2015-2016学年北师大版必修一 实际问题的函数建模 课件 (40张)

A．112℃
C．18℃ [答案] D
B．58℃
D．8℃
[解析] 上午800的温度可以表示为T＝(－4)3－3×(－4) ＋60＝8，故选D.
3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 )
1 [答案] 2
x [解析] 由题意知面积 S＝(3＋x)(2－ ) 2 x2 x ＝－ ＋ ＋6， 2 2 1 当 x＝－ ＝ 时，面积 S 最大． 1 2 2×－ 2 1 2
5．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010 年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2015年的垃圾量应为 ________吨．
得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为 226×2%， 再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋ xlg2≤8，得x≤6.2， 即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药
1 1 2 (2)令 y1＝y2，即 x＋29＝ x，则 x＝96 . 5 2 3 2 当 x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 3 2 当 x<96 时，y1>y2，即“便民卡”便宜； 3 2 当 x>96 时，y1<y2，即“如意卡”便宜． 3
[规律总结] 1.一次函数模型层次性不高，求解也较为容 易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法 来处理．
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得 最大利润？最大利润是多少？ [分析] 解答本题可先分析表格，从中找到单价每增加1 元，则日销量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模 型，进而解决问题．
[解析] 设每桶水在原来的基础上上涨 x 元，利润为 y 元， 由表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日销售的桶数为 480－40(x－1)＝520－40x>0，所以 0<x<13， 则利润 y＝(520－40x)x－200 ＝－40x2＋520x－200 13 2 ＝－40(x－ ) ＋1 490，其中 0<x<13. 2 所以当 x＝6.5 时，利润最大，即当每桶水的价格为 11.5 元 时，利润最大值为 1 490 元.
k y＝________ x
ax2＋bx＋c 一般式：y＝________
二次函数模型
b 2 4ac－b2 顶点式 y＝a(x＋2a) ＋ 4a y＝b· ax＋c y＝mlogax＋n y＝axn＋b
a≠0 a>0 且 a≠1，b≠0 m≠0，a&幂函数模型
指数函数型模型的应用
医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规 律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检 测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病 毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候，小白鼠将会死 亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
天数t 1 2 3
(1)求“长征”二号F型火箭的最大飞行速度y(km/s)与燃料
质量x(t)之间的函数关系式y＝f(x)； (2)已知“长征”二号F型火箭的起飞质量是479.8t，则应装 载多少吨燃料(精确到0.1t)才能使火箭的最大飞行速度达到 8km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道上？
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，
并求定义域． (2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[思路分析]
(1)分别写出甲、乙两城月份用电费用，进而
可求出两地的日供电总费用；(2)建立二次函数模型，利用二次 函数求最值的方法求解．
[规范解答]
(1)由题意
设甲城的月供电费用为 y1，则 y1＝λ×20x2. 设乙城的月供电费用为 y2，则 y2＝λ×10×(100－x)2， ∴甲、 乙两城月供电总费用 y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2. ∵λ＝0.25， 5 ∴y＝5x ＋ (100－x)2(10≤x≤90)． 2
②生长 A 年后，出售再重栽，木材量 M＝2Q(1＋a%)A. M 2 因为 ＝ ， N 1＋b%A 所以当(1＋b%)A<2 时，用重栽的方案较好； 当(1＋b%)A>2 时，用连续生长的方案较好． (2)当 A＝5 时，则 5lg(1＋b%)＝lg2，解得 b≈14.9. 因此， 对于 5 年成材的树木， 当 5 年后的生长率低于 14.9% 时，应考虑重栽； 当 5 年后的生长率高于 14.9%时，应考虑用连续生长的方 案.
1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示， 那么图像所对应的函数模型是( A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 )
D．对数函数模型
[答案] A [解析] 由图像是一条射线知其所对应的函数模型是一次 函数模型．
2．某物体一天中的T(℃)是时间t(小时)的函数：T＝t3－3t ＋60.t＝0表示1200，其中下午t取值为正，则上午800的温 度是( )
对于A年成材的树木，在此期间的年生长率为a%，以后的
年生长率则为b%(a>b)，树木成材后，即可以出售树木，重新 栽新苗，也可以让其继续生长． (1)哪一种方案可获得较大的木材量？ (2)对于5年成材的树木，哪种方案可获得较大的木材量？ [解析] (1)只需考虑2A年的情形，设新树苗的木材量为 Q，则2A年后有两种结果： ①连续长2A年，木材量N＝Q(1＋a%)A(1＋b%)A；
则 x， y 的函数关系最接近(其中 a， b 为待定系数)函数( A．y＝a＋bx C．y＝ax ＋b
[答案] B
2
B．y＝bx b D．y＝ x
[解析] 散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图 像是上升的，是增函数，排除C，D，故选B.
x 4．长为 3，宽为 2 的矩形，当长增加 x，宽减少 时，面积 2 达到最大，此时 x 的值为________．
对数函数模型的应用
2003 年 10 月 15 日，我国的“长征”二号 F 型 火箭成功发射了“神舟”五号载人飞船，这标志着中国人民在 航天事业上又迈出了历史性的一步． 火箭的起飞质量 M 是箭体 (包括搭载的飞行器)的质量 m 和燃料的质量 x 之和．在不考虑 空气阻力的情况下，假设火箭的最大飞行速度 y 关于 x 的函数 关系式为 y＝k[ln(m＋x)－ln( 2m)]＋4ln2(k≠0)．当燃料质量为 ( e－1)m t 时，该火箭的最大飞行速度为 4km/s.
[答案] a(1＋b)5
[解析] 2011年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2010年开始经过 5年到2015年时该区的垃圾量应为a(1＋b)5吨．
课堂典例讲练
一次函数模型的应用 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动
电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民
卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的 关系如图所示．
第四章
§2 实际问题的函数建模
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
某商场销售一批名牌衬衫，平均 每天可售出 20 件，每件盈利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少 库存，商场决定采取适当降价措 施．经调查发现，如果每件衬衫每降 价 1 元，商场平均每天多售出 2 件．于是商场经理决定每件衬 衫降阶 15 元．那么经理的决定正确吗？ 这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决.
2．这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真
读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助 图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35元，卖出 的价格是每份 0.50 元，卖不掉的报纸还可以每份 0.08 元的价格 退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可卖出400份，其余
2
5 15 2 2 (2)由 y＝5x ＋ (100－x) ＝ x －500x＋25000 2 2
2
15 100 2 50000 ＝ (x－ ) ＋ ， 2 3 3 100 则当 x＝ 时，y 最小． 3 100 故当核电站建在距 A 城 km 时， 才能使供电总费用最小． 3
[规律总结] 二次函数模型是实际应用题中常见的类型，
可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可 赚1170元.
二次函数模型应用
(2015·成都高一检测)A，B两城相距100km，在
两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证 城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城的供 电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝ 0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
病毒细胞总数N 1 2 4
4 5 6
8 16 32
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何 时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的 生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)
[思路分析] 根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函
数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解． [规范解答] (1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函 数为y＝2t－1. 则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，
意写出函数式的定义域．
[解析] 设每天应从报社买x份，易知250≤x≤400.
设每月赚y元，得y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－ 250)×0.08×10－0.35·x·30＝0.3x＋1050， x∈[250,400]． 因为y＝0.3x＋1050是定义域上的增函数，