南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及参考答案

南京邮电大学2012/2013学年第一学期《线性代数与解析几何》期末试卷（A ）参考答案院(系) 班级 学号 姓名1. 设n 阶方阵A 满足220A A I --=，则矩阵A 可逆，且1A -=1()2A I - 2. 设(1012)Tα=-，(0102)β=，矩阵A αβ=，则()r A = 1 . 3. 设123,,ααα与123,,βββ都是三维向量空间3R 的一组基，且11232βααα=+-，223βαα=+， 312332βααα=++，则由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是101213112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 设12243311A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且0AB =，则t = -3 .5. 过两个曲面2241x y z ++=和222x y z =+的交线，母线平行于 z 轴的柱面方程是222221(1)016x y x y ----=.二、选择题（每题4分，共20分）1.已知行列式111222333x y z x y z a x y z =，则11122233362233x z y x z y x z y --=- ( C ) （A ）a - （B ）6a - （C ）6a （D ）3a -2. 设A ，B 与C 都是n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( D ) （A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AB AC =，且0A ≠，则B C =（C ）22()()A B A B A B +-=- （D ）若det 0AB =，则d e t 0A =或det 0B =装 订线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊3. 设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则 ( B )（A ）12αα+是0Ax =的解 （B ）112212(1)k k k k αα++=是Ax b =的解 （C ）12αα-是Ax b =的解 （D ）112212(1)k k k k αα++=是0Ax =的解 4. 设3阶矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，对应的特征向量分别为1(1,1,2)T α=-，2(1,0,1)T α=-，3(1,2,4)T α=-，则100A = ( C )（A ）A - （B ）I - （C ）I （D ）100A5.若二次型22212312312(,,)282f x x x x x x ax x =+++是正定的，则a 的取值范围是( A )（A ）44a -<< （B ）4a > （C ）4a <- （D ）8a <三、 ( 8分 ) 设135347122A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX A X =-，求X .解 ()A I X A +=,且1A I +=，所以1()X A I A -=+ ………3分()A I A +=235135357347123122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011111012021123122----⎛⎫ ⎪→---⎪ ⎪⎝⎭100014010201001110-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭…4分1014()201110X A I A --⎛⎫⎪=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭…………1分四、（10分）设向量组()11210T α=-，()21102Tα=，()3211Ta α=的秩为2， (1)求a 的值；(2)求向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示出来.解1121121121012110130130131010130000000202006006a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换..4 123(,,)2R ααα=，6a ∴=， (2)且12,αα是一个极大线性无关组，3123ααα=-+ (4)五、（12分）当a ，b 是何值时，非齐次线性方程组1231231233210431033(1)90x x x a x x x a x x b x +++-=⎧⎪+---=⎨⎪-+-+=⎩ (1)有唯一解，(2)无解，（3）有无穷多解，并求出其通解。

南京邮电大学2013-2014《线性代数与空间解析几何》模拟试题八及答案一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1 已知向量,αβ满足||2,||3,==和αβαβ的夹角为3π，则以向量 34,2A B =-=+αβαβ为邻边的平行四边形的面积是2 当13141234020020x ax x x ax x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有非零解，则a = 1/4 .3 若平面经过点(1,2,1)A -和z 轴,则此平面方程为 20x y -=.4 由曲线22140x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩围绕x 轴旋转一周所成曲面的方程是222()14x y z -+=. 5 已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα 且||16B =，则||A = 4 .6设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A 且1||2A =.则1*123A A -⎛⎫-= ⎪⎝⎭n+127 已知向量β可由向量组()()()1231,2,3,0,2,5,1,0,2ααα=-=-=-线性表示, 则向量组123,,,αααβ的秩为 2 .8 设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）。

则*A =36 .（其中E 为3阶方阵）。

9 已知四阶行列式1171318021435125D -=-. 设ij A 为行列式D 中第i 行第j 元素ij a 的代数余子式，则14243444325A A A A +-+= 010 一个动点与(1,0,0)A 的距离是此动点到平面4x =距离的一半，则此动点的轨迹方程为：22234412x y z ++=.二. (10分)计算n 阶行列式解 （1）如果0x =，任意两列对应成比例，故0n D = ----------2分 (2) 如果0x ≠,构造新的n+1阶矩阵--------2 分显然 n D A =第i 行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分121121121121n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a a a a a a x a D ----++=+11212112112112110000n n n n n n n n n na a a a x a a a a a x a a a a a a a a a a x a A-----++=+11211000100100001000n n a a a a x xxA---=--0-----------3分三．（12分） 当a 为何值时，线性方程组123123123322ax x x ax ax x x x ax +++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。

南京邮电大学2013-2014模拟考试题一线性代数与解析几何说明:)det(A 指方阵A 的行列式,*A 指方阵A 的伴随矩阵,)(A r 指矩阵A 的秩,TA 指矩阵A 的转置矩阵,I 为单位矩阵. 22R ⨯指实数域R 上的二阶实方阵全体按通常矩阵的运算构成的线性空间.2[]F x 表示次数不大于2的一元多项式全体所构成的线性空间。

一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵201030503⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)T AA = .(2). 若向量组123111,,111λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为2,则λ= .(3). 设矩阵121201 101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,已知齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个向量，则a = .(4). 设矩阵10301131a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围是 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关.(C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线22220x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】 (3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵(A)012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (B)125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (C)512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (D)125⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 【 】(4).设矩阵111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1*12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(A)12A . (B) 14A . (C) 18A . (D) 116A . 【 】三、(12分) 设方阵B 满足22I =+*A B B ,其中111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .四、(12分) 已知直线11:232x y z L -==--，直线2312:212x y z L -++==-. （1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i =，求过1L 且与12a a ⨯平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程.五、(12分)a 、b 取何值时,线性方程组1234122011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.六、(12分). 设二次型222123123121223(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-,(1) 写出二次型123(,,)f x x x =T x Ax 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形.七、 (12分) 设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A =的全部特征值之积为24.(1) 求a 的值；(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则 111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11 。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的线性关系是 。

南京邮电大学2013-2014学年第二学期《高等数学》（A 下）自测模拟试题及详细答案1．极限2221lim 1x x yx y x +→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e ．2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，则2z x y∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4P π处的法线方程为41122111z x y π---==-．4．函数2(,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12z zu -+． 6．幂函数21(1)9nnn x ∞=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2,10()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于12． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2()xdydz ydzdx zdxdyx y z ++=++∑⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k u r r r r u r r r r ，则div (A )B ⨯u r u r =3224x y z x z ---．10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx xx dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 212565xx x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数2()0000000''()()()()()()'()()2!!n nf x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++L L =2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!n nf x f x f x n ---+-++++L L ，不易。

《线性代数与解析几何》练习册参考答案第1章1.1 1.7;2 i =4,j =5;3,+,-3(1)1;(2) -1；4，（1）1；（2）3333a b c abc ++-;(3) 288;(4) abcd .1.2 1.(1)27a ;(2)5a ;2 (1)-3;(2) 3()a b c ++;(3)0;(4) 16；（5） 123b b b ；(6) 12341a a a a ++++ 1.3 .1.12;2(1)12;(2) 12(1)(2)(2)x x x --+;3. 1, -1;4.0,86.5.14142323()()a a b b a a b b --; 6.0,-1,2,3;7. 4142439A A A ++=-,444518A A +=.8.-2. 1.4 1(1) (1,2,3)T ;(2) (,,)T a b c - 2. 1或-2；3；313λλ≠≠且. 第2章2.1 121002211X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2.61010AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131262129BA ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，111152017T B C A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭;,3 (1)112233AB a b a b a b =++,111213212223313233a b a b a b BA a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）111213*********3233nn a b a b a b BA a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（） 4.（1）cos sin sin cos n n n n θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭;（2）121(1)200nn n nn n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；5. 000000008⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;7. 1200b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,b b 是任意常数。

南京邮电大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．ABCD 是正方形，PA ⊥平面AC ，且PA=AB ，则二面角A-PD-B 的度数为( )A ． 060B ．090C ． 0120D ． 0135【答案】C2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．16B ．24C ．34D ．48【答案】A3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．32B ．21616+C ．48D ．23216+【答案】B4．将正方形（如图所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，该几何体的左视图为( )【答案】B5．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则( )A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==【答案】B6．如图，正三棱柱111ABC A B C -的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )A ．16B ．23C ．43D ．83【答案】D7．正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】B8．m 和n 是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l ，m 和n 与l 既不垂直，也不平行，那么m 和n 的位置关系是 ( ） A ．可能垂直，但不可能平行 B ．可能平行，但不可能垂直 C ．可能垂直，也可能平行 D ．既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D9．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 【答案】C10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM ∥DE ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成600角 ④DM 与BN 是异面直线 以上命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 【答案】C11．在二面角α-l -β 的半平面α内，线段AB ⊥l ，垂足为B ；在半平面β内，线段CD ⊥l ，垂足为D ；M 为l 上任一点．若AB=2，CD=3，BD=1，则AM+CM 的最小值为( )A ．26B ．23 C ．21 D ．19【答案】A12．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，交于顶点A 的三条棱长分别为3AD =，14AA =，5AB =，则从A 点沿表面到1C 的最短距离为( )A ．52B 74C ．45D ．310【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知三棱锥O －ABC ，∠BOC ＝90°，OA ⊥平面BOC ，其中AB 10BC 13AC 5O ，A ，B ，C 四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为 ． 【答案】14π14．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．【答案】(1,2,3)--15．设点B 是点(2,3,5)A -关于xOy 面的对称点，则||AB = . 【答案】1016．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中11C A 到面ABCD 的距离为 . 【答案】1三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2．(1）求PC 的长； (2）求钝二面角1A A B P --的大小．【答案】（1）如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则()000D ,, ，()110B , , ，()1102A , , ，设()01P λ,, ，其中[]02λ∈, ， 因为1A PB π∠=2，所以10A P BP ⋅=， 即()()112100λλ--⋅-=,, , , ，得1λ=， 此时()011P , , ，即有1PC =； (2）易得平面1AA B 的一个法向量为()100m DA ==, , ，设平面1A BP 的一个法向量为()n x y z =,, ， 则10 0 n n A P BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即0 0 x y z x z -+-=⎧⎨-+=⎩，，不妨取1x =，则0y =，1z =-，即()101n =-,, ， 所以21cos 212m n m n >m n ⋅<===⨯，， 所以，钝二面角1A A B P --的大小为3π4. 18．如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，2,AB AC ==AA ′=1，点,M N 分别为/A B 和//B C 的中点。

军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______.2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是___66___________.4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__3147___________. 5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_________________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

南邮2013-2014学年研究生最优化方法期末考试试题-by陈杨南京邮电大学2013-2014学年研究生最优化方法试题学号____________ 姓名______________ 班级________________一、（3分×8）（1）线性规划,0 153 22 ..3 min 1212121≥-=--≤+-x x x x x t s x x 的对偶规划为，给定一个点，让我们求其有效集，给定可行方向(a,?1)T ,求a 的取值范围。

（2）在二维空间中，集合}00,x ,1|),{(22≥≥≤+y y x y x 的极点构成的集合为。

（3）已知f(x)=x 2?3x +1 用黄金分割法求解某个函数在区间[0,4]上的极小点，则迭代一次后的区间为。

（4）函数6222),(2121222121+--++=x x x ax x x x x f 为严格凸函数，则常数a 的取值范围____________。

（5）求函数2221212),(x x x x f +=的极小点，取T x )1,0()0(=，用最速下降法一步得到的下降方向为___________。

（6）用外罚函数法求解f(x)0 x 01 .. min 212221≥≤-+x t s x x ，其增广目标函数为二、（10分）证明对于无约束最优化问题min f(x),采用最速下降法求最优点，两个相邻的方向是正交的。

三、（10分））设**,s z 分别是两个线性规划问题（I ）0x bx .. max 1≥≤=A t s xc z T 与（II ）0x kb x .. max 2≥+≤=A t s xc z T 的最优值，*1y 是（I ）的对偶问题的最优解。

求证：k y z s T*1**+≤。

四、（18分）（1）用单纯形方法求解下面的线性规划,0 2426 1553 ..2- min 21212121≥≥≤+≤+-x x x x x x t s x x 。

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷编号：A20130116一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分) 1、设*A 是n 阶可逆方阵A 的伴随矩阵，下列结论中不正确的是( C ))(A 1-*=n AA )(B A AA 1)(1=-* )(C **=kA kA )( )(D T T A A )()(**= 2、设A 为m 阶可逆方阵，B 为n 阶可逆方阵，下列结论中不正确的是( D ))(A B A BA =00 )(B B A BA mn )1(00-=)(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1110000B A B A )(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000111B A B A 3、方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ( B )()A A 的行向量组线性无关 ， ()B A 的列向量组线性无关 ， ()C A 的行向量组线性相关 ， ()D A 的列向量组线性相关 .4、直线182511:1+=--=-z y x l 与直线⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l 的夹角为（ C ） )(A 6π )(B 4π )(C 3π )(D 2π 5、对二次曲面，下列说法不正确的是（ D ）)(A 方程2222y x z +=表示旋转抛物面； )(B 方程22222y x z +=表示圆锥面； )(C 方程x y =2表示抛物柱面；)(D 方程19141222=--z y x 表示单叶双曲面。

二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、交换矩阵A 1、2两行得到矩阵B ,若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0638527411B,则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0368257142、向量)4,3,4(-=α在向量)1,2,2(=β上的投影=αβj Pr 23、设4元线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3)(=A R ,321,,ηηη均为此方程组的解，且,)6,4,0,2(21T=+ηη,)2,1,2,1(31T -=+ηη则方程组b Ax =的通解为T T k x )4,3,2,1()3,2,0,1(+=4、已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为35<<-λ5、二次曲面4222222=++++++yz xz bxy z ay x 经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面：4422=+ζη，则=a 3，=b 1.三、（10分）计算行列式：1023*********102=D解、1021023123113101610260236231631064321=+++c c c c D 5分212313121621203130121031016141312----=-------r r r r r r 8分00500501216231312=-----r r r r 10分 四、(10分) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=654321,1121B A ，又B XA =，求矩阵X解： 1=A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211A 5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-16111074311216543211BA X 10分五、(10分)设m ααα,,,21K 是两两正交的非零向量组，证明m ααα,,,21K 线性无关。

模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21Λ的秩为s 的充要条件是（ ）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一 ③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21Λ线性表示，则n ααα,,,21Λ（ ）。

...《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。

2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。

3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。

4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。

5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。

6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。

得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。

9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。

10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。

线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。

A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。

A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。

A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。

A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。

A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。

A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。

A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。

A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。

A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。

线性代数试题及答案一、选择题1. 线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及它们之间的关系。

以下哪个选项不是向量空间的基本性质？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元存在性答案：C2. 设A是一个3级方阵，且det(A) = 2，那么det(2A)等于多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C3. 在线性代数中，线性变换可以通过什么来表示？A. 矩阵B. 行列式C. 特征值D. 坐标答案：A4. 特征值和特征向量在描述线性变换时具有重要意义。

一个矩阵的特征值和特征向量分别表示什么？A. 变换后矩阵的行列式，变换前矩阵的行列式B. 变换后矩阵的行列式，变换前向量的方向C. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向D. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向答案：B5. 线性代数中的欧几里得空间是一个完备的度量空间，它满足哪些性质？A. 可数性B. 完备性C. 可加性D. 所有上述性质答案：D二、填空题1. 在线性代数中，若一个向量空间的基包含n个向量，则该向空间的维数为______。

2. 设矩阵A = [a_ij]，其中i表示行索引，j表示列索引。

如果A的逆矩阵存在，则A的行列式det(A)不等于______。

3. 对于一个n级方阵A，若存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，则称λ为A的______，v为对应于λ的______。

三、计算题1. 给定矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的秩。

2. 设线性方程组如下：a_1 + 2a_2 + 3a_3 = 64a_1 + 5a_2 + 6a_3 = 127a_1 + 8a_3 + 9a_3 = 18求该方程组的解。

3. 给定一个3级方阵C，其特征值为1，-2和3，求矩阵C。

四、论述题1. 讨论线性变换在几何上的意义，并给出一个具体的例子来说明其作用。

2. 解释何为线性空间，以及线性空间的同构关系是如何定义的。

线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。