初三中考数学 特殊三角形

AB的中点，则∠B的度数是（ C ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．75°
5．（2015•广西）下列各组线段中，能够组成直角三角 形的一组是（ D ）
A．1，2，3
B．2，3，4
C．4，5，6
D．1，2， 3
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经典回顾
考点一 等腰三角形、等边三角形
例1（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、 AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F，求EF的长．
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知识清单
知识点一 等腰三角形与等边三角形
等腰 三角
形
等边 三角
形
概念
性质
判定 概念 性质 判定
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴； (2)性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”) ； (3)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高线相互重合(简写成“三线合一”).
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证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．
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16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°， DE∥AB． 求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．
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C．6 3
D．12
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【变式4】（2016•烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点
分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O
为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实
数为
7
．
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7
一、选择题
中考冲刺
1．（2016•怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm
，则它的周长为（ C ）
C．88°
D．92°
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7．（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等
边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为
（B ）
A．3
2
B．3 3
2
C．3
D．不能确定
2
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8．（2016•新疆）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南
偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东
75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A
2
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18．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面 （OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A 端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变 化，并简述理由． （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时， △AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
等角对等边.
有三条边相等的三角形叫做等边三角形.
(1)具有一般等腰三角形的所有性质； (2)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
Fra Baidu bibliotek
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知识点二 直角三角形
(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形.
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课前小测
1．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2
和4，则该等腰三角形的周长为（ C ）
A．8或10
B．8
C．10
D．6或12
2．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC， ∠B=70°，则∠C的度数为（ A ） A．35° B．40° C．45° D．50°
概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
性质
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半；
(4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜
边c的平方.
(1)有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形； (2)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形 判定 为直角三角形；
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3．（2015•黄冈）如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D ，CD=3，则BC的长为（ C ） A．6 B．6 3 C．9 D．3 3
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4．（2015•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD
为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为
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解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴DE=DC=2， 在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4， ∴EF= DF 2 - DE2 = 42 - 22 =2 3 ．
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40° ．
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11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为
2和4，则该等腰三角形的周长是 10
．
1形2如．图（放20置16，•泰若州∠）α如=4图0°，，已则知∠直β线等l1∥于l2，2将0°等边三角．
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13．（2016•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角
三角形，∠BAC=90°，则∠1= 45
【变式1】（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别
为4，8，则它的周长为（ C ）
A．12
B．16
C．20
D．16或20
【变式2】（2016•龙岩）如图，△ABC是等边三角形，BD
平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，
则BC=
2
．
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考点二 直角三角形与勾股定理
例2（2016•广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°， ∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向 △CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°， 再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的 方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
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解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ACD中，AC=a，
∴AD= 1 a，
由勾股定2 理得：CD=
a2 - (1 a)2 2
=
3a 2
，
同理得：FC=
3? 3a 22
3 a ，CH=
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
4．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2 ，顶角A为
120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周
长为（ A ）
A．2+2 3
B．2+ 3
C．4
D．3 3
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5．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC
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证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE=AB， ∵AB=DC， ∴DE=DC． （2）∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60°． 又∵DE=DC， ∴△DEC是等边三角形．
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17．在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是 ∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE． （1）求∠BAD的度数； （2）求∠B的度数； （3）求线段DE的长．
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解：（1）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC=100°，∴∠BAD=50°； （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B= ； 180? 100? = 40?
2
（3）∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB=90° 在直角三角形ABD中，点E是AB的中点， ∴DE为斜边AB边上的中线， ∴DE= 1 AB = 4 ．
位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是
（ D ）海里．
A．25 3 B．25 2 C．50
D．25
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二、填空题
9．（2016•徐州）若等腰三角形的顶角为120°，腰长为
2cm，则它的底边长为 2 3 cm．
10．（2016•昆明）如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF
，∠F=20°，则∠B的度数为
上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为
（D）
A．50°
B．51°
C．51.5°
D．52.5°
6．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分
别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若
∠MKN=44°，则∠P的度数为（ D ）
A．44°
B．66°
度．
14．（2014•珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，
∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，
以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为
8
．
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三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线， BE⊥AC于E．求证：∠CBE=∠BAD．
4
3? 3a 24
3 3a ，
8
在Rt△HCI中，∠I=30°，
∴HI=2HC= 3 3 a ，
4
由勾股定理得：CI=
(3 3 a)2 - (3 3 a)2 = 9 a ，
4
8
8
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【变式3】（2016•百色）如图，△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，AB=12，则BC=（ 3 ）
A．6
B．6 2
第13课 特殊三角形
知识清单 课前小测 经典回顾 中考冲刺
等腰三角形、等边三角形和直角三角形问题一直都是 初中数学重点内容和难点内容，内容丰富，题型多样。 广东省近5年试题规律：有关等腰三角形、等边三角形、 直角三角形的知识点通常渗透到作图题、解答题中综合 考查，题目可易可难，非常灵活，还能与图形变换结合 在一起，作为较难的压轴题。
面积最大，
此 ∴△时A，OBS的△AO最B=大面12积AB为?ha212．创．2a a = a2
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解：（1）不变．
理由：在直角三角形中，
斜边上的中线等于斜边的一半，
∵斜边AB不变， ∴斜边上的中线OP不变； （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时， △AOB为等腰直角三角形时，面积最大，理由为： 证明：如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时，△AOB的
A．16cm
B．17cm
C．20cm
D．16cm或20cm
2．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一
边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ C ）
A．13cm
B．14cm
C．13cm或14cm
D．以上都不对
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3．（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两
个角分别是（ B ）