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湘教版九年级数学上册(初三)3.4.2：相似三角形的性质 课件

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湘教版九年级上册.1相似三角形的判定的基本定理课件

湘教版九年级上册.1相似三角形的判定的基本定理课件
BC


AB AC BC
A'
B'
C'
情景导入
定义
判定方法
全等三
角形
三角、三边对应
相等的两个三角
形全等
斜边与
边边边 边角边 角边角 角角边 直角边
SSS
SAS
ASA AAS
HL
类似三
角形
三角对应相等,
三边对应成比例的
两个三角形类似
判定两个三角形类似，是不是也有这么多种方法呢？
获取新知
∴△ ADE∽△ ABC.
∴△ CFE∽△ ABC.
D
B
F
E
C
随堂演练
1.如图，点P是平行四边形ABCD的边AB上一点，射线CP
交DA的延长线于点E，则图中类似的三角形有( D )
A．0对
B．1对
ห้องสมุดไป่ตู้C．2对
D．3对
2.如图,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
求BC的长.
解:∵DE∥BC,


=
∴ ADE ∽ ABC .


=

.

E
F
C
归纳总结
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与
原三角形类似．
几何语言：
A
在△ABC中，∵DE∥BC，
D
B
E
C
∴△ADE∽△ABC.
你还能画出其他
图形吗？
点拨
平行于三角形一边的直线,与其他两边的延长线相交,截
得的三角形与原三角形类似.
如图, 在ABC中，D为AB上任意一点．过点D作BC的

湘教版九年级数学 3.4 相似三角形的判定与性质(学习、上课课件)

湘教版九年级数学 3.4 相似三角形的判定与性质(学习、上课课件)

感悟新知
知识点 3 边角关系判定三角形相似定理
知3－讲
1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关 系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
感悟新知
2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵DABE＝BEFC，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似” 证明. 由于∠BFA是公共角，因此只 需说明∠B＝∠4即可.
感悟新知
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3. ∵ AD平分∠BAC，∴∠ 1 ＝∠ 2. ∵∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， ∴∠B ＝∠ 4. ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
感悟新知
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
和AC上的点，DE∥BC，若ABDD＝21，那么DBCE＝( )
A.
4 9

C.
1 3
B.
1 2
D.
2 3
感悟新知
知1－练
解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形 的对应边成比例是解题的关键.
解：∵ ABDD＝21，∴AADB＝23. ∵ DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴ DBCE＝AADB＝23. 答案：D

3.4.2 相似三角形的性质课件(共18张PPT)湘教版 数学九年级上册

3.4.2 相似三角形的性质课件(共18张PPT)湘教版 数学九年级上册

似比”列方程求解.
课堂新授
解：：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4， △DEF的最长边为12， ∴△ABC与△DEF的相似比为4∶ 12=1∶3， ∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3∶1， ∴△DEF的周长为3×(2＋3＋4)＝27. 答案：C
感悟新知
2-1. [ 期末·嘉峪关 ] 两个三角形的相似比为1∶ 4，它 们的周长之差为 27 cm，则较小的三角形的周长为 __9_c_m___ ．
课堂新授
知识点 2 相似三角形面积的比
相似三角形面积的比：相似三角形面积的比等于相似比的 平方. 若△ABC∽△A′B′C′，且它们的相似比为k，则
SS△△AA′BB′CC′＝k2. 特别提醒：面积的比是相似比的平方，不要与对应线段的 比、周长的比等于相似比混淆.
课堂新授
活学巧记 两个相似三角形， 各角对应都相等， 各边对应成比例， 周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方.
3.4 相似三角形的判定与性质 第2课时
相似三角形的性质
课堂新授
知识点 1 相似三角形对应线段的比
1. 定理： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线 的比都等于相似比. 即：相似三角形对应线段的比等于相似比. 深度理解 对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似 三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
感悟新知
例3 [中考·阜新] 如图 3.4-19，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 边上一点，且 AE ＝ 2DE， BD 与 CE 相交于点 F， 若△ DEF 的面积是 3，则△ BCF 的面积是 ___2_7____．
感悟新知
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似 比的平方” 求解 .

相似三角形的性质(精讲PPT课件)

相似三角形的性质(精讲PPT课件)

课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.

湘教版初中九年级上册数学精品授课课件 第3章 图形的相似 第3课时 相似三角形的判定定理2

湘教版初中九年级上册数学精品授课课件 第3章 图形的相似 第3课时 相似三角形的判定定理2

AB AC
B
C B′
C′
已知∠A=∠A' ， AB = AC k. AB AC
在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.
A
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E.
∵DE∥B'C'，
∴ △A'DE∽△A'B'C'.
B
C
A′
∴ A D = A E . 又 A'D=AB，AB = AC .
∴AC = AB 1， AD AE 2
∵ ∠A=∠A，
∴ △ABC∽△AED.
∠A=∠A'
A′
A
AB = AC k AB AC
B
C
B′
C′
∴ △ABC∽△A'B'C'
两边成比例选取； 2.完成练习册本课时的习题.
∠A=∠B ∴△BCM∽△ANC．
∠CNA=∠MCB
3.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F. 证明：△ABE∽△CBD.
证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， ∴∠DBE=∠CBA=45°， ∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE. 即∠ABE=∠CBD，又
AB AC
AB AC
D
E
B′
∴ A D = A E = AC .
C′
AB AC AC
∴ A'E=AC. ∵∠A=∠A' ，
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∴ △A'DE≌△ABC. ∴ △ABC∽△A'B'C′.

湘教版-数学-九年级上册 3.4相似三角形的判定与性质 教学课件

湘教版-数学-九年级上册 3.4相似三角形的判定与性质 教学课件

沿同方向继续走15米到达D处，再向右转90度走
到E处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量
得DE＝20米，这样就可以求出河宽AB，请你算
出结果（要求写出解题过程）。
B
方法一
方法二
B
A
DAOCE NhomakorabeaD
E
本节课你学到了什么?
作业
教科书 80页 练习 1、2题
A A′
B
B′ C
C′
达标提升
1、在△ABC与△DEF中，∠A＝39°， ∠B=61°，∠E＝39°，∠F＝80°.则△ ∽ △AEBDCF.
2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三 角形和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
A
A
D
E
D
E
B
CB
C
3 已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、 ∠A/分别是顶角，
求证:
①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/ , 那么ΔABC∽ΔA/B/C/ 。
A/ A
A/ A
B
C B/
C/
B
C B/
C/
思考：有一对角相等的等腰三角 形是相似三角形。这句话正确吗?
C
AD
B
3 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、 AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？
A
F
E
B
DC
4、在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，小
明采用了如下的方法（如图）从A处沿与AB垂直

湘教版-数学-九年级上册 3.4相似三角形的判定与性质 性质 课件

湘教版-数学-九年级上册 3.4相似三角形的判定与性质 性质 课件

3、两个相似三角形对应边上的高的比为1:2，那么 它们对应边上的中线的比为（ A ）
A、1:2ห้องสมุดไป่ตู้B、1:3 C、1:4 D、1:8
合作交流
4、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，
△DEF的一条中线，且AM=6㎝，AB=8 ㎝，
DE=4 ㎝，求DN的长。
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
AM AB DN DE
B
又 AM=6㎝，AB=8 ㎝， DE=4 ㎝
M
C
D
∴ DN=3cm
E
F
N
5、如图，△ABC∽ △A’B’C’，AD，BE分别是
△ABC的高和中线， A’D’，B’E’分别是△A’B’C’
的高和中线，且AD=4，A’D’=3，BE=6，求B’E’的
长。
A
解：∵ △ABC∽ △A’B’C’，
AD AB , BE AB
A' D' A' B' B' E' A' B'
AD BE
B
A' D' B' E'
E
DC A’
又 AD=4，A’D’=3，BE=6
E’
B' E' 9 2
B’
D’ C’
课堂小结
这节课你学会了什么？
一、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比等于相似比 2、相似三角形对应的角的平分线的比等于相似比 3、相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
别为△ABC， △A’B’C’的中线， A
则 AD AB 成 立 吗? A' D' A' B'

3.4.1相似三角形的判定 课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

3.4.1相似三角形的判定 课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

（ D ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 如 图 ， 在 ▱ 中 ， 点 E 在 上 ， 与 相 交 于 点 F ， 若
: = 2: 3，则: 的值为 2:5 ．
作业布置
【综合拓展类作业】
如图，、 相交于点P，连接 、，且∠1 = ∠2， = 6，
A'
在△A′DE 与△ABC中，
A
D
∵∠A′=∠A，A′D=AB，
∠A′DE = ∠B′=∠B，
∴ △A′DE ≌△ABC(ASA).
B
C B'
E
C'
新知讲解
已知：在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， ∠B =∠B′.
求证： △ABC∽△A′B′C′
续：
又 DE∥B′C′，
∴ △A′DE ∽△A′B′C′.
求证： △DEH∽△BCA.
D
证明 :
∵ ∠C = 90°， ∴ AC⊥BC.
∵ DF⊥BC， ∴ DF∥AC.
H
∴ ∠DHE = ∠A.
又 DE⊥AB， ∴ ∠DEH= 90° = ∠C，
B
F
∴ △DEH∽△BCA(两角分别相等的两个三角形相似）.
A
E
C
典例精析
例4 如图，在 Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°．若
(只添一个即可)．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（ C ）
A．4
B．5
C．6
D．7
课堂练习

湘教初中数学九年级上册《3.4.2 相似三角形的性质(第1-2课时)课件

湘教初中数学九年级上册《3.4.2 相似三角形的性质(第1-2课时)课件

多少？ AD △ABD和△A′B′D′都是直AD角三角形，而∠B=∠B′，因为
有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么 =k.
= AB
AB
由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
2．思考：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对 应中线的比，对应角平分线的比等于多少？即图中△ABC和 △A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、 B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是
．
（让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的
方法进行研究，培养学生的推理能力）
对于上述结论，你能证明吗？（学生仿对应高的证明独立
完成）
3．想一想：两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是
．
结论：相似三角形的周长比等于相似比．
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
1．由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长 80米的三角形2 的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯 形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12 米（如图所示）．为了保证绿化建设，市政府规定：因 为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回．
这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？ 它的周长是多少？你能够将上面生活中的实际问题转化 为数学问题吗？
2
2．两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外， 还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和 △A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′ 分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
2
1．△ABD与△A′B′D′相似吗？若相似，它们的相似比是

湘教版数学九年级上册3 第2课时 相似三角形的判定定理1课件

湘教版数学九年级上册3 第2课时 相似三角形的判定定理1课件

A
∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
BC
∠F=60 °.
D
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
E
F
5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF .
BF FD
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
D
F
E
归纳总结
当堂练习
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相
似三角形共有
()
A. 1对 C. 3对
B. 2对 D. 4对
2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD :
DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于
()
15 A.
4 20 C. 3
12
导入新课
情境引入
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°， 30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手 上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
讲授新课
一 两角分别相等的两个三角形相似
合作探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，
使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： A A'
问题1：这两个三角形有什么关系？
全等三角形
那这样变化一下呢？
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相 似三角形吗？
相似三角形
对应角……？ 对应边……？
全等是一种特 殊的相似
相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成 比例的两个三角形叫做相似三角形.
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
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即 DN 4 . 68
2. 如图， △ABC ∽△ABC ，AD，BE 分别是 △ABC 的高和中线， AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线 ，且 AD = 4，AD = 3，BE= 6， 求 BE的长．
解 ∵ △ABC ∽△ ABC， ∴ B'E' AD' ， BE AD 即 B'E' 3 . 64 ∴ B'E' =4.5.
动脑筋
如图，已知 △ABC ∽△ABC，相似比为k，则 S△ABC∶S△ ABC 的值是多少呢？
分别作BC，BC 边上的高AD，AD，
则 AADD= k.
因此， SVABC SVA'B'C'
=
1 2
BCAD
12 BC AD'
=
BC BC
AD AD
=
k k =k2 .
结论
由此得到， 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
=
30cm.
66
3. 有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个 直角三角形的周长和面积分别是多少？
解 由已知可得
这两个直角三角形的相似比为 3 . 7
∴ 另一个直角三角形的两条边分别为
4 3
28 3
和
5 3
=
35 3
.
7
7
∴ 另一个直角三角形的周长为
解 在Rt△ABC与Rt△ACD中， ∵ ∠A=∠A， ∠ACB=∠ADC=90°， ∴ △ABC∽△ACD.
又 CD，DE分别为它们的斜边上的高，
∴ CD AB . DE AC
又 CD=2，AB= 8 3 ，AC=4， 3
∴ DE= 3.
例10 如图，已知△ABC∽△ ABC， AT、AT 分别为
B，4C
=
1 3
解得BC=12 cm.
即
SV = 49 S ABC
VA'B'C'.
又 SVABC + SVA'B'C' = 91，
∴
4SV +SV =91.
9 A'B'C'
A'B'C'
∴
SV =63. A'B'C'
练习
1. 证明：相似三角形的周长比等于相似比.
证明：设△ ABC ∽△ABC，相似比为k.
因为
AABB
BC BC
CCAAk，
∴ AE 1 . AB 3
即
SVAEF
SV S AEF
四边形BCFE
=
19.
例12
已知△ABC 与△ ABC
的相似比为
2 3
，
且 SVABC + SVA'B'C' = 91，求△ A'B'C' 的面积.
解
∵
△ABC
和
△ABC
的相似比为
2 3
，
∴
SVABC =(2)2 = 4， S 3 9 VA'B'C'
对应角∠BAC，∠BAC的角平分线.
求证： AT AB . AT AB
解 ∵ △ABC ∽△ ABT',
∴ ∠B=∠B， ∠BAC=∠BAC.
又AT、A'T' 分别为对应角∠BAC，∠ BAC' 的角平分线，
∴
∠BAT=
1 2
∠BAC
=
1 2
∠
BAC=
∠ BAT',
∴ △ABT ∽△ ABT'.
例11 如图，在△ABC中， EF∥BC， AE 1 ， EB 2
S 四边形BCFE= 8， 求S△ABC．
解 ∵ EF∥BC，
又 AE 1 , EB 2
∴
SVAEF SVABC
=
(1)2 3
19.
∵ S = 8. 四边形BCFE
∴ SVAEF =1. ∴ SVABC =9.
∴ △AEF∽△ABC.
相似三角形对应边上 的中线的比等于相似比.
练习
1. 已知△ABC∽△DEF， AM，DN 分别△ABC， △DEF 的一条中线，且AM= 6cm， AB= 8cm， DE= 4cm，求DN的长.
解 ∵ △ABC∽△DEF，
又 AM，DN分别为它们的斜边上的高，
∴ DN DE， AM AB
∴ DN=3(cm).
解 ∵ △ABC ∽ △ABC,
∴ 它们的相似比为 60 5 , 72 6
即
AB AB
=
BC BC'
=
AC AC'
=
5 6
.
∴
BC
=
5 6
B'C'
=
56×24 = 20cm
A'B'=Fra bibliotekAB 5=
15 5
=18cm.
66
∴ 在△ABC中，AC=60-15-20=25(cm).
∴
A'C'
=
AC 5
=
20 5
∴ AT AB . AT AB
类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线 的比也等于相似比.
结论
由此得到， 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
议一议
已知△ABC∽△ ABC ， 若AD、AD 分别为
△ABC ，△ ABC的中线，那么 AD AB 成立吗？ AD AB
由此你能得出什么结论？
∴ ∠B =∠ B. 又 ∠AHB =∠ AH'B= 90°， ∴ △ABH∽△ ABH'. ∴ AH AB .
AH AB
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比.
结论
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比.
例9
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC ， 垂足为点E. 已知CD=2，AB= 8 33 ，AC=4，求DE的长.
所以 ABkAB , BCkBC , CAkCA .
从而
△ABC的周长 △ABC 的周长
AB BC C A ABBC CA
k(AABBBBCCCCAA)
k . .
2. 已知 △ABC ∽ △ABC，它们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，BC=24cm，求
BC，AC， AB，AC 的长.
本课节内容 3.4
相似三角形的判定与性质
——3.4.2 相似三角形的性质
两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应 边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢？
动脑筋
如图，已知△ABC∽△ ABC ， AH、 AH 分
别为对应边BC， BC 上的高，那么
AH A H
AB AB 吗？
解 ∵ △ABC∽ △ ABC，
35 3
238 + 7
=
28.
另一个直角三角形的面积为
12×238×7= 938.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，若DE∥BC，
AD DB
=
1 2
，DE=4cm，
则BC的长为（ B ）.
A.8 cm
B.12 cm
C.11 cm
D.10 cm
解 由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，
所以
DE BC
=，AADB即