸气，由初态的比热力学能12709.0kJ/kg u =，膨胀到22659.6kJ/kg u =，过程中加给水蒸气的热量为 80kJ ，通过搅拌器的轴输入系统18.5kJ 的轴功。

若系统无动能、位能的变化，试求通过活塞所做的功解 依题意画出设备简图，并对系统与外界的相互作用加以分析。

如图２－４所示，这是一闭口系，所以能量方程为Q U W =∆+方程中是总功，应包括搅拌器的轴功和活塞膨胀功，则能量方程为p a d d l ep iQ U W W =∆++ps i t o np a d d l e2()W Q Wm u u =--- (+80kJ)(18.5kJ)(5kg)(2659.62709.9)kJ/kg =---- 350kJ =+讨论（１） 求出的活塞功为正值，说明系统通过活塞膨胀对外做功。

（２） 我们提出膨胀功12d W p V =⎰，此题中因不知道p V -过程中的变化情况，因此无法用此式计算piston W（３） 此题的能量收支平衡列于表２－３中。

5 用计算器开方1．用计算器开方开方运算要用到键和键3.对于开平方运算，按键顺序为：，被开方数，＝.对于开立方运算，按键顺序为：3，被开方数，＝.(用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，可以参看说明书．)【例1】用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：(1)87.1；(2)3－256；(3)23；(4)3415.分析：明确自己所使用的计算器的设置，正确地把握按键顺序(注：这里以课本所示型号的计算器为例)．解：(1)按键87·1＝，显示结果为9.332 73…，所以87.1≈9.333.(2)按键3(－)256＝，显示结果为－6.349 60…，所以3－256≈－6.350.(3)按键，显示结果为0.816 496…，所以23≈0.816 5.(4)按键，显示结果为0.643 659…，所以3415≈0.6437.谈重点正确使用计算器使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，可以按照算式的书写顺序从左至右按键输入算式，计算器将按照运算法则的优先顺序自动进行运算，其运算的优先顺序为：括号中的运算、乘幂与方根运算、乘除运算、加减运算．不同型号的计算器，按键的顺序可能会有所不同，要仔细阅读计算器的说明书．注意：在第(3)小题输入2÷3时和第(4)小题输入4÷15时，都要加括号．2．用计算器比较数的大小【例2】利用计算器比较33与2的大小．分析：先利用计算器求出两个数的近似值，然后比较大小．解：用计算器计算，得33≈1.442，2≈1.414，∵1.442＞1.414，∴33＞ 2.辨误区注意开立方与开平方的按键区别关键在于正确的按键顺序，要注意立方根与算术平方根在操作时的区别．3．利用计算器探索规律目前初中阶段计算器的应用主要是计算(估算)、比较数的大小或探寻规律、验证结论等．用计算器探索数字运算的有关规律，通常的做法是先将这个数字运算缩到最小，然后再逐步放大，从而利用由特殊到一般的思想方法以小见大，逐步探索出数字运算中所蕴含的一般规律． 注意“由一般到特殊”这种探究问题的方法的应用．【例3】 请计算：3 333 333 334×3 333 333 333的乘积中共有__________个数字是偶数．解析：用计算器依次探索可得：4×3＝12，34×33＝1 122，334×333＝111 222，3 334×3 333＝11 112 222，…得到规律：乘积中偶数的个数与前面所乘因数的位数相等．答案：104．利用计算器解决实际问题计算器正越来越受人们的欢迎，在生活和学习中计算器正发挥着越来越大的作用，现在的数学考试也可以使用计算器了，借助计算器来探索规律就是近年中考的题型之一． 《新课程标准》指出：“应充分考虑计算器，计算器对数学学习内容与方式的影响，把它们作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具．”使用计算器，可以缩短计算时间，提高计算效率，降低劳动强度．不同的计算器使用方法是不同的，但是大同小异，注意看说明书．【例4】 如图，正方形的面积和圆的面积均为100 cm 2，问哪一个周长小一些？分析：先计算出正方形的边长和圆的半径，再求出它们的周长进行比较．解：∵正方形的边长为100＝10(cm)，∴正方形的周长为10×4＝40(cm)．∵圆的半径为100π≈5.64(cm)， ∴圆的周长为2π×5.64≈35(cm)．∵35＜40，∴圆的周长小一些．。

2.5电路中各点电位的计算考纲要求：掌握电路中各点电位及两点间电压的分析和计算，并掌握其测量方法。

教学目的要求：1掌握电路中两点间电压的计算。

2、掌握电路中各点电位的计算。

教学重点：电路中各点电位及两点间电压的计算。

教学难点：电位的概念课时安排：4节课型：复习教学过程：【知识点回顾】、两点间电压的计算1、两点间电压的计算方法：_____________________________________________________________2、注意：电压“ +”、“- ”的取法： ____________________________________________________ 。

二、电位的计算1、计算方法：__________________________________________________________________________2、电压与电位的关系：___________________________________________U AB= _______________ ；L B A= _________________________ 。

电压是 ___________ ，电位是_______________ 。

3、根据求出电路中各点的电位，可判断出某一段电路或某一元件的工作状态。

【课前练习】一、判断题1、电路中参考点改变，各点的电位也将改变。

（）2、任意两点间的电压也就是这两点之间的电位之差。

（）3、参考点位置变了，电路中某点的电位值也要改变，但电路中任意两点间的电压值是不可能改变的。

（）二、选择题1、在如图所示电路中，电流I为A . 15 AB . 7AC . 6AD 、1 A2、在图所示电路中，R仁R2=R3=36欧姆，R4=5欧姆，电源电动势E=12V,内阻r=l欧姆，P点接地，贝U A 点的电位为（）A.8.4VB.7.6VC . 5. 6V D.6.8V三、填空题【例题讲解】 例1:如图所示，当开关 S 断开时，VA = V ，S 闭合时VA =1、在如图所示电路中，如以A 点为参考点时， VA=B 点为参考点时， VA= V ，VB= V ，UAB= V;如以 ，VB= V ，UAB= V -a -----------—2A2、图中A 点的电位四、分析计算题1、试求在如图所示电路中 A 点的电位V A 。

从克到吨（概念与例题）知识点一：认识吨计量比较重的或大宗物品的质量，通常用“吨”作单位比较方便，“吨”用“t”表示。

例如在表示大而重的动物的质量，就要用“吨”作单位。

大象约重5吨河马约重4吨例1：在下列括号里填上合适的单位。

（1）（2）（3）鲨鱼约重3（）蓝鲸约重的125（）一辆卡车载重约6（）解析：本题属于对质量单位“吨”的正确认识，用“吨”来计量较重或大宗物品的质量。

鲨鱼、蓝鲸都属于较重的动物，卡车的载重量是大宗物品的质量，所以均要用吨作单位。

答案：（1）鲨鱼约重3吨（2）蓝鲸约重125吨（3）一辆卡车载重约6知识点二：克、千克、吨之间的换算吨与千克之间的关系：1t=1000kg 1kg=1000g 1t=1000kg=1000000g质量单位间的进率：吨、千克、克每相邻两个单位之间的进率是1000质量单位的换算方法：1.高级单位换算成低级单位要乘进率1000，如4吨=（）千克，可以这样想：吨是高级单位，千克是低级单位，所以4吨=4×1000=4000千克。

2.低级单位换算成高级单位时要除以进率1000，如：80000千克=（）吨，可以这样想：千克是低级单位，吨是高级单位，所以80000千克=80000÷1000=80吨例2：填一填（1）长颈鹿的体重通常用（）作单位；（2）一个人的体重通常用（）作单位；（3）一个鸡蛋的质量通常用（）作单位。

解析：本题属于对质量单位的正确认识，用“吨”来计量较重的或大宗物品的质量。

用“克”楷计量较轻物品的质量，“千克”介于“吨”和“克”之间。

长颈鹿的体重是较重的质量，所以要用吨作单位；人体的质量要用千克作单位；一个鸡蛋是较轻的物品，应用克作单位。

答案：长颈鹿的体重通常用（吨）作单位；一个人的体重通常用（千克）作单位；一个鸡蛋通常用（克）作单位。

例3：把下面各质量按从小到大的顺序排列51吨 5000克 5500千克 5050千克解析：排列顺序的前提是要统一单位，然后在单位相同的情况下再比较。

2.5 有理数的大小比较1．两个负数的大小比较(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，即两个负数，绝对值大的反而小．例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤①分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．【例1】 比较－23与－34的大小． 分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．解：因为⎪⎪⎪⎪－23＝23＝812，⎪⎪⎪⎪－34＝34＝912，而812＜912，所以－23＞－34. 警误区 比较分数大小时注意的问题 在比较通分后两个分数的大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．2．任意有理数的大小比较有理数的大小比较方法较多，常见的有如下几种：(1)法则比较法有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据正数、负数的定义，所有的正数都大于0，所有的负数都小于0，所以正数大于一切负数．因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a ＞0表示a 是正数；反之，a 是正数也可以表示为a ＞0.同理，a ＜0表示a 是负数；反之，a 是负数也可以表示为a ＜0.另外可以用a ≥0表示a 是非负数，用a ≤0表示a 是非正数．(2)数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，根据这个特点可把需要比较的数表示在数轴上，通过数轴比较两数的大小．利用数轴比较有理数的大小的一般步骤为：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．(3)特殊值比较法含有字母的数的比较，若采用取特殊值比较法，简单快捷．【例2】 比较下列各数的大小：(1)－|－1|__________－(－1)；(2)－(－3)__________0；(3)－⎝⎛⎭⎫－16__________－⎪⎪⎪⎪－17； (4)－(－|－3.4|)__________－(＋|3.4|)．解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1)＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1)；(2)化简－(－3)＝3，因为正数都大于0，所以－(－3)＞0；(3)分别化简两数，得－⎝⎛⎭⎫－16＝16，－⎪⎪⎪⎪－17＝－17，因为正数大于负数，所以－⎝⎛⎭⎫－16＞－⎪⎪⎪⎪－17；(4)同时化简两数，得－(－|－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．答案：(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＞解技巧 比较较复杂形式的数的方法 在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的比较方法进行大小比较．3．几个有理数的大小比较几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大；绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等)大小比较的问题．【例3】 用“＜”号将0.01，－23，0，11 000，－34连接起来． 分析：这一列数中，正数有0.01，11 000，且11 000＜0.01；负数有－23，－34，且－34＜－23；还有0，根据有理数的大小比较法则可知，－34＜－23＜0＜11 000＜0.01. 解：－34＜－23＜0＜11 000＜0.01. 解技巧 用“＜”(或“＞”)连接有理数的方法 用“＜”号连接时，先按绝对值由大到小排列负数，再排0，最后按绝对值由小到大排列正数．4.利用数轴比较含有字母的有理数的大小“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a 可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．【例4】 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，－a ，b ，－b ，c ，－c ,0的大小，并用“＜”号连接．分析：观察数轴知a ＜0，b ＜0，c ＞0；根据绝对值的意义，|a |＞|b |＞|c |；根据相反数的几何意义，可以把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c,0的大小都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．解：把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c,0分别表示在数轴上，如图所示．所以a ＜b ＜－c ＜0＜c ＜－b ＜－a .析规律 互为相反数和绝对值相等的两个数的几何特点 互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等，绝对值相等的两个数在数轴上到原点的距离相等．5．有理数的大小关系在现实生活中的应用比较一些数的大小关系，在现实生活中经常遇到，例如比赛时按成绩排列顺序等，这时经常利用数轴来进行排序．在现实生活中，经常利用有理数的绝对值的大小来判断产品的好坏，工具的精益程度等．绝对值越小说明产品越好，越接近标准；绝对值越小说明所测量的工具越精益．在数轴上通常通过绝对值求距离，以此来判断两个目标之间的距离关系．这时就要根据绝对值的几何意义，结合数轴求解．中考中经常以“数轴”为背景设计有理数的大小比较问题，它重点考查同学们大小比较的能力以及数形结合的能力．数轴能够实现数与形的结合，而绝对值采用的是分类讨论的思想方法，这两种思想方法是同学们应该重点掌握的方法，在现实生活中有广泛的应用，经常用来解决实际问题．【例5】在一次游戏结束时，5个队的得分如下(答对得正分，答错得负分)A队：－50分；B队：150分；C队：－300分；D队：0分；E队：100分．(1)把这些队的得分按低分到高分排序；(2)画一条数轴，将每个队的得分标在数轴上，同时将代表该队的字母也标上；(3)从数轴上看，A队与B队的距离是多少？A队与C队的距离是多少？C队与D队的距离是多少？分析：(1)按“负数＜零＜正数”的顺序排列；(2)画数轴时单位长度规定为100比较合适；(3)求两队之间的距离，直接数出数轴上表示两队的点之间的单位长度．解：(1)－300分＜－50分＜0分＜100分＜150分；(2)如图所示：(3)A队与B队的距离是200分，A队与C队的距离是250分，C队与D队的距离是300分．。

第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。

类型三进一法/ 去尾法解决实际问题【知识讲解】1. 进一法：在我们生活中遇到类似剩下的不足1份又不能舍去的情况时，我们不论要保留的数位后一位上的数是否满5，都往前一位进一，这就是“进一法” 。

2. 去尾法：在生活中遇到类似这种剩下的不足1份，无论保留数位后一位数是否满5 ，都去掉，这就是去尾法。

3. 比较两种不同的取值方法相同点：两道题目并没有要求商取近似值，都是根据实际情况自觉地取商的近似值，并都是整数，我们计算时只要除到十分位就可以了。

不同点：不管保留位数后一位是否满“5”，“去尾法”则把保留位数后一位舍去，“进一法”在商的个位加1。

【例题讲解】【例题1】判断用什么方法取近似值，再口答下列题目。

（1）一批水泥，一辆车2.8 次运完，实际要运（）次。

（2）一块布可以做6.7 套西服，实际做（）套。

（3）52名同学坐旋转木马，每次最多可以乘坐12 人，实际需要（）次，才能让每个孩子都乘坐旋转木马。

（4）王老师带100 元去为学校图书室买新词典，每本《汉语词典》的单价是18.5 元。

他可以买（）本词典。

【解析】（1）运送水泥，2.8次运完，说明2次运不完，还有剩余，因此要用“进一法”取近似值，实际要运3 次；（2）做衣服，一块布料可以做6.7 套，说明可以做6 套，余下布料只够做0.7 套，因此要用“去尾法”取近似值，实际做了6 套；（3）52 名同学们坐旋转木马，每次最多可以乘坐12人，可以乘坐4 次，还剩4 人需要乘坐1 次，因此用“进一法”取近似值，实际需要5次才能让每个孩子都乘坐旋转木马；（4）100 元买单价是18.5 元的《汉语词典》，可以买5 本还剩7.5 元，7.5 元不够再买一本，应该采用“去尾法”取近似值，实际上他可以买5 本词典。

【答案】（1）“进一法”，3 次；（2）“去尾法”，6 套；（3）“进一法”，5 次；（4）“去尾法”，5 本。

【例题2】选择合适的方法解决实际问题。

五年级数学下册典型例题系列之第四单元长方体（二）体积部分（解析版）编者的话：《五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第四单元长方体（二）体积部分。

本部分内容考察长方体和正方体的体积，编排从易到难，考点划分较多，共划分为十一个考点，建议作为本章核心内容进行讲解，欢迎使用。

【考点一】体积和容积单位换算。

【方法点拨】一、容积与体积的单位以及单位之间的进率。

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方米=1000000立方厘米1升=1000毫升二、容积单位与体积单位的互化。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米【典型例题1】0.03m3＝( )dm3 ( )mL＝4L 2000cm3＝( )dm3解析：30；4000；2【对应练习1】0.5dm2＝( )m2＝( )cm24dm3＝( )m31250dm3＝( )m328000cm3＝( )dm3＝( )m35.04m3＝( )dm3解析：0.005 50 0.004 1.25 28 0.0285040【对应练习2】填一填。

3m32dm3＝( )m371.5L＝( )mL2.7dm2＝( )dm2( )cm2解析：3.002 71500 2 70【对应练习3】38.64dm=( )3m＝( )3cm500L=( )3m＝( )3dm解析：0.00864 8640 0.5 500【考点二】长方体和正方体的体积及反求。

【方法点拨】1.长方体的体积= 长×宽×高 V=abh长= 体积÷宽÷高 a=V÷b÷h宽= 体积÷长÷高 b=V÷a÷h高= 体积÷长÷宽 h= V÷a÷b2.正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a³读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）3.长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

3 绝对值1．相反数(1)相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 辨误区 相反数的理解 ①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．【例1－1】 关于相反数下列说法正确的是( )．A ．－14和0.25不互为相反数 B ．－3是相反数 C ．任何一个数都有相反数 D ．正数与负数互为相反数解析：A × 只有符号不同，互为相反数B × 相反数是成对出现的C √ 正数、0、负数都有相反数D × 正数与负数中的数字不一定相同，不一定是互为相反数答案：C(2)相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数． 一个有理数a ，它的相反数是多少呢?有理数a 的相反数是－a .这里a 可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a ＝2时，－a ＝－2,2与－2是互为相反数；当a ＝－1时，－a ＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a ＝m ＋n 时，－a ＝－(m ＋n )，所以m ＋n 的相反数是－(m ＋n )．【例1－2】 填空：(1)－8的相反数是__________；－(－2.8)的相反数是__________；__________的相反数是14；100和__________是互为相反数． (2)如果m ＝－9，则－m ＝__________.解析：(1)根据相反数的定义和求法直接写出相反数即可．其中应注意－(－2.8)表示－2.8的相反数，等于2.8，所以－(－2.8)的相反数也就是2.8的相反数，应该填－2.8.(2)－m 表示m 的相反数，也就是求－9的相反数．答案：(1)8 －2.8 －14－100 (2)9 (3)相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．【例1－3】 如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 表示的数中哪些互为相反数？分析：解：(方法1)由图可知A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示－4，－2.5,0.5,2.5,4.因为－4与4互为相反数，－2.5与2.5互为相反数，所以A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．(方法2)由图可知，点A ，B 在原点的左侧，且到原点的距离分别是4个单位长度和2.5个单位长度．C ，D ，E 在原点的右侧，且到原点的距离分别是0.5个单位长度，2.5个单位长度和4个单位长度．根据互为相反数的几何意义可得A 与E ，B 与D 表示的数互为相反数．2．绝对值(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4.②绝对值是一个距离．(2)绝对值的表示方法一个数a 的绝对值记作|a |，读作a 的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|.(3)绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.用式子表示为：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例2】 下列说法正确的是( )．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1 A × 绝对值是一个距离，不能为负数B × 负数的绝对值等于它的相反数C √ 一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离D × 正数和0的绝对值都等于它本身3．绝对值的性质(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大．(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a |≥0.0是绝对值最小的有理数．(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数．(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数．例如，如果|a |＝2，那么a ＝±2.(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a |≥a .【例3】 下列说法：①若|x |＝2 013，则x ＝2 013；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：绝对值是2 013的数是±2 013；⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝23，⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋32＝32；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．答案：A4．多重符号的化简化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．①当“－”号的个数是奇数时，结果为负；②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数．【例4】 化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．分析：题号 负号的个数 答案(1) 3 －10(2) 2 5解：(1)－{－[＋(－(2)－[－(＋5)]＝5.点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化简．5.绝对值的求法绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．求绝对值的方法：(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键．【例5－1】 求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－32. 分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32. 【例5－2】 求下列各式的值：|＋2 013|，|－3.9|，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56，－|＋18|. 分析：|＋2 013| 求＋2 013的绝对值 |－3.9| 求－3.9的绝对值－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56 求－56的绝对值的相反数 －|＋18| 求＋18的绝对值的相反数解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－56＝－56，－|＋18|＝－18. 6.利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．【例6－1】 比较下列每组数的大小：(1)－3和－2.9；(2)－23和－0.6. 分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小． 解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2.9,3＞2.9，所以－3＜－2.9；(2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23，|－0.6|＝0.6，23＞0.6， 所以－23＜－0.6. 【例6－2】 求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－32，＋1,0，－2.3. 分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＝32，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所以＋1＞0＞－32＞－2.3. 7．绝对值的非负性的应用绝对值的非负性(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a |≥0.绝对值的最小值为0.(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.用式子表示为：若|a |＋|b |＋|c |＝0，则a ＝0，且b ＝0，且c ＝0.可以利用上面的知识求字母的值．【例7－1】 当m ＝__________时，5＋|m －1|有最小值，最小值是__________． 解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答．因为|m －1|≥0，所以当m ＝1时，|m －1|有最小值为0，则5＋|m －1|的最小值是5＋0＝5.答案：1 5【例7－2】 已知|a －2|＋|7－b |＋|c －3|＝0，求a ，b ，c 的值．分析：当3个绝对值相加等于0时，说明每个绝对值都等于0.解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，所以a＝2，b＝7，c＝3.8.相反数与数轴的综合应用比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．【例8】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.答案：A9.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例9－1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻重的角度看，最接近标准的是C.答案：C【例9－2】一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米．。

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之第四单元比例尺部分（解析版）编者的话：《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第四单元比例尺部分。

本部分内容主要考察比例尺的认识及应用，考点和题型相对简单，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。

【考点一】比例尺的意义。

【方法点拨】1.比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多么厘米。

【典型例题】一幅地图的比例尺是1∶10000，图上1cm 的距离，表示实际( )m 。

解析：100【对应练习】比例尺1∶6000000表示图上1cm 的线段相当于实际距离( )km ；比例尺10∶1表示图上1cm 长的线段相当于实际( )mm 。

解析：60；1【考点二】比例尺的改写。

【方法点拨】1.比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺。

2.比例尺三种形式的写法：①比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式；②分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成25001； ③线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。

【典型例题】地图上的线段比例尺是千米，把这个线段比例尺改成数值比例尺( )。

解析：1∶3000000这是一个( )比例尺，用数值比例尺表示是( )。

解析：线段；1∶4000000【对应练习2】是( )比例尺，把它改成数值比例尺是( )。

解析： 线段；1∶3000000【对应练习3】把改写成数值比例尺是( )。

促销问题例题讲解咱就说促销这事儿啊，那可老有趣了。

我给你讲几个例子，你就明白了。

1. 有这么个超市，它想促销牛奶。

它就想了个招儿，买一送一。

这多划算啊，消费者一听，买一瓶的钱能拿两瓶，那肯定愿意买啊。

比如说一瓶牛奶正常卖5块钱，现在花5块能得两瓶，相当于一瓶才2.5元。

这时候超市就会把这个促销信息贴得大大的，在货架上啊，门口啊，到处都是。

这样顾客一进门就能看到。

那这个促销成功的关键就是抓住了消费者爱占便宜的心理。

2. 再说说服装店的促销。

有家服装店，它换季的时候衣服卖不出去了，就搞了个全场八折的活动。

而且呢，只要你消费满200元，还送一条小丝巾。

这就很吸引人了。

对于女生来说，小丝巾也是个小诱惑啊。

有个顾客本来只想买一件150元的衣服，一看满200有赠品，就又挑了一件50元的衣服凑单。

这就达到了促销增加销售额的目的。

3. 还有一种促销方式是限量版促销。

比如说有个品牌的口红，它出了一款限量版的颜色，就只有1000支。

然后宣传说这是独家的，错过了就没有了。

好多女生就会为了这个限量版去抢购。

即使它比普通版的口红贵一点，也不在乎。

这就是利用了消费者的求异心理和害怕错过的心理。

4. 网上购物的时候，经常会看到满减活动。

像满300减50这种。

这就会让消费者为了凑满减，去多买一些东西。

我有次本来只想买个200元的东西，看到满减活动后，又挑了100元的东西。

结果发现自己买了一些可能并不是当下急需的东西，但就是因为这个促销活动，感觉不买就亏了。

5. 有的商家还会搞联合促销。

比如说电影院和附近的餐厅合作。

你在餐厅消费满一定金额，就送电影票。

或者反过来，在电影院买电影票，送餐厅的优惠券。

这样既给餐厅带来了顾客，也给电影院增加了观众。

6. 再讲个例子，有个手机店，它推出了以旧换新的促销活动。

就是你拿旧手机去，可以抵一部分钱，然后再补差价买新手机。

这对于那些想换手机，但是又觉得旧手机扔了可惜的人来说，是个很好的选择。

7. 有个化妆品店，它在新品牌入驻的时候，搞了个免费试用的活动。

七年级相反数经典例题例题 1求 5 的相反数。

解析：5 的相反数是 -5。

例题 2-3 的相反数是多少？解析：-3 的相反数是 3。

例题 3若一个数的相反数是 8，求这个数。

解析：因为一个数的相反数是 8，所以这个数是 -8。

例题 4化简 -（-7）解析：-（-7）= 7例题 5已知 a 的相反数是 -2，求 a 的值。

解析：因为 a 的相反数是 -2，所以 a = 2。

例题 6计算：-[-(-5)]解析：-[-(-5)] = -5例题 7如果 -x = -6，那么 x 的相反数是多少？解析：因为 -x = -6，所以 x = 6，6 的相反数是 -6。

例题 8求 0 的相反数。

解析：0 的相反数是 0 。

例题 9一个数的相反数大于它本身，这个数是（）A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数解析：负数的相反数是正数，正数大于负数，所以一个数的相反数大于它本身，这个数是负数，选择 B。

例题 10若 a 与 b 互为相反数，且 a ≠ 0，则 b = （）A. aB. -aC. 1/aD. -1/a解析：因为 a 与 b 互为相反数，所以 b = -a，选择 B。

例题 11下列说法正确的是（）A. 符号不同的两个数互为相反数B. 互为相反数的两个数一定不相等C. 互为相反数的两个数的绝对值相等D. 一个数的相反数一定是负数解析：A 选项，符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，所以 A 错误；B 选项，0 的相反数是 0，所以 B 错误；C 选项，互为相反数的两个数的绝对值相等，C 正确；D 选项，0 的相反数是 0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，所以D 错误。

选择 C。

例题 12若 m + n = 0，则 m 、 n 的关系是（）A. 互为相反数B. m = nC. m、n 都是 0D. m > n解析：因为 m + n = 0，所以 m = -n，即 m 、 n 互为相反数，选择 A。