“网格”中的相似三角形PPT

=k
B
A/
∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/
C
∴CΔ ABC = AB+BC+AC
CΔ A/B/C/ A/B/+B/C/+A/C/
B/
C/
=k((AA/B/B//++BB/C/C//++AA/C/C//))=k
已知:ΔABC∽ΔA/
A
B/C/，相似比为k,求证:SSΔ ΔA
ABC /B/C
A
B
相似三角形的周长比等于相似比;
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
已知:ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为k,
A
求证:
CΔ ABC CΔ A/B/C/
=k
SΔ ABC
2
S = k Δ A / B / C /
证明：∵△ABC∽△A/B/C/且相似比为k
AB A/B/
= BC B/C/
= AC A/C/
F
（1）如图1，四边形DEFG为△ ABC
的内接正方形，求正方形的边长。
A
DCE B
（2）如图2，三角形内有并排的两 个相等的正方形，它们组成的矩形 内接于△ ABC，求正方形的边长
G AD
HF KE B
（3）如图3，三角形内有并排的三个
C
相等的正方形，它们组成的矩形内接
于△ ABC，求正方形的边长。
例题讲解
如图，E、F分别是AB、AC上的点,EF∥BC，AE:AB=1:3
（1）若BC=9cm,EF=___3_cm_______
A
H
5E G
（2）△AEF与△ABC的周长之比
2
F

(1)当FG长为多少米时，种草的面 积与种花的面积相等？
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时， △ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？
【解析】
（1）由HG∥BC，GF∥HE∥AD，设FG=x，列比例式计算x； （2）依题意列二次函数求顶点坐标（或极值）. 解：（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米. 由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80可得： HG120=80-x80,∴HG=120-32x， ∴BE+FC=120-(120-32x)=32x， ∴12×（120-32x）×(80-x)=12×32x×x, 解得x=40, ∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等. （2）设改造后的总投资为W元,根据题意，得： W=12×(120-32x)×(80-x)×6+12×32x×x×10+x×(12032x)×4=6x2-240x+28800 =6(x－20)2+26400， ∴当x=20时,W最小=26400.
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时， 要注意对应关系。
类型之一相似三角形的判定
［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,
定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.

∴DE=FC,∴

=


=

.

又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=

.

探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴

=


=

.

又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴

=
8
8+12
=

35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.

步骤1：剪下你所画的三角形, 标出对应顶点的字母， 即：
步骤2：将它们的对应顶点A和A'重合，且使∠A和∠A' 所在边共线；
步骤3：同桌合作，拼出所有可能的图形，并画在你的 学案上；
变例式21.：已知如图， E,F分别是 直A线B,AACB边,A上C上 的点,
∠BAC=80°，∠C=60°，求∠E=——
全等三角形
相似三角形
定义 特点 符号
两个能够完全 重合的三角形
形状相同， 大小相同
≌
两个对应角相等，对 应边成比例的三角形
形状相同， 大小不同
性质 对应角相等， 对应边相等
对应角相等， 对应边成比例
联系 全等三角形是相似三角形的特殊情况
课后作业： 请挑选你所画图形中的一到两个图形编出一个题 目，并交给你的组员来完成。
A
A'
B
C
B'
C'
全等三角形：
1.特点：形状相同，大小相等
2.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
3.记法：记作△ABC≌△A'B'C' 4.性质：对应角相等，对应边相等
同桌合作： 请在网格线中（每个小方格的边长为1）画出两个三角 形，顶点落在格点上（一边已画出）。
观察,完成下列问题: （1）这两个三角形各内角之间有什么关系？ （2）这两个三角形各条边之间有什么关系？
LOGO
4.3 相似三角形
Hale Waihona Puke 定义： 对应角相等，对应边成比例的两个三角形， 叫做相似三角形。
几何语言表示：
注意：相似三角形对应的顶点 字母写在对应的位置上
相似比：相似三角形对应边的比。

已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC 求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取AD＝A'B'， AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
A'
A
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
A'
B
C
D
E
A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB
A' B' B'C' A'C'
A' E AC A'C' A'C'
∴ A' E AC
同理 DE＝BC
∴△A'DE≌△ABC
要证明△ABC∽△A'B'C'， 可以先作一个与△ABC全 等的三角形，证明它与 △A'B'C'相似，这里所作
创设情景 明确目标
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边
相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、 ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应
角和对应边都要一一验证呢？ 不需要

类似三角 形的判定
判定定理3
三边成比例的两个三 角形类似.
完成与本课教学内容相对应的习题
知识点 1 三边成比例的两个三角形类似
知1－导
我们学习过判定三角形全等的 SSS 方法，能不能通 过三边来判定两个三角形类似呢?
任意画 两个三角形△ABC 与△A′B′C′，使△ABC 的 边长是△A′B′C′ 的边长的 k 倍.
分别度量 ∠A和∠A′， ∠B 和 ∠B′ ，∠C 和∠C′ 的 大小，它们分别相等吗 ? 由此你有什么发现 ?
知2－讲
例2 图a、图b 中小正方形的边长均为1，则图 b 中的哪一 个三角形 ( 阴影部分 ) 与图 a 中的△ABC 类似?
图a
图b
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣
“三边成比例的两个三角形类似”判断 .
知2－讲
解：易知 AC = 2， BC =2， AB = 10. 图 b①中，三角形的三边长分别为 1， 5 ，2 2；
总结
知1－讲
由三边成比例判定两三角形类似的方法与三边对应 相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应 相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形 的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意 边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路 找定
∴ AD AE DE . AB AC BC
又 A′D = AB ，
AB AC BC , AB AC BC
∴ A′E = AC ，DE=BC.
∴△A′DE≌△ABC .
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
知1－讲
归纳
由此得到类似三角形的判定定理 3： 三边成比例的两个三角形类似.
知1－讲

•
5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。
•
6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。
•
激励自己的名言
•
1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。
•
2、销售是从被别人拒绝开始的。
•
3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。
•
4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。
•
战胜挫折的名言
•
1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
•
2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋
•
4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德
•
激励自己的座右铭
•
1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。
9．若△ABC 与△A′B′C′的相似比为 k1，△A′B′C′与△ABC 的相
似比为 k2，则有( C )
A．k1＝k2
B．k1＋k2＝0
C．k1·k2＝1
D．k1·k2＝－1
10．如图，若△ABC∽△ACD，∠A＝60°，∠ACD＝40°，则∠BCD
的度数为( B )
A．30°
B．40°
C．50°
1．(4分)若△AED∽△ABC，AD＝6 cm，AC＝12 cm，则 △AED与△ABC的相似比为___12_____．
2．(4分)△ABC与△A′B′C′的相似比AB∶A′B′＝1，则△ABC 与△A′B′C′的关系是________； 全等

课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，

在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。

THANKS
感谢观看
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求 出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似 三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相 等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即 相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。

网格中的相似三角形
1．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形．
2．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；
（2）求证：EF⊥AB．
3．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．
问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）．
4．如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）这两个三角形相似吗？为什么？
（2）求∠A的度数；
（3）在右边的网格再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．
5．如图所示，△ABC和△A1B1C1在边长为1的正方形网格中，请判断△ABC与△A1B1C1是否相似，请说明理由．
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．。

（ ）过 点Ｂ Ｂ １ 作 Ｃ上Ａ Ｐ于 点Ｃ， 在
Ｒ ＡＡＢＣ ， ＡＣ ＝ ０ ， 鲋 Ｃ ３ 。 ｔ 中 Ｂ ９ 。 ＝ ０，
１
题．解直 角三 角形 是初 中阶段 数形 结
合 的 一 个 重 要 知 识 点 ． 以 其 实 际 应 所
，
Ａ ＝ Ｄ Ａ尸 ． ０３ 。 ｃｓ０ ＝
形相 似．
蓦 赫 ｃ
长 均 为 １根 据 勾股 定 理 ， 中三 角 ， 图１
形 的 三 边 长 分 别 为 ， ２ ，
． ．
、 ／２
例题
下列
、而 ． ／
容 易求得 Ａ中三角形 的 三边长 分 别为２ ， ， ３ ， 而与 图 １ 中三 角
２／ ｘ ￣－ ： ／ ， 对应边 的 比相 等． 、 故 、而 ／ 同理 可得 出Ｃ和Ｄ中的 两个 三 角
解 得 ｘ ６ — ０、 ＝ ０ ２ ／３．经 检 验 ， ＝ ０ ｘ ６—
里 ．所 ｃＡＰ ＡＣ Ｐ ＝ ２ ＋ ０ ／３ ） Ｘ ＝ ＋ Ｃ （０ ２ Ｘ － 海
里 ．因 为Ｐ ．ＡＤ， Ａ ３ 。 ＤＬ ＬＰ Ｄ＝ ０ ，所 以
需建 立 一 个 以 Ｂ为 边 Ｐ Ｄ为 一 内 Ａ
、了 ／
２
类考题 ． 决这 类题 的 关键是 用 正 解
方 形 的 性 质 和 勾股 定 理 求 出相应 的
三 角 形 的 边 长 ． 利 用 三 边 的 比 对 应 再
３／ 、
、而 ／
３／ 、了
５
相 等的 两个三 角形相似 来判 断． 在解题 中， 同学 们要 注 意 ， 对应
４ ＝ １ 、 ３一 Ｏ海里． ０ （０ ／ ｌ）
所 以 Ｂ ＡＢ＝ ０海 里 ． Ｃ＝ ２ ＡＣ＝ 曰 ・ Ａ