第1章三角形的初步知识1．1 认识三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系01基础题知识点1三角形及相关概念1．(1)如图,点D在△ABC内,写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD,△ACD,△BCD；(2)在△ACD中,∠ACD所对的边是AD；在△ABD中,边AD所对的角是∠ABD．知识点2三角形内角和定理2．(温州校级期中)在△ABC中,∠A＝50°,∠B＝70°,则∠C的度数是( B )A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图,一个长方形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是( C )A．30°B．60°C．90°D．120°第3题图第4题图4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为( A ) A．75°B．60°C．65°D．55°知识点3三角形按角的大小分类5．(诸暨期末)在△ABC中,若∠A＝35°,∠B＝55°,则△ABC为 ( C ) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形6．如图,图中有6个三角形,其中,△ABC,△ACD是锐角三角形,△ACE,△ABE,△ADE是直角三角形,△ABD是钝角三角形．知识点4三角形的三边关系7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中,能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C )A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm8．(盐城中考)若a,b,c为△ABC的三边长,且满足|a－4|＋b－2＝0,则c的值可以为( A )A．5 B．6C．7 D．89．如图,从点A到点D有三条路线：A—B—D,A—C—D,A—D,其中最短的路线是A－D．10．(1)在△ABC中,AB＝3,AC＝4,那么BC边的长度应满足什么条件？(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm,7 cm,第三边的长为x cm,且x 是一个奇数,求三角形的周长；(3)如果三角形的三边为连续整数,且周长为24 cm,求它的最短边长．解：(1)1<BC<7.(2)三角形的周长为15 cm或17 cm或19 cm或21 cm或23 cm.(3)它的最短边长为7 cm.02中档题11．若a,b,c是三角形的三边长,则化简：|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|＝( B )A．3a－b－c B．－a－b＋3cC．a＋b＋c D．a－3b＋c12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置,若∠1＝60°,则∠2的度数为( B )A．85°B．75°C．60°D．45°13．(义乌模拟)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限),不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9第13题图 第14题图14．(温州八中期中)如图,△ABC 中,∠DBC ＝13∠ABC,∠DCB ＝13∠ACB,∠A＝45°,则∠BDC ＝135°．15．在农村电网改造中,四个自然村分别位于如图所示的A,B,C,D 处,现计划安装一台变压器,使到四个自然村的输电线路的总长最短,那么这个变压器安装在AC,BD 的交点E 处,你知道为什么吗？解：另任取一点E′(异于点E),分别连结AE′,BE ′,CE ′,DE ′, 在△BDE′中,DE ′＋BE′>DB. 在△ACE′中,AE ′＋CE′>AC. ∴AE ′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD, 即AE ＋BE ＋CE ＋DE 最短．16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18,且三边都是整数,则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8,8,2；8,7,3；8,6,4；8,5,5；7,7,4；7,6,5；6,6,6.03综合题17．观察并探求下列各问题：(1)如图1,在△ABC中,点P为边BC上一点,则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；(2)将(1)中的点P移到△ABC内,得图2,试观察比较△BPC的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由；(3)将(2)中的点P变为两个点P1,P2,得图3,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由．解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．理由如下：延长BP交AC于点M.在△ABM中,BP＋PM<AB＋AM,在△PMC中,PC<PM＋MC,两式相加,得BP＋PC<AB＋AC,∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC,即△BPC的周长<△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长,理由如下：分别延长BP1,CP2交于点M.由(2)知,BM＋CM<AB＋AC.又∵P1P2<P1M＋P2M,∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC, 即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．第2课时三角形的重要线段01基础题知识点1三角形的角平分线1．在△ABC中,∠B＝60°,AD是△ABC的角平分线,∠DAC＝31°,则∠C 的度数为( D )A．62°B．60°C．92°D．58°2．如图,已知∠1＝∠2,∠3＝∠4,则下列结论正确的个数为( B )①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．(邵阳中考)如图,在△ABC中,∠B＝46°,∠C＝54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠ADE的大小是( C )A．45°B．54°C．40°D．50°知识点2三角形的中线4．如图所示,点D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( C )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC,BD＝ECD．在△CDE中,∠C的对边是DE5．如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线．(1)若BC＝6 cm,则CD＝3cm；(2)若CD＝a cm,则BC＝2a cm；(3)若S△ABD＝8 cm2,则S△ACD＝8cm2.第5题图第6题图6．如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,已知AB＝7 cm,AC＝5 cm,则△ABD和△ACD的周长差为2cm.知识点3三角形的高线7．(杭州上城区期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是( D )8．如图,△ABC中,∠C＝90°,CD⊥AB,图中线段可以作为△ABC的高的有( B )A．2条B．3条C．4条D．5条第8题图第9题图9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图,在△ABC中,∠B＝30°,∠ACB＝110°,AD是BC边上高线,AE平分∠BAC,则∠DAE的度数为40°．10．(温州新城学校初中部月考)如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点H,若∠BHC＝110°,则∠A等于70°．02中档题11．如图所示,在△ABC中,∠ACB＝90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( D )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合第11题图第12题图12．如图,AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC＝60°,∠BCE ＝40°,则∠ADB的度数为( D )A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°13．(绵阳中考)如图,在△ABC 中,∠B 、∠C 的平分线BE 、CD 相交于点F,∠ABC ＝42°,∠A ＝60°,则∠BFC ＝(C )A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°第13题图 第14题图14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图,在△ABC 中,点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点,且S △ABC ＝8 cm 2,则阴影部分△AEF 的面积为1cm 2. 15．如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AC 边上的中线BD 将△ABC 的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分,求三角形的底边BC 的长．解：①当AB ＋AD ＝15 cm 时, ∵D 是AC 的中点, ∴AD ＝12AC ＝12AB .∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15,解得AB ＝10 cm.∴AC ＝10 cm.∴BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)．此时能构成三角形,且底边长为7 cm ； ②当AB ＋AD ＝12 cm 时,∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12,解得AB ＝8 cm.∴AC ＝8 cm.∴BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)． 此时能构成三角形,且底边长为11 cm. 综上,底边BC 的长为7 cm 或11 cm.16．如图,在△ABC 中,AB ＝AC,点P 是BC 边上任意一点,PF ⊥AB 于点F,PE ⊥AC 于点E,BD 为△ABC 的高线,BD ＝8,求PF ＋PE 的值．解：连结PA. ∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ,∴12AC·BD＝12AB·PF＋12AC·PE. ∵AB ＝AC, ∴BD ＝PF ＋PE. ∴PF ＋PE ＝8. 03 综合题17．(嵊州校级期中)如图,在△ABC 中,AD ⊥BC,AE 平分∠BAC. (1)若∠BAC ＝80°,∠C ＝30°,求∠DAE 的度数； (2)若∠B ＝80°,∠C ＝40°,求∠DAE 的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°,也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由．解：(1)∵∠BAC ＝80°,∠C ＝30°, ∴∠B ＝70°. ∵AD ⊥BC, ∴∠BAD ＝20°. ∵AE 平分∠BAC, ∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°. (2)∵∠B ＝80°,AD ⊥BC, ∴∠BAD ＝10°. ∵AE 平分∠BAC,∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)＝12×60°＝30°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－10°＝20°. (3)能求得∠DAE ＝12(∠B －∠C)＝20°.理由：∵AD ⊥BC, ∴∠BAD ＝90°－∠B. ∵AE 平分∠BAC,∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B －∠C)＝20°.1.2 定义与命题第1课时定义与命题01基础题知识点1定义1．下列语句中,属于定义的是( C )A．两点之间线段最短B．三人行,必有我师焉C．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线D．两条直线相交,只有一个交点2．下列语句中,属于定义的是( D )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行,内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．下列语句中,属于定义的有( B )①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方公式；④如果a,b为实数,那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.A．1个B．2个C．3个D．4个知识点2命题4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是( C )A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？5．下列语句中,不是命题的是( A )A．延长线段ABB．自然数也是整数C．两个锐角的和一定是直角D．同角的余角相等6．下列语句中,是命题的是( C )①钝角大于90°；②两点之间,线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补,两直线不平行；⑤作∠ACB的角平分线．A．①②③B．①②⑤C．①②③④D．①②④7．下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题？(1)若a<b,则－b<－a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B吗？(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2－2x－3＝0；(6)1＋2≠3.解：(1)(2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题．知识点3命题的条件和结论8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D ) A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线9．写出下列命题的条件和结论．(1)如果a2＝b2,那么a＝b；(2)同角或等角的补角相等；(3)同旁内角互补,两直线平行．解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．解：(1)在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行．(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定也相等．(3)如果一个数是有理数,那么这个数一定对应着数轴上的一个点．02中档题11．下列语句中,是命题的是( A )①若∠1＝60°,∠2＝60°,则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB ＝CD；④如果a>b,b>c,那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序,排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．13．指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)同角的余角相等；(3)三角形的内角和等于180°；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．解：(1)条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”．(2)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”．(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”．可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”．(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”,初中数学精品资料结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等”．14．用语言叙述这个命题：如图,AB∥CD,EF交AB于点G,交CD于点H,GM 平分∠BGH,HM平分∠GHD,则GM⊥HM.解：两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直．15．观察下列给出的方程,找出它们的共同特征,试给出名称,并作出定义．x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.解：共同特征：都是整式方程,均含有一个未知数,未知数的最高次数均为3；名称：一元三次方程；定义：含有一个未知数,且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．第2课时真假命题及定理01基础题知识点1真命题和假命题1．下列命题中的真命题是 ( C )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角2．在同一平面内,下列命题中,属于假命题的是( A ) A．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cB．若a∥b,b∥c,则a∥cC．若a⊥c,b⊥c,则a∥bD．若a⊥c,b∥a,则b⊥c3．下面给出的四个命题中,假命题是( D )A．如果a＝3,那么|a|＝3B．如果x2＝4,那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0,那么a－1＝0或a＋2＝0 D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0,那么a＝1或b＝－2 4．已知四个命题：①若一个数的相反数等于它本身,则这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身,则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是1；④若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数．其中真命题有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．请在横线上填上适当的词,使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一,如：对顶角(或直角或平角等)．知识点2举反例6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( C )A．∠1＝50°,∠2＝40°B．∠1＝50°,∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°,∠2＝40°7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是( D ) A．2k B．15C．24 D．428．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a,b是有理数,那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1,b＝3(答案不唯一)．知识点3基本事实和定理9．下列不是基本事实的是( C )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截,内错角相等D．经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行10．下列说法中,正确的是( B )A．定理是假命题B．基本事实不需要证明C．定理不一定都要证明D．所有的命题都是定理11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示,请指出A,B,C,D,E,F分别与它们中的哪一个对应．解：A表示命题,B表示假命题,C表示真命题,D,E,F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．02中档题12．下列命题中,是假命题的是( C )A．在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行B．对顶角相等C．互补的角是邻补角D．邻补角是互补的角13．对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c,以其中的两个论断为条件,一个论断为结论,写出一个真命题．解：答案不唯一,如：如果a∥b,b∥c,那么a∥c.14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性,若是假命题,请举反例说明．(1)若a＞b,则a2＞b2；(2)两个无理数的和仍是无理数；(3)若三条线段a,b,c满足a＋b＞c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形．解：(1)是假命题,例如：0＞－1,但02＜(－1)2.(2)是假命题,例如：－2和2是无理数,但－2＋2＝0,和是有理数．(3)是假命题,例如：三条线段a＝3,b＝2,c＝1满足a＋b＞c,但这三条线段不能够组成三角形．15．如图,已知∠ACE＝∠AEC,CE平分∠ACD,则AB∥CD,用推理的方法说明它是一个真命题．解：∵CE平分∠ACD,∴∠ACE＝∠ECD.∵∠ACE＝∠AEC,∴∠ECD＝∠AEC.∴AB∥CD.∴它是一个真命题．16．如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC＝45°.图1 图2(1)图1中∠DEF＝45°,图2中∠DEF＝135°；(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题．解：图1中∠DEF＝∠ABC,图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.命题：如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补．1.3 证明第1课时证明的含义及表述格式01基础题知识点1证明的定义1．下列能作为证明依据的是( D )A．已知条件B．定义和基本事实C．定理和推论D．以上三项都可以2．通过观察你能肯定的是 ( C )A．图形中线段是否相等B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交D．图形中线段是否垂直知识点2证明过程的书写3．如图,直线a∥b,直线c与a,b都相交,∠1＝55°,则∠2＝( A ) A．55°B．35°C．125°D．65°第3题图第4题图4．如图,下面推理正确的是( B )A．∵∠1＝∠2,∴AB∥CDB．∵∠1＋∠2＝180°,∴AB∥CDC．∵∠3＝∠4,∴AB∥CDD．∵∠1＋∠4＝180°,∴AB∥CD5．如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A＝20°,∠COD＝100°,则∠C 的度数是( C )A．80°B．70°C．60°D．50°第5题图第6题图6．(海宁新仓中学期中)如图,FE∥ON,OE平分∠MON,∠FEO＝28°,则∠MFE＝56度．7．如图所示,已知∠1＝∠2＝∠3＝60°,则∠4＝120°．第7题图第8题图8．如图所示,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB＝90°,如果∠ECD ＝36°,那么∠A＝54°．9．已知：如图,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,交AB于点G,交CA延长线于点E,∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC,只要证明∠BAD＝∠CAD,而已知∠1＝∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴AD∥EF(在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠BAD＝∠1(两直线平行,内错角相等),∠CAD＝∠2(两直线平行,同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知),∴∠BAD＝∠CAD,即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．10．如图,已知AB∥CD,∠B＝40°,∠D＝40°,求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD,∴∠C＝∠B＝40°.∵∠D＝40°,∴∠C＝∠D.∴BC∥DE.02中档题11．如图所示,已知直线a∥b,∠1＝40°,∠2＝60°,则∠3等于( A ) A．100°B．60°C．40°D．20°第11题图第12题图12．将一副三角板按如图放置,则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°,那么AC∥DE；③如果∠2＝30°,那么BC∥AD；④如果∠2＝30°,那么∠4＝∠C.其中正确的有( B )A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④13．已知,如图,∠1＝∠ACB,∠2＝∠3,求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.证明：∵∠1＝∠ACB(已知),∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)．∴∠2＝∠DCF(两直线平行,内错角相等)．∵∠2＝∠3(已知),∴∠3＝∠DCF(等量代换)．∴CD∥FG(同位角相等,两直线平行)．∴∠BDC＋∠DGF＝180°(两直线平行,同旁内角互补)．14．如图,已知BE∥CF,BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD.求证：AB∥CD.证明：∵BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD(已知),∴∠1＝12∠ABC, ∠2＝12∠BCD(角平分线的定义)． ∵BE ∥CF(已知),∴∠1＝∠2(两直线平行,内错角相等)．∴12∠ABC ＝12∠BCD, 即∠ABC ＝∠BCD.∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)．03 综合题15．阅读：如图1,∵CE ∥AB,∴∠1＝∠A,∠2＝∠B.∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B.这是一个有用的事实,请用这个事实,在图2中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线,求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数．解：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E.则∠DEB ＝∠C ＋∠EDC.∵DE ∥AB,∴∠A ＋∠ADE ＝180°,∠B ＋∠DEB ＝180°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠EDC ＋∠ADE ＝∠A ＋∠ADE ＋∠B ＋∠DEB ＝360°.第2课时三角形内角和定理的推论01基础题知识点1几何命题的证明1．证明命题“在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条”是真命题．解：已知：如图,AB∥CD,EF⊥AB于M,交CD于点N.求证：EF⊥CD.证明：∵AB∥CD,∴∠AMN＋∠CNM＝180°.∵EF⊥AB,∴∠AMN＝90°.∴∠CNM＝90°.∴EF⊥CD.2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截,得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .解：已知：如图,AB∥CD,EF交AB于点G,交CD于点H,GM平分∠BGH,HM 平分∠DHG.求证：GM⊥HM.证明：∵AB ∥CD,∴∠BGH ＋∠DHG ＝180°.∵GM 平分∠BGH,HM 平分∠DHG,∴∠MGH ＝12∠BGH,∠GHM ＝12∠DHG. ∴∠MGH ＋∠GHM ＝12(∠BGH ＋∠DHG)＝12×180°＝90°. ∴∠M ＝180°－∠MGH －∠GHM ＝180°－90°＝90°.∴GM ⊥HM.知识点2 三角形内角和定理的推论3．(甘孜中考)如图,在△ABC 中,∠B ＝40°,∠C ＝30°,延长BA 至点D,则∠CAD 的大小为( C )A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°第3题图 第4题图 4．(金华六校联考)如图,AD 是∠CAE 的平分线,∠B ＝30°,∠DAE ＝65°,那么∠ACD 等于( B )A ．60°B ．80°C ．65°或80°D ．100°5．(嵊州校级期中)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C ＝90°,∠B ＝45°,∠E ＝30°,则∠BFD 的度数是( A )A．15°B．25°C．30°D．10°第5题图第6题图6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是( B ) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠17．(丽水中考)如图,在△ABC中,∠A＝63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC 相交于点D,E,若∠AEN＝133°,则∠B的度数为70°．8．(嵊州期末)如图,在△ABC中,E点是AB上的一点,DE⊥AB交AC的延长线于D点,已知∠B＝28°,∠D＝46°,求∠BCD的度数．解：∵DE⊥AB,∴∠AED＝90°.∵∠D＝46°,∴∠A＝44°.∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.9．如图所示,在△ABC中,∠ABC＝∠C,BD是∠ABC的平分线,∠BDC＝87°,求∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°,∠ABC＝∠C,∴3∠ABD＋87°＝180°.∴∠ABD＝31°.∵∠CDB＝∠A＋∠ABD,∴∠A＝87°－31°＝56°.02中档题10．(恩施中考)如图,已知AB∥DE,∠ABC＝70°,∠CDE＝140°,则∠BCD 的值为( B )A．20°B．30°C．40°D．70°第10题图第11题图11．如图,∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角,则∠1＋∠2＋∠3＝360°．12．如图所示,△ABC中,点D,E分别是AC,BD上的点,且∠A＝65°,∠ABD ＝∠DCE＝30°,则∠BEC的度数是125°．第12题图 第13题图13．如图所示,已知∠BDC ＝142°,∠B ＝34°,∠C ＝28°,则∠A ＝80°．14．(温州校级期中)如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律,你发现的规律是2∠A ＝∠1＋∠2．15．如图,在△ABC 中,∠ADB ＝100°,∠C ＝80°,∠BAD ＝12∠DAC,BE 平分∠ABC,求∠BED 的度数．解：∵∠ADB ＝100°,∠C ＝80°,∴∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝100°－80°＝20°.∵∠BAD ＝12∠DAC, ∴∠BAD ＝12×20°＝10°. 在△ABD 中,∠ABC ＝180°－∠ADB －∠BAD ＝180°－100°－10°＝70°,∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12×70°＝35°. ∴∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝10°＋35°＝45°.16．(温州新城学校初中部月考)如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,BE 平分∠ABC,AF 平分外角∠BAD,BE 与FA 交于点E,求∠E 的度数．解：设∠ABC ＝x °,∵∠BAD 是△ABC 的外角,∠C ＝90°,∴∠BAD ＝∠ABC ＋∠C ＝90°＋x °.∵AF 平分外角∠BAD,∴∠BAF ＝12∠BAD ＝12(90°＋x °)． ∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12x °. ∴∠E ＝∠BAF －∠ABE ＝12(90°＋x °)－12x°＝45°. 03 综合题17．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星,求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2),五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．解：(1)证明：∵∠1＝∠C＋∠E,∠2＝∠B＋∠D,∠1＋∠2＋∠A＝180°,∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠A＝180°.(2)无变化．∵∠1＝∠C＋∠E,∠2＝∠B＋∠D,∠1＋∠3＋∠2＝180°,∴∠C＋∠E＋∠B＋∠D＋∠CAD＝180°.1.4 全等三角形01基础题知识点1全等图形及全等三角形1．在下列各组图形中,是全等的图形是( C )2．如图,把△ACB沿着AB翻转,点C与点D重合,请用符号表示图中所有的全等三角形．解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.知识点2全等三角形的对应元素3．如图所示,图中的两个三角形能完全重合,下列写法正确的是( B )A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB4．已知：如图,△ABD与△CDB全等,∠ABD＝∠CDB,写出其余的对应角和各对对应边．解：∠A与∠C,∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB,AD与CB,AB与CD是对应边．知识点3全等三角形的性质5．如图所示,△ABC≌△CDA,并且AB＝CD,那么下列结论错误的是( D )A．∠1＝∠2B．CA＝ACC．∠D＝∠BD．AB＝BC6．已知△ABC≌△A′B′C′,若∠A＝50°,∠B′＝80°,则∠C的度数是( C )A．30°B．40°C．50°D．607．如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x＝20．8．如图,已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.证明：∵△AOC≌△BOD,∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.9．如图,△ABD≌△EBC,AB＝3 cm,BC＝4.5 cm,点A,B,C在一条直线上．(1)求DE的长；(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由．解：(1)∵△ABD≌△EBC,∴AB＝EB,BD＝BC.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．(2)AC⊥BD.理由：∵△ABD≌△EBC,∴∠ABD＝∠EBC.又∵∠ABD＋∠EBC＝180°,∴∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.02中档题10．如图,△ABC≌△AED,那么图中相等的角有( C )A．3对B．4对C．5对D．6对第10题图第11题图11．如图,已知△ABC≌△DEF,DF∥BC,且∠B＝60°,∠F＝40°,点A在DE 上,则∠BAD的度数为( B )A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图,已知△ACF≌△DBE,∠A＝∠D,∠E＝∠F,AD＝11 cm,BC＝7 cm,则AB的长为2cm.第12题图第13题图13．如图,在△ABC中,∠B＝25°,现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后,得△EDC,则∠BFD的度数为55°．14．如图,将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠,使点D落在BC上(与点N重合),如果AD＝18.4 cm,∠DAM＝40°,求AN的长和∠NAB的度数．解：∵沿AM折叠后,点D与点N重合,∴△ADM≌△ANM.∴AN＝AD＝18.4 cm,∠MAN＝∠MAD＝40°.∵四边形ABCD是长方形,∴∠DAB＝90°.∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.15．(温州新城学校初中部月考)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD＝35°,∠B ＝∠D＝20°,∠EAB＝105°,求∠BFD和∠BED的度数．解：∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠CAD＝35°,∠EAB＝105°,∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°,∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°,∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.03综合题16．已知,如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.(1)试说明BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE,∴BD＝AE,AD＝CE.∵AE＝AD＋DE,∴AE＝CE＋DE.∴BD＝CE＋DE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时,BD∥CE,理由如下：∵∠ADB＝90°,∴∠BDE＝180°－90°＝90°.又∵△BAD≌△ACE,∴∠CEA＝∠ADB＝90°.∴∠CEA＝∠BDE.∴BD∥CE.1．5 三角形全等的判定第1课时三角形全等的判定(SSS)01基础题知识点1利用“SSS”证明三角形全等1．如图,下列三角形中,与△ABC全等的是 ( C )A．①B．②C．③D．④2．如图所示,在△ABC中,AB＝AC,BE＝CE,则由“SSS”可以判定 ( C ) A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对第2题图 第3题图3．如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB ＝AD,BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合,调整AB 和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C 画一条射线AE,AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构,可得△ABC ≌△ADC,则说明这两个三角形全等的依据是SSS ．4．如图,点C 是AB 的中点,AD ＝CE,CD ＝BE.求证：△ACD ≌△CBE.证明：∵点C 是AB 的中点, ∴AC ＝CB.在△ACD 和△CBE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(SSS )．知识点2 “SSS ”与全等三角形性质的综合运用5．如图所示,在△ABC 中,AD ＝ED,AB ＝EB,∠A ＝80°,则∠BED ＝80°．6．(海宁新仓中学期中)如图,AF ＝DB,BC ＝EF,AC ＝ED,求证：CB ∥EF.证明：∵AF ＝DB, ∴AF ＋FB ＝DB ＋FB, 即AB ＝DF.在△ACB 和△DEF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴△ACB ≌△DEF(SSS )． ∴∠ABC ＝∠DFE. ∴CB ∥EF.知识点3 三角形的稳定性7．如图所示,不具有稳定性的是( B )8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中,用到三角形的稳定性的有( C )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点4用尺规作已知角的平分线9．已知∠α(如图),用直尺和圆规作∠α的平分线．解：如图所示．02中档题10．如图,AB＝AC,AD＝AE,BE＝CD,∠2＝110°,∠BAE＝60°,下列结论错误的是( C )A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第10题图第11题图11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图．要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条？( B )A．0根B．1根C．2根D．3根12．如图所示,△ABC是不等边三角形,DE＝BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出( B )A．2个B．4个C．6个D．8个13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后,爱钻研的小燕子发现,只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)： (1)分别在∠AOB 的两边OA,OB 上各取一点C,D,使得OC ＝OD ；(2)连结CD,并量出CD 的长度,取CD 的中点E ；(3)过O,E 两点作射线．则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．解：在△OCE 和△ODE 中, ∵OC ＝OD,CE ＝DE,OE ＝OE, ∴△OCE ≌△ODE(SSS )．∴∠COE ＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)． ∴OE 就是∠AOB 的平分线． 故小燕子这样作是正确的．14．如图,已知AB ＝AC,AD ＝AE,BD ＝CE,求证：∠3＝∠1＋∠ 2.证明：在△ABD 和△ACE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )． ∴∠BAD ＝∠1,∠ABD ＝∠2.∵∠3＝∠BAD＋∠ABD,∴∠3＝∠1＋∠2.15．如图,C,F是线段BE上的两点,△ABF≌△DEC,且AC＝DF.(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由；(2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由．解：(1)还能找到2对全等三角形,分别是△ACF≌△DFC,△ABC≌△DEF.理由如下：∵△ABF≌△DEC,∴AB＝DE,BF＝EC,AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．∴BF＋FC＝EC＋FC,即BC＝EF.在△ACF和△DFC中,∵AC＝DF,AF＝DC,FC＝CF(公共边),∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中,∵AB＝DE,AC＝DF,BC＝EF,∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF,∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°,∠DFE＋∠BFD＝180°,∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．03综合题16．如图,已知AD＝BC,AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.证明：连结AB,在△ABD和△BAC中,∵AD＝BC,BD＝AC,AB＝BA,∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC,∠BAD＝∠ABC.∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD,即∠DAO＝∠CBO.第2课时三角形全等的判定(SAS) 01基础题知识点1利用“SAS”证明三角形全等1．下图中的两个三角形全等的是( C )A．③④B．②③C．①②D．①④2．(温州八中期中)如图,AB＝DB,BC＝BE,欲证△ABE≌△DBC,则需补充的条件是( D )A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠2知识点2“SAS”与全等三角形性质的综合运用3．如图所示,在△ABC中,∠B＝∠C＝50°,BD＝CF,BE＝CD,则∠EDF的度数是( A )A．50°B．80°C．40°D．30°4．(嵊州期末)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC＝EF,AC⊥BC于点C,DF ⊥EF 于点F,AC ＝DF.求证：(1)△ABC ≌△DEF ； (2)AB ∥DE.证明：(1)∵AC ⊥BC 于点C,DF ⊥EF 于点F, ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°. 在△ABC 和△DEF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． (2)∵△ABC ≌△DEF, ∴∠B ＝∠DEF. ∴AB ∥DE.知识点3 线段垂直平分线的性质定理5．如图,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA ＝5,则线段PB 的长度为 ( B )A ．6B ．5C ．4D ． 3第5题图 第6题图6．如图,在△ABC 中,边AB,AC 的垂直平分线相交于点P,则PB 与PC 的关系是( B )A ．PB>PCB ．PB ＝PC C ．PB<PCD ．PB ≠PC知识点4 利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题7．(金华四中期末)如图,为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到一点C,连结AC,在AC 的延长线上找一点D,使得DC ＝AC,连结BC,在BC 的延长线上找一点E,使得EC ＝BC,测出DE ＝60米,试问池塘的宽AB 为多少？请说明理由．解：AB ＝60米．理由如下： 在△ABC 和△DEC 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE ＝60米． 则池塘的宽AB 为60米． 02 中档题8．如图,在四边形ABCD 中,AB ＝AD,CB ＝CD,连结AC,BD 交于点O,则图中的全等三角形共有( C )A ．1对B ．2对。
