广工-2017-2018-1-线性代数-真题1

第1页共4页 第2页共4页安徽工程大学2017——2018学年第 1学期(线性代数) 课程期末考试试卷 (B) 卷 考试时间 120 分钟,满分100 分要求：闭卷[√],开卷[ ]；答题纸上答题[√],卷面上答题[ ] (填入√)一、选择题 (每小题3分，满分15分)1. 已知A 、B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中正确的是 ( ).（A ）(A +B )2=A 2+2AB +B 2 （B ） AB =BA （C ）(A +E )(A −2E )=(A −2E )(A +E ) （D ） (AB )2=A 2B 22. 已知A 、B 为2阶方阵，则下列各式中不正确的是 ( ). （A ）|AB |=|A ||B | （B ）|2A |=2|A | （C ）|A T |=|A | （D ）|AB |=|BA |3. 已知 α1，α2，α3 为 R 3中向量，下列说法不正确的是 ( ).（A ）若 α1，α2，α3 线性相关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关（B ）若 α1，α2，α3 线性无关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关（C ）α1，α2，2α1−α2 线性相关（D ）(1，0，0)T ，(1，1，0)T ,(1，1，1)T线性相关 4．已知A 为 m ×n 矩阵，则非齐次方程 Ax =b 有无穷多解的充要条件是 ( ).（A ）r (A )<n （B ） r (A )=r (A |b )<n （C ）r (A )=r (A |b )=n （D ） r (A )<n,r (A |b )=n 5. 已知 x,y 为内积空间V 中向量，下列说法不正确的是 ( ). （A ）若 x ⊥y , 则 ‖x +y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （B ）若 x ⊥y , 则 ‖x −y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （C ） λ 为任意实数，‖λx ‖=λ‖x ‖ （D ）|〈x,y 〉|≤‖x ‖‖y ‖二、填空题（每空3分，满分15分）1. 已知矩阵 A =(1−2y−1x −32−42y)，且 r (A )=1，则x=____,y=____.2. 已知 A 为3阶方阵，A ∗ 为其伴随矩阵，且 |A |=2，则 |A ∗|=_____.3．齐次线性方程组 { x 1+x 3=0x 2−x 4=0 的解空间维数为______.4. 已知矩阵 (x 110y 1004) 相似于对角矩阵 (100020004)，则x 2+y 2=______.5. 二次型 f (x,y,z )=x 2+2y 2+2xy +4xz −2yz 的矩阵为第3页共4页 第4页共4页___________.三、计算题(每小题10分，满分60分)1. 已知矩阵 X 满足 XA =X +A ，其中 A =(001020002)，求 X .2. 计算行列式 D =|a 01−a b20−b3|. 3. λ为何值时，齐次线性方程组 { x 1+3x 2+5x 3=02x 1+x 2=03x 1+4x 2+λx 3=0有非零解，并求此时方程组的一般解.4. 求矩阵 A =(1−2−1221−442) 的秩 r (A )，以及列空间 R (A )的一组基。

第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。

线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是 15_______。

2. 若122211211=a aa a ，则=16030322211211a aa a 33. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 R(A)=R(A,b)=n_5.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是R （A ） ＜ n 8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 09. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k 1 1-2k+1=0二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组rααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D)Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶 方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A )Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( D )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

C)(A *kA )(B *A k n)(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是B _____。

A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。

（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。

(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。

广州大学 2017---2018 学年第二学期考试卷参考答案与评分标准课程 《线性代数》 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名一．填空题（每小题3分，共18分）1． 多项式21()1132xx f x x x=--中3x 的系数是2- 2． 设A 为4阶方阵，且||2A =，则1|2|A -=83． 设111222333a x y A a x y a x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，111222333232323b x y B b x y b x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且||2A =，||5B =-，则||A B +=144． 设向量组131a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3231α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =25． 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则|22|A A E *+-=46．100002000034000=24-1．设1211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3322α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是【 B 】（A ）β不能由向量组123,,ααα线性表示（B ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一 （C ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一 （D ）无法确定β能否由向量组123,,ααα线性表示2．矩阵A 与B 相似是A ，B 的特征值相同的【 A 】（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件3．设A ，B 为n 阶方阵，则必有【 B 】（A ）AB BA = （B ） ||||||||A B B A ⋅=⋅ （C ）222()AB A B = （D ）22()()A B A B A B -=+-4．下列命题正确的是【 A 】（A ）正交向量组必线性无关 （B ）线性无关的向量组必定是正交组（C ）若向量组线性相关，则其部分组必定线性相关 （D ）若向量组的部分组线性无关，则必定整体线性无关5．设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出方程组， 则下列结论正确的是【 D 】（A ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =无解（C ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解6．设A 、B 是可逆方阵，则10A B -⎛⎫⎪⎝⎭为【 C 】 （A ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭1．计算行列式2151130602121476 D---=--解：075131306021207712D---=--………………………………………………………………2分75132127712-=---………………………………………………………………………4分353010772--=-----……………………………………………………………………5分332772-==--………………………………………………………………………7分2．设121101011A-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求1A-解：121100()101010011001A E-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭121100020110011001-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭……………2分1010100201100011/21/21⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………4分1001/21/210101/21/200011/21/21-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………6分11/21/211/21/201/21/21A--⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭……………………………………………………………7分3．设1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求5A 解：24A E =……………………………………………………………………………4分 416A E =……………………………………………………………………………6分511111111161611111111A A ---⎛⎫ ⎪---⎪== ⎪--- ⎪---⎝⎭ ………………………………………………7分 四（10分）求列向量组11324α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231316α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31211α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，42513α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，51419α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组表示解：1234213141324131211312131254010117(,,,)231110915341613902831113r r r r r r αααα+-+----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪= ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 2343313121010440915301044r r r r ++--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭324212931011411010440014133000r r r r r r +---⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪⎝⎭13100272201044001413300000r r +--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭……………………………………………………………6分∴123,,ααα为一个最大无关组………………………………………………………8分且412327441αααα=---512322433αααα=---……………………………………………………………10分五．（12分）已知向量111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量（1）确定参数,a b 及p 所对应的特征值 （2）问A 能不能对角化，并说明理由 解：（1）设p 对应的特征值为λ，则()0A E p λ-=即2121053101210a bλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭101203100a a b b λλλλ--==-⎧⎧⎪⎪-+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩……………………………………………………………6分 （2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭特征多项式为3212||533(1)12A E λλλλλ---=--=-+---∴A 的特征根为1231λλλ===-……………………………………………………8分对于齐次方程组()0A E x +=由13213153312101101523523022101312011r r r r r r A E ↔++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭2332122101101011011022000r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()2R A E += ………………………………………………………………………10分于是方程组()0A E x +=的解空间的维数为3213-=<A 不能对角化…………………………………………………………………………12分六．（12分）证明（1）方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充要条件是510i i a ==∑（2）在有解的情况下，写出通解的结构证明：（1）11223344551512341100011000011000110000110()0011000011000111000100000i i r r r r r a a a a a A b a a a a a =++++-⎛⎫-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪=- ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 所以()4R A = ………………………………………………………………………………4分方程组有解⇔()()4R A R A b == 即510ii a==∑………………………………………6分（2）当方程有解时111234223433444342321100010001011001001()00110001010001100011000000000000r r r r r r a a a a a a a a a A b a a a a a +++--+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪⎪⎪--+⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…8分 151234252343534454x x a a a a x x a a a x x a a x x a =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩取50x =， 得原方组的特解为12342343440a a a a a a a a a a η*+++⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…9分 对应齐次方程组为15253545x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，取51x =，得齐次方程组的基础解系为11111ξ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………10分通解为1234234344111110a a a a a a a x k a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∈…………………………………………12分七．（9分）解矩阵方程2AX X B =+，其中612241311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解：(2)A E X B -=………………………………………………………………………2分由于412|2|22110311A E --==≠- 1(2)A E --存在…………………………………4分13151(2)(2)528|2|416A E A E A E -*--⎛⎫⎪-=-=- ⎪- ⎪--⎝⎭……………………………………7分131513102(2)5282215341631124X A E B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分。

2017-2018 学年广州市一般高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）（ 1）已知会合A x x 1 ， B x x2x0，则 A B （）（ A）x 1 x 1（ B）x 0 x 1（ C）x 0 x 1（ D）x 0 x 1【答案】 D【分析】试题剖析：A x1x1， B x 0x 1 ， A B x 0x 1，应选 D.考点：会合的交集 .（ 2）已知复数z3i，此中 i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（）1i（ A）第一象限（ B）第二象限（C）第三象限（ D）第四象限【答案】 D【分析】试题剖析：z 3i1i14i12i， z 1 2i，即 z 对应点在第四象限，1i1i22应选 D.考点： 1、复数的观点；2、复数的运算 .（ 3）履行如下图的程序框图，假如输入x 3，则输出 k 的值为（）k0x2x3k k 2x100?是开始输入 x输出 k结束否（A）6（B）8（C）10（ D）12【答案】 C【分析】试题剖析：第一循环 x233 9, k 2 ；第二循环 x 2 9321,k 4 ；第三循环x 2 21 3 45, k 6 ；第四循环x 2 45 3 93, k8 ；第五循环x 2 93 3 189, k 10 ，189100结束循环，输出k 10，应选 C.考点 :程序框图及循环结构 .（ 4）假如函数 f x sin x60 的相邻两个零点之间的距离为，则的值为6（）（A）3（B）6（C）12（D） 24【答案】 B【分析】试题剖析：函数 f x sin x0的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周6期，T, 6 ，应选B.26考点：三角函数的图象和周期 .（ 5）设等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 a2a7a1224 ，则 S13（）（A）52（B）78（ C） 104（ D） 208【答案】 C【分析】a2a7a1224 ，3a724 ，即 a7 8 ，13 a1a1313a7104 ，试题剖析：S132应选 C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（ 6）假如P1，P2， , ，P n是抛物线C：y24x 上的点，它们的横坐标挨次为x1， x2，,，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若x1x2x n10 ，则 PF P F P F （）12n（ A）n 10（ B）n 20（ C）2n 10（ D）2n 20【答案】 A【分析】试题剖析：y 24x,p 1 ，由抛物线定义可知 PF 11 x 1 , P2 F2 x 2 ， ，2P n F 1 x n ，12nx 2 x nn10 ，应选 A.PF PF P F n x 1 考点： 1、抛物线的标准方程； 2、抛物线的定义及简单几何性质 .（ 7）在梯形 ABCD 中，ADBC ，已知 AD 4 ，BC6 ，若 CD mBA nBCm,nR ，则m（）n（A ） 3（ B ）11（D ） 3（ C ）33【答案】 A【分析】试题剖析： 过 A 作 AECD 交BG 于E ，则CD EA EB BA1BC BA ，即 m 1，31 m3 ，应选 A.n，3n考点 : 1 、平面向量基本观点定理；2、向量的运算 .x y 1 0,2（ 8）设实数 x ， y 知足拘束条件xy1 0, 则 x 2y 2的取值范围是（）x，1（A ） 1,17（B ） 1,17（C ） 1, 17（D ）2 , 17 22【答案】 A【分析】试题剖析：画出拘束条件所表示的可行域，如图，A1,2 , D 0.2 ，由可行域知z x y 222y1 0 的距离的平方为 1 ，的最大值是 AD17 ，最小值为 D 到直线 x2应选 A.y3A2x+y- 1= 01x= -1C-4-3-2-1O1234x-1x-y- 1=0-2DB-3考点 : 利用可行域求目标函数的最值 .（ 9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，全部棱的长都为1，极点都在同一个球面上，则该球的体积为（）（ A）（B）20 5（C）5（D）5 536【答案】 D 【分析】125， R545试题剖析：由题意知，R212, V球=R3 5 ，应选 D.24236考点 : 1 、棱柱的性质；2、球的体积公式 .（ 10）已知以下四个：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若 f x2x 2 x，则x R，f x f x ；p3：若 f x x 1，则x00,， f x0 1 ；x 1p4：在△ABC中，若A B ，则 sin A sin B ．此中真的个数是（）（A）1（B）2（C） 3（ D）4【答案】 B【分析】试题剖析：假如l 与内无数条平行线垂直，则l 与不必定垂直，因此p1错误；f x2x 2 x，f x 2 x2x f x，故 p2正确；f x1, 只有一个根x0 ，x 0 时，f x1无解，故p3错误；因为在ABC中A B 必定有 a b ，再由正弦定理可得sin A sin B ，故p4正确；应选 B.考点： 1、直线与平面垂直的判断；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四周体的三视图，则该四周体的表面积为（）（A）882 46（B）882 26（C）2 2 26（D）126224【答案】 A【分析】试题剖析：由三视图可知，几何体是以P 为极点，以ABC 为底面，以 PC 为高的三棱锥，如图 . 由三视图可知PC4, BC 2 ，可求得AB PB 2 5,AC 4 2, AP 4 3，因此S表SABCSBCSPACSPAB 88 246 ，应选 A.BCAP考点： 1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．12 3 4 5,2013 20142015 20163579,,,,4027 4029 403181216,,,,,,,805680602028,,,,,,,,,,16116,,,,,,,,,,,,,,,,该表由若干行数字构成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）（ A）201722015（ B）2017 22014（ C）201622015（D）201622014【答案】 B【分析】试题剖析：第一行为1、 2 、 3 的三角形，最后一行的数为3121；第一行为1、2、 3、4 的三角形，最后一行的数为 4 122；第一行为1、2、 3、4 、 5的三角形最后一行的数为，5123,可猜想第一行为1、 2、3,2016 最后一行的数为2016 122014201722014，应选 B.考点：概括推理及不完整概括法.第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分．）（ 13）一个整体中有 60 个个体，随机编号 0， 1， 2，, ，59，依编号次序均匀分红 6 个小组，组号挨次为 1， 2，3，, ， 6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组随机抽取的号码为3，则在第 5 组中抽取的号码是．【答案】43【分析】试题剖析：整体 60 个个体，依编号次序分红 6 个小组，则间隔编号为6010 ，因此在第 5 组6中抽取的号码为 3 10443 ，故答案为43 .考点：系统抽样方法 .（ 14）已知双曲线C：x2y 2 1 a0,b0的左极点为 A ，右焦点为 F ，点B 0,b，a2b2且BA BF0 ，则双曲线C的离心率为．【答案】512【分析】试题剖析：BA BF 0,AB BF ，又BO AF，因此由射影定理知OB2OAOF，即 b 2ac c22， e2e10, e5151 a2，故答案为2考点:1、向量垂直与向量数目积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率 .（ 15）x2x4x3的系数为2的睁开式中，．（用数字填写答案）【答案】40【分析】试题剖析： x2x4x2x24x 24C43 x2 x3中含 x3项其2睁开后只有与2系数和为C4123C43C312240，故答案为40 .考点：二项睁开式定理 .（ 16）已知函数f x 1x 1 ,x1,则函数 g x 2 x f x 2 的零点个数为2x，x4x 2,1个．【答案】 2考点 :函数的零点和图象交点的关系.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（ 17）（本小题满分12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD BC ，AC 5 3 ，CD5, BD 2AD .（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积．CA D B75 3【答案】（Ⅰ） 5 ；（Ⅱ）.【分析】试题剖析：( Ⅰ ) 设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．因为 CD BC ， CD 5 ， BD 2 x ，因此cos CDB CD5，由余弦定理得BD2xcos ADC AD 2CD 2AC 2x252(53) 2．因为 cos ADC cos CDB ，即2AD CD2x 5x252(53) 25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 ；（Ⅱ）由 ( Ⅰ )AB 3 x15，所2x 52x以S ABC 1BC sin CBA可得正确答案 .AB2试题分析： ( Ⅰ )在ABC 中，因为BD 2AD，设 AD x x 0 ，则 BD 2 x ．在 BCD 中，因为CD BC，CD 5 ， BD 2x ，因此 cos CDB CDBD5．在 ACD 中，因为 AD x ， CD5，AC 5 3 ，2x由余弦定理得 cos ADC AD 2CD 2AC 2x252(5 3)2．因为2AD CD 2 x5CDB ADC，因此 cos ADC cos CDB ，即 x252(5 3)25．解得 x 5 ．因此AD的长为 5 .2x 5 2 x（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB3x 15 ， BC225 5 3 ．因此cos CBD BC34 xBD，2从而 sin1,因此S ABC1sin115 51753 CBD AB BC CBA34．2222考点：余弦定理及三角形面积公式.（ 18）（本小题满分12 分）从某公司生产的某种产品中抽取100件，丈量这些产品的质量指标值，由丈量结果获得如图所示的频次散布直方图，质量指标值落在区间55,65 ，65,75，75,85内的频次之比为4:2:1 ．（Ⅰ）求这些产质量量指标值落在区间75,85内的频次；（Ⅱ）若将频次视为概率，从该公司生产的这类产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间45,75 内的产品件数为X，求X的散布列与数学希望．频次组距0.0300.0190.0120.004015 25 35 45 55 65 75 85质量指标值【答案】（Ⅰ） 0.05 ；（Ⅱ） 1.8 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先依据比率设出质量指标值落在区间55,65 ， 65,75 , 75,85 内的频次，再依据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间75,85 内的频次；（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，因此X听从二项散布 B n, p ，此中 n 3 ，依据独立重复试验概率公式求概率，依据二项散布希望公式求希望.试题分析：（Ⅰ）设区间75,85 内的频次为 x ，则区间55,65 ， 65,75 内的频次分别为4x 和 2x ．依题意得0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2 x x 1 ，解得x0.05 .因此区间75,85 内的频次为0.05．（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，因此 X 听从二项散布B n, p ，此中n 3．由（Ⅰ）得，区间45,75 内的频次为0.3 0.2+0.1=0.6 ，将频次视为概率得p 0.6 ．因为X的全部可能取值为0、1、 2、 3，且 P(X 0)C300.600.430.064， P(X1)C13 0.610.420.288 ，P( X2)C320.620.410.432 ，P( X3) C330.630.400.216．因此 X 的散布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216 X 听从二项散布B n, p，因此 X 的数学希望为EX 3 0.6 1.8 ．考点： 1、频次散布直方图； 2、失散型随机变量的均值希望 .（ 19）（本小题满分12 分）如图，四棱柱 ABCD A1 BC1 1D1的底面ABCD是菱形，AC BD O，AO1底面ABCD ，AB AA1 2．（Ⅰ）证明：平面ACO1平面 BB1D1 D ；（Ⅱ）若 BAD60 ，求二面角 B OB1 C 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ）6 4.【分析】试题剖析：（Ⅰ）先证AO BD，CO BD 可得BD平面ACO ，从而得平面BB1D1D平11面ACO1；（Ⅱ）以 O 为原点，OB，OC，OA1方向为x，y，z轴正方向成立如下图空间直角坐标系．分别求出平面OBB1的法向量，平面OCB1的法向量，利用空间向量夹角公式即可求得二面角 B OB1 C的余弦值 .试题分析：（Ⅰ）证明：因为 AO平面 ABCD，1BD 平面ABCD，因此AO BD．因为 ABCD 是菱形，1因此 CO BD ．因为AO1CO O ，因此 BD平面 ACO．因为BD 平面BB1 D1D，1因此平面BB1 D1 D 平面 ACO1．（Ⅱ）解：因为1平面 ABCD ，CO BD ，以 O 为原点，OB，OC，OA1方AO向为 x ，y， z 轴正方向成立如下图空间直角坐标系．因为 AB AA1 2 ，BAD60，因此 OB OD1，OA OC3，OA1AA12OA21．则B 1,0,0，C0, 3,0 ，A 0,3,0，A10,0,1 ，因此 BB1AA10, 3,1 ，OB1OB+ BB11, 3,1 ．设平面OBB1的法向量为n x, y, z ，因为 OB1,0,0， OB11, 3,1 ，因此x0,x3y z 0.令 y1，得 n0,1, 3．同理可求得平面OCB1的法向量为m1,0,1．因此 cos n,m36B OB1C 的平面角为钝角，22．因为二面角4因此二面角 B OB1 C 的余弦值为 6 ．4z D1C1A1B1DCyOA Bx考点： 1、线面及面面垂直的判断定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦.（ 20）（本小题满分12 分）已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在x 轴上，左极点为 A ，左焦点为F12，0，点B2, 2在椭圆 C 上，直线y kx k 0 与椭圆C交于E，F两点，直线AE ， AF 分别与 y 轴交于点M ，N．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．【答案】（Ⅰ）x2y21；（Ⅱ）经过两定点P12,0， P22,0 . 84【分析】试题剖析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为 F12，0 ，因此a2b24．由点 B 2, 2 在椭圆 C上，得421，从而解出 a, b 获得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）直线 y kx (k 0) 与椭圆x2y21 a2b284联立，解得 E, F 的坐标（用 k 表示），设出 AE ， AF 的方程，解出 M , N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题分析：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为x2y2 1 (a b 0) ，a2b2因为椭圆的左焦点为F12，0 ，因此a2b2 4 ．因为点 B 2,2在椭圆 C421 ．上，因此2b2a由①②解得， a2 2 ，b 2 ．因此椭圆 C 的方程为x 2y 2 1．84（Ⅱ）因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0 ．因为直线 ykx ( k 0) 与椭圆x 2y 21交于两点 E ，F ，84设点 E x 0 , y 0 （不如设 x 00 ），则点 F x 0 , y 0 ．y kx, 2 8联立方程组x 2 y 2 1消去 y 得 x 12 ．8 42k因此 2 2 ，则 y 02 2k ．x 02k 2 1 2k 21因此直线 AE 的方程为 ykx2 2 ．1 12k2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ，令 x0 得 y2 2k，即点 M 0,2 2k．112k 22k 211同理可得点 N0,2 2k．11 2k 2因此 MN2 2k2 2k2 2 1 2k 2．11 2k2112k2k设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0,2 ．k222 1 2k2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2 ，kk即 x 2y 2 2 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x 24 ，即 x2 或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ， P 2 2,0 ．考点： 1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义 .（ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) e x+mx 3 , g xln x1 2 ．（Ⅰ）若曲线yf x 在点0 f 0 处的切线斜率为 1，务实数 m 的值；，（Ⅱ）当 m 1时，证明： f xg(x)x 3 .【答案】（Ⅰ） m 0 ；（Ⅱ）证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）先求出 f ( x) ，再令fe m，可解得m 的值；（Ⅱ） f xg( x) x31等价于 ex+ mln x 1 20 ，当 m1时，只要证明 e x1ln( x1) 2 0 ，设h xe x 1ln x 12 ，则 h xe x 1x 1 ，利用 hx 的单一性， 能够证明 h x 的1最小值 hx 0 为正，从而 f xg( x)x 3 .试题分析： （Ⅰ）因为f ( x)e x+ mx 3 ，因此 f (x)e x+m3x 2 . 因为曲线yf x 在点0 f 0处的切线斜率为 1，因此 fe m1，解得 m0 .，（Ⅱ）因为 f ( x) e x+m x 3 , g xln x12 ，因此 fxg( x) x 3 等价于 e x+m ln x 12 0．当 m 1时， e x+m ln x 1 2 e x 1 ln x 1 2 ．要证 e x+mln x 12 0 ，只要证明 e x 1 ln( x 1)20设 h x e x 1 ln x 12 ，则 h x e x 1x 1 .1设 p x ex 11x 110 ．x ，则 p x ex211因此函数 p xh xe x11 1 在 1，+ 上单一递加．x1 1因为 he 2 2 0 ， h 0 e 10，2因此函数 h xe x11 在 1，+上有独一零点x 0 ，且 x 01 ,0x 12因为 h x0，因此e x0 +11，即 ln x1x 1 .0x0100当 x1, x 时， h x0 ；当 x x,时， h x 0 ，00因此当 x x0时， h x 获得最小值 h x0.因此 h x h x0 = e x01ln x0 1 2x01x0120.1综上可知，当 m 1时，f x g( x)x3.考点： 1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单一性及最值 .请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .（ 22）（本小题满分10 分）选修4－1：几何证明选讲如下图，△ABC 内接于⊙ O ，直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ，交 BC 的延伸线于点 D ，过点D 作DE CA 交BA 的延伸线于点 E ．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若直线DE2AE BE ；EF 与⊙ O 相切于点F，且EF4，EA 2 ，求线段AC的长．FB．OE ACD【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ） 3 .考点： 1、三角形相像；2、切割线定理 .（ 23）（本小题满分10 分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 sin ，0,2 .（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ：x3t3,（ t 为参数，t R ）的距离最y3t2短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ） x2y2 2 y33 0 ；（Ⅱ）， .22【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为一般方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一获得最小值，依据几何意义清除一个即可.试题分析：（Ⅰ）解：由 2 sin ，0,2 ，可得2 2 sin ．因为2x 2 y 2 ，siny ，因此曲线 C 的一般方程为 x 2y 2 2y0 （或 x 221）．y 1 （Ⅱ） 解： 因为直线的参数方程为x 3t 3,（ t 为参数， tR ），y3t2消去 t 得直线 l 的一般方程为 y3x 5 ．因为曲线 C ： x 2y 1 21是以 G0,1 为圆心， 1 为半径的圆，设点 Dx 0 , y 0 ，且点 D 到直线 l ： y3x 5 的距离最短，因此曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l ： y3x 5平行．即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即y 0131．x 02 y 0 1233因为x 01，解得 x 0或 x 0 2．2 因此点 D 的坐标为3 1或3 32，2 ， ．22因为点 D 到直线 y3x 5 的距离最短，因此点 D 的坐标为332 ， ．2考点： 1、极坐标方程与直角坐标的方程互化； 2、参数方程与一般方程的互化 .（ 24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲设函数 f xx ax 1 a ． （Ⅰ）当 a1 时，求不等式f x1的解集；2（Ⅱ）若对随意【答案】（Ⅰ）a0,1 ，不等式1,；（Ⅱ）4f xb 的解集为空集，务实数 b 的取值范围．2，+ .【分析】试题剖析：（Ⅰ）议论三种状况x 1 ， 1 x 0 ， x 0 ，最后找并集即可； （Ⅱ）不等式f xb 的解集为空集，只要 bf x，利用基本不等式可得f xa 1 a ，max从而转变为ba1 a，最后运用三角换元法或平方后联合基本不等式求出maxa1 a.max试题分析：（Ⅰ） 解： 当 a 1 时， fx1 x 1 x1等价于．1 22①当 x1时，不等式化为 x 1 x，无解；21 1②当 1x 0 时，不等式化为 x1 xx 0 ；，解得41 2③当 x0 时，不等式化为 x1 x0 ．，解得 x2综上所述，不等式f x1的解集为1 , .4（Ⅱ）因为不等式f xb 的解集为空集，因此 bf x．max因为 f x x a x1 ax a x1 aa 1 aa 1 a ，当且仅当 x1 a 时取等号． 因此 f xmaxa1 a ．因为对随意 a0,1 ，不等式f xb 的解集为空集，因此 ba1 a, 令 gaa1 a ，max因此 g 2a12 a1 a1a21a22 ．当且仅当a1 a ，即 a12时等号成立．因此 g amax2 ．因此 b 的取值范围为2，+ ．考点： 1、绝对值不等式的解法； 2、利用基本不等式求最值.。

湖北工业大学线性代数 试题答案A 卷 2017年11月一 选择题：（3×5=15分）1、B2、 C3、B4、C5、D 二 填空题：（3×5=15）分6、27、118、 E 59、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321201/2-0011/2-11),,(x x x x x x 10、-32 三 计算题（共60分）11（10分）、先将第2,3,4列依次加到第一列得4-44-33-3032-52-3211-3=D ......3分6-33-05-214-41-0211-134-44-13-3012-52-1211-13== ..........6分5/2-0003-2004-41-0211-12769-009-6004-41-0211-13===135 ..........10分 12（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002,102010001B D A C ..........4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10001000,10201000121D B C A ..........6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴81427511301000100010201000121CD AB ....10分1. 13（10分）、αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3272123411511011123012(,,,)31810000139700 ..........4分12,αα∴可作为向量组的一个极大无关组。

..........6分αααα=1234(,,,) 2.r ..........8分3732241222,2.αααααα=-=+ ..........10分 14（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001012411210)(E A ..........2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→12-30010102-00210411 ..........5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→1/2-13/2-12-411-2100010001 ..........8分 所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1/2-13/2-12-411-21A ..........10分15（10分）、 A 的特征多项式为2400031(2)(4).13E A --=--=----λλλλλλ故 A 的特征值为 .........2分 对应基础解系分别为..........4分 ..........6分..........8分 将123,,ααα单位化得)())123,1,,1,0,,,,1.T T T===0-1001ηηη故，为所求正交矩阵.......10分16（10分）、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000021/210051321~7232-1-2-1-04251321~A ..........4分化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000021/21001-1/2-021~~A ..........6分所以，原方程组的通解是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020112/102/10012214321k k x x x x ..........10分 四 证明题：17、（10分）令 0222110=++++*ηηηξn-r k k k k .........2分所以 0222110=++++*ηηηξA k A k A k A k n-r00=b k , 得00=k .........2分故 022211=+++ηηηn-r k k k .........2分由r n -ηηη，，， 21是其导出组（对应齐次线性方程组0=Ax ）的一个基础解系 知 021====n-r k k k ， .........2分 此即0210=====n-r k k k k ，故线性无关 .........2分()21,0,T =0α()3,,1.T=01α()10,1,1T =-α234==λλ12=λ12310(,,)00P ⎛⎫⎪ ⎪== ⎝0ηηη。

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷近世代数 参考答案警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。

”一、简答题（每小题5分，共25分）1．集合A 上的关系是怎么定义的？答：设R 为直积A A ⨯的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。

对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。

评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。

完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

2．试问n 阶循环群有多少个生成元？答：n 阶循环群有)(n ϕ个生成元，其中)(n ϕ为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。

理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ϕ。

评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；(3) 欧拉函数。

完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

3．试说明什么是剩余类环？答：假定R 为环，I 为R 的理想。

考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。

在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。

评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。

完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

4．试解释什么是域的有限扩张。

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

2017-2018-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、12 2 、6 3 、72 4、2 5、-5二（每小题3分，共15分）1 B 2C 3 C 4D 5 D三（8分）3111666613111311=1131113111131113D =……………………………………（3） =11111311611311113…………………………………………………………………（2） 11110200=600200002=48 (3)四（10分）由AB A B =+，得()A E B A -=…………………………………………（1分）||0,A E A E -≠-可逆 ………………………………………………（1分）()120220,203213011010A E A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭……………………………………（1分） 120220011010001213⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………（3分） 100226010203001223-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………（3分）所以 226203213B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………………………………………（1分） 五（15分）()()11114111λλλλλ=-+…………………………………………………… （5分）4λ≠且1λ≠-时，有唯一解…………………………………………………（2分）1λ=-时()11141114,1111023811240005A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解………………………………………（3分）4λ=时，()114411441030,1411601140114112400000000A b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，令3x c =得方程组通解为123331410x x x c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………（5分）六（10分）()12341321132111010222,,,1210011125310111a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1012011100000000--⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………（6分）向量组秩为2，………………………………………………………………………………（1分） 一个最大无关组为：12,a a ………………………………………………………………… （1分）312a a a =-+……………………………………………………………………………………（1分） 4122a a a =-+…………………………………………………………………………（1分）七（10分）证明：设存在数1x ，2x ，3x ，使1123223313(2-3)(3+)(4)0x x x ααααααα++++=…………………………………（2分） 1211221233()(23)(34)0x x x x x x x ααα++++-++=………………………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知13121230230340x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩， 因101230230314=≠-，故齐次线性方程组只有零解，……………………（4分）从而1x ，2x ，3x 全为零12323ααα+-，233+αα，134αα+是线性无关。

极限、行列式矩阵1、若行列式,021421=-x 则=x ▲ ． 【答案】2 【解析】由124012x -=得12240x -⋅-=，即24x =，所以2x =。

2、方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________【答案】211132-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为211132-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 【答案】2.1x y =⎧⎨=⎩【 解析】由题意可知方程组为13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2.1x y =⎧⎨=⎩。

4、若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______． 【答案】2 【解析】由行列式的定义可知行列式的值为222222662010184242b c a b a c a bc ++---=-+，所以22C =5、 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ． 【答案】11x y =⎧⎨=⎩【解析】由题意可知对应的线性方程组为232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩。

所以该线性方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩。

6、若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ） A ．24 B ．48 C ．144 D ．288【答案】C【解析】因为只有两列的上下两数相同，①取这两列，有24C 种，②从1、2、3、4中取2个数排这两列，有24P 种，③排另两列，有22P 种，∴共有222424P P C =144种； 选C7、已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫⎪⎝⎭，计算：AB = ．【答案】1042410⎛⎫⎪⎝⎭【 解析】：AB =1242142312211043431344332412410⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________予学士学位。

一、填空题（每空3分，本大题满分15分） 1．设A 为n 阶方阵，2=A ，则2=A .2．设111022003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，100210321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则=AB .3．矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的伴随矩阵*=A . 4．若向量组(1,2,3),(2,3,4),(2,2,)a 线性相关，则a = .5．从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．有矩阵322333,,⨯⨯⨯A B C ，下列矩阵运算不可行的是( ).（A ）ABC （B ）BCA （C ）+AB C （D ）+BA C 2．设n 阶方阵,,A B C 满足关系式=ABC E (E 是n 阶单位阵)，则必有( ). （A ）=ACB E （B ）=CBA E （C ）=CAB E （D ）=BAC E .3．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组=0Ax ( ).（A ）当n m >时仅有零解 （B ）当n m >时必有非零解 （C ）当n m <时仅有零解 （D ）当n m <时必有非零解 4．设A 是n 阶方阵，()R r n =<A ，则在A 的n 个列向量中( ). （A ）必有r 个列向量线性无关 （B ）任意r 个列向量线性无关（C ）任意r 个列向量都构成最大线性无关组（D ）任意一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表示5．设A 与对角矩阵100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似，那么齐次线性方程组=0Ax 的基础解系所含解向量的个数为( ).（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、（本题满分10分）设12⎛⎫=⎪⎝⎭A O A OA ，其中11111⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，21031⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求2018A.计算行列式2112401412104212D---=---.五、（本题满分12分）设110011101-⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭A，2=+AX X A，求X.求非齐次线性方程组12341234123421,21,255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩的通解.七、（本题满分6分） 试证明n 维列向量12, ,, n ααα线性无关的充分必要条件是det 0≠D ，其中T T T 11121TT T21222T T T12n nn n n n ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭D αααααααααααααααααα.设有向量组11320⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，27143⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，3211⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，45162⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，52141⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α.（1）求此向量组的秩；（2）求此向量组的一个最大无关组，并把其它向量用该最大无关组线性表示.求矩阵022222222--⎛⎫⎪=-⎪--⎝⎭A的特征值和特征向量.广州大学2017-2018学年第一学期考试卷参考解答及评分标准课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________予学士学位。