广西桂林十八中2010届高三第五次月考(数学理)

桂林市第十八中学2017-2018学年高三第一次月考数学(理)第I 卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.φ2.已知复数241ii z+-=(i 为虚数单位),则z 等于( ) A.13i -+ B.12i -+ C.13i - D.12i -3.设A,B 是两个集合,则错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=( ) A.10 B.18 C.20 D.285.设sin 20156a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,函数()(),0,0x a x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪,则21log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )6.三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB 的长为( )侧视图正视图A.7.直线02=-+y x 与圆A,B 两点,则弦|AB|=( )A.2B.8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是( )A.1B.2C.3D.49.点A,B,C,D 均在同一球面上,且AB,AC,AD 两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

10.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像是( )11.已知12,F F 分别是椭圆的左,右焦点,现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线,则椭圆的离心率为( )1B.2-212.定义在(0,)2π上的函数()f x ,()'f x 是它的导函数,且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立.则( )()()63f ππ< B.)1(1cos 2)6(3f f ⋅>⋅π()2()64f ππ>()()43f ππ>第II 卷二.填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知向量错误！未找到引用源。

广西桂林十八中2012届高三上学期第三次月考试题（数学理）注意:①本试卷共2页。

考试时间120分钟，满分150分.②请分别用2B 铅笔填涂选择题的答案、黑色水性笔解答第Ⅱ卷.必须在答题卡上答题,否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。

第I 卷（选择题 共60分)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则z z i ⋅-的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．函数21log(1)2y x x =<<的反函数是（ ）A ．21log (1)2y x x =-<< B ．2x y = C ．2(10)x y x =-<< D ．2(01)x y x =<< 3．在ABC ∆中，已知12cot 5A =-,则sin A =（ ) A ．1213-B ．1213C ．513- D ．5134．nS 是等差数列{}n a 前n 项和,已知253,9aa ==，则7S =（ )A ．49B ．64C ．81D ．905．设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，则34x y +的最大值是(）A ．12B ．13C ．14D ． 156．在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，1AA =，则A 到1A BD 的距离为（ ）A ．7B C ．3D ．37．某同学有同样的画册3本，同样的集邮册3本，从中取出3本赠送给3位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．84种 B ．14种 C ．8种 D ．4种8．曲线tan y x =在点(,1)4π处的切线的倾斜角为( ）A ．arctan 2B ．1arctan 2C ．3π D ．4π9．若R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当10x -≤≤时，()2(1)f x x x =-，则9()2f =（ ） A ．12 B ．12- C ．32D ． 32- 10．已知33b a ==,cos ,0a b <>=,若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则max c =（ ）AB ．2 A ．1 D11．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，直线21y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=（ )A ．35B ．45-C ．35-D ．12-12．已知球的半径为２，相互成060角的两个平面分别截球面得两个大小相等的圆，若两个圆的的公共弦长为２,则两圆的圆心距等于( )A ．1 B ．C ．32D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二。

桂林十八中05级高三第五次月考试卷理科数学命题：易斌 审题：李娟注意事项： 1.本卷共150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号，考试科目涂写在答题卡上．3.客观题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上．4.主观题用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区作答，在试卷上作答无效．5.考试结束后，交答题卡．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1．已知集合{}2,1,0=M ，{}M a a x x N ∈==,2，则集合=N M A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．复数z 满足i 2i z =-，则z =A ．12i --B ．12i -C ．12i +D ．12i -+ 3．函数ln(1)(2)y x x =->的反函数是A ．)0(1>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x ∈+=D ．)(1R x e y x ∈-=4．函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ= C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=5．设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若11592,18,a a a a =++=则lim(1)nn S n n →∞=+A ．12B ．1C ．32D ．146．设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是 Ａ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c Ｂ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α Ｃ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β D ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β7．已知实数3,240x x y z x y x y m ≤⎧=+⎨++≥⎩满足，且取得的最小值为6-，则常数m 为A ．-2B ．0C ．2D ．58．设P 是以21,F F 为焦点的椭圆1422=+y x 上的点，若21PF F ∆12PF PF ⋅=A ．-2B ． 2C ．21D 9．在ABC ∆中，若3sin 5A =，5cos 13B =，则C cos 为 A ．5665或1665 B ．1665 C ．5665-或1665-D ．1665-10．五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有A ． 60种B ． 48种C ．36种D ． 24种11．若点(3,1)p -在双曲线22221(0,0)y x ab a b =>>-的左准线上，过点p 且方向向量为(2,5)a =的光线，经直线2y =-反射后通过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．4312．棱长为a 的正方体可以截出一个体积最大的正四面体，则该正四面体的棱切球体积为A ．36a π B ．343a π C ． D ．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应区域）13．设随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(2)P ξ>= ． 14. 函数2sin y x x =-在0x =处的切线方程为 ．15．若2*1()()n x n N x+∈的展开式中第5项为常数项，则n =____________________． 16．点O 为正△ABC 内满足20OA OB OC ++=的点，则点O 到,,AB BC CA 的距离比为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知13tan(),sin ,(,)252ππαββπ-==∈． 求cos β和tan(2)αβ-的值．18．（本小题满分12分）某通讯商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元可获奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得到2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买了一台价格600元的小灵通，这样小李可以得到3张奖券，小李抽奖后实际支出为ξ（元）． （I ）求ξ的分布列；（II ）说明小李出资50元增加一张奖券是否划算．19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，1,1A C AB ==． （I ）求证：1AC //平面1AB D ； （II ）求二面角1B AB D --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数21()ln (4)(1,)2f x x x a x =++-+∞在上是增函数． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）设2()||,[0,ln 3]2xa g x e a x =-+∈，求函数)(x g 的最小值（用a 表示）．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12(2,).n n a a n n n Z -=+≥∈（I ）求证：数列{}n a 不可能为等比数列； （II ）设(1)(2),n n n n b a n S =-++为数列{}n b 的前n 项和，且对于任意的*n N ∈，10,n ≤都有99,n S <求1a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知抛物线2:4,C yx O =为坐标原点．（I ）过点(4,0)Q 的直线交C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值；（II ）过C 上的点(,2)M m 作动弦ME 、MF ，交C 于E 、F 两点，且,ME MF ⊥问直线EF 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．桂林市十八中05级高三第五次月考理科数学参考答案一、选择题：17．解：34sin ,(,)cos ,525πββπβ=∈∴==-………………… 3分3tan 4β=- …………………………………………… 4分11tan(),tan 22παα-=∴=-，22tan 4tan 21tan 3ααα==--……………… 7分43()tan 2tan 734tan(2)431tan 2tan 241()()34αβαβαβ-----===-+⋅+-⋅-……………… 10分18．（1）ξ可能取值为－550，450，1450，2450。

1 / 4111213212223313233a a a a a a a aa D 1C 1B 11DCB A桂林十八中10级高三第三次月考试卷 数 学（理 科）注意：①本试卷共4页。

考试时间120分钟，满分150分。

②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．131.1A.1 B. C.2 D.2i ii i -++复数的虚部为11(1)1(1)3311332.()3(2)A.()log 3 B.()log 03C.()log 3 D.()log 03x x x x x f x x f x x f x x f x x f x x --+-+--=≤=≤=<≤=≤=<≤函数的反函数为() () +1() +1()22113.,,A.0 B.0C. D.a b R a bb a a b b a a b∈>>>>><>若则成立的一个充分不必要条件为()4.2||23A. B. C. D.6434a b a b a a b ππππ==-⊥=已知，，，则，{}81195.,26,A.54 B.45 C.36 D.27n n a n S a a S =+=设等差数列的前项和为若则()6.ln 21230A. 1 B. 3 C. 5 D.2y x x y =--+=曲线上的点到直线的最小距离是27.()46,(2A.6 B.7 C.8 D.9nf x x x n x x=-++已知的最小值为则展开式的常数项是第项 第项 第项 第项8.()(1)(1),(,1)(1)()01(0)(3)2A. B. C. D.f x f x f x x x f x a f b f c f a b c c b a c a b b c a'-=+∈-∞-<⎛⎫=== ⎪⎝⎭<<<<<<<<在定义域内可导，若且当时，有，设，，，则1212129.sin 32sin ,42A.B. C. D.2333y x x y x A A A A A A ππππ=+=-为得到的图象，可将向左平移个单位长度或向右平移个单位长度，均为正数，则的最小值为91,2,3;1,2,3,11334.141477ij a ij A 10.如图，三行三列的方阵中有个数从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是B. C. D.22222:2(0):1(0,0)5.325x y y px p A abab AF x 1211.设F 是抛物线C 的焦点，点是抛物线与双曲线C 的一条渐近线的一个公共点，且轴,则双曲线的离心率为B. C.D.12.4,4,,.3233363O M N AB M N AB OMONa MN A 已知球的半径为圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，则两圆的圆心距的最大值为B.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．()13.521x x >-不等式的解集是414.(,0),cos(),tan 2=25παπαα∈--=-已知则()()()()37015.32M ,,11x y y f x f x a b N x y x y z ax by +-≤⎧⎪=+-≥⎨⎪≥⎩=-若函数是奇函数且关于点对称,点满足，则的最大值为1111111116.ABCD A B C D B ABC AD ACC A --在平行六面体中，三棱锥为正四面体，则直线与平面所成角的正弦值为三．解答题：本大题共6小题；17题10分，18至22题每题12分，共70分.2317.10,cos()cos .2ABC A B C a b c A C B b ac B ∆-+==（分）的内角、、的对边分别为、、已知，，求2 / 4CBEDAP18.1211,42ξξ（分）据相关调查数据统计，2012年某大城市私家车平均每天增加400辆，除此之外，公交车等公共车辆也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重.现有A,B,C 三辆车从同一地点同时出发，1开往甲、乙、丙三地，已知A,B,C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率为，，4且每辆车是否被堵互不影响.(1)求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；（2）用表示这三辆车被堵的车辆数，求的分布列及数.E ξ学期望{}{}{}11119.12,1,4 2.(1)2,.n n n n n n n n n a n S a S a b a a b a ++==+=-（分）设数列的前项为已知设证明数列成等比数列；(2)求数列的通项公式020.126022,4,45.(1)(2).P ABCD ABCD DAB AB E PC DE PC DE PAC PA ABCD E PD B -∠====⊥--（分）如图所示，四棱锥的底面为菱形，且，，为的中点， 直线与平面所成角为求证：平面；求二面角的平面角的大小()()()()222222112.C:10F A B M .MF FB 2 1.12,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由()()()()()()()222222.12110,111122ln 2.23nn k k f x x x axf x a n n N n k k ===+-+-<<∈≥∑∑分已知若在上递增，求的取值范围；证明：，且桂林十八中10级高三第三次月考试卷数 学（理 科）答案 一、选择题（60分） 二．填空题（20分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDABACDCBBDB3 / 4[)24613.1,314. 15.1016.7 -三．解答题()()3cos()cos 23cos()cos (223)cos()cos() (32)3sin sin 1 (4)A CB AC A C A C A C A C π-+=-+-+=⎡⎤⎣⎦∴--+=∴=17(10分）解：由得：分，分()()())222..............................................5sin B=sin sin 2.........................................73312sin sin B=...............................8B 0...........2b ac A C b ac π=-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭分由得分由得舍去分由得，，.....................................................9B= (103)π∴分分()18.123111311117 (444244244232)(2)0,1,2,3................................................................5P A ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）解：(1)设“这三辆车恰有两辆车被堵”的事件为A ，则分据的可能取值为()3319(0),44232131********(1),442442442327(2),321111(3), (944232)P P P p A P ξξξξξ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯======⨯⨯=分分故的分布列为：ξ0 1 2 3P932 1532 732 132………….10分915710123132323232E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=故的数学期望为 ............12分 112121211119.12(1)12425,2 3. (142)2...................................................42n n nn a n a a a a b a a S a n S a +-==+=+⇒=∴=-==+⎧≥⎨=+⎩（分）解：由，当时，分当时，{}11111244.........................................422(2).................................................5223............................6n n n n n n n n n n a a a a a a a b b b +-+--=-⇒-=-∴=分两式相减得，分分是以公比为，首项为的等比数列.分(2)由（111111+112=32232 (83)2, (10224)31=242213=+1)224n n n n n n n n n n n n n nn n b a a a a a a a a a n --++++=-⋅⇒=+⋅=+⎧⎫⎨⎬⎩⎭∴-1）可得分两边同除以得分知是以公差为，首项为的等差数列，（122232(1)(31)2.................................................12n n n n a n n ---∴=+⋅-=-分002(1),sin sin 45 1 (22)602,1,,AC BD O OE D PAC h DE PAC h h DE DAB AB DO DO PAC DO OE OE DE θ====∠===⊥⊥=20（12分）解：连接相交于点，连，设到面的距离为，则与面所成角的正弦值分又底面ABCD 为棱形且，则从而面，故且22221 (41)3,............................52//......................................DO CO AC OE OC CE OC OE OCDO OOE ABCD OE PAPA ABCD -===+=⇒⊥=∴⊥∴⊥分又据知分面又面...................................................6分4 / 4z yxOEDPCBA11111(2)(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)(0,1,0),3,0,2),(0,0,1).............7(,,)0(3,1,2)00(OA x O A B C D P E n x y z PDE n PD n n PE n --=⎧•=•---=⎪⇒⎨•=•-⎪⎩以为轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，易得，分设为面的一个法向量,则1211320303,0,1)033, 3.(3,3,3)..............................................................................9(,,)0x y z x z x z y n n x y z PBD n PD n PB ⎧⎧++=⎪⎪⇒⎨⎨+=-=⎪⎪⎩⎩==-==-=•=•令，则从而得分设为面的一个法向量,则则112112(3,1,2)0320200(0,2,0)0233,0(23,0,3)..................................................................10 n ,cos n x y z y n x z y n n n θθ⎧⎧⎧•---=++=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎪=•-=⎪⎪⎩⎩⎩==-==-•=令，则从而得分设的夹角为，则212n 5 (117)5arccos (127)n n E PD B E PD B =--∴--分又二面角的平面角为锐角，二面角的大小为分()(()()()()()2222222222,0,0,00,,,,0,221,2,221,1,2,1, 1 (42)F c c a b A a B a M b MF c b FB a c MF FB ac c c e a c c c a c a b x C y =--∴=-=-∴⋅=-===∴=-=∴===∴+=21.(12分)解：(1)依题意，,,,,又椭圆的方程为分(()()112211,,MF l l k FM l k PQ y x m P x y Q x y =-==+2)假设存在直线满足条件，因为，且直线与直线垂直，所以，设直线的方程为，设,()2222222,4220,121612220, 3..............................5y x m y x mx m x y PQ m m m =+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩∴∆=--><由消去得3由于直线与椭圆有两个不同交点即分1221243 (622)3m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由根与系数的关系得分()()()()()22221212121211222112122242.3330..........................71,,,1,................m m m y y x m x m x x m x x m m F MPQ PF MQ PF MQ PF x y MQ x y PF MQ x y x x y y --=++=+++=-+=∆∴∴⋅==--=-⋅=+--由于又为的垂心，直线与直线垂直，分又又()()()22221121222......................842224 (933333)11343410.3341 (103)13,.......m m m m x x m x x y y m m m m m m m m m m --=++--=-+--=--+=-+-=-+-=∴=-==<分分或分经检验:当,均满足.......................11103340.........................12l x y x y ∴-+=--=分存在满足条件的直线的方程为：或分()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2min 2111+2210,1,0311202111120,120110,10,1015162110,10,10ln 1f x f x x a x x f x x a a x x x g x x g x x x g x g x g a a f x f x f x x x '-∞=-++'∈≥-+≥≤+++'=+=->++∴∴==∴≤=∴>⇒+>-22（12分）解：的定义域为，，分由已知得对任意有分即，即令，则在上，在上递增在上分分由得：当时，在上递增在上,()222271111112,ln(1)ln8113411ln ln ln ln 9232nk n n x n n n n n n n n n kk n =+-=≥+>-⇒>++⎛⎫∴-<+++= ⎪⎝⎭∑分令则分分()()222222222222111ln (102111111124221112121212132134)1112ln .............23nn k k n n n nk k k k nn k k n k kk k k k k n k n k k========+∴-<⎛⎫⎛⎫<==-=-< ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-+∴-<<∑∑∑∑∑∑∑∑分又分.......................12分。

桂林十八中2014届高三第十次月考数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．()1.2,A.1 B. 1 C. 1 D.1 i z z i z i i i i =+=-++-±+已知为虚数单位，若则{{}(](]()[]U 2.U R,A=,B 28,A C B A.,3 B.0,3 C.1,3 D.1,3x x y x ===>=-∞I 设全集集合3.(1)1()(2) A.4 B. 4 C.8 D.8y f x y x R y x f =+=∈==--已知函数与函数的图象关于直线对称，则4.3cos 23sin 24 A. B. C. D.8844y x y x πππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位()5.||2,3A. B. C. D.6434a b a b a a b ππππ==-⊥=r r r r r r r已知，，则{}23147556.S 2,2S 4A.35B.33C.31D.29n n a n a a a a a ==已知是等比数列的前项和，若且与的等差中项为，则 3707,11A.1 B.2 C.3 D.4x y x y x y x y +-≤⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最大值是()8.ln 21230y x x y =--+=曲线上的点到直线的最小距离是1259.log 2,A. B. C. D.a b c e a b c b a c a c b b c a-===<<<<<<<<设,则10.1236A.100 B.108 C.120 D.140三个学校分别有名，名，名同学获奖，这名同学安排成一排合影，要求同校的任两名同学不能相邻，则不同的排法种数有种种种种2212121211.1,2,4cos 1A.22x y F F M F MF MF F I MI θθ+=∠=∆=设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，则12.O O A,B AB O O 4A.4B. 12C.36D.3αβππππ--=l l 在锐二面角内有一个球，球与二面角的两个半平面的切点分别为，若且球心到二面角的棱的距离为2，则球的表面积为第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9313.84,a x x a x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭若的展开式中的系数是则114.sin ,tan 23ααα==已知为第二象限，且则215.:4,,3,C y x F l F C A B AF BF l k ===设抛物线的焦点为直线过且与交于两点，若则直线的斜率 11111116.ABC A B C A ABC ABC AB CA -∆已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中心，则与所成的角余弦值为三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） {}{}113553,,1,21,13,.n n n n a b a b a b a b a b ==+=+=设是等差数列是正项等比数列且求和18（本小题满分12分）注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） ()()3ABC ,,cos .43I cot cot ;II BA BC=,.2a b c B A C a c ∆=+⋅+u u u r u u u r 在中，已知成等比数列，且求 设求的值19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）() ()P AB//CD,PAB PAD2DC=4PD PB,E CD.DEI AEPBDECII CB PDCABCD-∆∆⊥⊥如图，在四棱锥中，和是两个边长为的正三角形，，点在线段上当为何值时，有面；求直线与平面所成角的正弦值.20（本小题满分12分）注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）()()2A B C A31A B C.6I A B CII4A2B C1B C2某科技公司组织技术人员分别独立地试制不同类型的新产品、、，若试制成功的概率是，试制不成功但、中至少有一种试制成功的概率是在对新产品、、各做一次实验，求至少有一种产品试制成功的概率；第一小组进行次实验，每次实验对做一次试制，第二小组进行次实验，每次实验对、各做次试制，若、中至少有一种试制成功就算第二小组一次实验成功.当两个小组实验成功次数相差次ξξ时，他们实验成功次数之和记为，写出随机变量的分布列并求出其数学期望.21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）()()()()()()()A1,0,2,0,M20,I M E1II,E C D312A B C D b.B MBA MAB MABy x bb-∠=∠∠≠=+l l如图，已知动点满足：求动点的轨迹的方程；若直线：且轨迹上存在不同的两点、关于直线对称：求实数的取值范围；是否可能有、、、四点共圆？若可能，求的范围；若不可能，请说明理由桂林十八中11级高三第十次月考试卷理科数学(必修+选修Ⅱ) 一. 选择题13.1 14.15.16.三.解答题：本大题共6小题，共70分。

结束y=log 2x输出yy=x 2-1否是x >2?输入x开始广西桂林市第十八中学 2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：120分钟 。

答卷前，考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{}{}{}{}{}{}{}1.|15,1,2,3,1,2A.3 B.1,3 C.1,2,3D ,2 .1u U x Z x A B A C B ∈≤≤==已知全集==,则2.(1)2, A.1 B.1 C. D.z i z i z i i-=--设复数满足则的虚部为222223.2 A.2 B. 2 C.2 D . =2n nnn np n N n p n N n n N n n N n n N n ∃∈>⌝∀∈>∃∈≤∀∈≤∃∈设命题：,,则为,,,,34.1.ln B. C. D.x xy x y x x y y e e x-A ==-=-=-下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是5.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为 A . 1 B. 2 C. 3 D. 4360,6.,20,230, A.7 B.4 C.1D .2x y x y x y z y x y +-≥⎧⎪--≤=-⎨⎪-≤⎩--设变量满足约束条件则目标函数的最小值为()[]()7.0,2y f x f xπ=若的导函数在区间上的图像如右图所示，则的图像可能是{}5311018.S2,2,1053S8101132A. B. C. D.9111233n nnS Sa n a⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭设是等差数列前项和，若则数列的前项和T9.sin()(0)5A. B. C. D.12636y x x x R m m ymππππ=+∈>将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值为10.A72B108 C144 D288现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位同学发出录取通知书，若这四位学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有.种.种.种.种()11.某几何体的三视图如图所示单位：cm,则该几何体的体积为.5B.6 C.7 D.15A()()()()()2212.2,2,08A. B.C. D.x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>设函数满足：则时，有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值，又有极小值既无极大值，又无极小值第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

广西桂林十八中2018届高三第五次月考数学试卷（理科）广西桂林十八中2018届高三第五次月考数学试卷（理科）广西桂林十八中2018届高三第五次月考数学试卷（理科）5 c 广西桂林十八中2018届高三第五次月考数学试卷（理科）考生注意1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容高三理科（大纲版）全部内容。

第I卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则中元素个数为A．0个B．1个c．2个D．3个2．若复数是纯虚数（i是虚数单位，是实数），则等于A．B．2c．D．3．、是两个不同的平面,、是平面及之外的两条不同的直线，给出四个命题①②③④。

你认为正确的命题是A．①②B．①③c．②④D．③④4．对任意的实数，有，则的值是A．3B．6c．9D．215．已知函数，则下列判断正确的是A．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是B．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是c．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是D．此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是6．已知函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值为A．B．1c．4D．107．已知，则的最小值为A．8B．12c．4D．58．数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立则实数的最小值为A．B．c．D．29．已知一个圆的形状如图所示，现有4种不同的植物供选择种在此园的A，B，c，D，E这五个区域内，要求有共边界的两块相邻区域种不同的植物，共有________种不同的种法A．120B．144c．168D．19210．定义在R上的函数满足，且当时，，则的值为A．B．c．D．11．已知点P是抛物线上一动点，直线过点且于抛物线在点处的切线垂直，与抛物线相交于另一点，则线段的中心到轴的最短距离是A．B．c．3D．12．的垂。

2015-2016学年广西桂林十八中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合（∁U M）∩N可以表示为（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．63．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知x∈（0，π），且sin2x=，则sin（+x）=（）A． B．﹣C．D．﹣5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种B．32种C．36种D．56种7．已知不等式组，构成平面区域Ω（其中x，y是变量），则目标函数z=3x+6y的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．68．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．179．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]10．已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞））．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，则数列{f（x n）}是（）A．等差数列，公差为e ax B．等差数列，公差为﹣e axC．等比数列，公比为e ax D．等比数列，公比为﹣e ax二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是．14．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为．15．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=2，则该球的表面积为．16．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63519．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且=λ（λ∈[0，1]）．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线Γ相交于A、B两点，C为抛物线Γ上异于A、B的一点，且AC⊥x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线l2交直线BM于点N，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．（i）线段|MN|的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求证：A，B，C，N四点共圆．21．已知f（x）=lnx﹣e x+a．（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣2时，证明f（x）在定义域内无零点．考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．2015-2016学年广西桂林十八中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合（∁U M）∩N可以表示为（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由全集U及M求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，∴∁U M={1，2}，则（∁U M）∩N={1，2}，故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=﹣6．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，把a2、a4用含有d的代数式表示，求解关于d的方程得答案．【解答】解：由a2是a1与a4的等比中项，得，即，又a1=1，∴（d+1）2=3d+1，又d≠0，解得：d=1．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．已知x∈（0，π），且sin2x=，则sin（+x）=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由已知及两角和的正弦函数公式可求sin2（+x）的值，由x∈（0，π），sin2x=2sinxcosx＞0，可得sin（+x）＞0，即可得解．【解答】解：∵sin2x=，∴sin2（+x）=[（sinx+cosx）]2=（1+sin2x）=，∵x∈（0，π），sin2x=2sinxcosx＞0，∴sinx＞0，cosx＞0，∴sin（+x）=．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，二倍角公式的综合应用，考查了计算能力，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种B．32种C．36种D．56种【考点】分类加法计数原理．【专题】排列组合．【分析】每所学校至少去一名，那就是有两名一定到同一所学校，先选择这两名同学，再排列问题得以解决．【解答】解：第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有，在把3个元素（包含一个复合元素）保送到甲、乙、丙3所学校有，根据分步计数原理不同保送方案共有=36种．故选：C．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题．7．已知不等式组，构成平面区域Ω（其中x，y是变量），则目标函数z=3x+6y的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域Ω，变形目标函数并平移直线y=x可得结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域Ω（如图阴影部分所示），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知，当直线经过点C（﹣2，0）时，直线的截距最小，z取最小值﹣6故选：C．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx=sin2ωx+•=sin（2ωx+）+的最小正周期为，故=，∴ω=2，f（x）=sin（4x+）+．将函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到g（x）=sin[4（x+φ）+]+=sin（4x+4φ+）+的图象．因为函数g（x）的一条对称轴为x=，故4•+4φ+=kπ+，解得φ=﹣，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞））．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，则数列{f（x n）}是（）A．等差数列，公差为e ax B．等差数列，公差为﹣e axC．等比数列，公比为e ax D．等比数列，公比为﹣e ax【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；【解答】解：：f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是45 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项式的通项公式即可得出x的指数幂为0，即可得出r的值，就能够求解常数项．【解答】解：由通项公式T r+1=（）r（﹣x2）10﹣r=（﹣1）10﹣r（x），令20﹣=0=0，解得r=8．∴常数项为T8=×（﹣1）2=45故答案为：45．【点评】本题考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题，准确求解即可．14．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为．【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求该点落入E中的概率，由已知中D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域，我们分别求出D的面积和E的面积，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=∫ x2dx=x3|=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则点落在区域E内的概率是=．故答案为：．【点评】本题综合考查了二次函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．15．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=2，则该球的表面积为32π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2．所求球的表面积为：4π（2）2=32π．故答案为：32π．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．16．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为 4 ．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，整理后得到5﹣λ．然后根据数列的单调性求得最值得答案．【解答】解：当n=1时，，得a1=4；当n≥2时，，两式相减得，得，∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ．记，n≥2时，．∴n≥3时，，．∴5﹣λ，即，∴整数λ的最大值为4．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；综合题．【分析】（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．（2）利用sin∠DCA=sin=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°求得sin∠CDA的值，进而利用正弦定理求得AD．【解答】解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB=．在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=．在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，∴BC===．则船的航行速度为÷=2（千米/时）．（2）在△ACD、中，∠DAC=90°﹣60°=30°，sin∠DCA=sin=sin∠ACB===，sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°=•﹣=．由正弦定理得=．∴AD===．故此时船距岛A有千米．【点评】本题组要考查正弦定理和余弦定理的灵活运用．考查考生运用数学知识解决实际问题的能力．18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…【点评】本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且=λ（λ∈[0，1]）．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为（λ，0，），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）由=λ可得点M的坐标为（λ，0，），∴=（λ，1，），=（λ，﹣，），平面AMD的法向量=（x，y，z），则令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），由题意平面PAD的法向量=（1，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．∴|cos＜，＞|==，由λ∈[0，1]），解得λ=．【点评】本题考查空间线面关系、二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，正确运用向量法是关键．20．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线Γ相交于A、B两点，C为抛物线Γ上异于A、B的一点，且AC⊥x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线l2交直线BM于点N，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．（i）线段|MN|的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求证：A，B，C，N四点共圆．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题；证明题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意焦点到准线的距离等于p；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），M（x1，y2）；从而写出直线l1的方程，与抛物线方程联立整理可得k21x2+（2bk1﹣4）x+b2=0，从而利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=；再求出N（+x1，y2）；从而可得|MN|===4为定值；（ii）写出AB的中点E（，）；从而可得AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x ﹣）；与AC的中垂线x轴的交点为：O′（，0）；从而写出△ABC的外接圆的方程为：（x﹣）2+y2=（﹣x2）2+y22；说明都在圆上即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，p=2；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），M（x1，y2）；直线l1的方程为y=k1x+b，由消元整理可得：k21x2+（2bk1﹣4）x+b2=0，所以x1+x2=，x1x2=；可得y1+y2=；y1y2=；直线l2的方程为：y+y1=k2（x﹣x1），所以可求得N（+x1，y2）；所以|MN|===4；（ii）证明：AB的中点E（，）；则AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x﹣）；与AC的中垂线x轴的交点为：O′（，0）；所以△ABC的外接圆的方程为：（x﹣）2+y2=（﹣x2）2+y22；由上可知，N（x1+4，y2）；∵x1+4﹣+x2﹣=x1+x2+4﹣2=0，∴（x1+4﹣）2+y22=（﹣x2）2+y22；所以A，B，C，N四点共圆．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的联立的化简与证明，属于难题．21．已知f（x）=lnx﹣e x+a．（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣2时，证明f（x）在定义域内无零点．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，求出a的值，再利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性（2）a≥﹣2时，e x+a≥e x﹣2，lnx﹣e x+a≤lnx﹣e x﹣2，只需证明g（x）=lnx﹣e x﹣2＜0，求出g （x）max＜0，即可得出结论．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣e x+a，∴f′（x）=﹣e x+a，∵x=1是f（x）的极值点，∴1﹣e1+a=0，∴a=﹣1，∴f′（x）=﹣e x﹣1，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）内单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）内单调递减；（2）证明：当a≥﹣2时，e x+a≥e x﹣2，lnx﹣e x+a≤lnx﹣e x﹣2，令g（x）=lnx﹣e x﹣2．∵g′（x）=﹣e x﹣2，由g′（x）=0得=e x﹣2，方程有唯一解x0∈（1，2），∴x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减，∴g（x）max=lnx0﹣e x0﹣2=﹣x0+2﹣∵x0∈（1，2），∴x0+＞2，∴g（x）max＜0综上，当a≥﹣2时，f（x）＜0，∴f（x）在定义域内无零点．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．【考点】与圆有关的比例线段；平行线分线段成比例定理．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（Ⅱ）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（Ⅰ）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圆O的半径为2，∴AD•OC=AB•OD=8．【点评】根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．【考点】绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开运用基本不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，解得k=1；（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，++=1（a，b，c＞0），则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．则有．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．。

广西桂林十八中2010届高三上学期第一次月考数学（文科）注意：①本试卷共4页。

考试时间120分钟，满分150分。

②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．Ww w.ks5 u.co m1.已知集合{}{}2215,230A x xB x x x=-≤=--<，则()RA CB =A.[]2,1--B.()1,3-C.[]{}2,13--D.(){}1,32--2.函数()01>=+xey x的反函数是Ww w.ks5 u.co mA．()0ln1>+=xxy B．()0ln1>+-=xxyC．()exxy>+=ln1 D．()exxy>+-=ln13.函数()xxy2ln2-=的单调增区间是Ww w.ks5 u.co mA. (,1)-∞ B. (,0)-∞ C. (1,)+∞ D. (2,)+∞4.函数()3233f x x x=--在区间[]0,3上的值域是Ww w.ks5 u.co mA. []7,3--B.{}3-C.[]5,3--D.[]10,3--5.已知函数()f x的定义域是{}1,2,3，从集合{}1,2,3,4,5中选出3个数构成函数()f x的值域，Ww w.ks5 u.co m若()33f≠，则这样的函数()f x共有A．24个 B．48个 C．60个 D．125个6.已知函数()2log,03,0xx xf xx>⎧=⎨≤⎩，则14f f⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ Ww w.ks5 u.co mA．19-B．19 C．9- D．97.已知直线,,m n，且⊂nm,平面α，则“α⊥”是“m⊥且n⊥”的Ww w.ks5 u.comA.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.袋中有60个，其中红色球24个，蓝色球18个，白色球12个，黄色球6个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率是A. 123461218241060C C C C C21342314134261218241060C C C C C9.ABC △的内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a 等于 AB ．2C D10.已知抛物线2365y x=的准线与双曲线2219x y b -=的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是A ．34y x =± B ．43y x =± C ．53y x =± D ．35y x=± 11.若111a b <<，则下列结论不正确的是A.log log a b b a >B.()2211log log 2a b a b ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭C.log log 2a b b a +> D.log log log log a b a b b a b a+>+12.设()32f x ax bx cx d=+++，()f x '为其导数，右图是()y x f x '=⋅()f x 的极大值与极小值分别为 A. ()1f 与()1f - B. ()1f -与()1f C.()2f 与()2f - D.()2f -与()2f第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项为_________. 14.函数()f x =的定义域是_________.NB15.函数()209xy x x x =>++的最大值是_________.16.已知函数()()633,7,7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足：()()na f n n N *=∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是_________.三.解答题：本大题共6小题；17题10分，17至22题每题12分，共70分. 17.已知函数()22cos cos sin f x x x x x=+-.（1）求()f x 的周期；（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=,PA ABCD ⊥底面, 2PA =,M 为PA 的中点，N 为（Ⅰ）证明：直线MN PCD 平面‖； （Ⅱ）求二面角A PD C --的大小.19.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.第2页（共4页）假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ， 求()3=ξp .20.数列{}n a 中，()111,1n n n a a a n N a *+==∈+.（1）求通项na ；（2）令2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2. (1)求椭圆方程；（2）若椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆交于P 、Q 两点．是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22.已知()322f x ax bx x =++在1x =-处取得极值，且在点()()1,1f 处的切线斜率为2.（1）求()f x 的单调增区间；第3页（共4页）（2）若关于x 的方程()3220f x x x x m +--+=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围。

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第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．W ww.ks 5u.c om1.已知集合{}{}2215,230A x xB x x x=-≤=--<，则()RA C B=A.[]2,1--B.()1,3-C.[]{}2,13--D.(){}1,32--2.函数()01>=+xey x的反函数是W ww.ks 5u.c omA．()0ln1>+=xxy B．()0ln1>+-=xxyC．()exxy>+=ln1 D．()exxy>+-=ln13.函数()xxy2ln2-=的单调增区间是W ww.ks 5u.c omA. (,1)-∞ B. (,0)-∞ C. (1,)+∞ D. (2,)+∞4.函数()3233f x x x=--在区间[]0,3上的值域是W ww.ks 5u.c omA. []7,3--B.{}3-C.[]5,3--D.[]10,3--5.已知函数()f x的定义域是{}1,2,3，从集合{}1,2,3,4,5中选出3个数构成函数()f x的值域，W ww.ks 5u.c om若()33f≠，则这样的函数()f x共有A．24个 B．48个 C．60个 D．125个6.已知直线,,m n，且⊂nm,平面α，则“α⊥”是“m⊥且n⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设随机变量服从正态分布()1,0N，记()()xPx<=ξϕ，则下列结论正确的是A．()00=ϕB．()210=ϕC．()()xxϕϕ=-D．()()xxϕϕ-=-8.设函数)()0(1)6sin()(xfxxf'>-+=的导数ωπω的最大值为3，则()f x的图象的一条对称轴的方程是W ww.ks 5u.c omA ．9π=x B ．6π=x C ．x 9.若111a b <<，则下列结论不正确的是W ww.ks 5u.c omA.log log a b b a >B.()2211log log 2a b a b ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭C.log log 2a b b a +> D.log log log log a b a b b a b a +>+10.已知抛物线2365y x =的准线与双曲线()22109x y b b -=>的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是W ww.ks 5u.c omA ．34y x =± B ．43y x =± C ．53y x =± D ．35y x=± 11.已知定义域为R 的函数()f x 满足)4()(+-=-x f x f ，当x ＞2时，()f x 单调递增．如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 A ．可能为0 B ．恒大于0 C ．恒小于0 D ．可正可负12.设()32f x ax bx cx d=+++，()f x '为其导数，右图是y x f '=⋅()f x 的极大值与极小值分别为W ww.ks 5u.c om A. ()1f 与()1f - B. ()1f -与()1f C.()2f 与()2f - D.()2f -与()2f第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，常数项为_________ . 14.函数()f x =_________ .B15.复数21ii -+的实部与虚部之和为_________ .16.已知()x f 是定义域为R 的函数，给出下列命题：①若()01='f ，则1=x 是()x f 的极值点；②若13a <<，则函数()()633,7,7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩是单调函数；③若()x f 为奇函数，又()1+x f 为偶函数，则()()()()()()13192420f f f f f f +++=+++；④若()()*1N n x x f n ∈=+，且()x f 在1=x 处的切线与x 轴交于点(),0nx , 则1299lg lg lg 2x x x ++=-其中正确命题的序号是_________ (写出所有正确命题的序号).三、解答题：本大题共6小题；17题10分，17至22题每题12分，共70分. 17.已知函数()22cos cos sin f x x x x x=+-.（1）求()f x 的周期；（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD ABC π∠=PA ABCD ⊥底面, 2PA =,M 为PA 的中点，N 为（Ⅰ）证明：直线MN PCD 平面‖； （Ⅱ）求二面角A PD C --的大小.19.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加第2页（共4页）这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ， 求ξ的数学期望ξE .已知数列{}n a 满足111,n a a +==求通项n a ；（2）设13lim 2n n n a A a →+∞+=，证明：对任意2m ≥，且m N *∈，都有11mA m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭.21.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2. (1)求椭圆方程；（2）若椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆交于P 、Q 两点．是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22.已知()2ln f x a x bx =-图像上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++.（1）求()f x 的单调增区间；（2）令()()()g x f x k x k R =-∈，如果()g x 图像与x 轴交于()()()1212,0,,0A x B x x x <两点，AB的中点为(),0G x，问()g x在0x x=处是否取得极值.数学答案一、选择题CDDAB AAADB CD 二、填空题13.1514. {}12x x x <≤-<≤ 15. 1- 16. ③，④三、解答题 17.解：（1）()cos22f x x x=2分sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2分T π∴=1分（2）,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1分()max 2f x =2分 ()min 1f x =-2分18.解：（1）取PD 的中点E ,1分则1//2ME AD ,又1//2NC AD , //ME NC ∴,∴四边形MNCE 是平行四边形，2分MN PCD∴平面‖1分（2）作AF AD ⊥交BC 于F , 分别以,,AF AD AP 为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系1分则()()()0000,,,01,A C D ⎫⎪⎪⎝⎭，，，P ，20，()()()2200,,01,,,,01,22A AD PC PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭P=，2，0=，1-2，-2，设PAD 平面的一个法向量为(),m z =x,y由00A m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩P ，1分得200z y =⎧⎨=⎩，(),0m ∴=1,01分同理求得PCD 平面的一个法向量为(),1n =2,22分cos ,m n m n m n⋅∴⋅=1分23=1分∴二面角A PD C --的大小为2cos3arc1分19.解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A ，“科目A 补考合格”为事件A2； “科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B.1分(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立， 则1111()()()P A B P A P B =⨯.2分211323=⨯=1分答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(2)由已知得，ξ＝2，3，41分1112(2)()()P P A B P A A ξ==⋅+⋅1分2111114.3233399=⨯+⨯=+=1分112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2112111211114,3223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=1分12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=1分故441234999E ξ=⨯+⨯+⨯1分83=1分答：该考生参加考试次数的数学期望为83.1分20.解：（1）1111221nn n nn n na a a a a ++=⇒-=+1分12121321111121112122221112n n n nn n n a a a a a a a a --⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪-=⇒=++++=-⎨⎪⎪⎪⎪⎪-=⎪⎩2分()1*21n n a n N ∴=∈-1分（2）()()1113232132limlim lim 312221212n n nn n n n n n a A a +→+∞→+∞→+∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭2分11mm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项()()111111!!k r nk k m m m k T C m k m k +⋅-⋅⋅-+==⋅≤2分111111110!1!2!3!4!!mm m ⎛⎫∴+≤++++++⎪⎝⎭()1111112132431m m ≤++++++⨯⨯⨯⨯-()1111111111223341m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113m ⎛⎫=++-< ⎪⎝⎭∴对任意2m ≥，且m N *∈，都有11mA m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭4分21.解：（1）椭圆方程是2212x y +=4分（2）由已知条件，直线l:y kx =22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭①2分由已知得2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．1分设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k +=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =，，, 所以OP OQ +与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =,4分又2k <或2k >，故没有符合题意的常数k ．1分22.解：(1)()2af x bx x'=-1分(2)4,(2)ln 24.2af b f a b '=-=-,342-=-∴b a且,22ln 2642ln ++-=-b a解得：.1,2==b a1分由2()200f x x x x ⎧'=->⎪⎨⎪>⎩解得01x <<()f x ∴的单调增区间是()0,12分22(2)()2ln ,()2.g x x x kx g x x k x'=--=--1分假设结论()g x 在0x x =处取极值，则0)(0='x g 成立，则有()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=--40223220ln 210ln 200021********k x x x x x kx x x kx x x()(),21-得,0)()(ln 221222121=----x x k x x x x⋅--=∴021212ln 2x x x x x k由()4得⋅-=0022x x k,1ln 02121x x x x x =-∴ 即,2ln 212121x x x x x x +=- 即()5122ln 212121⋅+-=x x x x x x令),10(122ln )(,21<<+--==t t t t t u x x t)1()1()(22>+-='t t t t u ，)(t u ∴在)1,0(上是增函数，,0)1()(=<∴utu122ln<+--∴ttt，()5∴式不成立，与假设矛盾，6分故()g x在0x x=处不是极值点。

广西桂林市十八中2010届高三第七次月考（10－02－3） 数 学（理 科）注意：①本试卷共4页。

考试时间120分钟，满分150分。

②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分． 1．抛物线2y x =的准线方程是 A. 410x +=B. 410y +=C. 210x +=D. 210y +=2．222lim4x x x →-+=-A. 12B. 14C. 14-D. 03.在复平面内，复数sin 3icos3z =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在ABC ∆中，sin sin A B =“” 是A B =“”的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且17812215a a a a +++=，则13S = A. 39B. 52C. 78D. 1046．已知a b R ∈，，若2a b +=，则 A. 12ab ≤B ．1ab ≥-C ．222a b +≥D ．223a b +≤ 7.在空间中，设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给定下列条件： ①m αββ⊥⊂且；②//m αββ⊥且；③//m αββ⊥且；④//m n n α⊥且. 其中可以判定m α⊥的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8．若实数,x y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则252x y z x ++=+的最大值为A . 2B.83 C. 3 D. 1039．受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在5个候选城市中建4个直销店，且在同一个城市建直销店的个数不超过2个，则该企业建直销店的方案种数为 A ．45 B ．55 C ．85 D ．50010．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是 A ．直线 B. 椭圆 C ．双曲线 D. 抛物线11．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，对任意()0x ∈+∞，，都有()0f x >，且()()ln x f x f x x '>⋅，则()2f 与()ln 2f e ⋅的大小关系是A ．()()2ln 2f f e >⋅B ．()()2ln 2f f e =⋅C ．()()2ln 2f f e <⋅D ．不能确定12. 设12F F ，分别为双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是A. (]13，B. [)3+∞，C. (D. )+∞第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分． 13．已知1cos 23x =，则tan x = . 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则20102010S a = .15．曲线321y x x =-+在0x =处的切线与直线210mx y m -+-=的交点位于第一象限，则实数m 的取值范围是 .16．已知球O 的表面积为8π，A B C ，，是球面上的三点，点M 是AB 的中点，2AB =，1BC =，3ABC π∠=，则二面角M OC B --的大小为 .三．解答题：本大题共6小题；17题10分，17至22题每题12分，共70分. 17.设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，已知()cos cos m B C =，，()3n b a c =-，，且//m n .(1)求cos B 的值；(2)若ABC S b ∆==a c ，的值.18.甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已知甲，乙两人审核过关的概率分别为35，12，审核过关后，甲，乙两人文化测试合格的概率分别为34，45. (1)求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；(2) 设ξ表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求ξ的数学期望.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥侧面PAD ，点E 在侧棱PC 上，且64PD AD PA ===，，(1)求证：平面ADE ⊥平面PCD ； (2)若PC 与AB 所成角为4π，二面角A BE C --的大小为23π，求BE 与平面ADE 所成角的大小.20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2113424n n n S a a =+-，*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在等比数列{}n b ，使()111222122n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对一切正整数n 都成立？并证明你的结论.21.已知离心率为2的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点)M，O 是坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点A B ，为椭圆C 上相异两点，且OA OB ⊥，判定直线AB 与圆228:3O x y +=的位置关系， 并证明你的结论.22.已知函数()()[)20111x ax x e x f x ax a x x -+⎧⋅∈⎪=⎨+-∈+∞⎪⎩，，，，. (1)若()f x 在()0+∞，上是增函数，求实数a 的范围；(2)设 ()()()2ln g x f x x ax =+-，求证：()221132!2n nk n e n n g n n N n k =⎛⎫ ⎪-<<-≥∈ ⎪ ⎪⎝⎭∑且.参考答案一、选择题1．抛物线2y x =的准线方程是B A. 410x +=B. 410y +=C. 210x +=D. 210y +=2．222lim4x x x →-+=- CA. 12B. 14C. 14-D. 03.在复平面内，复数sin 3icos3z =+对应的点位于DA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在ABC ∆中，sin sin A B =“” 是A B =“”的CA. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且17812215a a a a +++=，则13S =A A. 39B. 52C. 78D. 1046．已知a b R ∈，，若2a b +=，则C A. 12ab ≤B ．1ab ≥-C ．222a b +≥D ．223a b +≤ 7.在空间中，设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给定下列条件： ①m αββ⊥⊂且；②//m αββ⊥且；③//m αββ⊥且；④//m n n α⊥且. 其中可以判定m α⊥的有AA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8．若实数,x y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则252x y z x ++=+的最大值为CA . 2B.83 C. 3 D. 1039．受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在5个候选城市中建4个直销店，且在同一个城市建直销店的个数不超过2个，则该企业建直销店的方案种数为B A ．45 B ．55 C ．85 D ．50010．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是C A ．直线 B. 椭圆 C ．双曲线 D. 抛物线11．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，对任意()0x ∈+∞，，都有()0f x >，且()()ln x f x f x x '>⋅，则()2f 与()ln 2f e ⋅的大小关系是AA ．()()2ln 2f f e >⋅B ．()()2ln 2f f e =⋅C ．()()2ln 2f f e <⋅D ．不能确定12. 设12F F ，分别为双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点， 若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是AA. (]13，B. [)3+∞，C. (D. )+∞二．填空题 13．已知1cos 23x =，则tan x =. 2± 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则20102010S a = . 0 15．曲线321y x x =-+在0x =处的切线与直线210mx y m -+-=的交点位于第一象限，则实数m 的取值范围是 . 2,15⎛⎫⎪⎝⎭16．已知球O 的表面积为8π，A B C ，，是球面上的三点，点M 是AB 的中点，2AB =，1BC =，3ABC π∠=，则二面角M OC B --的大小为. arctan三．解答题17.设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，已知()cos cos m B C =，，()3n b a c =-，，且//m n .(1)求cos B 的值；(2)若ABC S b ∆==a c ，的值.解：(1)//m n()3cos cos 0a c Bb C ∴-⋅-⋅=1分由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===1分()3sin sin cos sin cos 0A C B B C ∴-⋅-⋅=化简得：()3sin cos sin 0A B B C -+=，1分即3sin cos sin A B A =sin 0A >1cos 3B ∴=2分(2)1cos 3B =sin B ∴=1分 1sin 2ABCS ac B ∆==1分6ac ∴=①2222cos 8b ac ac B =+-=1分2212a c ∴+=②由①,②解得：a c ==2分18.甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已知甲，乙两人审核过关的概率分别为35，12，审核过关后，甲，乙两人文化测试合格的概率分别为34，45. (1)求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；(2) 设ξ表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求ξ的数学期望. 解：(1)设A =“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则()314111525p A ⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭4分(2) 0,1,2ξ=1分()3314330115425100p ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭1分()33141825425100p ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭1分()()()()491102100p p p ξξξ==-=+==1分的分布列为()()()851700112210020E p p p ξξξξ∴=⨯=+⨯=+⨯===3分答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为45； (2) ξ的数学期望为1720.1分19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥侧面PAD ，点E 在侧棱PC 上，且64PD AD PA ===，，(1)求证：平面ADE ⊥平面PCD ； (2) 若PC 与AB 所成角为4π，二面角A BE C --的大小为23π，求BE 与平面ADE 所成角的大小. 解：(1),CD PAD AD PAD ⊥⊂平面平面CD AD∴⊥1分22252AD PD PA +==,PD AD∴⊥1分,PD CD D PD CD PCD =⊂又,平面AD PCD∴⊥平面1分AD ADE ADE PCD⊂∴⊥又平面，平面平面1分(2)CD PAD ⊥平面CD PD ∴⊥PD AD ⊥又PD ABCD∴⊥平面1分分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示1分//AB CD ,PC ∴与CD 所成角为4π，6CD ∴=1分则()()()()()4,0,0,4,6,0,0,6,0,0,0,0,0,0,6A B C D P 设()0CE EP λλ=>,则660,,11E λλλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 664,,11AE λλλ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭,664,,11BE λλλλ-⎛⎫=- ⎪++⎝⎭设ABE 平面、CBE 平面的一个法向量分别为()()111,,,,m x y z n x y z ==、，则 由00m AE m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1分即664011664011x y z x y z λλλλλλλ⎧--+=⎪⎪++⎨⎪-++=⎪++⎩，解得()213,0,m λλ+⎛⎫= ⎪⎝⎭同理：由0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()0,1,1n =由题意：21cos ,cos32m n π==，1分而()21cos ,m n m n m nλ+⋅==⋅12=，化简并整理得：()()2520λλ-+=， 0,2λλ>∴=1分()()()()0,2,4,0,2,4,4,2,4,4,4,4E DE AE BE ∴==-=--设ADE 平面的一个法向量分别为()000,,k x y z =，则由00k AE k DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000042404440x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩，解得()1,0,1k =-cos ,3BE k BE k BE k⋅==-⋅1分∴BE 与平面ADE 所成角的大小为arcsin31分20.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2113424n n n S a a =+-，*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在等比数列{}n b ，使()111222122n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对一切正整数都成立？并证明你的结论. 解：(1)由 2113424n n n S a a =+-得：2111113424n n n S a a +++=+-， 2211111114242n n n n n n S S a a a a +++-=+--1分 相减并整理得：()()1120n n n n a a a a +++⋅--=10n n a a ++>，120n n a a +∴--=，即12n n a a +=+{}n a ∴是等差数列1分211111130424a S a a ==+->，13a ∴=1分()21*n a n n N ∴=+∈1分(2)由111122626a b a b a b =⎧⎨+=⎩，解得：1224b b ==，2分猜想：2n n b =，使()111222122n n n a b a b a b n ++++=-⋅+成立2分下面证明猜想成立：即证()()2313252722122122n n n n +⋅+⋅+⋅+++⋅=-⋅+对一切正整数都成立令()23325272212n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅， 则()23412325272212n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅2分两式相减得：()()1112122222122n n n n T n n +++=+⋅-⋅+=-⋅+故原命题获证 .2分21.已知离心率为2的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点)M，O 是坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点A B ，为椭圆C 上相异两点，且OA OB ⊥，判定直线AB 与圆228:3O x y +=的位置关系， 并证明你的结论.解：(1)由2222222211c a a b c ab ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得：222844a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22184x y +=4分(2)设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为：y kx m =+由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124280k x kmx m +++-=1分则()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>由韦达定理得：12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩1分则()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 由OA OB ⊥得：12120x x y y ⋅+⋅=，1分即2222228801212m m k k k--+=++ 化简得：223880m k --=1分因为圆心到直线的距离d =，1分222228381318m m d m k===-++而283r =，22d r ∴=，即d r =1分此时直线AB 与圆O 相切 当直线AB 的斜率不存在时，由OA OB ⊥可以计算得A B ，的坐标为±⎝⎭或⎛ ⎝⎭ 此时直线AB的方程为3x =±满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB 与圆O 相切1分综上，直线AB 与圆O 相切1分22.已知函数()()[)20111x ax x e x f x ax a x x -+⎧⋅∈⎪=⎨+-∈+∞⎪⎩，，，，. (1)若()f x 在()0+∞，上是增函数，求实数a 的范围；(2)设 ()()()2ln g x f x x ax =+-，求证：()221132!2n nk n e nn g n n N n k =⎛⎫ ⎪-<<-≥∈ ⎪ ⎪⎝⎭∑且.()()()()()()()()()()()()()()()()()[)2222222210,122110,10,102102100,111010,111,10,1x axxaxxaxxaxx f x xe f x e xe x a x ax e f x x f x x ax g x x ax g a g a f x x f x f x x-+-+-+-+∈='=+⋅-+=-++⋅'∴∈≥-++≥=-++≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩='>=->+∞解：当， 分在上是增函数对任意，有即设则解得分①当时，在是增函数当又在，上连()[)()()()()11lim 11,01x f x f x f f x →∴+∞==∴+∞－续，在，上是增函数 又 在，是增函数分()()()()[)()[)()()()()()()2112223222210,111,0,11lim 111012,339901!1232323230,1!a x n n n n n na f x x f x a f x xf x f x e f f x a a n N n e e n nen -→->'>=->+∞∴+∞=>=∴+∞=∈≥∴<=<=<=<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴∈－②当时，在是增函数当又在，上连续， 在，上是增函数 又分在，不是增函数故的范围是，()()()()222212111110,1ln 11ln ln !!2!12!211ln 22!2111111ln ln ln ln 2123111ln 11n nn nk nk n k nnn k k k x g x xe e n g n n n n e nn g n k n n n n n k n n n nn kk k k ======∈=⎛⎫ ⎪∴==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪∴-<<-⎪ ⎪⎝⎭⇔-<+<-+⇔-<++++<-⎛⎫⇔-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑当时，分分猜想：()()()()()()()221011ln 111ln 1,ln 1,111010011011ln 2x x x xh x x R x x x xx x h x x x xh x h x h x x<<-<<-=-+=-+-'<<=-=<∴∴>=∴-<当时，有分令则当时，在，上递减分()()()()()()11111100110ln 12111ln 1111ln 11n nn k k k x R x x xR x R x R x x k k kk k k ===-'=-=>∴∴<=∴<-∴∴-<<-⎛⎫∴-<<- ⎪⎝⎭∴∑∑∑在，上递增分猜想成立原不等式成立分。

2015-2016学年广西桂林十八中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合（∁U M）∩N可以表示为（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．63．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知x∈（0，π），且sin2x=，则sin（+x）=（）A． B．﹣C．D．﹣5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种B．32种C．36种D．56种7．已知不等式组，构成平面区域Ω（其中x，y是变量），则目标函数z=3x+6y的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．68．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．179．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]10．已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x12．已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞））．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，则数列{f（x n）}是（）A．等差数列，公差为e ax B．等差数列，公差为﹣e axC．等比数列，公比为e ax D．等比数列，公比为﹣e ax二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是．14．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为．15．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=2，则该球的表面积为．16．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63519．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且=λ（λ∈[0，1]）．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线Γ相交于A、B两点，C为抛物线Γ上异于A、B的一点，且AC⊥x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线l2交直线BM于点N，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．（i）线段|MN|的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求证：A，B，C，N四点共圆．21．已知f（x）=lnx﹣e x+a．（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣2时，证明f（x）在定义域内无零点．考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．2015-2016学年广西桂林十八中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合（∁U M）∩N可以表示为（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由全集U及M求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，∴∁U M={1，2}，则（∁U M）∩N={1，2}，故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=﹣6．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d≠0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，把a2、a4用含有d的代数式表示，求解关于d的方程得答案．【解答】解：由a2是a1与a4的等比中项，得，即，又a1=1，∴（d+1）2=3d+1，又d≠0，解得：d=1．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．已知x∈（0，π），且sin2x=，则sin（+x）=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由已知及两角和的正弦函数公式可求sin2（+x）的值，由x∈（0，π），sin2x=2sinxcosx＞0，可得sin（+x）＞0，即可得解．【解答】解：∵sin2x=，∴sin2（+x）=[（sinx+cosx）]2=（1+sin2x）=，∵x∈（0，π），sin2x=2sinxcosx＞0，∴sinx＞0，cosx＞0，∴sin（+x）=．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，二倍角公式的综合应用，考查了计算能力，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．6．有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有（）A．26种B．32种C．36种D．56种【考点】分类加法计数原理．【专题】排列组合．【分析】每所学校至少去一名，那就是有两名一定到同一所学校，先选择这两名同学，再排列问题得以解决．【解答】解：第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有，在把3个元素（包含一个复合元素）保送到甲、乙、丙3所学校有，根据分步计数原理不同保送方案共有=36种．故选：C．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题．7．已知不等式组，构成平面区域Ω（其中x，y是变量），则目标函数z=3x+6y的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域Ω，变形目标函数并平移直线y=x可得结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域Ω（如图阴影部分所示），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知，当直线经过点C（﹣2，0）时，直线的截距最小，z取最小值﹣6故选：C．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx=sin2ωx+•=sin（2ωx+）+的最小正周期为，故=，∴ω=2，f（x）=sin（4x+）+．将函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到g（x）=sin[4（x+φ）+]+=sin（4x+4φ+）+的图象．因为函数g（x）的一条对称轴为x=，故4•+4φ+=kπ+，解得φ=﹣，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞））．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点，则数列{f（x n）}是（）A．等差数列，公差为e ax B．等差数列，公差为﹣e axC．等比数列，公比为e ax D．等比数列，公比为﹣e ax【考点】利用导数研究函数的极值；等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；【解答】解：：f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是45 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项式的通项公式即可得出x的指数幂为0，即可得出r的值，就能够求解常数项．【解答】解：由通项公式T r+1=（）r（﹣x2）10﹣r=（﹣1）10﹣r（x），令20﹣=0=0，解得r=8．∴常数项为T8=×（﹣1）2=45故答案为：45．【点评】本题考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题，准确求解即可．14．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为．【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求该点落入E中的概率，由已知中D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域，我们分别求出D的面积和E的面积，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=∫ x2dx=x3|=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则点落在区域E内的概率是=．故答案为：．【点评】本题综合考查了二次函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．15．A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=4，AB=2，则该球的表面积为32π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2．所求球的表面积为：4π（2）2=32π．故答案为：32π．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．16．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为 4 ．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，整理后得到5﹣λ．然后根据数列的单调性求得最值得答案．【解答】解：当n=1时，，得a1=4；当n≥2时，，两式相减得，得，∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ．记，n≥2时，．∴n≥3时，，．∴5﹣λ，即，∴整数λ的最大值为4．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；综合题．【分析】（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．（2）利用sin∠DCA=sin=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°求得sin∠CDA的值，进而利用正弦定理求得AD．【解答】解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB=．在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=．在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，∴BC===．则船的航行速度为÷=2（千米/时）．（2）在△ACD、中，∠DAC=90°﹣60°=30°，sin∠DCA=sin=sin∠ACB===，sin∠CDA=sin（∠ACB﹣30°）=sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°=•﹣=．由正弦定理得=．∴AD===．故此时船距岛A有千米．【点评】本题组要考查正弦定理和余弦定理的灵活运用．考查考生运用数学知识解决实际问题的能力．18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…【点评】本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为棱PC上的动点，且=λ（λ∈[0，1]）．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为（λ，0，），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）由=λ可得点M的坐标为（λ，0，），∴=（λ，1，），=（λ，﹣，），平面AMD的法向量=（x，y，z），则令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），由题意平面PAD的法向量=（1，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．∴|cos＜，＞|==，由λ∈[0，1]），解得λ=．【点评】本题考查空间线面关系、二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，正确运用向量法是关键．20．已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线Γ相交于A、B两点，C为抛物线Γ上异于A、B的一点，且AC⊥x轴，过B作AC的垂线，垂足为M，过C作直线l2交直线BM于点N，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．（i）线段|MN|的长是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求证：A，B，C，N四点共圆．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题；证明题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意焦点到准线的距离等于p；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），M（x1，y2）；从而写出直线l1的方程，与抛物线方程联立整理可得k21x2+（2bk1﹣4）x+b2=0，从而利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=；再求出N（+x1，y2）；从而可得|MN|===4为定值；（ii）写出AB的中点E（，）；从而可得AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x ﹣）；与AC的中垂线x轴的交点为：O′（，0）；从而写出△ABC的外接圆的方程为：（x﹣）2+y2=（﹣x2）2+y22；说明都在圆上即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，p=2；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），M（x1，y2）；直线l1的方程为y=k1x+b，由消元整理可得：k21x2+（2bk1﹣4）x+b2=0，所以x1+x2=，x1x2=；可得y1+y2=；y1y2=；直线l2的方程为：y+y1=k2（x﹣x1），所以可求得N（+x1，y2）；所以|MN|===4；（ii）证明：AB的中点E（，）；则AB的中垂线方程为：y﹣=﹣（x﹣）；与AC的中垂线x轴的交点为：O′（，0）；所以△ABC的外接圆的方程为：（x﹣）2+y2=（﹣x2）2+y22；由上可知，N（x1+4，y2）；∵x1+4﹣+x2﹣=x1+x2+4﹣2=0，∴（x1+4﹣）2+y22=（﹣x2）2+y22；所以A，B，C，N四点共圆．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的联立的化简与证明，属于难题．21．已知f（x）=lnx﹣e x+a．（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；（2）当a≥﹣2时，证明f（x）在定义域内无零点．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，求出a的值，再利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性（2）a≥﹣2时，e x+a≥e x﹣2，lnx﹣e x+a≤lnx﹣e x﹣2，只需证明g（x）=lnx﹣e x﹣2＜0，求出g （x）max＜0，即可得出结论．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣e x+a，∴f′（x）=﹣e x+a，∵x=1是f（x）的极值点，∴1﹣e1+a=0，∴a=﹣1，∴f′（x）=﹣e x﹣1，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）内单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）内单调递减；（2）证明：当a≥﹣2时，e x+a≥e x﹣2，lnx﹣e x+a≤lnx﹣e x﹣2，令g（x）=lnx﹣e x﹣2．∵g′（x）=﹣e x﹣2，由g′（x）=0得=e x﹣2，方程有唯一解x0∈（1，2），∴x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减，∴g（x）max=lnx0﹣e x0﹣2=﹣x0+2﹣∵x0∈（1，2），∴x0+＞2，∴g（x）max＜0综上，当a≥﹣2时，f（x）＜0，∴f（x）在定义域内无零点．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．【考点】与圆有关的比例线段；平行线分线段成比例定理．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（Ⅱ）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（Ⅰ）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圆O的半径为2，∴AD•OC=AB•OD=8．【点评】根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．【考点】绝对值不等式的解法；二维形式的柯西不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开运用基本不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，解得k=1；（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，++=1（a，b，c＞0），则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．则有．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．。

广西桂林十八中2013届高三上学期第三次月考数学理试题桂林十八中10级高三第三次月考试卷数 学（理 科）注意：①本试卷共4页。

考试时间120分钟，满分150分。

②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．131.1A.1 B. C.2 D.2iii i-++复数的虚部为11(1)1(1)3311332.()3(2)A.()log 3 B.()log 03C.()log 3 D.()log 03x x x x x f x x f x x f x x f x x f x x --+-+--=≤=≤=<≤=≤=<≤函数的反函数为() () +1() +1()22113.,,A.0 B.0C. D.a b R a b b a a b b a a b∈>>>>><>若则成立的一个充分不必要条件为()4.||23A. B. C. D.6434a b a b a a b ππππ==-⊥=r r r r r r r已知，，则，{}81195.,26,A.54 B.45 C.36 D.27n n a n S a a S =+=设等差数列的前项和为若则 ()6.ln 21230y x x y =--+=曲线上的点到直线的最小距离是·3·111213212223313233a a a a a a a a a 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫27.()46,(2A.6 B.7 C.8 D.9nf x x x n x =-+++已知的最小值为则展开式的常数项是第项 第项 第项 第项8.()(1)(1),(,1)(1)()01(0)(3)2A. B. C. D.f x f x f x x x f x a f b f c f a b c c b a c a b b c a'-=+∈-∞-<⎛⎫=== ⎪⎝⎭<<<<<<<<在定义域内可导，若且当时，有，设，，，则1212129.sin 2sin ,42A.B. C. D.2333y x x y x A A A A A A ππππ==-为得到的图象，可将向左平移个单位长度或向右平移个单位长度，均为正数，则的最小值为()91,2,3;1,2,3,11334.141477ij a i j A ==10.如图，三行三列的方阵中有个数从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 B. C. D.22222:2(0):1(0,0)2x y y px p A a b a bAF x =>-=>>^1211.设F 是抛物线C 的焦点，点是抛物线与双曲线C 的一条渐近线的一个公共点，且轴,则双曲线的离心率为12.4,4,,.3O M N AB M N AB OM ON a MN A ===已知球的半径为圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，则两圆的圆心距的最大值为 B.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．·4·D 1B13.5x >+不等式414.(,0),cos(),tan 2=25παπαα∈--=-已知则()()()()37015.32M ,,11x y y f x f x a b N x y x y z ax by +-≤⎧⎪=+-≥⎨⎪≥⎩=-若函数是奇函数且关于点对称,点满足，则的最大值为1111111116.ABCD A B C D B ABC AD ACC A --在平行六面体中，三棱锥为正四面体，则直线与平面所成角的正弦值为三．解答题：本大题共6小题；17题10分，18至22题每题12分，共70分.2317.10,cos()cos .2ABC A B C a b c A C B b ac B ∆-+==（分）的内角、、的对边分别为、、已知，，求·5·18.1211,42ξξ（分）据相关调查数据统计，2012年某大城市私家车平均每天增加400辆，除此之外，公交车等公共车辆也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重.现有A,B,C 三辆车从同一地点同时出发，1开往甲、乙、丙三地，已知A,B,C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率为，，4且每辆车是否被堵互不影响.(1)求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；（2）用表示这三辆车被堵的车辆数，求的分布列及数.E ξ学期望{}{}{}11119.12,1,4 2.(1)2,.n n n n n n n n n a n S a S a b a a b a ++==+=-（分）设数列的前项为已知设证明数列成等比数列；(2)求数列的通项公式·6·CP0020.126024,45.(1)(2).P ABCD ABCD DAB AB E PC DE PC DE PAC PA ABCD E PD B -∠====⊥--（分）如图所示，四棱锥的底面为菱形，且，，为的中点， 直线与平面所成角为求证：平面；求二面角的平面角的大小·7·()()()()22222112.C:10F A B 2M .MF FB 1.12,P Q F PQM .x y a b e a b +=>>=⋅=∆u u u r u u u rl l l 分已知椭圆的离心率点为椭圆的右焦点，点、分别是椭圆的左右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足求椭圆方程；是否存在直线使得直线与椭圆交于、两点，且恰为的垂心，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由()()()()()()()222222.1210,111122ln 2.23nn k k f x x axf x a n n N n k k ===-+-<<∈≥∑∑分已知若在上递增，求的取值范围；证明：，且·8·桂林十八中10级高三第三次月考试卷数 学（理 科）答案一、选择题（60分）二．填空题（20分）[)2413.1,314. 15.1016.7 -三．解答题()()3cos()cos 23cos()cos (223)cos()cos() (32)3sin sin 1 (4)A CB AC A C A C A C A C π-+=-+-+=⎡⎤⎣⎦∴--+=∴=L 17(10分）解：由得：分，分()()())222..............................................5sin B=sin sin 2.........................................712sin sin B=...............................8B 0...........2b ac A C b ac π=⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭L 分由得分由得舍去分由得，，.....................................................9B= (103)π∴分分·9·()18.123111311117 (444244244232)(2)0,1,2,3................................................................5P A ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）解：(1)设“这三辆车恰有两辆车被堵”的事件为A ，则分据的可能取值为()3319(0),44232131********(1),442442442327(2),321111(3), (944232)P P P p A P ξξξξξ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯======⨯⨯=分分故的分布列为：………….10分915710123132323232E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=故的数学期望为 …………12分·10·112121211119.12(1)12425,2 3................................................................1422...................................................42n n nn a n a a a a b a a S a n S a +-==+=+⇒=∴=-==+⎧≥⎨=+⎩（分）解：由，当时，分当时，{}11111244.........................................422(2).................................................5223............................6n n n n n n n n n n a a a a a a a b b b +-+--=-⇒-=-∴=分两式相减得，分分是以公比为，首项为的等比数列.分(2)由（111111+112=32232 (83)2, (10224)31=242213=+1)224n n n n n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a n --++++=-⋅⇒=+⋅=+⎧⎫⎨⎬⎩⎭∴-1）可得分两边同除以得分知是以公差为，首项为的等差数列，（122232(1)(31)2.................................................12n n n n a n n ---∴=+⋅-=-分00(1),sin sin 451................................................................2602,1,,AC BD O OE D PAC h DE PAC h h DE DAB AB DO DO PAC DO OE OE θ===⇒=∠===⊥⊥=20（12分）解：连接相交于点，连，设到面的距离为，则与面所成角的正弦值分又底面ABCD 为棱形且，则从而面，故且2221 (41) (52)//......................................CO AC OE OC CE OC OE OC DO O OE ABCD OE PAPA ABCD ==+=⇒⊥=∴⊥∴⊥Q I Q 分又据知分面又面...................................................6分·11·11111(2)(0,0,0),(0,1,0),((0,1,0),(0,0,1).............7(,,)0(1,2)00(OA x O A B C D P E n x y z PDE n PD n n PE n -=⎧•=•--=⎪⇒⎨•=•⎪⎩uu ru u r uu u r uu r uu ru u u r u u r 以为轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，易得，分设为面的一个法向量,则12112001)03, 3.(,,)0y z z x z y n n x y z PBD n PD n PB ⎧++=⎪⇒⎨+=-=⎪⎩==-==-=•=•u u ru u r u u u r u u r u ur 令从而得设为面的一个法向量,则则112112(1,2)020200(0,2,0)03,03)..................................................................10 n ,cos n y z y n x z y n n n θθ⎧⎧•--=++=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪=•-=⎪⎪⎩⎩⎩==-==-•=u u ru u u ru ur u u r u u r 令从而得分设的夹角为，则212n 5 (1175)arccos (127)n n E PD B E PD B =--∴--u u ru u r u u r Q 分又二面角的平面角为锐角，二面角的大小为分()(()()()()()22222222,0,0,00,,,,0,1,,1,1,2,1, 1 (42)F c c A a B a M b MF c b FB a c MF FB ac c c e a c a c a b x C y =-∴=-=-∴⋅=-===∴=-=∴===∴+=u u u u r u u u r u u u u r u u u r21.(12分)解：(1)依题意，,,,,又椭圆的方程为分(()()112211,,MF l l k FM l k PQ y x m P x y Q x y =-==+2)假设存在直线满足条件，因为，且直线与直线垂直，所以，设直线的方程为，设,()2222222,4220,121612220, 3..............................5y x m y x mx m x y PQ m m m =+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩∴∆=--><由消去得3由于直线与椭圆有两个不同交点即分·12·1221243...........................................................6223m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由根与系数的关系得分()()()()()22221212121211222112122242.3330..........................71,,,1,................m m m y y x m x m x x m x x m m F MPQ PF MQ PF MQ PF x y MQ x y PF MQ x y x x y y --=++=+++=-+=∆∴∴⋅==--=-⋅=+--u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r由于又为的垂心，直线与直线垂直，分又又()()()22221121222 (842224) (933333)11343410.3341 (103)13,.......m m m m x x m x x y y m m m m m m m m m m --=++--=-+--=--+=-+-=-+-=∴=-==<分分或分经检验:当,均满足.......................11103340.........................12l x y x y ∴-+=--=分存在满足条件的直线的方程为：或分()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2min 2111+2210,1,0311202111120,120110,10,1015162110,10,10ln 1f x f x x a x x f x x a a x x x g x x g x x x g x g x g a a f x f x f x x x '-∞=-++'∈≥-+≥≤+++'=+=->++∴∴==∴≤=∴>⇒+>-L L L L L L L L L22（12分）解：的定义域为，，分由已知得对任意有分即，即令，则在上，在上递增在上分分由得：当时，在上递增在上,()222271111112,ln(1)ln8113411ln ln ln ln 9232nk n n x n n n n n n n n n kk n =+-=≥+>-⇒>++⎛⎫∴-<+++= ⎪⎝⎭∑L L L L L 分令则分分()()222222222222111ln (102111111124221112121212132134)1112ln .............23nn k k n n n nk k k k nn k k n k kk k k k k n k n k k========+∴-<⎛⎫⎛⎫<==-=-< ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-+∴-<<∑∑∑∑∑∑∑∑L 分又分.......................12分·13·。

桂林十八中2010级高三第二次月考试卷数 学(理科)注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间：120 分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数=+-ii13 A. i 21+ B. i +1 C. i 21- D. i -12.若向量()3,2=BA ，()7,4=CA ,则=A. ()4,2--B. ()4,2C. ()10,6--D. ()10,6 3.已知圆C ：0422=-+x y x ，l 是过点()0,3P 的直线，则A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能 4. limnn S n →∞=nn n -+512= A.21 B. 52C. 1D. 0 5.下列不等式一定成立的是 A. ()0lg 41lg 2>>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x B. ()Z k k x xx ∈≠≥+,2sin 1sin π C. ()R x x x ∈≥+212D.()R x x ∈>+1112 6.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且m b ⊥，则”“βα⊥是”“b a ⊥的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为A. 12B. 11C. 3D. 1- 8.已知数列{}n a 中，111,2n n a a a n +=-=且，则=10a A. 111B. 73C. 89D.919.定义在R 上的函数()x f y =满足()()x f x f =-3，0)(23>'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x .若21x x <且321>+x x ，则有A. ()()21x f x f >B. ()()21x f x f =C. ()()21x f x f <D. 不确定10.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为A.22 B. 33 C. 21 D. 3111.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A.237a π B. 2a π C. 2311a π D. 25a π12.从集合U={}d c b a ,,,的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）,U ∅都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B B A ⊆⊆或，则不同的选法种数是 A. 40 B. 36 C. 38 D. 52第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡上的相应位置. 13.函数()x x f 6log 21-=的定义域是14.在62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项为15.函数13+-=x x y 在点()1,1处的切线方程为16.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ,若c AD 2=，且BD AB +=AC +a CD 2=，其中c a ,为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是CA三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分.请将解答过程填写在答题卡的相应位置上. 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ． （I ）求ACsin sin 的值； （II ）若,2,41cos ==b B 求ABC ∆的面积S.18.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为91.（Ⅰ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（Ⅱ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与期望ξE .19.如图，在三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是正三角形，,60,90οο=∠=∠PAB APB 平面PAB ⊥平面ABC.（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角C AP B --的大小.BA20.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项31=a ，设数列的前项和为n S ，且124111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （II ）求nn S S S S A 1...111321++++=.21.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为()1,0F . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在抛物线C 上是否存在点P ，使过点P 的直线交C 于另一点Q ，满足QF PF ⊥，且PQ 与C 在点P 处的切线垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()2ln 1f x x ax =++ ()1a <.(Ⅰ) 讨论()f x 的单调性；(Ⅱ) 证明：()21111112938113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （n N *∈）．桂林十八中2010级高三第二次月考试卷数 学(理科) 答案二.填空题：13. (]6,0 14. -160 15. 12-=x y 16. 13222--c a c 17.解： (1)由bac B C A -=-2cos cos 2cos cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--⇒=sin cos 2sin cos 2cos sin cos sin B A B C B C B A ⇒-=- ()sin cos cos sin 2cos sin sin cos B A B A B C B C ⇒+=+()()sin sin 2sin sin 2sin 2sin CA B B C C A A⇒+=+⇒=⇒=(2)由1cos 4B =得：sin B =由余弦定理知：222242cos 2ac a c ac B a c =+-=+-由（1）知22cc a a ==即代入得：12a c =⎧⎨=⎩1sin 24S ac B ∴==18.设徒弟加工一个零件为精品的概率为P ，则222113392P P ⨯=∴=（1） 设徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为1P .则1124111794949436P =⨯+⨯+⨯=. （2） ξ的分布列为：ξ的期望ξE 为0123436363636363E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.答：（1）徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率为1P 736=（2）ξ的期望73E ξ=.19.解(1)设AB 中点为D ，AD 的中点为O ，连接PO,CO,CD.由已知PAD ∆为等边三角形，所以PO ⊥AD,又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB I平面ABC=AD,所以.OCP PC ABC∠为直线与平面所成的角不妨设AB=4，则PD=2，CD=,OD=1，PO=.在OCD CO∆==中，所以，在tan13Rt POC OCP∆∠==中，直线PC与平面ABC所成角的大小为过D作DE⊥AP于E，连接CE.由已知得CD⊥平面PAB.根据三垂线定理知CE⊥PA.所以.CED∠为二面角B-AP-C的平面角由（1）知，在tan 2.CDRt CDE CEDDE∆∠===中，故.二面角B-AP-C的大小为arctan2A20.(1) 由31=a且124111,,a a a成等比数列得2221411111133+333da a a d d⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即得：所以数列{}n a的通项公式()313,2n nn na n S+==.()1231211231111121*********...1...323233343121131nnnS n nAS S S S n nn⎛⎫=-⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-⎪+⎝⎭Q21.解：（1）抛物线方程为24.x y=(2)设()()111221,,,,2xP x y Q x y C P y x y=-则抛物线在处的切线方程为（显然抛物线C在P 处的切线斜率存在且不为0，120,0y y>>），直线PQ的方程为1122,y x y x =-++将上式代入抛物线C 的方程得：()21121211188420,84,x x y x x x x y x x +-+=∴+==--21211184, 4.x x y y x y ∴=--=++而()()1122,1,,1FP x y FQ x y =-=-u u u r u u u r()()121211FP FQ x x y y =+--u u u r u u u rg =()1212121x x y y y y +-++()211111111144442424127y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-++++-+++=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221112111111141411214210y y y y y y y y y y +-+⎛⎫=++-++=+-== ⎪⎝⎭若14y =，此时，点P 的坐标为()4,4±，经检验，符合题意.若11,y =-不满足题意，舍去.所以满足条件的点P 存在，其坐标为P ()4,4±.22.【解答】（I ）2'2222()11x ax x af x a x x ++=+=++Q ①若0a =时，''22()00,()001x f x x f x x x=>⇒><⇒<+Q ()f x ∴在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减； ②若01a <<时，'2()020f x ax x a >⇒++>x x ⇒<>()f x ∴在单调递减，在(-∞和1()a-++∞上单调递增 .③若010a a <⎧⇒≤-⎨∆≤⎩时，()0f x '≤对x R ∈恒成立，()f x ∴在R 上单调递减；④若10a -<<时，由'2()020f x ax x a >⇒++>x ⇒<<再令'()0f x <，可得1x a ->或1x a-+<，()f x ∴在11()a a --单调递增，在1(,a -+-∞和)+∞上单调递减综上所述，若1a ≤-时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减.；若10a -<<时，()f x 在单调递增，在(-∞ 上单调递减，1(,)a-+∞上单调递减若0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减若01a <<时，()f x 在单调递减，在(-∞和)+∞上单调递增 .（II ）由（I ）知，当1a =-时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，当(0,)x ∈+∞时，由()(0)0f x f <=2ln(1)x x ∴+<，()22111111ln 111ln[(1)(1)(1)]29381139813n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++<+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL 2111ln(1)ln(1)ln(1)9813n =++++++L 211(1)11111133(1)133323213n n n -<+++==-<-L ；()21111112938113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 命题得证.。

结束y=log 2x输出yy=x 2-1否是x >2?输入x开始桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）{}{}{}{}{}{}{}|15,1,2,3,1,2.1,2.1,3.3.1,2,3u U x Z x A C B A B A B C D ∈≤≤==1.已知全集==,则2.已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则ab= A. 3B. 2C.12D. 1333.1.ln ..3.x A y x B y x x C y D y x==+==-下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是 4.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 241215.log 3,log 6,log ,,,7....a b c a b c A a b c B b a c C c b a D c a b===>>>>>>>>已知则的大小关系为()()6.11....p f x q f x x p q A B C D +=已知：是偶函数，：关于直线对称，则是的充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既不充分又不必要条件7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.112333338.:2,80,.2,80.2,80.2,80.2,80p x x p A x x B x x C x x D x x ∀>->⌝∀≤-≤∃>-≤∀>-≤∃≤-≤已知命题那么是 9.函数12()2x f x x -=-的零点的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4()()()10.R 03,x f x x f x m f x ≥=+已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的大致图像是11.已知两条直线1l y a =：和21821l y a =+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，nm的最小值为 A. 4B. 16C. 112D. 102()()()()()2212.2,2,08....x e e f x x f x xf x f x f x x A B C D '+==>设函数满足：则时，有极大值，无极小值有极小值，无极大值既有极大值，又有极小值既无极大值，又无极小值二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）4313.,3525,351x y x y x y z x y x -≤-⎧⎪+≤=++⎨⎪≥⎩已知实数满足约束条件那么的最大值等于{}3233014.9,3,n a a S x dx q ===⎰等比数列中，前三项和则公比()()()15.sin ,cos 20,1,1,,tan a b a b αααπα=+<<=-⊥=已知若则16.已知函数()f x 定义在R 上，对任意的x R ∈， (1001)f x +=已知(11)1f =，则(2013)=f三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17()10分. 在△ABC 中，已知cos cos cos cos 0C A B A B +-=错误！未找到引用源。

桂林市第十八中学16级高三第二次月考数学(理科)考试时间: 2018年9月27日 15:00—17:00注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A B C ===则=A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.复数()32z i i =-(i 为虚数单位)的共轭复数z =A.23i +B.23i -+C.23i -D.23i --3.右侧茎叶图记录了甲,乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则,x y 的值分别为A.3,6B.3,7C.2,6D.2,7 乙组甲组95 y 840129x 27 44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=,则52S S = A.－11 B.－8 C.5 D.115.已知“2x >”是“2xa >(aR ∈)”的充分不必要条件,则a 的取值范围是A.(－∞,4)B.(4,+∞)C.(0,4]D.(－∞,4]6.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示,则该三棱锥的侧视图可能为7.设变量,x y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最小值为A.3B.2C.1D.－18.已知直线6x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像的一个对称轴,其中()0,2ϕπ∈,且()2f f ππ⎛⎫<⎪⎝⎭,则()f x 的单调递增区间是A.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) B.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) C.,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) D.,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)9.A,B,C,D,E 是半径为5的球面上五点,A,B,C,D 四点组成边长为的正方形,则四棱锥E-ABCD 体积最大值为A.2563 B.256 C.643 D.64 10.设23a =,4log 3b =,16log 5c =,则,,a b c 的大小关系为A.b c a >>B.b a c >>C.a b c >>D.a c b >>11.若双曲线22221x yC :a b-=(00a ,b >>)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为,则C的离心率为12.已知函数()sin 4x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,99101,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,过点1,02P π-⎛⎫⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线,切点坐标为()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,则1nii x==∑A.49πB.50πC.51πD.101π二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,a b 满足||1a =,2a b ⋅=,则()2a a b ⋅+=_________________.14.82x ⎫-⎪⎭的展开式中,x 的系数为__________________.15.如图,在△ABC 中,AD=DB ,F 在线段CD 上,设AB a =,AC b =,AF xa yb =+,则14x y+的最小值为_________.16.设实数0λ>,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式ln 0xxeλλ-≥恒成立,则λ的取值范围是_________.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ,角A,B,C 成等差数列,b =. ⑴若3sin 4sin C A =,求c 的值; ⑵求a c +的最大值.18.(12分)某地区高考实行新方案,规定:语文,数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理,化学,生物,历史,地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理,化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理,化学和生物”为其选考方案.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:⑵假设男生,女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;⑶从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同，名男生选考方案不同，,求ξ的分布列及数学期望.19.(12分)如图在四面体D-ABC 中,已知AD=BC=AC=5,AB=DC=6,4sin 5DAB ∠=,M 为线段AB 上的动点(不包含端点). ⑴证明:AB ⊥CD ;⑵求二面角D-MC-B 的余弦值的取值范围.A已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴, 与C 有两个交点A,B ,线段AB 的中点为M .⑴证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值;⑵若过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.21.(12分)设函数()2ln 2ax f x x x a x =-+-(a R ∈). ⑴若函数()f x 有两个不同的极值点,求实数a 的取值范围;⑵若2a =,k N ∈,()222g x x x =--,且当2x >时不等式()()()2k x g x f x -+<恒成立, 试求k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. ⑴写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;⑵已知与直线l 平行的直线l ＇过点M (2,0),且与曲线C 交于A,B 两点,试求|MA |·|MB |.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()|||1|f x x x =+-. ⑴解不等式()3f x ≥;⑵若()()2f x f y +≤,求x y +的取值范围.桂林市第十八中学16级高三第二次月考数学理答案12.()'2cos x f x e x =,设切点为000,sin 4x x x π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则切线方程为()00000sin 2cos 4xx y x e x x x π⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,将1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭代入,得000001sin 2cos 42x xx e x x ππ-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得00tan 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 由tan y x =,22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭知两个函数均关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以切点也关于2π对称且成对出现.99101,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内共有100对,所以150ni i x π==∑.二.填空题13.5 14.112 15.6+1eλ≥解析:15.2AF x AB y AC x AD y AC =+=+,由C,F,D 共线,故21x y +=,()14148266x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭16.ln 0x xe λλ-≥,得ln x e x λλ≥,得ln ln x x x e x e λλ⋅≥⋅恒成立,观察构建函数()t f t te =,()()'1t f t t e =+,当1t ≤-时,()f t 单调递减;当1t >-时,()f t 单调递增.⑴当1x e≥时, 10t x λ=>,2ln 1t x =>-,此时()f t 单调递增; 要()()ln f x f x λ≥恒成立(即()()12f t f t ≥),只须ln x x λ≥恒成立,ln x x λ≥,构建函数()ln x F x x=,求导最终可得1e λ≥.⑵当10x e<<时,10t x λ=>,2ln 0t x =<,由()0000f e =⋅=,观察图像知()()12f tf t >恒成立 即()()ln f x f x λ≥对任意的λ恒成立.综上,得1eλ≥.17.解:⑴由角A,B,C 成等差数列,得2B=A+C,又A+B+C=π,得3B π=.又由正弦定理,3sin 4sin C A =,得34c a =,即34a c =, 由余弦定理,得2222cosB b a c ac =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,解得4c =.⑵由正弦定理得sin sinC sin a c b A B ===∴a A =,c C =,)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+=++⎤⎦sin sin 36A A A ππ⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦,由203A π<<,知当62A ππ+=,即3A π=时,()max a c +=.18.⑴由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人.该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有10184201401830⨯⨯=人. ⑵由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为2184=;选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为310,所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=. ⑶由数据可选,选考方案确定的男生 中有4人选择物理,化学和生物;有2人选择物理,化学和历史,有1人选择物理化学和地理;有1人选择物理,化学和政治.由已知得ξ的取值为1,2.()224228114C C P C ξ+===;()()1111422228121324C C C C P C ξ++⨯+===. ∴13712444E ξ=⨯+⨯=.19.⑴证明:作取AB 中点O,连DO,CO.由AC=BC,O 为中点,故OC ⊥AB. 由AD=5,AO=3,4sin 5DAB ∠=知OD=4,故OD ⊥AB, ∴AB ⊥平面DOC,CD 在平面DOC 内,∴AB ⊥CD.⑵由⑴知AB ⊥平面DOC,AB 在平面ABC 内,故平面DOC ⊥平面ABC. 以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴,Oz 垂直平面ABC,建立空间直角坐标系O-xyz.故O(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),A(-3,0,0), 设OM m =(33m -<<),则M(m,0,0)A在△DOC 内,作DE ⊥OC,连EO,由OD=OC=4,DC=6,解得12EO =,DE =,故10,,22D ⎛- ⎝⎭. 设平面DMC 的法向量为(),,n xy z =,则90,2CD ⎛=-⎝⎭,(),4,0CM m =-, 由00n CD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得902240y z mx y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩,得4x y mz y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,令y=,得()47,,3n m =. 平面MCB 的法向量为()0,0,1m=,所以|cos ,|a b ==,由33m-<< 故9|cos ,|16a b <=,设θ为二面角D-MC-B 的平面角,所以99cos 1616θ-<<.yA20.解:⑴设直线y kx b =+(0,0k b ≠≠),()11,A x y ,()22,B x y ,(),M M M x y , 将y kx b =+代入2229x y m +=,得()2222920k x kbx b m +++-=,故12229M x x kb x k +==-+,299M M by kx b k =+=+, 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-,所是命题得证.⑵四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭,所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠. 由⑴得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x .由22299y x k x y m⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,得2222981P k m x k =+,即P x =将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入直线的方程得()33m k b -=,因此()()2339M mk k x k -=+, 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x=. ()()23239mk k k -=⨯+,解得14k =24k =+因为0,3i i k k >≠,i=1,2,所以当l 的斜率为44,四边形OAPB 为平行四边形.21.解：⑴由题意知,函数()f x 的定义域为(0,+∞),()'ln 11ln f x x ax x ax =+--=-, 令()'0f x =,可得ln 0x ax -=,∴ln x a x =,令()ln xh x x=, 则由题可知直线y a =与函数()h x 的图像有两个不同的交点,()21ln 'xh x x -=,令()'0h x =,得x e =, 可知()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，()()max1h x h e e==,当x 趋向于+∞时,()h x 趋向于零,故实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.⑵当2a =时,()2ln 2f x x x x x =-+-,()()()2k x g x f x -+<,即()2ln k x x x x -<+,因为2x >,所以ln 2x x x k x +<-,令()()ln 22x x xF x x x +=>-,则()()242ln '2x xF x x --=-,令()()42ln 2m x x x x =-->, 则()2'10m x x=->,所以()m x 在(2,+∞)上单调递增,()2842ln84ln 440m e =-<-=-=;()31062ln1062ln 660m e =->-=-=,故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ,即0042ln 0x x --=, 故当02x x <<时,()0m x <,即()'0F x <, 当0x x <时,()'0F x >,所以()()0000000min0041ln 2222x x x x x x F x F x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--,所以02x k <,因为()08,10x ∈,所以()04,52x∈,所以k 的最大值为4.22.解:⑴把直线l 的参数方程化为普通方程为)11y x =-+.由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=,∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =. ⑵直线l 的倾斜角为3π,∴直线l '的倾斜角也为3π,又直线l '过点M(2,0),∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=, 设点A,B 对应的参数分别为1t ',2t '.由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-,1243t t ''+=. ∴16||||3MA MB ⋅=.123AB t t ''∴=-===.23.解:⑴当0x ≤时,原不等式化为13x x -+-≥,解得1x ≤-,结合0x ≤,得1x ≤-. 当01x <<时,原不等式化为13x x +-≥,无解.当1x ≥时,原不等式化为13x x +-≥,解得2x ≥,结合1x ≥,得2x ≥. 综上,原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞;⑵()()2f x f y +≤,即|||1||||1|2x x y y +-++-≤,又()|||1||1|1x x x x +-≥--=,()|||1||1|1y y y y +-≥--=,∴|||1||||1|2x x y y +-++-≥. ∴|||1||||1|2x x y y +-++-=,且|||1||||1|1x x y y +-=+-=, ∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤.。

桂林十八中15级高三第一次月考试卷数 学（理科）注意事项：①本试卷共4页，答题卡4页。

考试时间120分钟,满分150分；②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚填涂学号； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。

第I 卷（选择题，共60分）一.选择题（每小题只有一个选项符合题意。

每小题5分，共 60 分）{}{}(){}1.ln ,ln ,,ln ....M x y x N y y x G x y y x A MN GB MN C M ND NM========∅已知,则苘132.1.12.12.12.12ii iA iB iC iD i+=--+--+-已知为虚数单位，则21222213.11...1.22ex e dx x e e A B C e D e +=+-+⎰若是自然对数的底数，则()4.2||23....6434a b a b a a b A B C D ππππ==-⊥=已知，，，则，5.0,210,210,210,210,2xxxxxP x P x x x x ∀>>⌝∀≤≤∀>≤∃≤≤∃>≤已知命题：“”，则是A. B. C. D.()()()()()6.11sin ln 1x x f x f x x e e x x x xf x f x x x---++现输入如下四个函数，执行如下程序框图，则可输出的函数是A.=B.=C.=D.=()()()()min max 7.sin cos 0,4.2.4.2.2f x x x f x f x A B C D πωωωωωωω=>====已知若把的图象向右平移个单位得到的图象与的图象重合，则8.2433ππππ某几何体的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A.2B.4C.D.()()()(](],09.2,0.1,.0,1.1,3.1,2x a x f x a ax a x A B C D ⎧≥=⎨+-<⎩+∞若是增函数，则的取值范围是()()()()()()()()()10.“”“”;6185,10 5.....f x R p f x f x q f n n N n f f f A p q B p q C p q D p q*'∈=>>⌝∨∧∨⌝⌝∧已知函数在上可导，给出下列命题：命题：是偶函数是是奇函数的充要条件命题：设是某等差数列的前项和，若则下列命题为真命题的是()()[][]22211.,44,,20,1717.1,1.1,.1,1.1,88M x y a a M m n m n A M B M C M D M∅+-=∀∈-=⎡⎤⎡⎤=-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦已知集合椭圆C:，若椭圆C 上存在点P ,使得则Ý赵()()()()()()(){}{}{}{}2211112.,0,,21+1.11.110.0.011f x f x f x R f x f x x x xf x f x x x x xA x xB x x xC x xD x x x +-'+-=∀>->->--<<<--<<><<>已知函数在上可导，若且则的解集为或或第II 卷（非选择题，共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 113.,230,x y x y x y x y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩若满足则的最大值为()()10214.11x x x ++展开式中的系数是15.2,4ABC AB AC BC D BC ADC AD π∆===∠==在中，，在上，则()ln 16.1x m xf x e m x +=--若函数无零点，则的取值范围是三.解答题（本大题共6小题，共70分.第22,23题为选考题，考生根据要求作答）(){}()()()()()112117.1,,1.1,,;111201,2.11n a n n n n n n k k k n nS a n a n N S S a b q q k N b b b q q b b q q n n N q q *+*++*=∀∈=++=∈-->≠+>∈--本题满分12分已知是数列的前项和，且都有，为常数若对任意，成等差数列，求的值若且证明：()18.本题满分12分现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资10万元，据市场120份样本统计，年利润分布如下表：10123对乙项目投资万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中,产品合格的概率均为，在一年内进行次独立抽查，在这两次抽查中产品合格的次数与对应的年利润如下表：()()12X Y >记随机变量X,Y 分别表示甲、乙两个投资项目各投资10万元的年利润试估算的概率；某商人打算对甲或乙项目中的一个投资10万元，判断哪个项目更具()()()11111111111111119.-2,1,.312.ABC A B C ABB A ABB A BCC B BCC BC D CC M AA MDB ABD A B D A π⊥∠==∀∈⊥--本题满分12分在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，且平面平面，，为中点证明：，平面平面；求二面角余弦值的大小111()()()22122212122220.:1(0,0),12:2x y F F C a b C a bA B F B F F F O C O x y x -=>>∠+=本题满分12分已知、分别是双曲线，直线与左右支分别交于两点，点M 在线段上，M 与B 为坐标原点求双曲线方程；若直线与圆相切，问在轴上是否存在定点Q,()()()21.10lnln ln 1220,ln .x a b aa b a b m m e e b x x e ex∀>>->∃>-+本题满分12分若，恒有,求的取值范围；证明：=0是假命题()()()22,23101cos sin 3.12.6x C m m ρρθθπ==请考生在第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.本小题满分分选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系，圆C ：，直线：以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系，求圆的参数方程;过圆C 上的点A 作圆C 的切线，若切线与直线的夹角为，求A 的直角坐标()()()()221011,,,,+.2212,a b x y R f x x x m m ab m ax by ∈=-++=+≤23.本小题满分分选修4-5：不等式选讲已知的最小值为求；若证明：桂林十八中15级高三第一次月考试卷数 学（理科）答案一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。