广工11-12-1线性代数试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。

线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。

填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。

已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。

注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。

若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。

由此解得3-=k .4。

若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。

故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。

(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。

中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。

三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。

四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。

五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。

六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。

2023-2024学年广东省高三上学期11月大联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，，则( )A. B. C. D.2.已知，则z的虚部为( )A. B. C. D.3.若，则( )A. B. 1 C. D.4.在三棱台中，截面PQR与底面ABC平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为( )A. 5B. 8C. 9D. 105.当n趋近于时，为一个无理常数，且运用不等式当且仅当时等号成立来研究的单调性，可得最接近的值为参考数据：( )A. B. C. D.6.设A，B为两个事件，已知，，，则( )A. B. C. D.7.直线与函数的图象公共点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38.如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接球心O在圆柱内部，已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数是R上的单调函数，则a的值可以是( )A. 2B.C.D.10.若x，y满足，则( )A. B. C. D.11.定义函数①对，②当x，时，，记由构成的集合为M，则( )A. 函数B. 函数C. 若，则在区间上单调递增D. 若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

12.已知为不超过x的最大整数，例如，，，设等差数列的前n项和为且，记，则数列的前100项和为___________13.若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为__________写出一个符合条件的即可14.向量在向量上的投影向量为 .写出坐标15.若函数在区间内没有零点，则正数的取值范围是__________.16.椭圆的右焦点为F，若过定点的直线l与C交于A，B两点，则面积的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

广东省2023—2024学年高三11月统一调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i 12i z =+，则z =（）A ．5BCD ．12．已知集合2}0{2|3A x x x =-+≥，2},{|B y y x x ==∈R ，则（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A B =RD ．A B =∅3．从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘，其结果能被10整除的概率是（）A ．16B ．13C ．12D ．234．已知平面向量a ，b 满足2a b= ，()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若椭圆2211612x y +=与双曲线2221(0)3x y a a -=>有公共的左焦点F ，两曲线在第一、三象限内的公共点分别为P ，Q ，则cos PFQ ∠的值为（）A ．45-B ．45C ．35-D ．357．已知ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 是边AB 的中点，记ACD α∠=．则当α最大时，tan2α=（）A．7-B．7C ．4-D ．48．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程210x x --=改写成11x x =+①，将x 再代入等式右边得到1111x x =++，继续利用①式将x 再代入等式右边得到111111x x=+++……反复进行，取1x =时，由此得到数列1，111+，11111++，1111111+++， ，记作{}n a ，则当n 足够大时，n a逼近实数12+．数列{}n a 的前2024项中，满足0.005n a <的n a的个数为（参考数据：1 1.6182+≈）A ．1007B ．1009C ．2014D ．2018二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一组数据从小到大为5，6，7，8，y ，11，若这组数据的平均数是8，则（）A ．10y =B ．极差为6C ．40%分位数为7D ．方差为510．若0b c a <<<，0a b +>，则（）A ．0a c +>B ．0c c a b +<C ．0b c bc a a++>-D ．11b a b a-<-11．已知圆O ：224x y +=，P 是直线l ：40x y ++=上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则（）A ．OP 有最小值B ．四边形OMPN 的周长最小为8C ．0PM PN ⋅≥D ．OMN △外接圆的面积最大为2π12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()()21f x f x x =--+．若()f x 在区间[]1,0-上单调递增，则（）A ．()21f =-B ．()()202220242023f f +=C ．()()2.2 2.80.3f f ->D ．1(2023)2f '=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()2sin 22024f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________．14．已知正数a ，b 满足3412log log log 5a b ==，则ab =________．15．已知点P 在椭圆C ：22110x y +=上运动，()0,6D ，动点Q 满足||DQ =，则PQ 的最大值为________．16．已知正三棱柱111ABC A B C ﹣的底面边长为2，以1A 为半径的球面与底面ABC 的交线长为36，则三棱柱111ABC A B C -的表面在球内部分的总面积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在数列{}n a 中，113a =，3527a =，设3nn n b a =，21n n a c n ≡-，n *∈N ．给定3个条件：①数列{}n b 为等差数列；②数列{}n c 为公比为正数的等比数列；③数列{}n a 的前n 项和1()3nn S a n b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中a ，b 为常数．在这3个条件中任选一个，并解决下列问题．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n b c +的前n 项和n T ．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AB 边的中点，已知cos cos tan 3a Bb A C +=．（1）求C ；（2）当3c =时，求CD 的最大值．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，PC CD ⊥，M 为棱PA 的中点．（1）证明：PA CD ⊥；（2）若PA AC ⊥，二面角P CD A --的大小为60︒，求直线MD 与平面PCD 所成角的正弦值．20．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点()0,3P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且tan 3PFO ∠=．（1）求C 的标准方程；（2）已知E 为x 轴上的点，直线EA 与C 的另一个交点为M ，直线EB 与C 的另一个交点为N ，当直线MN 的斜率为1时，求点E 的坐标．21．（12分）已知函数()e ln 1xf x ax x =---．（1）当e 1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在零点，求实数a 的取值范围．22．（12分）现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒子装有2个红球和2个白球，乙盒子装有4个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．在一次球交换过程中，从甲盒子与乙盒子中各随机选择1个球进行交换，重复n 次这样的交换过程后，甲盒子里装有红球的个数为n X ．（1）求2X 的概率分布及数学期望；（2）求()1n P X =．广东省2023—2024学年高三11月统一调研测试数学参考答案及评分细则1．【答案】B【解析】由题意可得i 12i z =+，所以i 2z =-+，则z ==，故选B ．2．【答案】C【解析】因为{}20|(][32,12,)A x x x =-+≥=-∞+∞ ，因为20y x =≥，所以,[)0B =+∞，所以[])2,[0,1A B =+∞ ，A B =R ，A B Ú，B A Ú，故选C ．3．【答案】A【解析】所求概率为222416C C =，故选A ．4．【答案】D【解析】因为||||0b a =≠ ，且()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即20a a b +⋅=，所以22||a b a a ⋅=-=- ，设a 与b 的夹角为θ，则22||cos 22||||||a b a a b a θ⋅-===- ，因为,[]0θπ∈，所以56πθ=，即a 与b 的夹角为56π，故选D ．5．【答案】A【解析】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对,()1x ∈+∞恒成立，则只需30a a -+≥，32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选A ．6．【答案】C【解析】易知两曲线有公共的右焦点2F ，根据题意()2,0F -，()22,0F ，1a =，根据椭圆的定义得到28PF PF +=，根据双曲线的定义得到22PF PF -=，故5PF =，23PF =，又24FF =，所以22222PF FF PF +=，从而22PF FF ⊥，223cos cos 5PF PFQ FPF PF ∠=-∠=-=-，故选C ．7．【答案】B【解析】方法一：记BCD β∠=，由题意得tan()2tan αββ+=，α，β为锐角，则2tan tan tan[()]2tan 1βααβββ=+-=+1142tan tan ββ=≤=+即tan α有最大值24当且仅当12tan tan ββ=即tan 2β=时取等号，此时α也最大222tan 2tan 211tan 718ααα===--，故选B ．方法二：设BA a =，BC c =，以点B 为坐标原点，BA ，BC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则(),0A a ，()0,0B ，()0,C c ，,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(,)CA a c =- ，,2a CD c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以222cos ||||ac CA CD CA CD α+⋅==可齐次化，不妨设1a =，22(0)2a c t t +=>，则cos α==所以当1t =，即222a c =时，cos α取最小值223，又因为α是锐角，此时α最大tan 43α==，22tan 2tan 211tan 718ααα===--，故选B ．8．【答案】D【解析】由题，111n na a +=+，0n a >且前8项为1，2，32，53，85，138，2113，342111511112122n n n na a a a +-++-=+-=所以当12n a +<时，1102n a +->；当152n a +>时，11502n a ++-<．所以2112n a -+<，2211511111211n n n n n n n n n na a a a a a a a a a ++⎛-- +⎝⎭⎝⎭>-=+-=+-=-++其中1502n a ->，所以21210n n a a +-->，2220n n a a +-<所以135152a a a <<<<，246152a a a >>>> ，所以不满足0.005n a -<的分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，202462018-=，故选D ．9．【答案】BC【解析】由题得5678116848y +++++=⨯=，所以11y =，所以A 错误；根据定义极差为1156-=，B 正确；因为60.4 2.4⨯=，40%分位数为7，C 正确；根据方差公式，方差为222222116(58)(68)(78)(88)(118)(118)63⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，D 错误，故选BC ．10．【答案】ACD【解析】对于A ：0a c a b +>+>，A 正确；对于B ：()0c c c a b a b ab++=>，B 错误；对于C ：()()()0()()b c b a b c b c a a b cc a a c a a c a a+++-++==>---，C 正确；对于D ：111()()10a b a b a b a b b a ab ab +⎛⎫--+=-+=+-< ⎪⎝⎭，D 正确，故选ACD ．11．【答案】ABC【解析】设(,)P x y ，2222222||(4)28162(2)8OP x y x x x x x =+=+--=++=++所以当2x =-，即()2,2P --时，OP 取得最小值，A 正确；四边形OMPN 的周长为||||||||4OM MP PN NO +++=+，当OP 取最小值时，四边形OMPN 的周长最小为8，B 正确；因为OM MP ⊥，所以||2sin ||||OM MPO OP OP ∠==，又因为||OP ≥，所以228cos cos(2)12sin 10||MPN MPO MPO OP ∠=∠=-∠=-≥，则PM PN PM PN ⋅=，C 正确；OMN △外接圆的面积最小为2π，无最大值，D 错误，故选ABC ．12．【答案】ACD【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =．由()()21f x f x x =--+，得()()0210f f =+=，所以()21f =-，故选项A 正确；因为()()21f x f x x =--+可化为2()(2)22x x f x f x -+=-+，令()()2xg x f x =+，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，且()()()22g x g x g x =-=--，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，且是以4为周期的函数，所以()()()()20222024200g g g g +=+=，所以20222024(2022)(2024)(2022)(2024)(2)(0)2023202322f fg g g g +=-+-=+-=-，故选项B 错误；因为()f x 在区间[]1,0-上单调递增，()()2xg x f x =+，所以()g x 在区间[]1,0-上单调递增．由对称性得()g x 在区间[]2,3上单调递减，所以()()2.2 2.8g g >，即()()2.2 1.1 2.8 1.4f f +>+，所以()()2.2 2.80.3f f ->，故选项C 正确；因为()()()22g x g x g x =-=--，所以()(2)(2)g x g x g x '''=--=--，从而(1)(1)(1)g g g '''=-=--，解得()10g '-=．由()()4g x g x +=，得()()4g x g x ''+=，，从而()g x '是以4为周期的函数，所以，1(2023)(1)(2023)02g g f '''=-=+=，所以1(2023)2f '=-，故选项D 正确．故选ACD ．13．【答案】2π【解析】因为()2sin 22024g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以()f x 的最小正周期为2π．14．【答案】5【解析】由3412log log log 5a b ==得12log 53a =，12log 54b =，所以121212log 5log 5log 534(34)5ab =⨯=⨯=．15．【答案】【解析】依题设(),P x y ，则22110x y +=，11y -≤≤由||DQ =，可得点Q 的轨迹是以D为半径的圆．22222222(6)1010(6)91246950503DP x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++≤ ⎪⎝⎭，||DP ≤当且仅当23y =-取等号，即max ||DP =，故max max ||||PQ DP ===．16．【答案】1384π+【解析】记以1A为半径的球面与底面ABC 的交线半径为r ，正三棱柱的高为h ，则1266r π⨯=，且223r h +=，解得2r =，32h =，则三棱柱111ABC A B C -的表面在球内部分的总面积为113313323332342284πππππ⎛⎫⨯++⨯+⨯+=+ ⎪⎝⎭17．解：（1）若选择①，11131b a =⋅=，3333533527b a =⋅=⨯=（1分）则等差数列{}n b 的公差3151222b b d --===，（3分）所以21n b n =-，所以2133n n n n b n a -==（5分）若选择②11113a c ==，331527a c ==（1分）则等比数列{}n c 的公比q 满足23119c q c ==，又0q >，故13q =，（3分）所以13nn c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21(21)3n n nn a n c -=-=．（5分）若选择③，因为1()3nn S a n b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则1111(1)33a S a b ==-+=，32332115(3)(2)3327a S S b b ⎛⎫⎛⎫=-=-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1分）解得1a b ==．故113n nn S +=-，（3分）当2n ≥时1213n n n nn a S S --=-=；又113a =，符合上式，所以213n nn a -=．（5分）（2）由（1）知213n n n a -=，所以21n b n =-，13nn c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（7分）()()()()()11221212n n n n n T b c b c b c b b b c c c =++++++=+++++++ 2111(121)11331223213n nn n n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+=-+⨯-（10分）【评分细则】第（2）问结果没有化简或化简错的，只要有111(121)331213n n n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭+-这一步，整体只扣1分．18．解：（1）由cos cos tan 3a Bb A C +=及正弦定理，得3sin cos sin cos sin tan 3A B B A C C +=，即3sin()sin tan 3A B C C +=，（2分）又ABC △中，A B C π++=，则sin()sin 0A B C +=>，故tan C =（4分）又0C π<<，则3C π=．（6分）（2）因为222222222222cos 22a b a b c a b ab C a b ab a b ++=+-=+-≥+-=所以2218a b +≤，当且仅当3a b ==时取等号．（8分）因为D 为AB 边的中点，所以1()2CD CA CB =+，两边平方得到()()222221122cos 44CD CA CB CA CB b a ab C =++⋅=++ ()()2222211992722942444a b c a b =+-=+-≤-=故2CD ≤，当且仅当3a b ==时取等号．故CD 的最大值为2．（12分）【评分细则】1．第（1）问凡是有推理不严密，如漏sin 0C >，0C π<<等，整体只扣1分，不多次扣分；2．第（2）问用其他方法做，只要推理与结果对，也给满分，但过程中利用基本不等式求最值时，至少要有一处说明取等条件（a b =或3a b ==），否则扣1分．19．（1）证明：连接AC ，在ABC △中，因为60ABC ∠=︒，1AB =，2BC =，所以由余弦定理得，2222cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，因为222AC AB BC +=，所以AC AB ⊥，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，所以CD AC ⊥．（2分）又因为PC CD ⊥，PC AC C = ，PC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ．（4分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA CD ⊥．（5分）（2）解：因为PA AC ⊥，PA CD ⊥，AC CD C = ，AC ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ．又因为AB AC ⊥，所以AB ，AC ，AP 两两相互垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（6分）因为CD AC ⊥，PC CD ⊥，所以PCA ∠为二面角P CD A --的平面角，即60PCA ∠=︒．（7分）在PAC △中，90PAC ∠=︒，60PCA ∠=︒，3AC =3AP =．因为M 为棱PA 的中点，所以32AM =．根据条件，3,0)C ，(0,0,3)P ，(3,0)D -，30,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以(1,0,0)CD =- ，3,3)PC =- ，33,2MD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （9分）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则3300n PC z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取3,1)n =．（11分）设直线MD 与平面PCD 所成的角为θ，则||3sin |cos ,|10||||n MD n MD n MD θ⋅=〈〉==即直线MD 与平面PCD 所成角的正弦值为310．（12分）【评分细则】第（2）问可能存在其他建系方法，只要推理与结果正确，同样给满分．20．解：（1）因为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,3)P ，所以6tan OP PFO OF p∠==，又tan 3PFO ∠=，所以63p=，2p =，故C 的标准方程为：24y x =．（4分）（2）设(,0)E n ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，EA 的方程为x my n =+，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩得2440y my n --=．则0∆>，134y y n =-，同理244y y n =-．（7分）所以直线MN 的斜率为()3434122234343412124414444y y y y y y k n n y y x x y y n y y y y ---======---+++-（9分）设AB 的方程为3y kx =+，联立24,3y x y kx ⎧=⎨=+⎩得24120ky y -+=．则1212412,y y k y y k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12121234y y k y y k==+，12123y y n y y -==-+，所以点E 的坐标为()3,0-．（12分）【评分细则】1．第（1）问只求出2p =给2分；2．第（2）问利用其它的参数计算直线MN 的斜率和点E 的坐标，只要结果正确也同样给分．21．解：（1）当e 1a =-时，()e (1e)ln 1xf x x x =+---，0x >，则11()e (1e)e e x x x f x x x-'=-+-=-+，0x >（1分）当1x >时，e e 0x->，10x x ->，故()0f x '>；当01x <<时e e 0x-<，10x x-<，故()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为()0,1．（4分）（2）方法一：1()e xf x a x'=--，0x >，令()()g x f x '=，则21()e 0xg x x'=+>，则()f x '在(0,)+∞上单调递增．取11e ||m a =<+，11()e e ||e (e ||)||0m f m a a a a m m'=--<-+=-++=取ln(||e)1n a =+≥，ln(||e)1()e e 1||e 1||e 10nn a f n a a a n+'=-->--=--=->（5分）又()f x '在(0,)+∞上图象不间断，且()f x '在(0,)+∞上单调递增，故存在唯一的()0,x m n ∈使得()0001e 0xf x a x '=--=，即001e x a x -=．（6分）当()00,x x ∈时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()00,x 上单调递减，在0(),x +∞上单调递增．因此()()000min000000001()e ln 1e e ln 11e ln x x x x f x f x ax x x x x x x ⎛⎫==---=----=-- ⎪⎝⎭（9分）当001x <<时，即001e e 1xa x =-<-时，()001e 0x x ->，0ln 0x ->，故()()0min 000()1e ln 0xf x f x x x ==-->，此时()f x 无零点；当01x =时，即e 1a =-时，故()()min 10f x f ==，此时()f x 有1个零点为1；（10分）当01x >时，即001e e 1xa x =->-时，()001e 0x x -<，0ln 0x -<，故()()0min 000()1e ln 0xf x f x x x ==--<，取1e1a t --=<，则1()e ln 1ln 1ln e 10t a f t at t at t a --=--->--->---=，又()f x 在(0,)+∞上图象不间断，故存在：()10,x t x ∈使得()10f x =，即此时()f x 存在零点．（11分）综上所述，()f x 存在零点时，实数a 的取值范围为e 1a ≥-．（12分）方法二：由（1）知当e 1a =-时，()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为()0,1，且()e (1e)ln 1(1)0x f x x x f =+---≥=，当且仅当1x =时取等号，故()f x 有1个零点；（5分）当e 1a <-时，()e ln 1e (1e)ln 10xxf x ax x x x =--->+---≥，即()0f x >，故()f x 没有零点；（6分）当e 1a >-时，构造函数2()(0)e x x x x ϕ=>，证明2()1ex x x ϕ=<（过程略），从而2e x x >对0x >恒成立；构造函数()1ln t x x x =--，证明()1ln 0t x x x =--≥（过程略），从而ln 1x x -≥-．因此，2()e ln 1e (1)1(1)xxf x ax x ax x x a x =---≥-+-->-+，故()10f a +>．又()1e 10f a =--<，且()f x 在(0,)+∞上图象不间断，故存在()01,1x a ∈+，使得()00f x =，即此时()f x 存在零点．（11分）综上所述，()f x 存在零点时，实数a 的取值范围为e 1a ≥-．（12分）方法三：令()e ln 10xf x ax x =---=，e ln 1x x a x--=，令e ln 1()x x g x x--=，则()221e e ln 1(1)e ln ()x xx x x x xx g x x x ⎛⎫---- ⎪-+⎝⎭'==当0<x <1时，g '(x )<0；当x >1时，g '(x)>0，所以当1x =时，()g x 取得最小值()1e 1g =-，若函数()f x 存在零点，则e ln 1x x a x--=有解，所以e 1a ≥-．（8分）当e 1a ≥-时，()1g a ≤，令100e1a x --<=<，()00000e (1)1e x x a ag x a x x ----+==>又因为()g x 在(0,)+∞上图象不间断，故存在(]10,1x x ∈，使得()1g x a =，综上所述，()f x 存在零点时，实数a 的取值范围为e 1a ≥-．（12分）【评分细则】1．第（1）问仅正确求得单调递增区间、单调递减区间中的一个扣2分；2．第（2）问相关解法中涉及到的取点（不唯一）是否取到，不影响后续步骤的得分．22．解：（1）由题意可知1X 的所有可能取值为1，2，且()()111122P X P X ====，（1分）由题意可知2X 的所有可能取值为0，1，2，且()()21133014432P X P X ==⨯==，()()()2111133191124444216P X P X P X ⎛⎫==⨯+⨯=+==⎪⎝⎭()()()2111311121244232P X P X P X ⎛⎫==⨯=+==⎪⎝⎭2X 的概率分布表如下：2X 012P3329161132（4分）()2391150123216324E X =⨯+⨯+⨯=（2）当2n ≥时，由题意可知n X 的所有可能取值为0，1，2．（5分），()()()()1111113311012244442n n n n P X P X P X P X ---⎛⎫===+⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭()()()111151012282n n n P X P X P X ---==+=+=()()()1111502128n n n P X P X P X ---==+=+=⎡⎤⎣⎦()()111511128n n P X P X --=-=+=⎡⎤⎣⎦()111128n P X -=+=则()()141411787n n P X P X -⎡⎤=-==-⎢⎥⎣⎦，()1411714P X =-=-()4107n P X =-≠故()()141174817n n P X P X -=-==-故()417n P X ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭是首项为114-、公比为18的等比数列．（11分）故()141117148n n P X -⎛⎫=-=-⨯ ⎪⎝⎭，()1324111114714872n n n P X --⎛⎫⎛⎫==-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（12分）【评分细则】1．第（1）问中，3个概率求解中可以先求出其中2个，用间接法求第3个，3个概率都正确得2分，有正确的但不完全正确的给1分，概率分布表1分；2．第（2）问中，等比数列的证明不严密整体扣1分．。

2024届广东省四校高三数学上学期11月联考卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为1R,10B x x ⎧⎫=+≥⎨⎬⎩⎭，则R B =ð（）A ．{10}xx -<<∣B ．{10}x x -≤<∣C ．{10}x x -<≤∣D ．{}10x x -≤≤∣2．“0x <”是“()ln 10x +<”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．22iz =B ．2z z ⋅=C ．||2z =D ．0z z +=4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β5．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF ⋅= （）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-6．已知实数2log 3a =，cos4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b>>7．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是（）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知1a >，123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，123x x x <<，若1322x x x +=，则（）A ．322ln x a x <B ．322ln x a x =C ．322ln x ax >D ．32x x 与2ln a 大小关系不确定二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，39S =-，则有（）A ．15a =-B ．40a <C ．60S =D ．34S S <10．若0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b >B ．22a ab b +<+C ．2b aa b +>D ．11022ab⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是2πC ．ω的取值范围是1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．若函数()()2ln 21()f x x a x x a R =+-+∈存在两个极值点12,x x ()12x x <，则（）A ．函数()f x 至少有一个零点B ．0a ＜或2a >C ．1102x ＜＜D ．()()1212ln 2f x f x +>-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()21,02,0x bxx f x a x ⎧-≥=⎨-<⎩为R 上的奇函数，则实数b =.14．若曲线3y x ax =+在点()1,1a +处的切线方程为7y x m =+，则m =．15．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB ，该学生先在钟楼的正西方点C 处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进60m 到达点D 处，在D 处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB 的高度是m.16．已如平面内非零向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，1a b ⋅= ，若2220c b c -⋅+= ，则c a- 的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，1a ，341a -，42S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和nT.18．设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω；(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由.20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．21．某公园要建造如图所示的绿地,OABC OA OC ､为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米且BAO BCO ∠=∠.设π02BAO ∠αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.(1)当π3,3AB α==时，求OB 的长；(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值.22．已知函数21()e x x ax f x -+=(R a ∈).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，关于x 的不等式2()e a f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.注：e 2.71828= 是自然对数的底数1．C【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合补集的定义进行求解即可.【详解】由11100(1)0x x x x x ++≥⇒≥⇒+≥且0x ≠，0x ⇒>或1x ≤-，所以R B =ð{10}xx -<≤∣，故选：C2．B【分析】解出对数不等式，再根据必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】()ln 10x +<，()ln 1ln1x +<，则011x <+<，解得10x -<<，则反向可以推出，正向无法推出，则“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件，故选：B.3．B【分析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．D【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解【详解】选项A ：有可能出现m α⊂的情况；选项B ：m 和n 有可能异面；选项C ：α和β有可能相交；选项D ：由//αβ，m α⊂，得直线m 和平面β没有公共点，所以//m β，故选：D 5．D【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC= ，则BE AF ⋅=（AE AB- ）•12（AC AB +）＝（13AC AB- ）•12（AC AB + ）1123AC = （2AB - 223AB -•AC = ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6．A【分析】根据对数函数的图象和性质可得：1a c >>，然后再比较,b c 的大小关系即可.【详解】因为2233log 3log 21log 3log 2>==>，所以1a c >>，又因为21cos==423b π>=，而32log 2223c ==<=，所以1b c >>，所以a b c >>，故选：A .7．B【分析】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为na ，则{}n a 为等比数列，由此求出塔形表面积n S 的表达式，令34n S >即可得出n 的范围．【详解】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，12a =，212a ==3112a ==，则{}n a 为以2为首顶，以2为公比的等比数列，{}2n a ∴是以4为首项，以12为公比的等比数列．∴塔形的表面积2222212314444n n S a a a a a =+++++ 14132244361212n n⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯+=--，令3236342n ->，解得4n >，∴该塔形中正方体的个数至少为5个．故选：B ．8．C【分析】123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，则可以将三个根代入方程得到三个方程，再将这三个方程进行运算凑出1322x x x +=，可解出32x x 为定值，然后再根据函数有三个零点求出2ln a 的范围可得答案.【详解】易知1230,x x x <<<123,,x x x 为函数2()x f x a x =-的零点，()()11322321222244213221323,,,,x x x x x x a x a x a x x a x x x x a x +⎧=⎪∴=∴==∴=⎨⎪=⎩22130,x x x ∴+=又()22331322233222,20,210x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=∴+-=∴--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解之：321x x =，负根舍去；又2220,,ln l (n )x x f x a x x a x x a =∴∴==-=，即ln y x a =与2ln y x =有三个交点，交点横坐标分别为123,,x x x ，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为()()''22,2ln ,2ln ,,t t y x k x t==∴=切线方程为：()22ln y t x t t -=-过原点，et ∴=此时22,ln e k y x at ==∴=的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，24ln ,2ln 2 1.e ea a ∴<∴<<<故选：C【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．ACD【分析】先由39S =-，以及等差数列的性质可得23a =-，5223a a d -==，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.【详解】由3123239S a a a a =++==-，得23a =-，设等差数列{}n a 的公差为d ，则有523a a d =+，所以523(3)233a a d ---===，所以2(2)3(2)227n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，所以1275a =-=-，48710a =-=>，6656(5)202S ⨯=⨯-+⨯=，由43410S S a -==>，得43S S >，故选：ACD.10．AC【分析】计算得到110b a a b ab --=>，A 正确，22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，1a b ++符号不定，B 错误，根据均值不等式得到C 正确，根据12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性得到D 错误，得到答案.【详解】当0a b <<时，110b a a b ab --=>，所以11a b >，A 正确；22()()()(1)a a b b a b a b +-+=-++，0a b -<，1a b ++符号不定，所以2a a +与2b b +大小关系不能确定，B错误；2b a a b +>，()a b ≠，所以C 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,0)-∞上单调递减，1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11022ab⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误；故选：AC.11．BC【分析】根据三角函数对称轴情况可得ω的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），令42x k ππωπ+=+，Z k ∈，则()144k x πω+=，Z k ∈，函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得()14014k ω+≤≤，即0144k ω≤+≤，则0k =，1，2，3，即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，C 正确；对于A ，()0,x π∈ ，,444x πππωωπ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭，79,422πππωπ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，当7,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；当9,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；故A 错误；对于B ，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ<≤，又8821713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故B 正确；对于D ，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，,44154x ππωππω⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭，又1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，78,1541515ωππππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不一定单调递增，故D 错误；故选：BC ．12．ACD【分析】对于A ，只需将1x =代入验证即可，对于B ，通过函数存在2个极值点转化为导函数有2个变号零点问题，从而转化为二次函数根的分布问题即可，对于C ，利用B 选项的条件即可推导；对于D ，计算12()()f x f x +，构造函数()h a ，求函数()h a 的最小值即可【详解】对于A ，()()22ln 21ln (1)f x x a x x x a x =+-+=+-2(1)ln1(11)0f a =+-=，1x ∴=是()f x 的一个零点，故A 正确对于B ，21221()(22)ax ax f x a x x x -+'=+-=()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <，22210ax ax ∴-+=有两个不相等的实数根，即()f x '有两个变号零点120,0x x >>0∴∆>，即22(2)421484(2)0a a a a a a --⨯⨯=-=->，20a a ∴><或又120,0x x >>，121210102x x x x a +=>⎧⎪∴⎨=>⎪⎩，解得0a >综上，2a >，故B 错误对于C ，由B 选项可得，121x x =+，211x x ∴=-，111x x ∴->，1102x ∴<<故C 正确对于D ，2212111222()()ln (21)ln (21)f x f x x a x x x a x x +=+-+++-+22121212ln [2()2]x x a x x x x =++-++将121211,2x x x x a +==代入上式212111()()ln(12212)ln 2(1)22f x f x a a a a a a+=+-⨯-⨯+=-+-ln 2ln 1ln ln 21a a a a =--+-=---令()ln ln 21(2)h a a a a =--->11()10a h a a a-'=-=>有()h a 在(2,)+∞上单调递增，()(2)2ln 2ln 2112ln 2h a h ∴>=---=-，故D 正确故选：ACD 13．1-【分析】由奇函数性质，设0x <，则0x ->，由奇函数性质求出0x <时()f x 表达式，根据对应关系可求b .【详解】由()f x 为R 上奇函数，则()()f x f x -=-，设0x <，则0x ->，()()()()21,120,1,1x x f x f x f x x a b --∴-=-=-∴=-<∴==-.故答案为：1-14．2-【分析】由导数求出参数a ，将切点代入切线方程即可求出m .【详解】23'=+y x a ,依题意得37a +=，即4a =，又因为17a m +=+，所以2m =-.故答案为：2-15．30【分析】先用AB 表示出BD 和BC ，再结合余弦定理即可求解.【详解】由题意知：45,60,30,60ACB BCD ADB CD ∠=∠=∠==，设AB x =，则,tan 45tan 30AB ABBC x DB ==== ，2222cos3BD CD CB CD CB π=+-⋅⋅，即221336002602x x x =+-⨯⨯⨯，解得30x =或60-（舍去）.故答案为：30.16．【分析】确定点C 的轨迹是以点B AB =.【详解】由2220c b c -⋅+= ，得2()2c b -= ，向量c 对应点C 的轨迹是以点Ba 对应点为A ，b 对应点为B ，c a BA BA ⎡-∈-+⎣ ，π,3a b = ，AB a b =-= ，于是c a -∈ .故答案为：.17．（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=-+.【分析】（1）由1a ，341a -，42S 成等差数列，可得()3142412a a S -=+，利用等比数列通项公式和求和公式，求解可得12a =，结合2q =，即得解（2）代入2n n a =可得2nn b n =+，分组求和即得解【详解】（1）由1a ，341a -，42S 成等差数列，且公比2q =，所以()3142412a a S -=+，即42111(12)822212a a a -⋅-=+⨯-，整理得11132230a a a -=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为1=222n n n a -⨯=.（2）2log 2n n n n b a a n =+=+.所以{}n a 为等比数列，令1,1n n n c n c c -=-=，故{}n c 为等差数列因此分组求和可得：1231n n nT b b b b b -=+++++ ()()()()12312122232(1)2n n n n -⎡⎤=++++++++-++⎣⎦()123122222(12)n n n -=+++++++++ ()212(1)122n n n -+=+-1(1)222n n n ++=-+18．(1)2ω=(2)7π19π2π,2π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【分析】（1）先化简，再代入π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求值即可；（2）先变换再求递减区间即可.【详解】（1）由()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：()13cos cos sin cos 2222f x x x x x x ωωωωω=--=-，1πsin 23x x x ωωω⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭知ππsin 063ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πππ63k ω-=，Z k ∈，故62k ω=+，Z k ∈，又03ω<<，所以2ω=．（2）由（1）知()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意得()πππsin 4312g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由ππ3π2π2π2122k x k +-+≤≤，Zk ∈解得7π19π2π2π1212k x k ++≤≤，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为7π19π2π,2π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）．19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A = ,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A= 所以⊥AE 平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG ,在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =；在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以//CE AB 且12CE AB =，所以//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，所以//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x =+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010xg x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．当3π8α=时，养殖场OABC最大的面积为18平方米.【分析】（1）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.（2）根据三角形面积公式、正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）连接,AC OB ，设,OB m BOC β=∠=，在OAB 中，由正弦定理可知：33ππcos sin sin()32m ββ==-，在OBC △中，由正弦定理可知：9πsin sin 3m β=，于是有93sin 3cos sin cos ββββ=⇒=，而22sin cos 1ββ+=，解得cos β=，负值舍去，因此3333302πcos 2sin 3m m β⨯=⇒==，即3302OB =；（2）由题意，6AB BC ==，所以BCA BAC ∠=∠，而OA OC ⊥，BAO BCO ∠=∠，因此π4OCA OAC ∠=∠=，所以OA OC =，而AB BC =，所以OB 垂直且平分AC ，因此π4BOC ∠=，π3ππ44ABO CBO αα∠=∠=--=-，在△OBC 中，由正弦定理sin sin OB BC BOC α=∠，得OB α=．于是13π2sin 24S OB BA α⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭sin 4αα3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22ααα⎫=+⎪⎪⎝⎭236sin cos 36sin ααα=+()18sin 2181cos 2αα=+-2184απ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π02α<<．当ππ242α-=，即3π8α=时，S 取到最大值，最大值为18+．因此，当3π8α=时，养殖场OABC最大的面积为18平方米.22．(1)答案见解析(2)](),2∞∞--⋃+.【分析】(1)根据()f x 的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可；(2)根据特殊值法，结合(1)中的结论、导数的性质、分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由2(2)1(1)(1)()e e x x x a x a x x a f x -++------='=，①当11a +=，即0a =时，因为2(0()1)x x f x --='≤e 恒成立，故()f x 在()-∞+∞，上为减函数；②当11a +>，即0a >时，由()0f x '<得，1x <或1x a >+；由()0f x '>得，11x a <<+，所以()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数；③当11a +<，即a<0时，由()0f x '<得，1x a <+或1x >；由()0f x '>得，11a x +<<，所以()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数.综上：当0a =时，()f x 在()-∞+∞，上为减函数；当0a >时，()f x 在()1-∞，和(1)a ++∞，上为减函数，在(1)1a +，上为增函数；当a<0时，()f x 在()1a -∞+，和(1)+∞，上为减函数，在()11a +，上为增函数.（2）因为0x ≥时，关于x 的不等式()2e a f x ≤恒成立，则()20e a f ≤，即21e a ≤，解得a ≤a ≥①当a ≤由(1)知，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()1f ，故()21e a f ≤，即22e e aa -≤，解得2a ≤-或1a ≥，因为a ≤2a ≤-.②当a ≥由(1)知，()f x 在()0,1和()1,a ∞++上为减函数，在()1,1a +上为增函数，所以()f x 在[)0,∞+上的最大值为()(){}max 0,1f f a +，故()21e a f a +≤，即212ee a a a ++≤，整理得2e 20a a a --≥.记()2e 2,a g a a a a =--≥，()e 1,x t x x =--，所以()e 1x t x '=-，当0x <，()0t x '<，()t x 单调递减；当0x >，()0t x '>，()t x 单调递增，所以()()00t x t ≥=即e 10,x x --≥则()()232122g a a a a a a a ≥+--=+--，因为函数3y a =和22y a a =--在)+∞上均为增函数，所以())()e 2e 1e 20g a ≥-+->.综上：a 的取值范围是](),2∞∞--⋃+.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数()f x '的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照()0f x '=是否有根，根的大小进行分类求解的．。

,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。

（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式 ，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。

s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题 号一二三总 分总分人复分人得 分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。

111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2011《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“+”的为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5345342112a a a a a (B) 2554134231a a a a a (C) 2534511342a a a a a (D) 4223155134a a a a a解 答案为(C).根据行列式的定义，对于行列式的一般项，若行标排列是标准排列，则符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断)选项(A)的行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (21453)=3，故(A)取“-”。

选项(B)的列标排列是标准排列，行标排列的逆序数为t (34152)=5，故 (B)取“-”。

选项(C)行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标和列标排列的逆序数之和t (41532)+t (23145)=6+2=8，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 13a 25a 34a 42a 51，此时列标排列的逆序数为t (35421)=8，故取“+”。

同理可得，(D)应取“-”。

2.设n 阶行列式D =1，将D 上下翻转得D~，则D~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) -1 (B) (-1)n(C) (-1)n /2(D) (-1)n (n -1)/2解 答案为(D).参见教材习题一第7题的解答。

3. 设A , B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣ (B) 若AB =O ，则A =O 或B =O (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) ∣AB ∣=∣BA ∣ 解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011112, 但1011112=。

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2012-1线性代数期末统考试卷华南理工大学广州汽车学院基础部关于2011年《线性代数》期末统考的通知通知要点一、考试的重点内容与要求二、考试的形式与试卷结构三、题型示例与答案一、考试时间、考试的重点内容与要求考试时间：2012年1月9日下午考试的范围是《线性代数》（同济大学·第五版）第一、二、三、四、五章。

以下按章次明确考试的重点与要求：第一章行列式1.了解行列式的定义，会用对角线法则计算二三阶行列式。

2. 掌握余子式，代数余子式，会利用行列式的性质及按行（列）展开计算行列式。

3. 掌握范德蒙行列式。

？4.了解克拉默法则。

第二章矩阵及其运算1.理解矩阵的概念。

了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊的矩阵。

2.掌握矩阵的加法及数乘矩阵、矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规则。

3.理解可逆矩阵的概念、性质，以及矩阵可逆的充要条件。

4.了解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.掌握用初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法。

2.理解矩阵等价的概念。

2.知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的方法。

3.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩。

4.了解线性方程组无解、有唯一解或有无限多个解的充要条件（包括非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次方程组有非零解的充要条件）。

5.掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法（包括求非齐次线性方程组及齐次线性方程组的通解）。

第四章向量组的线性相关性1.理解n维向量的概念，了解向量组的概念及向量组与矩阵的对应。

2.了解向量组的线性组合的概念，了解向量组线性相关、线性无关的概念，了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念。

3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并熟悉基础解系的求法。

理解非齐次线性方程组通解的结构。

第五章相似矩阵及二次型1.了解向量的内积、长度及正交性。

线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

线性代数试卷班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关 (D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1- 三、计算下列行列式 （12分）1、D= 1- 3 3- 13 1 1 41- 3 0 5-21- 1 32、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 11 1 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1） 证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）546456班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为 _________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A) αβγ(B) γβα---(C) αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则 21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A) 14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B) 14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C) 14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关(D) 14433221 , , ,αααααααα--++线性无关 5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量(D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似 三、计算下列行列式 （13分）3、D= 2- 3 0 11 2 1 - 121 0 331- 2 14、D n = 11 1 11 1 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 012 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α, )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 1 3 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0（7分）45645654班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试一、填空题（每小题4分，共20分）。

．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P += ．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )= ．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是： ．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= ．231511523()5495827x D x x x -=-，则0)(=x D 的全部根为：二、 选择题（每小题4分，共20分）．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）。

， 1， B ，-1 ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ ）。

， 左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵 ， 左乘一个n 阶初等矩阵， D ，右乘一个n 阶初等矩阵．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。

则（ ）。

，M 是m 维向量空间， B ， M 是n 维向量空间 ，M 是m-r 维向量空间， D ，M 是n-r 维向量空间．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ ）。

， ()0r A =， B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。

A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。